Sumario de t opicos matem aticosEdward Parra SalazareA mis musas: mi madre, mi abuela y mi ta (que est a ausente fsicamente).Pr ologoEsta recopilaci on es producto de extensos y divertidos perodos de investigaci onsobre historia de la matem atica y de la ciencia en general. Han surgido de ah, unaserie de t opicos que a la postre han servido como trabajos nales de algunos cursos,otros solo han sido continuaci on o inquietudes planteadas sobre esos temas, que hedesarrollado de manera vaga y nada sistem atica.Son variados los temas tratados en este peque no compendio. Desde una biografade Arqumedes, fracciones continuadas, problemas matem aticos, teora del caos yfractales, hasta curiosidades matem aticas. He intentado exponer estos t opicos de unamanera sencilla, precisa y sin caer en detalles irrelevantes. El prop osito nal es queestas notas sean una peque na herramienta de divulgaci on matem atica, es presentarestostemasdemaneracontextualizayquesirvandereferenteparaqueellectorcontin ue su investigaci on sobre el tema que se sienta parcializado.La lista de personas que me han apoyado durante este breve proyecto tiende ainnito. Atodosellos, misamigosan onimos, lesagradezcoporcadacomentariosobre el tema y por cada voz de animo que me han dado: Gracias compa neros yamigos!.Este no es un proyecto acabado, raz on por la cual todas las sugerencias que uste-des consideren convenientes ser an bienvenidas.Edward Parra Salazar,28 de julio de 2010.Digitado en pdfLATEX, eps e.3Indice1. Arqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 61.1. Ubicaci on Hist orica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1. La matem atica del siglo III aec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Arqumedes de Siracusa (circa 287 212 aec) . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. An ecdotas sobre Arqumedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Aportes de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Caractersticas de sus tratados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Principales trabajos de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3. Trabajos perdidos de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.4. Arqumedes y sus principales inuencias . . . . . . . . . . . . . 261.4. Estudio de una obra de Arqumedes: El M etodo. . . . . . . . . . . . . . 291.4.1. El M etodo de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332. Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 342.1. Introducci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2. La teora de las fracciones continuadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.1. Fracciones continuadas nitas e innitas . . . . . . . . . . . . . 352.2.2. Algoritmo para el c alculo de fracciones continuadas . . . . . . . 372.2.3. Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3. Historia de las fracciones continuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.1. Breve Rese na hist orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2. Sobre la notaci on de las fracciones continuadas . . . . . . . . . . 412.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.1. C alculo de fracciones continuadas de races cuadradas . . . . . 422.4.2. Resoluci on de ecuaciones diof anticas lineales . . . . . . . . . . . 432.4.3. Algunas fracciones continuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.4. Fracciones continuadas y geometra . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.5. Fracciones continuadas ascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4.6. El problema del calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5. Observaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544INDICE 53. Problemas Matem aticos 553.1. Los 23 problemas de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2. Los 7 problemas del Milenio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574. Caos: una breve rese na 594.1. Introducci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2. Teora del Caos: una aproximaci on hist orica . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.1. Efecto Mariposa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2. Los primeros a nos del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3. Im agenes del caos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.1. Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4. A modo de cierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705. Curiosidades Matem aticas 715.1. Introducci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2. Signos matem aticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Curiosidades Matem aticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4. Reexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Captulo 1Arqumedes: su vida, obras y aportes ala matem atica modernaThere was more imagination in the head of Archimedes then in that of Homer.VoltaireEl prop osito de este trabajo es realizar un recorrido por las principales obras deArqumedes de Siracusa, algunas de las an ecdotas que rodean su gura, as como re-alizar un estudio de sus principales aportes a la matem atica moderna y su did actica.Tambi en revisaremos algunos aspectos importantes de su obra El M etodo.1.1. Ubicaci on Hist orica1.1.1. La matem atica del siglo III aecEn el siglo III aec, Roma era la potencia mediterr anea por excelencia. Roma, ensu af an de conquista, se apodera de los estados hel enicos y de la poderosa Cartago.La unica ciudad que resiste a los embates de los romanos es Siracusa, pero ya en el212 aec cae en manos de Roma.Durante III aec, el poder poltico y militar estaba en manos de los romanos, pero elpoder cientco, continuaba en manos de los griegos. No era la gran cultura hel enicadel sigloVaec, enel quehabanorecidotantosl osofos, artistasycientcos,tales como Herodoto, Hip ocrates, Her aclito, Parm enides, Zen on, Esquilo, S ofocles,Arist ofanes y Dem ocrito.La cultura cientca hel enica se ve obligada a emigrar a las colonias griegas deAsia Menor, Egipto, Italia y dem as, debido a la invasi on que sufran por parte de losromanos.Es as como en Alejandra - Egipto nace el centro cientco m as importante delmundo griego y tambi en el m as duradero, sitio de comunicaci on de los m as grandesinvestigadores de la epoca, tanto de griegos como de romanos. (V ease [3]).Arqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 7En Alejandra se construye la Biblioteca y el Museo, donde centenares de sabiosy estudiosos se ense nan, trabajan e investigan. La Biblioteca fue dirigida, especial-mente en la epoca de mayor brillo, por grandes sabios, como por ejemplo Erat ostenes.Es a este ambiente cientco de Alejandra al que se vinculan directa e indirecta-mente las tres guras m as importantes de la matem atica de la antig uedad: Euclides,Arqumedes y Apolonio. Estos fueron los miembros m as representativos del perodode oro de la matem atica griega.En el siglo III aec nace uno de los m as grandes matem aticos de todos los tiempos:Arqumedes de Siracusa.Figura 1.1: Grecia Antigua1.2. Arqumedes de Siracusa (circa 287 212 aec)Seg un[3], Arqumedesfueunagurac elebreyfamosaenSiracusa, yafuerapor sus m eritos cientcos o por sus excentricidades y grandes inventos que se leatribuyeron, o por su vinculaci on con la familia real. Para [7], el m as grande mate-m atico de la antig uedad, tuvo la fortaleza de innovaci on de Plat on y el procedimien-to correcto de Euclides.LasfuentesprimariassobrelavidadeArqumedesseperdieron, enespecialel trabajo de Heracleides Vida de Arqumedes y la reconstrucci on biogr aca de Ar-qumedes es producto de varios fragmentos de diversos autores, especialmente his-toriadores de las guerras p unicas.Con base en estas observaciones se sabe que Arqumedes naci o en 287 aec, vivi o 75a nos y muri o a causa del saqueo que sigui o a la cada de Siracusa en manos de Marce-lo en el 212 aec.Su padre fue Pheidias el astr onomo.En virtud del rigor, la originalidad y la trascendencia de sus resultados se le con-sidera el primer matem atico moderno. Arqumedes en alg un momento de su forma-ci on visit o Alejandra y estuvo en contacto con los sucesores de Euclides. Particular-mente mantuvo una relaci on estrecha con Conon de Samos (280 220 aec), Dositeode Pelusa y Erat ostenes de Cirene (276 194 aec) (estos tres fueron sus maestrosen Alejandra). El primero fue el descubridor de la espiral que hoy conocemos conel nombre de espiral de Arqumedes y estudi o los puntos de intersecci on entre dos8 Sumario de t opicos matem aticos esecciones c onicas. El tercero fue director de la biblioteca de Alejandra a partir de235 aec y autor del conocido m etodo de la Criba para la determinaci on de n umerosprimos.Cuando Arqumedes regres o a Siracusa, dedic o toda su vida a la investigaci oncientca.Mientras a Euclides se le consideraba el maestro por excelencia, creador de, lo queen el lenguaje moderno podra decirse, un libro de texto. Apolonio, era un profesorque ense naba e investigaba. Arqumedes era un investigador innato, sus escritos sonverdaderas memorias cientcas.(V ease [3] y [29]).La obra de Arqumedes fue desarrol-lada fundamentalmente a trav es de car-tas escritas en el m as absoluto rigor eu-clidiano y con un marcado enfasis en laaplicaci on de los m etodos matem aticos ala Mec anica y la Fsica. As por ejemploenSobreel equilibriodelasgurasplanasexponelaleydelaspalancas, Sobreloscuerposqueotanestudialosprincipiosb asicos de la hidrost atica, etc.Tambi en a el pertenecen toda una serie de inventos pr acticos y artefactos b elicoscomo: el tornillo sinfn, la rueda dentada, los sistemas de palancas, la polea m ovil, elplanetario, las catapultas, etc.Durante su estancia en el valle del Ni-lo, se cuenta que Arqumedes invent o elllamadoTornillode Arqumedes, undis-positivo para elevar agua desde un nivelbajo hasta otro m as alto. Lo cierto es queeste invento se usa en la actualidad. Sucreaci on da evidencia del doble car acterde Arqumedes, poda preocuparse dematerias pr acticas o poda investigar ent opicos m as abstracto.En lo fundamental su obra matem atica estuvo vinculada a la soluci on de proble-mas sobre cuadraturas, curvaturas y c alculo de tangentes por lo que se le consideraun precursor del C alculo Diferencial e Integral. En el terreno metodol ogico llevo elM etodo de Exhauci on a alcanzar sus m aximas conquistas demostrativas. Muchas deestas fueron previamente divisadas por un grupo importante de m etodos; que eneste momento tenan un valor fundamentalmente heurstico, pero cuya maduraci onposterior constituira los principios del C alculo Innitesimal y el M etodo Experimen-tal en ciencias naturales. Entre ellos son de inter es: el m etodo Mec anico-Geom etrico,el m etodo de Sumas Integrales y el m etodo de Tangencia.Arqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 9Tal fue la fascinaci on de Arqumedes por la Mec anica que no s olo se ocup o debuscar basamento geom etrico para sus principios sino que tambi en logr o que estapenetrara en sus m etodos matem aticos. As en su Carta a Erat ostenes tambi en cono-cida como Tratado del M etodo redescubierta en 1906, arma: Estoy...convencido de queel m etodo no es menos util para la demostraci on de los teoremas. Pues algunas de las cosasque se me hicieron claras por va mec anica, se demostraron m as tarde de forma geom etri-ca, porque el modo de observaci on de este tipo carece de fuerza probatoria. Pues es m as f acilrealizar la demostraci on cuando previamente se ha obtenido una idea de la cuesti on por vaMec anica, que cuando no se cuenta con este conocimiento previoArqumedes llev o el M etodo de Exhauci on y su aspecto aritm etico a producirsorprendentes resultados como la estimaci on 3,14085 3,14286 en Medida delCrculo haciendo inscripciones y circunscripciones de polgonos de hasta 96 lados.Al decir del historiador norteamericano E.T. Bell, citado por [47]: Aplicando el M etodode Exhauci on, Arqumedes se revel o como un maestro consumado del rigor matem atico y unartista perfecto.EnSobreConoidesyEsferoidesdeterminael volumendeparaboloidesehiper-boloides de revoluci on (Conoides), as como de Elipsoides de revoluci on (esferoides)estraticando en cada paso con cilindros de igual altura. En Sobre espirales repite elm etodo para calcular el area de la primera espiral de la hoy conocida como espiral deArqumedes, estraticando con sectores circulares de igual amplitud en cada caso.A diferencia de sus predecesores griegos, Arqumedes, tambi en desarroll o unamaestra de c omputo original. Esto se maniesta en: el Problema de los bueyes (resuelvela ecuaci on), el m etodo de c alculo de races (a un no bien aclarado), y en Arenario (oEl contador de arena).En El Arenario haciendo uso magistral y reiterativo del conocido hoy como A-xioma de Arqumedes (Las magnitudes tienen una raz on entre si, cuando multiplicadasson capaces de superarse la una a la otra, seg un la denici on 4 de los Elementos y queantes fue ampliamente utilizado por Eudoxio en la fundamentaci on de su teora deproporciones) se propone estimar la cantidad de granos de arena que existen en elmundo usando un embri on de lo que hoy llamamos notaci on cientca o exponencialpara denotar n umeros muy grandes. Este trabajo es adem as importante por conteneruna de las pocas referencias conocidas a los trabajos del matem atico y astr onomoAristarco de Samos (310 230 a.C.), exponente de la teora helioc entrica del universo(el sol como centro) y pionero en la determinaci on del tama no y la distancia entre laluna y el sol.Laobramatem aticadeArqumedesfueunafuentedeinspiraci onimportantepara los precursores del C alculo Innitesimal a partir del siglo XVI. Al decir de W.Leibniz (1646 1716), citado por [19], estudiando a Arqumedes, dejas de asombrarte porlos exitos de los matem aticos actuales.10 Sumario de t opicos matem aticos e1.2.1. An ecdotas sobre ArqumedesLa corona de oro de Hier onLa an ecdota m as conocida de Arqumedes es la de la corona de oro de Hier on, quese conoce a trav es de Vitruvio (v ease [3]). Textualmente es la siguiente:Entre el gran n umero admirables descubrimientos realizados por Arqumedes,hay que se nalar el que voy a citar y en el que puso de maniesto una su-tileza casi increble. Cuando Hier on reinaba en Siracusa, este prncipe,por los exitos logrados en sus empresas, se propuso ofrecer en un ciertotemplo una corona de oro a los dioses inmortales. Convino la confecci onde la obra con un artesano mediante una buena suma de dinero y la en-trega de la cantidad de oro en peso. El artesano entreg o la corona en lafecha convenida con el rey, quien la encontr o perfectamente ejecutada,pareciendo que contuviera todo el oro que le haba entregado. Pero ha-biendo obtenido indicios de que el artesano haba retenido una parte deoro, el rey, indignado ante ese enga no y no teniendo a mano los mediospara demostrar al artesano su fraude, encarg o a Arqumedes que se ocu-pase del asunto y que con su inteligencia encontrase esos medios. Un daque Arqumedes, preocupado por este asunto, entr o por casualidad enuna casa de ba nos, advirti o que a medida que se introduca a la ba nera,es agua se desbordaba de la misma. Esta observaci on le hizo descubrir laraz on que buscaba, y sin aguardar m as por la alegra que este hecho leproduca, sali o del ba no a un desnudo y corriendo hacia su casa gritabaEureka! Eureka!, es decir, lo he encontrado!, lo he encontrado!.Arazdeestedescubrimientoen-carg o entonces dos masas de igualpeso que el de la corona, una de oroy otra de plata. Sumergi o luego lamasa de plata en un vaso , lo que hi-zo salir una cantidad de agua igualal volumen de esa masa y volvi o allenar el vasoconunaigual can-tidaddeaguaquehabasalidoyque se preocup o de medir, de ma-nera que pudo conocer la cantidadde agua que corresponda a la masade plata que haba introducido en elvaso.Despu es de esa experiencia sumergi o igualmente la masa de oro en elvaso lleno de agua, y despu es de haberla retirado midi o nuevamente elagua desalojada, encontrando que la masa de oro no haba desalojadotanta agua como la de plata y que la diferencia en menos era igual a laArqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 11diferencia entre los vol umenes de la masa de oro y de la masa de pla-ta de igual peso. Finalmente volvi o a llenar el vaso sumergi endole estavez la corona, que desaloj o m as agua de la que haba desalojado la masade oro de igual peso, pero menos de la respectiva de la masa de plata.Calculando entonces, de acuerdo con esas experiencias, en cu anto la can-tidad de agua que la corona haba desalojado era mayor de aquella quehaba desalojado la masa de oro, conoci o cu anta era la plata que se habamezclado al oro, mostrando claramente el fraude del artesano.Dadme un punto de apoyo. . .Otra an ecdota conocida de Arqumedes, seg un la cual este habra pronunciadola c elebre frase, tan ret orica como absurda (v ease[3]): Dadme un punto de apoyo y le-vantar e el mundo, est a narrada por Pappus1y Plutarco, en conexi on con el problema:mover un peso dado, mediante una fuerza dada.Arqumedes, parienteyamigodeHier on, leescribi oqueconunapo-tencia dada se puede mover un peso igualmente dado, y jugando, comosuele decirse, con la fuerza de la demostraci on le asegur o que si le dier-an otra tierra movera esta despu es de trasladarse a aquella. Maravilla-do Hier on y pidi endole que vericar a con obras este problema e hicieseostensible c omo se mova alguna gran mole con una potencia peque na,utiliz o un gran transporte de tres velas del arsenal del rey, que fue saca-do a tierra con mucho trabajo y a fuerza de un gran n umero de brazos;carg andole de gente y del peso que sola ech arsele, y sentado lejos de el,sin esfuerzo alguno y con solo mover la mano al cabo de una m aquina deuna fuerza atractiva, lo llev o as derecho y sin detenerse como si corriesepor el agua. Pasm ose el rey, y convencido del poder de arte encarg o aArqumedes que le construyese toda especie de m aquinas de sitio, bienfuese para defenderse, o m as bien para atacar; de las cuales el no hizouso, habiendo pasado la mayor parte de su vida exenta de guerra y enla mayor comodidad; aunque luego tuvieron los siracusanos menester deaquellas m aquinas y de su artce.La muerte de ArqumedesPlutarco se reere a la muerte de Arqumedes (v ease [3]), despu es que el ej ercitoromano hubo conquistado las partes m as importantes de Siracusa:Tomadas tambi en estas, al mismo amanecer march o Marcelo por los He-x apilos, d andole el parabi en todos los jefes que estaban a sus ordenes;m as de el mismo se dice que al ver y registrar desde lo alto la grandeza yla hermosura de semejante ciudad, derram o muchas l agrimas, compade-ci endose de lo que iba a suceder, por ofrecer a su imaginaci on qu e cambio1Pappus de Alejandra, siglo III de nuestra era.12 Sumario de t opicos matem aticos eiba a tener de ah a poco en su forma y aspecto, saqueada por el ej ercito.En efecto, ninguno de los jefes se atreva a oponerse a los soldados, quehaban pedido se les concediese el saqueo, y aun muchos clamaban porque se le diese fuego y se le asolase. En nada de esto convino Marcelo,y solo por fuerza y repugnancia condescendi o en que se aprovecharande los bienes y de los esclavos, sin que ni siquiera tocaran a las personaslibres, mandando expresamente que no se diese muerte, ni se hiciese vio-lencia, ni se esclavizase a ninguno de los siracusanos. . . M as lo que princi-palmente aigi o a Marcelo fue lo que ocurri o con Arqumedes: hall abase este casualmente entregado al examen de cierta gura matem atica y josen ella su animo y su vista, no sinti o la invasi on de los romanos ni la tomade la ciudad. Present osele repentinamente un soldado, d andole orden deque lo siguiese a casa de Marcelo; pero el no quiso antes de resolver elproblema y llevarlo hasta la demostraci on; con lo que irritado el soldado,desenvain o la espada y le dio muerte.Sobre la tumba de ArqumedesEl deseo expresado por Arqumedes era que en su tumba se grabara una gurageom etrica que recordara uno de sus m as grandes descubrimientos geom etricos, elcual se cumpli o. Un siglo y medio despu es Cicer on lo encontr o ya cuando los mis-mos siracusanos se haban olvidado de su gura y fama. Seg un Cicer on (v ease [3].):. . . Arqumedes, cuyo sepulcro ignorado por los siracusanos, rodeado dezarzas y espesos matorrales hasta el punto de haberse perdido todo ras-tro de el, yo descubr siento cuestor de Siracusa. Yo conoca ciertos versossenarios, copias de otros que haban sido inscriptos en su monumento,las cuales declaraban que haban en su sepulcro una esfera con un cilin-dro. Despu es de haber recorrido todos los innumerables sepulcros quehay cerca de la puerta de Agrigentum, vi una peque na columna que nose levantaba mucho de los matorrales, en la cual estaba la gura de unaesfera y de un cilindro. Dije entonces a los principales siracuanos que es-taban conmigo que crea haber encontrado lo que tanto buscaba. Comen-zaron muchos a hacer abrir el camino hasta descubrir el sepulcro. De estemodo pudimos penetrar hasta el otro lado de la base. Apareci o un epigra-ma, medio borradas las ultimas palabras de los versos. De esta manera,una ciudad de las m as ilustres de Grecia, en otros tiempos la m as doc-ta, hubiera ignorado el monumento sepulcral de un ciudadano suyo tanilustre, si no lo hubiese aprendido de un hombre de la peque na ciudad deArpinum.Hoy da la tumba no existe, pero en las proximidades de Siracusa existe un lugardenominado la tumba de Arqumedes.Arqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 13Figura 1.2: Figura inscrita sobre la tumba de Arqumedes1.3. Aportes de Arqumedes1.3.1. Caractersticas de sus tratadosLos tratados son, sin excepci on alguna, monumentos de la exposici on matem atica,como lo menciona [31], la revelaci on gradual del plan de ataque, la maestra en el or-den de las proposiciones, la severa eliminaci on de las cosas que eran irrelevantespara sus prop ositos, y todo el compendio de su obra, son impresionantes en su per-fecci on como creador de magnicas obras para sus lectores.Las demostraciones geom etricas de Arqumedes presentan los siguientes rasgosprincipales:Descansan en la tradici on de la teora de las proporciones.Parten de algunas asunciones b asicas y especialmente signicativas para losteoremas considerados.Los resultados conocidos o teoremas ya aprobados, aducidos en el curso de lademostraci on, se usan sin cita o referencia expresa, como objetos de dominiop ublico.Utilizanm etodosresolutivosdecomprensi onyaproximaci onqueincluyensustancialmente la reducci on al absurdo.Ocasionalmente tambi en recurren a otras t ecnicas de construcci on.LasdemostracionesdeArqumedessuelencontraersealaconsideraci ondeunos pocos problemas y constituyen deducciones rigurosas, pero informales,al servicio de un desarrollo sustancial del conocimiento matem atico.1.3.2. Principales trabajos de ArqumedesA lo largo de la historia cuando se hace referencia a que un descubrimiento fue re-alizado por un determinado personaje es difcil demostrar que es as. En este aparta-do se estudiar an algunas de las muchas obras o trabajos que se le atribuyen a Ar-qumedes de Siracusa, seg un la bibliografa consultada. El objetivo de este apartado14 Sumario de t opicos matem aticos eno es hacer un estudio exhaustivo de cada libro; si no una revisi on de algunos temaspara que el lector obtenga un conocimiento general de los trabajos que realiz o Ar-qumedes.La recuperaci on de las matem aticas de Arqumedes desde sus fuentes griegas hasido un proceso difcil y no se tiene certeza de la originalidad de sus aportes. Se diceque este matem atico inici o sus estudios al intentar resolver tres problemas conocidosen esta epoca: La cuadratura del crculo, la duplicaci on del cubo y la trisecci on del angulo. Estos problemas deban resolverse utilizando solamente regla (sin marcas)y comp as, instrumentos que, al parecer son los que utiliza Euclides en su obra. Sonproblemas sin soluci on exacta usando regla y comp as, cosa que se ha probado muchodespu es, aunque tienen soluci on por otros m etodos.Las obras que hoy conocemos suelen encuadrarse dentro de tres grupos m as omenos caractersticos:1. Escritos matem aticos dirigidos a la demostraci on de proporciones sobre areasy vol umenes de guras limitadas por lneas o supercies curvas.2. Obras que proceden a an alisis geom etricos de problemas est aticos e hidrost a-ticos, o se sirven de consideraciones mec anicos en el tratamiento de cuestionesgeom etricas.3. Trabajos con un aire de miscel anea matem atica.Las obras de Arqumedes que desde la Edad Media se conocen por medio del c odicede Heiberg y el de Valla, que se encontraron en Constantinopla, son las siguientes:Sobre la esfera y el cilindro.Sobre la medida del crculo.Sobre conoides y esferoides.Sobre las espirales.El arenario.Cuadratura de la par abola.El M etodo.Sobre los cuerpos otantes.Stomachion.El libro de los lemas.El problema de los bueyes.Trabajos sobre mec anica y optica.Cuerpos otante.Equilibrio de los plano.Sobre las espirales.Medida del crculo.A continuaci on realizaremos una breve rese na de sus principales:El M etodo.El estudio de este trabajo de Arqumedes se profundizar a en una secci on poste-rior.Arqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 15Cuerpos otantes.Se enuncian algunos resultados sobre la posici on de equilibrio de un segmentode paraboloide de revoluci on parcialmente sumergido en un uido. En este tratado,elaborado tambi en a la manera eucldea, aparece el famoso Principio de Arqumedes dela Hidrost atica. Para ejemplicar el contenido del libro, se presentar an algunos pos-tulados y proposiciones de los dos libros que Arqumedes escribe sobre los cuerposotantes.Postulados1. Supongamos que un uido es de tal car acter, que sus partes reposan de igualforma y siendo continuas, la parte que est a menos empujada es conducida porla que est a m as empujada, y que cada una de sus partes es empujada por el u-do que est a encima de ella en una direcci on vertical, si el uido est a sumergidoen cualquier sustancia y comprimida por algo m as.2. Loscuerposquesonimpulsadoshaciaarribaenunuido, sonimpulsadoshacia arriba a lo largo de la perpendicular (de la supercie) que pasa a trav esde su centro de gravedad.Proposiciones1. Si una supercie es cortada por un plano que pasa a trav es de cierto punto y sila secci on es siempre una circunferencia (de un crculo) y el centro es el puntomencionado, la supercie es de una esfera.2. La supercie de cualquier uido est a en reposo, si es la supercie de una esferacuyo centro es el mismo que el de la tierra.3. Los s olidos aquellos que, tama no a tama no, son de igual peso con el uido, silos deja caer en el uido, se sumergen de tal forma que no se proyectan sobrela supercie pero no se hunden m as abajo.4. Un s olido m as ligero que un uido, si es colocado en este, no estara completa-mente sumergido, pero parte de este se proyectara sobre la supercie.5. Cualquier s olido m as ligero que un uido, si se sumerge parte de el, el peso dels olido sera igual al peso del uido desplazado.6. Si un s olido es m as ligero que un uido y se sumerge fuertemente en el, els olido sera llevado hacia arriba por una fuerza igual a la diferencia entre supeso y el peso del uido desplazado.7. Cualquier s olido m as pesado que un uido y situado en el, se sumergira hastael fondo del uido, y si se pesa dicho s olido dentro del uido resultara m asligero que su verdadero peso, por el peso del uido desplazado.16 Sumario de t opicos matem aticos e8. Si un s olido con la forma de un segmento de una esfera, y de una sustanciam as ligera que el uido, es colocado en este, de tal manera que su base no tocael uido; el s olido reposara en la posici on en que su eje es perpendicular a lasupercie del uido; y si el s olido es forzado en una posici on semejante que subase toca el uido sobre un lado y luego se libera, este no permanecera en estaposici on, pero retornara a una posici on sim etrica.9. Si un s olido con la forma de un segmento de esfera, y de una sustancia m as lig-era que un uido, es colocado en este, de tal manera que su base est a comple-tamente bajo la supercie del uido; el s olido estara en reposo en la posici onque su eje es perpendicular a la supercie del uido.10. Si un s olido m as ligero que un uido est a en reposo dentro de este, el peso dels olido es al peso del mismo volumen en uido, como la porci on sumergida dels olido es a todo el s olido.11. Siunsegmentodeunparaboloiderectoenrevoluci on, cuyoejenoesm asgrande que34p, y con una gravedad especca menor que la del uido, es colo-cado en el uido con su eje inclinado a la vertical en alg un angulo, asimismo labase del segmento no toca la supercie del uido, el segmento del paraboloideno permanecera en esta posici on, sino que retornara a la posici on en la que sueje es vertical.12. Si un segmento de un paraboloide en revoluci on, cuyo eje no es m as grande que34p y cuya gravedad especca es menor que la del uido, con su eje inclinadoen alg un angulo a la vertical, asimismo su base esta completamente sumergida,el s olido no permanecera en esta posici on, y regresara a la posici on en la quesu eje es vertical.En estas proposiciones se observa que Arqumedes utiliza por primera vez al para-boloide como cuerpo de otaci on y lo estudia desde un corte transversal: la par abola.Equilibro de los planos.Se estudian los resultados sobre el centro de gravedad de guras poligonales, delsegmento de par abola y del trapecio parab olico. Aunque es un tratado de Est atica,formalmente sigue la lnea eucldea con deniciones, postulados y demostracionesen los que adem as de conceptos geom etricos se utilizan el peso y el centro de grave-dad de guras. En este escrito Arqumedes formula la famosa Ley de la palanca.Algunos postulados que se utilizan en el libro dicen lo siguiente:El centro de gravedad de un paralelogramo est a en la recta que une los puntosmedios de los lados opuestos.Si AB es una magnitud cuyo centro de gravedad es C, y AD es una parte dela misma, cuyo entro de gravedad es F, entonces el centro de gravedad de ladiferencia estar a en el punto G de FC tal que : GC : CF = AD : DEArqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 17Medida del crculo.Se estudian los resultados sobre la equivalencia entre el crculo y el tri angulo debase la circunferencia del crculo y altura el radio (es decir, reducci on de la cuadratu-ra del crculo a la recticaci on de la circunferencia), y c alculo aproximado de la raz onentre la circunferencia y el di ametro (valor aproximado del n umero ).Algunos resultados son:1. El area de cualquier crculo es igual a la de un tri angulo rect angulo en el cualuno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del crculo. Lodemuestra comprobando que el area del crculo no es mayor, y tampoco menor,que area del tri angulo, por lo tanto s olo puede ser igual.Figura 1.3: area del Crculo - area del tri angulo2. El area del crculo es al cuadrado de su di ametro 11 a 14 (el crculo es los 11/14del cuadrado circunscrito si la longitud de la circunferencia es 317 veces el valordel di ametro).3. El permetro de todo crculo es igual al triple del di ametro aumentando en unsegmento comprendido entre1071 y17 de dicho di ametro (lo que equivale a decirque el permetro del crculo es menor que los 317del di ametro puesto que essuperior a los 31071 de este di ametro).4. Arqumedes encontr o la siguiente acotaci on para3:265153 . (Est e denici on se encuentra en el LibroV de los Elementos de Euclides).un n umero n tal que n( ) >, donde es cualquier magni-tud de la misma clase. (Este es el llamado axioma de Arqumedes y seencuentra en su trabajo Sobre la esfera y el cilindro, Libro I).Este postulado se le atribuye a Euclides y a Eudoxio.Algunos problemas arquimedianosEncontrar el area de una zona esf erica de altura h y radio r.Encontrar el centroide de un segmento esf erico.Encontrar el volumen de una cu na cilndrica, fuera de un cilindro circular rectopor un plano que pasa entre el di ametro de la base del cilindro.Encontrar el volumen com un de dos cilindros circulares rectos de igual radio yteniendo sus ejes intersecando perpendicularmente.F ormula para calcular el area de un tri anguloSeg un [20], un escritor arabe le atribuye a Arqumedes el descubrimiento de lac elebre f ormula:K =_s(s a)(s b)(s c)parael areadeuntri anguloent erminodesuslados,f ormulaquetambi enseleatribuye a Heron de Alejandra.28 Sumario de t opicos matem aticos eOtro problema tambi en atribuido a Arqumedes es la de encontrar las perpen-diculares de un tri angulo cuando la medida de los lados son dados. V ease tambi en[31].Volumen de la EsferaVamos a calcular el volumen de la esfera usando varios m etodos, el primero deellossebasaenunm etodousadoporArqumedesusandoinnitesimales(v ease[39]), luego, calcularemos dicho volumen utilizando integraci on doble y triple, concoordenadas polares y coordenadas esf ericas respectivamente, los cual nos reeja, laimportancia que han tenido los trabajos de Arqumedes en la matem atica moderna.InnitesimalesConsidere una esfera de radio R, sea V un hemisferio, o bien, la mitad de la esfera.Dividimos el hemisferio, mediante planos paralelos a la tapa de la semiesfera, en nporciones cada una de grosorRn. Cada una de estas capas ser an aproximadas comocilindros.Sea rk el radio del cilindro en la k esima capa, entonces su volumen se aproximaVk (rk)2 RnPor Pit agorasrk= R2+k2R2n2Vk _R2k2R2n2_ RnEntonces el volumen de hemisferio se aproximaV=Vk R3_nk=11n1n3nk=1k2_ R3_1 1n3n(n + 1)(2n + 1)6_R36_6 _1 + 1n__2 + 1n__Si n , V R36(6 4) =2R33, entonces, el volumen de la esfera es 4R33Coordenadas PolaresConsidere la esfera x2+ y2+ z2= a2x = r cos y = r sin Arqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 29z =_a2r2El volumen de la esfera es_20_a0_ a2r2a2r2dzrdrd= 2_20_a0rdrd= _20_0a2udud= _20u3232|0a2 d=_202a33d=2a3 23=4a33Coordenadas esf ericasEl volumen de la misma esfera se representa como_20_a0_ 221 r2cos ddrd=_20_a0r2sin |22=_20_a0r2(1 1)drd= 2_20_a0r2drd =23_20r3|a0 d =23_20a3d=2a3 23=4a331.4. Estudio de una obra de Arqumedes: El M etodoPara la elaboraci on de este secci on se toma como referencia a [29], que realiza unade las dedignas traducciones de los trabajos de Arqumedes.Estaeslaobram asestudiadadeArqumedespuestoquenoshallegadoconmayorexactitud. Eltextofuedescubiertoen1906porHeiberg. Tuvonoticiasdelhallazgo en el convento del Santo Sepulcro de Constantinopla de un palimpsesto decontenido matem atico.Examinando el texto con t ecnicas fotogr acas, Heiberg descubri o que en el per-gamino haba escritas obras de Arqumedes que haban sido copiadas alrededor delsiglo X. En sus 185 p aginas estaban Sobre la esfera y el cilindro, Sobre las espirales,La medida del crculo, Sobre el equilibrio de los planos y Sobre los cuerpos otantesadem as de la unica copia de El m etodo.Arqumedes se propone a dar a conocer una va de investigaci on que no s olo lepermite hacerse una idea previa de la soluci on de ciertos problemas matem aticos,sino que adem as, sugiere un planteamiento plausible y facilita el acceso de la de-mostraci on.30 Sumario de t opicos matem aticos eEn este libro, Arqumedes nos dice como descubri o sus teoremas de cuadraturay cubatura, a saber por el uso de la mec anica. Al mismo tiempo, es muy cuidadosaen insistir en la diferencia entre lo que puede sugerir la veracidad de un teorema yla rigurosa demostraci on de los mismos usando m etodos geom etricos ortodoxos.1.4.1. El M etodo de Arqumedes tratando de problemas mec anicosa Erat ostenesSe dedica a la descripci on y aplicaci on de un m etodo geom etrico-mec anico. Esuna larga carta dirigida a Erat ostenes. En El M etodo, Arqumedes revela aspectos opartes de los procesos mentales consistentes en un m etodo mec anico, que el utiliz o ensus descubrimientos y que no apareca en sus escritos cientcos (v ease [3]).En la b usqueda de las areas de los segmentos parab olicos, el volumen de segmen-tos esf ericos y otros s olidos de revoluci on, Arqumedes us o un proceso mec anico, enel cual consideraba el peso de los elementos innitesimales, el cual el llamaba lneasrectas o area de planos, pero los cuales son realmente barras innitamente delgadaso l aminas.Pareciera que, en sus grandes investigaciones, el modo de proceder de Arqu-medes fue, iniciar con mec anica (centro de masa de supercies y s olidos) y por sum etodo mec anico innitesimal descubrir nuevos resultados, los cuales luego el de-dujo y public o con pruebas muy rigurosas.Seg un [3], Arqumedes en El M etodo cuando se refera al contenido de este, ar-ma que:. . . ,comoyahedicho,unestudiosoyexcelentemaestrodelosofayque sabes apreciar, llegado el caso, las investigaciones matem aticas quesetepresentan, hepensadoenexponerteeilustrarenestemismoli-brolanaturalezaparticulardeunm etodoquetepermitir aeventual-mente adquirir, con cierta facilidad, proposiciones matem aticas medianteconsideraciones mec anicas. Por lo dem as estoy convencido de que estem etodo mostrar a tambi en su utilidad en la demostraci on misma de lasproposiciones, pues algunas de ellas que se tornaron para m evidentesprimero mediante este m etodo mec anico, las demostr e de inmediato porlageometra, pueslainvestigaci onmedianteestem etodonocompor-taunaverdaderademostraci on. Puessindudaesm asf acil encontrarla demostraci on despu es de haber adquirido con este m etodo un ciertoconocimiento del asunto, que buscarla sin tener conocimiento previo al-guno . . .Todas las proposiciones de el M etodo corresponden a propiedades m etricas: areas,vol umenes, centros de gravedad, cuya demostraci on exige la doble reducci on al ab-surdo, involucra el m etodo de exhauci on, en conexi on con el postulado de Arqumedes.Elm etodomec anicodeArqumedesesunacombinaci ontanaudazcomoge-nial, de consideraciones geom etricas y mec anicas, que en su esencia encierra pro-Arqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 31cedimientos de an alisis innitesimal, lo que muestra que mediante ese m etodo Ar-qumedes logre resultados, que hoy se obtienen con el c alculo integral.Seg un [9], Arqumedes conoca_x3dx.M etodo del equilibrium de ArqumedesSiguiendo la crtica de [20], se considera que el m etodo de exhausci on es riguroso,pero es un m etodo est eril. Es decir, una vez que conocemos la f ormula, el m etodo deexhausci on se vuelve una herramienta elegante para establecer un resultado, peroel m etodo no nos da una idea de c omo llegar a el. El m etodo de exhausci on, es eneste sentido como la inducci on matem atica. El modo como Arqumedes lleg o a susprincipales resultados es expuesto en El M etodo, este es el llamado m etodo delequilibrium, v ease [20] p aginas 324 en adelante.La idea fundamental de este m etodoeselsiguiente:paraencontrarel areaovolumen de un s olido requerido, se debetrazar una serie de planos paralelos quecorten el s olido en capas muy delgadas, estas se separan y (mentalmente) se su-jetanenel extremonal deunapalan-ca, tal que la gura contenida se ubiqueen equilibrio sobre este, y as localizar sucentro de masa.Enlailustraci on, semuestralauti-lizaci ondel m etodoparadeterminarlaf ormula para el volumen de una esfera.Sea r el radio de una esfera. Puesta la esfera con su di ametro polar a lo largo deleje horizontal x con el polo norte N en origen. Construya el cilindro y el cono de rev-oluci on obtenidas por rotaci on del rect angulo NABS y el tri angulo NCS sobre el ejex. Ahora se le corta a los tres s olidos capas delgadas de manera vertical (asumiendoque es un cilindro delgado) a la distancia x de N y de grosor x. El volumen de estascapas es aproximadamente,esfera = x(2r x)xcilindro = r2xcono = x2xSujetemos a T las capas de la esfera y el cono, donde TN= 2r. Su momento combi-nado4sobre N es_x(2r x)x + x2x_2r = 4r2x4Por momento de un volumen sobre un punto entendemos el producto del volumen y la distanciaperpendicular desde el punto a la lnea vertical pasando por el centroide del volumen.32 Sumario de t opicos matem aticos eEsto es cuatro veces el momento de la capa cortada del cilindro cuando esta capa esretirada. Sumando un gran n umero de estas capas juntas, encontramos2r [volumen de la esfera + volumen del cono] = 4r [volumen del cilindro]o2r[volumen de la esfera + 8r33= 8r4]ovolumen de la esfera =4r33Este fue el m etodo como Arqumedes descubri o la f ormula para el volumen dela esfera. Su conciencia matem atica no le permita aceptar su construcci on como unaprueba y el siempre aplicaba sus rigurosas pruebas para resultados como este.La gura representa un segmentoparab olicoquetiene ACcomocuerda.CF es tangente a la par abola en C yAFesparaleloal ejedelapar abola. OPMes tambi en paralelo al eje de la par abo-la. Kes el punto medio deFA yHK=KC. TomeKcomounfulcrum, puestoOP con su centro enHy se retira la ca-pa OM. Usando el hecho que OMPO=ACAOmuestra por el m etodo del equilibrio deArqumedes, queel areadel segmentoparab olico es una tercera parte del areadel tri angulo AFC.La idea expuesta anteriormente revela varias cosas: primero, Arqumedes ya co-noca sobre los centro de gravedad, lo cual nos indica que Arqumedes se le ade-lant o a Pappus y sus teoremas sobre centroides. Segundo, los m etodos empleadospor Arqumedes de alguna manera nos muestran que este se adelant o a las ideasb asicasdelc alculointegral,dadoquelaaplicaci onsucesivadelaideaempleadapara encontrar el area del segmento parab olico nos da como resultado el valor de laintegral.Importancia de la did actica de ArqumedesEn el estudio de la evoluci on del conocimiento matem atico a lo largo de la his-toria, se debe considerar la obra de Arqumedes como prototpica, dadas sus carac-tersticas entre las que podemos destacar:Arqumedes desarrolla t ecnicas de demostraci on orientadas a la consecuci ondelrigor, concepto estedevitalimportanciaeneldesarrollohist oricodelaArqumedes: su vida, obras y aportes a la matem atica moderna 33Matem atica. En este sentido se puede destacar la maestra de Arqumedes enla aplicaci on del M etodo de Exhausci on, cuyo objetivo es evitar el uso del in-nito en las demostraciones, siguiendo la tradici on los oca griega que excluael uso de este concepto para la adquisici on del conocimiento racional, es decir,del conocimiento verdadero, debido a la multitud de contradicciones en las quenos hace caer.La aplicaci on del M etodo de Exhausci on presenta un problema: se debe cono-cerapriori el resultadoquesequieredemostrar. Enconsecuenciaesnece-sario disponer de otros m etodos para obtener estos resultados que luego ser andemostrados rigurosamente, es decir, sin hacer intervenir el innito. Estos m eto-dos suelen ser bastante intuitivos y basados en el conocimiento emprico. Ar-qumedes descompone areas en innitos segmentos que luego pesa con su ba-lanza; halla centros de gravedad, donde supone concentrado todo el peso deuna gura, llegando as a resultados que luego demuestra por el M etodo deExhausci on.La obra de Arqumedes es un conjunto cerrado respecto a la construcci on delconocimiento matem atico: dispone de m etodos exploratorios para obtener nue-vos resultados y de m etodos demostrativos para conrmar la verdad matem aticade dichos resultados. Esta caracterstica convierte la obra de Arqumedes enunaherramientadid actica unica, quedeberaserconsideradaobligatoriaenla formaci on de los estudiantes, en particular, en la formaci on de los futurosmatem aticos.En el m etodo existe un dualismo entre la va del descubrimiento y la va de lademostraci on. Donde el primero incluye sugerencias heursticas y razonamien-tos que hacen verosmil la soluci on imaginada o propuesta.1.5. ConclusionesSe puede ver que en las obras de Arqumedes a una gura entregada a la inves-tigaci on, que se dedic o a no solo a la geometra, sino tambi en a diversas areas de lamatem atica: as por ejemplo, teora de n umeros,Es importante resaltar la parte polifac etica de Arqumedes, esto reeja en que estepudo dedicarse a cuestiones tantas te oricas como pr acticas.Dejamos como temas abiertos para investigaciones de car acter hist orico lo rela-cionado con el problema del hept agono, adem as de los denominados s olidos de Ar-qumedes y dem as, ya que estos trabajos est an incompletos y del cual no se puedevericar la veracidad de la atribuci on a Arqumedes, v ease [29].Captulo 2Fracciones Continuadas: un recorridohist orico2.1. Introducci onLas fracciones continuadas son un t opico matem atico relativamente sencillo. Sucomplejidad de comprensi on, inicialmente, no excede a conocimientos m as all a de laaritm etica elemental.M as a un, es un tema que juega un papel predominate en la teora de n umeros.Permiteaproximardemaneraecientealosn umerosirracionales, adem asesunm etodoconelcualsepuedenresolverecuacionesdiof anticas, entreotrasdesusaplicaciones.El prop osito de este artculo realizar un breve recoorrido sobre las fracciones con-tinuadas, su notaci on, algunas aplicaciones a la geometra. Adem as, se ejemplica eluso de las fracciones continuadas en la resoluci on de ecuaciones lineales diof anticas,as como tambi en se calculan algunas fracciones continuadas de races cuadradas.Se enuncian algunos teoremas importantes sobre fracciones continuadas, adem asde la noci on de convergentes; su denici on y uso en el c alculo de aproximacionesnum ericas.Como parte del recorrido hist orico, se muestran algunas de las fracciones contin-uadas m as famosas y quienes las descubrieron. As como tambi en algunas curiosi-dades que involucran a dichas fracciones.Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 352.2. La teora de las fracciones continuadas2.2.1. Fracciones continuadas nitas e innitasUna expresi on de la forma2 +13 +54 +71 + 12es un ejemplo de una fracci on continuada. Est a fracci on puede ser evaluada calcu-lando y simplicando las siguientes expresiones en el orden considerado:1 + 12 =324 +71 + 12= 4 + 732=263 ,3 +54 +71 + 12= 3 +5263=93262 +13 +54 +71 + 12= 2 +19326=21293 ;esto es,21293= 2 +13 +54 +71 + 12Una fracci on continuada es una expresi on de la formaa1 +b1a2 +b2a3 + +bn2an1 + bn1an(2.1)36 Sumario de t opicos matem aticos eEn general, los ai y bi, pueden ser n umeros reales o complejos. Sin embargo, si cadabi es igual a 1 y cada ai es un entero mayor que cero, para i > 1, entonces la fracci oncontinuada se dice fracci on continuada simple.Los ai en (2.1) se llaman los t erminos de la fracci on continuada. Si el n umero det erminos de una fracci on continuada simple es nito, se dice que es una fracci oncontinuada simple nita. Si el n umero de t erminos es innito, se dice que es unafracci on continuada simple innita.Acontinuaci onseenunciaranalgunosteoremasimportantes1quefueronde-mostradosporL. EulerenelsigloXVIII, conloscualessepuedeasociaratodon umero real una fracci on continuada.Teorema 2.2.1Todo n umero racional puede ser expresado como una fracci on continuadasimple nita.La representaci on de un n umero racional como una fracci on continuada simple ni-ta no es unica, este puede ser representado en exactamente dos formas; una repre-sentaci on tiene un n umero impar de t erminos y la otra representaci on, un n umeropar de t erminos. As, se tiene:Teorema 2.2.2Toda fracci on continuada simple nita representa un n umero racional.Otro teorema tambi en importante es el an alogo a fracciones continuadas innitas.Teorema 2.2.3Todo n umero irracional puede expresarse como una unica fracci on continua-da innita.Teorema 2.2.4Toda fracci on continuada simple innita representa un n umero irracional.De aqu, se puede entonces concluir,Teorema 2.2.5Todo n umero real puede ser expresado por una fracci on continuada.Ejemplo 2.2.1Expresar8 como una fracci on continuada simpleComo 2 p1. Por el algoritmo de ladivisi on eucldea (v ease [8]), tenemos quepk= pk+1qk + pk+2 con0 pk+1< pk; k = {0, 1, . . .}, qk NLuego,pkpk+1= qk +1pk+1pk+2,si se contin ua con esta recursi on, tenemos que:q0 +1q1 +1q2 + Ejemplo 2.2.2Calcular la fracci on continuada de 1046343200.Utilizando el algoritmo de la divisi on eucldea, tenemos43200 = 4 10463 + 134810463 = 7 1348 + 10271348 = 1 1027 + 3211027 = 3 321 + 64321 = 5 64 + 164 = 64 138 Sumario de t opicos matem aticos eDe aqu se concluye entonces,1046343200=14 +17 +11 +13 +15 +1642.2.3. ConvergentesUna de las razones por las cuales las fracciones continuadas son importantes esque ellas pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones num ericas de n umerosirracionales (v ease [38]).Las fracciones continuadas simples nitasc1= [a1] = a1,c2= [a1; a2] = a1 +1a2c3= [a1; a2, a3] = a1 +1a2 +1a3...cn= [a1; a2, a3, . . . , ak] = a1 +1a2 +1a3 + ... +1akLos ck se dicen los convergentes2o reducidos de la fracci on continuada [a1; a2, . . .].Ejemplo 2.2.3Determinar los convergentes de la fracci on continuada simple nita dada por[1; 3, 4, 2, 3].2El primer matem atico que investig o el m etodo para calcular los convergentes fue Daniel Schwen-ter (1585-1636).Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 39c1= [1] = 1,c2= [1; 3] = 1 + 13 =43c3= [1; 3, 4] = 1 +13 + 14=1713c4= [1; 3, 4, 2] = 1 +13 +14 + 12=3829c5= [1; 3, 4, 2, 3] = 1 +13 +14 +12 + 13=131100N otese que el valor del convergente c5 es igual al valor de la fracci on continuadasimple, que representa en general, el ultimo convergente de la fracci on continuadasimplenitaessiempreigualalvalordelracionalrepresentadoporesafracci oncontinuada.Ahora se mostrar a una f ormula para evaluar m as r apidamente los convergentesde una fracci on continuada.Sea cn el n esimo convergente. Sea rn y sn el numerador y denominador, respectiva-mente de Cn.c1= a1; aqu, r1= a1 y s1= 1c2= a1 +1a2=a1a2 + 1a2donde r2= a1a2 + 1 y s2= a2c3=a3(a1a2 + 1) + a1a3a2 + 1Note que: a1a2 + 1 + a1= r2a1= r1a2= s21 = s1Sustituyendo, se tiene quec3=a3r2 + r1a3s2 + s1dado quer3= a3r2 + r1s3= a3s2 + s1De este modo, se puede ver quecn=rnsn=anrn1 + rn2ansn1 + sn240 Sumario de t opicos matem aticos ePara que la f ormula anterior sea v alida n=1, 2, . . ., considere aqu, las siguientesdeniciones:r1= 0, s1= 1, r0= 1 y s0= 0As, por ejemplo, los convergentes de 384157384157= 2 +12 +14 +18 + 12.Los primeros 5 convergentes de 384157 sonn 1 0 1 2 3 4 5an2 2 4 8 2rn0 1 2 5 22 181 384sn1 0 1 2 9 74 157Cn0 2152229181743841572.3. Historia de las fracciones continuadas2.3.1. Breve Rese na hist oricaEuclides (c. 300 a.C.) en su libro Elementos en el algoritmo para sacar el m axi-mo com un divisor genera fracciones continuadas.En 1579, Rafael Bombelli (1526-1572), en su libro L Algebra Opera, asocia lasfracciones continuadas con su m etodo de extracci on de races cuadradas.En 1613 Pietro Cataldi (1548-1626), en su libro Trattato del modo brevissimo ditrovare la radica quadra delli numeri, et regole da approssimarsi di continuo al veronelle radice de numeri non quadrati, con le cause et inuentioni loro, et anco il modo dipigliarne la radica cuba, applicando il tutto alle operationi militari et altro utiliza laprimera notaci on para las fracciones continuadas.En 1695, John Wallis (1616-1703), en Opera Mathematica, introduce el t ermino defracci on continuada.En 1780, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) da la soluci on a la ecuaci on de Pell3(v ease [34]) usando fracciones continuadas, similar a las usadas por Bombelli.3En honor a John Pell (1611-1685)Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 41En 1748, Leonhard Euler (1707-1783), en Introductio in analysin innitorium, vo-lumen I, captulo 18, prueba la equivalencia entre las fracciones continuadas ylas series innitas generalizadas.FueLeonhardEuler, enelsigloXVIIIqueus oelnombredefractiocontinuapara las fracciones continuas. En alem an las fracciones continuas se denominankettenbr uche (fracciones cadena).En 1813, Karl Friedrich Gauss (1777-1855), en su libro Werke, calcula una frac-ci on continuada con valor complejo va series hipergeom etricas.2.3.2. Sobre la notaci on de las fracciones continuadasA continuaci on una peque na rese na de la historia de la notaci on de las fraccionescontinuadas (v ease [8]).La notaci on para fracciones continuadas usada en la actualidad, fue introducidapor Alfred Pringsheim (1850-1941) en 1898, esto es,b0 +a1b1 +a2b2 + ...pero previamente se usaron otras.El matem atico italiano Pietro Antonio Cataldi, en 1613 usaba la notaci on4 & 28.& 28.,donde los puntos signica que la siguiente fracci on es una fracci on del denominador.Esto es, seg un la notaci on actual4 & 28.& 28. . . . = 4 +28 +28 + ...Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmetic publicado en 1801 usa-ba la notaci onA0= [b0] = b0,A1= [b0; b1] = b1A0 + 1A2= [b;b1, b2] = b2A1 + A0Konrad Knopp, en el libro Theory and Application of Innite Series de 1944,utiliza la siguiente notaci on para la representaci on de las fracciones continuadas in-nitas (v ease [36], p ag. 105.)42 Sumario de t opicos matem aticos eb0 +Kn=1anbnMaritz Abraham Stern(1807-1894), design o las fracciones continuadas nitas porb0 + a1||b1+ a2||b2+ Enloquesiguedeestetrabajovamosautilizarcomonotaci ondelasfraccionescontinuadas, tanto la de Prisgsteim como la de Stern.2.4. Aplicaciones2.4.1. C alculo de fracciones continuadas de races cuadradasRafael Bombelli, un ingeniero y arquitecto, que naci o en Bologna, Italia en 1526, ymuri o en 1572, fundador de los n umeros imaginarios, da un algoritmo para calcularlas races cuadradas, este es:ConsidereA =_a2+ r = a + x o,a2+ r = a2+ 2ax + x2 or = 2ax + x2Si al realizar la primera aproximaci on no se obtiene x2, entonces considerer = 2axyA = a +r2aPero x =r2a o x2=rx2a. As,r = 2ax + rx2a=_2a +r2a_xUsando esta nueva aproximaci on de x, se obtieneA = a +r||2a +r||2a.Este proceso se puede hacer indenidamente, obteniendo la fracci on continuada in-nitaA = a +r||2a +r||2a + Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 43Otro modo de explicar como Bombelli podra haber obtenido ese m etodo es es-cribiendoA a2= (A + a)(A a) = rAs,A = a +ra +AReemplazandoA por su expresi on repetidamente en el denominador se llega a lafracci on continuada.Ejemplo 2.4.1Calcule una fracci on continuada para2Considere(2 1)(2 + 1) = 1 2 1 =12 + 12 = 1 +12 + 12 = 1 +11 + 1 +12 + 1Luego,2 = 1 +12 +12 + 12.4.2. Resoluci on de ecuaciones diof anticas lineales mediante frac-ciones continuadasLasfraccionescontinuadassimplespermitenencontrarlassolucionesparticu-lares de una ecuaci on diof antica lineal.Ejemplo 2.4.2Resolver la siguiente ecuaci on 124x 72y = 16.Divida primero por el mcd(124, 72)= 4 ambos lados de la ecuaci on, notando que 4divide a 16 y por lo tanto, la ecuaci on diof antica tiene soluciones enteras. Ahora, hayque resolver31x 18y = 4Separe la parte entera de la fracci on 31183118= 1 + 131844 Sumario de t opicos matem aticos eluego, cambe 1318, por otra equivalente 1 +11813, obteniendo entonces:3118= 1 +11813Realizando nuevamente el mismo proceso con la fracci on 1813:1813= 1 +513= 1 +1135Ahora, la fracci on inicial tiene la forma3118= 1 +11 +1135Realizando el mismo proceso con la fracci on 135 :135= 2 + 35= 2 + 153se tiene entonces que:3118= 1 +11 +12 +11 + 132Al continuar con el proceso, se llega a que3118= 1 +11 +12 +11 +11 + 12Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 45Suprimiendoel ultimot erminodeestafracci oncontinuada, esdecir,12, transfor-mamos la fracci on continuada en una fracci on ordinaria y restando la fracci on origi-nal 3118:3118= 1 +11 +12 +11 + 11= 1 +11 +12 + 12= 1 +11 + 15= 1 + 57=1273118127=31 7 18 1218 7=118 7Reduciendolaexpresi onobtenidaaundenominadorcom unysuprimiendoestedenominador, se obtiene:31 7 18 12 = 1Multiplicando por 4 a ambos lados de la igualdad, tenemos:31 28 18 48 = 4Finalmente31x 18y = 4donde x= 28 y y= 48. Por lo tanto, todas las soluciones de la ecuaci on diof anticaestar an dadas porx = 28 18n, y = 48 31n, n Z2.4.3. Algunas fracciones continuadasSe realizar a un viaje a trav es de la historia, mostrando las fracciones continuadasm as famosas y quienes las descubrieron (v ease [38]). As por ejemplo:1. Bombelli, en 1572, con la notaci on moderna, descubri o que esencialmente13 = 3 +46 +46 + ...2. Cataldi, en 1613, expres o la fracci on continuada de18 como:18 = 4 & 28.& 28.& 28. . . . = 4 +28 +28 +28 + ...46 Sumario de t opicos matem aticos e3. Lord Brouncker, alrededor de 1658,4= 1 +12 +92 +252 +492 +812 + ...Est a expansi on est a ligada hist oricamente con el producto innito2=2 2 4 4 6 6 8 81 3 3 5 5 7 7 9 dada por Wallis en 1655; ambos descubrieron importantes pasos en la historiade 4. Leonhard Euler, en 1737 encontr o la siguiente expresi on, que llevae = 2,7182818284590 . . . =lmn_1 + 1n_nla base de los logaritmos naturalese 1 = 1 +11 +12 +11 +11 +14 + ...= [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8 . . .]As por ejemplo,e 1 = 1, 71828;11 +11 + 12= 1, 66667lo cual brinda una buena aproximaci on a pesar de trabajar con una fracci oncontinuada peque na.Luego,e 1e + 1=12 +16 +110 +114 + ...Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 47e 12=11 +16 +110 +114 + ...Esta ultimaexpansi onpermiter apidamenteaproximarae. Porejemplo, els etimo convergente es aproximadamente:e =1084483398959= 2,71828182458 . . . ,el cual diere del valor de e en el doceavo decimal.5. Lambert, en 1766, mostr o queex1ex+ 1=12x +16x +110x+114x+ ...y adem as quetan(x) =11x13x15x17x...Lambert us o estas expresiones para concluir quea. Si x Q, x = 0, entonces e no es racional.b. Si x Q, x = 0, entonces tan(x) no es racional.6. Tambi en Johann Heinrich Lambert (1728-1777), en 1770, mostr o que= 3 +17 +115 +11 +1292 + ...= [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 84, 2, . . .]48 Sumario de t opicos matem aticos eSi se calcula aqu el tercer convergente, se tiene3 +117 +115= 3, 14151lo cual da 4 cifras de exactitud.7._a2+ b = a +b2a +b2a +b2a + ..., a2+ b > 08.2 = 1 +12 +12 +12 + ...9.1 +52= 1 +11 +11 +11 + ...Los convergentes son11, 21, 32, 53, 85 ,ambos, numerador y denominador empiezan formando la sucesi on de Fibonac-ci(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .).10. Stern, en 1833, expres o como fracciones continuadas a22= 1 13 2 31 1 23 4 51 3 43 6 71 5 63 ...Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 4911.sen(x) =x1 +x2(2 3 x2) +2 3x2(4 5 x2) +4 5x2(6 7 x2) + ...Calculando los primeros 2 t erminos de la serie de potencias de la funci on sen x.Esto es:sen x = x x36+ Luego, el convergente de orden 2 de la funci on sen x esx1 +x26 x2= x x3612. Lambert, en 1770tan(x) =x1 x23 x25 x27 ...13. Gauss, en 1812tanh(x) =x1 +x23 +x25 + ...14. Lambert en 1770 y Lagrange en 1776arctan(x) =x1 +x23 +4x25 +9x27 +16x29 + ..., |x| < 150 Sumario de t opicos matem aticos e15. Lambert en 1770 y Lagrange en 1776log(1 + x) =x1 +12x2 +12x3 +22x4 +22x5 +32x6 +32x7 + ..., |x| < 116. Lagrange en 1813log_1 + x1 x_=2x1 x23 4x25 9x27 16x29 ..., |x| < 117. Lagrange en 1776(1 + x)k=11 kx1 +1 (1 + k)1 2x1 +1 (1 k)2 3x1 +2(2 + k)3 4x1 +2(2 k)4 5x1 +3(3 + k)5 6x1 + ..., |x| < 118. Laplace, en 1805 y Legendre en 1826, descubrieron la fracci on continuada dela integral de probabilidad, usada en la Teora de Probabilidad y Estadstica.Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 51Esto es,_x0eu2du =212ex2x +12x +2x +32x +4x + ..., x > 0.Si se calcula mediante alg un paquete computacional, se puede ver que_10ex2dx = 0, 746824Ahora, usando la expansi on en fracciones continuada de_x0eu2du, con u va-riando entre 0 y 1. De aqu, se tiene_10ex2dx =212e121 +12 1 +21 +32 1= 0, 615158lo cual es una aproximaci on v alida tomando en consideraci on que los paque-tes computacionales aplican algoritmos muy complejos para el c alculo de estaintegral y solo hemos calculado 3 convergentes.2.4.4. Fracciones continuadas y geometraSe presentar a ahora la relaci on existente entre las fracciones continuadas y la ge-ometra. Esto es, se mostrar a que2 es irracional usando las fracciones continuadas(v ease [40]).Dado un cuadrado con lado igual a 1y un crculo indicado como en la gura.Se tieneAC2= AB2+ BC2= 12+ 12= 2luego, AC =2. Observe que:ACBC=212 =ACBC=CD + ADBC== 1 + ADBC= 1 +1BCAD= 1 +12 + ADABDCEB A152 Sumario de t opicos matem aticos eAqu se tiene que AD y AE son segmentos de una secante que pasa por el crculocon centro C. AB es tangente al arco con centro C. Luego, de las nociones de ge-ometra plana, se sigue:AB2= AE AD, oABAD=AEAB;AE = AD + DE = AD + 2BC, y BC = ABBCAD=ABAD=AEAB=AD + 2BCAB=AD + 2ABAB= 2 + ADABAhora bien, se tiene entonces1 +12 + ADAB= 1 +12 +1ABAD= 1 +12 + ADAB= 1 +12 +12 +ABADObserve que esta ser a una fracci on continuada innita, luego representar a a un n umeroirracional.Por lo tanto, se concluye que2 es un n umero irracional.2.4.5. Fracciones continuadas ascendentesOtra curiosidad que brinda la teora de las fracciones continuadas es la de lasfracciones continuadas ascendentes.Consideremos ahora, una variaci on de las fracciones continuadas, las fraccionescontinuadas ascendentes4que datan de Leonardo de Pisa5.Siguiendo a Fibonacci, se tiene:e c afd b=ab=ad f+ c f+ ebd f=ab + cd1b +ef1b1d4De ascending continued fractions. Para m as informaci on cons ultese [8].5Conocido como Fibonacci (c. 1170- c.1250 ). Fue un mercantil italiano que viaj o principalmente aEgipto, Siria, Grecia y Silicia. En 1202 escribi o Liber Abaci. Ah, el introduce las fracciones continuadasascendentes.Fracciones Continuadas: un recorrido hist orico 53Luego,e c afd b=ab=a +c +efdbAs por ejemplo, una fracci on continuada ascendente para es= 3 +1 +4 +1 +1 + 5 + 10101010102.4.6. El problema del calendarioSe sabe que un a no, seg un el calendario Gregoriano, tiene1 a no= 365 das 5 horas 48 minutos 46 segundos.Se tratar a de expresar esa relaci on como una fracci on continuada (v ease [5], p ag. 93.).Para esto, considere la siguiente proporci on:5 horas 48 minutos 46 segundos1 da=20926 segundos86400 segundos=1046343200Luego, utilizando el algoritmo de la divisi on eucldea, se tiene43200 = 4 10463 + 134810463 = 7 1348 + 10271348 = 1 1027 + 3211027 = 3 321 + 64321 = 5 64 + 164 = 64 1De aqu, se puede concluir entonces que la fracci on continuada que expresa 1 a no,est a dada por:1 a no = [365; 4, 7, 1, 3, 5, 64];esto es,1 a no = 365 +14 +17 +11 +13 +15 +16454 Sumario de t opicos matem aticos e2.5. ObservacionesAl realizar el estudio sobre las fracciones continuadas, se puede ver que en lamatem atica a trav es de los tiempos, conceptos esencialmente elementales, muestranun inter es entre la comunidad matem atica. As, se observa que en el desarrollo dela teora de las fracciones continuadas, los m as grandes matem aticos de la historiase han visto envueltos. Matematicos como Cataldi, Bombelli, Brounker, Euler, La-grange, Lambert, Gauss, han sido partcipes en el desarrollo de esta teora: la teorade las fracciones continuadas.Podemos ver, que la idea de la matem atica acabada es err onea. Ya Euclides en 300a.C. hacia uso de una manera implcita de las fracciones continuadas. Pasaron masde 1800 a nos y volvieron a resurgir con todo su potencial las fracciones continuadas.Aqu, Cataldi, Bombelli, entre otros, siguieron desarroll andolas. M as adelante, Euler,Lagrange, Lambert, Gauss continuaron con este t opico.Adem as, las fracciones continuadas jugaron un papel muy importante en la de-mostraci on de la trascendencia de .Actualmente, la teora de las fracciones continuadas se usa por ejemplo en expan-siones de Engel6Otros trabajos importantes sobre fracciones continuadas son: Music and TernaryContinued Fractions de J. M. Barbour en The American Mathematical Monthly, Vol. 55,No. 9. (Nov., 1948), pp. 545-555. Corrections to Continued Fractions for the Incom-plete Beta Function de Leo A. Aroian en The Annals of Mathematical Statistics, Vol.30, No. 4. (Dec., 1959), p. 1265. On Some Recent Developments in the Theory andApplication of Continued Fractions de P. Wynn en Journal of the Society for Industrialand Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis, Vol. 1. (1964), pp. 177-197. y eltrabajo de Irvin, en [33].Esto lo que reeja, es que las fracciones continuadas no es un tema muerto, es untema de gran aplicabilidad a la matem atica y sus aplicaciones.Sin lugar a dudas, la parte m as importante de las fracciones continuadas es que,a un al ser muy sencillo, el gran potencial que posee a la hora de realizar aproxima-ciones.6Kraaikamp y Wu en el 2004 observaron que toda expansi on de Engel puede expresarse como unafracci on continuada ascendente.Captulo 3Problemas Matem aticosResumenSe realiza una breve descripci on de los 23 problemas que David Hilbert propuso en1900, adem as de los 7 problemas propuestos por el Instituto de Matem aticas Clayen el 2000.3.1. Los 23 problemas de HilbertEl 8 de agosto de 1900, David Hilbert pronunci o una conferencia en el CongresoInternacional de Matem atica en Pars, en la que formulaba y razonaba 23 problemasmatem aticos. Los problemas son los siguientes (V ease [53] y [57]):1. La hip otesis del continuo (i.e., no existe conjunto cuyo tama no este estricta-mente entre el de los n umeros enteros y el de los n umeros reales).2. Probar que los axiomas de la aritm etica son consistentes.3. Se puede probar que dos tetraedros tiene igual volumen (bajo ciertas asun-ciones)?4. Construir todas las m etricas cuyas rectas sean geod esicas.5. Son los grupos continuos grupos diferenciables de forma autom atica?6. Axiomatizar la fsica.7. Es abtrascendental, siendo a = 0, a = 1, a algebraico y b irracional algebraico?8. La hip otesis de Riemann y la Conjetura de Goldbach.9. Encontrar la ley m as general del teorema de reciprocidad en cualquier camponum erico algebraico.10. Encontrar un algoritmo que determine si una ecuaci on diof antica polin omicadada con coecientes enteros tiene soluci on entera.56 Sumario de t opicos matem aticos e11. Resolver las formas cuadr aticas con coecientes num ericos algebraicos.12. Extender el teorema de Kronecker sobre extensiones abelianas de los n umerosracionales a cualquier campo num erico base.13. Resolver todas las ecuaciones de s etimo grado usando funciones de dos par a-metros.14. Probar la nitud de ciertos sistemas completos de funciones.15. Fundamento riguroso del c alculo enumerativo de Schubert.16. Topologa de las curvas y supercies algebraicas.17. Expresi on de una funci on denida racional como cociente de la suma de cuadra-dos.18. Existe un poliedro regular y que construya otros poliedros? Cu al es el apila-miento compacto m as denso?19. Son siempre analticas las soluciones de los Lagrangianos?20. Tienen soluci on todos los problemas variacionales con ciertas condiciones decontorno?21. Probar la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tengan un grupomonodr omico preescrito.22. Uniformizaci on de las relaciones analticas por medio de funciones automor-cas.23. Extensi on de los m etodos del c alculo de variaciones.Y cu antos de los problemas de Hilbert han sido resueltos?Di eciseis de los problemas han sido resueltos. Estos problemas son: 1, 2, 3, 4, 5, 7,9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 21 y 22. Cuatro problemas 12, 19, 20 y 23 sus enunciadosson muy vagos o el problema en s no es claro. Y tres de esos problemas 6, 8 y 16no han sido resueltos.A continuaci on la lista de matem aticos que han trabajado arduamente hasta con-seguir la resoluci on de uno de estos problemas, matem aticos que Benjamin Yandelllos ha denominado la clase de honor de Hilbert:Kurt G odelPaul CohenYuri MatiyasevichJulia RobinsonMartin DavisMax DehnHerbert BusemannAleksei V. PogorelovAndrew GleasonDean MontgomeryLeo ZippinAlexander GelfondProblemas Matem aticos 57Theodor SchneiderCarl SiegelTeiji TakagiEmil ArtinHelmut HasseMasayoshi NagataLudwing BieberbachPaul K obeJ. Henri Poincar eJosip PlemeljAndrei Bolibruch3.2. Los 7 problemas del MilenioEl 24 de mayo de 2000, en Pars, el Instituto de Matem aticas Clay de Cambridge,Massachusetts anunci o que siete premios de un mill on de d olares cada uno eranofrecidos para quien resolviera alguno de los siete problemas que pronto enuncia-remos. Para la elecci on de estos problemas se cont o con un Comit e Internacional deMatem aticos que los escogieron como los m as difciles e importantes en el campo dela matem atica actual. Sir Michael Atiyah y John Tate, dos inuyentes matem aticos,los anunciaron. Estos problemas son los siguientes (v ease por ejemplo [18]):1. La hip otesis de Riemann: Formulada por Bernhard Riemann en 1859.La hip otesis dice: Los ceros de la funci on zeta de Riemann tiene parte real igual a unmedio.Es v alida para los primeros mil quinientos millones de ceros. La demostraci ondara informaci on denitiva a varias cuestiones sobre la frecuencia de los n u-meros primos.2. P versus NP: Formulada por Stephen Cook en 1971.Es cierto que P es igual a NP?.La pregunta equivale a determinar si todo lenguaje aceptado por un algorit-mo no determinstico en un tiempo polinomial es tambi en aceptado por alg unalgoritmo determinstico en tiempo polinomial.Una respuesta armativa permitira disponer de algoritmos utiles para muchosproblemas computacionales, pero al mismo tiempo destruira la seguridad detransacciones nancieras hechas a trav es del Internet.Este problema tiene relaci on con la criptografa.3. La conjetura de Hodge: Formulada por William Hodge en 1950.En una variedad algebraica proyectiva no singular sobre los complejos toda clase deHodge es una combinaci on lineal racional de clases de ciclos algebraicos.Si la conjetura es cierto, los ciclos de Hodge admitiran una interpretaci on ge-om etrica y eso permitira conocer c omo las piezas se adjuntan a determinadosespacios para construir otros.4. La conjetura de Poincar e1: Formulada por Henri Poincar e en 1904.1Resuelta por Grigori Grisha Perelman en 200358 Sumario de t opicos matem aticos eToda 3variedad cerrada simplemente conexa es homeomorfa a la 3esfera5. La Teora de Yang-Mills: Formulada por Chen-Ning Yang y Robert Mills en1950.Demostrar que para todo grupo gaunge simple compacto, la teora cu antica de Yang-Mills en el espacio de dimensi on 4 existe y tiene defecto de masa positivo.6. Las ecuaciones de Navier-Stokes: En honor a los matem aticos Claude LouisHenri Navier y George Gabriel Stokes.Existen soluciones diferenciables, fsicamente razonables para las ecuaciones de Navier-Stokes en 3 dimensiones?La importancia de las ecuaciones de Navier-Stokes radica en que describen elmovimiento de un uido en el espacio.7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: Propuesta por Brian Birch y PeterSwinnerton-Dyer en 1965. M as o menos dice:Las soluciones racionales de determinadas ecuaciones algebraicas est an ntimamenteligadas con una cierta funci on zeta como la de Riemann, de manera que si la funci on seanula en el punto 1, entonces hay una innidad de puntos racionales y si no se anula,solo hay un n umero nito.Estos problemas no pretenden marcar la direcci on de las Matem aticas duranteel siglo XXI, s olo quiere centrar la atenci on en un peque no conjunto de cuestionesmatem aticas pendientes desde hace tiempo.Captulo 4Caos: una breve rese naA lo largo de un perodo de varios miles de a nos, la humanidad fue comprendiendo lenta-mente que la naturaleza posee muchas regularidades, que pueden ser registradas, anali-zadas, predichas y explotadas. En el siglo XVIII, la ciencia haba tenido tal exito en eldescubrimiento de las leyes de la naturaleza que muchos pensaron que quedaba poco pordevelar. Leyes inmutables determinaban el movimiento de cada partcula del universo,de forma exacta y para siempre: la tarea del cientco consista en dilucidar las implica-ciones de dichas leyes para cualquier fen omeno de inter es. El caos haba sido sustituidopor un mundo hecho de engranajes mec anicos.Ian Stewart, Juega Dios a los dados?. La Matem atica del caos.ResumenEste es un recorrido atrav es de la historia de uno de las m as grandes revolucionestanto en la ciencia como en la matem atica: el caos.Se realiza un viaje a trav es de sus inventores y sus principales pioneros, as comosus principales inuencias en la contemporaneidad.4.1. Introducci onLa batalla eterna entre el orden y el desorden, armona y caos, debe interpretaruna percepci on humana muy profunda del universo, pues forma parte del imagi-nario de muchas culturas. En la cosmologa de la antigua Grecia, el caos era el vacoprimitivo del universo y el submundo donde habitaba la muerte. En una historia ba-bil onica, el universo surge del caos que sobrevino cuando una ingobernable familiade los dioses de los abismos fue destruda por su propio padre.El orden es considerado equivalente al bien y el desorden al mal. El orden y elcaos considerados como polos opuestos, sobre los que gira nuestra interpretaci on demundo.Parece que el ser humano trae consigo impulsos que pretenden comprender re-gularidades de la naturaleza, pretende encontrar leyes ocultas tras las inexplicablescomplejidades del universo, pretende extraer orden del caos.60 Sumario de t opicos matem aticos eLa matem atica surge como apasiguador de estos impulsos innatos del ser hu-mano. La matem atica surge a partir de cuestiones sobre un mundo fsico y justicasu existencia al darnos algunas respuestas. Quiz a la matem atica es efectiva porquerepresenta un lenguaje creado por el ser humano, quiz a las unicas pautas que so-mos capaces de percibir son la matem atica, porque la matem atica es el instrumentodenuestrapercepci on. Quiz a, el exitodelamatem aticaseaunailusi onc osmica,quiz a no existen verdaderas pautas, sino que son las construcciones creadas las quedeterminan nuestro devenir.Todas estas cuestiones nos invaden, pero la realidad pr actica es que la matem aticaconstituye el m etodo m as efectivo para poder comprender nuestros alrededor.Larevoluci ondel pensamientocientcoqueculmin oconIsaacNewton, noshered o un visi on de mundo como un engranaje gigantesco, que funcionaba de ma-nera mec anica, determinstica, de precisi on absoluta. El mensaje que nos dej o esta epocafuequelanaturalezaposeaunasleyesyqueelserhumanoeracapazdeencontrarlas. Y este mensaje deni o la estela a seguir de la ciencia que reci en naca.Esta idea de un mundo predeterminado, era la idea de muchos de los m as grandespensadores del siglo XVIII, es as como Pierre Simon Laplace, es su Ensayo los ocosobre las probabilidades lo expresa (citado por Ian Stewart en su libro Juega Dios a losdados?):Un ser inteligente que en un instante dado conociera todas las fuerzas que an-iman la Naturaleza y las posiciones de los seres que la forman, y que fuera losuentemente inmenso para poder analizar dichos datos, podra condensar enuna unica f ormula el movimiento de los objetos m as grandes del universo y el delos atomos m as ligeros: nada sera incierto para dicho ser; y tanto el futuro comoel pasado estaran presentes ante sus ojos.Esto nos reeja el idealismo deterministico de toda una epoca, de todo un paradig-ma. El paradigma del determinismo cl asico haba nacido: si las ecuaciones describenla evoluci on del sistema unvocamente, en ausencia de perturbaciones externas alea-torias, su comportamiento est a entonces unvocamente especicado en todo instante.Funcionaba.Aunque nos parezca un poco absurdo hoy da, ese era la consigna de los precur-sos de la ciencia moderna. La ciencia poco a poco ha ido sustituyendo el esquema, haido cambiando de una posici on completamente cuantitativa y determinstica, haciauna ciencia un poco m as cualitativa y probabilstica.Aunquemuchosnoloconsiderenas, lacienciamodernaseencuentrareem-plazando el orden por el caos, ya que este supuesto orden, genera m as caos.Pero, Qu e es el caos?. Para Ian Stewart en su libro Juega Dios a los dados?,Caos es el comportamiento estoc astico que ocurre en un sistema deterministico, esel comportamiento sin ley, gobernado completamente por la ley.Caos: una breve rese na 614.2. Teora del Caos: una aproximaci on hist oricaLa ciencia cl asica acaba donde el caos empieza. La porci on irregular de la na-turaleza, su parte discontinua y variable, ha sido un rompecabezas a los ojos de laciencia, o peor alg un, una monstruosidad.En 1970, muchos cientcos estadounidenses y europeos iniciaron el camino en eldesorden (el caos). Eran matem aticos, fsicos, bi ologos. Una de las pocas veces en quela interdisciplinaridad colm o las ciencias. Todos buscan nexos entre las diferentesclases de irregularidades. As pues, los si ologos encontraron caos en el coraz on, losecologistas exploraron el aumento y decrecimiento de la poblaci on de mariposas, loseconomistas empezaron a realizar an alisis de datos considerando el caos.La nueva ciencia, el caos, ha inventado un nuevo l exico caracterstico, una jergadistinguida de fractales, bifurcaciones, intermitencias, periodicidades, difeomors-mos de toalla doblada y diagramas de deos blandos.El caos aparece por doquier. Una columna de humo ascendente, la bandera on-deada por la brisa, el tiempo atmosf erico.Los m as fervorosos defensores del caos, declaraban que el siglo XX se recordaras oloportrescosas:larelatividad,lamec anicacu anticayelcaos.Quiz atuvieronraz on.Seg unalgunosfsicos1, larelatividadacab oconlailusi ondelespacioytiem-po absoluto de Newton (Sir Isaac Newton (1643-1727)); la teora cu antica arruin o elsue no del mismo sabio de un proceso de medici on controlable; y el caos acab o conla fantasa de Laplace (Pierre-Simon Laplace (1749-1827)) de la predecibilidad deter-minista.4.2.1. Efecto MariposaEdward Lorenz2cre o en 1960, un tiempo de juguete que fascin o a sus colegas.Con su m aquina, una Royal Mc Bee, se se nalaba cada minuto el paso de un da,imprimiendo una hilera de n umeros en papel. Quien saba leer estos datos, podapercatarse de vientos, ciclones digitalizados y dem as.Lorenz despu es de una cantidad de tanteos y equivocaciones, escogi o 12 ecua-ciones diferenciales que expresan nexos entre temperatura, presi on, velocidad delviento, entre otras, para as poder moldear el tiempo atmosf erico.En un principio, Lorenz haba encontrado cierta regularidad en sus prediccionesy formas de ver y analizar el tiempo.1Joseph Ford, en What is Chaos, that we should be mindful of it?. Georgia Institute of Technology.2Edward Norton Lorenz es un matem atico y mete orologo estadounidense, contribuy o en la teoradel caos e inventor de lo que se conoce como atractores extra nas. Acu n o el t ermino efecto mariposa.Lorenz construy o un modelo matem atico muy simplicado, que intentaba capturar el comportamien-to de la convecci on en la atm esfera. Lorenz estudi o las soluciones de su modelo y se dio cuenta quealteraciones mnimas en los valores de las variables iniciales resultaban en soluciones ampliamentedivergentes.Estasensibledependenciadelascondicionesinicialesfueconocidadespu escomoelefecto mariposa. Su investigaci on dio origen a un renovado inter es en la teora del caos.62 Sumario de t opicos matem aticos eEn un da del invierno de 1961, Edward Lorenz tom o un atajo en sus algorit-mos para la predicci on del tiempo. Para no comenzar por el principio, empez o amediocamino(inici osuan alisisdelasecuacionesensuRoyal McBeeamediocamino), copi o los n umeros directamente de la impresi on anterior, pensando en quesum aquinafuncionaseseg unlascondicionesiniciales, sefueatomaruncaf e, ycuando regres o, una hora despu es, se encontr o con lo inesperado, algo que eran loscimientos de una nueva ciencia (desconocida hasta entonces).Lorenzvioenlanuevaimpresi onden umeros, quesutiempodivergamuyr apido. Todas las similitudes con los datos anteriores se haban borrado. Primeropens o que su Royal Mc Bee haba fallado, luego Lorenz comprendi o que no habadesperfecto.El haba entrado una expresi on m as corta, redondeada, convencido deque la diferencia no tena importancia. Su input fue 0, 506, en vez del original 0, 506127.Ver gura 4.1.Figura 4.1: Experimento de LorenzSe trataba de una suposici on razonable, pero el peque no error num erico, que eracomo el soplo de aire, provoc o que los errores nmos fueran catastr ocos.Lascomputadorasempezaronajugarunpapelmuyimportanteenlameteo-rologa, su predicciones de tiempos atmosf ericos eran buenas en los primeros dosdas, m as o menos al tercer da se volvan especulativos y a partir del sexto o s etimoda, se volvan despreciables.La raz on de todo ello, el efecto mariposa.Figura 4.2: Dependencia sensitiva a valores iniciales.EldescubrimientodeLorenzfueaccidente,aligualqueeldeArqumedesdeSiracusa (287 aec.-212 aec.) y su ba no. Sin embargo, Lorenz se propuso descubrir lasconsecuencias de su hallazgo y averiguar que signicaba lo descubierto, por ejemplo,para los uidos.Caos: una breve rese na 63El efecto mariposa no era accidental, sino necesario. Luego, fue adquiriendo di-ferentes connotaciones, por ejemplo, dependencia sensitiva de los valores iniciales.Existe una frase anglosajona que representa muy bien al efecto mariposa:Por un clavo, se perdi o la herradura;por una herradura, se perdi o el caballo;por un caballo, se perdi o el jinete;por un jinete, se perdi o la batalla;por una batalla, se perdi o el reino.Unsistemadeterministapuedeproducirmuchom asqueuncomportamientoperi odico.Lorenz, abandon o el tiempo y busc o formas m as sencillas de producir compor-tamientos complejos. Encontr o en un sistema de ecuaciones diferenciales no linealestal comportamiento. La clave del caos, sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales.Lorenz, encontr o el siguiente:___dxdt= (y x)dydt= x y xzdzdt= xy zel cual genera al Atractor de Lorenz.Figura 4.3: Atractor de LorenzEn la din amica de uidos casi todo depende de la ecuaci on de Navier-Stokes,muy breve, que hace referencia a la velocidad, presi on, densidad y viscosidad, peroes no es lineal.DuiDt= FiPxi+_2uixixj+ 13xi_Antes del caos, seg un Richard Feynmann:Los fsicos se complacen en pensar que basta decir: estas son las condiciones iniciales. Pero,Qu e sucede a continuaci on?64 Sumario de t opicos matem aticos e4.2.2. Los primeros a nos del caosQuienes reconocieron el caos desde el principio se debatieron en c omo dar formapublicable a sus pensamientos y hallazgos. Era una tarea muy complicada: dema-siada abstracta para los fsicos y muy experimental para los matem aticos. El caos seconsideraba disparatado y acientco. Ciertas revistas establecieron reglas no escritascontra el caos, otras en cambio, vieron el da exclusivo para tratar con el.Los caotistas o ca ologos, comparecieron con frecuencia en las listas de plazas pen-sionadas y premios importantes. Se fundaron centros e institutos para especializarseen din amicas no lineales y sistemas complejos.El caos se convirti o en una ciencia experimental para investigadores y matem a-ticos, en la que el computador sustituy o los laboratorios llenos de tubos de ensayoy microscopios. En est a ciencia, la rata de laboratorio fue el p endulo de la mec anicacl asica.Al igual que Arqu emedes y su ba no, Newton y su manzana, Galileo Galilei (1564-1630) observaba una l ampara de la iglesia que oscilaba de aqu para all a, una y otravez. Galileoalcontemplarunp endulo, observabaunaregularidadquesepodamedir.El perciba est a regularidad, porque haba formulado una teora que as lopredeca. Tan seguro estaba, que vio regularidad donde no exista.Durante el siglo XX, ning un fsico se molestaba en estudiar el p endulo.Al haber un nuevo paradigma los fsicos empezaron a replantearse detalles co-mo el movimiento de un p endulo, aprendieron a considerar sistemas de ecuacionesdiferenciales no lineales. As por ejemplo, para poder comprender la turbulencia senecesitaba comprender a fondo los p endulos. Las reacciones qumicas tenan com-portamiento pendular, el latido del coraz on tambi en.StevenSmale, unmatem aticodelaUniversidaddeCalifornia, ganadordelaMedalla Field3por haber resuelto una de las conjetura de Poincar e sobre espaciosde cinco o m as dimensiones en Topologa, intent o comprender como difera la con-ducta global de lo local.Durante una conversaci on, un joven fsico le pregunt o a Smale, que a qu e sededicaba?, la respuesta lo dej o at onico: en osciladores. Era absurdo, como un granmatem atico iba a estudiar fsica muy elemental. Luego el fsico se dio cuenta queSmale, trabajaba en osciladores no lineales, es decir, en osciladores ca oticos y quevea en ellos cosas que los fsicos no haban aprendido a ver.En la d ecada de 1960, Smale abandon o la Topologa y se dedic o a estudiar sis-temas din amicos. Tanto la topologa como los sistemas din amicos haban nacidosmuy cercanos a la fsica, pero los matem aticos se olvidaron de ello y empezaron suestudio en abstracto.En un principio Smale, consideraba que el caos era equivalente a la inestabilidad4,luego se dio cuenta de que eran deniciones distintas y no conectadas.3La medalla Field es el equivalente al Premio Nobel en Fsica, es otorgado a matem aticos querealizan aportes sobresalientes al area y que sean menores de 40 a nos.4Aqu se hace alusi on a sistemas din amicos o sistemas de ecuaciones diferenciales estables o in-estables.Caos: una breve rese na 65Paramuchosfsicos, Smaledevolvi otodaunaramamatem atica, lossistemasdin amicos, al mundo real, ya que como mencionamos, los matem aticos estaban si-guiendo por el camino de la abstracci on sin asociar sus teoras a la naturaleza.Pronto, el caos se extendi o por todo el mundo, en la antigua Uni on Sovi etica yJap on, trabajaron cosas importantes referentes al caos.4.3. Im agenes del caosBenoit Mandelbrot, un matem atico que trabajaba con la International BusinessMachine (IBM), presentado en una conferencia como . . . ense n o economa en Harvard,ingeniera en Yale, siologa en Einstein School of Medicine. . . , coment o: al or la listade mis pasadas ocupaciones, llego a dudar de mi existencia. La intersecci on de talesconjuntos est a indudablemente vaca. Mandelbrot se dedic o a estudiar el fen omenode medici on por escalas. Mandelbrot era un refugiado de los Bourbaki5.Este estu-di o la longitud de las costas de Inglaterra, observando que cuando consideraba unaescala mucho m as peque na lograba encontrar grandes discrepancias en sus longi-tudes. Benoit, en cierto sentido, arm o que los litorales eran innitos, considerandoescalas diferentes escalas las grandes discrepancias est an presentes.Ya Henri Poincar e, en 1912, haba denido las dimensiones enteras. Una nuevadimensi on fue inventada por Felix Hausdorff en 1919 y desarrollada ampliamentepor A.S. Besicovitch. en 1930. Se trata las dimensiones entre 0 y 1 (o dimensionesfraccionarias). Estasdimensionesllamadasdimensi ondeHausdorff-Besicovitch,actualmente se llaman dimensiones fractales.Figura 4.4: Dimensi on FractalEs as como Benoit Mandelbrot, que trabajaba con estas dimensiones le dio elnombre de fractales6.5Bourbaki naci o como un club, fundado durante durante la inquieta estela de la Primera GuerraMundial por Szolen Mandelbrojt, to de Benoit Mandelbrot, y un grupito de j ovenes que buscaban elmodo de recticar las matem aticas francesas. Este grupo surgi o, en parte, como reacci on en contra deHenri Poincar e, el gran hombre de la segunda mitad del siglo XIX, pensador de formidable produc-ci on y escritor, al que el rigor preocupaba menos que a otros hombres de ciencia. Bourbaki, opinabaque Poincar e haba legado una base insegura a la matem atica, y escriban un tratado enorme parallevar a la matem atica al sendero formal.6Del verbo latn frangere; romper, y jugando con vocablos anes ingleses, fraction; fracci on.66 Sumario de t opicos matem aticos e4.3.1. FractalesQu e es un fractal?Denici on de Benoit Mandelbrot: un fractal es un conjunto en el que su dimen-si on Hausdorff Besicovich excede extrictamente la dimensi on topol ogica.Todava en tinieblas? No te preocupes. Esta denici on s olo es importante si eresun matem atico.Un fractal es, simplemente, una gura que es construida a partir de piezas cadauna de las cuales es aproximadamente una copia reducida del fractal completo.Este proceso se repite hasta completar el fractal. Hay muchos hechos sorpren-dentes sobre los fractales:son independientes de la escala,son autosimilares,yrecuerdanobjetosencontradosenlanaturalezacomonubes, monta nas, ocostas.Seg un Edison De Fara en su artculo Fractales, otra denici on informal de fractalpodra ser: la dimensi on fractal de un objeto es una medida de su grado de irregularidad,considerada en todas sus escalas, y puede ser mayor que la dimensi on cl asica del objeto...Unfractal es algo irregular, pero lo m as importante es que si lo ampliamos arbitrariamente, ela un sigue siendo irregular.Hay muchas estructuras matem aticas que son fractales.Muchosfractalessoncreadosporunprocesoiterativoporejemplo: el fractalconocido como la curva de von K och es creada dividiendo una lnea hasta obte-ner 4 lneas. Esta es la primera iteraci on del proceso. Luego repetimos este cambio ydespu es de una cantidad innita de iteraciones, obtenemos un fractal. Su forma separece a la tercera parte de un copo de nieve.Muchas otras guras pueden ser construdas por m etodos similares. Por ejemplo,cambiando una lnea de manera distinta obtenemos un arbol.Las iteraciones pueden ser introducir posiblemente algo de ruido aletario en unfractaldividiendounalneaendoslneasyagregandounpocodeerrorpuedesobtener fractales que se parezcan a una costa de playa.Un proceso similar podra crear nubes, monta nas, y muchas otras formas de lanaturaleza.Un fractal es una manera de ver lo innito con el ojo de la mente. Ian Stewart, enel ap endice del libro What is the Mathematics?, de Richard Courant, dene fractalcomo objetos geom etricos con estructuras en todas las escalas.La matem atica detr as de los fractalesLos fractales son un cam