LECCIÓN 3.- FORMAS...

Matemáticas para Economistas II

LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 1 Sea la forma cuadrática . Calcule: xyxzyxzyx 423),,( 22 +++=φ

a) La matriz simétrica asociada. b) ¿Cuál es su signo? Justifique su respuesta.

Solución: a) La matriz simétrica A que determina la forma cuadrática φ se obtiene colocando en la diagonal principal los coeficientes de los términos cuadráticos, mientras que cada elemento aij con i ≠ j, se obtiene de dividir por dos el coeficiente del término que multiplica la variable i por la j. Así

=

001012123

A

luego φ se puede expresar como:

( )

=

zyx

zyxzyx001012123

),,(φ

b) Apliquemos el método de los menores principales:

01431223

03

2

1

<−=−==

>=

D

D

R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz

Como D2 es negativo, podemos deducir, sin necesidad de calcular D3, que la forma cuadrática es indefinida.


LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 3 Clasifique, utilizando el signo de los autovalores, la siguiente forma cuadrática:

f(x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2yz.

¿Cambia el signo si la clasificamos ahora restringida a x + y = 0? Solución: Para poder clasificar la forma cuadrática por el signo de los valores propios tenemos que obtener los mismos. Para ello, construimos primero la matriz simétrica que representa dicha forma cuadrática, la cual se obtiene colocando en la diagonal principal los coeficientes de los términos cuadráticos, mientras que cada elemento aij, con i ≠ j, se obtiene de dividir por dos el coeficiente del término que multiplica la variable i por la j. Así tenemos:

−−−

−=

110121

011A

Si calculamos sus valores propios tenemos:

[ ]

)3()1(

02)2)(1()1()1(2)2()1(110

121011

2

−−=

==−−−−=−−−−=−−−−−

−−=−

λλλ

λλλλλλλ

λλ

λIA

luego, los valores son:

131011

33

22

11

======

αλαλαλ

con lo cual, la forma cuadrática sería semidefinida positiva puesto que uno de ellos vale cero siendo los restantes positivos.


Si clasificamos la forma cuadrática sujeta a la retricción x + y = 0 nos desaparece una de las variables, puesto que recordemos que si tenemos una forma cuadrática con n


variables, (en nuestro caso n = 3) y la sujetamos a m restricciones (en nuestro caso m = 1) nos queda una forma cuadrática con n - m variables (3 – 1 = 2). Despejando en la restricción obtenemos que x = -y. Sustituyendo esta información en la forma cuadrática original nos queda:

yzzyyzyzyyzyR 25222),(f 222222 −+=−+++= cuya matriz es:

−

−=

1115

RA


Si la clasificamos por el método de los menores principales, vemos cómo D1 = 5 > 0, y D2 = 4 > 0, por lo que pasa a ser definida positiva, cambiando su clasificación anterior sin restringir que recordemos era semidefinida positiva.


LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 4 (Examen Septiembre 2003) Indique el signo de la siguiente forma cuadrática:

( )

−−−

zyx

zyx110124

041

( ) 0111.. =

−−

zyx

as

Solución: Para clasificar una forma cuadrática restringida como es este caso, primero podemos ver el signo de la forma cuadrática sin restringir, puesto que si tenemos la suerte de que sea definida positiva o definida negativa no haría falta clasificarla restringida puesto que no cambiaría su clasificación. En este caso, si observamos la matriz de la forma cuadrática sin restringir vemos un cambio de signo en la diagonal principal con lo cual sería indefinida. Para restringirla debemos obtener la forma analítica, la cual sería:

yzxyzyxzyxf 282),,( 222 −+−+=

y también debemos desarrollar la ecuación a que se restringe que es:

0=−+− zyx

Sabemos que cuando tenemos una forma cuadrática restringida deben quedar n - m variables siendo n el número de variables originales (en nuestro caso, n = 3) y m el número de restricciones del problema (m = 1), luego nos deben quedar 3 – 1 = 2 variables. Para ello debemos despejar en la restricción y sustituir la información obtenida en la forma cuadrática original. Como tenemos una única restricción, sólo podemos despejar una variable en función de las otras dos. Si despejamos, por ejemplo, la variable y tenemos:

zxy += y sustituyendo esta información en la forma cuadrática inicial tenemos:

xzzxzzxzxxzzxxzxf R 1011)(2)(8)(2),( 22222 +−=+−++−++=


siendo la matriz que la representa:


−

=15

511RA


resultando la forma cuadrática restringida indefinida puesto que observamos también un cambio de signo en la diagonal principal.


LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 5 (Examen Enero 2004) Clasificar la forma cuadrática xtAx restringida a x1 + 2x2 = 0, siendo:

−=

321242121

A

Solución: La matriz de la forma cuadrática sin restringir posee elementos de signo distinto en

la diagonal principal, por tanto define una forma cuadrática indefinida

( ) ( )

32312123

22

21

3

2

1

321321

42434

321242121

,,,,

xxxxxxxxx

xxx

xxxxxx

+++−+=

=

−=φ

Al restringirla, la forma cuadrática puede tener cualquier carácter. Despejemos x1 de la restricción:

x1 = -2x2 Sustituyendo esta expresión en φ obtenemos una forma cuadrática que depende de 2

variables, por tener tres variables iniciales y sólo una restricción:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

−

=

−=+−+−+−+−=

3

232

23323222

23

22

2232

3000

342224342,

xx

xx

xxxxxxxxxxxxRφ


luego al ser la matriz diagonal sus valores propios son los elementos de la diagonal principal y al ser uno nulo y otro negativo la forma cuadrática es semidefinida negativa.


LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 8

Dada la forma cuadrática yzzyzyx +−= 22 8),,(φ

a) Escriba su expresión matricial, especificando la matriz simétrica asociada. b) Clasifíquela c) Analice si cambiaría su signo al restringirla a :

0320

=−=+−

zxzyx

Solución: a) Sabemos que la matriz simétrica asociada con dicha forma cuadrática se obtiene colocando en la diagonal principal los coeficientes de los términos cuadráticos mientras que cada elemento aij, con i ≠ j, se obtiene de dividir por dos el coeficiente del término que multiplica la variable i por la j. Así tenemos:

−=

82/102/110

000A

b) Puesto que observamos una alternancia de signo en los elementos de la diagonal principal de la matriz a la hora de clasificarla diremos que es indefinida. Pero, supongamos que no nos damos cuenta de este hecho y que pasamos a clasificarla por el método de los menores principales obteniendo el siguiente resultado:

082/102/110

000

01000

0

3

2

1

=−

=

==

=

D

D

D

luego, no podemos concluir el signo de la forma cuadrática puesto que iría para semidefinida pero no se puede confirmar este hecho hasta que no hagamos todas las transformaciones fila-columna de la matriz y veamos que no se produce un cambio de signo. Si realizamos la transformación 1-3, es decir, cambiamos la fila y la columna 1 por la 3 tenemos:



−=

000012/102/18

13T

cuyos menores son:

0

0433

12/12/18

8

3

2

1

=

<−=−

=

−=

D

D

D

Vemos que un menor de orden par resulta negativo, lo cual es signo de que la forma cuadrática es indefinida no haciendo falta realizar las demás transformaciones fila-columna puesto que basta con que una cambie de signo para decir que ya no es semidefinida como parecía en un principio, sino indefinida.

c) En este apartado nos piden el signo de la forma cuadrática si la sujetamos a dos

restricciones. Puesto que el número de variables que se quedan en una forma cuadrática restringida es n - m siendo n el número de variables originales (n = 3 en nuestro caso) y m el número de restricciones (m = 2), en este problema nos debe quedar 3 – 2 =1 variable.

Dado que nuestras restricciones son:

0320

=−=+−

zxzyx

podemos despejar dos variables en función de una tercera, e incorporar dicha información en la forma cuadrática original. Así si despejamos las variables x e y tenemos:

z23x

z25y

=⇒=

=+=+=⇒−=−

zx

zzzxzyx

32

23

Con lo cual nos queda:

2222

43

258

425)( zzzzzR =+−=φ


siendo una forma cuadrática definida positiva puesto que si z toma valores distinto de cero la forma cuadrática siempre tomará un valor positivo.


LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 10 Un fabricante produce tres bienes en cantidades x, y, z, respectivamente, y obtiene con ello un beneficio según la expresión:

B(x, y, z) = 5x2 + 9y2 + z2 - 8yz

Determine si los beneficios del empresario son estrictamente positivos en cada uno de los siguientes casos: a) La cantidad que produce del primer bien es dos veces la que produce del segundo. b) Por cada unidad producida del primer bien produce dos del tercero. c) La cantidad que produce de los tres bienes es la misma. Solución:

a) Vamos a clasificarla primero sin restringir, para ello calculamos su matriz simétrica asociada:

−===

⇒

−−=

35455

140490

005

3

2

1

DDD

A

A la vista del signo de los menores principales la forma cuadrática es indefinida, por

tanto presentaría beneficios y perdidas. La cantidad que produce del primer bien es dos veces la que produce del segundo,

esto nos lleva a restringir la función de beneficios con la siguiente restricción:

yxasyzzyxzyxB

2..895),,( 222

=−++=

yzzyyzzyyzyBR 82989)2(5),( 22222 −+=−++=

La matriz asociada es:

==

⇒

−

−=

1329

14429

2

1

DD

AR


Por tanto al ser los dos menores estrictamente positivos la forma cuadrática restringida es definida positiva, lo que significa que con esta combinación de producción se obtienen siempre beneficios.


b) Por cada unidad producida del primer bien produce dos del tercero, esta

combinación nos lleva a restringir la función de beneficios con la restricción:

xzasyzzyxzyxB

2..895),,( 222

=−++=

xyyxxyxyxyxBR 1699)2(8)2(95),( 22222 −+=−++=

La matriz asociada es:

==

⇒

−

−=

179

9889

2

1

DD

AR

Por tanto, al ser los dos menores estrictamente positivos la forma cuadrática

restringida es definida positiva, lo que significa que con esta combinación de producción también se obtienen siempre beneficios.

c) La cantidad que produce de los tres bienes es la misma.

zyyxas

yzzyxzyxB

==

−++=..

895),,( 222

007895)( 2222 ≠>=−++= xxxxxxxxBR


también se obtienen beneficios puesto que nos vuelve a dar definida positiva.


LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 11 Se está estudiando la producción de cuatro bienes A, B, C y D, los cuales se producen en cantidades x, y, z, t, respectivamente. La función de beneficios estimada, en función de las cantidades producidas, es:

B(x, y, z, t) = x2 + y2 -z2 - t2 + 2xy

La producción de C influye en la de A, y la de D en la de B, de forma que por cada unidad que se fabrica de C y D se obtienen α de A y B respectivamente. Se desea conocer entre qué valores variará el parámetro α, para que la empresa obtenga beneficios (B > 0). Interprete los resultados obtenidos. Solución: Al calcular la matriz asociada y alternar signo en la diagonal principal, la forma cuadrática representativa de la función de beneficios es indefinida, es decir la empresa puede ganar o perder dependiendo de la combinación de sus cuatro bienes.

−−

=

1000010000110011

A

El problema nos plantea dos restricciones que se corresponden con el estudio del

signo de la forma cuadrática restringida siguiente:

B(x, y, z, t) = x2 + y2 -z2 - t2 + 2xy s.a x = α z y = α t

zttztztztztzBR

222222222 2)1()1(2)()(),( ααααααα +−+−=+−−+= La matriz asociada es:

−−=−=

⇒

−−

= 4222

21

22

22

)1(1

11

ααα

αααα

DD

AR



( ) ( ) ( )

( ) ( ) (43421443442143421

3214342143421

−+−

+−+

∞−−∞−

±=±=⇔=−=−−

∞−−∞−±=⇔=−

7.07.07.07.0

7.021021)1(

1111101

2422

2

αααα

αα

)


para que nos salga definida positiva, lo que implicaría que la función obtiene beneficios, tenemos que realizar un estudio de los signos de los dos menores principales, a la vista de los resultados es imposible puesto que para que D1 sea positivo estricto

y para que lo sea D),1()1( ∞∪−−∞∈α 2 ) , por tanto, no existe valor del parámetro para el que la combinación dada produzca beneficios positivos estrictos.

7.07.0(−∈α


LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 12

(Examen Julio 2003) Una panadería que pretende ampliar su cuota de mercado, está pensando en lanzar tres tipos nuevos de pan: pan de centeno multivitamínico, pan a las finas hierbas y pan de queso. Según un estudio de mercado los beneficios que obtendría con las ventas de los tres nuevos tipos de panes siguen la siguiente expresión:

yzxyzyxzyxB 2632),,( 222 ++++=

donde, x, y y z representan las cantidades vendidas de los tres productos. En dicho estudio se indica también que se va a vender el cuádruple de pan de queso que el de finas hierbas. Indique si le va a resultar rentable a la panadería el lanzamiento de los nuevos productos. Solución:

Para analizar si resulta rentable el lanzamiento de los nuevos productos (x, y, z), hemos de comprobar si los beneficios son positivos, teniendo en cuenta la relación prevista entre z (pan de queso) e y (pan a las finas hierbas). Se trata, pues, de clasificar la siguiente forma cuadrática restringida:

yzasyzxyzyxzyxB

4..2632),,( 222

=++++=

Si aplicamos el método de los menores principales a la matriz asociada a la forma cuadrática sin restringir:

<−=>=

⇒

0701

310123031

2

1

DD

de lo que se desprende que la forma cuadrática es indefinida, es decir, los beneficios son positivos para algunos valores de (x, y, z) y son negativos para otros.

Ahora bien, teniendo en cuenta que existe una relación entre las ventas de los dos últimos productos, veamos si considerando dicha relación, los beneficios serán siempre positivos. Para ello sustituimos la restricción en la función, y aplicamos de nuevo el método de los menores principales:

xyyxyyxyyyxyxBR 658)4(26)4(32),( 22222 ++=++++=

>=>=

⇒

=

04901

58331

2

1

DD

AR


de lo cual podemos concluir que los beneficios son positivos, y que, por tanto, resulta rentable el lanzamiento de los nuevos productos, bajo la relación prevista entre ellos.


LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 13 (Examen Junio 2004) Clasifique la siguiente forma cuadrática:

Φ(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz s.a 2x = 0 y - z = 0

Solución:

Antes de clasificar la forma cuadrática restringida vamos a clasificarla sin restringir para ver si es definida, puesto que en ese caso no haría falta restringirla. Para ello obtenemos la matriz de dicha forma cuadrática:

=

011101110

A

y la clasificamos por los menores principales:

010110

0

2

1

<−==

=

D

D

no haciendo falta obtener el tercero, puesto que siempre que tenemos un menor de orden par negativo, sabemos que la forma cuadrática es indefinida. Por tanto, al no se definida pasamos a restringirla. De las dos restricciones obtenemos:

2x = 0⇒ x = 0 y - z = 0⇒y = z

y sustituyendo en la forma cuadrática original nos queda:

22)( zzR =Φ


la cual es definida positiva puesto que al sustituir z por cualquier valor distinto de cero siempre saldrá un número positivo.


LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 14 (Examen Septiembre 2004) Una empresa de helados fabrica tres tipos distintos de productos: cucuruchos, polos y tarrinas en cantidades x, y y z, respectivamente. Se conoce que su función de beneficios tiene la siguiente expresión:

yzxzxyzyxzyxB 26453),,( 222 +++++= Tras un estudio de las demandas del mercado, la empresa está pensando en producir el triple de polos que de tarrinas, pero no está muy segura del éxito de esta estrategia. ¿Qué le diría usted? Solución:

Para analizar el éxito de esta estrategia hemos de comprobar si los beneficios son positivos, teniendo en cuenta la relación prevista entre y (los polos) y z (las tarrinas). Se trata, pues, de clasificar la siguiente forma cuadrática restringida:

zyasyzxzxyzyxzyxB

3..26453),,( 222

=+++++=

Si aplicamos el método de los menores principales a la matriz asociada a la forma cuadrática sin restringir:

<−=>=

⇒

0103

513112323

2

1

DD

de lo que se desprende que la forma cuadrática es indefinida, es decir, los beneficios son positivos para algunos valores de (x, y, z) y son negativos para otros.

Ahora bien, teniendo en cuenta que existe una relación entre las ventas de los dos últimos productos, veamos si considerando dicha relación, los beneficios serán siempre positivos. Para ello sustituimos la restricción en la función, y aplicamos de nuevo el método de los menores principales:

xzzxzzxzzxzzxzxBR 18203)3(26)3(45)3(3),( 22222 ++=+++++=

<−=>=

⇒

=

02103

20993

2

1

DD

AR

de lo cual podemos concluir que la forma cuadrática restringida es indefinida y, por consiguiente, los beneficios no siempre van a ser positivos con esta estrategia, pudiendo tener pérdidas.



© R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz

LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 16 (Examen Septiembre 2005). Una empresa aceitera comercializa tres tipos distintos de aceite: de girasol, de oliva y extra oliva en cantidades x, y y z respectivamente. El beneficio que obtiene de su venta viene dado por:

yzxyzyxzyxB 6443),,( 222 ++++= Dicha empresa está pensando en fabricar una cantidad de aceite de oliva igual a la suma de las cantidades que fabrique de los otros dos tipos, ¿le resultará rentable esta estrategia? Solución:

Vamos a clasificarla primero sin restringir, para ello calculamos su matriz simétrica asociada:

1

2

1 01 2 02 3 3 1 2

1 00 3 4 2 3

DA

D

= >⎧⎛ ⎞⎪⎜ ⎟= ⇒ ⎨⎜ ⎟ = = − <⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎩

A la vista del signo del menor principal par, D2, la forma cuadrática es indefinida,

por tanto presentaría beneficios y pérdidas. Por ello, la empresa está pensando en fabricar una cantidad de aceite de oliva igual a

la suma de las cantidades que fabrique de los otros dos tipos, esto nos lleva a que las variables de la función de beneficios deben verificar la siguiente relación:

y x z= +

Se trata, pues, de clasificar la siguiente forma cuadrática:

( ) ( ) ( )

( )

22 2( ) 3 4 4 6

8 88 13

RB x, z x x z z x x z x z z

xx z

z

= + + + + + + + =

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Los menores de la matriz asociada son:

1

2

8 040 0

DD

= >⎧⎨ = >⎩

al ser los dos menores estrictamente positivos la forma cuadrática restringida es definida positiva, lo que significa que con esta combinación de producción se obtienen siempre beneficios. Por tanto, la estrategia es rentable.

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