Contoh - Sigit Kusmaryanto | Universitas Brawijaya III – TRANSFORMASI LAPLACE 1 4.1 Analisa Sinyal...
14
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 1 4.1 Analisa Sinyal dalam Spektrum Frekuensi Sebuah sinyal waktu sebagai hasil penjumlahan beberapa sinyal kontinyu dapat dinyatakan sebagai: dimana: N = bilangan integer positif An = amplitudo sinyal sinusoida ω n = frekuensi sudut (dalam radiant/detik) θ n = fase sinyal sinusoida Contoh: Berikan gambaran spektrum frekuensi sebuah sinyal sinusoida yang tersusun dari persamaan berikut ini: x(t) = A1 cos t + A2 cos (4t + π/3) + A3 cos (8t + π/2) 0 < t < 20 Penyelesaian: Dari persamaan tersebut di atas kita dapat melihat bahwa tiga parameter sinyal yang utama adalah: - Amplitudo adalah A1, A2 dan A3. - Frekuensi adalah 1, 4, dan 8 radiant. - Fase adalah 0, π/3 dan π/2. Dengan mencoba nilai-nilai amplitudo seperti berikut ini akan kita dapatkan bentuk sinyal yang bervariasi. a) A1 = 0,5 A2 = 1 A3 = 0 b) A1 = 1 A2 = 0,5 A3 = 0
Transcript of Contoh - Sigit Kusmaryanto | Universitas Brawijaya III – TRANSFORMASI LAPLACE 1 4.1 Analisa Sinyal...
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 1
4.1 Analisa Sinyal dalam Spektrum Frekuensi
Sebuah sinyal waktu sebagai hasil penjumlahan beberapa sinyal
kontinyu dapat dinyatakan sebagai:
dimana: N = bilangan integer positif An = amplitudo sinyal sinusoida ωn = frekuensi sudut (dalam radiant/detik) θn = fase sinyal sinusoida Contoh: Berikan gambaran spektrum frekuensi sebuah sinyal sinusoida
yang tersusun dari persamaan berikut ini:
x(t) = A1 cos t + A2 cos (4t + π/3) + A3 cos (8t + π/2) 0 < t < 20
Penyelesaian:
Dari persamaan tersebut di atas kita dapat melihat bahwa tiga
parameter sinyal yang utama adalah:
- Amplitudo adalah A1, A2 dan A3.
- Frekuensi adalah 1, 4, dan 8 radiant.
- Fase adalah 0, π/3 dan π/2.
Dengan mencoba nilai-nilai amplitudo seperti berikut ini akan kita
dapatkan bentuk sinyal yang bervariasi.
a) A1 = 0,5 A2 = 1 A3 = 0
b) A1 = 1 A2 = 0,5 A3 = 0
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 2
c) A1 = 1 A2 = 1 A3 = 0
Gambar 4.1 nilai x(t) untuk berbagai nilai amplitudo berbeda
Gambar 4.2 Spektrum Frekuensi Sinyal penyusun x(t)
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 3
Sinyal waktu kontinyu dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial komplek, yaitu
jika didefiniskan
maka:
Untuk sinyal waktu kontinyu yang merupakan hasil penjumlahan
beberapa sinyal, dapat dinyatakan:
dua rumus terakhir dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu:
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 4
4.2 Deret Fourier pada Sinyal Periodik
• Sinyal x(t) dikatakan periodis dengan periode T maka
x(t+T) = x(t)
Gambar 4.3 Sinyal Perodik dg Periode T
Sinyal periodis dasar
ω0 : frekuensi fundamental
T0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental
• Suatu sinyal periodis dengan periode T0 dapat dinyatakan
sebagai jumlahan sinyal-sinyal lain dengan periode-periode
kelipatan dari T0
tjSintCosetx
tCostx
tj
00
0
0)(
)(
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 5
ak untuk,
k=0 disebut komponen dc
k=±1 disebut komponen fundamental
k=±2, ±3,.. disebut komponen harmonik ke -k
• Jika x(t) real, maka x*(t) = x(t)
k
tjk
keatxtx 0** )()(
• Ganti k dengan –k, didapatkan a*-k=ak atau a*
k=a-k
k
tjk
keatx 0*)(
1
000)(
k
tjk
k
tjk
k eaeaatx
1
*
000)(
k
tjk
k
tjk
k eaeaatx
• Penjumlahan konjugate kompleks menghasilkan
1
00Re2)(
k
tjk
keaatx
• Jika ak = Ak e jθk
1
00 2)(k
kk tkCosAatx
• Jika ak = Bk + j Ck
k
tjk
keatx 0)(
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 6
1
000 )()(2)(k
kk tkSinCtkCosBatx
k
tjntjk
k
tjneeaetx 000 .).(
0
00
0
0
00
.).(
T
k
tjntjk
k
T
tjndteeadtetx
k
T
tnkj
k
T
tjndteadtetx
0
0
0
0
0
)(
0
).(
0
0
0
0)(
,0
,T
tnkj
nk
nkTdte
k
T
tnkj
k
T
tjndteadtetx
0
0
0
0
0
)(
0
).(
0
0
.).(0
0 Tadtetx n
T
tjn
sehingga:
0
0
00
).(1
T
tjn
n dtetxT
a
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 7
k
tjk
k eatx 0.)(
0
0
00
).(1
T
tjk
k dtetxT
a
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral
Komponen dc = a0 :
0
)(1
0
0
T
dttxT
a
• Contoh:
Gambar 4.4 Sinyal Perodik dengan periode T0
Dalam satu periode
21
1
0,0
,1)( T
tT
Tttx
Komponen dc :
0
1
0
0
21
1 1
1T
Tdt
Ta
T
T
Komponen spektral:
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 8
0
0).(1
0 T
tjk
k dtetxT
a
1
1
0.11
0
T
T
tjk
k dteT
a
1
1
00
01
T
Te
Tjka
tjk
k
j
ee
Tka
TjkTjk
k2
2 1010
00
k
TkSin
Tk
TkSinak
)()(2 10
00
10
• Dalam sembarang periode, x(t) harus absolutely integrable
• Dalam sembarang interval, variasi x(t) harus berhingga. Dalam
satu periode, cacah maksima dan minima harus berhingga
• Dalam setiap periode, cacah fungsi yang diskontinyu harus
berhingga.
Latihan: Tentukan koefisien DC dan spektral untuk sinyal pada
gambar berikut:
Gambar 4.5 Sinyal Periodik dengan Periode T=2
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 9
4.3 Fenomena Gibbs
Deret Fourier dalam bentuk trigonometri dinyatakan sebagai:
dimana: |cn| = magnitudo dari cn
cn = sudut dari cn
Contoh kasus untuk Gambar 4.5 dapat dihitung |cn| dan cn yaitu:
Sehingga representasi trigonometri dari Deret Fourier untuk kasus
Gambar 4.5 adalah:
rumus terakhir di atas disebut sebagai fenomena Gibbs, yaitu sinyal
persegi bisa didaptkan dari penjumlahan sinyal sinusoidanya. Berikut
digambarkan fenomena Gibbs.
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 10
Untuk N=9
Gambar 4.6 Sinyal x(t) pada Gambar 4.5 dengan N=9
Untuk N=21
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 11
Gambar 4.7 Sinyal x(t) pada Gambar 4.5 dengan N=21
4.3 Transformasi Fourier sinyal tak periodis
contoh:
• Fungsi waktu :
21
1
0,0
,1)( T
tT
Tttx
• Komponen spektral:
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 12
00
10 )(2
Tk
TkSinak
0
100
)(2
k
TkSinaT k
• α(t): sinyal periodis dengan periode T0
• x(t) adalah:
T0 dapat dikatakan mendekati tak terhingga
• Jika T0 ak = X(ω) dan ω = k ω0 , maka
0
1
0
100
)(2)(2
k
TSin
k
TkSinaT k
2/
2/
0
0
0
0
0
).(
.)(
T
T
tjk
k
k
tjk
k
dtetaT
eat
dtetxaT
t
tttx
tjk
k
T
T
0
0
0
).(
||,0
||),()(
0
2
2
dtetxX
kXT
a
tj
k
).()(
)(1
0
0
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 13
• Sinyal periodis α(t) menjadi :
• Jika T0 oo, maka ω00, sehingga α(t)=x(t)
X(ω) : Transformasi Fourier atas x(t)
x(t) : Invers transformasi Fourier
4.4 Diskret Fourier Transform
k
tjk
k
tjk
ekXt
T
ekXT
t
00
20
0
0
0
0
0
)(2
1)(
)(1
)(
deXtx
ekXT
tx
ttx
tj
k
tjk
T
)(2
1)(
)(1
2
1lim)(
)()(
00
00
0
0
0
lim
)()(
)()(
)()(21
Xtx
dtetxX
deXtx
tj
tj
bab III – TRANSFORMASI LAPLACE 14
• x[n] adalah sinyal waktu diskret periodis dengan periode N. x[n]
dapat dirumuskan dengan
Nn
jk
k
Nk
jk
k
Nn
Nn
enxN
a
eanx
2
2
][1
][
