La teoria della Relatività Generale

Liceo Classico “Seneca”

Prof. E. Modica

La massa

Dipendenza della massa dalla velocità

Se un corpo di massa m è soggetto ad una forza costanteF nella direzione della sua velocità v, l’accelerazioneche il corpo subisce è data da:

a = F/m

Moltiplicando ambo i membri per Δt, otteniamo:

Δv = (F/m) Δt

Questa formula ci suggerisce che se aspettiamo un temposufficientemente lungo, la velocità supererà quelladella luce!

La seconda legge di Newton viene quindi riscritta come:

F∙Δt=Δ(m∙v)

La massa è variabile!

Se si suppone che m0 sia la massa a riposo di uncorpo, misurata da un osservatore rispetto alquale il corpo è fermo, la massa dello stessocorpo, per un osservatore che si muove di motorettilineo uniforme rispetto al primo con velocitàv, è data dalla formula:

0

2

2

0

1

m

c

v

mm

m0 prende il nome di massa a riposo o massainvariante.

La relazione tra la massa e l’energia

Dopo alcune considerazionisull’energia cinetica e sull’energiatotale di un corpo, Einstein pervennealla famosissima relazione:

2

0

2cmmcE

Essendo le due grandezze E ed mproporzionali, possono essereconsiderate equivalenti (si ricordi chec è una costante!)

La relatività generale

Secondo Einstein:

i sistemi di riferimento inerziali non possono avere un ruolo privilegiato;

le leggi della fisica devono essere uguali per tutti gli osservatori, qualunque sia il loro moto relativo.

Esigenza di una relatività generale

Definizione 1: Si dice massa inerziale la resistenzache oppone un corpo alla variazione del suo stato diquiete o di moto rettilineo uniforme.

Definizione 2: Si dice massa gravitazionale lamisura della forza di interazione di un corpo con laforza gravitazionale. Essa è proporzionale al peso diun corpo.

Osservazione: Le due masse hanno una definizionedifferente, ma si dimostra essere equivalenti.

Massa inerziale e gravitazionale

L’idea di Ernst Mach (1838-1916)

Il fisico austriaco Mach aveva supposto chel’inerzia di un corpo nasce dall’interazionecon la materia dell’universo. Di conseguenzala massa di un corpo è strettamente legata ad unaforza, così come la massa gravitazionale è associataalla forza di gravità.

Considerazioni di Einsten…

Partendo dall’ipotesi di Mach, Einstein capì chel’assumere uguali le due masse equivale adassimilare un sistema uniformementeaccelerato a un campo gravitazionale!

“Se una persona cade liberamente, non ha piùla sensazione del proprio peso”.

(Einstein, 1907)

Gedankenexperiment dell’ascensore

Ascensore a sinistra: se l’ascensore è fermo rispetto allaterra, i corpi sono soggetti all’accelerazione di gravità g.

Ascensore a destra: se l’ascensore è in caduta libera nelcampo gravitazionale terrestre, i corpi galleggianonell’aria come se fossero privi di peso.

Gedankenexperiment dell’ascensore

Astronave a sinistra: se l’astronave si trova in una zona dellospazio a gravità trascurabile, i corpi al suo interno rimangonosospesi.

Astronave a destra: se l’astronave presenta un’accelerazione a = -g, orientata verso il soffitto, i corpi cadono sul pavimento. Non visono esperimenti che permettono di distinguere questa situazionedall’essere fermi in presenza di un campo gravitazionale.

Deduzione…

Un sistema di riferimento non inerziale è equivalente ad un campo gravitazionale.

Principi della relatività generale

Einstein, nel 1916, pubblicò negli Annalen derPhysik l’articolo “I fondamenti della teoriadella relatività generale”.

Principio di equivalenza

Tutti i sistemi di riferimentoinerziali in un campogravitazionale uniforme sonoequivalenti ai sistemi diriferimento uniformementeaccelerati in un campogravitazionale nullo

Principio di relatività generaleLe leggi della fisica assumonola stessa forma in relazione adogni sistema di riferimento.

Conseguenze del principio di equivalenza

Dalla geometria euclidea è noto che la linea piùbreve che congiunge due punti dello spazio è unsegmento.

Inoltre per un punto esterno ad una retta passauna e una sola retta parallela a quella data (Vpostulato di Euclide).

Se si modifica il V postulato di Euclide, èpossibile ottenere delle geometrie diverse conproprietà interessanti.

Altre possibili geometrie…

Consideriamo come spazio la superficie di una sfera. A differenza diquanto accade nel caso del piano, la linea più breve che uniscedue punti della superficie sferica è un arco di circonferenzamassima che passa per i due punti e avente centro coincidentecon quello della sfera.

Tali circonferenze massime si comportano come le rette nel piano.

È semplice immaginare che, data una circonferenza massima e unpunto esterno ad essa, non esiste alcuna circonferenza massimapassante per il punto che non intersechi la prima circonferenza,quindi non ci sono rette parallele.

La linea più breve che unisce due punti di uno spazio prende ilnome di geodetica.

La geometria della sfera

Nella fisica lo spazio e il tempo erano assoluti e non eranolegati ai sistemi di riferimento.

Nella teoria della relatività spazio e tempo sono legati aisistemi di riferimento.

Mentre la relatività ristretta prevede uno spazio-tempo“piatto”, la relatività generale considera lo spazio-tempocome incurvato dalle masse presenti nell’universo.

Einstein immaginava quindi lo spazio-tempo incurvato dallapresenza delle masse, le quali si muovono come particelleche non sono soggette ad alcuna forza per andare da unpunto all’altro. Questo spostamento avviene seguendo legeodetiche.

“La materia dice allo spazio come incurvarsi e lospazio dice alla materia come muoversi”

(John A. Wheeler)

Le masse incurvano lo spazio-tempo

Curvatura dello spazio-tempo

Se si lascia cadere una biglia pesante lungo un foglio digomma reticolato, essa provocherà la curvatura del foglio.

Una seconda biglia, lasciata sul foglio, inizierà a rotolareverso quella più pesante come se ne fosse attratta.

Se si lancia la seconda biglia con una velocità iniziale v, essadescrive una traiettoria come quella di un pianeta intornoal Sole.

Modello bidimensionale dello spazio-tempo incurvato da una massa

Nella teoria della relatività il sistema solare vienedescritto come segue:

la massa solare incurva lo spazio-tempo; i pianeti si muovono secondo quanto

imposto da tale curvatura.

Descrizione relativistica del sistema solare

Il sole deflette la luce