Optimasi 1

MK Konsep Teknologi

Optimasi 2

MK Konsep Teknologi

Kegiatan / Persoalan

PengambilanKeputusan

Alternatif Metoda Penyelesaian:1. Programa Linear2. Programa Dinamis3. Antrian4. Algoritma Lorong5. Permainan

Optimasi 3

MK Konsep Teknologi

Kerangka Optimasi dalamPengambilan Keputusan

DAYA & DANA

TETAP

MAKSIMASI

PENERIMAAN

Σ KEGIATAN

TETAP

MINIMASI

DAYA & DANA

HASIL YANG

OPTIMAL

Optimasi 4

MK Konsep Teknologi

• Berbasiskan pengembangan model persamaan matematikaPengambilan keputusan dapat dilakukan secara kuantitatif, memudahkanuntuk mengambil keputusan.– Metoda Grafis– Metoda Numeris

Programa Linier

Programa Dinamis• Berbasiskan analisis pada keterkaitan dalam sistem kegiatan Hubungan

antar kegiatan digambarkan secara sistematis

Optimasi 5

MK Konsep Teknologi

Untuk menganalisis persoalan-persoalan antrian pada berbagai jenis kejadianPenggambaran besaran dan variable yang terlibat dalam persoalan antriansehinggan perlakuan atau intervensi untuk memperbaiki kinerja dapatdikerjakan secara sistematis.

Metoda Antrian

Algoritma LorongStrategi penempatan orang/petugas secara optimal untuk memantau atau

mengawasi beberapa daerah / lokasi, dengan bantuan model matematis.

Optimasi 6

MK Konsep Teknologi

Programa Linier / Linear Programming• Prinsip Umum:

– Asumsi Kelinieran :• Fungsi Pembatas• Fungsi Tujuan

– Fungsi Tujuan:• Minimasi• Maksimasi

– Fungsi Pembatas > 0 , atau = 0

Ketidaksamaan Linier

Optimasi 7

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda Numeris / MatematisContoh 1:Pabrik baja “Steel Forever" mempunyai persediaan bahan mentah besi baja untuk diproses sebanyak 18 ton. Kontrak produksi sekrup sebanyak 7,6 ton telah ditandatangani. Dalam proses produksi terjadi kehilangan bahan mentah sebesar 5%. Selain memproduksi sekrup, pabrik tersebut juga menjual besi baja sebagai bahan mentah kepada pabrik lain.

Pertanyaan:Berapa banyak besi baja yang dapat dijual sebagai bahan mentah selagi kontrak masih berjalan?

Optimasi 8

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda Numeris / Matematis

Jawab:Asumsi: Besi baja yang dapat dijual sebagai bahan mentah adalah x ton,Jumlah yang tersedia di pabrik adalah (18 - x) ton

Kehilangan dalam proses produksi 5% (18 - x) – 5/100 (18 – x) = 7,6 ton95/100 (18 - x) = 7,6 , sehingga x = 10

Maka, besi baja yang dijual sebagai bahan mentah adalah 10 ton.

Optimasi 9

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda Numeris / MatematisContoh 2:Suatu areal tanah pertanian seluas 40 ha terbagi atas lahan basah dan lahan kering. Seluruh lahan kering dan separuh lahan basah ditanami tanaman jagung. Penghasilan per-ha:• Rp. 800.000,-/ ha untuk lahan kering dan• Rp. 1.200.000,-/ ha untuk lahan basahSetelah panen, penghasilan total dari lahan kering dan basah adalah Rp. 27.000.000,-.

Pertanyaan:Berapa luas lahan masing-masing di areal pertanian tersebut?

Optimasi 10

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda Numeris / MatematisJawab:Asumsi Luas lahan kering adalah X ha dan lahan basah Y ha, sehingga:(X + Y) = 40 ha .. .........(1)

8.000 X + 1.200.000 (Y/2) = 27.000.000, atau800.000 X + 600.000 Y = 27.000.000....(2)

Ini berarti, bahwa nilai X dan Y dapat dihitung sbb.:(1) X + Y = 40 800.000 X + 800.000 Y = 32.000.000(2) 800.000 X + 600.000 Y = 27.000.000

200.000 Y = 5.000.000

Diperoleh harga Y = 25 dan X = 15, sehingga luas lahan kering adalah 15 ha dan lahan basah 25 ha.

Optimasi 11

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda Grafis

PADA SISTIM KOORDINAT X-Y (X & Y = VARIABEL) PERSAMAAN LINIER PEMBATAS JAWABAN YANG PALING MUNGKINKETERBATASAN : JUMLAH VARIABEL TERBATAS

Tentukan Fungsi Tujuan

Identifikasi Batasan dalam Ketidaksamaan

Gambar garis Pembatas dalam Sistem Koordinat

Cari titik yang paling menguntungkan sesuai dengan Fungsi Tujuan.

Optimasi 12

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda GrafisContoh 3:Pabrik baja yang sebelum nya disebut, memprediksi keuntungan se-besar Rp.30/buah untuk sekrup panjang dan Rp. 15/buah untuk sekrup pendek. Kapasitas penuh harian untuk keseluruhan mesin adalah 40.000 sekrup panjang dan 60.000 sekrup pendek. Karena adanya perbedaan cara produksi, maka setiap jam dihasilkan 5.000 sekrup pendek dan 7.500 sekrup pendek. Dilain pihak bahan kimia khusus untuk memproduksi sekrup panjang hanya tersedia untuk mengolah 30.000 buah; dan bagian pengepakan hanya mampu mengepak 50.000 buah perhari.

Pertanyaan:Apabila jam kerja adalah 8 jam perhari, berapa banyak sekrup dari masing-masing ukuran yang harus di produksi agar tercapai keuntungan maksimum?

Optimasi 13

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda GrafisJawab:Produksi harian adalah X sekrup panjang dan Y sekrup pendekMaksimasi (fungsi tujuan), Z = 30 X + 15 YPembatas (1) X < 40.000dan Y<60.000(2) (X / 5.000) + (Y/7.500) < 8 atau (3X + 2Y < 120.000)(3) X + Y <50.000(4) X < 30.000(5) X >0 dan Y>0

Dengan menggambarkan persamaan linier pada bidang X-Y maka akan didapat area yang memenuhi syarat pertidaksamaan di atas.

Optimasi 14

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda Grafis

-20-10

010

2030

4050

6070

80

-20 0 20 40 60

Thou

sand

s

Thousands

X = 40.00

0

X = 30.00

0

Y = 60.000

3X + 2Y = 120.000

X + Y = 50.000A

B

C

D

E

Optimasi 15

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda Grafis

Titik X Y Z = 30 X + 15 YA 0 0 0B 0 50.000 750.000C 20.000 30.000 1.050.000D 30.000 15.000 1.125.000

E 30.000 0 900.000

Jadi keuntungan maksimum diperoleh dengan memproduksi 30.000 sekrup panjang dan 15.000 sekrup pendek, dengan keuntungan sebesar Rp. 1.125.000.

Pemeriksaan fungsi keuntungan (Z = 30X + 15Y) pada titik-titik ekstrim: A, B, C, D dan E:

Optimasi 16

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda GrafisContoh 4:Sebuah pabrik pipa memproduksi pipa berdiameter 2 dan 4 inci. Keuntungan dari pipa 2 dan 4 inci berturut-turut adalah Rp. 3000,- dan Rp. 5000,-. Mesin yang ada dapat memproduksi pipa 72 batang pipa 2 inci atau 48 batang pipa 4 inci dalam satu hari. Namun mesin ini hanya dioperasikan untuk menghasilkan pipa 2 inci sebanyak 8 batang/jam, dan pipa 4 inci sebanyak 5 batang/jam. Pabrik pipa ini beroperasi selama 8 jam/hari. Untuk membuat pipa berdiameter 2 inci tersedia bahan tambahan khusus yang hanya cukup untuk membuat 32 batang pipa/hari. Alat transportasi yang tersedia hanya mampu membawa 60 batang pipa dari pabrik ke gudang perharinya.

Pertanyaan:Berapakah banyak pipa yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan yang maksimal?

Optimasi 17

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda GrafisJawab:Produksi harian adalah X batang pipa 2 inci dan Y batang pipa 4 inci.Maksimasi (fungsi tujuan), Z = 3.000 X + 5.000 YPembatas (1) (X/8) + (Y/5) ≤ 8 atau (5X + 8Y ≤ 320)(2) X + Y ≤ 60(3) X ≤ 32(4) X ≥ 0 dan Y ≥ 0

Dengan menggambarkan persamaan linier pada bidang X-Y maka akan didapat area yang memenuhi syarat pertidaksamaan di atas.

Optimasi 18

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda Grafis

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70

X = 32

X + Y = 60

5X + 8Y = 320A

B

C

D

Optimasi 19

MK Konsep Teknologi

Programa Linier: Metoda Grafis

Titik X Y Z = 3.000 X + 5.000 YA 0 0 0B 0 40 200.000C 32 20 196.000D 32 0 96.000

Jadi keuntungan maksimum diperoleh dengan memproduksi 40 batang pipa 4 inci / hari, dengan keuntungan sebesar Rp. 200.000,-.

Pemeriksaan fungsi keuntungan (Z = 3.000X + 5.000Y) pada titik-titik ekstrim: A, B, C, D :

Optimasi 20

MK Konsep Teknologi

Programa DinamikPendekatan masalah pengambilan keputusan dengan menetapkan urut-urutan keputusan.

Perhitungan akibat dan pengaruh secara optimal strategi yang optimal.

Contoh:Pemilihan rute dengan rute terpendek:

•Seseorang yang akan ke kantor•Pak Pos•Loper Koran•Pemasangan Kabel Transmisi

Permasalahan produksi:•Pemesanan ulang persediaan•Perencanaan produksi dengan permintaan yang berfluktuasi•Penjadwalan reparasi mesin

Optimasi 21

MK Konsep Teknologi

Prinsip Optimasi BellmanSuatu kebijakan menyeluruh yang optimal harus dibentuk oleh beberapa sub-kebijakan yang optimal pula.

KeputusanMendatang

Keputusan Kini

Keputusan Kini

Keputusan Kemarin

dipengaruhi

Optimasi 22

MK Konsep Teknologi

Programa DinamikContoh:Proyek penanaman kabel transmisi dari A ke B secara ekonomis. Rencana Anggaran Biaya (RAB) dalam satuan biaya/ruas dapat diperkirakan.Perhatikan gambar berikut:

Prinsip untuk menentukan rute:

•Dari A menuju B selalu mengarah ke Utara atau ke Timur.

•Bekerja dengan arah kebalikan (dari B)

Optimasi 23

MK Konsep Teknologi

Programa DinamikProsedur yang perlu diperhatikan:1. Dari titik-titik K, F dan C hanya 1 route ke B (ke Timur)2. Dari titik-titik E, J-dan P hanya 1 route ke B (ke Utara)3. Pada titik-titik tersebut dapat dituliskan notasi 1.4. Dari titik D ke B: 2 route (D-C-B atarr D-E-B) .5. Dari titik G ke B: l route (G-D-C-B, G-D-E-B & G-F-C-B)6. Pada titik-titik D & G dapat dituliskan notasi 2 & 37. Dengan cara yang sama, diperoleh 3 route dari titik I8. Dari titik H ada 6 route (3 melalui I dan 3 melalui G) .9. Pada gambar lV, terdapat notasi untuk semua titik; ada 20 route alternatif

tersedia ciari A ke B, yang artinya 20 RAB harus dievaluasi dan dibandingkan.

10.Bekerja dengan arah kebalikan. Jika kabel sudah sarnpai di C, kemana arah yang dipilih? (ke Timur & RAB Rp. 10 juta)

11.Catatan:Jumlah Blok = set binary 3x3 4x4 5x5 6x6 20x20Jumlah Rute 20 70 252 924 137.846.528.020

Optimasi 24

MK Konsep Teknologi

Prosedur yang perlu diperhatikan (lanjutan):10.Bekerja dengan arah kebalikan. Jika kabel sudah sarnpai di C, kemana

arah yang dipilih? (ke Timur & RAB Rp. 10 juta)11.Jika sampai di E, arahkan ke Utara & RAB Rp. 11 juta12.Selanjutnya, jika kabel sudah sampai di D: RAB D-C-B adalah Rp. 17 juta

dan RAB D-E-B adalah Rp. 18 juta. Pllih route D-C-B senilai Rp. 17 juta (lengkapi dengatr arah panah)

13.Selanjutnya langkah yang sarna diambil untuk F, G, H, I & J14.Dan terakhir untuk K, P, L, O, M, N & A. Arah panah ke Utara ke Timur

menandakan route yang dipilih. RAB Rp. 44 juta.

Programa Dinamik

Optimasi 25

MK Konsep Teknologi

Programa Dinamik

Optimasi 26

MK Konsep Teknologi

Programa Dinamik

Optimasi 27

MK Konsep Teknologi

Programa Dinamik

Optimasi 28

MK Konsep Teknologi

Antrian: adalah suatu jalurmenunggu (menantikanpelayanan).

Contoh antrian:• Antrian take-off pesawat• Antrian membayar SPP di bank• Antrian di mesin ATM• Antrian di gerbang tol• Antrian di loket karcis bioskop• Antrian di kasir• Antrian check-in di bandara• Antrian pasien di tempat praktek

dokter

• Contoh lain?

Antrian / Queuing

Optimasi 29

MK Konsep Teknologi

Faktor-faktor antrian:1. Kedatangan pelanggan acak (jumlah & waktu)2. Pelayanan: waktu dan jumlah tempat pelayanan3. Pelanggan:

– Sedang dilayani– Sedang menunggu (dalam antrian)

4. Waktu pelayanan: – Sama untuk tiap pelanggan– Acak

Antrian / Queuing

Persoalan antrian dapat dipecahkan bila

Waktu pelayanan rata-rata lebih kecil dari waktu kedatangan rata-

rata.

Optimasi 30

MK Konsep Teknologi

Antrian / Queuing

Faktor Utilisasi Tempat Pelayanan:β= (waktu pelayanan rata-rata / waktu kedatangan rata-rata)

Jika β < maka tenlpat pelayanan mampu melayani.pelanggan;dan β > 1 berarti antrian semakin panjang.

Harga β merupakan ukuran (%) penggunaan fasilitas pelayanan, misal β = 75% berarti petugas pelayanan dan peralatannya bekerja selama 75% dariseluruh waktunya.

Optimasi 31

MK Konsep Teknologi

Antrian / Queuing

Faktor Utilisasi Tempat Pelayanan:β= (waktu pelayanan rata-rata / waktu kedatangan rata-rata)

Jika β < maka tenlpat pelayanan mampu melayani.pelanggan;dan β > 1 berarti antrian semakin panjang.

Harga β merupakan ukuran (%) penggunaan fasilitas pelayanan, misal β = 75% berarti petugas pelayanan dan peralatannya bekerja selama 75% dari seluruh waktunya.

Optimasi 32

MK Konsep Teknologi

Antrian / Queuing

Contoh Soal:Kedatangan pelanggan di sebuah toko yang hanya mempunyai satu kasir pembayaran adalah sebagai berikut:

Optimasi 33

MK Konsep Teknologi

Antrian / Queuing

Kedatangan pelanggan tersebut adalah acak (random). Bila setiappelanggan memerlukan waktu 3 menit untuk dilayani, maka pola pelayanannya adalah sebagai berikut:

Selama 1 jam dari jam 09:00 – 10:00 terjadi pengangguran selama 17 menit.Jadi sarana pelayanan hanya digunakan selama 43 menit.Sehingga, β = 43 / 60 = 72 %

Optimasi 34

MK Konsep Teknologi

Antrian / Queuing

Profil panjang antrian terhadap waktu:

0

1

2

3

4

5

09:01

09:05

09:09

09:13

09:17

09:21

09:25

09:29

09:33

09:37

09:41

09:45

09:49

09:53

09:57

Waktu

Panj

ang

Antr

ian

Optimasi 35

MK Konsep Teknologi

Antrian / Queuing

Untuk interval waktu yang panjang diperoleh:

β = waktu pelayanan rata-rata / waktu antara kedatangan rata-rata= 3 / (60/15)= 75 %

Meskipun sarana pelayanan dipakai 75 % dari waktunya, ternyata pada suatu periode waktu tertentu terdapat 5 pelanggan dalam antrian.

Optimasi 36

MK Konsep Teknologi

Antrian / Queuing

Panjang antrian rata-rata (PA):

PA = (17x0 + 19x1 + 5x2 + 5x3 + 4x4 + 5x10) / 60= 110 / 60= 1,83

Optimasi 37

MK Konsep Teknologi

Antrian / Queuing

Rumus antrian pada interval waktu panjang:

Untuk waktu pelayanan tetap:

Untuk waktu pelayanan acak:

Untuk contoh soal pada slide sebelumnya:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

21

1β

ββPA

ββ−

=1

PA

875,1275,01

75,0175,0

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=PA

Optimasi 38

MK Konsep Teknologi

Antrian / Queuing

MEMPELAJARI ANTRIAN harus dilakukan berulang-ulangsehingga mendekati keadaan yang sebenarnya

SECARA EKONOMIS antrian dikaitkan dengan prediksikeuntungan / kerugian

Optimasi 39

MK Konsep Teknologi

Algoritma Lorong

PRINSIP:MENDAPATKAN JUMLAH ORANG YANG OPTIMAL PADA SUATU TEMPAT YANG DAPAT MEMANTAU DAERAH-DAERAH YANG TELAH DITENTUKAN.

Misalnya : jumlah polisi yang diperlukan untuk memantau jalanatau daerah tertentu.

Optimasi 40

MK Konsep Teknologi

Algoritma Lorong

Jumlah polisi yang diperlukan untuk memantau jalan atau daerah tertentu.

a b

c

a, b dan c : pos polisiLorong ab dan bc = 1 arahLorong ac atau ca = 2 arah

tanda (+) berarti (atau)

Optimasi 41

MK Konsep Teknologi

Algoritma Lorong

(a+c)(a+b) =a2+ab+ca+cb, berarti:

a2 = pos a awasi a dari (a+c) dan awasi b dari (a+b)ab = pos a awasi a dari (a+c) dan pos b awasi b dari (a+b)ca = pos c awasi a dari (a+c) dan pos a awasi b dari (a+b)cb = pos c awasi a dari (a+c) dan pos b awasi b dari (a+b)

Atau(a+c) (a+b) berarti semua cara untuk mengawasi a dan b.

Sehingga untuk mengawasi a, b, dan c:(a+c).(a+b).(a+b+c) Yang akan memunculkan a3, yang artinya seorang pengawas di a dapat mengawasi a, b dan c.

Optimasi 42

MK Konsep Teknologi

Permainan / Game

PRINSIP :SUATU KEADAAN DlMANA TERDAPAT 2 (DUA) PIHAK YANG BERKOMPETISI ATAU BERSAING. MASlNG-MASING AKAN MENENTUKAN STRATEGI UNTUK SALING MENGALAHKAN (BERSEPAKAT DALAM ATURAN MAIN).

Ada prinsip zero-sum yaitu akan selalu ada pihak yang menang dan yang kalah, seperti lazimnya pertandingan olah raga.

CONTOH :Permainan 27 anak korek api pemain dengan jumlah terakhir genap berarti menang!

Optimasi 43

MK Konsep Teknologi

Permainan / Game

Algoritma :Sederetan atau seiumlah langkah yang dapat diambil untuk memecahkan semua masalah dari jenis tertentu.

Algoritma untuk contoh permainan korek api pada slide sebelumnya:

Pemain A ambil 2 dan selanjutnya bila B mempunyai jumlah genap, sisa dibagi 6 dan ambil lebih kecil satu dari sisa pembagian tersebut; namun bila B mempunyai jumlah ganjil, ambil lebih besar satu dari sisa pembagian, kecuali jika sisa 4 maka ambil semua.