VARIABEL RANDOMRandom Variables = Chance Variables = Stochastic Variables = Variate UNIVARIATE VARIATE BIVARIATE MULTIVARIAT E

X : R { X( ) : } Range dari X = RXYANG MENENTUKAN MACAM/CORAK DARI VRD ATAU VRKSelasa 2 Maret 2010 [MA 2513] PROBSTAT

1

VARIABEL RANDOMpmf VRD FINITE Nilai-nilai yang mungkin dari VARIABLE RANDOM COUNTABLE INFINITE VRK pdf UNCOUNTABLE

Grafik MIX RV CDF Sifat

EKSPEKTASI

Peluang

Selasa 2 Maret 2010

[MA 2513] PROBSTAT

2

KONSEP VARIABEL RANDOMSalah satu gagasan yang mendasar dalam probabilitas dan statistika adalah variabel random. Variabel random adalah fungsi dari outcome suatu random eksperimen, dalam bahasa matematis : Variabel random X adalah fungsi yang domainnya sample space , sedangkan range spacenya Rx subset dari gugus bilangan real. Secara matematis ditulis : Visualisasinya sebagai berikut :

X : RSAMPLE SPACE

RE XRANGE SPACE

.

1 2

RX Rn

.

X( 2)3

Selasa 2 Maret 2010

[MA 2513] PROBSTAT

VARIABEL RANDOM DISKRETRE : MENGUNCALKAN SMUL, TIGA KALI

= { TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH }Variabel Random X yang mencacah banyaknya heads (h) dalam RE seperti kondisi diatas : X (TTT) = 0 X (THT) = 1 X (HHT) = 2 X (THH) = 2 X (TTH) = 1 X (HTT) = 1 X (HTH) = 2 X (HHH) = 3 Definisi : Variabel Random X adalah fungsi berharga real yang didefinisikan pada sample space Nilai fungsi disetiap sample point dinyatakan dengan lambang X( ) Himpunan nilai-nilai { X( ) : } disebut range/range space, diberi lambang RX pada contoh diatas RX = { 0, 1, 2, 3 } Ini menunjukan salah satu dari contoh VRD. Dinamakan VRD, karenan RS mengambil harga-harga bilangan bulat.Selasa 2 Maret 2010 [MA 2513] PROBSTAT 4

FUNGSI DISTRIBUSI VR X DIDEFKAN PADA PS ( , S, P) X : RProbabilitas dari event E disebut fungsi distribusi kumulatif dari X (cumulative distribution function), atau fungsi distribusi dari X (distribution function), atau fungsi kumulatif dari X (cumulative function), yang dinyatakan dengan lambang F(x). Dengan demikian : F(x) = P (X x), atau F(x) = P [X( ) x] Sifat-sifat F(x) :

E = { : X ( ) x } S

3. F ( ) fungsi ti dak turu x 1. 0 F (x ) 1 R x x 2. lim ( = 1 F x ) dan limF ( ) 4.0 F ( ) kontinu kawan x =x x Selasa 2 Maret 2010 [MA 2513] PROBSTAT 5

KLASIFIKASI VARIABLE RANDOM

DISKRET (discrete)

JIKA RANGE/RS FINITE ATAU COUNTABLE

VR X

MIX R V

KONTINU (continuous)Selasa 2 Maret 2010

JIKA RANGE/RS UNCOUNTABL E6

[MA 2513] PROBSTAT

FUNGSI PROBABILITAS DARI VRDVR sering dipakai untuk mendiskripsikan EVENTS EVENT AND ONLY EVENT HAVE A PROBABILITY EVENT { X = x } probabilitasnya dinyatakan P ( X = x ) DEFINISI : Jika X adalah VRD, selanjutnya dikaitkan dengan bilangan P ( X = xi ) untuk setiap outcome xi RX, i = 1, 2, . . . n, dimana pX (xi) memenuhi :

1.

pX( x1 0 i )

2.

p ( x) =1i =1 X 1

pX (x1) = FX (x1) FX (x1 1)FX (x1) = PX (X 1 xi ) =[MA 2513] PROBSTAT

x xi

p (x)X7

Selasa 2 Maret 2010

PROBABILITY MASS FUNCTIONFUNGSI pX DISEBUT FUNGSI PROBABILITAS (probability function) atau FUNGSI PROBABILITAS MASSA/pmf (probability mass function) atau HUKUM PROBABILITAS DARI VR (probability law) KOLEKSI DARI PASANGAN [ (xi, pX (xi)), i= 1,2, . . . ] DISEBUT DISTRIBUSI PROBABILITAS DARI X (probability distribution) FUNGSI pX BIASANYA DINYATAKAN DALAM BENTUK : TABULASI, Selasa 2 Maret 2010 [MA 2513] PROBSTAT GRAFIK ATAU MODEL MATEMATIS

8

MIX RVDengan menggunakan bentuk sederhana dari : Lebesque Decomposition Theorem, FX(x) dapat ditulis sebagai jumlah dari dua fungsi sbb:

FX (x) = GX (x) + HX (x)f. kontinu f. tangga HX (-) = 0

Jika GX (x) = 0 x, maka X disebut VRD Jika HX (x) = 0 , maka X disebut VRKSelasa 2 Maret 2010

Kapan[MA 2513] PROBSTAT VRC ? X disebut

9

PROBABILITY DENSITY FUNCTIONBagi VRK, fungsi yang menyatakan peranan sama dengan Probability Mass Function disebut pdf (fungsi padat peluang) Definisi : Variabel random X dikatakan VRK, jika fungsi distribusinya adalah fungsi kontinu sbb : x Dimana ;

FX ( x) =

f X ( t ) dt

1.

f X ( t) 0

2.

f X (t ) dt = 1

Fungsi fX (x) disebut probability density fungsi (pdf) dari VRX. Ingat teorema dasar kalkulus x

d d F( x) = f (t) dt = f X (x) dx dx [MA 2513] PROBSTAT

Selasa 2 Maret 2010

10

PROBABILITY DENSITY FUNCTIONUNTUK SUATU INTERVAL (a, b)

P( < < ) a X b=

f )t ( X td

b

=

b

f

a

( )t tdX

f

X

(+t t) d

f X ( t =) tda

b

fX ( ) t tda

P (a < X < b = P (a< X b= P (a X b P (a ) ) < = ) X

Untuk VR X maka berlaku hubungan berikut ini :b

b )

= f X ( )d t ta

Selasa 2 Maret 2010

[MA 2513] PROBSTAT

11

KAITAN ANTARA PELUANG SUATU EVENT DENGAN FDCEVENT {X=a} {a