Bautechnik 82 (2005), Nr. 4, S. 236 - 246 1

Torsten Wichtmann

Theodor Triantafyllidis

Dynamische Steifigkeit und Damp-

fung von Sand bei kleinen Dehnun-

gen

Die dynamische Steifigkeit und die Mate-rialdampfung von Sand bei kleinen Dehnungen(10−7 ≤ γampl ≤ 10−3) wurde in Resonant Column(Resonanzsaulen-) Versuchen und Triaxialversuchenmit Messungen der Kompressions- und Scherwellenge-schwindigkeiten untersucht. Der Einfluss der ParameterSpannungszustand, Porenzahl, Dehnungsamplitude(Grenzscherdehnung), Zeit (Alterung), Struktur desKorngerustes (zyklische Vorbelastung), Temperaturund Korngroßenverteilung wurde studiert. Die Ergeb-nisse werden mit publizierten Messdaten bzw. mit denEmpfehlungen des Arbeitskreises ”Baugrunddynamik”der DGGT verglichen, wobei zumeist eine gute Uber-einstimmung festgestellt wurde. Es wird gezeigt, dassder Resonant Column Versuch und die Laufzeitmessungvergleichbare Ergebnisse liefern.

Stiffness and damping of non-cohesive soilsat small strains.Stiffness and material damping of sand at small strains(10−7 ≤ γampl ≤ 10−3) were studied in resonant columntests and triaxial tests with measurements of P- andS-wave velocities. The influence of the parametersstress, void ratio, strain amplitude (threshold shearstrain), time (aging), fabric of grain skeleton (cyclicpreloading), temperature and grain size distributionwas studied. The results are compared with publishedtest data or with the recommendations of the workingcommittee ”Soil Dynamics” of the DGGT, respectively,whereby mostly a good coincidence was observed. Itis shown, that the resonant column test (frequencydomain) and the measurement of travel time of wavesdeliver similar results.

1 Einfuhrung

Unter einer zyklischen Belastung kommt es zu plasti-schen (bleibenden) und elastischen Dehnungen im Bo-den. Die Akkumulation der bleibenden Dehnungen innichtbindigem Boden wird z.B. in [1] ausfuhrlich disku-tiert. Dieser Aufsatz beschaftigt sich mit dem elastischenAnteil, der in vielen Fallen (insbesondere bei Belastun-gen mit kleiner Amplitude oder nach einem weitestge-henden Abklingen der plastischen Deformationsrate) furdie Interaktion Bauwerk - Baugrund maßgebend ist.

Die elastische Dehnungsamplitude wird von der Stei-

figkeit des Bodens bestimmt. Die Spannungs - Deh-nungs - Kurven sind hysteretisch, d.h. es wird mit jedemZyklus Energie dissipiert (Materialdampfung). Fur bo-dendynamische Berechnungen werden also Angaben zurSteifigkeit und zur Dampfung benotigt. Setzt man einisotropes Material voraus (d.h. die Eigenschaften sindnicht richtungsabhangig), so reicht zur Beschreibung derSteifigkeit der Schubmodul G und der E-Modul E bzw.die Querkontraktionszahl ν aus. Fur die Quantifizierungder Dampfung kann z.B. der Dampfungsgrad D verwen-det werden. Die Steifigkeit und die Dampfung sind kei-ne Materialkonstanten, sondern sie hangen von diversenParametern ab, deren Einfluss unterschiedlich groß ist.In Resonant Column Versuchen und Triaxialversuchenmit einer Messung der Kompressions- und Scherwellen-geschwindigkeiten wurden folgende Einflussfaktoren anSand untersucht:

• Spannungszustand

• Porenzahl

• Dehnungsamplitude

• Zeit (Alterung)

• Struktur des Korngerustes (zyklische Belastung)

• Temperatur

• Korngroßenverteilung

2 Versuchsgerate und Testmaterial

2.1 Resonant Column Gerat

Das verwendete Resonant Column (RC) Gerat (Bil-der 1a,b) ist vom Typ ”frei - frei”, d.h. sowohl die Kopf-als auch die Fußmasse sind frei beweglich gelagert. Diequaderformige Kopfmasse (sog. Erregerkopf) ist mit zweielektrodynamischen Schwingerregern bestuckt, welchejeweils eine kleine Masse beschleunigen. Diese Beschleu-nigung wird mit einem Beschleunigungsaufnehmer ge-messen, woraus die Erregerkraft F (t) in der Achse desSchwingerregers ermittelt wird. Das Paar der Erreger-krafte resultiert in einem Torsionsmoment auf die zylin-drische Probe. Weitere Beschleunigungsaufnehmer mes-sen die Beschleunigung des Erregerkopfes, woraus dieVerdrehung φ(t) der Probe am Kopf berechnet wird.

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drehbarer Sockel

Kugellager

Bodenprobe

Druckzelle

Plexiglaszylinder

Beschleunigungs- aufnehmer

elektrodynamische Erreger

Erregerkopf

a) b) c)

JL

J0

J

Bild 1: Resonant Column Versuche: a) Schema des Versuchsgerates, b) Versuchsgerat, c) Vorrichtung zur Platzierungder ProbenkopfplatteFig 1: Resonant Column tests: a) scheme of the test device, b) test device, c) device for mounting the top cap

Das System aus Fußmasse, Probe und Erregerkopf ist ineiner Druckzelle eingeschlossen, in der Seitendrucke σ3

bis ca. 800 kPa aufgebracht werden konnen. Der Span-nungszustand ist nahezu isotrop. Aus dem Gewicht desErregerkopfes (m ≈ 9 kg) ergibt sich eine leichte Ani-sotropie der Hauptspannungen (d.h. vertikale Spannungσ1 > seitliche Spannung σ3), welche bei großeren Seiten-drucken jedoch nur eine untergeordnete Rolle spielt.

Das sinusformige Erregersignal wird von einemFunktionsgenerator erzeugt und uber einen Leistungs-verstarker auf die Schwingerreger gegeben. Die Frequenzdes Erregersignals wird variiert, bis die Resonanzfre-quenz fR des Systems aus Endmassen und Probe gefun-den ist. Dies ist der Fall, wenn die Signale φ(t) und F (t)in der Zeit t um 90◦ phasenverschoben sind. Stellt manden Schwingweg in der Erregerachse u(t) uber F (t) dar,erhalt man die ellipsenformige Lissajous-Figur, welcheim Resonanzfall senkrecht steht. Aus der Resonanzfre-quenz wird der Schubmodul berechnet:

G =

(

2π h fR

a

)2

% (1)

Darin sind h die Probenhohe und % die Probendichte,wahrend a aus der impliziten Eigenwertgleichung (2) be-stimmt wird:

a tan (a) −J2

J0 JL

tan (a)

a=

J

J0

+J

JL

(2)

In Gleichung (2) sind J , J0 und JL die polaren Mas-sentragheitsmomente der Probe, der Fuß- und der Kopf-masse (Bild 1). Die Scherdehnungsamplitude γampl wirdals geometrischer Mittelwert uber das Probenvolumenberechnet (siehe [2]). Durch eine Variation der Amplitu-de des Erregersignals konnen unterschiedliche Scherdeh-nungsamplituden aufgebracht werden. Der Dampfungs-grad D wird aus dem Verhaltnis der wahrend eines Zy-

klus dissipierten Energie ∆W und der elastischen Ver-formungsenergie W der Probe ermittelt:

D =1

4π

∆W

W(3)

Die dissipierte Energie ∆W erhalt man aus demFlacheninhalt der Lissajous-Figur. Die elastische Verfor-mungsenergie berechnet sich aus (V : Probenvolumen):

W =1

2G (γampl)2 V (4)

Die Proben wurden außerhalb des RC-Gerates prapa-riert. Dazu wurde zunachst eine Gummimembran uberdie Probenfußplatte gezogen und mit Dichtungsringenabgedichtet. Anschließend wurden Halbschalen montiertund die Membran wurde mit Hilfe eines Vakuums andie Halbschalen gezogen. Der trockene Sand wurde auseinem Trichter in die Probenform gerieselt. Dabei wur-de der Trichter kontinuierlich nach oben gezogen, umden Abstand zwischen Trichteroffnung und Probeno-berflache konstant zu halten. Unterschiedliche Lage-rungsdichten konnten durch verschiedene Durchmesserder Trichteroffnung bzw. Fallhohen erreicht werden. DieProbenkopfplatte wurde mit Hilfe einer speziellen Vor-richtung (Bild 1c) auf der geglatteten Probenoberflacheplatziert, um eine Exzentrizitat oder Schiefstellung aus-zuschließen. Nach der Abdichtung der Membran an derProbenkopfplatte wurde ein Vakuum an das Korngerustangelegt, um dieses zu stabilisieren und das Entfernender Halbschalen zu ermoglichen. Nach der Vermessungder Probengeometrie wurden die Proben in das RC-Gerat gestellt und die Probenfußplatte wurde mit derdrehbaren Fußmasse des Versuchsgerates verschraubt.Der Erregerkopf wurde auf die Probenkopfplatte aufge-setzt und mit dieser verbunden. Nach der Montage derDruckzelle wurde das Vakuum in der Probe schrittweisedurch den Zelldruck ersetzt.

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Es wurden Proben mit voller und ringformiger Quer-schnittsflache getestet. Im Fall der Vollzylinderproben(voller Querschnitt) betrugen der Durchmesser d = 10cm und die Hohe h = 20 cm oder 30 cm. Vorversu-che zeigten keinen Einfluss der Probenhohe auf die Mes-sung im Bereich 20 cm ≤ h ≤ 30 cm, wahrend im Fallh = 10 cm nur noch 95 % der Steifigkeit der hoherenProben gemessen wurde. Die Hohlzylinderproben (Ring-querschnitt, siehe auch Bild 1c) besaßen den Außen-durchmesser da = 10 cm, den Innendurchmesser di =6 cm (d.h. eine Wandstarke von 2 cm) und die Hohe h= 10 cm. Die Hohlzylinderform besitzt gegenuber demVollzylinder den Vorteil einer homogeneren Verteilungder Scherdehnungen uber den Probenquerschnitt. Al-lerdings zeigte der Vergleich der Messungen an Hohl-und Vollzylinderproben keine wesentlichen Unterschie-de (vergleiche Bilder 6 und 16, siehe auch [3]), so dasssich die aufwandige Praparation der Hohlzylinderpro-ben (mit innerer und außerer Schalung sowie innererund außerer Membran) kaum lohnt.

Zur Messung der vertikalen Verformungen der Pro-be (Bestimmung der Grenzscherdehnung) wurden dreiberuhrungslose Wegaufnehmer eingesetzt, die in einemgeringen Abstand oberhalb des Probenkopfes montiertwurden (Bild 2). Neben der mittleren vertikalen Ver-formung konnte somit auch eine evtl. Verkippung desErregerkopfes registriert werden.

Alle Versuche wurden in einem klimatisierten Laborbei einer Temperatur von T = 24◦ durchgefuhrt. Fur dieVersuche zum Temperatureinfluss wurde das RC-Geratin einer Kuhlkammer aufgebaut. Die Temperatur derKuhlkammer konnte zwischen T = −20◦ und T = +20◦

variiert werden.

Bild 2: Messung der vertikalen Verformungen im RC-Gerat mit Hilfe beruhrungsloser AufnehmerFig 2: Measurement of vertical deformations in the RCdevice by means of non-contact transducers

2.2 Triaxialzelle mit piezoelektrischen Elemen-ten

Bild 3 enthalt ein Schema der verwendeten Triaxial-

zelle, in der die Messung der Kompressions- und derScherwellengeschwindigkeit moglich ist. In die unte-re und obere Probenendplatte sind jeweils drei piezo-elektrische Elemente integriert. Diese Elemente verfor-men sich, wenn eine elektrische Spannung angelegt wirdund generieren wiederum ein elektrisches Signal, wennsie mechanisch verformt werden. Das Kompressionsele-ment (engl. ”compression element”, CE) verformt sichin Dickenrichtung und wird zur Messung von Kom-pressionswellengeschwindigkeiten (P-Welle) eingesetzt.Das Scherelement (engl. ”shear plate”, SP, [4]) voll-zieht Scherverformungen und eignet sich zur Messungvon Scherwellengeschwindigkeiten (S-Welle). Die Scher-wellengeschwindigkeit wird weiterhin auch mit dem Bie-geelement (engl. ”bender element”, BE, [5]) ermittelt.Wahrend CE und SP vollstandig in die Probenendplat-ten integriert sind, ragt das Biegeelement ca. 3 mm indie Probe hinein.

Kompressions- element (CE)

Bodenprobe (d = 10 cm, h = 20 cm)

Scherelement (SP)Biegeelement (BE)

Luftdruck

Piezoelektrische Elemente:

F

σ3

Kraftmessdose

Plexiglaszylinder

Kraftmessdose

Zellwasser

Berührungsloser Wegaufnehmer

Zielplättchen

Wegaufnehmer

Laststempel

vsvh

vpv

Bild 3: Triaxialzelle mit piezoelektrischen ElementenFig 3: Triaxial cell with piezoelectric elements

Mit Hilfe eines Funktionsgenerators wird ein einzel-ner sinusformiger elektrischer Impuls (Frequenz 10 bis25 kHz) generiert und uber einen Verstarker auf einesder piezoelektrischen Elemente in der Probenfußplatteaufgebracht. Die Verformung des Elementes fuhrt zurAusbreitung einer Welle in Axialrichtung der Bodenpro-be. Erreicht die Welle das korrespondierende Elementin der Probenkopfplatte, fuhrt dies zur Erzeugung ei-nes elektrischen Signals, welches uber einen Verstarkerzu einem Oszilloskop geleitet wird. Am Oszilloskop wirdaus dem gesendeten und dem empfangenen Signal (Bild4) die Laufzeit tt der Welle bestimmt, was in man-chen Fallen u.a. aufgrund von Reflexionen an den Pro-benrandern schwierig sein kann [6–9]. Die Laufzeit kannz.B. aus einem Vergleich der Startpunkte (Punkte A-A’im Bild 4), dem Vergleich von korrespondierenden Mi-nima, Maxima oder Nulldurchgangen (Punkte B-B’,C-C’,D-D’ im Bild 4) oder auch mit Hilfe einer Kreuz-korrelation gewonnen werden (in jedem Fall sind zuvor

Bautechnik 82 (2005), Nr. 4, S. 236 - 246 4

evtl. Verzogerungszeiten des Signals in den Kabeln undelektrischen Geraten in einer Kalibrierung zu bestimmenund von der Messung abzuziehen). Die Wellengeschwin-digkeit ergibt sich aus

v = lt/tt. (5)

Fur den Laufweg lt der Welle wird im Fall von CE undSP die Probenhohe, im Fall der Biegeelemente der Ab-stand ihrer Spitzen (siehe [7, 8, 10]) angesetzt. Aus derScherwellengeschwindigkeit vs bzw. der Kompressions-wellengeschwindigkeit vp konnen bei bekannter Proben-dichte % die zugehorigen Steifigkeiten bei kleinen Deh-nungen, namlich der Schubmodul G0 und der Steifemo-dul bei behinderter Seitendehnung Es0 ermittelt wer-den:

G0 = % (vs)2 Es0 = % (vp)

2 (6)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

gesendetes Signal

empfangenes Signal

Zeit [ms]

Ele

ktris

che

Spa

nnun

g [V

]

Bild 4: Gesendetes und empfangenes Signal bei der Lauf-zeitmessung mit piezoelektrischen Elementen (hier: Bie-geelement)Fig 4: Transmitted and received signal in travel timemeasurements with piezoelectric elements (here: benderelement)

Die fur die Proben der RC-Versuche verwendetePraparationsmethode wurde auch fur die Proben derTriaxialversuche benutzt (mit dem Unterschied, dass dieProben direkt im Versuchsgerat hergestellt wurden). DieProben wurden im trockenen Zustand getestet, um dieKompressionswellengeschwindigkeit im Korngerust mes-sen zu konnen (bei gesattigten Proben uberdeckt die P-Welle im Porenwasser diejenige im Korngerust).

Die axiale Last wurde mit einem pneumatischen Be-lastungssystem aufgebracht und an einer Kraftmessdo-se oberhalb der Probe in der Druckzelle gemessen (Bild3). Die Erfassung der axialen Verformung erfolgte miteinem Wegaufnehmer, der außerhalb der Zelle am Last-stempel angebracht wurde. Seitliche Verformungen derProbe wurden lokal mit sechs beruhrungslosen Wegauf-nehmern (siehe auch Bild 2) gemessen. Dazu wurdenkleine Aluminiumplattchen als Messziele auf die Gum-mimembran der Probe aufgeklebt und die Aufnehmer

Boden 1 2 3 4

d50 0,55 0,15 4,4 0,52

U 1,8 1,4 1,3 4,5

C 1,2 0,9 1,1 0,7

%d,min 1,414 1,330 1,432 1,567

%d,max 1,680 1,578 1,588 1,864

%s 2,65 2,65 2,65 2,65

Tabelle 1: Charakteristika der Korngroßenverteilungensowie minimale und maximale Dichten, Ungleichformig-keit U = d60/d10, Krummung C = (d30)

2/(d10d60)

wurden auf einem Schlittensystem in einem geringenAbstand vor diesen Plattchen platziert. Das Schlitten-system ermoglicht eine Neu-Positionierung des Aufneh-mers (Messbereich 2 mm) bei sehr großen seitlichenVerformungen. Die Druckzelle des triaxialen Versuchs-gerates ist fur maximal 1 MPa ausgelegt.

2.3 Testmaterial

Alle Versuche wurden an Siligransand bzw. -kies mitrundkantiger Kornform durchgefuhrt. Die Korngroßen-verteilungen sowie die minimalen und maximalen Dich-ten sind Bild 5 bzw. Tabelle 1 zu entnehmen. Mit Aus-nahme der Versuche zum Einfluss der Korngroßenvertei-lung wurde in allen Versuchen der Boden 1 verwendet.

0,20,06 20,6 6 200

20

40

60

80

100

Boden 1 Boden 2 Boden 3 Boden 4

Sie

bdur

chga

ng [%

]

Durchmesser [mm]

Schluff Sand Kies

grob grobfein feinmittel mittel

Bild 5: KornverteilungskurvenFig 5: Grain distribution curves

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3 Versuchsergebnisse

3.1 Einfluss des Spannungszustandes und derPorenzahl

Die Schubsteifigkeit bei kleinen Dehnungen G0 =G(γampl < 10−6) als Funktion des mittleren Druckes pund der Porenzahl e zeigt Bild 6. In den RC-Versuchenwurden Vollzylinderproben mit unterschiedlichen An-fangsporenzahlen prapariert und anschließend wurdeder Zelldruck σ3 in Stufen erhoht. Die SchubsteifigkeitG0 wurde bei σ3 = 50, 100, 200, 400 und 800 kPa gemes-sen. Zwischen den Laststufen (vor der jeweiligen Mes-sung) wurden die Proben 2 Stunden lang konsolidiert.Bild 6a zeigt den typischen linearen Anstieg der G0(p) -Kurven im doppeltlogarithmischen Maßstab. Dem Bild6b ist die Abnahme der Steifigkeit mit zunehmender Po-renzahl zu entnehmen.

50 100 200 500 80050

100

200

300

400

ID0 = 0,64 ID0 = 0,77 ID0 = 0,87 ID0 = 0,95

Sch

ubm

odul

G0

[MP

a]

Mittlerer Druck p = ( �1 + 2 �

3) / 3 [kPa]

0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,700

100

200

300

400 � 3 = 50 kPa � 3 = 100 kPa � 3 = 200 kPa � 3 = 400 kPa � 3 = 800 kPa

Sch

ubm

odul

G0

[MP

a]

Porenzahl e [-]

a)

b)

Bild 6: Schubmodul G0 in Abhangigkeit des mittlerenDruckes p und der Porenzahl eFig 6: Shear modulus G0 in dependence on mean stressp and void ratio e

An die Versuchsergebnisse konnte die von Hardinund Black [11] vorgeschlagene dimensionsreine Glei-chung

G0 = A(a − e)2

1 + epa

1−n pn (7)

mit A = 2750, a = 1,46 und n = 0, 42 gut angepasstwerden (pa = 100 kPa: atmospharischer Druck). Diedurchgezogenen Kurven in Bild 6b entsprechen dieserAnpassung. Der beobachtete Exponent n liegt im unte-ren Bereich der in der Literatur dokumentierten Wer-te (siehe z.B. [12]), wobei n von der Kornrauhigkeitabhangt [13, 14].

Bild 7 vergleicht die gemessenen Schubmoduli G0

mit den empirischen Formeln, die in den Empfehlungendes Arbeitskreises 1.4 ”Baugrunddynamik” der Deut-schen Gesellschaft fur Geotechnik (DGGT) [15] fur Sandmit runder bzw. eckiger Kornform angegeben werden(zuruckgehend auf [11]). Die Großenordnung der gemes-senen und der nach den Empfehlungen berechneten Stei-figkeiten stimmt uberein. Fur kleine Drucke sind die Dis-krepanzen bei dichter Lagerung am großten, bei großenDrucken sind starkere Unterschiede bei großeren Poren-zahlen festzustellen.

0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,700

100

200

300

400

Sch

ubm

odul

G0

[MP

a]

Porenzahl e [-]

p = 800 kPa

p = 400 kPa

p = 200 kPap = 100 kPap = 50 kPa

RC-Versuche EABD, eckige Kornform EABD, runde Kornform

Bild 7: Gemessene Schubmoduli G0 verglichen mit denempirischen Formeln der Empfehlungen des Arbeitskrei-ses ”Baugrunddynamik” (EABD) der DGGT fur rundeund eckige KornformFig 7: Measured shear moduli G0 compared to empiricalformulas in the recommendations of the working com-mittee ”Soil Dynamics” of the DGGT for round andangular grains

Eine vergleichbare Versuchsserie wurde im Triaxial-gerat durchgefuhrt. Die ermittelten Schubsteifigkeitenzeigt Bild 8 und stellt diese den Messwerten der RC-Versuche gegenuber. Zunachst ist festzustellen, dass dasScherelement und das Biegeelement identische Steifig-keiten liefern. Gleichung (7) konnte mit A = 2840, a= 1,48 und n = 0, 40 an die Schubmoduli der Triaxi-alversuche angepasst werden. Die Steifigkeiten der RC-Versuche liegen leicht unterhalb dieser Werte (Bild 8),evtl. aufgrund kleinerer Dehnungen bei den Messungenmit den piezoelektrischen Elementen. Da es sich jedochum zwei grundsatzlich unterschiedliche Methoden zurBestimmung von G0 handelt, ist die Ubereinstimmungder Messwerte aus beiden Versuchstypen mehr als zu-friedenstellend.

In den Triaxialversuchen wurde neben der S- auch

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0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,700

100

200

300

400 Triax, SP Triax, BE RC

Sch

ubm

odul

G0

[MP

a]

Porenzahl e [-]

400

100

50

800

p [kPa] =

200

Bild 8: Vergleich der Schubmoduli G0 aus ResonantColumn Versuchen und Messungen der Scherwellenge-schwindigkeit in der TriaxialzelleFig 8: Comparison of the shear moduli G0 from reso-nant column tests and measurements of the shear wavevelocity in the triaxial cell

die P-Welle gemessen, woraus die in Bild 9 dargestell-ten Steifemoduli Es0 berechnet wurden. Im doppeltlo-garithmischen Es0 - p - Diagramm wurden ebenfalls li-neare Verlaufe analog zu Bild 6a erhalten (hier nichtdargestellt). An die Messwerte in Bild 9 konnte analogzu Gleichung (7) die Gleichung

Es0 = A(a − e)2

1 + epa

1−n pn (8)

mit A = 1820, a = 2,36 und n = 0, 40 angepasst werden(siehe durchgezogene Kurven in Bild 9). Die aus denGleichungen (7) und (8) ermittelte Querkontraktions-zahl ν steigt mit e und nimmt mit p leicht ab (ν = 0, 14fur p = 800 kPa und e = 0,56; ν = 0, 25 fur p = 50kPa und e = 0,70). Die Großenordnung dieser Querkon-traktionszahlen erscheint realistisch (vergleiche [16], woebenfalls eine Spannungsabhangigkeit von ν gemessenwurde).

Die Bilder 6 bis 9 zeigen Steifigkeiten fur isotropeSpannungszustande (σ1/σ3 = 1, q = σ1 − σ3 = 0). EineZunahme der Anisotropie fuhrt jedoch zur Reduktiondes Schubmoduls G0 und zum Anstieg des SteifemodulsEs0. In Triaxialversuchen wurde bei einer Erhohung desSpannungsverhaltnisses σ1/σ3 von 1 auf 2,5 im Mitteleine 10 %ige Abnahme von G0 und ein 15 %iger Zuwachsvon Es0 gemessen (siehe [17]). Ahnliche Beobachtungenbezuglich G0(σ1/σ3) sind in [12] zu finden.

3.2 Einfluss der Scherdehnungsamplitude

Bild 10a zeigt die in RC-Versuchen gemessene Abnahmedes Schubmoduls mit zunehmender Scherdehnungsam-plitude γampl. Die Reduzierung der Steifigkeit mit γampl

verlauft bei kleineren Drucken schneller. Auch die Zu-nahme des Dampfungsgrades D mit γampl ist vom Span-nungszustand abhangig (Bild 10b). Bei hoheren Drucken

0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70200

300

400

500

600

700

800

900 � 3 = 50 kPa � 3 = 100 kPa

� 3 = 200 kPa � 3 = 400 kPa � 3 = 800 kPa

Ste

ifem

odul

Es0

[MP

a]

Porenzahl e [-]

Bild 9: Steifemodul Es0 in Abhangigkeit des mittlerenDruckes p und der Porenzahl eFig 9: Stiffness Es0 in dependence on mean stress p andvoid ratio e

wurden kleinere Dampfungen gemessen. In Bild 10b sinddie Dampfungsgrade fur γampl < 3 · 10−6 nicht darge-stellt, da sich D in diesem Bereich als Quotient zweiersehr kleiner Großen ergibt (Gleichung (3)) und wenigzuverlassig ist. Bild 11 zeigt, dass der Einfluss der Lage-rungsdichte auf die Kurven G/G0(γ

ampl) und D(γampl)vernachlassigbar ist.

Hardin [18] (siehe auch [19]) schlug folgende Bezie-hung zur Beschreibung der Reduzierung von G mit γampl

vor:

G

G0

=1

1 +γampl

γr

(9)

Die Referenzscherdehnung γr kann dabei mit Hilfe desSchubmoduls bei sehr kleinen Dehnungen G0 und derSchubspannung im Grenzzustand τmax berechnet wer-den:

γr =τmax

G0

(10)

τmax =√

(

1 + K0

2σ1 sin ϕ + c cosϕ

)2

−

(

1 − K0

2σ1

)2

(11)

mit der effektiven vertikalen Spannung σ1, dem Erdru-hedruckbeiwert K0 und den effektiven Scherparameternc (Kohasion) und ϕ (Reibungswinkel). Bei isotropenSpannungen (K0 = 1) und nichtbindigem Boden (c = 0)reduziert sich Gleichung (11) zu τmax = σ1 sin(ϕ). DieAbhangigkeit des Reibungswinkels bei maximaler Scher-festigkeit von der Lagerungerungsdichte ID = (emax −

e)/(emax − emin) wurde fur den verwendeten Sand (Bo-den 1, siehe Abschnitt 2.3) in monotonen, draniertenTriaxialversuchen zu ϕ = 31, 2 exp (0, 309 ID

1,38) be-stimmt. Fur die in den Bildern 10 und 11 prasentiertenVersuche wurde die Referenzscherdehnung γr gemaß den

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a)

10-6 10-5 10-4 10-30,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1B

ezog

ener

Sch

ubm

odul

G/G

0 [-

]

Scherdehnungsamplitude γ ampl [-]

alle Versuche: ID = 0,56 - 0,58

p = 400 kPa p = 200 kPa p = 100 kPa p = 50 kPa

10-6 10 -5 10-4 10-30

2

4

6

8

10

Däm

pfun

gsgr

ad D

[%]

alle Versuche: ID = 0,56 - 0,58

p = 400 kPa p = 200 kPa p = 100 kPa p = 50 kPa

b)

Scherdehnungsamplitude γ ampl [-]

Bild 10: Einfluss des mittleren Druckes p auf die Verlaufea) G/G0(γ

ampl) und b) D(γampl)Fig 10: Influence of the mean pressure p on the curvesa) G/G0(γ

ampl) and b) D(γampl)

Gleichungen (10) und (11) ermittelt. In Bild 12 wurde γr

benutzt, um die Scherdehnungsamplitude γampl zu nor-mieren. Aus Bild 12 wird offensichtlich, dass Gleichung(9) die gemessenen Kurven gut approximiert. WeitereModifizierungen der Gleichung (9), wie sie z.B. in [19]beschrieben werden, sind fur den hier untersuchten Sandnicht notwendig.

Die bleibenden vertikalen Dehnungen εacc1 als Funkti-

on der Scherdehnungsamplitude zeigt Bild 13. Wahrendder Ubergang vom linear elastischen zum nichtlinear ela-stischen Materialverhalten bei γampl ≈ 10−5 anzusiedelnist (Bilder 10 und 11), treten permanente Verformun-gen erst ab γampl ≈ 10−4 auf. Diese Grenzscherdehnung(siehe [20] oder [21], engl. ”threshold shear strain” γt)ist relativ unabhangig vom mittleren Druck und von derPorenzahl. Es ist jedoch davon auszugehen, dass es auchfur γampl < γt bei einer großeren Anzahl von Lastzy-klen zu einer Akkumulation bleibender Verformungenkommt [21]. Die Große der Dehnungen in Bild 13 be-sitzt wenig Aussagekraft, da sie von der Zeitdauer derMessung bei der jeweiligen Amplitude γampl (ca. 20 Se-

10-6 10-5 10-4 10-30

2

4

6

8

10

12

Däm

pfun

gsgr

ad D

[%]

Scherdehnungsamplitude γ ampl [-]

10-6 10 -5 10-4 10-30,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

Bez

ogen

er S

chub

mod

ul G

/G0

[-]

Scherdehnungsamplitude γ ampl [-]

a)

b)

ID = 0,18 ID = 0,46 ID = 0,58 ID = 0,79 ID = 1,01

alle Versuche: p = 100 kPa

ID = 0,18 ID = 0,46 ID = 0,58 ID = 0,79 ID = 1,01

alle Versuche: p = 100 kPa

Bild 11: Einfluss der Porenzahl e auf die Verlaufe a)G/G0(γ

ampl) und b) D(γampl)Fig 11: Influence of the void ratio e on the curves a)G/G0(γ

ampl) and b) D(γampl)

10-4 10-3 10-2 10-1 1000,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

Bez

ogen

er S

chub

mod

ul G

/ G

0 [-

]

50 / 0,56 100 / 0,58 200 / 0,58 400 / 0,58 100 / 1,01 100 / 0,79 100 / 0,46 100 / 0,18 Hardin, Gl. (9)

p [kPa] / ID =

Bezogene Scherdehnungsamplitude � ampl/ � [-]r

Bild 12: Normierter Schubmoduls G/G0 aufgetragenuber der mit der Grenzscherdehnung normierten Scher-dehnungsamplitude γampl/γr

Fig 12: Normalized shear modulus G/G0 plotted ver-sus the strain amplitude normalized with the referenceamplitude γampl/γr

Bautechnik 82 (2005), Nr. 4, S. 236 - 246 8

kunden) und der Resonanzfrequenz abhangt.

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

10-6 10-5 10-4 10-3

Scherdehnungsamplitude γ ampl [-]

Axi

ale

Deh

nung

ε1

[%

]ac

c

ID = 0,18 ID = 0,46 ID = 0,58 ID = 0,79 ID = 1,01

alle Versuche: p = 100 kPa

10-6 10-5 10-4 10-3-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

Scherdehnungsamplitude γ ampl [-]

Axi

ale

Deh

nung

ε1

[%

]ac

c

alle Versuche: ID = 0,56 - 0,58

p = 400 kPa p = 200 kPa p = 100 kPa p = 50 kPa

a)

b)

Bild 13: Bleibende vertikale Dehnungen εacc1 in

Abhangigkeit der Scherdehnungsamplitude γampl a) furunterschiedliche mittlere Drucke, b) fur unterschiedlicheLagerungsdichtenFig 13: Permanent vertical strains εacc

1 versus shearstrain amplitude γampl a) for different mean pressures,b) for different densities

3.3 Einfluss der Zeit

Ein Anstieg der Steifigkeit mit der Zeit unter konstan-ten Spannungen wurde z.B. in [22–24] berichtet. Bild14 zeigt RC-Versuche mit variierenden Seitendrucken σ3

bzw. Anfangslagerungsdichten ID0, in denen die Ent-wicklung des Schubmoduls G0 mit der Zeit bei σ3 =const gemessen wurde. Im halblogarithmischen Maßstabergeben sich annahernd lineare Kurven, die durch

G0(t) = G0(t0)

{

1 +

[

NG ln

(

t

t0

)]}

(12)

beschrieben werden konnen. Darin ist t0 6= 0 eine Be-zugszeit, fur die ublicherweise t0 = 1000 min [24] ange-setzt wird. Aus Bild 14 konnte (relativ unabhangig vomDruck σ3 und der Lagerungsdichte) ein Steigungsfaktorvon NG = 0,005 ermittelt werden, welcher im mittlerenBereich der in [24] angegebenen Werte liegt.

Die Ursache dieser sog. Alterungseffekte (engl. aging)ist bis heute nicht abschließend geklart. Es werden so-wohl mechanische Grunde (Verbesserung der Makro-Verzahnung der Korner bzw. der Mikro-Verzahnung derKontaktoberflachen) als auch chemische (Zementierungan den Kornkontakten) oder sogar biologische Ursa-chen (Verklebung der Kornkontakte durch epoxidahnli-che Ausscheidungsprodukte von Kleinstlebewesen) ver-mutet. Einen Uberblick uber verschiedene Erklarungs-ansatze findet man in [24].

100 101 102 103 1040,98

1,00

1,02

1,04

1,06

1,08

� 3 = 200 kPa, ID0 = 0.66 � 3 = 200 kPa, ID0 = 0.74 � 3 = 200 kPa, ID0 = 0.90 � 3 = 100 kPa, ID0 = 0.79 � 3 = 400 kPa, ID0 = 0.73

G0

/ G0(

t=0)

[-]

Zeit t [min]

1 Tag

1 Woche

2 W.

3 W.

Bild 14: Anstieg des Schubmoduls G0 mit der Zeit beikonstanten Spannungen (Alterung)Fig 14: Increase of shear modulus G0 with time at con-stant stress (aging)

3.4 Einfluss der Struktur des Korngerustes (zy-klische Vorbelastung)

Es ist bekannt, dass die Verdichtung bzw. die Akku-mulation von Porenwasseruberdruck unter einer zykli-schen Belastung (dranierte bzw. undranierte Bedingun-gen) stark durch die Anfangsstruktur des Korngerustes(Verteilung der Kornkontakte, Orientierung der Kon-taktnormalen, Geometrie der Kontakte) beeinflusst wird(u.a. [25–27]). Steifigkeit und Dampfung sind dagegenrelativ unabhangig von der Anfangsstruktur [28].

Eine zyklische Belastung verandert bei ausreichendgroßer Amplitude die Struktur des Korngerustes. Obdiese Strukturanderung auch zu einer Veranderung derSteifigkeit bei kleinen Dehnungen fuhrt (der obliga-torische Steifigkeitsanstieg infolge Verdichtung ist hiernicht gemeint, Bild 6), ist in der Literatur umstrit-ten. Auf einen Anstieg der Steifigkeit G0 unter zykli-scher Last wurde in [29–31] hingewiesen und auch mi-kromechanische Uberlegungen [32, 33] sprechen dafur.In [34–36] konnte keine signifikante Veranderung derSteifigkeit festgestellt werden und eigene umfangreicheStudien [3, 17] kommen zu einem ahnlichen Ergebnis.Zwei Versuchsserien werden im folgenden daraus vorge-stellt.

Bild 15 zeigt die im RC-Versuch gemessenen Schub-

Bautechnik 82 (2005), Nr. 4, S. 236 - 246 9

moduli G0 von Hohlzylinderproben, die zuvor mit einerAmplitude γampl

prestrain = 5·10−3 und unterschiedlichen Zy-klenanzahlen Nprestrain vorbelastet wurden (Torsionsbe-lastung mit einer Frequenz von 0,6 Hz in einer speziellenVorrichtung außerhalb des RC-Gerates [3]). Die Schub-steifigkeit G0 wurde trotz der relativ großen Amplitudeγamplprestrain durch die zyklische Belastung kaum verandert.

Auch die Verlaufe G/G0(γampl) und D(γampl) blieben

nahezu unverandert (abgesehen von einer Anomalie imBereich der Vorbelastungsamplitude [2]).

0,56 0,60 0,64 0,68 0,72 0,7660

80

100

120

140

Sch

ubm

odul

G0

[MP

a]

Porenzahl e nach Vorbelastung [-]

nicht vorbelastetNprestrain =

100 1.000 10.000 50.000

γ ampl = 5 10-3prestrain

alle Versuche: �

3 = 80 kPa

Bild 15: Schubmodul G0 nach einer zyklischen Torsions-vorbelastungFig 15: Shear modulus G0 after a cyclic torsional pre-loading

Triaxialversuche, in denen die zyklische axiale Be-lastung (spannungsgesteuert mit der Amplitude σampl

1 ,

resultierend in Dehnungsamplituden εampl1 > 10−4)

nach bestimmten Zyklenanzahlen fur die Messung derWellengeschwindigkeiten unterbrochen wurde, bestatig-ten die Ergebnisse der RC-Versuche. Die Triaxialver-suche wurden mit unterschiedlichen mittleren Span-nungszustanden (pav,qav), unterschiedlichen Amplitu-

den σampl1 und Anfangslagerungsdichten ID0 durch-

gefuhrt. Obwohl es teilweise zu einer signifikanten Ak-kumulation von bleibenden Dehnungen kam (Bild 16a),waren kaum Veranderungen der Steifigkeiten Es0 (Bild16b) und G0 (Bild 16c) zu beobachten. Die Verlaufe inden Bildern 16b und 16c wurden um den Steifigkeitsan-stieg infolge Verdichtung bereinigt, indem mit der Po-renzahlfunktion F (e) = (a − e)2/(1 + e) entsprechendden Gleichungen (7) und (8) normiert wurde.

3.5 Einfluss der Temperatur

Ein Einfluss der Temperatur auf die Steifigkeit und dieDampfung von trockenem Sand war nicht zu erwartenund konnte auch nicht festgestellt werden (Bild 17). DieFragestellung der Temperaturabhangigkeit ist interes-santer im Fall teilgesattigter Boden (insbesondere beiUberschreiten des Gefrierpunktes [19]) oder bei Boden,deren Porenraum kunstlich (z.B. mit Polymeren) aus-

101 102 103 104 1050,8

0,9

1,0

1,1

p [kPa] / q [kPa] / � ampl [kPa] / ID0 [-] = 200 / 100 / 60 / 0,59 200 / 150 / 30 / 0,63 200 / 200 / 60 / 0,61 200 / 150 / 90 / 0,63 200 / 150 / 60 / 0,61 200 / 150 / 60 / 0,33 100 / 100 / 60 / 0,60 200 / 150 / 60 / 1,05 150 / 100 / 60 / 0,61

[G

0/F

(e)]

N /

[G

0/F

(e)]

N=

0 [-

]

Zyklenanzahl N [-]

1

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

[E

s0/F

(e)]

N /

[E

s0/F

(e)]

N=

0 [-

]

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Akk

umul

iert

e ax

iale

D

ehnu

ng

� acc

[%]

1

vs vp

� ampl1

a)

b)

c)

Legende zu a),b),c):

Bild 16: Entwicklung a) der bleibenden vertikalen Deh-nung εacc

1 , b) der Steifigkeit Es0 und c) der Schubsteifig-keit G0 mit der Zyklenanzahl in zyklischen Triaxialver-suchenFig 16: Development of a) residual vertical strain εacc

1 , b)stiffness Es0 and c) shear stiffness G0 with the numberof cycles in cyclic triaxial tests

gefullt ist. In diesem Fall ist vor allem eine Verande-rung der Dampfungseigenschaften zu erwarten. Die hiervorgestellten RC-Versuche an trockenem Sand in einerKuhlkammer dienten der Uberprufung der Durchfuhr-barkeit einer Versuchsreihe zum Temperatureinfluss. DieMessungen erfolgten jeweils einen Tag nach dem Einbauder Probe in das Versuchsgerat und der Temperierungder Kuhlkammer.

Bautechnik 82 (2005), Nr. 4, S. 236 - 246 10

10-7 10-6 10 -5 10 -4 10-3

60

70

80

90

100

T = 20˚ T = 10˚ T = 0˚ T = -10˚

Sch

ubm

odul

G [M

Pa]

Scherdehnungsamplitude � ampl [-]

alle Versuche: p = 100 kPa, ID = 0,52 - 0,60

Bild 17: Schubmodul G in Abhangigkeit der TemperaturFig 17: Shear modulus G in dependence on temperature

3.6 Einfluss der Korngroßenverteilung und derKornform

Fur enggestufte Sande ohne Feinanteile wird in [37] be-richtet, dass die Schubsteifigkeit G0 fur ein bestimmtesSpannungsniveau p und eine Porenzahl e bei der Un-gleichformigkeit U = d60/d10 ≈ konst nicht vom mitt-leren Korndurchmesser d50 abhangt. Mit zunehmen-der Ungleichformigkeit und mit ansteigendem Feinanteilwurde eine Abnahme von G0 beobachtet, wahrend dieMaterialdampfung weniger stark beeinflusst wurde [37].Die Kornform wirkt sich ebenfalls auf die Schubsteifig-keit aus. Ihr Einfluss ist jedoch zumindest fur kleinereDrucke p < 200 kPa eher gering (siehe Empfehlungendes Arbeitskreises ”Baugrunddynamik” [15], Bild 7).

Zur Untersuchung des Einflusses der Korngroßenver-teilung wurden RC - Versuche an Sand bzw. Kies mitidentischer Kornform durchgefuhrt. Erganzend zu Bo-den 1 wurden die Boden 2 bis 4 entsprechend Bild 5und Tabelle 1 getestet. Samtliche Boden enthielten kei-ne Feinanteile. Die Versuche bestatigten, dass die Schub-steifigkeit bei annahernd identischer Ungleichformigkeitnicht von d50 abhangt (Boden 1 bis 3, Bild 18). Der un-gleichformige Boden 4 (U = 4,5) weist bei gleichen Span-nungen und identischer Porenzahl hingegen eine gerin-gere Schubsteifigkeit als die gleichformigen Boden 1 bis3 (U = 1, 3 ÷ 1, 8) auf. Die Versuche zeigten weiterhin,dass die Abnahme der Schubsteifigkeit bzw. die Zunah-me des Dampfungsgrades mit der Scherdehnungsampli-tude mit zunehmender Ungleichformigkeit des Bodensschneller verlauft. Bei gleichem U hangt der Verlauf derKurven G/G0(γ

ampl) und D(γ) nur wenig von d50 ab.

4 Zusammenfassung

Dieser Aufsatz gibt einen Uberblick uber den Einflussdiverser Parameter auf die Steifigkeit und die Materi-aldampfung von Sand bei kleinen Dehnungen. Im ein-zelnen konnten aus den Resonant Column (RC) Ver-suchen und den Triaxialversuchen mit Messungen der

0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,9060

80

100

120

140

Boden 1 Boden 2 Boden 3 Boden 4

Sch

ubm

odul

G0

[MP

a]

Porenzahl e [-]

alle Versuche: σ3 = 100 kPa

Bild 18: Schubmodul G0 als Funktion der Porenzahl efur unterschiedliche KorngroßenverteilungenFig 18: Shear modulus G0 as a function of void ratio efor different grain size distributions

Kompressions- und Scherwellengeschwindigkeit die fol-genden Schlusse gezogen werden:

• Der Anstieg der Steifigkeit G0 = G(γampl < 10−6)mit zunehmendem mittleren Druck p und abneh-mender Porenzahl e kann durch Gleichung (7) gutbeschrieben werden.

• Die Ubereinstimmung der Messwerte G0(p, e) mitden Formeln in den Empfehlungen des Arbeitskrei-ses ”Baugrunddynamik” der DGGT ist zufrieden-stellend.

• Der RC-Versuch und die Messung der Scherwellen-geschwindigkeit mit den piezoelektrischen Elemen-ten in der Triaxialzelle liefern annahernd identischeWerte fur G0.

• Die Steifigkeiten Es0(p, e) lassen sich analog zuGleichung (7) mit Gleichung (8) beschreiben.

• Die aus G0(p, e) und Es0(p, e) ermittelten Quer-kontraktionszahlen ν sind druck- und porenzahl-abhangig und liegen fur die untersuchten Drucke(50 kPa ≤ p ≤ 800 kPa) und Porenzahlen (0,56≤ e ≤ 0, 70) im Bereich 0, 14 ≤ ν ≤ 0, 25.

• Die Abnahme des Schubmoduls G mit der Scher-dehnungsamplitude γampl verlauft fur niedrigeDrucke schneller und ist relativ unabhangig von derPorenzahl e. Die Verlaufe G/G0(γ

ampl) lassen sichdurch Gleichung (9) gut approximieren. Der An-stieg des Damfpungsgrades D mit γampl ist bei nied-rigen Drucken schneller und ebenfalls kaum von ebeeinflusst.

• Der Ubergang vom linear elastischen zum nichtli-near elastischen Materialverhalten ist bei γampl ≈

10−5 zu finden. Irreversible vertikale Dehnungen

Bautechnik 82 (2005), Nr. 4, S. 236 - 246 11

der Proben treten ab γampl ≈ 10−4 auf. Die-se Grenzscherdehnung ist relativ unabhangig vomDruck p und der Lagerungsdichte ID .

• Die Schubsteifigkeit steigt bei konstanten Spannun-gen in etwa logarithmisch mit der Zeit (Alterung,engl. ”aging”). Der Steigungsfaktor der VerlaufeG0(ln t) ist relativ unabhangig vom Spannungsni-veau und der Lagerungsdichte.

• Die Anfangsstruktur des Korngerustes (Proben-praparationsmethode) besitzt keinen Einfluss aufdie Steifigkeit und die Dampfung. Die Veranderungder Steifigkeit durch Anderungen der Struktur beizyklischer Belastung ist ebenfalls vernachlassigbarklein.

• Die Temperatur besitzt im Fall von trockenem Sandkeinen Einfluss auf G und D.

• Bei identischer Kornform und gleicher Un-gleichformigkeit U = d60/d10 der Kornverteilungs-kurve sind die Schubsteifigkeit G0 und die Kur-ven G/G0(γ

ampl) und D(γampl) unabhangig vommittleren Korndurchmesser d50. Mit zunehmenderUngleichformigkeit sinkt G0 und die Abnahme derSchubsteifigkeit bzw. die Zunahme des Dampfungs-grades mit γampl verlauft schneller.

• Proben mit vollem und Ringquerschnitt liefern imRC-Versuch in etwa gleiche Werte fur G und D, d.h.die Homogenitat der Scherdehnungsverteilung uberden Probenquerschnitt spielt eine untergeordneteRolle.

Danksagung

Teile der in diesem Aufsatz vorgestellten Versuchewurden im Rahmen des Teilprojektes A8 ”Einflussder Strukturveranderung im Boden auf die Lebens-dauer von Bauwerken” des SonderforschungsbereichesSFB 398 ”Lebensdauerorientierte Entwurfskonzepte un-ter Schadigungs- und Deteriorationsaspekten” der Deut-schen Forschungsgemeinschaft (DFG) durchgefuhrt. An-dere Versuchsreihen waren Teil des Projektes ”Analy-tical and Numerical Studies on Microstructure Effectsof the Response of Elastic Solids and Structures” imIKYDA - Programm des Deutschen Akademischen Aus-tauschdienstes (DAAD). An dieser Stelle wird der DFGund dem DAAD fur die finanzielle Unterstutzung ge-dankt.

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Autoren dieses Beitrages:Dipl.-Ing. Torsten Wichtmann, Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil.

Theodor Triantafyllidis, Ruhr-Universitat Bochum, Lehr-

stuhl fur Grundbau und Bodenmechanik, Universitatsstraße

150, 44780 Bochum