ad Physik A – VL2 (11.10.2012)

korrigierte Varianz:

oder:

korrigierte Stichproben-

Varianz

2 2 2

1

2

1

1( ) ( )

1

1

1

n

i

i

n

i

i

x xn

x xn

Begründung für den Vorfaktor :1

1

n

Der Mittelwert der Grundgesamtheit

(= Mittelwert aus unendlich vielen Messungen = tatsächlicher Messwert)

ist unbekannt und wird durch den Stichprobenmittelwert ersetzt, d.h. er wird geschätzt.

σ2 ist eine Schätzfunktion.

Es lässt sich zeigen (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Korrigierte_Stichprobenvarianz),

dass die Schätzfunktion nicht erwartungstreu ist, und um einen

Faktor korrigiert werden muss.

x

n

ii xx

ns

1

22 1

1n

n

Erwartungswert der korrigierten Stichprobenvarianz = Varianz der Grundgesamtheit

Physik A – VL3 (12.10.2012)

Beschreibung von Bewegungen

- Kinematik in einer Raumrichtung I

• Warum wir ein Bezugssystem brauchen

• Weg und Geschwindigkeit als vektorielle Größen

• Die Durchschnittsgeschwindigkeit

• Die Momentangeschwindigkeit

Beschreibung von Bewegungen

Kinematik in einer Raumrichtung I

• Untersuchung der Bewegung von Körpern und der verwandten Begriffe Kraft und Energie:

Mechanik

Mechanik ist der „klassischste“ Teil der Physik, deren Grundlagen im 15. und 16. Jahrhundert geschaffen

wurden, u.a. von :

Galileo Galilei (1564-1642) Christiaan Huygens (1629-1695) Isaac Newton (1642-1727)

• Mechanik, • Kreisbewegung, • Formalisierung der Mechanik,

(Fernrohr, Astronomie) Stoßgesetze Grundprinzipien der Bewegung

Gravitationsgesetze

Beschreibung von Bewegungen

Kinematik in einer Raumrichtung I

• Untersuchung der Bewegung von Körpern und der verwandten Begriffe Kraft und Energie:

Mechanik

• Einteilung in drei Bereiche:

Statik: Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften

Mechanik Kinematik: Beschreibung von Bewegungen

Dynamik: Beschreibung von Kräften und Untersuchung,

warum sich Körper in einer bestimmten Art und

Weise bewegen

Kinematik

• Zunächst: Bewegung ohne Drehimpuls

(Begriff zunächst ohne weitere Erläuterung,

der Wortteil „Dreh-„ liefert alle momentan notwendigen Informationen:

keine Drehbewegung)

= Translationsbewegung (keine Rotationsbewegung)

• Zur Vereinfachung vieler der folgenden Betrachtungen:

Darstellung/Annahme der betrachteten Objekte als Massenpunkte:

- „mathematischer Punkt“ = ohne räumliche Ausdehnung

Form und Abmessungen des Objektes spielen keine Rolle!

- Massenpunkte können keine Rotationsbewegungen ausführen.

(„ein Punkt kann nicht rotieren“)

- der Punkt „besitzt“ exakt die gleiche Masse wie das Objekt, das er

repräsentiert

Bezugssysteme

• Beispiel...zur Verdeutlichung, warum immer ein Bezugssystem benötigt wird

Bewegung einer Person in einem Zug

Bewegung einer Person in einem Zug.

Realistische vs. schematische Darstellung

Bewegung einer Person in einem Zug.

Realistische vs. schematische Darstellung

• Beispiel...zur Verdeutlichung, warum immer ein Bezugssystem benötigt wird

Bewegung einer Person in einem Zug

Ein Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h.

Innerhalb des Zuges läuft eine Person mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h

in Fahrtrichtung des Zuges.

5 km/h 80 km/h

Der Zug bewegt sich mit 80 km/h

Die Person bewegt sich mit 5 km/h in dem Zug, d.h. bezogen auf den Zug als Bezugssystem

Die Person bewegt sich mit 80 km/h + 5 km/h = 85 km/h relativ zum Erdboden (als

Bezugssystem).

Bezugssysteme

• Beispiel...zur Verdeutlichung, warum immer ein Bezugssystem benötigt wird

Bewegung einer Person in einem Zug

Bei der Beschreibung einer Bewegung neben der Angabe der Geschwindigkeit auch die

Angabe der Bewegungsrichtung notwendig!

Zug und Person bewegen sich in die gleiche Richtung Geschwindigkeiten werden addiert.

Würde die Person entgegen der Fahrtrichtung laufen, ergäbe sich eine Geschwindigkeit von

(80-5) km/h = 75 km/h

als Geschwindigkeit der Person mit der Erde als Bezugssystem.

Zur Angabe der Bewegungsrichtung verwenden wir Koordinatensysteme.

Bei Bewegungen in einer Raumrichtung benötigen wir nur eine Koordinatenachse: hier die x-Achse.

Bezugssysteme

• Beispiel...zur Verdeutlichung, warum immer ein Bezugssystem benötigt wird

Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe!!

Bei Bewegungen in einer Dimension reicht das Vorzeichen als Aussage über die Richtung:

positive Geschw. bei Bewegung in + x-Richtung: + 5 km/h bzw. 5 km/h

negative Geschw. bei Bewegung in – x-Richtung: - 5 km/h

Damit können wir (s.o.) die Geschwindigkeiten immer addieren und erhalten dank des

Vorzeichens das korrekte Ergebnis für beide Fälle.

Bezugssysteme

• Betrachtung des sich durch die Bewegung eines Körpers ergebenden Weges im Koordinatensystem:

Beispiel 1:

In einem Bezugssystem (x-Achse) bewegt sich ein Körper vom Ort x1 = 10 m zum Ort x2 = 35 m.

Der Körper beginnt die Bewegung zum Zeitpunkt t1 am Ort x1, zum Zeitpunkt t2 endet die Bewegung am Ort x2

Der Weg s ergibt sich zu: s = x2 – x1 = Δx

d.h. in obigem Beispiel: s = 35 m – 10 m = 25 m

Beispiel 2:

In diesem Fall erfolgt die Bewegung in entgegengesetzter Richtung

x1 und x2 sind vertauscht

Es ergibt sich für den zurückgelegten Weg: s = x2 – x1 = (10-35) m = -25 m

Das Vorzeichen des zurückgelegten Weges gibt die Richtung der Bewegung an.

Bezugssysteme

Durchschnittsgeschwindigkeit

• Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann als Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der dafür

benötigten Zeit berechnet werden:

Die benötigte Zeit ist t2 – t1 = Δt

Damit lässt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen:

verallgemeinert für ein beliebiges Wegstück Δs (d.h. unabhängig vom verwendeten Bezugssystem):

Da t2 > t1 gilt, ist Δt immer positiv!

Das Vorzeichen der (Durchschnitts-) Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Vorzeichen des Weges

und gibt in gleicher Art und Weise die Bewegungsrichtung an.

Zeitbenötigte

gter WegzurückgelendigkeitttsgeschwiDurchschni

t

s

t

x

tt

xxv

12

12

t

sv

Die Durchschnittsgeschwindigkeit liefert lediglich

Informationen darüber, wie schnell sich ein Objekt

durchschnittlich bewegt hat.

Informationen über die momentane Geschwindigkeit

zu einem bestimmten Zeitpunkt erhält man, indem

man die Momentangeschwindigkeit bestimmt.

Die Momentangeschwindigkeit v in einem beliebigen Moment ist definiert als die

Durchschnittsgeschwindigkeit über ein unendlich kleines Zeitintervall Δt :

D.h., der Quotient Δs/Δt muss für den Fall berechnet werden, dass Δt gegen Null geht.

(Würde einfach Δt = 0 gesetzt, wäre dieser Quotient nicht mehr definiert – zudem wäre dann auch Δs = 0)

In diesem Fall nähert sich der Quotient einem definierten Wert, der Momentangeschwindigkeit, an.

Betrachtung der Bewegung über ein Weg-Zeit-Diagramm:

t

sv

t

0lim

Momentangeschwindigkeit

Experiment: Gleichförmige lineare Bewegung

Weg-Zeit-Diagramme

Weg-Zeit-Diagramme

Experiment: Gleichförmige lineare Bewegung

Weg-Zeit-Diagramm:

t

s

t

x

tt

xxv

12

12

t

sv

t

sv

t

0lim

Bei einer gleichförmigen linearen Bewegung

(= konstante Geschwindigkeit)

sind Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit identisch.

Experiment: Ungleichförmige, beschleunigte Bewegung

Weg-Zeit-Diagramme

Weg-Zeit-Diagramm:

P1 und P2 sind die Punkte, die die Situation zu den Zeitpunkten t1 und t2 kennzeichnen.

Der Quotient Δs/ Δt entspricht der Steigung der Geraden durch diese beiden Punkte.

Die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte in einem Weg-Zeit-Diagramm

entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall.

Weg-Zeit-Diagramme

Momentangeschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm

Weg-Zeit-Diagramm:

Wählen wir diese Zeitintervalle immer kleiner, nähert sich die Gerade immer weiter einer

Tangente an die Weg-Zeit-Kurve im Punkt P1 an.

Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit,

wenn Δt gegen Null geht

oder

Die Momentangeschwindigkeit ist gleich der Steigung der Tangente an die Weg-Zeit-Kurve

in diesem Punkt.

Es ergibt sich für die Definition der Momentangeschwindigkeit (in Differentialschreibweise):

Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung von s (genauer: s(t) !) nach t!

Die Weg-Zeit-Kurve liefert zu jedem Zeitpunkt die Momentangeschwindigkeit einer Bewegung:

dt

ds

dt

dx

t

xv

t

0lim

Momentangeschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm

Zusammenfassung

• Mechanik

Untersuchung der Bewegung von Körpern und der verwandten Begriffe Kraft und Energie.

Einteilung in drei Teilbereiche: - Statik (Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften)

- Kinematik (Beschreibung von Bewegungen)

- Dynamik (Beschreibung von Kräften und Untersuchung,

warum sich Körper in einer bestimmten Art

und Weise bewegen)

• Kinematik in einer Raumrichtung

Zunächst: Translationsbewegungen von Massepunkten in einer Raumrichtung.

Es wird immer ein Bezugssystem benötigt, da Weg und Geschwindigkeit vektorielle Größen sind.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der dafür

benötigten Zeit.

Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn Δt

gegen Null geht

bzw.

Die Momentangeschwindigkeit ist gleich der Steigung der Tangente an die Weg-Zeit-Kurve

in diesem Punkt.

Das Vorzeichen der Geschwindigkeit (Durchschnitts- und Momentan-) ergibt sich aus dem

Vorzeichen des Weges und gibt in gleicher Art und Weise die Bewegungsrichtung an.