Download - Kuliah Ke-9 & 10_PA

Transcript

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 11

VARIABEL RANDOMVARIABEL RANDOM

Random Variables = Chance Variables = Stochastic Variables = Variate

VARIATE

UNIVARIATE

BIVARIATE

MULTIVARIATE

YANG MENENTUKAN MACAM/CORAK DARI VRD ATAU

VRK

X : R{ X() : } Range dari X = RX

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 22

VARIABEL RANDOMVARIABEL RANDOM

EKSPEKTASI

pmf

VRD

FINITE

Nilai-nilai yangmungkin dari

VARIABLE RANDOM

COUNTABLE INFINITE UNCOUNTABLE

VRK

pdf

MIXRV

CDF

Grafik

Sifat

Peluang

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 33

KONSEP VARIABEL RANDOMKONSEP VARIABEL RANDOM

Salah satu gagasan yang mendasar dalam probabilitas dan statistika adalah variabel random. Variabel random adalah fungsi dari outcome suatu random eksperimen, dalam bahasa matematis :Variabel random X adalah fungsi yang domainnya sample space ,sedangkan range spacenya Rx subset dari gugus bilangan real.

Secara matematis ditulis : X : RVisualisasinya sebagai berikut : RE

SAMPLE SPACE

RANGE SPACE

RX R

X(2)

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 44

VARIABEL RANDOM DISKRETVARIABEL RANDOM DISKRET

RE : MENGUNCALKAN SMUL, TIGA KALI

= { TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH }

Variabel Random X yang mencacah banyaknya “ heads (h)” dalam RE seperti kondisi diatas :X (TTT) = 0 X (THT) = 1 X (HHT) = 2 X (THH) = 2X (TTH) = 1 X (HTT) = 1 X (HTH) = 2 X (HHH) = 3

Definisi : Variabel Random X adalah fungsi berharga real yang didefinisikan pada sample space

Nilai fungsi disetiap sample point dinyatakan dengan lambang X()Himpunan nilai-nilai { X() : } disebut range/range space, diberi lambang RX pada contoh diatas RX = { 0, 1, 2, 3 }Ini menunjukan salah satu dari contoh VRD. Dinamakan VRD, karenan RS mengambil harga-harga bilangan bulat.

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 55

FUNGSI DISTRIBUSIFUNGSI DISTRIBUSI

VR X DIDEFKAN PADA PS (, S, P)

X : R

E = { : X () x } SProbabilitas dari event E disebut fungsi distribusi kumulatif dari X (cumulative distribution function), atau fungsi distribusi dari X (distribution function), atau fungsi kumulatif dari X (cumulative function),yang dinyatakan dengan lambang F(x). Dengan demikian : F(x) = P (X x), atau F(x) = P [X() x]Sifat-sifat F(x) :

1. 0 ( ) 1F x x R 3. ( )F x fungsi tidakturun

4. ( )F x kontinukawan

2. lim ( ) 1 lim ( ) 0x x

F x dan F x

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 66

KLASIFIKASI VARIABLE RANDOMKLASIFIKASI VARIABLE RANDOM

VR X

DISKRET(discrete)

MIX R V

KONTINU(continuous)

JIKA RANGE/RS

FINITE ATAUCOUNTABLE

JIKA RANGE/RSUNCOUNTABL

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 77

FUNGSI PROBABILITAS DARI VRDFUNGSI PROBABILITAS DARI VRD

VR sering dipakai untuk mendiskripsikan EVENTS

EVENT AND ONLY EVENTHAVE A PROBABILITY

EVENT { X = x } probabilitasnya dinyatakan P ( X = x )DEFINISI : Jika X adalah VRD, selanjutnya dikaitkan dengan bilangan

P ( X = xi ) untuk setiap outcome xi RX, i = 1, 2, . . . n, dimana pX (xi) memenuhi :

11. ( ) 0X ip x

2. ( ) 1Xi

p x

1 1 1( ) ( ) ( 1)X X Xp x F x F x

1 1( ) ( ) ( )i

X X i Xx x

F x P X x p x

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 88

PROBABILITY MASS FUNCTIONPROBABILITY MASS FUNCTION

FUNGSI pX DISEBUT FUNGSI PROBABILITAS (probability function) atau

FUNGSI PROBABILITAS MASSA/pmf (probability mass function) atau

HUKUM PROBABILITAS DARI VR (probability law)

KOLEKSI DARI PASANGAN [ (xi, pX (xi)), i= 1,2, . . . ] DISEBUT

DISTRIBUSI PROBABILITAS DARI X (probability distribution)

FUNGSI pX BIASANYA DINYATAKAN DALAM BENTUK : TABULASI,

GRAFIK ATAU MODEL MATEMATIS

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 99

MIX RVMIX RV

Dengan menggunakan bentuk sederhana dari : Lebesque Decomposition Theorem, FX(x) dapat ditulis sebagai jumlah dari dua fungsi sbb:

FX (x) = GX (x) + HX (x)

f. kontinu f. tangga

HX (-) = 0

Jika GX (x) = 0 ∀x, maka X disebut VRDJika HX (x) = 0 , maka X disebut VRK

Kapan X disebut VRC ?

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1010

PROBABILITY DENSITY FUNCTIONPROBABILITY DENSITY FUNCTION

Bagi VRK, fungsi yang menyatakan peranan sama dengan Probability Mass Function disebut pdf (fungsi padat peluang)

Definisi : Variabel random X dikatakan VRK, jika fungsi distribusinya adalah fungsi kontinu sbb :

Dimana ;

Fungsi fX (x) disebut probability density fungsi (pdf) dari VRX. Ingat teorema dasar kalkulus

( ) ( )x

Xxx

d dF f t dt f x

dx d

( ) ( )x

X XF x f t dt

2. ( ) 1Xf t dt

1. ( ) 0Xf t

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1111

PROBABILITY DENSITY FUNCTIONPROBABILITY DENSITY FUNCTION

UNTUK SUATU INTERVAL (a, b)

Untuk VR X maka berlaku hubungan berikut ini :

( ) ( ) ( )b a

X XP a X b f t dt f t dt

( ) ( ) ( )b b

X X Xa a

f t dt f t dt f t dt

( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b P a X b P a X b

( )b

f t dt

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1212

KAITAN ANTARA PELUANG SUATU EVENT KAITAN ANTARA PELUANG SUATU EVENT DENGAN FDCDENGAN FDC

EVENTEVENT PROBABILITAS EVENTPROBABILITAS EVENT

{ X = a }{ X = a } Tinggi loncatan dari grafik F(x) di x = aTinggi loncatan dari grafik F(x) di x = a

{ a < X }{ a < X } 1 – F(a)1 – F(a)

{ a { a X } X } 1 – F(a) + P{ X = a }1 – F(a) + P{ X = a }

{ X { X b } b } F(b)F(b)

{ X < b }{ X < b } F(b) - P{ X = b }F(b) - P{ X = b }

{ a < X { a < X b } b } F(b) - F(a)F(b) - F(a)

{ a < X < b }{ a < X < b } F(b) - F(a) - P{ X = b }F(b) - F(a) - P{ X = b }

{ a { a X X b } b } F(b) - F(a) + P{ X = a }F(b) - F(a) + P{ X = a }

{ a { a X < b } X < b } F(b) - F(a) + P{ X - a } - P{ X = b }F(b) - F(a) + P{ X - a } - P{ X = b }

ppXX(a) = P { X = a } = tinggi loncatan dari F(x) di x = a(a) = P { X = a } = tinggi loncatan dari F(x) di x = a

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1313

VRD VRK

( ) ( )Xp x P X x

( ) 0

( ) 1x

Sifat pmf

p x

( ) ( )b

P a X b f x dx pdfpmf

( ): ( )

( ) 0

dF xSifat pdf f x

dxf x

( ) 1,f x dx

( ) 0P X a

Cumullative dis. function

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1414

( ) ( )F x P X x

( ) ( )t x

F x p t

Grafiknya : Step Function

( ) ( )x

F x f t dt

Grafiknya : Fungsi kontinu

VR CAMPURANMIX - RV

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1515

Contoh Soal :Contoh Soal :

1. Pada RE menguncalkan SMUL tiga kali, diperoleh 1. Pada RE menguncalkan SMUL tiga kali, diperoleh

= { TTT, . . . HHH} yang terdiri 8 sample point yang bersifat = { TTT, . . . HHH} yang terdiri 8 sample point yang bersifat Equally likely. Jika X VR yang menyatakan banyaknya Equally likely. Jika X VR yang menyatakan banyaknya “HEADS”, maka; dapat dicari :“HEADS”, maka; dapat dicari :

a. P (X = 2), a. P (X = 2), b . P (X < 2)b . P (X < 2)

Jika A event yang menyatakan X = 2, maka jelas bahwa A Jika A event yang menyatakan X = 2, maka jelas bahwa A , kenapa?, kenapa?

a). A =( X = 2 ) = {a). A =( X = 2 ) = { : X ( : X () = 2} = { HHT, THH, HTH}) = 2} = { HHT, THH, HTH}

P (X=2) = P (A) = 3/8P (X=2) = P (A) = 3/8

b). Jika B event yang didefinisikan oleh (X<2), maka:b). Jika B event yang didefinisikan oleh (X<2), maka:

B = (X<2) = {B = (X<2) = { : X ( : X () < 2} = { HTT, THT, TTH, TTT}) < 2} = { HTT, THT, TTH, TTT}

P (X < 2 )= P (B) = 1/2P (X < 2 )= P (B) = 1/2

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1616

2. Diberikan fungsi distribusi :2. Diberikan fungsi distribusi :

Contoh Soal :Contoh Soal :

112 2

0 ; 0

( ) ; 0

1 ;

F x x x

Pertanyaan :Pertanyaan :a.a. Skets grafik F(x), periksa apakah F(x) memenuhi sifat dari fungsi Skets grafik F(x), periksa apakah F(x) memenuhi sifat dari fungsi

distribusidistribusib.b. Tentukan nilai dariTentukan nilai dari

c.c. Macam/corak dari VR ?Macam/corak dari VR ?1 1 14 4 4( ); (0 ); ( 0) (0 )P X P X P X dan P X

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1717

Solusi :Solusi :a. a.

Dari grafik F(x), terlihat bahwa Dari grafik F(x), terlihat bahwa 0 0 F(x) F(x) 1 1 F(x) juga merupakan fungsi yang tidak turunF(x) juga merupakan fungsi yang tidak turun F (-F (-) = 0 dan F () = 0 dan F () = 1) = 1 F(x) kontinu kananF(x) kontinu kananDengan demikian F(x) memenuhi sifat dari fungsi distribusiDengan demikian F(x) memenuhi sifat dari fungsi distribusi

1/2

1/2 1x

F(x)

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1818

b.b.

31 1 1 14 4 4 2 4

1 12 2

1 14 4

( ) ( )

(0 ) ( ) (0)

( 0) ( 0) ( 0)

(0) (0 ) 0

(0 ) 0 ( 0)

1 1 3

4 2 4

P X F

P X F F

P X P X P X

F F

P X F F P X

c. VR X adalah VR- Campuranc. VR X adalah VR- Campuran

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1919

Contoh Soal :Contoh Soal :

3. Variabel Random X mempunyai fungsi distribusi :3. Variabel Random X mempunyai fungsi distribusi :

0 ; 0

( ) ; 0 1

; 1

F x x x

k x

Pertanyaan :Pertanyaan :a.a. Tentukan nilai kTentukan nilai kb.b. Macam / corak dari VR XMacam / corak dari VR Xc.c. Tentukan nilai dari :Tentukan nilai dari :

1 12 2( 1); ( 1) ( 2)P X P X dan P X

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2020

Solusi :Solusi :

. 0 ( ) 1, 1a Mengingat F x maka k

0 ; 0

. ( ) ; 0 1

1 ; 1

b F x x x

Coba buat sketsanya Coba buat sketsanya akan terlihat bahwa VR X akan terlihat bahwa VR X adalah VR- Campuranadalah VR- Campuran

31 1 12 2 4 4. ( 1) (1) ( ) 1c P X F F

3 31 1 1 12 2 4 4 2 4( 1) ( 1) ( 1) (1 )P X P X P X F ( 2) 1 ( 2)P X P X

1 (2) 1 1 0F

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2121

Soal - Soal :Soal - Soal :

1. Suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut :1. Suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut :

3 14 4 ; 0

( )0 ;

p xx lainnya

Pertanyaan :Pertanyaan :a. Apakah p(x) merupakan pmf dari VR X ?a. Apakah p(x) merupakan pmf dari VR X ?b. Tentukan nilai dari P(X=2) ; P(X b. Tentukan nilai dari P(X=2) ; P(X 2) ; P (X 2) ; P (X 1) 1)

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2222

Soal - Soal :Soal - Soal :

2. Diketahui VR X dengan pdf sebagai berikut :2. Diketahui VR X dengan pdf sebagai berikut :

0 ;( )

; 0 1 ( konstanta)X

untuk x lainnyaf x

k x x k

Pertanyaan :Pertanyaan :a. Tentukan nilai dari ka. Tentukan nilai dari kb. Tentukan F(x) berikut gambarnyab. Tentukan F(x) berikut gambarnyac. Hitung P (1/4 < X c. Hitung P (1/4 < X 2) 2)

Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2323

Soal - Soal :Soal - Soal :

3. Suatu RE, menguncalkan sebuah dadu. Andaikan X VR 3. Suatu RE, menguncalkan sebuah dadu. Andaikan X VR yang menyatakan : 1 bila angka yang muncul pada yang menyatakan : 1 bila angka yang muncul pada dadu adalah genap, dan 0 bila angka yang muncul pada dadu adalah genap, dan 0 bila angka yang muncul pada dadu ganjil.dadu ganjil.

Pertanyaan :Pertanyaan :

a. Range dari Xa. Range dari X

b. Tentukan P (X = 1) dan P (X=0)b. Tentukan P (X = 1) dan P (X=0)

4. Suatu RE menguncalkan smul tiga kali. Tentukan fungsi 4. Suatu RE menguncalkan smul tiga kali. Tentukan fungsi distribusinya!distribusinya!