KONSEP FREKUENSISINYAL WAKTU KUNTINYU

& WAKTU DISKRIT

Sinyal Sinusoidal Waktu Kontinyu

FtAX a 2cos t

cosAA

T=1/F

0 t

Ω = 2πFadalah frekuensi dalam rad/s

F = frekuensi dalam putaran perdetik (Hz)

A= Amplitudo sinusoidaθ = fase dalam radian

tja AeX

Sinyal dasar Eksponensialdng α imajiner

Sinyal Sinusoida Waktu-Diskrit

nAnX cos n

)/( cuplikanradianfrekuensi

)(radianphasa

A

0 n

-A

Dimana ω = 2πf

f = putaran per cuplikan

Inputfilter

ADCwith sample

& hold

DigitalProsesor DAC Output

filter

x(t) x(n) y(n) y(t)

Typical real timeDSP System

Analog to Digital converter

txa nx

nxq nxPencuplikan Kuantisasi Pengkodeaan

Sinyal DigitalSinyal TerkuantisasiSinyal Waktu DiskritSinyal Analog

01011….. txa

Proses Analog to Digital Conversion

F2B Logic Circuit

LPF Sample & Hold Quantizer Encoder

X(t)Analoginput

X(n)Digitaloutputcode

Tiga tipe identifikasi :• Sinyal input analog : Sinyal kontinyu dalam fungsi waktu dan amplitudo.• Sinyal di-sample : Amplitudo Sinyal kontinyu didefinisikan sebagai titik

diskrit dalam waktu.• Sinyal digital : dimana x(n),untuk n=0,1,2,…….Sinyal dalam sumbu titik

diskrit dalam waktu dan masing-masing titik akan dihasilkan nilai 2B.

Proses Konversi Analog ke Digital

1. Pencuplikan ( Sampling) : konversi sinyal analog kedalam sinyal amplitudo kontinyu waktu diskrit.

2. Kuantisasi : konversi masing-masing amplitudo kontinyuwaktu diskrit dari sinyal sampel dikuantisasi dalam level2B , dimana B adalah jumlah bit yang digunakan dalamAnalog to Digital Conversion (ADC).

3. Pengkodean : Setiap sinyal amplitudo diskrit yangdikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisanbilangan biner dari masing-masing bit.

Pencuplikan Sinyal Analog

Pencuplikan periodik atau seragam:

x(n)=xa(nT), -~< n< ~

Fs=1/TSinyalanalog

Xa(t)X(n)=Xa(nT) Sinyal waktu

diskrit

Pencuplikan

0 t

Xa(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X(n)

n

Xa(t)

X(n)=Xa(nT)

Fs=1/T, t=nT=n/Fs

Sinyal Sinusoida analog : Xa(t) = A Cos (2Ft + )

Pencuplikan periodik dengan laju Fs=1/T (cuplikan per sekon ) :

FnTACosnXnTX a 2

Fs

nFACosnX

2

Hubungan frekuensi (F) sinyal analog dan frekuensi (f) untuksinyal diskrit:

f =F/Fs ekuivalen : = T

f = Frekuensi relatif atau ternormalisasi

< F < ~ < < ~

Hubungan Variabel Frekuensi

Sinyal waktu kontinu Sinyal waktu diskrit

= 2F = 2f(Rad/sekon) (Rad/cuplikan)

=T, f = F/Fs- ≤ ≤ -1/2 ≤ f ≤ 1/2

= /T , F = f.Fs < < ~ < F <

- /T ≤ ≤ /T- Fs/2 ≤ F ≤ Fs/2

Pemakaian hubungan-hubungan frekuensidicontohkan dengan dua sinyal analog berikut :

X1(t) = cos 20πt

X2(t) = cos 100πt

a. Tentukan frekuensi kedua sinyal tersebut.

b. Tentukan fungsi sinyal diskrit bila dicuplikdengan laju Fs = 40 Hz

Note: cos (2π ± a) = cos a

sin (2π + a) = sin a

sin (2π - a) = -sin a

Hz40F

Hz50F]t)50(2cos[)t(x

Hz10F]t)10(2cos[)t(x

s

22

11

)n(x)n2

cos()n2

n2cos(n)2

2cos(

)n2

5cos(]n

40

502cos[)n(x

)n2

cos(]n40

102cos[)n(x

1

2

1

x2(n) identik dengan x1(n) F2 (50 Hz) = alias dari F1(10 Hz)90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz

TEOREMA PENCUPLIKAN ( SAMPLING )

Sinyal Analog : Xa(t) dapat diperoleh kembali dari nilai cuplikandengan fungsi interpolasi :

Bt

Bttg

2

2sin

sn saa F

ntg

F

nXtX

BntB

BntB

B

nXtX

naa 2/2

2/2sin

2

dimana :Fmax = B, Laju cuplikan Fs > 2Fmax (2B),

Jika Xa(n/Fs) = Xa(nT) X(n), cuplikan minimum Fs = 2B, maka:

Laju pencuplikan : FN = 2B = 2Fmax = Laju Nyquist

untuk menjamin bahwa seluruh komponen sinusoida sinyalanalog menjadi sinyal diskrit adalah

Fs ≥ 2 Fmax(analog)

Apabila tidak terpenuhi maka akan terjadi aliasing.

Syarat Nyquist

Misal ada 2 sinal analog :x1(t) = A sin 2 (10) tx2(t) = A sin 2 (50) t

Kedua sinyal dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz, sehinggasinyal digital (waktu-diskrit) masing-masing:

x1(n) = A sin 2 (10/40)n = sin (/2) nx2(n) = A sin 2 (50/40)n = sin (5/2) n

Frekuensi Alias

Karena :sin (5/2) n = sin (2n + n/2 ) = sin n/2

Maka :Sinyal analog pers (a) dan (b) setelah dicuplik dgn frekuensi

Fs = 40 Hz akan menghasilkan digital yg sama,sehingga frekuensi sinyal analog x2(t) merupakan alias darix1(t), jadi frekuensi alias terjadi jika :

Fk = F0 + k FsDengan :k = ±1,±2, …Fk = frekuensi sinyal analog ke kF0 = frekuensi sinyal analog ke dasarFs = frekuensi sampling

1kkFF)18

1(

8

7F

Hz1FHz8

7FHz

8

1F

s21

s12

Ilustrasi Pengaliasanpencuplikan yang sama pada 2 sinyal dengan frekuensi berbeda.

Dari sinyal analog berikut,

Xa(t)= 3 cos 100πt

a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untukmenghindari pengaliasan.

b) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=200Hz.Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudahpencuplikan.

c) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=75Hz.Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudahpencuplikan.

d) Berdasarkan hasil sinyal diskrit soal c, Berapa frekuensi danfungsi dari sinyal sinusoidal berdasar hasil cuplikan Fs=75Hz.

Contoh

Penyelesaian:a) F = 50 Hz dengan Fs minimum = 100 Hz

b) n2

cos3n200

100cos3)n(x

nnnnnx )3

2cos(3)

3

22cos(3

3

4cos3

75

100cos3)(

c)

d) nnnx )3

12cos(3)

3

2cos(3)(

3

1f

s

o

F

Ff HzFfF so 25)75(

3

1

,2,1)75(25 kkkFFF sok

5,372

75

20 sF

F HzFF o 25

Sinyal Analog :

Xa(t) = 3 cos 2000t + 5 sin 6000t + 10 cos 12000t

a) Berapa laju Nyquist ?

b) Jika laju pencuplikan Fs = 5000 cuplikan/detik. Berapasinyal waktu diskrit yang diperoleh setelah pencuplikan?

c) Berapa sinyal analog yang dapat dibentuk ulang denganFs=5000cuplikan/detik

Contoh

Penyelesaian:kHzFkHzFkHzF 631 321

kHzFB maks 6

a)kHzBFN 122

b)

nnn

nnnnx

)5

62cos(10)

5

32sin(5)

5

12cos(3

5000

12000cos10

5000

6000sin5

5000

2000cos3)(

])5

11(2cos[10])

5

21(2sin[5])

5

1(2cos[3)( nnnnx

])5

1(2cos[10])

5

2(2sin[5])

5

1(2cos[3)( nnnnx

])5

1(2cos[10])

5

2(2sin[5])

5

1(2cos[3)( nnnnx

])5

2(2sin[5])

5

1(2cos[13)( nnnx

c) )4000sin(5)2000cos(13)( tttya

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinyu

KUANTISASI :Proses pengkonversian suatu sinyal amplitudo-kontinu waktudiskrit menjadi sinyal digital dengan menyatakan setiap nilaicuplikan sebagai suatu angka digit, dinyatakan dengan :

X(n) merupakan hasil pencuplikan,

Q[X(n)] merupakan proses kuantisasi

Xq( n) merupakan deret cuplikan terkuantisasi

nXQnX q

22

Pada sinyal digital, sinyal diskrithasil proses sampling diolah lebihlanjut. Sinyal hasil samplingdibandingkan dengan beberapanilai threshold tertentu sesuaidengan level-level digital yangdikehendaki.

Apabila suatu nilai sampel yangdidapatkan memiliki nilai yang lebihtinggi dari sebuah threshold, makanilai digitalnya ditetapkan mengikutinilai integer diatasnya, tetapiapabila nilainya lebih rendah darithreshold ditetapkan nilainyamengikuti nilai integer dibawahnya.Proses ini dikenal sebagaikuantisasi dalan ADC.

Diperoleh dari kesalahan yang ditampilkan oleh sinyalbernilai kontinu dengan himpunan tingkat nilai diskritberhingga.

Secara matematis, merupakan deret dari selisih nilaiterkuantisasi dengan nilai cuplikan yang sebenarnya.

eq(n) = Xq (n) – X (n)

KESALAHAN KUANTISASI(Error Kuantisasi eq(n) )

KUANTISASI SINYAL SINUSOIDA

0

2

3

4

-

-2

-3

-4

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T t

Am

plitu

do

CuplikanTerkuantisasi Xq(nT)

SampelTerkuantisasi

Sampel analogAslinya Xa(t)

Tingkatkuantisasi

Diskritsasiamplitudo

Diskritsasi waktu

Langkahkuantisasi

IntervalPengkuantisasi

X(n)=0,9n Xa(t)=0,9t

n1 2 3 4 5 6 7 80

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

T

T=1s

1 2 3 4 5 6 7 8

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0 n

Tingk. Kuantisasi

L=jml tingkatankuantisasi

Langkahkuantisasi

Xq(n)Xa(t)=0,9t

1minmax

L

XX

n X(n)Sinyal diskrit

Xq(n)(bulat ke bawah)

Xq(n)(bulat ke atas)

eq(n)=Xq(n)-X(n)(bulat ke atas)

0 1 1.0 1.0 0.01 0.9 0.9 0.9 0.02 0.81 0.8 0.8 -0.01

3 0.729 0.7 0.7 -0.029

4 0.6561 0.6 0.7 0.439

5 0.59049 0.5 0.6 0.00951

6 0.531441 0.5 0.5 -0.0314417 0.4782969 0.4 0.5 0.021031

8 0.43046721 0.4 0.4 -0.030467219 0.387420489 0.3 0.4 0.012579511

Tabel Ilustrasi Numerik kuantisasi dengan 1 digit

Daya Kesalahan Kuadrat Rata-rata Pq

dtteP qq

0

21

tanatteq dim,2/

122

1 22

2

0

dttPq

tAtX a 0cos

Karena : , maka :

Persamaan Sinyal Sinusoida analog :

menunjukkan waktu Xa(t) berada dalam tingkatan kuantisasiJika Pengkuantisasian b bit dan interval keseluruhan 2A,maka langkah kuantisasi : = 2A/2b.

bq

AP

2

2

2

3/

• Daya rata-rata sinyal Xa(t) : pT

x

AdttA

TP

0

22

0 2cos

1

Signal Quantitation to Noise Ratio ( SQNR ) : nilai kualitas keluaranADC yang ditentukan oleh Rasio daya sinyal terhadap dayakebisingan (noise).

b

q

x

P

PSQNR 22.

2

3

bSQNRdBSQNR 02.676,1log10 10

/2

- 0 t

0

-

t

/2

-/2

eq(t)

Galat Kuantisasi Eq(t) penentu Daya Kesalahan Pq

Rumus SQNR(dB) menunjukkan bahwa nilaiini bertambah kira-kira 6dB untuk setiap bityang ditambahkan kepada panjang kata.

Contoh pada proses CD recordermenggunakan Fs = 44,1 Khz dan resolusisampling 16 bit, yang menyatakan SQNRlebih dari 96 dB.

Semakin tinggi nilai SQNR --- semakin baikproses konversi dari ADC tersebut.

Pengkodean

Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasidireprentasikan kedalam suatu barisan bilanganbiner dari masing-masing bit.

Sinyal digital yang dihasilkan ADC berupa bilanganbasis 2 (0 dan 1). Idealnya output sinyal tersebutharus dapat merepresentasikan kuantitas sinyalanalog yang diterjemahkannya.

Representasi ini akan semakin baik ketika ADCsemakin sensitif terhadap perubahan nilai sinyalanalog yang masuk.

31

Jika nilai 0-15 volt dapat diubah menjadi digital denganskala 1 volt, artinya rentang nilai digital yang diperolehberupa 16 tahap (dari 0 bertahap naik 1 volt hingganilai 15 atau setara dengan 0000 atau 1111).Tahapan sejumlah ini dapat diperoleh dengan

membuat rangkaian ADC 4bit (karena jumlah bit (n)merepresentasikan 2n nilai skala,sehingga 24 =16 skala).

Misal kita ingin menaikan jumlah bit menjadi 8, makanilai 0-15 volt dapat di representasikan oleh 28 (256)skala atau setara dengan skala 62.5mV, Hasilnyarangkaian semakin sensitif terhadap perubahan sinyalanalog yang terbaca.Jadi, dapat disimpulkan semakin besar jumlah bit ,makasemakin sensitif atau semakin tinggi resolusi rangkaianADC.

Adalah jumlah bit output pada ADC. Sebuah rentangsinyal analog dapat dinyatakan dalam kode bilangandigital.

Sebuah sinyal analog dalam rentang 16 skala (4 bit)adalah lebih baik resolusinya dibanding membaginyadalam rentang 8 skala (3 bit).

Besar resolusi sebanding 2n . Semakin besar jumlah bit , resolusi akan semakin bagus.

RESOLUSI

Contoh pada ADC 0804 Untuk operasi normal, menggunakan Vcc = +5 Volt

sebagai tegangan referensi.Dalam hal ini jangkauan masukan analog mulai dari 0Volt sampai 5 Volt (skala penuh), karena IC ini adalahSAC 8-bit, resolusinya akan sama dengan :

Artinya : setiap kenaikan 1 bit, kenaikan tegangan yangdikonversi sebesar 19,6 mVolt

34

mVolt6,19255

Volt5

12

penuhskalateganganResolusi

n

TUGASDiketahui sebuah sinyal analog

xa(t) = 3 cos (50 t) + 10 sin(300 t) - cos (100 t)

a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untukmenghindari pengaliasan

b) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 100pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yangdiperoleh sesudah pencuplikan

c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 200pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yangdiperoleh sesudah pencuplikan