Fundamentos de la didactica de las matematicas ccesa007
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FUNDAMENTOS DE LA DIDAacuteCTICA DE LA
MATEMAacuteTICAS
Demetrio Ccesa Rayme
Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull La epistemologiacutea (del griego ἐπιστήμη (episteme)conocimiento y λόγος (logos) estudio) es la rama de lafilosofiacutea cuyo objeto de
bull La epistemologiacutea como teoriacutea del conocimiento se ocupade problemas tales como las
que llevan a la obtencioacuten delconocimiento y los criterios por los cuales se le justifica oinvalida asiacute como la definicioacuten clara y precisa de losconceptos episteacutemicos maacutes usuales tales como verdadobjetividad realidad o justificacioacuten La epistemologiacuteaencuentra ya sus primeras formas en la Grecia Antiguaprimero en filoacutesofos como Parmeacutenides o Platoacuten
Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull El termino ldquoepistemologiardquo es parte de la didactica de lamatematica a inicio de los anos rsquo60 portando con si las diferentesacepciones que lo acompanan y que conducen a diversasldquodefinicionesrdquo e interpretaciones en cada pais y en multiplessituaciones
bull Mientras reenvio a Brousseau (2006a b) para un analisiscomparado y critico de dicho termino y de sus diversas exigenciashago explicito el hecho que me referire aun si no lo digoabiertamente a estos recientes dos trabajos de Brousseau y aotros trabajos suyos todos estos citados en la bibliografia Algunasde las frases que siguen fueron tomadas libremente de estostextos sin cambiar el espiritu Para no hacer pesado el texto nocitare siempre los trabajos de Brousseau lo que hare solo enalgunas ocasiones
Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull En nuestro campo de investigacionuna es un conjunto deconvicciones de conocimientos y de saberes cientificosque tienden a decir cuales son los conocimientos de losindividuos o de los grupos de personas sufuncionamiento las formas de establecer su validez deadquirirlas y por tanto de ensenarlas y de aprenderlas laepistemologia es un tentativo de identificar y de unificardiversas concepciones epistemologicas relativas a unadeterminada ciencia a un determinado movimientoideologico a grupos de personas a instituciones o a
culturas
Conceptos Clavesbull Por entendemos un conjunto de conocimientos o de
actitudes reproducibles adquiridos a traves del estudios o de laexperiencia
En el ambito de la psicologia cognitiva se distinguen los saberes delos conocimientos
bull Los los saberes son datos conceptos procesos ometodos que existen fuera del individuo que conoce y que songeneralmente codificados en obras de referencia manualesenciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparablesdel individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomandoconciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didactico este es amplio y puedetener origen en varias raices una de las cuales tiene sede en eldebate entre
iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacutetica
ndash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacutendel conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacutende ensentildeanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)
ndash la organizacioacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje relevantes paratal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacutenautores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantesque organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)
ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de losdiferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar losfenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensentildeanza y aprendizaje Nose reduce a buscar una buena forma de ensentildear una determinadanocioacuten(Douady)
ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y deadquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de lasciencias cercanas con las cuales se interactuacutea (Vergnaud)
ndash Es la disciplina cientiacutefica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo esidentificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos quecondicionan la ensentildeanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull La didactica de la matematica (que para nosotros es un aspecto de la masgeneral educacion matematica) es el quepueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matematico por parte delindividuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividaduna persona una institucion un sistema o incluso un animal)
bull El aprendizaje se considera aquiacute como un(por tanto de prestaciones) que senalan a un observador
predeterminado segun en juego que este primer sujeto dispone de unconocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o decompetencias) lo que implica la gestion de diversos registros de representacionla creacion de convicciones especificas el uso de diversos lenguajes el dominiode un conjunto de referencias idoneas de pruebas de justificaciones y deobligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accion yreproducidas intencionalmente Se habla en este caso de practicas didacticas4
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Estas son tambien ldquocondicionesrdquo y por tanto a suvez objeto de estudio La didactica se presenta entonces como elestudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivasrealizaciones
bull Los -de tipo experimental- en este campo necesitande la explicitacion de conceptos y de metodos que deben ser sometidosa exigencias de verificacion de la coherencia y de adecuacion a laespecifica contingencia Ciertas teorias como por ejemplo la teoria delas situaciones didacticas tienen por objeto evidenciar los aspectos queestudia la didactica
bull Entre los objetos de estudio de la didactica un papel absolutamentefundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio oentorno
Educacioacuten Matemaacutetica
bull La educacioacuten matemaacutetica es un teacutermino que serefiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica yensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como a uncampo de la sobreesta praacutectica Los investigadores en educacioacutenmatemaacutetica en primera instancia cuestionan lasherramientas meacutetodos y enfoques que facilitenla praacutectica yo el estudio de la praacutectica
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull La epistemologiacutea (del griego ἐπιστήμη (episteme)conocimiento y λόγος (logos) estudio) es la rama de lafilosofiacutea cuyo objeto de
bull La epistemologiacutea como teoriacutea del conocimiento se ocupade problemas tales como las
que llevan a la obtencioacuten delconocimiento y los criterios por los cuales se le justifica oinvalida asiacute como la definicioacuten clara y precisa de losconceptos episteacutemicos maacutes usuales tales como verdadobjetividad realidad o justificacioacuten La epistemologiacuteaencuentra ya sus primeras formas en la Grecia Antiguaprimero en filoacutesofos como Parmeacutenides o Platoacuten
Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull El termino ldquoepistemologiardquo es parte de la didactica de lamatematica a inicio de los anos rsquo60 portando con si las diferentesacepciones que lo acompanan y que conducen a diversasldquodefinicionesrdquo e interpretaciones en cada pais y en multiplessituaciones
bull Mientras reenvio a Brousseau (2006a b) para un analisiscomparado y critico de dicho termino y de sus diversas exigenciashago explicito el hecho que me referire aun si no lo digoabiertamente a estos recientes dos trabajos de Brousseau y aotros trabajos suyos todos estos citados en la bibliografia Algunasde las frases que siguen fueron tomadas libremente de estostextos sin cambiar el espiritu Para no hacer pesado el texto nocitare siempre los trabajos de Brousseau lo que hare solo enalgunas ocasiones
Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull En nuestro campo de investigacionuna es un conjunto deconvicciones de conocimientos y de saberes cientificosque tienden a decir cuales son los conocimientos de losindividuos o de los grupos de personas sufuncionamiento las formas de establecer su validez deadquirirlas y por tanto de ensenarlas y de aprenderlas laepistemologia es un tentativo de identificar y de unificardiversas concepciones epistemologicas relativas a unadeterminada ciencia a un determinado movimientoideologico a grupos de personas a instituciones o a
culturas
Conceptos Clavesbull Por entendemos un conjunto de conocimientos o de
actitudes reproducibles adquiridos a traves del estudios o de laexperiencia
En el ambito de la psicologia cognitiva se distinguen los saberes delos conocimientos
bull Los los saberes son datos conceptos procesos ometodos que existen fuera del individuo que conoce y que songeneralmente codificados en obras de referencia manualesenciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparablesdel individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomandoconciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didactico este es amplio y puedetener origen en varias raices una de las cuales tiene sede en eldebate entre
iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacutetica
ndash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacutendel conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacutende ensentildeanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)
ndash la organizacioacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje relevantes paratal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacutenautores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantesque organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)
ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de losdiferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar losfenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensentildeanza y aprendizaje Nose reduce a buscar una buena forma de ensentildear una determinadanocioacuten(Douady)
ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y deadquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de lasciencias cercanas con las cuales se interactuacutea (Vergnaud)
ndash Es la disciplina cientiacutefica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo esidentificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos quecondicionan la ensentildeanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull La didactica de la matematica (que para nosotros es un aspecto de la masgeneral educacion matematica) es el quepueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matematico por parte delindividuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividaduna persona una institucion un sistema o incluso un animal)
bull El aprendizaje se considera aquiacute como un(por tanto de prestaciones) que senalan a un observador
predeterminado segun en juego que este primer sujeto dispone de unconocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o decompetencias) lo que implica la gestion de diversos registros de representacionla creacion de convicciones especificas el uso de diversos lenguajes el dominiode un conjunto de referencias idoneas de pruebas de justificaciones y deobligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accion yreproducidas intencionalmente Se habla en este caso de practicas didacticas4
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Estas son tambien ldquocondicionesrdquo y por tanto a suvez objeto de estudio La didactica se presenta entonces como elestudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivasrealizaciones
bull Los -de tipo experimental- en este campo necesitande la explicitacion de conceptos y de metodos que deben ser sometidosa exigencias de verificacion de la coherencia y de adecuacion a laespecifica contingencia Ciertas teorias como por ejemplo la teoria delas situaciones didacticas tienen por objeto evidenciar los aspectos queestudia la didactica
bull Entre los objetos de estudio de la didactica un papel absolutamentefundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio oentorno
Educacioacuten Matemaacutetica
bull La educacioacuten matemaacutetica es un teacutermino que serefiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica yensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como a uncampo de la sobreesta praacutectica Los investigadores en educacioacutenmatemaacutetica en primera instancia cuestionan lasherramientas meacutetodos y enfoques que facilitenla praacutectica yo el estudio de la praacutectica
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull El termino ldquoepistemologiardquo es parte de la didactica de lamatematica a inicio de los anos rsquo60 portando con si las diferentesacepciones que lo acompanan y que conducen a diversasldquodefinicionesrdquo e interpretaciones en cada pais y en multiplessituaciones
bull Mientras reenvio a Brousseau (2006a b) para un analisiscomparado y critico de dicho termino y de sus diversas exigenciashago explicito el hecho que me referire aun si no lo digoabiertamente a estos recientes dos trabajos de Brousseau y aotros trabajos suyos todos estos citados en la bibliografia Algunasde las frases que siguen fueron tomadas libremente de estostextos sin cambiar el espiritu Para no hacer pesado el texto nocitare siempre los trabajos de Brousseau lo que hare solo enalgunas ocasiones
Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull En nuestro campo de investigacionuna es un conjunto deconvicciones de conocimientos y de saberes cientificosque tienden a decir cuales son los conocimientos de losindividuos o de los grupos de personas sufuncionamiento las formas de establecer su validez deadquirirlas y por tanto de ensenarlas y de aprenderlas laepistemologia es un tentativo de identificar y de unificardiversas concepciones epistemologicas relativas a unadeterminada ciencia a un determinado movimientoideologico a grupos de personas a instituciones o a
culturas
Conceptos Clavesbull Por entendemos un conjunto de conocimientos o de
actitudes reproducibles adquiridos a traves del estudios o de laexperiencia
En el ambito de la psicologia cognitiva se distinguen los saberes delos conocimientos
bull Los los saberes son datos conceptos procesos ometodos que existen fuera del individuo que conoce y que songeneralmente codificados en obras de referencia manualesenciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparablesdel individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomandoconciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didactico este es amplio y puedetener origen en varias raices una de las cuales tiene sede en eldebate entre
iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacutetica
ndash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacutendel conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacutende ensentildeanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)
ndash la organizacioacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje relevantes paratal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacutenautores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantesque organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)
ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de losdiferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar losfenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensentildeanza y aprendizaje Nose reduce a buscar una buena forma de ensentildear una determinadanocioacuten(Douady)
ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y deadquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de lasciencias cercanas con las cuales se interactuacutea (Vergnaud)
ndash Es la disciplina cientiacutefica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo esidentificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos quecondicionan la ensentildeanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull La didactica de la matematica (que para nosotros es un aspecto de la masgeneral educacion matematica) es el quepueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matematico por parte delindividuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividaduna persona una institucion un sistema o incluso un animal)
bull El aprendizaje se considera aquiacute como un(por tanto de prestaciones) que senalan a un observador
predeterminado segun en juego que este primer sujeto dispone de unconocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o decompetencias) lo que implica la gestion de diversos registros de representacionla creacion de convicciones especificas el uso de diversos lenguajes el dominiode un conjunto de referencias idoneas de pruebas de justificaciones y deobligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accion yreproducidas intencionalmente Se habla en este caso de practicas didacticas4
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Estas son tambien ldquocondicionesrdquo y por tanto a suvez objeto de estudio La didactica se presenta entonces como elestudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivasrealizaciones
bull Los -de tipo experimental- en este campo necesitande la explicitacion de conceptos y de metodos que deben ser sometidosa exigencias de verificacion de la coherencia y de adecuacion a laespecifica contingencia Ciertas teorias como por ejemplo la teoria delas situaciones didacticas tienen por objeto evidenciar los aspectos queestudia la didactica
bull Entre los objetos de estudio de la didactica un papel absolutamentefundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio oentorno
Educacioacuten Matemaacutetica
bull La educacioacuten matemaacutetica es un teacutermino que serefiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica yensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como a uncampo de la sobreesta praacutectica Los investigadores en educacioacutenmatemaacutetica en primera instancia cuestionan lasherramientas meacutetodos y enfoques que facilitenla praacutectica yo el estudio de la praacutectica
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Epistemologiacutea y Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull En nuestro campo de investigacionuna es un conjunto deconvicciones de conocimientos y de saberes cientificosque tienden a decir cuales son los conocimientos de losindividuos o de los grupos de personas sufuncionamiento las formas de establecer su validez deadquirirlas y por tanto de ensenarlas y de aprenderlas laepistemologia es un tentativo de identificar y de unificardiversas concepciones epistemologicas relativas a unadeterminada ciencia a un determinado movimientoideologico a grupos de personas a instituciones o a
culturas
Conceptos Clavesbull Por entendemos un conjunto de conocimientos o de
actitudes reproducibles adquiridos a traves del estudios o de laexperiencia
En el ambito de la psicologia cognitiva se distinguen los saberes delos conocimientos
bull Los los saberes son datos conceptos procesos ometodos que existen fuera del individuo que conoce y que songeneralmente codificados en obras de referencia manualesenciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparablesdel individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomandoconciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didactico este es amplio y puedetener origen en varias raices una de las cuales tiene sede en eldebate entre
iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacutetica
ndash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacutendel conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacutende ensentildeanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)
ndash la organizacioacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje relevantes paratal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacutenautores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantesque organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)
ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de losdiferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar losfenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensentildeanza y aprendizaje Nose reduce a buscar una buena forma de ensentildear una determinadanocioacuten(Douady)
ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y deadquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de lasciencias cercanas con las cuales se interactuacutea (Vergnaud)
ndash Es la disciplina cientiacutefica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo esidentificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos quecondicionan la ensentildeanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull La didactica de la matematica (que para nosotros es un aspecto de la masgeneral educacion matematica) es el quepueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matematico por parte delindividuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividaduna persona una institucion un sistema o incluso un animal)
bull El aprendizaje se considera aquiacute como un(por tanto de prestaciones) que senalan a un observador
predeterminado segun en juego que este primer sujeto dispone de unconocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o decompetencias) lo que implica la gestion de diversos registros de representacionla creacion de convicciones especificas el uso de diversos lenguajes el dominiode un conjunto de referencias idoneas de pruebas de justificaciones y deobligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accion yreproducidas intencionalmente Se habla en este caso de practicas didacticas4
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Estas son tambien ldquocondicionesrdquo y por tanto a suvez objeto de estudio La didactica se presenta entonces como elestudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivasrealizaciones
bull Los -de tipo experimental- en este campo necesitande la explicitacion de conceptos y de metodos que deben ser sometidosa exigencias de verificacion de la coherencia y de adecuacion a laespecifica contingencia Ciertas teorias como por ejemplo la teoria delas situaciones didacticas tienen por objeto evidenciar los aspectos queestudia la didactica
bull Entre los objetos de estudio de la didactica un papel absolutamentefundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio oentorno
Educacioacuten Matemaacutetica
bull La educacioacuten matemaacutetica es un teacutermino que serefiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica yensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como a uncampo de la sobreesta praacutectica Los investigadores en educacioacutenmatemaacutetica en primera instancia cuestionan lasherramientas meacutetodos y enfoques que facilitenla praacutectica yo el estudio de la praacutectica
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Conceptos Clavesbull Por entendemos un conjunto de conocimientos o de
actitudes reproducibles adquiridos a traves del estudios o de laexperiencia
En el ambito de la psicologia cognitiva se distinguen los saberes delos conocimientos
bull Los los saberes son datos conceptos procesos ometodos que existen fuera del individuo que conoce y que songeneralmente codificados en obras de referencia manualesenciclopedias diccionarios los conocimientos son inseparablesdel individuo que conoce es decir no existe un conocimiento a-personal una persona que interioriza un saber tomandoconciencia transforma este saber en conocimientoVolvamos ahora al discurso didactico este es amplio y puedetener origen en varias raices una de las cuales tiene sede en eldebate entre
iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacutetica
ndash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacutendel conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacutende ensentildeanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)
ndash la organizacioacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje relevantes paratal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacutenautores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantesque organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)
ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de losdiferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar losfenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensentildeanza y aprendizaje Nose reduce a buscar una buena forma de ensentildear una determinadanocioacuten(Douady)
ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y deadquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de lasciencias cercanas con las cuales se interactuacutea (Vergnaud)
ndash Es la disciplina cientiacutefica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo esidentificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos quecondicionan la ensentildeanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull La didactica de la matematica (que para nosotros es un aspecto de la masgeneral educacion matematica) es el quepueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matematico por parte delindividuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividaduna persona una institucion un sistema o incluso un animal)
bull El aprendizaje se considera aquiacute como un(por tanto de prestaciones) que senalan a un observador
predeterminado segun en juego que este primer sujeto dispone de unconocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o decompetencias) lo que implica la gestion de diversos registros de representacionla creacion de convicciones especificas el uso de diversos lenguajes el dominiode un conjunto de referencias idoneas de pruebas de justificaciones y deobligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accion yreproducidas intencionalmente Se habla en este caso de practicas didacticas4
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Estas son tambien ldquocondicionesrdquo y por tanto a suvez objeto de estudio La didactica se presenta entonces como elestudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivasrealizaciones
bull Los -de tipo experimental- en este campo necesitande la explicitacion de conceptos y de metodos que deben ser sometidosa exigencias de verificacion de la coherencia y de adecuacion a laespecifica contingencia Ciertas teorias como por ejemplo la teoria delas situaciones didacticas tienen por objeto evidenciar los aspectos queestudia la didactica
bull Entre los objetos de estudio de la didactica un papel absolutamentefundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio oentorno
Educacioacuten Matemaacutetica
bull La educacioacuten matemaacutetica es un teacutermino que serefiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica yensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como a uncampo de la sobreesta praacutectica Los investigadores en educacioacutenmatemaacutetica en primera instancia cuestionan lasherramientas meacutetodos y enfoques que facilitenla praacutectica yo el estudio de la praacutectica
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
iquestDidaacutectica o Metodologiacuteabull Didaacutectica de la Matemaacutetica
ndash La didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacutendel conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacutende ensentildeanza es el objetivo de la didaacutectica (Brousseau)
ndash la organizacioacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje relevantes paratal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacutenautores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantesque organizan su propio aprendizaje individual o grupal (Freudenthal)
ndash Es el Estudio de los procesos de transmisioacuten y de adquisicioacuten de losdiferentes contenidos de esta ciencia se propone describir y explicar losfenoacutemenos relativos a las relaciones entre sus ensentildeanza y aprendizaje Nose reduce a buscar una buena forma de ensentildear una determinadanocioacuten(Douady)
ndash La didaacutectica de una disciplina estudia los procesos de transmisioacuten y deadquisicioacuten relativos al dominio especiacutefico de esta disciplinas o de lasciencias cercanas con las cuales se interactuacutea (Vergnaud)
ndash Es la disciplina cientiacutefica y el campo de investigacioacuten cuyo objetivo esidentificar caracterizar y comprender los fenoacutemenos y los procesos quecondicionan la ensentildeanza y el aprendizaje de la matemaacutetica (Drsquo Amore)
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull La didactica de la matematica (que para nosotros es un aspecto de la masgeneral educacion matematica) es el quepueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matematico por parte delindividuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividaduna persona una institucion un sistema o incluso un animal)
bull El aprendizaje se considera aquiacute como un(por tanto de prestaciones) que senalan a un observador
predeterminado segun en juego que este primer sujeto dispone de unconocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o decompetencias) lo que implica la gestion de diversos registros de representacionla creacion de convicciones especificas el uso de diversos lenguajes el dominiode un conjunto de referencias idoneas de pruebas de justificaciones y deobligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accion yreproducidas intencionalmente Se habla en este caso de practicas didacticas4
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Estas son tambien ldquocondicionesrdquo y por tanto a suvez objeto de estudio La didactica se presenta entonces como elestudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivasrealizaciones
bull Los -de tipo experimental- en este campo necesitande la explicitacion de conceptos y de metodos que deben ser sometidosa exigencias de verificacion de la coherencia y de adecuacion a laespecifica contingencia Ciertas teorias como por ejemplo la teoria delas situaciones didacticas tienen por objeto evidenciar los aspectos queestudia la didactica
bull Entre los objetos de estudio de la didactica un papel absolutamentefundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio oentorno
Educacioacuten Matemaacutetica
bull La educacioacuten matemaacutetica es un teacutermino que serefiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica yensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como a uncampo de la sobreesta praacutectica Los investigadores en educacioacutenmatemaacutetica en primera instancia cuestionan lasherramientas meacutetodos y enfoques que facilitenla praacutectica yo el estudio de la praacutectica
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull La didactica de la matematica (que para nosotros es un aspecto de la masgeneral educacion matematica) es el quepueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matematico por parte delindividuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividaduna persona una institucion un sistema o incluso un animal)
bull El aprendizaje se considera aquiacute como un(por tanto de prestaciones) que senalan a un observador
predeterminado segun en juego que este primer sujeto dispone de unconocimiento (o de una competencia) o de un conjunto de conocimientos (o decompetencias) lo que implica la gestion de diversos registros de representacionla creacion de convicciones especificas el uso de diversos lenguajes el dominiode un conjunto de referencias idoneas de pruebas de justificaciones y deobligaciones Estas condiciones deben poder ser puestas en accion yreproducidas intencionalmente Se habla en este caso de practicas didacticas4
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Estas son tambien ldquocondicionesrdquo y por tanto a suvez objeto de estudio La didactica se presenta entonces como elestudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivasrealizaciones
bull Los -de tipo experimental- en este campo necesitande la explicitacion de conceptos y de metodos que deben ser sometidosa exigencias de verificacion de la coherencia y de adecuacion a laespecifica contingencia Ciertas teorias como por ejemplo la teoria delas situaciones didacticas tienen por objeto evidenciar los aspectos queestudia la didactica
bull Entre los objetos de estudio de la didactica un papel absolutamentefundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio oentorno
Educacioacuten Matemaacutetica
bull La educacioacuten matemaacutetica es un teacutermino que serefiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica yensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como a uncampo de la sobreesta praacutectica Los investigadores en educacioacutenmatemaacutetica en primera instancia cuestionan lasherramientas meacutetodos y enfoques que facilitenla praacutectica yo el estudio de la praacutectica
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Estas son tambien ldquocondicionesrdquo y por tanto a suvez objeto de estudio La didactica se presenta entonces como elestudio de tales convicciones bajo forma de proyectos y de efectivasrealizaciones
bull Los -de tipo experimental- en este campo necesitande la explicitacion de conceptos y de metodos que deben ser sometidosa exigencias de verificacion de la coherencia y de adecuacion a laespecifica contingencia Ciertas teorias como por ejemplo la teoria delas situaciones didacticas tienen por objeto evidenciar los aspectos queestudia la didactica
bull Entre los objetos de estudio de la didactica un papel absolutamentefundamental pero en ocasiones subordinado se le asigna al medio oentorno
Educacioacuten Matemaacutetica
bull La educacioacuten matemaacutetica es un teacutermino que serefiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica yensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como a uncampo de la sobreesta praacutectica Los investigadores en educacioacutenmatemaacutetica en primera instancia cuestionan lasherramientas meacutetodos y enfoques que facilitenla praacutectica yo el estudio de la praacutectica
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Educacioacuten Matemaacutetica
bull La educacioacuten matemaacutetica es un teacutermino que serefiere tanto a el aprendizaje como la praacutectica yensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como a uncampo de la sobreesta praacutectica Los investigadores en educacioacutenmatemaacutetica en primera instancia cuestionan lasherramientas meacutetodos y enfoques que facilitenla praacutectica yo el estudio de la praacutectica
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Educacioacuten Matemaacuteticabull De manera maacutes criacutetica la educacioacuten es maacutes que un simple termino
como lo expresa el ilustre pedagogo Rafael Flores Ochoa es elproceso social e intersubjetivo mediante el cual cada sociedadasimila a sus nuevos miembros seguacuten sus propias reglas valorespautas ideologiacuteas tradiciones practicas proyectos y saberescompartidos por la mayoriacutea de la sociedad Maacutes modernamente laeducacioacuten no solo socializa a los individuos sino que tambieacutenrescata en ellos lo maacutes valioso aptitudes creativas e innovadoraslos humaniza y potencia como personas (Hacia una pedagogiacutea delConocimiento 1994 paacuteg 304)
bull Si ademaacutes le agregamos el significado de matemaacutetica expresadapor el ilustre matemaacutetico Bruno Drsquo Amore son una construccioacutenhumana que se utiliza con fines teacutecnicos para la modelizacioacuten denuestro entorno y de aplicacioacuten en la resolucioacuten de problemaspraacutecticos (Didaacutectica de la matemaacutetica 2006 paacuteg 15) laEducacioacuten Matemaacutetica se torna compleja en si misma
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
En Resumen
El termino educacion es mas amplio que didactica
Educacioacuten Matemaacutetica Didaacutectica de la Matemaacutetica
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) todoel sistema de conocimientosinstituciones planes de formacion yfinalidades formativas que conformanuna actividad social compleja ydiversificada relativa a la ensenanza yaprendizaje de las matematicas
Rico Sierra y Castro (2000 p 352) Ladisciplina que estudia e investiga losproblemas que surgen en educacionmatematica y propone actuacionesfundadas para su transformacion
En el mundo anglosajon se emplea la expresion Mathematics Education parareferirse al area de conocimiento que en Francia Alemania Espana etc sedenomina Didactica de la Matematica
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Teoriacuteas maacutes Importantes en la
Didaacutectica de la Matemaacutetica
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
bull Modelizacioacuten y resolucioacuten de problemas
bull Razonamiento matemaacuteticobull Lenguaje y comunicacioacutenbull Estructura internabull Naturaleza relacional de las
matemaacuteticas bull Exactitud y aproximacioacuten bull Transposicioacuten Didaacutecticabull Contrato Didaacutecticobull Obstaacuteculos Epistemoloacutegicosbull Teoriacutea de los Campos Conceptuales bull Situaciones Didaacutectica y A-didaacutecticasbull Ingenieriacutea Matemaacutetica
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
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bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
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bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
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bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMATICAS
En la reflexioacuten sobre las propias concepciones hacia lasmatemaacuteticas habraacuten surgidosobre las matemaacuteticas la actividad matemaacutetica y lacapacidad para aprender matemaacuteticas Pudiera parecer queesta discusioacuten esta muy alejada de los intereses praacutecticos delprofesor interesado fundamentalmente por
(uotro tema) a sus alumnos La preocupacioacuten sobre que es uncierto conocimiento forma parte de la epistemologiacutea oteoriacutea del conocimiento una de las ramas de la filosofiacutea
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemaacuteticas y susaplicaciones y sobre el papel de eacutestas en la ensentildeanza y el aprendizaje podemosidentificar dos concepciones extremas
Una de estas concepciones que fue comun entre muchos matematicos profesionaleshasta hace unos anos considera que el alumno debe adquirir primero las estructurasfundamentales de las matematicas de forma axiomatica Se supone que una vezadquirida esta base sera facil que el alumno por si solo pueda resolver las aplicacionesy problemas que se le presenten
La matematica pura y la aplicada serian dos disciplinas distintas y las estructurasmatematicas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad
Esta concepcion de las matematicas se designa como idealista-platonica Con estaconcepcion es sencillo construir un curriculo puesto que no hay que preocuparse porlas aplicaciones en otras areas Estas aplicaciones se ldquofiltrarianrdquo abstrayendo losconceptos propiedades y teoremas matematicos para constituir un dominiomatematico ldquopurordquo
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Concepcion constructivista
Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haber unaestrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo elcurriculo Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cadaparte de las matematicas antes de que les sea presentada Los alumnos deberianser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen una ciertanecesidad
La elaboracion de un curriculo de acuerdo con la concepcion constructivista escompleja porque ademas de conocimientos matematicos requiere conocimientossobre otros campos Las estructuras de las ciencias fisicas biologicas sociales sonrelativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay un isomorfismocon las estructuras puramente matematicas Hay una abundancia de materialdisperso sobre aplicaciones de las matematicas en otras areas pero la tarea deseleccion secuenciacion e integracion no es sencilla
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
MATEMATICAS Y
SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matematicas que queremosensenar y la forma de llevar a cabo esta ensenanza debemosreflexionar sobre dos fines importantes de esta ensenanza
Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar elpapel de las matematicas en la sociedad incluyendo sus diferentescampos de aplicacion y el modo en que las matematicas hancontribuido a su desarrollo
Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar elmetodo matematico esto es la clase de preguntas que un usointeligente de las matematicas permite responder las formasbasicas de razonamiento y del trabajo matematico asi como supotencia y limitaciones
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
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bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
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bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
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bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
iquestCOMO SURGEN LAS MATEMATICAS ALGUNAS NOTAS HISTORICAS
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modeloscientificos toman parte en el proceso de modelizacion de la realidad y en muchasocasiones han servido como medio de validacion de estos modelos Por ejemplo hansido calculos matematicos los que permitieron mucho antes de que pudiesen serobservados el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestrosistema solar
Sin embargo la evolucion de las matematicas no solo se ha producido poracumulacion de conocimientos o de campos de aplicacion Los propios conceptosmatematicos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempoampliandolo precisandolo o revisandolo adquiriendo relevancia o por el contrariosiendo relegados a segundo plano
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
MATEMATICAS EN LA VIDA COTIDIANA CULTURA MATEMATICA
Uno de los fines de laeducacion es formarciudadanos cultos pero elconcepto de cultura escambiante y se amplia cada vezmas en la sociedad modernaCada vez mas se reconoce elpapel cultural de lasmatematicas y la educacionmatematica tambien tienecomo fin proporcionar estacultura El objetivo principal noes convertir a los futurosciudadanos en ldquomatematicosaficionadosrdquo tampoco se tratade capacitarlos en calculoscomplejos puesto que losordenadores hoy dia resuelveneste problema
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentesinterrelacionados
a) Capacidad para interpretar y evaluar criticamente la informacionmatematica y los argumentos apoyados en datos que las personaspueden encontrar en diversos contextos incluyendo los medios decomunicacion o en su trabajo profesional
a) Capacidad para discutir o comunicar informacion matematicacuando sea relevante y competencia para resolver los problemasmatematicos que encuentre en la vida diaria o en el trabajoprofesional
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
MODELIZACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS
El dar un papel primordial a la resolucion deproblemas y a la actividad de modelizacion tieneimportantes repercusiones desde el punto de vistaeducativo Seria cuanto menos contradictorio con lagenesis historica de las matematicas al igual que consus aplicaciones actuales presentar las matematicasa los alumnos como algo cerrado completo y alejadode la realidad Debe tenerse en cuenta por unaparte que determinados conocimientosmatematicos permiten modelizar y resolverproblemas de otros campos y por otra que amenudo estos problemas no estrictamentematematicos en su origen proporcionan la baseintuitiva sobre la que se elaboran nuevosconocimientos matematicos
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
1 En el siguiente problema iquestcual es el conocimiento matematicoque permite resolverlo iquestQue significado intuitivo permiteconstruir sobre dicho conocimiento Inventa otros problemassencillos que permitan construir un significado diferenciado parael conocimiento en cuestion
Problema Unos ninos llevan a clase caramelos Andres lleva 5 Maria8 Jose 6 Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno iquestComo repartir loscaramelos de forma equitativa
2 iquestQue contenidos matematicos serian utiles para resolver lossiguientes tipos de problemas
1113088 Construir a escala la maqueta de un edificioDeterminar en forma aproximada la altura de una torre desde elsuelo Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo sincontarlas todas
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Desde el punto de vista de la ensenanza de las matematicas lasreflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos delos alumnos No podemos proponer los mismos problemas a unmatematico a un adulto a un adolescente o a un nino porque susnecesidades son diferentes Hay que tener claro que la realidad de losalumnos incluye su propia percepcion del entorno fisico y social ycomponentes imaginadas y ludicas que despiertan su interes enmayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales queinteresan al adulto
En consecuencia la activacion del conocimiento matematicomediante la resolucion de problemas reales no se consiguetraspasando de forma mecanica situaciones reales aunque seanmuy pertinentes y significativas para el adulto ya que estas pueden nointeresar a los alumnos
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
RAZONAMIENTO MATEMATICO
RAZONAMIENTO EMPIRICO-INDUCTIVO
El proceso historico de construccion de las matematicas nos muestra laimportancia del razonamiento empirico-inductivo que en muchos casosdesempena un papel mucho mas activo en la elaboracion de nuevos conceptosque el razonamiento deductivoEsta afirmacion describe tambien la forma en que trabajan los matematicosquienes no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos losejemplos y contraejemplos la solucion de un caso particular la posibilidad demodificar las condiciones iniciales y ver que sucede etc son las autenticaspistas para elaborar proposiciones y teorias Esta fase intuitiva es la queconvence intimamente al matematico de que el proceso de construccion delconocimiento va por buen camino La deduccion formal suele aparecer casisiempre en una fase posteriorEsta constatacion se opone frontalmente a la tendencia facilmente observableen algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a unsegundo plano tendencia que priva a los alumnos del mas poderosoinstrumento de exploracion y construccion del conocimiento matematico
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
bull Deduccioacuten es una secuencia finita de foacutermulas de las
cuales la uacuteltima es designada como la conclusioacuten (la conclusioacuten de la deduccioacuten) y todas las foacutermulas en la secuencia son o bien axiomas o bien premisas o bien inferencias directas a partir de foacutermulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia
1
bull Induccioacuten un tipo de razonamiento en que la verdad de
las premisas brinda apoyo a la verdad de la conclusioacuten pero no la garantiza
2
bull Empiacuterico Conocimiento basado en la experiencia
experimentacioacuten e investigacioacuten y en uacuteltimo teacutermino en la percepcioacuten pues nos dice queacute es lo que existe y cuaacuteles son sus caracteriacutesticas pero no nos dice que algo deba ser necesariamente asiacute y no de otra forma tampoco nos da verdadera universalidad Consiste en todo lo que se sabe y que es repetido continuamente teniendo o sin tener un conocimiento cientiacutefico
3
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
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Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
bull Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar elnumero total de estos en cada uno de los cuadrados obtenemos losllamados numeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodrias escribir los primeros 10 numeros cuadradosb) Llamaremos Cn al numero cuadrado cuya base esta formada por n puntos iquestPuedes encontrar una expresion general para Cn c) iquestPuedes dar algun tipo de razonamiento que la justifique
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
bull Repite el proceso para los numeros triangulares
Perspectiva educativa de las matemaacuteticas
En consecuencia la activacioacuten del conocimiento matemaacutetico mediante la resolucioacuten
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecaacutenica situaciones reales
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto ya que eacutestas pueden no
interesar a los alumnos
32 Razonamiento matemaacutetico
Razonamiento empiacuterico-inductivo
El proceso histoacuterico de construccioacuten de las matemaacuteticas nos muestra la importancia
del razonamiento empiacuterico-inductivo que en muchos casos desempentildea un papel mucho
maacutes activo en la elaboracioacuten de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo
Esta afirmacioacuten describe tambieacuten la forma en que trabajan los matemaacuteticos quienes
no formulan un teorema ldquoa la primerardquo Los tanteos previos los ejemplos y
contraejemplos la solucioacuten de un caso particular la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver queacute sucede etc son las auteacutenticas pistas para elaborar
proposiciones y teoriacuteas Esta fase intuitiva es la que convence iacutentimamente al
matemaacutetico de que el proceso de construccioacuten del conocimiento va por buen camino La
deduccioacuten formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior
Esta constatacioacuten se opone frontalmente a la tendencia faacutecilmente observable en
algunas propuestas curriculares a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano tendencia que priva a los alumnos del maacutes poderoso instrumento de exploracioacuten
y construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
9 Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el nuacutemero total de eacutestos en
cada uno de los cuadrados obtenemos los llamados nuacutemeros cuadrados 1 4 9 16
a) iquestPodriacuteas escribir los primeros 10 nuacutemeros cuadrados
b) Llamaremos Cn al nuacutemero cuadrado cuya base estaacute formada por n puntos iquestPuedes
encontrar una expresioacuten general para Cn
c) iquestPuedes dar alguacuten tipo de razonamiento que la justifique
10 Repite el proceso para los nuacutemeros triangulares
11 Analiza el papel del razonamiento empiacuterico-inductivo y deductivo en la resolucioacuten de
los problemas anteriores
27
Analiza el papel del razonamiento empirico-inductivo y deductivo en la resolucion de los problemas anteriores
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
FORMALIZACION Y ABSTRACCION
Desde una perspectiva pedagogica -y tambien epistemologica- esimportante diferenciar el proceso de construccion del conocimientomatematico de las caracteristicas de dicho conocimiento en un estadoavanzado de elaboracion La formalizacion precision y ausencia deambiguedad del conocimiento matematico debe ser la fase final de unlargo proceso de aproximacion a la realidad de construccion deinstrumentos intelectuales eficaces para conocerla analizarla y
transformarla
Ciertamente como ciencia constituida las matematicas se caracterizan porsu precision por su caracter formal y abstracto por su naturaleza deductivay por su organizacion a menudo axiomatica Sin embargo tanto en lagenesis historica como en su apropiacion individual por los alumnos laconstruccion del conocimiento matematico es inseparable de la actividadconcreta sobre los objetos de la intuicion y de las aproximacionesinductivas activadas por la realizacion de tareas y la resolucion deproblemas particulares La experiencia y comprension de las nocionespropiedades y relaciones matematicas a partir de la actividad real es almismo tiempo un paso previo a la formalizacion y una condicion necesariapara interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades queencierra dicha formalizacion
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Las como el resto de las disciplinas cientificas aglutinan unconjunto de conocimientos con unas caracteristicas propias y unadeterminada estructura y organizacion internas Lo que confiere uncaracter distintivo al conocimiento matematico es su enorme podercomo instrumento de comunicacion conciso y sin ambiguedades Graciasa la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica(numeros letras tablas graficos etc) las matematicas son utiles pararepresentar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversaponiendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamenteobservables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones oresultados que todavia no se han producido
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Ejemplo
Un numero par se puede escribir como 2n Esta expresion es equivalentea (n+1)+(n-1) Pero esta ultima expresion nos da una nueva informacionya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos
Seria sin embargo erroneo o al menos superficial suponer que estacapacidad del conocimiento matematico para representar explicar ypredecir hechos situaciones y resultados es simplemente unaconsecuencia de la utilizacion de notaciones simbolicas precisas einequivocas en cuanto a las informaciones que permiten representar Enrealidad si las notaciones simbolicas pueden llegar a desempenarefectivamente estos papeles es debido a la propia naturaleza delconocimiento matematico que esta en su base y al que sirven de soporte
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Identifica los diferentes medios de expresion en los textos con que setrabaja en el aula(terminos simbolos graficas diagramas) Da ejemplosde los conceptos implicitos y explicitos a que hacen referencias iquestComose representan los diferentes conceptosiquestComo podemos comunicar las matematicas a alumnos condiscapacidad como ceguera disminucioacuten motriz etc iquestPiensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de lasmatematicas debido a su carencia
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
ESTRUCTURA INTERNA
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningun casoignorar que como cualquier otra disciplina cientifica las matematicastienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentespartes Mas aun en el caso de las matematicas esta estructura esespecialmente rica y significativaHay una componente vertical en esta estructura la que fundamenta unosconceptos en otros que impone una determinada secuencia temporal enel aprendizaje y que obliga en ocasiones a trabajar algunos aspectos conla unica finalidad de poder integrar otros que son los que se consideranverdaderamente importantes desde un punto de vista educativo
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
LA MATEMATIZACIOacuteN HORIZONTALNos lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generalesbull ESQUEMATIZARbull FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias manerasbull DESCUBRIR relaciones y regularidadesbull RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemasbull TRANSFERIR un problema real a uno matemaacuteticobull TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
LA MATEMATIZACIOacuteN VERTICALConsiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos
bull REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermulabull UTILIZAR diferentes modelosbull REFINAR y AJUSTAR modelosbull COMBINAR e INTEGRAR modelosbull PROBAR regularidadesbull FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevobull GENERALIZAR
iquest Con queacute acciones reales hacemos esto en el aula
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Sin embargo interesa destacar una vez mas que casi nunca existe un caminounico ni tan siquiera uno claramente mejor y si lo hay tiene unafundamentacion mas de tipo pedagogico que epistemologico Por el contrariodeterminadas concepciones sobre la estructura interna de las matematicaspueden llegar incluso a ser funestas para el aprendizaje de las mismas comoha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda lamatematica escolar en la teoria de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos numericos numerosracionales numeros naturales numeros enteros numerosdecimales numeros primos iquestComo se relacionan entre siiquestPor que en los disenos curriculares se contempla unaensenanza ciclica de algunos conceptos Identifica algunosconceptos que aparezcan ciclicamente en los diferentesniveles de la educacion primaria
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
NATURALEZA RELACIONAL
El conocimiento logico-matematico hunde sus raices en lacapacidad del ser humano para establecer relaciones entrelos objetos o situaciones a partir de la actividad que ejercesobre los mismos y muy especialmente en su capacidadpara abstraer y tomar en consideracion dichas relaciones endetrimento de otras igualmente presentes
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Ejemplo
En las frases ldquoA es mas grande que Brdquo A mide tres centimetros mas que BrdquoldquoB mide tres centimetros menos que A etc no expresamos una propiedadde los objetos A y B en si mismos sino la relacion existente entre unapropiedad -el tamano- que comparten ambos objetos y que precisamente esel resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne a estapropiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma masadensidad volumen etc)Las relaciones mas grande que mas pequeno que tres centimetros mas quetres centimetros menos que etc son pues verdaderas construccionesmentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos Incluso lareferencia a los objetos A y B como grande y pequeno supone una actividadde comparacion con elementos mas difusos como pueden ser objetossimilares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimiento matematicoimplica la construccion de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobrelos objetos Las matematicas son pues mas constructivas que deductivasdesde la perspectiva de su elaboracion y adquisicion Si desligamos elconocimiento matematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemos toda supotencialidad como instrumento de representacion explicacion y prediccion
Otra implicacion curricular de la naturaleza relacional de las matematicas es laexistencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse encampos distintos y con propositos diferentes
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Ejemplo
Numerar contar ordenar clasificar simbolizar inferir etcson herramientas igualmente utiles en geometria y enestadisticaPara que los alumnos puedan percibir esta similitud deestrategias y procedimientos y su utilidad desde opticasdistintas es necesario dedicarles una atencion especialseleccionando cuidadosamente los contenidos de laensenanza
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
EXACTITUD Y APROXIMACION
Una caracteristica adicional de las matematicas que ha idohaciendose cada vez mas patente a lo largo de su desarrollohistorico es la dualidad desde la que permite contemplar larealidad Por un lado la matematica es una ldquociencia exactardquo losresultados de una operacion una transformacion son univocos
Por otro al comparar la modelizacion matematica de un ciertohecho de la realidad siempre es aproximada porque el modelonunca es exacto a la realidad Si bien algunos aspectos de estadualidad aparecen ya en las primeras experiencias matematicasde los alumnos otros lo hacen mas tarde
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
Es frecuente que las propuestas curriculares potencienexclusivamente una cara de la moneda la que se ajustamejor a la imagen tradicional de las matematicas comociencia exacta Asi por ejemplo se prefiere la matematica dela certeza (ldquosirdquo o ldquonordquo ldquoverdaderordquo o ldquofalsordquo) a la de laprobabilidad (ldquoes posible que ldquo ldquocon un nivel designificacion de ldquo) la de la exactitud (ldquola diagonal mideradic2rdquo ldquoel area de un circulo es πr2rdquo) a la de la estimacion(ldquome equivoco como mucho en una decimardquo ldquola proporcionaurea es aproximadamente 53rdquo )
Las matematicas escolares deben potenciar estos doblesenfoques y ello no solo por la riqueza intrinseca queencierran sino porque los que han sido relegados hastaahora a un segundo plano tienen una especial incidencia enlas aplicaciones actuales de las matematicas
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
iquestEs posible medir con exactitud la longitud de una costa iquestlacantidad de agua embalsada en un pantano iquestel nivel deruido ambiental Pon otros ejemplos en que la medida solopuede ser aproximada iquestQue interes tiene en estos casos unvalor aproximado de la medida
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
CONTENIDOS MATEMATICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS Y ACTITUDES
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Matematicas y su Didactica para Maestroswwwugres~jgodinoedumat-maestroswelcomehtm
bull La Didaacutectica de las Matemaacuteticas (NTI RTEE)wwwgobiernodecanariasorgeducacionrteedidmathtm
bull Didaacutectica de la MatemaacuteticaNora Cabanne 2007 Editoria Bonum
bull Didactica De La Matematica En La Educacion Primaria InterculturalCristina Jurado 1993 Series Pedagoacutegicas didaacutecticas
bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
En el Curriculum acadeacutemico se entiende por contenidoescolar tanto los que habitualmente se han consideradocontenidos los de tipo conceptual como otros que hanestado mas ausentes de los planes de estudio y que nopor ello son menos importantes contenidos relativos aprocedimientos y a normas valores y actitudes En laescuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tiposde contenidos Todo contenido que se aprende estambien susceptible de ser ensenado y se considera tannecesario planificar la intervencion con respecto a loscontenidos de tipo conceptual como planificarla conrelacion a los otros tipos de contenido
En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
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En el Curriculum se encuentran tres apartados distintos lostres tipos de contenido El primero de ellos es el quepresenta los conceptos hechos y principios Los hechos yconceptos han estado siempre presentes en los programasescolares no tanto los principios Por principios seentiende enunciados que describen como los cambios quese producen en un objeto o situacion se relacionan con loscambios que se producen en otro objeto o situacion
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
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El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientosUn procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas orientadas a laconsecucion de una meta Se puede hablar de procedimientos mas omenos generales en funcion del numero de acciones o pasos implicadosen su realizacion de la estabilidad en el orden de estos pasos y del tipode meta al que van dirigidos En los contenidos de procedimientos seindican contenidos que tambien caben bajo la denominacion dedestrezasrsquorsquo tecnicasrsquorsquo o ldquoestrategiasrsquorsquo ya que todos estos terminosaluden a las caracteristicas senaladas como definitorias de unprocedimiento Sin embargo pueden diferenciarse en algunos casos eneste apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezasmas generales que exigen para su aprendizaje otras tecnicas masespecificas relacionadas con contenidos concretos
APLICACIOacuteN 1 La suma de numeros naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje del procedimiento y del concepto en este caso particular
2 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de numeros naturales
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
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La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
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Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
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bull Didaacutectica de Las Matemaacuteticas Cuestiones Teoriacutea y Praacutectica en el AulaAntony Orton 1996 Ediciones Morata ministerio de Educacion de Espantildea Cuarta edicioacuten
El ultimo apartado que aparece en todos los bloques de contenido es el quese refiere a los valores normas y actitudes La pertinencia o no de incluir estetipo de contenido en el diseno curricular puede suscitar alguna duda Haypersonas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores yunas normas y actitudes para todos los alumnos Desde esta propuestacurricular se pretende en cambio que los profesores programen y trabajenestos contenidos tanto como los demas ya que de hecho los alumnosaprenden valores normas y actitudes en la escuela La unica diferencia quese considera en esta propuesta una ventaja es que ese aprendizaje no seproducira de una manera no planificada formando parte del curriculo ocultosino que la escuela intervendra intencionalmente favoreciendo las situacionesde ensenanza que aseguraran el desarrollo de los valores normas y actitudesque a partir de las cuatro fuentes del curriculo pero especialmente de lafuente sociologica se consideren oportunas
PARA ANALIZAR iquestComo crees que se forman las actitudesnegativas hacia las matematicas iquestComo se ponen de manifiestoEntrega al menos dos ejemplos donde tuacute has presentado unaactitud positiva y una actitud negativa frente al aula
PARA RECORDAR
La entre contenidos y es en primer lugar y sobre
todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
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todo de naturaleza pedagogica Es decir llama la atencion sobre laconveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manerade trabajar los contenidos seleccionados Esta es la razon por lacual en ocasiones un mismo contenido aparece repetido en lastres categorias la repeticion en este caso traduce la ideapedagogica de que el contenido en cuestion debe ser abordadoconvergentemente desde una perspectiva conceptualprocedimental y actitudinal En otras ocasiones sin embargo undeterminado contenido aparece unicamente en una u otra de lastres categorias con ello se sugiere que dicho contenido por sunaturaleza y por la intencion educativa propia de la etapa debeser abordado con un enfoque prioritariamente conceptualprocedimental o actitudinal
Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
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Este sencillo ejemplo muestra hasta que punto el conocimientomatematico implica la construccion de relaciones elaboradas apartir de la actividad sobre los objetos Las matematicas sonpues mas constructivas que deductivas desde la perspectiva desu elaboracion y adquisicion Si desligamos el conocimientomatematico de la actividad constructiva que esta en su origencorremos el peligro de caer en puro formalismo Perderemostoda su potencialidad como instrumento de representacionexplicacion y prediccionOtra implicacion curricular de la naturaleza relacional de lasmatematicas es la existencia de estrategias o procedimientosgenerales que pueden utilizarse en campos distintos y conpropositos diferentes
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BIBLIOGRAFIacuteA
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