Lagrange-Funktion Bedingungen erster · PDF fileLagrange-Funktion Bedingungen erster Ordnung...
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Lagrange-Funktion Bedingungen erster Ordnung Notwendige Bedingungen für einen stationären Wert der Funktion f ( x) () unter der Nebenbedingung g ( x) = 0 () sind daß die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion L = f ( x)+ λg ( x) () nach x verschwinden ∂L ∂x i = f i + λg i = 0 fuer alle i oder kurz ∂L ∂x = ∂ f ∂x + λ ∂g ∂x = 0 Bedingungen zweiter Ordnung Für k = 2, ..., n definiert man die geränderten Hesse-Matritzen H r k = 0 g 1 g 2 ... g k g 1 f 11 f 12 ... f 1k g 2 f 12 . . g k f 1k f kk Bedingung zweiter Ordnung für ein Maximum ist det H r 2 > 0 , det H r 3 < 0 , det H r 3 > 0, .............. Bedingung zweiter Ordnung für ein Minimum ist det H r 2 < 0 , det H r 3 < 0 , det H r 3 < 0, ..............
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Lagrange-Funktion
Bedingungen erster Ordnung
Notwendige Bedingungen für einen stationären Wert der Funktion
f (x) ()
unter der Nebenbedingung
g (x) = 0 ()
sind daß die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion
L = f (x) + λg (x) ()
nach x verschwinden∂L∂xi
= fi + λgi = 0 fuer alle i
oder kurz∂L∂x
=∂ f∂x
+ λ∂g∂x
= 0
Bedingungen zweiter Ordnung
Für k = 2, ..., n definiert man die geränderten Hesse-Matritzen
Hrk =
0 g1 g2 ... gkg1 f11 f12 ... f1kg2 f12. .
gk f1k fkk
Bedingung zweiter Ordnung für ein Maximum ist
det Hr2 > 0 , det Hr
3 < 0 , det Hr3 > 0 , ..............
Bedingung zweiter Ordnung für ein Minimum ist
det Hr2 < 0 , det Hr
3 < 0 , det Hr3 < 0 , ..............
