Las matemticas o la matemtica1 (del latn mathematca, y este del griego , derivado de , conocimiento) es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lgico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como nmeros, figuras geomtricas o smbolos.

Para explicar el mundo natural se usan las matemticas, tal como lo expres Eugene Paul Wigner (Premio Nobel de fsica en 1963):2

La enorme utilidad de las matemticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no hay explicacin para ello. No es en absoluto natural que existan leyes de la naturaleza, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje de las matemticas para la formulacin de las leyes de la fsica es un regalo maravilloso que no comprendemos ni nos merecemos.Mediante la abstraccin y el uso de la lgica en el razonamiento, las matemticas han evolucionado basndose en las cuentas, el clculo y las mediciones, junto con el estudio sistemtico de la forma y el movimiento de los objetos fsicos. Las matemticas, desde sus comienzos, han tenido un fin prctico.

Las explicaciones que se apoyaban en la lgica aparecieron por primera vez con la matemtica helnica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemticas siguieron desarrollndose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemticas interactuaron con los nuevos descubrimientos cientficos. Como consecuencia, hubo una aceleracin en la investigacin que contina hasta la actualidad.

Hoy en da, las matemticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniera, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no estn vinculadas con ella, como la msica (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armnica). Las matemticas aplicadas, rama de las matemticas destinada a la aplicacin del conocimiento matemtico a otros mbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemticos tambin participan en las matemticas puras, sin tener en cuenta la aplicacin de esta ciencia, aunque las aplicaciones prcticas de las matemticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.

ndice [ocultar] 1Etimologa2Algunas definiciones de matemtica3Epistemologa y controversia sobre la matemtica como ciencia4La inspiracin, las matemticas puras, aplicadas y la esttica5Notacin, lenguaje y rigor6La matemtica como ciencia7Ramas de estudio de las matemticas7.1Matemticas puras7.1.1Cantidad7.1.2Estructura7.1.3Espacio7.1.4Cambio7.2Matemticas aplicadas7.2.1Estadstica y ciencias de la decisin7.2.2Matemtica computacional8Vase tambin9Referencias9.1Bibliografa10Enlaces externosEtimologa[editar]La palabra matemtica (del griego mathmatik , cosas que se aprenden) viene del griego antiguo (mthma), que quiere decir campo de estudio o instruccin. El significado se contrapone a (musik) lo que se puede entender sin haber sido instruido, que refiere a poesa, retrica y campos similares, mientras que se refiere a las reas del conocimiento que slo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronoma, aritmtica).3 Aunque el trmino ya era usado por los pitagricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanz su significado ms tcnico y reducido de estudio matemtico en los tiempos de Aristteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es (mathmatiks), relacionado con el aprendizaje, lo cual, de manera similar, vino a significar matemtico. En particular, (mathmatik tkhn; en latn ars mathematica), significa el arte matemtica.

La forma ms usada es el plural matemticas, que tiene el mismo significado que el singular1 y viene de la forma latina mathematica (Cicern), basada en el plural en griego (ta mathmatik), usada por Aristteles y que significa, a grandes rasgos, todas las cosas matemticas. Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del trmino; tal es el caso de Bourbaki, en el tratado Elementos de matemtica (lements de mathmatique), (1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visin axiomtica moderna, aunque tambin hace uso de la forma plural como en lments d'histoire des mathmatiques (Elementos de historia de las matemticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificacin de las matemticas.4 As mismo, en el escrito L'Architecture des mathmatiques (1948) plantea el tema en la seccin Matemticas, singular o plural donde defiende la unicidad conceptual de las matemticas aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito.5

Algunas definiciones de matemtica[editar]Establecer definiciones claras y precisas es el fundamento de la matemtica, pero definirla ha sido difcil, se muestran algunas definiciones de pensadores famosos:

Ren Descartes: (Cirilo Flrez Miguel, ed. Obra completa. Biblioteca de Grandes Pensadores 2004) "La matemtica es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fciles."David Hilbert: (Putnam, Hilary: On the infinite. Philosophy of Mathematics, p.187, 1998). En un cierto sentido, el anlisis matemtico es una sinfona del infinito. La matemtica es el sistema de las frmulas demostrables.Benjamin Peirce: (Nahin, Paul , The Story of i , p.68, 1998). La matemtica es la ciencia que extrae conclusiones necesarias.Bertrand Russell: (Principia mathematica, 1913). Las matemticas poseen no slo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fra y austera, como la de una escultura.Ibo Bonilla: (Qu es matemtica?, Academia.edu, 2014). "Hacer matemtica es desentraar los ritmos del Universo". "La matemtica es la ciencia de estructurar una realidad estudiada, es el conjunto de sus elementos, proporciones, relaciones y patrones de evolucin en condiciones ideales para un mbito delimitado".John David Barrow: (Imposibilidad. P 96. Gedisa, 1999). En el fondo, matemtica es el nombre que le damos a la coleccin de todas las pautas e interrelaciones posibles. Algunas de estas pautas son entre formas, otras en secuencias de nmeros, en tanto que otras son relaciones ms abstractas entre estructuras. La esencia de la matemtica est en la relacin entre cantidades y cualidades.Epistemologa y controversia sobre la matemtica como ciencia[editar]El carcter epistemolgico y cientfico de las matemticas ha sido ampliamente discutido. En la prctica, las matemticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geomtricas y las magnitudes variables. Los matemticos buscan patrones,6 7 formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemtica mediante deducciones rigurosas. stas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.8 Algunas definiciones clsicas restringen las matemticas al razonamiento sobre cantidades,1 aunque solo una parte de las matemticas actuales usan nmeros, predominando el anlisis lgico de construcciones abstractas no cuantitativas.

Existe cierta discusin acerca de si los objetos matemticos, como los nmeros y puntos, realmente existen o simplemente provienen de la imaginacin humana. El matemtico Benjamin Peirce defini las matemticas como "la ciencia que seala las conclusiones necesarias".9 Por otro lado, Albert Einstein declar que: "cuando las leyes de la matemtica se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad".10

Se ha discutido el carcter cientfico de las matemticas debido a que sus procedimientos y resultados poseen una firmeza e inevitabilidad inexistentes en otras disciplinas como pueden ser la fsica, la qumica o la biologa. As, la matemtica sera tautolgica, infalible y a priori, mientras que otras, como la geologa o la fisiologa, seran falibles y a posteriori. Son estas caractersticas lo que hace dudar de colocarse en el mismo rango que las disciplinas antes citadas. John Stuart Mill afirmaba:

La lgica no observa ni inventa ni descubre, pero juzga.As, los matemticos pueden descubrir nuevos procedimientos para resolver integrales o teoremas, pero se muestran incapaces de descubrir un suceso que ponga en duda el Teorema de Pitgoras o cualquier otro, como s sucede constantemente con las ciencias de la naturaleza.11

La matemtica fue ser entendida como ciencia; si es as debiera sealarse su objeto y su mtodo. Sin embargo, algunos plantean que la matemtica es un lenguaje formal, seguro, eficiente, aplicable al entendimiento de la naturaleza, tal como indic Galileo; adems muchos fenmenos de carcter social, otros de carcter biolgico o geolgico, pueden ser estudiados mediante la aplicacin de ecuaciones diferenciales, clculo de probabilidades o teora de conjunto. 12 . Precisamente, el avance de la fsica, de la qumica ha exigido la invencin de nuevos conceptos, instrumentos y mtodos en la matemtica, sobre todo en el anlisis real, anlisis complejo y el anlisis matricial. 13

La inspiracin, las matemticas puras, aplicadas y la esttica[editar]

Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte con Leibniz la autora del desarrollo del clculo integral y diferencial.Es muy posible que el arte del clculo haya sido desarrollado antes incluso que la escritura,14 relacionado fundamentalmente con la contabilidad y la administracin de bienes, el comercio, en la agrimensura y, posteriormente, en la astronoma.

Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemticas. Por ejemplo, el fsico Richard Feynman propuso la integral de caminos como fundamento de la mecnica cuntica, combinando el razonamiento matemtico y el enfoque de la fsica, pero todava no se ha logrado una definicin plenamente satisfactoria en trminos matemticos. Similarmente, la teora de cuerdas, una teora cientfica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la fsica, sigue inspirando a las ms modernas matemticas.15

Algunas matemticas solo son relevantes en el rea en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemticas inspiradas en un rea concreta resultan tiles en muchos mbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemtica ms pura habitualmente tiene aplicaciones prcticas es lo que Eugene Wigner ha definido como la irrazonable eficacia de las matemticas en las Ciencias Naturales.16

Como en la mayora de las reas de estudio, la explosin de los conocimientos en la era cientfica ha llevado a la especializacin de las matemticas. Hay una importante distincin entre las matemticas puras y las matemticas aplicadas. La mayora de los matemticos que se dedican a la investigacin se centran nicamente en una de estas reas y, a veces, la eleccin se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias reas de las matemticas aplicadas se han fusionado con otras reas tradicionalmente fuera de las matemticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la estadstica, la investigacin de operaciones o la informtica.

Aquellos que sienten predileccin por las matemticas, consideran que prevalece un aspecto esttico que define a la mayora de las matemticas. Muchos matemticos hablan de la elegancia de la matemtica, su intrnseca esttica y su belleza interna. En general, uno de sus aspectos ms valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente demostracin, como la demostracin de Euclides de la existencia de infinitos nmeros primos, y en un elegante anlisis numrico que acelera el clculo, as como en la transformada rpida de Fourier. G. H. Hardy en A Mathematician's Apology (Apologa de un matemtico) expres la conviccin de que estas consideraciones estticas son, en s mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemticas puras.17 Los matemticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excntrico matemtico Paul Erds se refiere a este hecho como la bsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.18 19 La popularidad de la matemtica recreativa es otra seal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemticas.