1

1.Mechanik

1.1. Kinematik

1.1.1. Modell der Punktmasse (PM) und

Koordinatensysteme (KS)

Def. PM: Volumen V = 0 Einheit: [V] = m³

Masse m = endlich groß [m] = kg

Dichte ρ = m/V = [ρ] = kg/m3

Folgen: - Ort genau angebbar

- Drehung um sich selbst nicht möglich!

2

Ortsangabe erfolgt in einem Koordinatensystem (KS):

hier: Kartesisches KS (rechtwinklig)

Dimensionalität:

a) 1-dim. (Gerade) x-, y-, oder z-Achse

x<0 0 x>0 x

0 z<0

z>0

z

x

b) 2-dim. (Ebene) x-y oder x-z-Achse

c) 3-dim. (Raum) x-y-z-Achse

Ort des Punktes P(x,y,z) mit Koordinaten (x,y,z) durch

Ortsvektor festgelegt:

),,( zyxkzjyixr i

j

k

kji

,,Einheitsvektoren:

mit 1 kji

und kji

0 kjkiji

222 zyxrr

mit Betrag (Länge)

(Wiederholung Vektorrechnung)

b)

a)

c)

zyx eee

,,oder

3

1.1.2. Definition Geschwindigkeit und Beschleunigung

1.1.2.1. Eindimensionale Bewegung der PM

Definition Geschwindigkeit

t

x

tt

xxv

12

12

[v] = m/s

Momentangeschwindigkeit:

Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit

x1, x2 – Anfangs- u. Endort

xdt

dx

t

xv

t

0lim

Differenzialquotient

“1.Ableitung von x nach t“

v hängt oft von der Zeit ab:

Anstieg “tan “ der

x-t-Kurve zum Zeitpunkt t1,

v(t1) ist Tangente an x(t) Kurve

bei t1

1txz.B.: =

Exp.: Geschw. Luftgewehrkugel

0

x

t 1t

(Gibt an, wie sich x mit t ändert,

Momentangeschwindigkeit)

t

txttxv

t

0lim

Exp.: Momentangeschw.

4

Definition Beschleunigung

t

v

tt

vva

12

12

Momentanbeschleunigung:

Durchschnittsbeschleunigung: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit

v1, v2 – Anfangs- u.

Endgeschwindigkeit

xdt

xdv

dt

dv

t

va

t

2

2

0lim

0

v

t 1t

“1.Ableitung von v nach t“

“2.Ableitung von x nach t“

a hängt oft von der Zeit ab:

Anstieg “tan “ der

v-t-Kurve zum Zeitpunkt t1

a(t1) ist Tangente an v(t) Kurve

bei t1

1tvz.B.: =

Exp.: 1-dim allg. Bewegung auf

Luftkissenbahn

[a] = m/s2

(Gibt an, wie sich v mit t ändert,

Momentanbeschleunigung)

t

tvttva

t

0lim

5

1.1.2.2. Dreidimensionale Bewegung der PM

t

r

tt

rrv

12

12

Momentangeschwindigkeit:

Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit

– Anfangs- u. Endort

rdt

rd

t

rv

t

0lim

Differenzialquotient

21, rr

tv

ist Vektortangente an

tr

t

trttrv

t

0lim

6

t

v

tt

vva

12

12

Momentanbeschleunigung:

Durchschnittsbeschleunigung: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit

– Anfangs- u.

Endgeschwindigkeit

rdt

rdv

dt

vd

t

va

t

2

2

0lim

21,vv

Differenzialquotient

ta

ist Vektortangente an

tv

ta zeigt immer in Richtung des

Zentrums der gekrümmten Bahnkurve

t

tvttva

t

0lim

7

1.1.3.1. Gleichförmige, geradlinige (1-dim) Bewegung der

PM

1.1.3. Beispiele

constvv 0 00 xtx Anfangsbedingung:

dt

dxv 0

Separation der Variablen (x, t) dtvdx 0

Integration

t

t

tx

x

dtvdx

00

0

000 ttvxtx Weg-Zeit-Gesetz der

gleichförmigen, geradlinigen

Bewegung

000 ttvxtx

8

1.1.3.2. Gleichmäßig beschleunigte, geradlinige (1-dim)

Bewegung der PM

constaa 0 ,00 xtx Anfangsbedingung:

dt

dva 0

Separation der Variablen (v, t) dtadv 0

Integration

t

t

tv

v

dtavd

00

0

000 ttavtv

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der

gleichmäßig beschleunigten,

geradlinigen Bewegung

,00 vtv

000 ttavtv

9

dt

dxv

Separation der Variablen (x, t) dttvdx

Integration

t

t

tx

x

dttvdx

00

2000002

1ttattvxtx

Weg-Zeit-Gesetz der

gleichmäßig beschleunigten,

geradlinigen Bewegung

t

t

dtttavxtx

0

0000

000 ttavtv mit

10

Winkelgeschwindigkeit ist

Vektor entlang Drehachse:

1.1.3.3. Gleichförmige Kreisbewegung - 2-dim. Bewegung

der PM

Ortsvektor: 2-dim. Bewegung in x-y Ebene – Kreisbahn

Drehachse entlang z-Achse

,tr

constrtr

Radius der

Kreisbahn

PM bewegt sich auf Kreisbogen:

trts

Definition Winkelgeschwindigkeit:

r

v

dt

ds

rdt

rtsd

dt

d

1/

[] = rad s-1 = s-1

v

- Bahngeschwindigkeit,

tangentielle Geschwindigkeit

tr

tv

t ts

x

y

PM

z

11

gleichförmige Kreisbewegung: const

Integration

t

t

t

dtd00 00

tt

trtx cos 0,, ztytxtr trty sinmit

0,sin,cos ttrtr

Exp.: Messung x(t), y(t) - Plattenspieler

0,cos,sin ttrdt

rdtv

0,sin,cos2 ttrdt

vdtaz

Bahngeschwindigkeit:

r

r

r

vrtaz

2

2

Zentripetalbe-

schleunigung::

vrv ,

gleichförmige Kreisbewegung ist

beschleunigte Bewegung

0za

rv

r

vadt

vdz

Vektorprodukt (rechte Handregel)

Exp.: Schleifscheibe und

Vektorprodukt

tr

tv

t ts

tx

ty

x

y

PM

taz

,0,0

dt

d

0,0

vrv

dtd

12

rv

Vektorprodukt (rechte Handregel)

Exp.: Schleifscheibe und

Vektorprodukt

r

13

1.2. Dynamik - Kräfte

1.2.1. Kräfte als Vektoren

Kräfte sind Ursache für Geschwindigkeitsänderungen, d. h. Änderungen des Bewegungszustandes,

einer PM

Kräfte sind Vektoren und addieren bzw. subtrahieren sich wie diese:

Kraft F [F] = kg m/s2 = N

),,( zyxzyx FFFkFjFiFF

21 FFF

F

1F

2F

Kräfteparallelogramm

Bsp.: Segeln

0i

iF

Exp.: Kräftegleichgewicht mit Gewichten

0321 FFF

Gleichgewicht:

321 FFF

14

1.2.2. Newtonsche Axiome

Newtonsche Axiome sind Grundgleichungen der klassischen Mechanik

1. Axiom - Trägheitsgesetz

Exp.: rollende Kugel auf Ebene

Exp.: Flasche und Tischtuch

Eine PM verbleibt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung,

sofern auf sie keine äußeren Kräfte einwirken.

0i

iges FF

0 va

Koordinatensysteme (KS) in denen das 1. Axiom gilt, heißen Intertialsysteme.

Intertialsysteme: KS ruht oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit

constv

v

0

15

2. Axiom - Aktionsprinzip

Kraft ist Masse mal Beschleunigung:

amF

mit va

dt

vmdvmF

Impuls: vmp

[p] = kg m /s

Die zeitliche Änderung des Impulses einer PM ist gleich der wirkenden Kraft:

dt

pdF

(Charakterisiert Bewegungszustand einer PM)

Exp.: Impulsänderung auf schiefer Ebene

16

3. Axiom - Reaktionsprinzip

Wenn zwei PM miteinander wechselwirken, dann besitzen die Kräfte, welche die

PM aufeinander ausüben, den selben Betrag aber entgegengesetzte Richtungen:

BAAB

BAAB

FF

FF

ABF

BAF

Kraft von PM A auf PM B

Kraft von PM B auf PM A

Exp.: Rollwagen

A B ABF

BAF

17

1.2.3. Spezielle Kräfte

1.2.3.1. Gravitationskraft

Anziehende Kraft zwischen zwei PM m1 and m2

Newtonsches Gravitationsgesetz:

r

r

r

mm

rr

rr

rr

mmFG

2

21

12

12

212

2112,

Gravitationskonstante:

= 6,67259 · 10-11 m3 kg-1 s-2

21,12, GG FF

Newton´s 3. Axiom:

12,GF

- Kraft von m1 auf m2

21,GF

- Kraft von m2 auf m1

Gravitationskraft wirkt entlang Verbindungsvektor zwischen m1 und m2 12 rrr

Gravitationskraft ist „Zentralkraft“

m1

12,GF

1r

m2

2r

12 rrr

0

18

1.2.3.2. Schwerkraft - Gewichtskraft

- Spezialfall der Gravitationskraft

- Gravitationskraft die Erde auf eine Masse m in der Nähe der Erdoberfläche ausübt

Erdmasse: m1 = ME 5,97 1024 kg, m2 = m

Erdradius: r = RE 6370 103 m ME

ER

gFg

,

ze

m

z

z

E

Eg e

zR

mMF

2

mit 2

2

221 E

E

EE RR

zRzR

z << RE

z

E

Eg em

R

MF

2

gmegmF zg

mit Fallbeschleunigung: 2E

E

R

Mg

= 9,81 m/s2

r

r

r

mmFG

2

2112,

0

19

Bestimmung von g mit Atwoodscher Fallmaschine Exp.: Atwoodsche Fallmaschine

gmF

11

gmF

22

T

T

aa

m1

m2

z

T

- Zugspannung, Zugkraft im Seil

- m2 > m1

2. Newtonsches Axiom: m a = F

(I) Abwärtsbewegung: -m2 a = -m2 g + T (II) Aufwärtsbewegung: m1 a = T -m1 g

(II) – (I): m1 a + m2 a = -m1 g + m2 g

amm

mmg

12

12

a < g

Fallbewegung kann mit einfachen

Mittel untersucht werden

- Vernachlässigen Reibung sowie Massen des

Seils und der Rolle

20 20

1.2.3.3. Federkraft

- elastische Kraft die bei Dehnung oder Stauchung einer Feder (z. B. Spiralfeder) auftritt

- kann zur Messung anderer Kräfte genutzt werden (Federkraftmesser)

z0 = 0

z = z

z = 2 z

z = 3 z

z = 4 z z

gF

RF

RF

- Federkraft, rückstellende Kraft

Kräftegleichgewicht, 0i

iF

0 gR FF

gR FF

Hook´sche Gesetz:

zKFR

gR FF

zKFg

K - Federkonstante

[K] = kg/s2 = N/m

Messung der Gewichtskraft

durch Federkraftmesser

Exp.: Federkraftmesser

21

1.2.3.4. Zentripetalkraft

gleichförmige Kreisbewegung ist beschleunigte Bewegung mit

Zentripetalbeschleunigung rvaz

2. Newton´sches Axiom: amF

Zentripetalkraft wirkt in Richtung des

Zentrums der Kreisbahn

rmvmamF zz

tr

tv

x

y

PM

zz aF

,

Exp.: Federkraftmesser mit rotierender Masse

Papierscheibe und Kreide

Konisches Pendel

22

1.2.3.5. Reibungskräfte

1.2.3.5.1. Haft- und Gleitreibung

GHF ,

RF

gmFn

xe

x

GHF ,

nF

- Reibungskraft (H – Haftreibung)

(G – Gleitreibung)

-Normalkraft, senkrecht zur

Unterlage

xnGHGH eFF

,,

nGHGH FF ,,

GH , - Reibungskoeffizienten

(abhängig von Beschaffenheit der

Kontaktflächen)

GH

es gilt im allgemeinen

Exp.: Holzblock auf Holz, Messung von Reibungskräften mit Federkraftmesser

Schlaufe mit Gewicht auf schräger Achse

Ankerspill

Video

FH,G

23

1.2.3.5.2. Reibung in Fluiden

Reibungskraft ist Funktion der Geschwindigkeit des Körpers F = f(v)

a) Stokes Reibung bei kleinen Geschwindigkeiten

Bedingung: laminare Strömung, strömende Schichten (auftretende Wirbel sind stationär)

vFS

vrFS

6Bsp. Kugel mit Radius r: Stoke´sches

Gesetz

- Viskosität des Fluids, [] = kg (ms)-1

b) Newton Reibung bei hohen Geschwindigkeiten

Bedingung: turbulente Strömung (auftretende Wirbel sind instationär)

2vFN

v

vvAcF wN

2

2

- Dichte des Fluids

cw - Wert

A - Querschnitt des Körpers

24

1.2.3.6. Trägheitskräfte

-Trägheitskräfte treten auf, wenn Bewegung einer PM bzgl. eines beschleunigten KS (KS´)

beschrieben wird

-Trägheitskräfte sind Scheinkräfte

KS´ bewegt sich mit Beschleunigung bzgl. Inertialsystem KS Ra

PM mit Masse m in KS in KS´

Beschleunigung von m

Kraft auf m

a

Raaa

´

amF

´´ amF

RT amF

TF

ist Trägheitskraft

RamFF

´

TFFF

´

Exp.: Kugel auf Wagen,

Brett mit Wagen auf schiefer Ebene

25 25

Beispiel:

beschleunigter Fahrstuhl Tg FFF

´

zRz emaemgF

´

zR eagmF

´zg emgF

RR aa ,0,0

freier Fall: gaR ,0,0

0´F

fallender Körper ist

schwerelos Exp.: Poggendorf Waage

Beispiel: gleichförmige Kreisbewegung

tr

tv

x

y

PM

zz aF

,

KS

KS´

KS´ rotiert mit PM 0´ Tz FFF

zT FF

rmrvmFF zfT

Zentrifugalkraft:

Anwendung: Zentrifuge mFzf

Trennung nach Masse

RT amF

rmvmFz

Zentripetalkraft:

gF

Ra

KS

KS´

z

´F

26

rmFzf

sincos2 mgrm

g

r2

tan

dx

dy

g

x

g

r

22

tan

22

2

1x

gxy

Flüssigkeitsoberfläche

ist Parabel

Steighöhe ist nicht von m

abhängig

Exp.: rotierende Küvette

Kräftegleichgewicht effgeffzf FF ,,

Kräftegleichgewicht effgeffzf FF ,,

27

1.2.3. Bewegungsgleichung einer PM

allg. Bewegungsgleichung: rmF

zweifache Integration der Bewegungsgleichung nach der Zeit ergibt Weg-Zeit-Gesetz

der PM

beruht auf 2. Newtonschen Axiom

1

1cdtF

mtv

tr

212 ´1

cdtcdtdtFm

cdttvtr

Die Integrationskonstanten c1 und c2 sind durch die Anfangsbedingungen der Bewegung

bestimmt.

z. B.:

00

00

vttv

rttr

28

1.2.3.1. Schiefe Ebene

x

xF x0

nF

gmFg

h

l

sinmgFx

cosmgFn Normalkraft:

Hangabtriebskraft:

x(t = t0) = x0, v(t = t0) = v0, t0 = 0 Anfangsbedingungen:

1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:

tt

tx

v

v

dtgdtFm

dv0

sin1

00

tgvtv sin0

2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:

t

t

x

x

dttvdx

00

200 sin

2

1tgtvxtx

tx

x

dttgvdx0

0 sin

0

gleichmäßig beschleunigte geradlinige

Bewegung

keine Reibung, FR = 0 a) keine Reibung, FH,G = 0

Exp.: Vergleich Impulsänderung und

wirkende Kraft auf schiefer Ebene

1

1cdtF

mtv

2cdttvtr

29

x

xF x0

nF

gmFg

h

l

GF

b) mit Gleitreibung, FG

cosmgFF GnGG

Gxgesx FFF ,

cossincossin, GGgesx mgmgmgF

1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:

t

G

t

tgesx

v

v

dtgdtFm

dv0

, cossin1

00

tgvtv G cossin0

2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:

t

t

x

x

dttvdx

00

200 cossin

2

1tgtvxtx G

falls 0cossin G

d.h. Gx FF

G tan gleichförmige, geradlinige

Bewegung

Exp.: schiefe Ebene mit Reibung

gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

mit Reibung, FR = FG > 0

cosmgFn

1

1cdtF

mtv

2cdttvtr

30 30

1.2.3.2. Wurfbewegung

z

x xmax

0v

z0

zmax

zgz emgFF

Bewegungsgleichung: rmF

zyxmFFF zyx ,,,,

zyxmmg ,,,0,0

vertikale (z) und horizontale (x, y)

Bewegung sind unabhängig voneinander

Exp.: Unabhängigkeit der Bewegung

Lösung der Bewegungsgleichung für jede Komponente x, y, z durch zweifache Integration

nach der Zeit mit Anfangsbedingungen sin,0,cos 000 vvv

00 ,0,0 zr

200

2

1sin gttvztz tvtx cos0 0ty

Wurf in xz-Ebene

gleichmäßig beschleunigte geradlinige

Bewegung in z-Richtung

gleichförmig Bewegung

in x-Richtung

31 31

Bahngleichung: tvtx cos0 cos0v

txt

einsetzen in 200

2

1sin gttvztz

220

2

0cos2

tanv

xgxzz

z

x xmax

0v

z0

zmax Wurfparabel, z = f(x2)

- Reichweite xmax für z0 = 0 aus z = 0:

220

maxmax22

0

2max

maxcos2

tancos2

tan0v

xgx

v

xgx

2sincossin2 2

020max

g

vv

gx

- Höhe zmax für z0 = 0 :

g

vz

2

sin220

max

0

costan

220

v

xg

dx

dz

g

vx

cossin20

Extremwertaufgabe 0dx

dz

maximale Reichweite für = 45°

Exp.: Simulation Wurfbewegung

2

2ft

gh

32 32

Spezialfall: Vertikaler Wurf aus Höhe z0 = h:

200

2

1sin gttvztz

z

z0

h

20

2

1gttvhtz

= 90°

Spezialfall: Freier Fall aus Höhe z0 = h mit v0 = 0:

2

2

1gthtz

Fallzeit tf: 2

2

10 fgth

g

ht f

2

Exp.: - Freier Fall, tf = f(h) zur Bestimmung von g

- Darstellung h = g/2 tf2 d.h. h = m tf

2 ist Gerade mit Anstieg m = g/2

Bestimmung von Anstieg m über lineare Regression und

Ermittlung von g aus Anstieg m und g =g/2

33

1.2.3.3. Freier Fall mit Stokes Reibung

Kugelfall in Fluid mit Viskosität

Bewegungsgleichung:

vRF

vrF

S

S

6Reibungskraft:

(Stokes)

zmFF Sg

dt

dvmRvmg

v

v

t

t vm

Rg

dvdt

00 00

v

mg

R

R

mt 1ln

tm

R

eR

mgtv 1

t

t

x

x

dttvdx00 00

1t

m

R

eR

mt

R

mgtx

t

v

r

mg

R

mgtv

6

gttv 0

Exp.: Kugelfall in Wasser

Anwendung: Kugelfallviskositätsmessung

(Vernachlässigung von Auftrieb)

dt

dvv

m

Rg

34

1.2.3.4. Freier ungedämpfter harmonischer Oszillator

x

x = 0

-x

0xFR

xR eKxxF

Auslenkung der PM mit Masse m

erzeugt rückstellende Kraft:

KxxFR

xFxmF R Bewegungsgleichung: Kxdt

xdm

2

2

0202

2

xdt

xd

m

K0mit

wirkende Kraft oder Beschleunigung proportional und

entgegengesetzt zur Verschiebung x der PM sind

harmonische Schwingung

(harmon. Oszillator)

Bewegungsgln. des freien,

ungedämpften harmon. Oszillators

02

2

Kxdt

xdm

35

0202

2

xdt

xdLösung von (homogene Differentialgleichung 2.Ordnung) :

000 sin txtx

x

t

00

0

21

T

0 = 0

0 = 90° x0

-x0 0 = -180°

x0 - Amplitude

- Kreisfrequenz m

K0

2

00 - Frequenz

[0] = s-1

[0] = Hz = s-1

00 t - Phase der Schwingung mit

Phasenkonstante 0

K

m

T

2

1

00

- Schwingungsdauer

[T0] = s

da einsetzen von x(t) in Bew.-gln.

0sinsin 0020000

200 txtx

Exp.: Federschwinger, T0 m1/2

Anwendung: Molekülschwingungen,

Gitterschwingungen

36

1.2.3.5. Mathematisches Pendel

Radialkraft spannt Faden mit Zugspannung T TmgFr cos

sinmgFt Tangentialkraft verursacht Beschleunigung

Bewegungsgleichung: 2

2

sindt

sdmmgFt

sin2

2

gdt

sd

mit Kreisbogen ls 0sin2

2

l

g

dt

d

Grenzfall kleine Auslenkung <<1: sin

0202

2

dt

d

l

g0mit

harmonische Schwingung

(harmon. Oszillator)

Lösung: 000 sin tt g

lT

2

2

0

0 Schwingungsdauer:

0T ist unabhängig von m Exp.: math. Pendel, T0 m,

T0 l1/2, T0 = f(g)

rF

tF

gF

T

l

ts

m

ts - Kreisbogen

beschreibt Bahn

des Pendelkörpers

37

1.2.3.6. Freier gedämpfter harmonischer Oszillator

freier harmonischer Oszillator mit Reibung (Stokes)

RvkxFxFxm SR Bewegungsgleichung:

m

R

202 2

02

2

xdt

dx

dt

xd

m

K0mit

(homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)

und Dämpfungskonstante

Lösung für den Fall schwacher Dämpfung < 0:

tAetx t 'cos

gedämpfte Schwingung mit Frequenz

022

0'

x Einhüllende: tAe

Dämpfung

Exp.: Pendel in Wasser

physikalisches Pendel und Magnet

Anwendung: Spektroskopie im Zeitbereich

(NMR – „Free Induction Decay – FID“,

Dämpfung = Relaxation)

vRFS

Reibungskraft:

38

1.2.3.7. Erzwungene Schwingung

gedämpfter harmonischer Oszillator mit periodischer äußerer Kraftanregung

K x Bewegungsgleichung: tfx

dt

dx

dt

xd cos2 2

02

2

mit

(inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung)

Lösung für t , stationäre Lösung: txtx cos

22222

0 4

f

x

220 2 r

xAmplitude ist von Erregerfrequenz

abhängig:

x

Exp.: erzwungene Schwingung mit

Federschwinger

Anwendung: Wechselwirkung

Licht – Materie

(Absorption, Dispersion)

max. Energieabsorption bei

r

m

Ff 0

tFtF cos0

xAmplitude hat Maximum bei der

Resonanzfrequenz:

0

d

xdaus

Resonanzkurve

rx max

39

x

txtx cos

22222

0 4

f

x

220 2 r

220

2tan

0

frequenzabhängige Amplitude

frequenzabhängige Phasenverschiebung

zwischen periodischer Kraftanregung

und Oszillator

Exp.: Spiralfeder,

Video Tacoma Bridge

rx max

40

1.3. Erhaltungssätze der Mechanik

1.3.1. Energieerhaltung

1.3.1.1. Arbeit und Leistung

b

a

r

rab rdrFW

PM m wird durch Kraft um Weg verschoben F

r

F

verrichtet Arbeit W an PM

rFW

[W ] = kg m2 s-2 = Nm = J

Beachte: W ist Skalarprodukt

cosrFW

r

F

wenn constF

Verallgemeinerung:

iii

rab rrFW

i

0lim

ar

- Anfangsort br

- Zielort

Arbeit:

Arbeit W >0, wenn Arbeit

an PM verrichtet wird !

Arbeit wird immer gegen eine im System vorhandene Kraft (z. Bsp. Schwerkraft, Federkraft) verrichtet

41

Leistung:

Leistung P ist die pro Zeiteinheit an PM verrichtete Arbeit

dt

dWP

Falls W zeitunabhängig: t

WP

[P] = Nm s-1

Falls zeitunabhängig: vFdt

rdF

dt

dWP

F

constF

(W = const)

Beispiel:

Fahrradergometer

42

1.3.1.2. Kinetische Energie

Erfahrung sagt:

Um einen Körper zwischen und auf eine

Geschwindigkeit v zu beschleunigen, muss man

die Arbeit W verrichten.

0r

r

Die Arbeit W ist in Form von kinetischer Energie in

dem sich bewegenden Körper gespeichert.

43

1.3.1.3. Potentielle Energie

Idee: Kraft leistet Arbeit

an PM

Arbeit wird in PM in

Form von potentieller

Energie gespeichert

PM kann diese potentielle

Energie wiederum in

Arbeit umwandeln, die

PM selbst verrichtet

Definition: ab

r

rabpot WrdrFrrE

b

a

,

Epot ist Maß für die im

System (PM) gespeicherte

Arbeit

Umkehrung:

z

rE

y

rE

x

rErF

potpotpot

,,

Konzept: Wenn die von der Kraft geleistete Arbeit Wab nicht vom Weg, sondern nur vom

Anfangsort und Endort abhängt, dann heißt die Kraft “konservativ“ und wir

können eine potentielle Energiedifferenz definieren. ar

br

FF

abpot rrE

, 0 rdF

Keine Reibung!

44

1.3.1.4. Energieerhaltungssatz

Berechnen die Zeitableitung der potentiellen Energie:

dt

dz

z

E

dt

dy

y

E

dt

dx

x

E

dt

trdE potpotpotpot

dt

dE

dt

rdmrrmrF kin

2

2

0dt

dE

dt

dE potkin

constEEE

EEdt

d

gespotkin

potkin

0Energieerhaltungssatz der Mechanik:

(gilt bei Vernachlässigung der Reibungskräfte)

Die Gesamtenergie Eges eines abgeschlossenen

Systems (keine Reibung !) ist konstant!

2

2

2

2

rm

vm

Ekin

dzz

Edy

y

Edx

x

EtrdE

potpotpot

pot

ausgehend vom totalen Differential

der potentiellen Energie

45

1.3.1.5. Energieerhaltungssatz - Beispiele

a) schiefe Ebene, keine Reibung

z

z = h

z = 0

zg emgF

m

m

1

2

01 v

constEEEEE potkinpotkinges )2()2()1()1(

mghmgdzrdFEhz

z

r

rgpot

b

a

0

1

02

21 vm

Ekin

Ort 1:

02 potE 22

2v

mEkin Ort 2:

constvm

mhgEges 2

200

ghv 2

vv 2

Exp.: schiefe Ebene, v = f(h)

(a)

(b)

46

bei :

b) Federschwinger, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung)

000 sin txtx

0xtx bei :

00

0

0

20

0 2

xx

x

xx

xR

xxpot

xKKxdxdxFE

21 02

xvm

Ekin

0xtx 2

200

xKE

xxpot

00 xx

kinE

bei : 0tx 00 xpotE

220

20

20 0

22

1

2 xv

mxmx

KEges 000 xxv

Folgt auch für 0 = 0 aus:

00000 cos

00

xtx

txtv

Gesamtenergie des harmonischen Oszillators:

m

K0

RF

RF

00 xx

kinE

constEEEEEEExx

pot

xx

kin

x

pot

x

kin

xx

pot

xx

kinges )()()0()0()()( 0000

47

c) mathematisches Pendel, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung)

mghEpot 0

00

kinE

00 potE

20

20

20

2 gl

mv

mEkin constgl

mEges 2

02

Exp.: Nagelpendel

0

h

l

2!2

11cos122

0oo mglmglmgl

10

tt 00 sin

tl

dt

ld

dt

dsv 000 cos

gll

gllv 00000

glv 00

Folgt aus: und l

g0

constEEEEEEE potkinpotkinpotkinges )()()0()0()()( 0000

48

1.3.2.1. Impulserhaltungssatz

Exp.: Pendelstoß mit mehreren Kugeln

Modell „isoliertes System“: Summe aller Kräfte auf alle N Teilchen im System ist null, d. h.

keine Kraft wirkt von außerhalb auf System! 0N

iiF

0

N

i

iN

i

iN

ii

dt

pd

dt

vmdF

constpN

ii

Gesamtimpuls der Teilchen in einem

abgeschlossenen System ist konstant!

1.3.2. Impulserhaltung

constpN

iix , constp

N

iiy , constp

N

iiz ,

In jeder Raumrichtung bleibt die Summe aller Impulse erhalten!

49

1.3.2.2. Schwerpunktsatz

Definition Schwerpunkt: isoliertes System

Schwerpunkt eines isolierten Systems ist

der Massenmittelpunkt

M

rm

m

rm

r

N

iii

N

ii

N

iii

S

constM

p

dt

rdv

N

ii

SS

Geschwindigkeit des Schwerpunkts:

Schwerpunkt eines isolierten Systems ruht oder

bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit

Exp.: Impulserhaltung

(Impulswagen, Wasserrad, Rakete)

constpvMpN

iiSS

Impuls des Schwerpunkts:

Der Gesamtimpuls eines isolierten Systems

entspricht dem Impuls des Schwerpunktes

und ist konstant

50

Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz

4. Streich

51

Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz

4. Streich

52

„Und voll Dankbarkeit so dann

zündet er sein Pfeifchen an“

Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz

4. Streich

53

„Rums! Da geht die Pfeife los!“

constvmp ii

N

ii

Impulserhaltungssatz,

Für alle Gegenstände in

Meister Lampe‘s Zimmer

- vor Explosion ruhen alle

Gegenstände:

0 ii

N

ii vmp

- nach Explosion fliegen alle

Gegenstände in verschieden

Richtungen davon, aber

Gesamtimpuls ist wie vor

Explosion:

0' ii

N

ii ump

uLehrer Lämpel uOfen

uTisch uBrille

Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz

54

Beispiel: Zusammenstoß zweier Scheiben auf glatter Unterlage, !

vor dem Zusammenstoß: gespvmvmpp

221121

nach dem Zusammenstoß: gespumumpp

2211'2

'1

22112211 umumvmvm

'

2

'

121 pppp

constM

p

dt

rdv

N

ii

SS

1v

2v

1u

2u

Sv cm (center of mass)

- Schwerpunkt

0gesp

55

1.3.2.3. Stoßprozesse

1.3.2.3.1. Zentraler elastischer Stoß

m1 m2 1v

2v

x

Geschwindigkeiten vor Stoß:

Geschwindigkeiten nach Stoß:

0,0,11 vv

0,0,22 vv

0,0,11 uu

0,0,22 uu

Es gilt Impuls- und Energieerhaltung

Impulserhaltungssatz:

Energieerhaltungssatz: 222

211

222

211

2

1

2

1

2

1

2

1umumvmvm

Lösung für v2 = 0 (m2 ruht im Laborkoordinatensystem) 1

21

211 v

mm

mmu

1

21

12

2v

mm

mu

22112211 umumvmvm

56

Beispiele zentraler elastischer Stoß: 1

21

211 v

mm

mmu

1

21

12

2v

mm

mu

- m1 = m2, v2 = 0, v1 >0 u1 = 0, u2 = v1

Exp.: Pendelstöße mit m1 = m2

- m1 < m2, v2 = 0, v1 >0 u1 < 0, 0 < u2 < v1

Exp.: Pendelstöße mit m1 m2

- m1 > m2, v2 = 0, v1 >0 0 < u1 < v1, u2 > v1

- m2 = v2 = 0, v1 >0 u1 = -v1, u2 = 0 Reflektion an Wand

Stoß von Gasmolekül mit Wand (Fläche A): Impulsänderung: px = m1u1,x - m1v1,x = -2 m1v1,x

t

vm

t

pF

xxx

,112führt zu Kraft auf Wand

Druck der Gasmoleküle

auf Fläche A V

vNm

A

FNp

xxx2,11

N Moleküle im Volumen V

produzieren Nx Stöße pro

Zeit t auf Fläche A: V

tAvNN

xx

,1

2

Exp.: Pendelstoß mit Amboss, Astroblaster

Modell ideales Gas

57

1.3.2.3.2. Zentraler unelastischer Stoß

Exp.: Kugelfall auf Stahl, Messing, Blei

Es gilt nur Impulserhaltung

Impulserhaltungssatz: 22112211 umumvmvm

Energieerhaltungssatz gilt nicht, da Teil der mechanischen Energie in Wärme- und

Deformationsenergie umgewandelt wird: 222

211

222

2112 vmvmumumE

Bei einem perfekten unelastischen Stoß gilt: 21

221121

mm

vmvmuuu

Exp.: unelastische Stöße mit Sandsäcken

Crash Test (Video)

constpN

ii

58

1.4. Drehbewegung und starrer Körper

1.4.1. Spezielle physikalische Größen der Drehbewegung

tr

tv

t

PM

22

2

1rmErot

rv

Bahngeschwindigkeit:

rvv

,

222 rv

Rotationsenergie entspricht kinetische Energie bei Drehbewegung:

2

2

1vmEE rotkin

1.4.1.1. Kinetische Energie bei Drehbewegung - Rotationsenergie

59

1.4.1.2. Drehmoment und Drehbewegung

Exp.: Drehmoment und Drehtisch

Drehmoment FrT

[T] = Nm

x

tr

tv

t

PM

F

Drehmoment als Maß für die Effektivität der

angreifenden Kraft bzgl. der Drehbewegung

T

,FT

,rT

sinT

sinrFT

60

Allg. Bewegungsgleichung

für Drehbewegung

1.4.1.3. Drehimpuls und Drehimpulserhaltungssatz

dt

pdrFrT

dt

pdr

dt

pdrpv

dt

prd

aber

dt

prdT

dt

LdT

prL

Drehimpuls [L] = kg m2 s-1

0T

constL

Wenn das angreifende äußere Drehmoment

null ist, bleibt der Drehimpuls erhalten

Drehimpulserhaltungssatz:

Bsp.: Zentralkraft, rF

|| Gravitationskraft, Planetenbewegung

Coulombkraft, Elektron im H-Atom

(Bohr‘s Atommodell)

rrmvmr

61

1.4.2. Mechanik des starren Körpers

1.4.2.1. Model starrer Körper

aufgebaut aus PM mi oder Massenelementen dm mit

festen Abständen untereinander constrr ji

x

y

z

ir imjr

kr

jm

km Modell:

und Gesamtmasse N

iimM

VM

dVrdmM

r

V

- Dichte

-Volumen

bzw.

dVrdm

mit

62

(Der Gesamtimpuls eines isolierten Systems ( )

entspricht dem Impuls des Schwerpunktes

und ist konstant) x

y

z

ir imjr

kr

jm

km

Sr

Schwerpunkt:

M

rm

m

rm

r

N

iii

N

ii

N

iii

S

bzw. für homogenen Körper:

VM

S dVrrM

dmrM

r

11

V

S dVrV

r 1

Bewegung des Schwerpunkts:

SSS pvM

dt

rdM

G

SS Fdt

pd

dt

rdM

2

2

Schwerpunkt bewegt sich wie PM mit Masse M

unter Einfluss einer äußeren Gesamtkraft

(vgl. mit Schwerpunktsatz in 1.3.2.2.)

0GF

Exp.: Drehmomentkörper

Doppelkegel

Allg. Bewegung des starren Körpers setzt sich zusammen aus Translations-

bewegung des Schwerpunkts und Rotationsbewegung um eine Achse durch

den Schwerpunkt

V

Mconstr

dVrdm

63

1.4.2.2. Rotationsbewegung des starren Körpers

1.4.2.2.1. Drehmoment

- Verallgemeinerung der für die einzelne PM abgeleiten Gesetze für die Drehbewegung durch

Aufsummierung für alle PM mi bzw. Massenelement dm des starren Körpers

Idee:

Drehmoment FrT

sinrFT

r

T

F

- Rotationsachse geht durch Schwerpunkt entlang einer Symmetrieachse des starren Körpers

Exp.: folgsame Rolle

64

Exp.: folgsame Rolle FrT

r

F

T

r

F

T

65

1.4.2.2. Rotationsbewegung des starren Körpers

1.4.2.2.1. Drehmoment

- Verallgemeinerung der für die einzelne PM abgeleiten Gesetze für die Drehbewegung durch

Aufsummation für alle PM mi bzw. Massenelement dm des starren Körpers

Idee:

Drehmoment FrT

Exp.: folgsame Rolle

sinrFT

r

T

F

- Rotationsachse geht durch Schwerpunkt entlang einer Symmetrieachse des starren Körpers

Gleichgewichtsbedingung 0i

iT

Summe aller angreifenden Drehmomente ist Null

Exp.: Schwerpunkt Besen

Hebel

66

Torque and Wrenches

wrench

torque is controlled by

length of wrench and force

you are applying

torque wrench

torque is controlled or

measured

by internal mechanism

(mechanical or electronic)

Exp.: Video Reifenwechsel

sinrFT

r =

F = = 90°

67

1.4.2.2.2. Rotationsenergie und Trägheitsmoment

22

2

1rmErot

PM

Starrer Körper:

Aufsummierung aller PM

bzw. Massenelemente i

iirot rmE 22

2

1

M

rot dmrE 22

2

1

mit Trägheitsmoment

IErot2

2

1

[I] = kg m2

für alle mi, da starrer Körper const

M

dmrI 2

Trägheitsmoment ist abhängig von

- Form und Masseverteilung des Körpers als auch von

- Lage der Rotationsachse bzgl. des Schwerpunkts und bzgl. der Symmetrieachsen des Körpers

ir

im

jr

jmkm kr

ir

68

69

Anwendung: Zylinder auf schiefer Ebene

Zylindermantel: 2

2

1MRIV Vollzylinder:

2MRIM

Energieerhaltungssatz:

000)( ,, zEzEzEhzEE rotvkingeskinpotges S

00)( , zEzEhzE rotvkinpot S

22

2

1

2

1IMvMgh s

Rollen ohne Rutschen: RvS

2

22

2

1

2

1

R

vIMvMgh s

s

2

2

R

IM

MghvS

Zylindermantel Vollzylinder

ghv VS3

4, ghv MS ,> Exp.: Zylinder auf schiefer Ebene

0 hzvs ss vzv 0

Ekin des

Schwerpunkts

Erot des starren

Körpers

RrS aus

z

z = h

z = 0

)(zvS

)0( zvS

R Sr

70

1.4.2.2.3. Drehimpuls

PM

Starrer Körper:

Aufsummierung aller PM

bzw. Massenelemente

i

iirmL 2

M

dmrL 2

rrmvmrprL

IL

Tdt

Ld

Tdt

dI

Bewegungsgleichung:

Drehimpulserhaltung: 0T

constL

I

LIErot

22

1 22

Exp.: Drehstuhl und Drehimpulserhaltung

ir

71

0Stuhl

0Stuhl

KreiselStuhl

fi II

M

dmrI 2

0T

constIL

ffii II

if

72

73

1.4.2.2.4. Anwendung – Rotationsspektrum zweiatomiger Moleküle

a) Trägheitsmoment

Bsp.: CO, NO, H2, O2, …

Modell starrer Rotator: konstante Bindungslänge r0

Rotationsachse durch Schwerpunkt

21

02

mm

rm

m

rm

rN

ii

N

iii

S

Schwerpunkt:

2022

1 SS rrmrmI

C

r = r0 r

r = 0

m1 m2 O

r = rS

20

21

2120 r

mm

mmrI

21

02

mm

rmrS

reduzierte Masse: 21

21

mm

mm

= 15.74 10-47 kg m2

12C16O

r0 = 0.115 nm

13C16O

= 0.115 nm

I = 15.05 10-47 kg m2

Bsp.:

Exp.: Rotation um freie Achsen

(Quader, Zylinder)

2

ii

irmI

Atome als PM

Trägheitsmoment:

74

b) Rotationsenergie

I

LErot

2

2

Quantenmechanik:

(Quantisierung des Drehimpulses)

122 JJL mit Drehimpulsquantenzahl J = 0, 1, 2, …

12

2

, JJI

E Jrot

JrotE ,

1E

2E

3E

0,0 0 EJ

IEJ

2

1,1

IEJ

2

2

3,2

IEJ

2

3

6,3

JJJ EEE 1

1212

2

JJJJI

12

JI

c) Rotationsspektrum:

Bestimmung von I

und r0

aus Linienabstand I

2äquidistante Linien

Frequenzbereich: = 2 GHz – 2 THz

20

21

2120 r

mm

mmrI

mit

J = 0 1 2 3 4

I

2

I

2

I

2

I

2

E = h

I

2

75

1.5. Wellen

Eine Welle ist eine periodische Änderung einer physikalischen Größe, z. Bsp. Auslenkung

einer PM gegenüber ihrer Gleichgewichtslage, in Zeit und Raum.

z

rt

,

Exp.: gekoppelter Oszillator

76

1.5.1. Longitudinale eindimensionale harmonische Welle

zkteAzt zz sin,

Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±z Richtung

Wellenfunktion:

(Weg-Zeit-Gesetz)

t

21T

0, zzt

z

zk

2

ztt ,0

A - Amplitude

- Wellenlänge

2zk - Wellenzahl

Exp.: longitudinale Welle auf Spiralfeder

zkt z - Phase der Welle

[] = m

[kz] = m-1

Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:

zkteAzt zz sin,

77

1.5.2. Transversale eindimensionale harmonische Welle

zkteAzt zyx sin, ,

Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±x oder ±y Richtung

Wellenfunktion:

(Weg-Zeit-Gesetz)

t

21T

0, zzt

z

zk

2

yxtt oder,0

0

,,2

22

2

2

z

ztv

t

ztph

Wellengleichung:

(Bewegungsgleichung)

(eindimensional)

Exp.: transversale Wellen auf Wellenmaschine

Wellenmodell

phv - Phasengeschwindigkeit

Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:

zkteAzt zyx sin, ,

z

phk

vmit

78

1.5.3. Phasengeschwindigkeit

Phasengeschwindigkeit – Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle,

genauer, Geschwindigkeit mir der sich eine spezielle Phase, ,

z. Bsp. ein Maximum der Wellenfunktion bewegt:

zkt z

constzkt z

0 zktdt

dz

Bedingung:

0dt

dzkz phv

dt

dzmit

z

phk

vPhasengeschwindigkeit

Explizite Formel für Phasengeschwindigkeit hängt vom speziellen Typ der Welle und Medium

in dem sich die Welle ausbreitet ab!

0 phzvk

Im allgemeinen gilt: sinkt mit Masse der schwingenden Teilchen

wächst mit zunehmenden elastischen, rückstellenden Kräften

zwischen den Teilchen

phv

phv

zkteAzt zyx sin, ,

Maximum

79

1.5.3. Beispiele für Wellentypen und Phasengeschwindigkeit

a) Seilwellen Transversalwellen

lm

Fvph

F – Zugkraft im Seil

m – Masse des Seils

l – Länge des Seils

b) Elastische Wellen in Festkörpern

Exp.: Seilwelle

Longitudinalwellen

Evph

E – Elastizitätsmodul

– Dichte

Transversalwellen

Gvph

G – Schub- bzw. Torsionsmodul

Exp.: Simulation von Wellen im Festkörper

Phasengeschwindigkeit einer Longitudinalwelle in

Al-Stab

c) Schallwellen in Gasen

pvph

Longitudinalwellen p – Druck

– Dichte

– Adiabatenkoeffizient

Exp.: Simulation von Schallwelle

80

1.5.4. Überlagerung von Wellen

1.5.4.1. Stehende von Wellen

Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz und Wellenzahl aber entgegengesetzter

Ausbreitungsrichtung

Welle in +z Richtung:

Welle in -z Richtung:

zktA z sin1

Superposition: zktzktA zz sinsin21

2cos

2sin2sinsin

2sin

2cos2

tzkA z

- Phasenunterschied

Schwingung

2sin

t

2cos2

zkA zmit ortsabhängiger Amplitude

zktA zsin2

Periodizitäten in Zeit und Raum sind nun entkoppelt!

Resultat

81

2sin

2cos2

tzkA z

Diskussion:

Schwingungsknoten: 02

cos

zkz

212

2

nzkz

12

42212

1nn

kz

z

Schwingungsbäuche: 12

cos

zkz

nzkz

2

nn

kz

z

242

1

Amplitude oszilliert zwischen

-A und +A mit Schwingungsdauer

2T

Anwendung: Resonatoren, LASER

Knotenabstand: 2

z

82

Exp.: stehende Wellen

Reflektion am freien und festen Ende (Simulation)

Seilwelle

Wellenmaschine

stehende Welle im Hörsaal

83

1.5.4.2. Interferenz von Wellen

Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz, gleicher Wellenzahl und gleicher Ausbreitungsrichtung,

aber konstanter Phasendifferenz = const

2sin1

zktA z

Superposition:

zktA z

sin2

cos2

2sin2

zktA z

21

2cos

2sin2sinsin

Amplitude ist abhängig von Phasendifferenz

destruktive Interferenz:

(Auslöschung)

konstruktive Interferenz:

(Verstärkung)

0 02

cos 12 n

A2 12

cos n2

84

betrachte Phasendifferenz als Gangunterschied z = z2 –z1

zkz

2zGangunterschied:

destruktive Interferenz:

(Auslöschung)

konstruktive Interferenz:

(Verstärkung)

122

nz

nz

Exp.: Interferenz von Wasserwellen

(Simulation)

Interferenz von Schallwellen

Anwendung: Lichtbeugung,

Röntgenbeugung,

Elektronen- und

Neutronenbeugung

12 n

n2

z2 z1 z

Quelle 1 Quelle 2 Beobachter