1

1. Sinyal Sinusoidal Waktu – kontinu

FtAX a 2cos t

cosAA

T=1/F

0 t

Ω = 2πF

adalah frekuensi dalam rad/s

F = frekuensi dalam putaran per sekon (Hz)

A= Amplitudo sinusoida

θ = fase dalam radian

2

tja AeX

Sinyal dasar Eksponensial dng α imajiner

2.Sinyal Sinusoida Waktu-Diskrit

nAnX cos n

)/( cuplikanradianfrekuensi

)(radianphasa

A

0 n

-A

Dimana ω = 2πf

f = putaran per cuplikan

3

4

Input filter

ADC with sample

& hold

DigitalProsesor

DACOutput

filter

x(t) x(n) y(n) y(t)

Typical real time DSP System

Analog to Digital converter

txa nx

nxq nxPencuplikan Kuantisasi Pengkodeaan

Sinyal DigitalSinyal TerkuantisasiSinyal Waktu DiskritSinyal Analog

01011….. txa

5

Analog to Digital Conversion Process

F2B Logic Circuit

LPF Sample & Hold Quantizer Encoder

X(t) Analog input

X(n)Digital output code

Untuk proses gambar diatas ada tiga tipe identifikasi :

•Sinyal input analog : Sinyal kontinu dalam fungsi waktu dan amplitudo.• Sinyal di-sample : Amplitudo Sinyal kontinu didefinisikan sebagai diskrit point dalam waktu.•Sinyal digital : dimana x(n),untuk n=0,1,2,…….Sinyal dalam sumbu poin diskrit dalam waktu dan masing-masing poin akan dihasilkan nilai 2B.

6

Proses Konversi Analog ke DigitalProses Konversi Analog ke Digital

Ada tiga langkah dalam proses konversi :

1. Pencuplikan ( Sampling) : konversi sinyal analog ke dalam sinyal amplitudo kontinu waktu diskrit.

2. Kuantisasi : konversi masing-masing amplitudo kontinu waktu diskrit dari sinyal sample dikuantisasi dalam level 2B , dimana B adalah number bit yang digunakan untuk reprentasi dalam Analog to Digital Conversion (ADC).

3. Pengkodean : Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit.

7

Pencuplikan Sinyal Analog

Pencuplikan periodik atau seragam:

Diskripsi : x(n)=xa(nT), -~< n< ~

Fs=1/TSinyal analog

Xa(t)X(n)=Xa(nT) Sinyal waktu

diskrit

Pencuplikan

0 t

Xa(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X(n)

n

Xa(t)

X(n)=Xa(nT)

Fs=1/T, t=nT=n/Fs

8

Sinyal Sinusoida analog : Xa(t) = A Cos (2Ft + )

Pencuplikan periodik dengan laju Fs=1/T (cuplikan per sekon ), maka :

FnTACosnXnTX a 2

Fs

nFACosnX

2

Hubungan frekuensi (F) sinyal analog dan frekuensi (f) untuk sinyal diskrit:

f =F/Fs ekuivalen : = T

f = Frekuensi relatif atau ternormalisasi ( f dapat menentukan F dalam Herzt )

Sehingga untuk interval sinusoida waktu kontinu: - < F < ~- < < ~

Untuk sinusoida waktu diskrit terdapat hubungan sbb :

9

Hubungan Variabel Frekuensi

Sinyal waktu kontinu Sinyal waktu diskrit

= 2F = 2f (Rad/sekon) (Rad/cuplikan)

=T, f = F/Fs - ≤ ≤

-1/2 ≤ f ≤ 1/2

= /T , F = f.Fs

- < <

- ~ < F <

- /T ≤ ≤ /T

- Fs/2 ≤ F ≤ Fs/2

10

0 Fs/2-Fs/2 Fs-Fs

1/2

-1/2

-

f

F

Hubungan variabel Frekuensi sinyal kontinyu dan diskrit

Pemakaian hubungan-hubungan frekuensi dicontohkan dengan dua sinyal analog berikut :

X1(t) = cos 20πt

X2(t) = cos 100πt

a.Tentukan frekuensi kedua sinyal tersebut.b.Tentukan fungsi sinyal diskrit bila dicuplik

dengan laju Fs = 40 HzINGAT cos (2π ± a) = cos a

sin (2π + a) = sin asin (2π - a) = -sin a

12

Hz40F

Hz50F]t)50(2cos[)t(x

Hz10F]t)10(2cos[)t(x

s

22

11

)n(x)n2

cos()n2

n2cos(n)2

2cos(

)n2

5cos(]n

40

502cos[)n(x

)n2

cos(]n40

102cos[)n(x

1

2

1

x2(n) identik dengan x1(n) F2 (50 Hz) = alias dari F1(10 Hz)

90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz

TEOREMA PENCUPLIKAN ( SAMPLING )

Sinyal Analog : Xa(t), Fmax = B, Laju cuplikan Fs > 2Fmax (2B), maka

dapat diperoleh kembali dari nilai cuplikan dengan fungsi interpolasi :

Bt

Bttg

2

2sin

sn saa F

ntg

F

nXtX

BntB

BntB

B

nXtX

naa 2/2

2/2sin

2

dimana :

Untuk : Xa(n/Fs) = Xa(nT) X(n) merupakan cuplikan-cuplikan dari Xa(t)

Laju cuplikan minimum Fs = 2B, maka formula penyusunan ulang dari cuplikan menjadi kontinyu adalah :

Laju pencuplikan : FN = 2B = 2Fmax = Laju Nyquist 14

Syarat Nyquist : untuk menjamin bahwa seluruh komponen sinusoida sinyal analog menjadi sinyal diskrit adalah

Fs ≥ 2 Fmax(analog)

Apabila tidak terpenuhi maka akan terjadi aliasing.

15

16

Frekuensi aliasMisal ada 2 sinal analog : -> x1(t) = A sin 2 (10) t ….. (a)

-> x2(t) = A sin 2 (50) t ……(b)

Kedua sinyal dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz, sehingga

sinyal digital (waktu-diskrit) masing-masing:-> x1(n) = A sin 2 (10/40)n = sin (/2) n

……(c)-> x2(n) = A sin 2 (50/40)n = sin (5/2) n

…..(d)

17

Karena :sin (5/2) n = sin (2n + n/2 ) = sin n/2

Maka : Sinyal analog pers (a) dan (b) setelah dicuplik dgn frekuensi Fs = 40 Hz akan menghasilkan digital yg sama,

sehingga frek. Sinyal analog x2(t) merupakan alias dari

x1(t), jadi frekuensi alias terjadi jika :

Fk = Fo + k Fs

Dengan :

k = ±1,±2, …

Fk = frekuensi sinyal analog ke k; =50 dicontoh (b)

F0 = frekuensi sinyal analog ke dasar,=10 dicontoh (a)

Fs = frekuensi sampling, = 40

1kkFF)18

1(

8

7F

Hz1FHz8

7FHz

8

1F

s21

s12

Ilustrasi Pengaliasan pencuplikan yang sama pada 2 sinyal dengan frekuensi berbeda.

Perhatikan sinyal analog

Xa(t)= 3 cos 100πta) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan

untuk menghindari pengaliasan.

b)Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=200Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan.

c) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=75Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan.

d)Berdasarkan hasil sinyal diskrit soal c, Berapa frekuensi dan fungsi dari sinyal sinusoidal berdasar hasil cuplikan Fs=75 Hz.

19

Diketahui sebuah sinyal analog

xa(t) = 3 cos 100t

a) Tentukan Fs minimum

b) Bila Fs = 200 Hz, tentukan x(n)

c) Bila Fs = 75 Hz, tentukan x(n)

d) Berapa 0 < F < Fs/2 yang menghasilkan x(n) sama dengan c)

Jawab:

a) F = 50 Hz dengan Fs minimum = 100 Hz

b) n2

cos3n200

100cos3)n(x

n)3

2cos(3n)

3

22cos(3

n3

4cos3n

75

100cos3)n(x

c)

d) nnnx )3

12cos(3)

3

2cos(3)(

3

1f

s

o

F

Ff HzFfF so 25)75(

3

1

,2,1)75(25 kkkFFF sok

5,372

75

20 sFF HzFF o 25

Sinyal Analog :

Xa(t) = 3 cos 2000t + 5 sin 6000t + 10 cos 12000t

a)Berapa laju Nyquist ?

b)Jika laju pencuplikan Fs = 5000 cuplikan/detik. Berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh setelah pencuplikan?

c)Berapa sinyal analog yang dapat dibentuk ulang dengan Fs=5000cuplikan/detik

Hal. 29-30 22

Diketahui sebuah sinyal analog

xa(t) = 3 cos (2000 t) + 5sin(6000 t) + 10 cos (12000 t)

a) Tentukan frekuensi Nyquistnya

b) Bila Fs = 5000 Hz, tentukan x(n)

c) Tentukan xa(t) dari x(n) pada b) bila proses D/A Cnya sempurna

Jawab:

kHzFkHzFkHzF 631 321

kHzFB maks 6

a)

kHzBFN 122

b) kHzF

kHzF ss 5,2

25

nnn

nnnnx

)5

62cos(10)

5

32sin(5)

5

12cos(3

5000

12000cos10

5000

6000sin5

5000

2000cos3)(

])5

11(2cos[10])

5

21(2sin[5])

5

1(2cos[3)( nnnnx

])5

1(2cos[10])

5

2(2sin[5])

5

1(2cos[3)( nnnnx

])5

1(2cos[10])

5

2(2sin[5])

5

1(2cos[3)( nnnnx

])5

2(2sin[5])

5

1(2cos[13)( nnnx

c) )4000sin(5)2000cos(13)( tttya

KUANTISASI SINYAL AMPLITUDO-KONTINU

KUANTISASI :Proses pengkonversian suatu sinyal amplitudo-kontinu waktu diskrit menjadi sinyal digital dengan menyatakan setiap nilai cuplikan sebagai suatu angka digit, dinyatakan dengan :

X(n) merupakan hasil pencuplikan,

Q[X(n)] merupakan proses kuantisasi

Xq( n) merupakan deret cuplikan terkuantisasi

:

nXQnX q

26

Konsep kuantisasi (lanj.)

27

28

29

30

KESALAHAN KUANTISASI/ Kebisingan Kuantisasi /Galat Kuantisasi/

Error Kuantisasi( eq(n) )

Diperoleh dari kesalahan yang ditampilkan oleh sinyal bernilai kontinu dengan himpunan tingkat nilai diskrit berhingga.

Sec Matematis, merupakan deret dari selisih nilai terkuantisasi dengan nilai cuplikan yang sebenarnya.

eq(n) = Xq (n) – X (n)

KUANTISASI SINYAL SINUSOIDA

0

2

3

4

-

-2

-3

-4

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T t

Am

pli

tud

o

Cuplikan Terkuantisasi Xq(nT)

SampelTerkuantisasi

Sampel analogAslinya Xa(t)

Tingkatkuantisasi

Diskritsasiamplitudo

Diskritsasi waktu

Langkahkuantisasi

IntervalPengkuantisasi

31

X(n)=0,9n Xa(t)=0,9t

n1 2 3 4 5 6 7 80

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

T

T=1s

1 2 3 4 5 6 7 8

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0 n

Tingk. Kuantisasi L=jml tingkatan kuantisasi

Langkahkuantisasi

Xq(n)Xa(t)=0,9t

1minmax

L

XX

32

Hal 33

n X(n) Sinyal diskrit

Xq(n)(bulat ke bawah)

Xq(n)(bulat ke atas)

eq(n)=Xq(n)-X(n)(bulat ke atas)

0 1 1.0 1.0 0.0

1 0.9 0.9 0.9 0.02 0.81 0.8 0.8 -0.01

3 0.729 0.7 0.7 -0.029

4 0.6561 0.6 0.7 0.439

5 0.59049 0.5 0.6 0.009516 0.531441 0.5 0.5 -0.031441 7 0.4782969 0.4 0.5 0.021031 8 0.43046721 0.4 0.4 -0.03046721 9 0.387420489 0.3 0.4 0.012579511

Tabel . Ilustrasi Numerik kuantisasi dengan 1 digit

33

Daya Kesalahan Kuadrat Rata-rata Pq

dtteP qq

0

21

tanatteq dim,2/

122

1 22

2

0

dttPq

tAtX a 0cos

Karena : , maka :

Pada gambar persamaan Sinyal Sinusoida analog :

menunjukkan waktu Xa(t) berada dalam tingkatan kuantisasiJika Pengkuantisasian b bit dan interval keseluruhan 2A, maka langkah kuantisasi : = 2A/2b. Jadi :

bq

AP

2

2

2

3/

• Daya rata-rata sinyal Xa(t) :

pT

x

AdttA

TP

0

22

0 2cos

1

34

Signal Quantitation to Noise Ratio ( SQNR ) : nilai kualitas keluaran ADC yang ditentukan oleh Rasio daya sinyal terhadap daya kebisingan (noise).

b

q

x

P

PSQNR 22.

2

3

bSQNRdBSQNR 02.676,1log10 10

/2

- 0 t

0

-

t

/2

-/2

eq(t)

35

Gambar . Galat Kuantisasi Eq(t) penentu Daya Kesalahan Pq

Rumus SQnR(dB) menunjukkan bahwa nilai ini bertambah kira-kira 6dB untuk setiap bit yang ditambahkan kepada panjang kata.

Contoh pada proses CD recorder menggunakan Fs = 44,1 Khz dan resolusi sampling 16 bit, yang menyatakan SQNR lebih dari 96 dB.

Semakin tinggi nilai SQNR --- semakin baik proses konversi dari ADC tersebut.

36

Pengkodean Setiap sinyal amplitudo diskrit yang

dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit.

Sinyal digital yang dihasilkan ADC berupa bilangan basis 2 (0 dan 1). Idealnya output sinyal tersebut harus dapat merepresentasikan kuantitas sinyal analog yang diterjemahkannya.

Representasi ini akan semakin baik ketika ADC semakin sensitif terhadap perubahan nilai sinyal analog yang masuk.

37

Jika nilai 0-15 volt dapat diubah menjadi digital dengan skala 1 volt, artinya rentang nilai digital yang diperoleh berupa 16 tahap (dari 0 bertahap naik 1 volt hingga nilai 15 atau setara dengan 0000 atau 1111).

Tahapan sejumlah ini dapat diperoleh dengan membuat rangkaian ADC 4bit (karena jumlah bit (n) merepresentasikan 2n nilai skala, sehingga 24 =16 skala).

Misal kita ingin menaikan jumlah bit menjadi 8, maka nilai 0-15 volt dapat di representasikan oleh 28 (256) skala atau setara dengan skala 62.5mV, Hasilnya rangkaian semakin sensitif terhadap perubahan sinyal analog yang terbaca.

Jadi, dapat disimpulkan semakin besar jumlah bit ,maka semakin sensitif atau semakin tinggi resolusi rangkaian ADC.

Adalah jumlah bit output pada ADC. Sebuah rentang sinyal analog dapat dinyatakan dalam kode bilangan digital.

Sebuah sinyal analog dalam rentang 16 skala (4 bit) adalah lebih baik resolusinya dibanding membaginya dalam rentang 8 skala (3 bit). Karena besar resolusi sebanding 2n .semakin besar jumlah bit , resolusi akan semakin bagus.

RESOLUSI

Contoh pada ADC 0804Untuk operasi normal, menggunakan Vcc =

+5 Volt sebagai tegangan referensi. Dalam hal ini jangkauan masukan analog mulai dari 0 Volt sampai 5 Volt (skala penuh), karena IC ini adalah SAC 8-bit, resolusinya akan sama dengan :

Artinya : setiap kenaikan 1 bit, kenaikan tegangan yang dikonversi sebesar 19,6 mVolt

40

The End

41

TUGAS

Diketahui sebuah sinyal analog

xa(t) = 3 cos (50 t) + 10 sin(300 t) - cos (100 t)

a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan

b) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 100 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan

c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 200 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan