Esempio di seconda prova di Matematica – Liceo Scientifico SOLUZIONE Problema 1. Fissati due parametri reali 𝑆 > 0, 𝑘 > 0, considera la funzione:

fk x( )=

S1+ e−kx

il cui grafico viene indicato con Γk . La funzione fk x( ) può essere adoperata per studiare la possibile evoluzione nel tempo di una popolazione che abbia capacità di riprodursi, nell’ipotesi in cui la limitatezza delle risorse disponibili causi l’esistenza di una “soglia di sostenibilità” al di sotto della quale la popolazione è costretta a mantenersi.

i. Dimostra che i valori assunti dalla funzione fk x( ) si mantengono all’interno dell’intervallo aperto delimitato inferiormente dal valore 0 e superiormente dal valore S, dove quest’ultimo rappresenta tale soglia di sostenibilità.

ii. Osservando Γk , individua la trasformazione geometrica da applicare a Γk per farlo diventare il grafico di una funzione dispari, e determina l’espressione analitica di tale funzione.

iii. Individua graficamente o analiticamente il valore della x corrispondente alla massima velocità di crescita di una popolazione secondo il modello rappresentato dalla funzione fk x( ) ; determina quindi, in funzione dei parametri S e k, il valore di tale velocità massima. !

Dovendo effettuare lo studio di una coltura batterica in un ambiente a risorse limitate, puoi pensare, al fine di semplificare i calcoli, di approssimare la funzione fk x( ) con una funzione come gk x( ) , il cui grafico è qui sotto riportato.

Il valore di gk x( ) passa da 0 a S con una rampa lineare, di pendenza pari alla pendenza di

Γk nel punto di ascissa 0. iv. Determina, in funzione dei parametri S e k, l’espressione analitica della funzione

gk x( ).

v. Illustra il procedimento che adotteresti per valutare l’accettabilità dell’approssimazione di ! fk x( ) fornita da gk x( ) .

vi. All’aumentare di k, tale approssimazione diventa migliore? Motiva la tua risposta. ! Risposta.

i. Innanzitutto osservo che, ∀x∈! , fk x( )> 0 . Poi lim

x→−∞fk x( )= 0 e

lim

x→+∞fk x( )= S .

Inoltre, ∀x∈! ,

fk′ x( )=

Ske−kx

1+ e−kx( )2 > 0 ovvero fk è strettamente crescente. Concludo

che Im fk( )= 0; S⎤⎦ ⎡⎣ .

ii. Poiché

fk′′ x( )=

Sk2e−kx e−kx−1( )e−kx +1( )3 ≥ 0 per x≤ 0 , fk è convessa in −∞; 0⎤⎦ ⎡⎣ e ammette

un punto di flesso a tangente obliqua F 0; S 2( ) . Considerando quanto detto anche al punto precedente, il grafico qualitativo di fk è il seguente:

Osservo che Γk è simmetrico rispetto a F:

σF :

′x =−x′y = S−y

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪→

x =− ′xy = S− ′y

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪,

da cui y = fk x( )→

σF

S− ′y = fk − ′x( )→ ′y = S− S1+ ek ′x → ′y =

Sek ′x

1+ ek ′x → ′y =S

1+ ek ′x( ) ek ′x→

→ ′y =

S1 ek ′x +1

→ ′y =S

1+ e−k ′x →rga

y =S

1+ e−kx, ovvero

σF fk x( )( )= fk x( ) .

La trasformazione richiesta è quindi la traslazione di vettore !τ 0; −S 2( ) di

equazioni

τ :

′x = x′y = y−S 2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪→

x = ′xy = ′y +S 2⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪,

che applicata a fk x( ) mi restituisce la funzione dispari dk x( ) la cui espressione analitica è la seguente:

y = fk x( )→

τ′y +

S2

= fk′x( )→ ′y =

S1+ e−k ′x −

S2→ ′y =

S2

·1−e−k ′x

1+ e−k ′x →rga

y = dk x( )=S2

·1−e−kx

1+ e−kx.

Rimane da verificare che dk x( ) è effettivamente dispari, ovvero che ∀x∈! si ha

dk −x( )=−dk x( ) :

dk −x( )=

S2

·1−ekx

1+ ekx =S2

·1−ekx( ) ekx

1+ ekx( ) ekx=

S2

·1 ekx−11 ekx +1

=S2

·e−kx−1

e−kx +1=−

S2

·1−e−kx

1+ e−kx =−dk x( ) .

iii. La massima velocità di crescita corrisponde a un massimo relativo di fk′ x( ) che, per

quanto detto al punto precedente, corrisponde al punto di flesso di fk x( ) . Quindi,

per quanto calcolato in i., la velocità massima è fk′ 0( )= Sk 4 .

iv. Il tratto lineare non costante ha pendenza Sk 4 e intercetta S 2 , quindi ha equazione y = Sk 4 x +S 2 . Tale tratto interseca l’asse x in x =−2 k e la retta y = S in x = 2 k ; quindi

gk x( )=

0 se x≤−2 kSk 4 x +S 2 se −2 k < x≤ 2 kS se x >−2 k

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

.

v. Per valutare il grado di approssimazione potrei valutare lo scostamento

fk x( )−gk x( ) e considerare l’approssimazione accettabile per un fissato valore c.

Equivalentemente, basta considerare lo scostamento dk x( )−ek x( ) , dove

ek x( )=

−S 2 se x≤−2 kSk 4 x se −2 k < x≤ 2 kS 2 se x >−2 k

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

è la traslazione τ di gk (lo scostamento rimane invariato per traslazioni).

Per fare ciò posso seguire la seguente procedura: · determino i massimi e minimi relativi di hk x( )= dk x( )−ek x( ) ; siano essi

m xm ; hk xm( )( ) e M xM ; hk xM( )( ) ( xm =−xM poiché sia dk che ek sono dispari).

· Verifico se dk xi( )−ek xi( ) ≤ c con i = m, M .

vi. Poiché

hk′ x( )=

Ske−kx

1+ e−kx( )2 se x <−2 k

−Sk4

·1−e−kx( )2

1+ e−kx( )2 se −2 k < x < 2 k

Ske−kx

1+ e−kx( )2 se x < 2 k

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

,

ho lo scostamento massimo in x =−2 k , per il quale ottengo

dk −2 k( )−ek −2 k( ) =

S1+ e2 , e in x = 2 k , per il quale ottengo

dk 2 k( )−ek 2 k( ) =

S1+ e−2 −S =

S1+ e2 . Lo scostamento massimo quindi non

dipende da k. In generale, se aumento il valore di k la pendenza massima di dk e di ek aumentano, quindi lo scostamento diminuire. Per accertarsi di ciò si può provare

che ddk

hk x( )≥ 0 (sfruttando la simmetria, analizzo lo scostamento per un fissato

x > 0 ) ∀k∈ 0; +∞⎤⎦ ⎡⎣ .

Problema 2. Il tuo liceo, nell’ambito dell'alternanza scuola lavoro, ha organizzato per gli studenti del quinto anno un’attività presso lo stabilimento ICE EXPRESS sito nella tua regione. All'arrivo siete stati divisi in vari gruppi. Il tuo, dopo aver visitato lo stabilimento e i laboratori, partecipa ad una riunione legata ai processi di produzione. Un cliente ha richiesto una fornitura di blocchi di ghiaccio a forma di parallelepipedo a base quadrata, di volume 10 dm3 , che abbiano il minimo scambio termico con l’ambiente esterno, in modo da resistere più a lungo possibile prima di liquefarsi. Al tuo gruppo viene richiesto di determinare le caratteristiche geometriche dei blocchi da produrre, sapendo che gli scambi termici tra questi e l’ambiente avvengono attraverso la superficie dei blocchi stessi.

i. Determina il valore del lato b della base quadrata che consente di minimizzare lo scambio termico e il corrispondente valore dell’altezza h, tenendo presente la necessità che il volume sia 10 dm3 .

Il blocco di ghiaccio al termine del processo produttivo si trova alla temperatura di −18 °C . Esso viene posto su un nastro trasportatore che lo porta a un camion frigorifero, attraversando per due minuti un ambiente che viene mantenuto alla temperatura di 10 °C ; esso pertanto tende a riscaldarsi, con velocità progressivamente decrescente, in funzione della differenza di temperatura rispetto all’ambiente, e inizia a fondere se lungo il percorso raggiunge la temperatura di 0 °C .

ii. Scegli, motivando la tua scelta, quale delle seguenti funzioni è più idonea per rappresentare il processo di riscaldamento prima dell’inizio della liquefazione ( Ta : temperatura ambiente, Tg : temperatura del ghiaccio all’istante t = 0 , T t( ) : temperatura del ghiaccio all’istante t, dove t è il tempo trascorso dall’inizio del riscaldamento, in minuti):

T t( )= Ta−Tg( )e−Kt

T t( )= Ta−Tg( ) 1−e−Kt( )+Tg

T t( )= Ta−Tg( )e−Kt−Ta

e determina il valore che deve avere il parametro K perché il blocco di ghiaccio non inizi a fondere durante il percorso verso il camion frigorifero.

iii. Poiché il parametro K varia in funzione di diversi fattori produttivi, c’è un’incertezza del 10% sul suo effettivo valore. Ritieni che questo determini una incertezza del 10% anche sul valore della temperatura T del blocco di ghiaccio all’istante in cui raggiunge il camion frigorifero? Motiva la tua risposta, in modo qualitativo o quantitativo.

L’azienda solitamente adopera, per contenere l'acqua necessaria a produrre un singolo blocco di ghiaccio, un recipiente cilindrico, con raggio della base eguale a 1,5 dm, e altezza eguale a 2 dm.

iv. Sapendo che nel passaggio da acqua a ghiaccio il volume aumenta del 9,05%, stabilisci se il suddetto recipiente è in grado di contenere l'acqua necessaria a produrre il blocco richiesto e, in tal caso, a quale altezza dal fondo del recipiente arriverà l'acqua.

Risposta.

i. Si chiede di determinare le misure degli spigoli di un parallelepipedo a base quadrata di volume V dato che minimizzano l’area totale S. Poiché S = 2b b + 2h( ) e V = b2h = 10→ h = 10 b2 , ho che S b( )= 2b b + 20 b2( )→

→S b( )= 2b2 + 40 b .

Ora, ′S b( )≥ 0→ 4b−40 b2 ≥ 0→ b≥ 103 , l’area totale sarà minima per

b = 103 dm = h (cubo).

ii. Sapendo che T 0( )= Tg , l’unica funzione che soddisfa la condizione iniziale è la seconda. Affinché il ghiaccio non si sciolga deve valere la condizione al contorno T 2( )< 0 :

poiché T t( )= Ta−Tg( ) 1−e−Kt( )+Tg →

T t( )= Ta− Ta−Tg( )e−Kt , ottengo T 2( )< 0→

→ 10−28e−2K < 0→ K <

12

ln 145⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟! 0,51 .

iii. Stimato un valore di K, il suo valore reale sarà compreso nell’intervallo 0,9K ; 1,1K⎡⎣ ⎤⎦ ,

di incertezza 1,1K−0,9K

2K100%= 10% . Devo verificare se c’è la stessa incertezza in

T 2( ) : · con 0,9K ottengo T0,9K 2( )= 10−28e−1,8K · con K ottengo TK 2( )= 10−28e−2K · con 1,1K ottengo T1,1K 2( )= 10−28e−2 ,2K

Ciò corrisponde a un’incertezza iT 2( ) =

T1,1K 2( )−T0,9K 2( )2TK 2( )

100%= 7 e−2 ,2K−e−1,8K

5−14e−2k

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟100% .

Provando con alcuni valori noto che l’incertezza non è la stessa (in effetti dipende dal valore di K):

K iT 2( )

1 2 ! 343%

1 4 !12%

1 10 ! 3,5%

iv. Il volume massimo di acqua che può contenere il contenitore cilindrico è

Vacqua = π 1,5( )2·2 = 9π 2 dm3 . Il volume di ghiaccio che ottengo da questo volume

d’acqua è pari a Vg = Vacqua + 9,05%Vacqua =

21812000

92π!15,4 dm3 >10 dm3 .

Sia H l’altezza dal fondo del contenitore cilindrico che mi permette di ottenere un

cubetto di ghiaccio del volume dato. Quindi Vacqua =

94πH e

Vg =

21812000

94πH . Poiché

Vg = 10→ 2181

200094πH = 10→H =

80˙00019˙629π

!1,3 dm .

Questionario

1. In figura è riportato il grafico della funzione ′f x( ) , derivata della funzione f x( ) . Il grafico presenta un asintoto verticale per x = 0 . Supponendo che la funzione f sia definita in ! , descrivi la derivabilità della funzione nel punto di ascissa nulla e fornisci un grafico probabile della funzione in un intorno di zero.

Risposta. Poiché

0 = lim

x→0−′f x( )≠ lim

x→0+′f x( )= +∞ , la funzione f ammette un punto di non derivabilità

in 0 (si tratta di un punto angoloso). Noto che in I

− 0( ) e in I+ 0( ) f è crescente (perché ′f x( )> 0 ) e concava (perché ′f è

decrescente), quindi il grafico probabile di f in un intorno di 0 potrebbe essere il seguente:

2. Individua il valore di k per cui la tangente nell’origine al grafico della funzione

f x( )=

xx−k

forma un angolo di π 6 radianti con l’asse delle ascisse.

Risposta. Il quesito chiede di risolvere l’equazione ′f 0( )= tan ±π 6( ) :

poiché ′f x( )=−

k

x−k( )2 → ′f 0( )=−1k

, basta porre −

1k

= ±13→ k =∓ 3 .

3. Risolvi esclusivamente per via grafica la disequazione x−2 > x−6 . Risposta. Pongo f x( )= x−2 e g x( )= x−6 . Il quesito richiede di verificare per quali valori della x si ha f x( )> g x( ) . Confrontando i due grafici trovo che la disequazione ha soluzioni x > 4 :

4. Il cerchio di raggio R centrato nel vertice in basso a sinistra del quadrato in figura ne ricopre metà della superficie; il cerchio di raggio r centrato nel centro del quadrato ne occupa metà della superficie. Sapendo che i quadrati sono equivalenti, determina il rapporto R r .

Risposta. L’area del quadrante a sinistra è πR2 4 mentre l’area del cerchio di destra è πr2 . Detta S

l’area di superficie di ogni quadrato, ho che πR2 4 = S 2 = πr2 →R ,r>0

R r = 2 .

5. Presi due punti A a; a2( ) e B b; b2( ) sulla parabola y = x2 , traccia la retta OC,

parallela alla retta AB, passante per l’origine e per il punto C c; c2( ) . !

i. Dimostra che a + b = c .! ii. Traccia un’altra parallela DE, passante per due punti D ed E appartenenti alla

parabola, e !mostra che i punti medi delle tre parallele giacciono su una retta. ! Risposta.

i. La retta AB ha coefficiente angolare mAB =

a2−b2

a−b →

a≠b mAB = a + b . La retta OC ha

coefficiente angolare mOC =

c2−0c−0

→c≠0

mOC = c poiché le due rette sono parallele,

mAB = mOC , da cui la tesi. ii. Siano D d ; d2( ) ed E e; e2( ) altri due punti della parabola. Per quanto detto in i. ho

che a + b = c = d + e .

· Il punto medio MAB del segmento AB ha coordinate

a + b2

; a2 + b2

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

c2

; a2 + b2

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

· Il punto medio MOC del segmento OC ha coordinate

c2

; c2

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

.

· Il punto medio MDE del segmento DE ha coordinate

d + e2

; d2 + e2

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

c2

; d2 + e2

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

I tre punti giacciono tutti sulla retta di equazione x = c 2 .

6. Il grafico della funzione polinomiale cubica y = f x( ) intercetta l’asse x nei punti di ascissa 10, 100 e 1000. È sufficiente questa informazione per individuare le coordinate del punto di flesso? Se sì, determinale. Se no, spiega per quale motivo. !

Risposta. L’espressione analitica di f è del tipo f x( )= a x−10( ) x−100( ) x−1000( ) con a parametro reale. Per determinare l’ascissa del punto di flesso, sapendo che una cubica lo ammette sempre, basta porre ′′f x( )= 0→ a 6x−2220( )= 0→ x = 370 . L’ordinata invece dipende dal valore del parametro a, cosa non inattesa visti i corollari del Teorema di Lagrange.

7. Una sfera, il cui centro è il punto K 1; 0; 1( ) , è tangente al piano Π avente equazione x−2y + z +1= 0 . Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera? !

Risposta. L’equazione parametrica della retta perpendicolare a Π (

!Π 1; −2; 1( )) passante per K è

s :x = 1+ ty =−2tz = 1+ t

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

, t∈! .

Il punto di tangenza è T∈Π∩ s : 1+ t( )−2 −2t( )+ 1+ t( )+1= 0→ 3 + 6t = 0→ t =−1 2 , da cui T 1 2 ; 1; 1 2( ) . Il raggio della sfera è TK = 1 4 +1+1 4 = 3 2 = 6 2 .

8. Se si lancia una moneta 2 volte, la probabilità di ottenere una testa e una croce (in qualsiasi ordine) è pari al 50%. Se la moneta viene lanciata 4 volte, la probabilità di ottenere due teste e due croci, in qualsiasi ordine, è ancora pari al 50%? Motiva la tua risposta. �

Risposta. No, basta applicare il Teorema di Bernoulli relativo alle prove ripetute (4 prove, due successi):

P4 ,2 = 4

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

12⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

1− 12

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=38

= 37,5%< 50% .