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ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di una forzante esterna di tipo sinusoidale ed ampiezza costante nel tempo.
F0(t)=A0 cos(Ωt)
Su di una struttura, la “forzante” è in generale costituita da una o più forze esterne, aventi tutte la stessa pulsazione, ma ampiezza e fase distinte.
F1(t)=A1 cos(Ωt+Φ)
0 5 10 15 20 25 30
20
10
10
20
Fors
a [N
]
Forza applicata
0 5 10 15 20 25 30
0.04
0.02
0.02
0.04
0.06
Tempo [s]
Spos
tam
ento
[m]
Oscillazione di un sistema con partenzaa riposo a t=0
Se si applica la forzante a partire dall’istante t=0, con la struttura inizialmente a riposo, la risposta mostra un transitorio iniziale, che si esaurisce dopo un certo tempo, dopodiché la struttura oscilla con ampiezza costante.
Transitorio Analisi risposta armonica
F(t)=F0 cos(Ωt)
δ
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
Ipotesi: comportamento lineare della struttura ([M], [C] e [K] costanti)
0 2 4 6 8 10 12
10
10
tempo (s)
Forz
a (k
N)
0 2 4 6 8 10 12
10
10x1x2x3
tempo (s)
Spos
tam
ento
(mm
)
x1
x3
x2
I vari g.d.l. della struttura vibrano con una legge del moto avente:• andamento nel tempo di tipo sinusoidale• pulsazione uguale a quella della forzante• ampiezza e fase variabili da punto a punto
( ) titii eifeeftF ΩΩ ⋅+=⋅= )sin()cos()( maxmax ψψψ
[ ] [ ] [ ] )(tFUKUCUM =++
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
( )( )
( )
−−
+Ω⋅−−
+Ω⋅+Ω⋅
=
jj tf
tftf
tFψ
ψψ
cos
coscos
)(
max
2max2
1max1
−−
⋅⋅−−
⋅⋅⋅⋅
=Ω
Ω
Ω
tiij
tii
tii
eef
eefeef
jψ
ψ
ψ
max
max2
max12
1
tii eef Ω⋅= ψmax
tii eeftF Ω⋅= ψmax)(
tii eeuitU Ω⋅Ω= ϕmax)(
tii eeutU Ω⋅Ω−= ϕmax
2)(
( ) titii eiueeutU ΩΩ ⋅+=⋅= )sin()cos()( maxmax ϕϕϕ
[ ] [ ] [ ] )(tFUKUCUM =++
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
[ ] [ ] [ ] tiitiitiitii eefeeuKeeuCieeuM ΩΩΩΩ =+Ω+Ω− ψϕϕϕmaxmaxmaxmax
2
[ ] [ ]( ) [ ]( ) ψϕ ii efeuCiMK maxmax2 =Ω+Ω−
[ ] [ ]( ) [ ]( ) ψϕ ii efeuCiMK maxmax2 =Ω+Ω−
[ ] ψϕ iic efeuK maxmax =
[ ] ψϕ ic
i efKeu max1
max−=
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MD
Principali tecniche di soluzione:• Metodo diretto• Metodo di sovrapposizione modale
Soluzione: metodo diretto (MD)
( )∑=
=MPn
jj
j tqYtU1
)()(
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)
Si pone:
In presenza di «Classical Damping» (Es. smorzamento proporzionale) la matrice [C], come le matrici [M] e [K], viene diagonalizzata dalla matrice modale del sistema non smorzato, per cui il sistema:
[ ] [ ] [ ] )(tFUKUCUM =++
si riduce ad «N» equazioni disaccoppiate, del tipo:
kTkkkkkkk ftFqqq =Φ=++ )(2 2ωωξ
kkkkkkk fqqq =++ 22 ωωξ
( ) tikc
tiikk efeeff k ΩΩ == ψ
max,
tikck
tikck
tikck
eQqeQiq
eQq
Ω
Ω
Ω
Ω−=
Ω=
=
2
( ) kckckkk fQi =Ω+Ω− ωξω 222
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
tikc
tikck
tikckk
tikc efeQeQieQ ΩΩΩΩ =+Ω+Ω− 22 2 ωωξ
( ) Ω+Ω−=
kkk
kckc i
fQωξω 222
( )
22
2
2
2
22
21
2
Ω+
Ω−
=
=Ω+Ω−
=
kk
k
k
kc
kkk
kckc
fi
fQ
ωξ
ω
ω
ωξω
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
tin
kkc
kn
k
tikc
k eQYeQYtUMPMP
Ω
==
Ω
== ∑∑
1
)(
1
)()(
0 500 1000 1500 2000 25000
5
10
15
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]A
MPL
ITUD
E [m
m] RISPOSTA ARMONICA
ω1 ω2 ω3 ω4 ω5
|Q1c |
|Q2c ||U|
0 5 10 15 20 25 30
30
20
10
10
20
30
tempo (s)
Forz
a (k
N)
T T
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Forzanti: le forzanti esterne agenti sulla struttura hanno generalmente un andamento nel tempo di tipo periodico, ma non armonico.
Per determinare il loro effetto sulla struttura è quindi necessario:• scomporre la forzante in una somma di funzioni armoniche (serie di Fourier)• ottenere la risposta complessiva tramite la sovrapposizione degli effetti
0 5 10 15 20 25 30
30
20
10
10
20
30
tempo (s)
Forz
a (k
N)
T T
( )∑∞
=
+Ω⋅+=
=Ω
100
0
cos)(
2
hhh thAAtF
T
λ
π
( )∑=
+Ω⋅+≅Fn
hhh thAA
100 cos λ
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ordine armonica
Am
piez
za [k
N]
Andamento tipico delle ampiezze delle diverse armoniche eccitatrici con il relativo ordine h
Oss: al di sopra di un certo numero d’ordine l’ampiezza Ah diviene usualmente trascurabile.
nF = 8 Armoniche non considerate
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
0 5 10 15 20 25 30
30
20
10
10
20
30
tempo (s)
Forz
a (k
N)
nB 1=
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑=
+Ω⋅+=Fn
hhh thAAtF
100 cos)(' λ
nF = 1
0 5 10 15 20 25 30
30
20
10
10
20
30
tempo (s)
Forz
a (k
N)
nB 2=
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑=
+Ω⋅+=Fn
hhh thAAtF
100 cos)(' λ
nF = 2
0 5 10 15 20 25 30
30
20
10
10
20
30
tempo (s)
Forz
a (k
N)
nB 3=
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑=
+Ω⋅+=Fn
hhh thAAtF
100 cos)(' λ
nF = 3
0 5 10 15 20 25 30
30
20
10
10
20
30
tempo (s)
Forz
a (k
N)
nB 4=
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑=
+Ω⋅+=Fn
hhh thAAtF
100 cos)(' λ
nF = 4
0 5 10 15 20 25 30
30
20
10
10
20
30
tempo (s)
Forz
a (k
N)
nB 5=
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑=
+Ω⋅+=Fn
hhh thAAtF
100 cos)(' λ
nF = 5
0 5 10 15 20 25 30
30
20
10
10
20
30
tempo (s)
Forz
a (k
N)
nB 7=
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑=
+Ω⋅+=Fn
hhh thAAtF
100 cos)(' λ
nF = 8
( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)(
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅∑=1
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 1
( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)(
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅∑=1
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 2
( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)(
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅∑=1
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 3
( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)(
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅∑=1
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 4
( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)(
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅∑=1
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 5
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 2
Banda passante
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella “banda passante” del modello
0ΩFn
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 5
Banda passante
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella “banda passante” del modello
0ΩFn
0Ω> Fn nM
ω
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
0 1 2 3 4 50
2
4
6
8
10
12
180200250
Numero di modi propri considerati
Am
piez
za v
ibra
zion
e [m
m]
Ω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 5
I modi propri di alta frequenza mantengono un contributo anche alle basse frequenze
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
0 1 2 3 4 50
2
4
6
8
10
12
180200250
Numero di modi propri considerati
Am
piez
za v
ibra
zion
e [m
m]
Ω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 5
180
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
0 1 2 3 4 50
2
4
6
8
10
12
180200250
Numero di modi propri considerati
Am
piez
za v
ibra
zion
e [m
m]
Ω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 5
200
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
0 1 2 3 4 50
2
4
6
8
10
12
180200250
Numero di modi propri considerati
Am
piez
za v
ibra
zion
e [m
m]
Ω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
AM
PLIT
UDE
[mm
]
nM = 5
250
0Ω>> Fn nM
ω 05.1 Ω⋅> Fn nM
ω
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – MSM + MD - APPLICAZIONI
Ulteriore requisito per MD e per MSM:• il modello FEM deve essere costruito in maniera da rappresentare in
maniera sufficientemente accurata tutti i modi che danno un contributo significativo alla risposta del sistema (tutti gli nM modi propri nel caso del MSM)
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – MSM – SMORZAMENTO
α-damping (ALPHAD o MP,ALPD)
β-damping (BETAD o MP,BETD)
Constant damping ratio (DMPRAT o MP,DMPR (non analisi ridotta))
Modal damping ratio (MDAMP)
kkk
k ξξβωωαξ +++=
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – FULL – SMORZAMENTO
α-damping (ALPHAD o MP,ALPD)
β-damping (BETAD o MP,BETD)
Constant damping ratio (DMPRAT o MP,DMPR (non analisi ridotta))
Element damping matrix (Es.: LINK11, COMBIN14, MATRIX27,…)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑+Ω++=
kkCKKMC ξβα
COMANDI ANSYS/1ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta
HROPT, FULL, ….. Sceglie il tipo di analisi diretto completo
HARFRQ, FREQB, FREQE
Frequenza iniziale e finale per l’analisi
NSUBST, NSBSTP
N° di “step” in cui suddividere l’intervallo di frequenze da analizzare
COMANDI ANSYS/1ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
Possibile anche suddividere il campo di frequenza in intervalli contigui con variazione del carico imposto tra un intervallo e l’altro. Ogni intervallo viene trattato come un “Load Step” separato.
HARFRQ, 0, f1NSUBST, NSBSTPF, N, F1SOLVE
F
f1 f2 f3
F1
F3
F2
HARFRQ, f1, f2NSUBST, NSBSTPF, N, F2SOLVE
HARFRQ, f2, f3NSUBST, NSBSTPF, N, F3SOLVENel POST26 i risultati sono comunque disponibili come un intervallo continuo di frequenza
COMANDI ANSYS/2ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
HROUT, Reimky, Clust, Mcont
- ON Stampa i risultati come parti reale ed immaginaria - OFF Stampa i risultati come ampiezza e fase
-OFF “Step” di frequenza equispaziati-ON “Step” di frequenza addensati attorno ai modi propri
-OFF Non stampa il contributo dei diversi modi-ON Stampa il contributo dei diversi modi
F, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC
Parti reale ed immaginaria della forza
SOLVEFINISH
COMANDI ANSYS/3ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
/POST26
NSOLESOL Definizione grandezze da estrarre dal databaseRFORCEetc.
PRCPLX, KEYPRVAR
0 – Stampa i risultati nella forma parte reale + parte immaginaria1 – Stampa i risultati nella forma ampiezza + fase
PLCPLX, KEYPLVAR
0 — Ampiezza 1 — Fase 2 — Parte reale 3 — Parte immaginaria
POST26/5
Comandi per la elaborazionedelle grandezze definite
ABS IMAGIN SMALLADD INT1 SQRTATAN LARGE RPSDCLOG NLOG CVARCONJUG PROD RESPDERIV QUOTEXP REALVAR
© Università di Pisa, 2006
POST26/6PLVAR, NVAR1, NVAR2, NVAR3, NVAR4, NVAR5, NVAR6, NVAR7…Consente di rappresentare fino a 10 variabili in funzione del tempo o della variabile definita nel comando XVAR
XVAR, NDefinisce la variabile da utilizzare per l’asse X; per default si usa la variabile 1 (tempo)
/AXLAB, Axis, LabConsente di specicare la “label” dei due assi
/XRANGE, XMIN, XMAX/YRANGE, XMIN, XMAXDefiniscono I valori massimi e minimi per i due assi
/GROPT, Lab, KEYConsente varie opzioni grafiche (es. Numero di divisioni, assi logaritmici, etc)
© Università di Pisa, 2006
COMANDI ANSYS/4ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO
/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta
HROPT, REDUC, ….. Sceglie il tipo di analisi diretto ridotto
HARFRQ, FREQB, FREQENSUBST, NSBSTPHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVEFINISH
COMANDI ANSYS/5ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO
/SOLUEXPASS, ON Passo di espansione
NUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNG, …
Numero di soluzioni da espandere (se ALL espande tutti gli “step” disponibili)
“Range” di frequenza sul quale effettuare l’espansione delle soluzioni
EXPSOL, LSTEP, SBSTEP, TIMFRQ, Elcalc
SOLVEFINISH
COMANDI ANSYS/6ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE
/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminareMODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVEFINISH
/SOLU Analisi armonica con MSM
HROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODE
N° d’ordine finale (default e max.: NMODE) ed iniziale (default: 1) dei modi da impiegare
HROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC
SOLVEFINISH
COMANDI ANSYS/7ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE RIDOTTO
/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminare ridottaMODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVEFINISH
/SOLU Analisi armonica con MSMHROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODEHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVEFINISH
/SOLU Passo di espansioneEXPASS, ONNUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNGSOLVEFINISH
