MATEMATICAS SEGUNDO MES

5/12/2018 MATEMATICAS SEGUNDO MES - slidepdf.com

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Actividad de aprendizaje 2.1.

1. Del texto guía Algebra Intermedia ” de Allen R. Ángel de la página 120 resuelva el ejercicio14:

14) Exprese la desigualdad utilizando una recta numérica, en notación de intervalo y como unconjunto solución.

3

21

8

72 −<≤ k

En este caso la solución es el conjunto vacío: φ =Sol

2. Del texto guía Álgebra Intermedia ” de Allen R. Ángel de la página 121 resuelva losejercicios 33, 46 y 62:

Resuelva cada desigualdad e indique su conjunto solución.

33) 1]2)2[(313 −−+<+− x x x

[ ]

40

13613

122313

<

−−<+−

−−+<+−

x x

x x x

Como esto es verdad por lo tanto el conjunto solución son todos los números

reales.

{ }( ) intervalodeformaEn;

/

∞∞−ℜ∈= x xSol

46)3

2

2

346 <

−<−

x

( )

9

8

3

16

33

8

3

16

43

43412

3

43412

3

2

2

346

>>

−−>>

−−

−<−<−−

<−<−

<−<−

x

x

x

x

x



62) 1132;7112 <−−≤− qq

{ }

( ) intervalodeformaEn;

/

∞∞−

ℜ∈= x xSol


1. Del texto guía de la página 580 resuelva los ejercicios 19, 28, 38 y 68:

Resuelva cada desigualdad y grafique la solución en la recta numérica.19) 09122 2 ≤+− x x

( ) ( ) ( )( )

( )

87.0

12.5

4

48.812

4

7212

22

9241212

2

4

09122

09122

2

1

2

2

2

2

==

±=

±=

−−±−−=

−±−=

=+−

≤+−

X

X

X

X

X

a

acbb X

X X

X X

( )( ) 087.012.5 ≤−− x x

Puntos críticos X = 5.12 y X = 0.87

Se crearon 3 intervalos.

( ] [ ] [ )∞∞− 5.12;C 0.87;5.12B 87.0; A

0 8/9 16/3

3q o 2q

q3

9- o

2

4q

3q11-2 o 1172q

113q-2 o 7112q

−>≤

<≤

<+−≤<−≤−



Valor de prueba para el intervalo A, el 0, por lo tanto:

( )( )( )( )

Falso 04,4544

087.0012.50

087.012.5

≤

≤−−

≤−− x x

Valor de prueba para el intervalo B el 3, por lo tanto:

( )( )( )( )

Verdadero 04,56-

087.0312.53

087.012.5

≤≤−−≤−− x x

Valor de prueba para el intervalo C el 10, por lo tanto:

( )( )( )( )

Falso 044.55

087.01012.510

087.012.5

≤≤−−

≤−− x x

Por lo tanto

Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.28) 0)63)(4)(13( ≤++− ccc

Puntos críticos

( )

( )

( )

2

063

4

04

3

1

013

−==+

−==+

=

=−

c

c

c

c

c

c


( ] [ ]

∞

−−∞− ;

3

1 D

3

1;2C 4;-2-B 4; A

Valor de prueba para el intervalo A el -5, por lo tanto:

0.87 5.12



( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

063413

≤−

≤−−−

≤++− ccc

Valor de prueba para el intervalo B el -3, por lo tanto:

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Falso 0

0

063413

≤+≤−+−

≤++− ccc


( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

063413

≤−

≤++−

≤++− ccc

Valor de prueba para el intervalo D, el 10, por lo tanto:

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Falso 0

0

063413

≤+

≤+++

≤++− ccc

( ] 3

1;24;:

−−∞− Sol

Determinar todos los valores de x para los que f(x) satisface las condiciones que se indican en

cada uno de los siguientes ejercicios.38) ( ) ( ) 0;1522 <−−= x f x x x f

( ) ( )

cos3

5

035

0152

2

1

2

ítiValores Cr x

x

x x

x x

−=

=

<+−

<−−


( ) ( ) ( )∞−−∞− 5;C 5;3B 3; A


( )( )

( ) ( )

( ) Falso 0

0

035

<+

≤−−

<+− x x




( )( )

( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

035

<−

≤+−

<+− x x


( )( )

( ) ( )

( ) Falso 0

0

035

<+≤++

<+− x x

Por lo tanto

( )

{ } 53

53

x x/-Sol:

;Sol:

<<

−

68) Resuelva la desigualdad y de la solución en notación de intervalos: 0)9)(6(

5 ≥−+

− z z

z

( )( )0

96

5≥

−+− z z

z

( )( )

Criticos Valores

9 6 5

09 06 05

096

5

321 =−==

=−=+=−

≥−+

−

z z z

z z z

z z

z


( ) ( ] [ ) ( ) ;9D 9;5C 6;5-B 6; ∞−∞− A

Valor de prueba para el intervalo A, el -10, por lo tanto:

( )( )

( )( ) ( )

( ) Falso 0

0

096

5

≥−

≥−−−

≥−+

− z z

z




( )( )

( )( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

096

5

≥+

≥−+

−

≥−+

− z z

z


( )( )

( )( ) ( )

( ) Falso 0

0

096

5

≥−

≥−+

+

≥−+

− z z

z


( )( )

( )

( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

096

5

≥+

≥++

+

≥−+

− z z

z

( ] ( )∞9; 6;5-:Sol


1. Del texto guía de la página 582 resuelva los ejercicios 105 y 106:Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.

105) 04423 ≥−−+ x x x

( ) ( )

( )( )( )( )( )

críticosValores

2

2

221

0221

041

0141

==−=≥−++

≥−+

≥+−+

x - x x

x x x

x x

x x x


( ] [ ] [ ] [ )∞−−∞− ;2 D 2;1C 2;-1-B 2; A




( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Falso 0

0

0221

≥−

≥−−−

≥−++ x x x

Valor de prueba para el intervalo B el -1.5, por lo tanto:

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

0221

≥+

≥−+−

≥−++ x x x


( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Falso 0

0

0221

≥−

≥−++

≥−++ x x x

Valor de prueba para el intervalo D el 10, por lo tanto:

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

0221

≥+

≥+++

≥−++ x x x

[ ] [ )∞;2 2;-1- :ol S

106) 016322 23 <−−+ x x x

Factorando( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )( )( ) 04412

01612

0121612

016322

2

2

23

<−++<−+

<+−+

<+−+

x x x

x x

x x x

x x x

Los puntos críticos son:

X = -4 ; x = 4; x = -1/2


( ) ( )∞

−

−∞− ;44;

2

14; D C

2

14;--B A




( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

01244

<−

<−−−

<+−+ x x x


( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Falso 0

0

01244

<+<−−+

<+−+ x x x


( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

01244

<−

<+−+

<+−+ x x x


( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) Falso 0

0

01244

<+<+++

<+−+ x x x

( )

−∞ 4;

2

1: ;-4-Sol

2. Del texto guía de la página 581 resuelva el ejercicio 80) y 92):80) Resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica

012

1

012

44

012

242

0212

2

212

2

<−−

>−

−

>−+−

>−−

>−

a

a

a

a

a

a

a

a

Valores críticos:

a=1 a=1/2

( )∞

∞− ;11;

2

1; C

2

1B A



Valor de prueba para el intervalo A, el 0, por lo tanto:

( )

( )( ) Falso 0

0

012

1

<+

<

−

−

<−−

a

a

Valor de prueba para el intervalo B el 0.75, por lo tanto:

( )( )

( ) Verdadero 0

0

012

1

<−

<+−

<−−

a

a


( )

( )

( ) Falso 0

0

012

1

<+

<++

<−−

a

a

2

1

1;:Sol

92). Cual es la solución de la desigualdad, explique su respuesta

0)4()3( 222 <+− x x x

La solución de esta desigualdad es el conjunto vacío, porque para ningún valor de x, se va acumplir esta desigualdad ya que el lado izquierdo siempre va a ser un valor positivo, porquetodos los factores están elevados al cuadrado.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2.4.

1/2 1

( )∞

∞− ;11;

2

1; C

2

1B A



1. Del texto guía de la página 133 resuelva los ejercicios 30), 44), 70) y 90):

Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad:

30) 952

35=+

− x

−

−==

−=−=−

−=−

=−

=−

−=−

1;511:

15

11

835835

42

354

2

35

42

35

592

35

sol

x x

x x

x x

x

x

o

o

o

44)16

7

8

3

4<−

k

<<−

<<−

<<

−

<<−

+<<+−

<−<−

4

13

4

1/:

4

13

4

1

416

13

16

14

16

13

416

18

3

16

7

48

3

16

7

16

7

8

3

416

7

k k Sol

k

k

k

k

k

70)2

382

2

3 r r −=+



{ }2r/r:Sol2r

100 o 63r

282

3r

2

3r o 28

2

3r

2

3r

2

3r82

2

3r o

2

3r82

2

3r

==

−≠=

−−=−−=+

−−=+−=+

90) 13

23

3−=+

y y

{ }12;-2:Sol

-2y o 12y

-2y o 43

y

3-13

2y

3

y o 31

3

2y

3

y

13

2y3

3

y o 1

3

2y3

3

y

==

=−=−

+=+−−=−

−−=+−=+


1. Del texto guía de la página 286 resuelva el ejercicio 44):44) Determine la solución del sistema de desigualdades.

( )

( )

≤−

≤+

2 13y

1 21x

( )

( )

4y2

31y31

2 13y1

1x3

1-2x12

1 21x2

≤≤+≤≤+−≤−≤−

≤≤− ≤≤−−

≤+≤−

La gráfica de la primera inecuación es



La grafica de la segunda inecuación en el mismo conjunto de ejes es:

La solución es la parte de la grafica con los dos sombreados y la parte de la

línea solida que satisface ambas desigualdades.

2. Del texto guía de la página 167 resuelva el ejercicio 26:26) Determine si la relación dada también es función y proporcione el dominio y el rango.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ })8;2(,5;3,2;5,3;0,4;3,3;6 −

El dominio es { }2,3,5,0,3,6 −

El rango es { }8,5,2,3,4,3

Como a cada valor del dominio le corresponde un único valor del rango, estarelación es una función.

3. Del texto guía de la página 169 resuelva el ejercicio 50:50) Evalúe la función en los valores indicados.

Solución



( ) t t f 25−= ; determine:

a) ( )2− f

( ) ( )

( )( ) 32452

2252

±=− +=−

−−=−

f f

f

b) ( )2 f .

( ) ( )( )( ) 12

452

2252

±=−=

−=

f

f

f

4. Del texto guía de la página 581 resuelva el ejercicio 98):

98) Resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica: 0

)9(

)2)(4(≥

+

+−

x x

x x

Obtenemos los valores críticos igualando a 0 cada uno de los factores del lado izquierdo de la

desigualdad, tanto del numerador como del denominador:

( )

9

090

2

0)2(

4

0)4(

4

3

2

1

−==+=

−==+

==−

x

x x

x

x

x

x

Por lo tanto los valores críticos son cuando X vale 4, -2, 0 y -9

Se han formado 5 intervalos( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞−−−−∞− 4;E 0;4D C B 0;22;99; A


( ) ( )

( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

0)9(

)2)(4(

≥+

≥−−−−

≥+

+− x x

x x




( ) ( )

( ) ( )

( ) Falso 0

0

0)9(

)2)(4(

≥−

≥+−−−

≥++−

x x

x x

Valor de prueba para el intervalo C el -1, por lo tanto:

( ) ( )

( ) ( )

( ) Verdadero 0

0

0)9(

)2)(4(

≥+

≥+−+−

≥+

+− x x

x x


( ) ( )

( ) ( )

( ) Falso 0

0

0)9(

)2)(4(

≥−

≥+++−

≥++−

x x x x

Valor de prueba para el intervalo E el 10, por lo tanto:

( ) ( )

( ) ( )( ) Verdadero 0

0

0)9(

)2)(4(

≥+≥++

++

≥+

+− x x

x x

( ) ( ) ( )∞−−∞− 4; 0;29;:Sol


1. Del texto guía de la página 444 resuelva el ejercicio 51:51) Si ( )

2

1

++=

x

x x f y ( )

4+= x

x x g , determine:

a) el dominio de ( ) x f



( )2

1

++

= x

x x f

Como el valor que le hace 0 al denominador es el -2, por lo tanto el dominio de la función sontodos los números reales excepto cuando X = -2.

b) el dominio de ( ) x g

( )4+

= x

x x g

Como el valor que le hace 0 al denominador es el - 4, por lo tanto el dominio de la función sontodos los números reales excepto cuando X = -4.

c) ( )( ) x g f +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )42

472

42

245

42

241

42

1

2

22

++

++=

++

++++=

++

++++=

++

++=

+=+

x x

x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x g x f x g f

d) el dominio de ( )( ) x g f + .

( )( )( )( )42

472 2

++++

=+ x x

x x x g f

El dominio de la función son todos los números reales excepto cuando X = -2 y X = -4.

2. Del texto guía de la página 479 resuelva los ejercicios 120):

120) Si le indican que ( ) x x f = y ( ) 3−−= x x g ,

a) Trace el gráfico de ( ) ( ) x g f + y explique cómo determinó su respuesta

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 3

3

3

−=+

−−=

−−+=+

x g f

x x

x x x g f



b) ¿Cuál es el dominio de ( ) ( ) x g f + ?

El dominio de ( ) ( ) x g f + , son todos los números enteros positivos incluido el 0. Es decir 0≥ x

3. Del texto guía de la página 554 resuelva los ejercicios 58); 60) y 66):Determine todas las intersecciones del eje x en las funciones:

58) ( ) 5615 +−= x x x g

Intersecciones con los ejes:

EJE X

La intersección con el eje x se produce cuando y = 0

( ) ( )

( ) ( )

xe j ee lc o nc o r t ed e P u n t o s

4 9x

6 4x

04 9x6 4x

03 1 3 61 1 3 xx

2 2 5 x3 1 3 61 1 2 xx

x1 55 6x

05 6x1 5x

2

1

2

2

22

=

=

=−−

=+−

=++

=+

=+−

EJE Y

La intersección con el eje y se produce cuando x = 0



yejeelconcortede Punto 56y

560150y

56x15xy

=+−=

+−=

Las intersecciones de la gráfica con los ejes son: (64; 0); (49; 0) y (0; 56)

60) ( ) 127 ++= x x xk

Intersecciones con los ejes:

EJE X

La intersección con el eje x se produce cuando y = 0

( ) ( )

( )( )

9x

16x

09x16x

014425xx

49x14424xx

x712x

012x7x

2

1

2

2

22

==

=−−=+−=++

=+

=++

Verificación

042

01297x 16716

012x7x 012x7x

9xSi 16xSi

≠≠

=++=++

=++=++

==

056

012

Por lo tanto la función no corta al eje x

EJE Y

La intersección con el eje y se produce cuando x = 0



yejeelconcortede Punto 12y

070y

12x7xy

=++=

++=

12

La intersección de la gráfica con los ejes son: (0; 12)

66) ( ) 24)6(5)6( 222 −−−−= x x x x x g

Corte con el eje X

A6x)(x Si 2 =−

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

0.555x 5.45x -1.12x7.12x

2

4.896x

2

8.246x

2

246x

2

686x

2

31466x

2

81466x

036xx 086xx

36xx 86xx

3A 8A

03A8A

0245AA

4321

22

22

22

21

2

====

±=

±=

±=

±=

−−±−−=

−−−±−−=

=+−=−−

−=−=−

−===+−=−−

Puntos de corte con el eje X: (7.12; 0) ; (-1.12; 0) ; (5.45; 0) ; (0.555; 0)

Corte con el eje Y

( ) ( )24

24)060(5)060(

24)6(5)6(222

222

−=

−−−−=

−−−−=

y

y

x x x x y

Punto de corte con el eje Y: (0; -24)


1. Del texto guía de la página 568 resuelva el ejercicio 14) ; 20):



14) ¿La función ( ) 722

1 2 −+−= x x x g , tiene un punto máximo o mínimo? Explique.

Como el valor de a es negativo, por lo tanto la parábola se abre hacia abajo y tendrá un un punto

máximo, el cual esta en.

( ) ( )

5742

72222

1

72

2

2

12

2

2

2

2

−=−+−=

−+−=

−+=

=

−

−=−

y

y

x x

a

b

2

1-y

xenCoordenada

El punto mínimo es (2; -5)

20) Determine para la funcion: ( ) 1582 −+−= x x x p :

a. Si la parábola se abre para arriba o para abajo.

Como el valor de a es negativo, por lo tanto la parábola se abre hacia abajo

b. La intersección con el eje “y”

( )15

150802

−=−+−=

y

y

(0; -15)

c. El vértice

( )

( ) ( )

1153216

15484

158

412

8

2

2

2

=−+−=−+−=

−+=

=−

−=−

y

y

x x

a

b

-y

xenCoordenada

Vertice (4; 1)

d. Las intersecciones con el eje “x” (si las hay)

( )( )

3x 5x

0

0x

21

2

==

=−−

=+−

35

158

x x

x

Intersecciones en los puntos (5; 0) ; ( 3; 0)



e. Dibuje la grafica

2. Del texto guía de las páginas 600 y 601 resuelva los ejercicios 16); 38); 72):

16) Para las funciones ( ) 52 −= x x f y ( ) x

x g 4= ; determine:

a) ( )( ) x fog

( )( ) ( )( ) 51654 2

2

−=− == x x x g f x fog

b) ( )( )4 fog

( )( ) ( )( ) 45154

164

2−=−=−== fog x fog

c) ( )( ) x gof

( )( ) ( )( )5

42

−== x

x f g x gof

d) ( )( )11

4

54

44

2=

−= gof .

38) Determinar si la función es uno a uno (inyectiva) ; x y −= .

x y



0 0

0,5 -0,7071

1,0 -1,0

1,5 -1,2247

2,0 -1,4142

2,5 -1,5811

3,0 -1,7321

3,5 -1,8708

4,0 -2,0

Si es una función uno a uno porque a cada valor de x le corresponde un único valor de y, de igualmanera a cada valor de y le corresponde un único valor de x.

72) Para la función uno a uno determine: ( ) 4;4 −≥+= x x x f

a) ( ) x f 1−



( ) ( )

( ) 4

4

4

4

4

4

21

2

2

22

−=

−=

+=

+=

+=

+=

− x x f

x y

y x

y x

y x

x y

b) grafique ( ) x f y ( ) x f 1− en los mismos ejes si ( ) 4;4 −≥+= x x x f .



58) Grafique y determine el rango de la función ( )32

2

1+

=

x

x g



El dominio es el conjunto de los números reales y el rango de la función es

{ }0/ > y y

2. Del texto guía de la página 655 resuelva los ejercicios 15); 20):

15) Escriba como el logaritmo de una sola expresion:

( ) ( )

x

x x

x x x x x x

27

6

62

67

6666

34log

log)3(log)4(loglog2

1)3(log2)4(log7

+−=

−++−=−++−

20) Resuelva para “x”:

( )( )

( )( )

5

17

175

1265

62

5

6log2

5log

6log)2(log)5(log

=

=−=+

=−+

=−+

=−−+

x

x

x x

x

x

x

x

x x


24) Estudie y grafique la funcion: 12 −= x y

a) Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y:



Si x = 0 ; y = 0 por tanto P(0 ; 0)

Con el eje X:

Si y = 0

0

22

12

120

0

==

=−=

x

x

x

x

Por lo tanto la curva corta al eje y en el punto (0;0).

b) Dominio y rango.

12 −= x y

No existe impedimento alguno para que la x tome todos los valores, por tanto:

Dominio = Reales

Rango: Mientras a X le demos valores más grandes, 2x -1 se hará más grande,

por lo tanto Y tiende a infinito, además si a X le damos valores más pequeños,

el valor de Y tiende a -1; en consecuencia el rango será los valores mayores a

-1; es decir { }1/ −> y y




76) Estudio y gráfico de la función: ( ) 12 −= x x f

a) Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y:

Si x = 0;

5.0

2

210

1

=

=

=

−

−

y

y

y x

Por lo tanto P(0 ; 0.5)

Con el eje X:

Si y = 0

1

1

20

2

−

−

=

=

x

x y

Como esto no se cumple para ningún valor de x, por lo tanto la curva no corta

al eje x.

b) Dominio y rango.

12 −=

x y

No existe impedimento alguno para que la x tome todos los valores, por tanto:

Dominio = Reales

Rango: Mientras a X le demos valores más grandes, 2x-1 se hará más grande,

por lo tanto Y tiende a infinito, además si a X le damos valores más pequeños,

el valor de Y tiende a 0; en consecuencia el rango será los valores mayores a 0;

es decir { }0/ > y y



5. Del texto guía de la página 617 resuelva el ejercicio 118:

118) Escriba en forma exponencial y determine el valor desconocido:

y=81

1log 9

2

42

33

39

3log

81

1log

42

4

4

9

9

−=

−==

=

=

=

−

−

−

y

y

y

y

y

y


1. Del texto guía de la página 622 resuelva los ejercicios 40) y 52):

Escriba como logaritmo de una sola expresión:

40)

( ) ( )736log

)73(log)6(loglog)73(log)6(log5log2

52

5

5

5

5

2

5555

+−=

++−+=++−+

t t t

t t t t t t



52) Evalúe: 3 5loga

Como 6990.05log3010.02log == aa y

( ) 233.06990.03

1

5log3

1

5log5log

3

1

3

==== aaa

2. Del texto guía de la página 634 resuelva el ejercicios 20):

Resuelva las ecuaciones exponenciales sin utilizar calculadora:

20) 14464 += x x

( )

( )

122

286

22

22

286

1426

−=

−=

+=

=

=

+

+

x x

x x

x x

x x

3. Del texto guía de las páginas 644 y 645 resuelva los ejercicios 38); 42); 62):

Resuelva las ecuaciones logarítmicas sin utilizar calculadora:

38) ( ) ( ) 16ln2ln4ln =−++ x x

( )( )

( )( )

( )( )

4

6

046

0242

8216

16

24

016

24ln

2

1

2

2

0

=−=

=−+=−+

−+=

−+

=

=−+

x

x

x x

x x

x x

x x

e

x x

42) 16ln2

3ln = x

64

2

2

16lnln

6

12

3

=

=

=

=

x

x

x

x

62) Despeje la variable “k” de: kt e R0167 =



( )

( )

t

Rk

Rkt

ekt R

e R

e R

kt

kt

0

0

0

0

0

ln167ln

ln167ln

ln167ln

ln167

ln

167

−=

−=

=

=

=

4. Del texto guía de la página 636 resuelva los ejercicios 84); 86); 87):

84) Resuelva

12

1243

33

8127

1243

3

=

−=

=

=

−

−

x

x x

x x

x x

86) Utilice ecuaciones de la forma cuadrática para resolver

08)2(622 =+− x x

Si x A 2=

( )( )

1x 2x

22 42

2AComo

2A 4A

02-A 04A02A4A

086AA

21

xx

x

21

2

====

=

====−

=−−

=+−

Resuelva los sistemas de ecuaciones:

88)

=+

=

4

82

y x

y x



( )

( )

=⇒=+

=⇒=⇒=

2 y-4x 4yx

1 3 yx 22 82 3 yxyx

Igualando las ecuaciones 1 y 2

( )

3x

14x

2 y-4x

1y

44y

y-43y

=−=

====

MATEMATICAS SEGUNDO MES

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