13-11-11

ΥΠΟ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ

Μεταπτυχιακό Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρμογές ΕΜΠ/Δημόκριτος

Εμμανουήλ Αντ. Δρης Από τη Νάξο

Ομότιμος Καθηγητής ΕΜΠολυτεχνείο

2

3

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Timeo hominem unius libri. Thomas Acquinas Φοβού τον άνθρωπο του ενός βιβλίου. Θωμάς Ακινάτης Αυτά που ακολουθούν είναι σημειώσεις σχετικές με το μάθημα Κλασική Μηχανική, που διδάσκεται από τον γράφοντα στο Μεταπτυχιακό Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρμογές, ΕΜΠ/Δημόκριτος. Ο γράφων δίδαξε αυτό το μάθημα για πρώτη φορά το 1996, οι σημειώσεις άρχισαν να γράφονται πολύ αργότερα περίπου το 2004, από τότε έχουν υποστεί πολλές τροποποιήσεις. Στην πραγματικότητα το μάθημα είναι η Κλασική Δυναμική και αυτός είναι και ο τίτλος αυτού του πονήματος. Η έμφαση είναι κυρίως στην Αναλυτική Δυναμική που αναπτύσσεται στο Μέρος Β. Για να διευκολυνθούν οι φοιτητές, οι σημειώσεις περιλαμβάνουν και το Μέρος Α το οποίο περιέχει αυτό που λέμε Νευτώνεια Θεώρηση της Μηχανικής. Το Μέρος Α περιέχει στοιχεία χρήσιμα για το Μέρος Β, οπότε δεν υπάρχει ανάγκη να ανατρέξει κάποιος σε άλλα πιο ειδικευμένα συγγράμματα που έχουν περιεχόμενο αυτό του μέρους Α. Παρόλα αυτά, είναι καλό οι φοιτητές που παρακολουθούν ένα τέτοιο μάθημα να έχουν γνώση Μηχανικής επιπέδου Γενικής Φυσικής και κάποια γνώση πιο προχωρημένης Μηχανικής Προπτυχιακού επιπέδου, καθώς και γνώση Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Εμμανουήλ Αντ. Δρης

4

5

ΜΕΡΟΣ Α

ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

6

7

1. Α-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η Μηχανική θεμελιώθηκε από το Νεύτωνα στη μορφή που φέρει το όνομά του, δηλαδή αυτό που λέμε νευτώνεια μηχανική. Σε αυτό το νευτώνειο φορμαλισμό έχομε τη θεμελιώδη σχέση (νόμο) της δυναμικής Δύναμη = ρυθμός μεταβολής της ορμής . Η μορφή της δυναμικής κατά Νεύτωνα εκφράζεται με χρήση διανυσμάτων. Τα διανύσματα εύκολα αναλύονται σε συνιστώσες σε καρτεσιανό σύστημα όπου έχομε ορθογώνιους ευθύγραμμους άξονες συντεταγμένων. Οι συνιστώσες του νόμου αυτού της δυναμικής έχουν την ίδια απλή μορφή και στους τρεις άξονες. Στα πλαίσια της αρχικής ιδέας της νευτώνειας δυναμικής, δηλαδή όταν οι ταχύτητες είναι μικρές σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός, ισχύουν

2

2

d d( , , ) = =

d d

r pF r r t m

t t

= p m (1.1)

= , = , = mx X my Y mz Z (σε καρτεσιανές συντεταγμένες).

, ,X Y Z είναι οι καρτεσιανές συνιστώσες της νευτωνικής δύναμης F

. Στην περιοχή αρκετά μεγάλων ταχυτήτων που πρέπει να χρησιμοποιηθεί Ειδική Σχετικότητα έχομε

= , = , = x y zp X p Y p Z

(1.2)

2 2

2 2

= , = , ... .

1 1

xx

mmp p

c c

Μια θεμελιώδης αρχή είναι η αρχή επαλληλίας των δυνάμεων δηλαδή των αλληλεπιδράσεων μεταξύ σωματίων. Αυτή παρόλο που μας φαίνεται προφανής δεν ισχύει πάντοτε. Η ισχύς της αρχής σχετίζεται με τη γραμμικότητα των (διαφορικών) εξισώσεων των βασικών νόμων της Φυσικής. Η Γενική Σχετικότητα είναι κατ εξοχήν μη γραμμική οπότε στην Γενική Σχετικότητα δεν ισχύει κάτι σαν την παραπάνω αρχή της επαλληλίας των αλληλεπιδράσεων. Η αρχή της επαλληλίας των δυνάμεων μας λέει ότι αν έχομε πολλά σωμάτια που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους τότε η δύναμη που ασκείται σε ένα σωμάτιο από όλα τα υπόλοιπα, ισούται με το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων που θα ασκούσε το καθένα από τα υπόλοιπα αν ήταν μόνο του. Στα πλαίσια της Γενικής Σχετικότητας η μάζα και η ενέργεια των σωματίων ασκούν (και δέχονται) βαρυτικές αλληλεπιδράσεις. Αυτό οδηγεί στο να μην ισχύει γενικώς η ανωτέρω αρχή. Ας υποθέσομε ότι έχομε δυο σωμάτια με δεδομένες μάζες. Υποθέτομε για απλούστευση ότι υπάρχουν μόνο βαρυτικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους. Η βαρυτική δύναμη που ασκούν τα δυο σωμάτια σε ένα τρίτο δεν είναι ίση με το άθροισμα των δυνάμεων που ασκεί το κάθε ένα όταν είναι μόνο του. Αυτό ισχύει σε μηδενική προσέγγιση, σε πρώτη προσέγγιση υπάρχει και η δύναμη ένεκα της (ιδιο)ενέργειας του

8

συστήματος των δύο, δηλαδή ένεκα της ενέργειας αλληλεπίδρασης του ενός με το άλλο. Αυτή η διαδικασία μπορεί να γίνει διαδοχικά άπειρες φορές λαμβάνοντας υπόψη, κατάλληλα, τη συμβολή διαφόρων μορφών «ιδιοενεργειών» που εμφανίζονται σε κάθε προσέγγιση ανώτερης τάξης. Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας δίνει το σωστό αποτέλεσμα χωρίς αυτή την πολύπλοκη διαδικασία. Σύμφωνα με τα ανωτέρω, οδηγούμαστε στο ό,τι η «συνολική» μάζα συστήματος αλληλεπιδρώντων μεταξύ τους σωματίων εξαρτάται από τις μάζες τους, από τις κινητικές τους ενέργειες και τις δυναμικές ενέργειες αλληλεπίδρασής των (δηλαδή από την «ιδιοενέργεια» του συστήματος). Φυσικά για συνήθεις μάζες και για βαρυτικές αλληλεπιδράσεις το φαινόμενο είναι πολύ μικρό. Ένα γνωστό παράδειγμα που το φαινόμενο είναι έντονο και μετρήσιμο, που αναφέρεται στη συμβολή στη μάζα ενέργειας από μη βαρυτικές αλληλεπιδράσεις, είναι το σύστημα των σωματιδίων που αποτελούν τον πυρήνα ή το άτομο. Η μάζα του πυρήνα ή του ατόμου είναι ίση με το άθροισμα των μαζών των συστατικών τους συν την ιδιοενέργεια του συστήματος ένεκα πυρηνικών αλληλεπιδράσεων, που είναι αρνητική και λέγεται έλλειμμα ενέργειας ή έλλειμμα μάζας ή ενέργεια συνδέσεως. Δηλαδή η συνολική μάζα του σώματος δεν ισούται με το άθροισμα των μαζών των δομικών του λίθων- σωματιδίων. Με άλλα λόγια, η βαρυτική δράση που ασκεί σε άλλα σώματα και η βαρυτική επίδραση που έχουν πάνω του άλλα σώματα εξαρτιόνται από αυτές τις αλληλεπιδράσεις των συστατικών του. Στις συνήθεις περιπτώσεις, σε προβλήματα βαρύτητας και ηλεκτροστατικής, αυτό το φαινόμενο είναι αμελητέο και δε λαμβάνεται υπόψη. Υπάρχουν τρεις νόμοι του Νεύτωνα, οι εξής: 1) Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα ή αρχή της αδράνειας λέει ότι, υπάρχει σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο σώμα μακριά από άλλα σώματα είναι ελεύθερο και κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα. Αυτό το σύστημα λέγεται αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ο πρώτος νόμος μας λέει ουσιαστικά ότι υπάρχουν αδρανειακά συστήματα. 2) Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ή θεμελιώδης νόμος της δυναμικής λέει ότι, αιτία της μεταβολής της κίνησης (δηλαδή της μεταβολής της διανυσματικής ταχύτητας) είναι η δράση δύναμης στο σώμα. Οι σχέσεις (1.1) ή (1.2) που είναι οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης του σώματος, αποτελούν τη μαθηματική διατύπωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα και ισχύουν για αδρανειακό σύστημα αναφοράς. 3) Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα ή αρχή της ισότητας δράσης και αντίδρασης, είναι μια σημαντική αρχή για την αντιμετώπιση κίνησης συστημάτων υλικών σημείων (δηλαδή σωματίων). Αυτός ο νόμος λέει ότι, αν σωμάτιο ασκεί δύναμη σε άλλο (δράση) τότε και το δεύτερο ασκεί ίση και αντίθετη δύναμη (αντίδραση) στο πρώτο. Υπάρχουν δυο δυνατότητες, η μια είναι οι δυνάμεις να είναι στον ίδιο φορέα, δηλαδή στην ίδια ευθεία γραμμή (ισχυρή αρχή) και η άλλη δυνατότητα είναι οι δυνάμεις να είναι αντίθετες αλλά να ασκούνται σε διαφορετικούς (παράλληλους) φορείς (ασθενής αρχή). Ο τρίτος νόμος ισχύει για πολλές περιπτώσεις δυνάμεων αλλά όχι πάντα. Ισχύει δηλαδή στα πλαίσια της πολύ κλασικής θεώρησης, δηλαδή της μηχανικής χωρίς ειδική σχετικότητα, χωρίς φαινόμενα διάδοσης των αλληλεπιδράσεων και χωρίς δυνάμεις μαγνητικής αλληλεπίδρασης κινούμενων φορτισμένων σωματίων. Στα πλαίσια της Γενικής Σχετικότητας, η οποία ακολουθεί την Αρχή της Ισοδυναμίας, που σε απλή μορφή της λέει ότι αν ένα σύστημα αναφοράς, αρκούντως μικρών διαστάσεων (local system, τοπικό σύστημα), «πέφτει» ελεύθερα επί μικρό χρονικό διάστημα, μέσα σε εξωτερικό πεδίο βαρύτητας μόνο υπό την επίδραση αυτού του

9

βαρυτικού πεδίου (δηλαδή επιταχύνεται από το πεδίο βαρύτητας με επιτάχυνση ίση με την ένταση του πεδίου το οποίο είναι σχεδόν ομογενές στην πολύ μικρή περιοχή), αυτό είναι αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Αυτό σημαίνει ότι ισχύει η Ειδική Σχετικότητα για τις μη βαρυτικές δυνάμεις και για τις εσωτερικές βαρυτικές δυνάμεις του συστήματος. Στα πλαίσια της Κλασικής Μηχανικής που πραγματευόμαστε εδώ δεν θα μας απασχολήσουν τέτοια ζητήματα. Θα αρκεστούμε στο ότι, σύμφωνα με την αρχή του αναλλοίωτου των βασικών νόμων της μηχανικής ως προς τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, ισχύει ότι, αν οι εξισώσεις κίνησης και η αρχή της αδράνειας ισχύουν για κάποιο σύστημα αναφοράς τότε ισχύουν και για κάθε άλλο σύστημα που κινείται ως προς το πρώτο με σταθερή διανυσματική ταχύτητα ως προς αυτό. Δηλαδή υπάρχουν άπειρα αδρανειακά συστήματα. Είναι ευνόητο ότι στην περίπτωση της Γενικής Σχετικότητας μπορεί να έχομε αδρανειακά συστήματα σε ελεύθερη πτώση, οπότε σε αυτή την περίπτωση μπορεί να υπάρχει επιτάχυνση του ενός ως προς το άλλο. Οι «βασικές» δυνάμεις με τις οποίες ασχολείται η κλασική μηχανική, μπορεί να εξαρτώνται από την ταχύτητα, από τη θέση και από το χρόνο αλλά όχι από την επιτάχυνση. Η περίπτωση εξάρτησης από την ταχύτητα είναι αυτή της μαγνητικής δύναμης η οποία εξαρτάται γραμμικά με την ταχύτητα. Στην πραγματικότητα υπάρχουν περιπτώσεις στα πλαίσια της κλασικής δυναμικής όπου μη βασικές δυνάμεις μπορεί να θεωρηθεί ότι εξαρτιόνται από την επιτάχυνση. Για παράδειγμα κατά την κίνηση ενός πλοίου το πλοίο κινεί ποσότητα από το νερό που το περιβάλλει. Έτσι μπορούμε να θεωρήσομε ότι η «συλλογική» δύναμη που ασκείται πάνω στο πλοίο από το νερό εξαρτάται από την επιτάχυνση του πλοίου. Ακόμη και στην ηλεκτροδυναμική η δύναμη αντίδρασης ένεκα ακτινοβολίας που ασκείται σε φορτισμένο σωμάτιο το οποίο επιταχύνεται και γι αυτό ακτινοβολεί, εξαρτάται από την παράγωγο ως προς το χρόνο της επιτάχυνσης του σωματίου ! Αυτό έχει ως συνέπεια να παραβιάζεται η αιτιότητα, ευτυχώς, για πολύ μικρούς χρόνους. Υπενθυμίζομε σε αυτό το σημείο ότι, υπό «κανονικές» συνθήκες, έχομε μόνο μέχρι δεύτερες παραγώγους στις εξισώσεις κίνησης και αυτό σχετίζεται με το (ή μπορούμε να πούμε ότι αυτό οδηγεί στο) ότι ο προσδιορισμός της κίνησης εξαρτάται μόνο από την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα (η ταχύτητα είναι η πρώτη παράγωγος της θέσης ως προς το χρόνο) και όχι από αρχικές τιμές και άλλων ανωτέρων παραγώγων της θέσης, όπως είναι η επιτάχυνση. Κάνομε χρήση του όρου σωμάτιο με την έννοια του υλικού σημείου. Ένα υλικό σημείο είναι μακροσκοπικά μικρό αλλά μπορεί μικροσκοπικά να είναι μεγάλο και να αποτελείται από πολλά σωματίδια τα οποία είναι οι απλοί δομικοί λίθοι της ύλης, κουάρκ, νετρίνα, πρωτόνια, ηλεκτρόνια, άτομα, μόρια κτλ. Ένα σωματίδιο μπορούμε να πούμε πάντα ότι είναι ένα απλούστατο σωμάτιο αλλά ένα σωμάτιο δεν είναι πάντα ένα σωματίδιο. Η κλασική μηχανική, σε αντίθεση με την κβαντική μηχανική, εφαρμόζεται για συστήματα, σωμάτια ακόμη και σωματίδια αρκεί οι κβαντικοί οι αριθμοί που υπεισέρχονται να είναι πολύ μεγάλοι και οι μεταβολές των διαφόρων ποσοτήτων (π.χ. ενέργειας) να μπορούν να θεωρηθούν πρακτικώς ως συνεχείς ποσότητες.

10

\ 1.1 Παρατηρήσεις σχετικές με τους τρεις νόμους του Νεύτωνα Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα ουσιαστικά εισάγει τη έννοια του ελεύθερου υλικού σημείου (σωματίου). Ο νόμος αυτός δέχεται την ύπαρξη ελεύθερων υλικών σημείων και είναι έργο του φυσικού να βρει ποια είναι αυτά. Οι δυνάμεις μεταξύ διαφόρων σωμάτων οφείλονται στις αλληλεπιδράσεις τους. Αν τα σώματα είναι σε πολύ μεγάλες αποστάσεις μεταξύ τους οι δυνάμεις γίνονται πολύ μικρές. Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα δικαιολογεί κατ’ αυτόν τον τρόπο γιατί ένα σώμα πολύ απομακρυσμένο από όλα τα άλλα είναι ελεύθερο σώμα με την παραπάνω έννοια. Στη Νευτώνεια Μηχανική οι έννοιες χώρος και χρόνος ορίζονται ως ανεξάρτητες, ξεχωριστές οντότητες και δεν σχετίζονται με την κινητική κατάσταση του συστήματος αναφοράς τους. Οι νόμοι του Νεύτωνα ισχύουν ως προς ορισμένα συστήματα αναφοράς που λέγονται αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Αν ένα σύστημα είναι αδρανειακό τότε κάθε σύστημα ακίνητο ως προς αυτό είναι αδρανειακό και κάθε σύστημα κινούμενο με σταθερή (διανυσματική) ταχύτητα ως προς αυτό είναι επίσης αδρανειακό. Οι δυνάμεις βαρύτητας και οι ηλεκτροστατικές που υπεισέρχονται σε προβλήματα της Κλασικής Μηχανικής υπακούουν στον 3ο νόμο του Νεύτωνα. Στη Μηχανική μιλούμε και για δυνάμεις επαφής μεταξύ σωμάτων, δυνάμεις τριβής, άνωση, δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ νημάτων κ.τ.λ. Αυτές δεν είναι βασικές δυνάμεις. Βασικές δυνάμεις είναι: α) Οι ισχυρές που ασκούνται μεταξύ κουάρκ (τα κουάρκ είναι οι βασικοί δομικοί λίθοι των αδρονίων, αδρόνια είναι τα πρωτόνια, νετρόνια, μεσόνια) ή και γκλουονίων. β) Οι ηλεκτρομαγνητικές γ) οι ασθενείς (σε αυτές οφείλονται τα συνήθη φαινόμενα της ραδιενέργειας) και δ) Οι βαρυτικές. Ξέρομε ότι η διάδοση της αλληλεπίδρασης μεταξύ σωματιδίων γίνεται με πεπερασμένη ταχύτητα (που μάλιστα δεν ξεπερνά την ταχύτητα του φωτός στο κενό). Η διάδοση με όχι άπειρη ταχύτητα δημιουργεί πρόβλημα στο πως εφαρμόζει κανείς την αρχή Δράση – Αντίδραση. Για τις αλληλεπιδράσεις της Κλασικής Μηχανικής θα υποθέτομε ότι εξετάζομε περιπτώσεις που δεν έχομε διάδοση και θα δεχόμαστε ότι ισχύει ο νόμος Δράσης - Αντίδρασης. Εξαίρεση αποτελούν οι μαγνητικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ κινούμενων φορτισμένων σωματιδίων που και χωρίς να ληφθούν υπόψη φαινόμενα διάδοσης δεν ακολουθούν αυτό το νόμο. Οι δυνάμεις είναι διανυσματικά μεγέθη και προστίθενται με το νόμο του παραλληλόγραμμου. Δηλαδή αν σε ένα υλικό σημείο ασκούνται συγχρόνως πολλές δυνάμεις το σύστημα αυτών των δυνάμεων μπορεί να αντικατασταθεί με μια μόνο δύναμη που ισούται με το γεωμετρικό άθροισμα των επιμέρους δυνάμεων. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε για τη συνολική δύναμη

(συνισταμένη) που ασκείται από τα υλικά σημεία 1,2,3 στο 4, 4 41 42 43F F F F

όπου

41 42 43, ,F F F

είναι οι δυνάμεις που θα ασκούσαν τα 1,2,3 στο 4 αν ήταν κάθε φορά το

καθένα μόνο του με το 4 (βλ. Σχ. 1.1). Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της συνολικής δύναμης (συνισταμένης) επί του σωματίου είναι ίδιο με το άθροισμα των αποτελεσμάτων των δυνάμεων όταν κάθε μια ασκείται στο σωμάτιο μόνη της.

11

Σχήμα 1.1 Στα πλαίσια της Κλασικής Δυναμικής που η ορμή εξαρτάται από την ταχύτητα σύμφωνα με τη σχέση p m

, ο 2ος νόμος του Νεύτωνα γράφεται,

d

F m madt

όπου d

adt

είναι η επιτάχυνση του υλικού σημείου που προφανώς, σε αυτή την

περίπτωση, είναι συγγραμμική με τη δύναμη. Στην περίπτωση της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας έχομε

2

21

mp

c

.

Σε αυτή την περίπτωση η επιτάχυνση μπορεί να μην είναι συγγραμμική με τη δύναμη.

1.2 Νόμος του Νεύτωνα για την παγκόσμια έλξη

Η δύναμη μεταξύ δύο σωματίων 1 και 2 (βλ. Σχ. 1.2) δίνεται από το νόμο της παγκόσμιας έλξης. Είναι πάντα ελκτική και εξαρτάται από την απόσταση μεταξύ των σωματίων και βρίσκεται στην ευθεία που ενώνει τα δυο σωμάτια. Η δύναμη από το 1 στο 2 δίνεται από τη σχέση

1 2 1 221 2 1 213 2

2 1 2 1

ˆm m m m

F G r r G rr r r r

(1.3)

όπου 21r είναι μοναδιαίο διάνυσμα από το 1 στο 2, Ο είναι η αρχή των συντεταγμένων

από όπου αρχίζουν τα διανύσματα θέσης 1 2,r r

και 2

112

Nm6,67 10

kgG η σταθερά της

παγκόσμιας έλξης. Προφανώς 12 21F F

.

12

Σχήμα 1.2 Σημειώνομε εδώ ότι, μπορεί να ορίσει κανείς αδρανειακή μάζα, επίσης να ορίσει παθητική βαρυτική μάζα καθώς και ενεργητική βαρυτική μάζα και τις τρεις, αρχικά, ως διαφορετικές ποσότητες. Η ισχύς της αρχής Δράσης – Αντίδρασης και πειράματα όπως του Eotvos που πιστοποίησαν την ισότητα αδρανειακής και βαρυτικής μάζας (διήρκεσαν περίπου 25 χρόνια), έδειξαν ότι όλες αυτές οι μάζες μπορούν να οριστούν ως μία μάζα και γι αυτό μιλούμε απλώς για μια μοναδική μάζα ενός σώματος. Αυτό έχει ενσωματωθεί μέσα στις σχετικές θεωρίες. Συγκεκριμένα, το κάθε σωμάτιο θα είχε μια μάζα που ασκεί τη δύναμη (βαρυτική ενεργητική μάζα, am ) και μια που δέχεται τη δύναμη (βαρυτική παθητική μάζα, pm ).

Έτσι για την απόλυτη τιμή της δύναμης που ασκεί το 1 στο 2 θα είχαμε,

a1 p221 2

m mF G

r

. Για τη δύναμη που το 2 ασκεί στο 1 θα είχαμε,

a2 p112 2

m mF G

r

. Επειδή ισχύει η αρχή δράση-αντίδραση έχομε 21 12F F άρα

a1 a2a1 p2 a2 p1

p1 p2

, m m

m m m mm m

. Μπορούμε να φανταστούμε το σωμάτιο 1 να αλληλεπιδρά

με ένα άλλο σωμάτιο 3 κοκ, έτσι θα καταλήξομε στο ότι a1 a2 a

p1 p2 p

...m m m

m m m

. Αυτό

σημαίνει για κάθε υλικό σημείο οι λόγοι των δυο μαζών του είναι μια παγκόσμια σταθερά την οποία λαμβάνομε ίση με 1 (αδιάστατη σταθερά). Αυτός είναι ο λόγος που μπορούμε να μιλούμε για μια βαρυτική μάζα m χωρίς δείκτη. Η μάζα m που μπαίνει στο θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (δεύτερος νόμος του Νεύτωνα) λέγεται αδρανειακή μάζα, για μικρές ταχύτητες σε σχέση με αυτή του φωτός στο κενό ( c ) έχομεF ma . Ας θεωρήσομε ότι το υλικό σημείο 1 ασκεί δύναμη στο υλικό σημείο 2 και του δίνει επιτάχυνση a . Έχομε

1 221 22

m mF G m a

r

. Η αδρανειακή μάζα του 2 είναι η 2m και η βαρυτική του μάζα είναι

η 2m . Η επιτάχυνση δίνεται από τη σχέση

1 22

2

m ma G

r m

. Είναι γνωστό ότι οποιοδήποτε υλικό σημείο και αν φέρομε στο σημείο 2

αυτό θα αποκτήσει την ίδια επιτάχυνση. Το συμπέρασμα είναι ότι ο λόγος 2

2

m

m

είναι

μια παγκόσμια σταθερά ανεξάρτητη από το επιμέρους σωμάτιο. Όπως και πριν, θεωρούμε ότι η σταθερά είναι ο καθαρός αριθμός 1 οπότε η βαρυτική και η αδρανειακή μάζα για

13

κάθε ένα σωμάτιο είναι ίδιες, έτσι μιλούμε μόνο για μια μάζα m η οποία ασκεί και δέχεται αλληλεπιδράσεις και επίσης μπαίνει στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, εκφράζοντας την αδράνεια του σώματος,. Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης ισχύει με μεγάλη ακρίβεια όπως έχουν δείξει πειράματα τύπου των πειραμάτων του Cavendish για αποστάσεις εντός εργαστηρίου (της τάξης μεγέθους κάτω του mm, κάπου 50 μm). Για τις μεγάλες αποστάσεις της τάξης των

1510 m , η ακρίβεια καθορίζεται από το πόσο καλά μπορούμε να περιγράψουμε τις κινήσεις πλανητών και αντικειμένων του ηλιακού μας συστήματος, σήμερα πια, λαμβάνοντας υπόψη και μικρές διορθώσεις από τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Έχουν υπάρξει ιδέες που λένε ότι ίσως τροποποιείται λίγο σε μικρές αποστάσεις (όχι πλανητικές) αλλά αυτό δεν έχει βεβαιωθεί με τρόπο που να γίνει αποδεκτό. Η ιδέα σχετίζεται με ύπαρξη αλληλεπιδράσεων που τροποποιούν κατάλληλα τη βαρυτική δύναμη. Η σχέση που ισχύει σε αυτή την περίπτωση μπορεί να είναι της μορφής,

/ /1 2 1 2 1 2( ) (1 e ) er rm m m m m mV r G G G

r r r .

Δηλαδή έχομε μια διόρθωση στη δυναμική ενέργεια (δυναμικό) τύπου Yukawa. Ενδεικτικές τιμές για τις καινούργιες σταθερές είναι, 3 27,2 10 , 2,00 10 m . Η αρνητική παράμετρος σημαίνει απωστική δύναμη, δηλαδή ελάττωση της αναμενόμενης δύναμης της παγκόσμιας έλξης. Οι παράμετροι , εξαρτιώνται, γενικώς, από τα είδη των υλικών που αλληλεπιδρούν. Αυτά μπορεί να συσχετιστούν με τα πειράματα Eodvos. Μια άλλη παρατήρηση που οφείλουμε να κάμουμε είναι ότι η διατύπωση του νόμου αυτού εμπεριέχει το γεγονός της ομογένειας και ισοτροπίας του χώρου. Αν δηλαδή δύο αλληλεπιδρώντα σωμάτια μετακινηθούν χωρίς να αλλάξει η σχετική τους απόσταση (μεταφορά και / ή στροφή) δεν αλλάζει το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο καθένα και επίσης δεν αλλάζει η σχετική με τα σωμάτια κατεύθυνση της δύναμης. Στην πράξη η αλληλεπίδραση μεταξύ υλικών σωμάτων περιγράφεται με το νόμο της παγκόσμιας έλξης (στην παραπάνω μορφή του) για υλικά σημεία αν οι διαστάσεις των σωμάτων είναι μικρές σε σχέση με τη μεταξύ τους απόσταση.

1.3 Τριβή

Ξέρουμε από εμπειρία ότι αν δύο σώματα ολισθαίνουν το ένα σε σχέση με το άλλο (ενώ βρίσκονται σε επαφή μεταξύ τους) εμφανίζονται δυνάμεις τριβής στην επιφάνεια επαφής τους οι οποίες ασκούνται στα δυο σώματα και αντιτίθενται στη σχετική τους κίνηση. Η λεπτομερής εξέταση του φαινομένου δεν είναι εύκολη, είναι ένα πολύπλοκο φυσικομηχανικό πρόβλημα. Οι υπολογισμοί που συνήθως κάνουμε στηρίζονται σε μερικούς γενικούς νόμους που έχουν προκύψει εμπειρικά από πειράματα. Οι νόμοι είναι: α) Αν δύο σώματα μπορούν να ολισθήσουν το ένα πάνω στο άλλο αναπτύσσεται στην επιφάνεια επαφής τους δύναμη της οποίας το μέτρο μπορεί να είναι από μηδέν ένα

μέγιστο fmF . Η δύναμη τριβής f mF

είναι αντίθετη σε φορά και φυσικά έχει την ίδια

διεύθυνση με τη δύναμη που προσπαθεί να κινήσει το σώμα στο οποίο ασκείται. β) Η δύναμη τριβής έχει μέγιστο μέτρο ίσο με, f m sF n N (1.4)

14

Ο συντελεστής sn λέγεται συντελεστής στατικής τριβής, είναι αδιάστατο φυσικό μέγεθος

και εξαρτάται από τα υλικά των επιφανειών επαφής και τις συνθήκες των επιφανειών αυτών. Ν είναι το μέτρο της κάθετης δύναμης μεταξύ των επιφανειών. γ) Μέσα σε μεγάλο εύρος τιμών, η δύναμη τριβής f mF δεν εξαρτάται από το εμβαδόν της

επιφάνειας επαφής. Γενικώς για τη στατική τριβή ισχύει

f s fmF n N F

Όσα αναφέραμε σχετίζονται με τη στατική τριβή, δηλαδή με την τριβή όταν η σχετική ταχύτητα των σωμάτων που βρίσκονται σε επαφή είναι μηδέν. Όταν υπάρχει σχετική ταχύτητα μεταξύ τους τότε η τριβή είναι αντίθετη της ταχύτητας και λέγεται κινητική τριβή ή τριβή ολισθήσεως. Ισχύει ανάλογος τύπος με αυτόν που ισχύει για τη μέγιστη στατική τριβή f kF n N (1.5)

Ο συντελεστής kn λέγεται συντελεστής τριβής ολισθήσεως ή κινητικής τριβής. Αυτός ο

συντελεστής που είναι μικρότερος από τον sn εξαρτάται σε κάποιο βαθμό και από τη

σχετική ταχύτητα των δύο επιφανειών και ελαττώνεται όσο αυξάνεται η ταχύτητα αποκτώντας τελικώς μια σταθερή τιμή. Πολλές φορές αγνοούμε αυτή τη μεταβολή με την ταχύτητα ή ακόμη θεωρούμε ότι s kn n n . Όμως ένεκα της διαφοράς των sn και kn

συνιστάται στους οδηγούς να μην πατούν συνέχεια το φρένο οχήματος που ντελαπάρει σε γλιστερό δρόμο αλλά να το πατούν και να το αφήνουν ρυθμικά, έτσι οι ρόδες δεν γλιστρούν και υπεισέρχεται στο φαινόμενο ο κάπως μεγαλύτερος συντελεστής τριβής ολίσθησης με καλύτερα αποτελέσματα πρόσφυσης των ροδών στο έδαφος. Αυτό σήμερα το κάνουν αυτόματα συστήματα που έχουν ενσωματωθεί στο σύστημα πέδησης των σύγχρονων αυτοκινήτων.

1.4 Κίνηση υλικού σημείου Έστω υλικό σημείο (σταθερής) μάζας m που κινείται με ταχύτητα πάνω στο οποίο

ασκείται κάποια δύναμη F

, Σχ. 1.3. Ξέρουμε ότι ισχύει 2

2

dp d d rF m m

dt dt dt

Από τον ορισμό της παραγώγου εύκολα προκύπτει ότι για τυχαίο σταθερό άξονα Οn μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση,

2n n n

n 2

dp d d rF m m

dt dt dt

(1.6)

Ο δείκτης n υποδηλώνει τις προβολές των αντίστοιχων διανυσματικών ποσοτήτων. Είναι ευνόητο ότι μπορεί κανείς με χρήση της Εξ.(1.6) να εξετάσει την κίνηση της προβολής του σωματίου πάνω σε τυχαίο σταθερό άξονα, αρκεί να λάβει ως αρχικές συνθήκες, κάποια αρχική στιγμή που συνήθως θεωρούμε τη χρονική στιγμή 0t , τις προβολές των διανυσμάτων θέσης του υλικού σημείου και τις αντίστοιχες ταχύτητές του.

15

Σχήμα 1.3 Συνήθως, στην πράξη, µελετούµε τις κινήσεις των προβολών σε τρεις ορθογώνιους µεταξύ τους άξονες που αποτελούν τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων, καρτεσιανό σύστημα. Στο επίπεδο έχει κανείς µόνο δύο άξονες. Μια απλή εφαρµογή είναι η βολή υλικού σηµείου κοντά στην επιφάνεια της γης όπου η βαρύτητα είναι σταθερή. Σχήμα 1.4 Θεωρούµε προφανές ότι έχουµε επίπεδη κίνηση. Παίρνουµε τους άξονες Ox, Oy, σταθερούς στο επίπεδο της κίνησης όπως αίνεται στο Σχ. 1.4. Τη χρονική στιγµή t = 0 το κινητό βρίσκεται στη θέση 0 0,x y και έχει αρχική ταχύτητα 0 που σχηµατίζει µε

τον άξονα Ox γωνία θ. Τη χρονική στιγµή t το κινητό βρίσκεται στη έση x, y. ΄Εχουµε για τον άξονα Ox, 0 = md2x/dt2 και για τον Oy, -mg = md2y/dt2. (Υποθέτουµε ότι το σύστηµα αναφοράς είναι αδρανειακό οπότε ισχύει ο 2ος νόµος του Νεύτωνα). ΄Εχουµε να λύσουµε τη διαφορική εξίσωση

2

2

d

d

ym mg

t , (1.7)

µε αρχικές συνθήκες, t = 0, 0 0 0, d / d sinyy y y t και τη διαφορική εξίσωση

2

2

d0

d

xm

t (1.8)

µε αρχικές συνθήκες, t = 0, 0 0 0, d / d cosxx x x t . Κατά τα γνωστά έχουµε τις

γενικές λύσεις,

16

2

1 22

gty c t c και 3 4x c t c .

Για να ικανοποιήσουµε τις αρχικές συνθήκες παίρνουµε τις πρώτες παραγώγους, οπότε βρίσκουµε:

1

d

d

ygt c

t , 3

d

d

xc

t

Θέτοντας όπου t = 0 έχουµε το σύστηµα εξισώσεων που ακολουθεί, από όπου προσδιορίζουµε τις σταθερές,

0 2 0 4, y c x c

0 1 0 3sin , cosc c

Άρα τελικώς :

0 0

2

0 0

cos

sin .2

x x t

gty y t

(1.9)

Μπορεί να δείξει κανείς ότι αν το υλικό σηµείο βάλλεται µε αρχική ταχύτητα µέτρου 0

αλλάζοντας τη γωνία θ µπορεί να πλήξει µόνο ορισµένη περιοχή του επιπέδου που βρίσκεται στο εσωτερικό καµπύλης που καλείται παραβολή ασφαλείας. ΄Ολα τα σηµεία του εσωτερικού µπορούν να βληθούν αν η γωνία βολής είναι κάποια ορισµένη γωνία θ ή η συµπληρωµατική της 90° - θ. Η µικρότερη από τις γωνίες βολής που πλήττουν ένα σηµείο οδηγεί σε τροχιά του υλικού σηµείου που λέγεται ευθύφορος. Η τροχιά εκείνη που αντιστοιχεί στη µεγαλύτερη γωνία βολής λέγεται επισκηπτική. 1.5 Αρχή ανεξαρτησίας (ή επαλληλίας) των κινήσεων

΄Εστω ότι οι συναρτήσεις ( )u είναι λύσεις των (διαφορικών) εξισώσεων,

2

2

d d( ) , 1,2,...,

d dA u a b c n

u u

(1.10)

όπου για 0u u έχομε (αρχικές συνθήκες):

0 0

d d( ), ( )

d du u

u u

(1.11)

17

Έστω ( ) ( )A u A u

τότε η ( ) ( )u u

είναι λύση της ίδιας διαφορικής εξίσωσης,

δηλαδή της

2

2

d d( )

d dA u a b c

u u

(1.12)

µε αρχικές συνθήκες (για 0u u )

0 0 0 0

d d d( ) ( ), ( ) ( ).

d d du u u u

u u u

(1.13)

Η απόδειξη γίνεται με απλή αντικατάσταση και στηρίζεται στη γραµµικότητα των διαφορικών εξισώσεων που εξετάζουµε. Γενικώς, αν δε μας ενδιαφέρουν οι αρχικές συνθήκες, κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων με σταθερούς συντελεστές είναι λύση της (διαφορικής) εξίσωσης. Στη Μηχανική που μας ενδιαφέρει εδώ, τα είναι συντεταγμένες θέσης κατά μήκος κάποιου άξονα, το a είναι η μάζα a m , το b είναι ο συντελεστής τριβής, το c k είναι η σταθερά επαναφοράς, το u είναι ο χρόνος, u t και τα ( ) ( )A t F t είναι δυνάμεις. Πρόκειται για αρμονικό ταλαντωτή με (εξωτερική) διέγερση. Αν έχομε τη διανυσματική εξίσωση κίνησης

(1.14)

μπορούμε να αναλύσομε τα διανύσματα σε συνιστώσες (συντεταγμένες) κατά μήκος συστήματος ευθύγραμμων συντεταγμένως που γενικώς δεν είναι ορθογώνιο (δηλαδή δεν είναι, γενικώς, καρτεσιανό). Έστω ότι 1,2,3ir i είναι οι τρεις συνιστώσες θέσης κατά μήκος των σταθερών αξόνων του πλαγιογώνιου συστήματος και iF οι αντίστοιχες συνιστώσες δύναμης. Παρατηρούμε ότι η διανυσματική διαφορική εξίσωση Εξ. (1.14) είναι ισοδύναμη με τρεις γραμμικές εξισώσεις που αντιπροσωπεύουν την κίνηση κατά μήκος των τριών αξόνων, ουσιαστικά πρόκειται για την ίδια διαφορική εξίσωση. Δηλαδή έχομε

(1.15)

Είναι ευνόητο ότι στην ανωτέρω γενική περίπτωση υπάγεται και η αρχική όπου όλα τα διανύσματα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Μια απλή εφαρµογή είναι η περίπτωση του κυνηγού και του πιθήκου. Μπορεί κανείς στο πρόβληµα αυτό να αναλύσει τη δύναµη βαρύτητας mg

στο σύστημα του Σχ. 1.5 σε

δύο συνιστώσες -mgy κατά την κατακόρυ ο και µηδέν κατά την OO'. Επίσης, αναλύει την αρχική ταχύτητα σε συνιστώσα κατά την OO' ίση µε 0 και µηδενική κατά τον άξονα Oy. Η αρχική έση παίρνεται 0 και για τις δύο διευθύνσεις. ΄Ετσι έχει να λύσει δύο απλά

2

2

d d( )

d d

r rF t m b kr

t t

2

2

d d( ) , 1,2,3

d di i

i i

r rF t m b kr i

t t

18

ανεξάρτητα προβλήµατα, ένα ευθύγραµµης ισοταχούς κίνησης κατά την OO' και ένα οµαλά Σχήμα 1.5 επιταχυνόµενης ευθύγραµµης κίνησης κατά τον Oy µε µηδενική αρχική ταχύτητα. Η σύνθεση των δύο κινήσεων κάθε στιγµή δίνει τη συνολική κίνηση. Εδώ τα b και k είναι ίσα µε µηδέν. 1.6 Διατήρηση της ορμής συστήματος υλικών σημείων

Εστω σύστηµα σωματίων όπως αίνεται στο Σχ.1.6, µε ορµές 1 2, ,...p p

. ΄Εστω ότι το

σωμάτιο j ασκεί δύναµη ijF

πάνω στο υλικό σηµείο i. ΄Εστω ακόµη ότι πάνω στο i ασκείται και δύναµη extiF

που δεν οφείλεται σε κανένα από τα υπό εξέταση υλικά σηµεία,

είναι εξωτερική δύναµη. Σχήμα 1.6 Η συνολική δύναµη iF

που ασκείται πάνω στο i α είναι το άθροισµα όλων των ανωτέρω

δυνάµεων. ΄Εχουµε από το 2ο νόµο του Νεύτωνα,

d

di

i

pF

t

. (1.16)

Εφόσον exti i ijji j

F F F

καταλήγομε στη σχέση

19

ext

d

di

i ijji j

pF F

t

(1.17)

Αν αθροίσουµε τις εξισώσεις αυτής της µορφής για όλα τα σωµάτια, δηλαδή για κάθε i έχουµε:

ext

d d

d di

i ij ii i j i i

i j

pF F p

t t

Παριστάνουµε µε ext extii

F F

το άθροισµα όλων των εξωτερικών δυνάµεων που

ασκούνται πάνω στα σωµάτια και με tot ii

p p το άθροισµα όλων των ορµών των

σωµατιδίων. ΄Εχουµε τότε (υποθέτοντας ότι για τις εσωτερικές δυνάµεις ισχύει η αρχή

∆ράσης - Αντίδρασης, οπότε , ij jiF F i j

) τη σχέση :

totext

d

d

pF

t

, (1.18)

αυτό ισχύει διότι 0iji j

i j

F

.

Αν ext 0F

τότε ισχύει :

tottot

d0 οπότε σταθ.

d

pp

t

∆ηλαδή, αν δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάµεις και οι εσωτερικές δυνάµεις των υλικών σηµείων υπακούουν στην αρχή ∆ράσης - Αντίδρασης το άθροισµα των ορµών (η ολική ορμή του συστήματος) είναι σταθερό διάνυσµα με το χρόνο. Φυσικά αν δεν υπάρχουν ούτε εσωτερικές δυνάµεις το ίδιο συµπέρασµα είναι προφανώς σωστό. Παραδείγµατα διατήρησης ορµής µπορεί να έχει κανείς σε ελαστικές ή ανελαστικές κρούσεις ή στην έκρηξη (διάσπαση) ενός βλήµατος σε πολλά τεµάχια κτλ.

1.7 Καµπυλόγραµµη κίνηση σηµείου

(α) ∆ιανυσµατική µέθοδος ΄Εστω ότι η τροχιά ενός σηµείου είναι η c (όχι επίπεδη γενικά) όπως αίνεται στο Σχ. 1.7. ΄Ενα κινητό βρίσκεται τη χρονική στιγµή t στη έση A και τη χρονική στιγµή t + ∆t στη έση 1 .

20

Σχήμα 1.7 Η µέση ταχύτητα µεταξύ των δύο αυτών χρονικών στιγµών είναι :

1 1av

AA r r r

t t t

και είναι διάνυσµα κατά µήκος της χορδής 1AA . Αν εωρήσουµε ότι 0t , τότε ορίζουµε τη στιγµιαία ταχύτητα κατά τη χρονική στιγµή t στο σηµείο A ως :

0

d ( )( ) lim

dt

r r tt

t t

Καθώς το σηµείο 1A πλησιάζει το A, η χορδή 1AA τείνει να πάρει οριακή έση κατά τη διεύθυνση της εφαπτόµενης της καµπύλης στο σηµείο A. Αν παραστήσουµε µε e

το

µοναδιαίο διάνυσµα στο σηµείο αυτό, κατά τη διεύθυνση της εφαπτόµένης,όπως αίνεται στο Σχ. 1.7, τότε έχομε

d d

, όπου είναι το μέτρο της ταχύτηταςd d

r re e

t t

.

Προφανώς ισχύει 1

0lim

t

AA

t

. Το e

εωρήθηκε κατά την ορά της κίνησης. Σε

επίπεδη κίνηση σηµείου προφανώς τα e

και όπως και av είναι στο επίπεδο κίνησης

όπου είναι και το r

. Έστω μια καμπύλη c στο χώρο όπως φαίνεται στο Σχ. 1.8 η οποία διαγράφεται από ένα κινητό. Σχήμα 1.8

21

Αν το κινητό τη χρονική στιγµή t είναι στη έση A και έχει στιγµιαία ταχύτητα και τη χρονική στιγµή t + ∆t είναι στη έση 1A µε στιγµιαία ταχύτητα 1

, ορίζουµε ως µέση

επιτάχυνση µεταξύ αυτών των δύο χρονικών στιγµών (ή έσεων) το διάνυσµα :

1ava

t t

.

Το διάνυσµα αυτό έχει τη διεύθυνση του και γενικά έχει ορά προς το κοίλο της τροχιάς c. Τα 1, ,

και ava

δεν κείνται εν γένει στο ίδιο επίπεδο. Υποθέτουµε τώρα ότι 0t οπότε το σηµείο 1A πλησιάζει το A. Τότε οριακά τα και 1

α τείνουν να

βρίσκονται σε ένα επίπεδο που α διέρχεται από το A και λέγεται εγγύτατο επίπεδο της καµπύλης c στο σηµείο A. Το εγγύτατο επίπεδο είναι το επίπεδο µέγιστης επαφής µε την καµπύλη στο σηµείο A. Για κάθε σηµείο της καµπύλης υπάρχει επίπεδο εγγύτατο εν γένει διαφορετικό. Μόνο σε επίπεδη κίνηση υπάρχει µόνο ένα εγγύτατο επίπεδο για κάθε σημείο, το επίπεδο της τροχιάς. ΄Οταν εποµένως 0t η ava

αποκτά µια οριακή τιµή

επί του εγγύτατου επιπέδου µε ορά προς το κοίλο της καµπύλης c. Προφανώς τα και a

είναι στο ίδιο αυτό εγγύτατο επίπεδο. ΄Εχουµε:

1

0 0

d ( )lim lim

dt t

ta

t t t

.

΄Αρα η ταχύτητα δίνεται από την πρώτη παράγωγο της σχέσης για την κίνηση

( ), ( ) d ( ) / dr r t t r t t

και η επιτάχυνση (στιγµιαία επιτάχυνση) από τη δεύτερη παράγωγο, 2 2d ( ) / da r t t

.Είναι εύκολο, από τον ορισµό της παραγώγου, να δείξει κανείς

ότι αν ( ) d ( ) / dA t B t t

τότε για τις προβολές σε τυχαίο σταθερό άξονα n ισχύει,

nn

d ( )( )

d

B tA t

t . (1.19)

Προσοχή ! το µέτρο της παραγώγου διανύσµατος δεν ισούται µε την παράγωγο του µέτρου.

(β) Μέθοδος συντεταγµένων

(β1) Καρτεσιανές συντεταγµένες.

Η εξίσωση της κίνησης γράφεται,

( ) ( ) ( ) ( )x y zr t x t e y t e z t e

. (1.20)

Τότε (εφόσον τα , ,x y ze e e

είναι σταθερά με το χρόνο διανύσματα) έχομε:

22

d ( ) d ( ) d ( ) d ( )

( )d d d dx y z

r t x t y t z tt e e e

t t t t

(1.21)

άρα, ( ) x x y y z zt e e e

(1.22)

όπου d dy dz

, , d d dx y z

x

t t t είναι οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας κατά τους

τρεις άξονες ή οι προβολές της στους εν λόγω άξονες. Για την επιτάχυνση ( )a t

ισχύουν,

2 2 2 2

2 2 2 2

d ( ) d ( ) d ( ) d ( )( )

d d d dx y z

r t x t y t z ta t e e e

t t t t

, (1.23)

( ) x x y y z za t a e a e a e

,

2 2 2

2 2 2

dd dd d d, ,

d d d d d dyx z

x y z

x y za a a

t t t t t t

(1.24)

(β2) Πολικές συντεταγµένες.

΄Εστω ότι έχουµε επίπεδη κίνηση σηµείου µε κίνηση με ( )r r t

. Αν ( )re t

είναι το

µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη διεύθυνση και ορά που δείχνει το σχήµα και ( )e t

το

µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη διεύθυνση και ορά αύξησης της φ, κάθετο στο re

,

βλ. Σχ. 1.9. Θέλουµε να βρούµε την έκφραση για τη r και όπου ( ) r rt e e

,

δηλαδή τις προβολές της ταχύτητας στους δύο άξονες των re

και e

. Ισχύει

( ) ( ) rr t r t e

Σχήμα 1.9

23

επομένως:

dd d

d d dr

r

er re r

t t t

(1.25)

Πρέπει να βρούµε την ταχύτητα µεταβολής του σταθερού µέτρου (µοναδιαίου) διανύσµατος ( )re t

. Υποθέτουµε ότι το σηµείο βρίσκεται στη έση A τη χρονική στιγµή t

και σε µιαν άλλη έση B τη χρονική στιγµή t + ∆t. Το ( )re t

α γίνει ( )re t t

. Για να βρούµε τη διαφορά αυτών των διανυσµάτων αρκεί να σχεδιάσουµε, µε αρχή το A διάνυσµα παράλληλο του ( )re t t

. Το ( )re t t

είναι του ίδιου µέτρου µε το ( )re t

αλλά στραµµένο κατά ∆φ, όσο είναι στραµµένη η ευθεία OB σε σχέση µε την OA. ΄Αρα αν 0t , το re

α τείνει στο τόξο του κύκλου µε ακτίνα 1re

, µε κέντρο το A που

βλέπει τη γωνία ∆φ. ΄Αρα,

d

d drr

r

ee

e

,

στο όριο 0t το re

α τείνει να σχηµατίσει γωνία 90° µε το ( )re t

, άρα d dr re e e

όπου eείναι µοναδιαίο διάνυσµα, κάθετο στο re

, κατά τη ορά αύξησης του φ. ΄Εχουµε

λοιπόν,

dd d

d d drr

eee e

t t t

,

Εποµένως,

d d d

d d dr

r re r e

t t t

(1.26)

όπου dφ(t)/dt = ω(t) είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σηµείου A περί το O τη στιγµή t. ΄Αρα,

d d

και d dr

rr r

t t . (1.27)

Μπορούµε να υπολογίσουµε την επιτάχυνση r ra a e a e

, δηλαδή να προσδιορίσουµε

τα ,ra a . Με ανάλογο τρόπο όπως προηγουµένως µπορούµε να δείξουµε ότι

d d

d dr

ee

t t

Οπότε τελικώς,

22 2

22 2

d d d d 1 d d( )

d d d d d dr

r ra t r e r e

t t t t r t t

. (1.28)

Άρα ( d / dt ),

24

2

22

d

dr

ra r

t και 21 d

da r

r t . (1.29)

Αν r σταθερό, έχουμε κυκλική κίνηση οπότε:

2 d d,

d dra r a rt t ,

δηλαδή έχομε κεντρομόλο επιτάχυνση (το πρόσημο σχετίζεται με την εκλογή της φοράς του re

) και επιτρόχιο επιτάχυνση.

(γ) Φυσική µέθοδος

Ας υποθέσουµε ότι το κινητό διαγράφει την τροχιά c που αίνεται στο Σχ. 1.10, στο χώρο των τριών διαστάσεων. Η s = s(t) καθορίζει τη έση του σηµείου επί της c Το σηµείο O είναι η αρχή µέτρησης του s που είναι το µήκος από το O στο A, µετρούµενο πάνω στην τροχιά και µε κατάλληλο πρόσηµο, όπως αίνεται στο σχήµα. Το κινητό τη χρονική στιγµή t είναι στη έση A, το s είναι s(t) (µετρούµενο από το O), οπότε s = s(t + ∆t). Από τα προηγούµενα ξέρουµε ότι,

Σχήμα 1.10

Τα µέτρα των 1AA

και s , όταν 0 ( 0)s t , τείνουν να γίνουν ίσα, και το διάνυσµα

1AA

τείνει στην εφαπτόµενη της καµπύλης στο σηµείο A (βλ. Σχ. 1.11). ΄Αρα

1

0lims

AAe

s

όπου το e

είναι µοναδιαίο διάνυσμα. Επίσης,

0

d( ) lim

dt

s st

t t

25

άρα η διανυσματική ταχύτητα είναι

d

( ) ( )d

st e t e

t

όπου ( )t είναι η (βαθμωτή) ταχύτητα, δηλαδή το μέγεθος της ταχύτητας.

Η επιτάχυνση είναι:

2

2

d ( ) d ( )d (t) d ( ) d ( ) d ( )( ) ( )

d d d d d d

e t e ts t s t ta t e e t

t t t t t t

.

Για να υπολογίσομε το d ( )

d

e t

t

σκεφτόµαστε όπως και στα προηγούµενα. Θεωρούµε δύο

χρονικές στιγµές t και t + ∆t κατά τις οποίες το e

είναι αντιστοίχως ( )e t

και ( )e t t

(κατά την εφαπτόµενη στο αντίστοιχο σηµείο). Με αρχή το A έρουµε ένα διάνυσµα (παράλληλο) και ίσο προς το ( )e t t

. Το διάνυσµα ( )e t

µε αρχή το A και το

( )e t t

µε αρχή το B δεν είναι εν γένει στο ίδιο επίπεδο, όταν έχουµε γενική κίνηση

στον τριδιάστατο χώρο, µη επίπεδη κίνηση. Για 0t , έχουµε

d d

d d n

e ee

t t

Σχήμα 1.11

όπου το ne

είναι µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στο e

στο σηµείο A, δηλαδή κάθετο στην εφαπτόµενη της καµπύλης στο A. Σύµφωνα µε όσα είπαµε στα προηγούµενα, το ( )e t

και το ( )e t t

, που έχουν αρχή το σηµείο B, στο όριο 0t τείνουν να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο που είναι το εγγύτατο επίπεδο της καµπύλης στο σηµείο A. Είναι προφανές ότι και το µοναδιαίο διάνυσµα ne

α είναι σε αυτό το ίδιο επίπεδο. Αφού το

( )e t

είναι µοναδιαίο, αν ∆θ είναι η στροφή του ( )e t

µεταξύ των στιγµών t και t t , α έχουµε ότι :

d dd d ( )

άρα d d d d n

e e te

t t t t

.

26

Εποµένως,

2 2

2 2

d d d d d d d( )

d d d d d d dn n

s s s s sa t e e e e

t t t t t s t

Το πηλίκο d ( )

d ( )

t

s t

σε κάθε σηµείο της καµπύλης ορίζει το αντίστροφο της ακτίνας

καµπυλότητας, δηλαδή το 1/ ( )R t στο εν λόγω σηµείο. Η ακτίνα R είναι η ακτίνα του εγγύτατου κύκλου στο σηµείο A. Αυτός ο κύκλος είναι ο κύκλος µέγιστης επαφής µε την καµπύλη στο σηµείο αυτό και βρίσκεται στο εγγύτατο επίπεδο της καμπύλης στο Α. Αν πάρουµε και ένα µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στα ne

και e

στο σηµείο A και

ίσο µε ne e

τότε τα τρία αυτά αυτά μοναδιαία διανύσματα ορίζουν το τρίεδρο του

Fernet στο σηµείο A. ΄Εχουµε λοιπόν,

22 2

2

d 1 d d( )

d d dn n

s sa t e e e e

t R t t R

(1.30)

΄Αρα έχουµε ανάλυση της ( )a t

σε δύο συνιστώσες, µια κατά τη διεύθυνση της εφαπτόµενης της τροχιάς και µια κατά την κάθετο στην εφαπτόµενη που βρίσκεται στο εγγύτατο επίπεδο (αυτή λέγεται πρώτη κάθετος).

ε ε n na a e a e

εa , na είναι η επιτρόχιος και η κεντροµόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης, αντίστοιχα.

Γενικώς, αν έχουµε ένα διάνυσµα σταθερού µέτρου, η παράγωγός του ως προς το χρόνο

δίνει διάνυσµα κάθετο προς το διάνυσµα. Η απόδειξη είναι εύκολη όπως φαίνεται

παρακάτω

2 d d d, 0, 2 0

d d d

A A AA A A A A A

t t t

άρα αν το A

µεταβάλλεται µε το χρόνο πρέπει τα A

και d

d

A

t

να είναι κάθετα μεταξύ

τους.

Ισχύουν

d d

0 cos 0d d

A AA A

t t

, cos 0, π / 2 .

27

1.8 Περιστροφική κίνηση διανύσµατος σταθερού µέτρου περί άξονα Σχήμα 1.12

Έστω ότι το διάνυσµα B

, όπου B σταθερό, στρέφεται περί τον άξονα AA", όπως

αίνεται στο Σχ. 1.12. Προφανώς το άκρο αυτού του διανύσµατος διαγράφει µέρος περιφέρειας του κύκλου που αίνεται στο σχήµα. Αυτός ο κύκλος είναι κάθετος στον

άξονα AA". A' είναι το κέντρο του κύκλου. ( ) ( )B B t t B t

και στο όριο που

0t ενώ B

σταθερό, έχουµε d dB h e

όπου e

είναι µοναδιαίο διάνυσµα κατά

την εφαπτόµενη του κύκλου στο άκρο του διανύσµατος B

τη χρονική στιγµή t, h είναι το µέτρο της προβολής του B

πάνω στο επίπεδο του κύκλου (σε μια ακτίνα του κύκλου).

΄Αρα,

d ( ) d

d d

B th e

t t

Παριστάνουµε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής µε το διάνυσµα ( )t πάνω στον

άξονα περιστροφής. Έχομε d

( )d At et

, όπου Ae

το μοναδιαίο διάνυσμα κατά μήκος

του άξονα AA . Εφόσον sinh B καταλήγομε στη σχέση

d ( )

( ) ( )d

B tt B t

t

. (1.31)

Η περιστροφή και η ορά του ( )t είναι συµβιβαστά µε στροφή και µετακίνηση δεξιόστροφου κοχλία. Η παραπάνω σχέσει για το ρυθμό μεταβολής ισχύει γενικώς για κάθε στρεφόμενο διάνυσμα σταθερού μέτρου. Αν το B

είναι διάνυσµα έσης, ( )r t

, τότε

η ταχύτητά του είναι

d

( ) ( )d

rt r t

t

. (1.32)

28

Αν το B

είναι ταχύτητα κάποιου σηµείου, ( )t , τότε η επιτάχυνσή του είναι

d ( )

( ) ( ) ( )d

ta t t t

t

. (1.33)

Αν το , σταθερόB A A

, τότε

d

0d

A At

.

1.9 ∆ιατήρηση της Ενέργειας

Υποθέτουµε ότι σε ένα υλικό σηµείο µάζας m ασκείται µια δύναµη ( , , )F F r t

. Τότε έχουµε,

d

d

pF

t

, d

dF m

t

, p m

.

Αν το σωµατίδιο κινείται κατά dr

σε χρόνο dt , µπορούµε να γράψουµε:

d

d dd

F r m rt

ή

dd d = d

d

rF r m m

t

(1.34)

Ολοκληρώνοντας την τελευταία σχέση µεταξύ δύο χρονικών στιγµών 1t και 2t οπότε

εφόσον ισχύουν 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ), ( ), ( ), ( )r r t r r t t t

, έχουμε

2 2

1 1

d dr

r

F r m

,

2 2 2

1 1 1

2 2 2 22 1

1 1d d d

2 2 2

r

r

mF r m m

. (1.35)

Η ποσότητα

21

2T m

είναι η κινητική ενέργεια του υλικού σηµείου. dF r

είναι το στοιχειώδες έργο της

δύναµης που µπορεί να γραφτεί και ως

d

d dd

rF t F t

t

29

(οπότε η ολοκλήρωση µπορεί να γίνει και ως προς t ). Το ολοκλήρωµα 2

1

dr

r

F r

δίνει το

έργο που εκτελεί η δύναμη επί του υλικού σημείου το οποίο μετακινεί από τη έση 1r

στη έση 2r

. Αυτό το έργο εξαρτάται και από τους χρόνους 1t και 2t και γενικώς από τη

διαδροµή. Το συµπέρασµα είναι ότι, η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του υλικού σηµείου είναι ίση µε το έργο της δύναµης πάνω στο σηµείο κατά τη µετακίνησή του

µεταξύ των δύο έσεων. Αν ορίσει κανείς το dF t

ως τη στοιχειώδη ώθηση της δύναµης, τότε εύκολα προκύπτει ότι,

2

1

2 2 1 1d ( ) ( )t

t

F t p t p t

,

δηλαδή η ολική ώθηση της δύναµης µεταξύ 1 2, t t είναι ίση µε τη µεταβολή της ορµής κατά το αυτό χρονικό διάστηµα. Για σύστηµα υλικών σηµείων έχουµε,

2

1

2 22 1

1 1d

2 2

ir

i i i i i ii i ir i

F r m m

. (1.36)

∆ηλαδή το άθροισµα των έργων όλων των δυνάµεων που δρουν πάνω στα διάφορα υλικά σηµεία του συστήµατος (εσωτερικές και εξωτερικές) είναι ίσο µε τη µεταβολή της ολικής κινητικής τους ενέργειας (της ολικής κινητικής ενέργειας του συστήματος) στους αντίστοιχους χρόνου.

1.10 ∆υναµική Ενέργεια. ∆ιατήρηση της Ενέργειας

Ας υποθέσουµε τώρα ότι η δύναµη εξαρτάται µόνο από τη έση του υλικού σηµείου

πάνω στο οποίο ασκείται, δηλαδή ( )F F r

. Τότε το έργο της δύναµης κατά μια

διαδρομή που ενώνει δύο σηµεία 1 και 2 µε διανύσµατα έσης 1 2, r r

αντιστοίχως, είναι 2

1

dr

r

F r

. Γενικά το έργο α εξαρτάται από το δρόµο ολοκλήρωσης (τροχιά του υλικού

σηµείου). Αν έχουµε τέτοια περίπτωση που το έργο εξαρτάται µόνο από την αρχική έση και την τελική έση, δηλαδή το 1r

και το 2r

, τότε

2

1

2 1d ( , )r

r

F r f r r

(1.37)

30

Αν υποθέσουµε ότι το σηµείο 1 0r r

είναι κάποιο σηµείο αναφοράς, σταθερό για τη

συγκεκριμένη περίπτωση, τότε µπορούµε να δώσουµε τον ορισµό της δυναµικής ενέργειας ( )V r

του υλικού σηµείου σε κάθε σημείο r

, µετρούµενης ως προς το σηµείο

αναφοράς 0r

. Συγκεκριμένα, ορίζεται ως δυναµική ενέργεια η ποσότητα,

0

( ) ( ) dr

r

V r F r r

(1.38)

επίσης ισχύει ddV F r

. (1.39)

Δηλαδή, η στοιχειώδης µεταβολή της δυναµικής ενέργειας είναι ίση µε µείον το

στοιχειώδες έργο της δύναµης. Οµως d dV V r

, όπου ( )V r

είναι η κλίση

(gradient) της βαθµωτής συνάρτησης ( )V r

. ΄Αρα ( )F V r

. Είναι ευνόητο ότι για

κάθε κλειστό δρόµο c έχουµε d 0c

F r και µε εφαρµογή του νόμου του Stokes,

nd dS c

A e S A l , καταλήγομε στη σχέσηου 0F

.

Η δύναµη F λέγεται συντηρητική. Σύµφωνα µε όσα είπαµε προκύπτει για ότι για συντηριτικές συντηρητικές ισχύει

2

1

2 22 1 2 1

1 1d ( ) ( )

2 2

r

r

F r V r V r m m

άρα

2 2 21 1 2 2 tot

1 1 1( ) ( ) ( ) σταθερό

2 2 2V r m V r m V r m E

. (1.40)

∆ηλαδή το άθροισµα της δυναµικής και κινητικής ενέργειας σε περίπτωση συντηρητικών δυνάµεων ορίζει την ολική µηχανική ενέργεια που παραµένει σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Είναι προφανές ότι ανάλογα ισχύουν για συστήµατα υλικών σηµείων που και οι εσωτερικές και οι εξωτερικές δυνάµεις είναι συντηρητικές. Τότε υσικά µιλάµε για τη διατήρηση της ολικής μηχανικής ενέργειας που είναι το άθροισµα της ολικής κινητικής και της ολικής δυναμικής ενέργειας, οι οποίες είναι τα αθροίσματα όλων των κινητικών και όλων των δυναμικών ενεργειών αντιστοίχως. Γενικότερα, μπορεί να υπάρχει ( , )V V r t

δηλαδή που να εξαρτάται και από το χρόνο και να ισχύει ( , ) με σταθερόF V r t t

.

Σε αυτή την περίπτωση συνιθίζεται η δυναμική ενέργεια να λέγεται δυναμική συνάρτηση παρόλο που χρησιμοποιούνται σε κάθε περίπτωση και οι δυο όροι. Ακόμη μπορεί να

31

ονομάζομε και το άθροισμα E T V μηχανική ενέργεια αλλά δεν διατηρείται κατά την κίνηση του υλικού σημείου.

1.11 Κέντρο μάζας

Για το κέντρο μάζας μη σχετικιστικά ισχύουν τα παρακάτω. Αν έχουµε σύστηµα υλικών

σηµείων ορίζουµε ως κέντρο µάζας του συστήµατος το σηµείο cmR

που προσδιορίζεται

από τη σχέση :

cm

i ii

ii

m rR

m

(1.41)

όπου cm, ir R

είναι τα διανύσµατα έσης των σηµείων i και του κέντρου µάζας

αντιστοίχως. ii

m M είναι η µάζα του συστήματος, δηλαδή το άθροισμα των μαζών

όλων των σωµατίων. Αν τα σωµάτια κινούνται και εν γένει ασκούνται πάνω τους εσωτερικές δυνάµεις που υπακούουν στην αρχή ∆ράσης - Αντίδρασης και εξωτερικές δυνάµεις τότε, αφού

cmcm

dd d

d

ii i i

i i i

ii

rm p

R PtVt m M M M

(1.42)

P

είναι η συνολική ορμή του συστήματος.

Έχομε επομένως

2

cm cmex2

d 1 d d 1,

d d d

V P RF

t M t t M

(1.43)

αφού έχουµε δείξει σε προηγούμενα ότι ex

d

d

PF

t

.

Συμπεραίνομε ότι το κέντρο µάζας κινείται όπως υλικό σηµείο πάνω στο οποίο ασκείται η συνισταµένη όλων των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στα υλικά σηµεία. Αν

ex 0F

τότε το κέντρο µάζας κινείται ευθυγράµµως και ισοταχώς. Ακόµη µπορούµε να

δούµε (µε απλή παραγώγιση της σχέσης ορισµού του κέντρου µάζας) ότι

32

cmd

d ii

RM p P

t

(1.44)

δηλαδή η ορµή του συστήµατος είναι ίση µε την ορµή υλικού σηµείου µάζας M που κινείται µε την ταχύτητα του κέντρου µάζας. Η διατήρηση της ορµής είναι ισχυρότερο εώρηµα από τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας. Μπορεί να έχει κανείς διατήρηση ορµής συστήµατος και όταν ακόµη υπάρχουν µη συντηρητικές δυνάµεις αρκεί αυτές να υπακούουν στην αρχή ∆ράσης - Αντίδρασης. Μπορεί, για παράδειγµα, να έχουµε δυνάµεις που µετατρέπουν µηχανική ενέργεια σε ερµοδυναµική ενέργεια, όπως στις πλαστικές κρούσεις και όταν ασκούνται δυνάμεις τριβής ολισθήσεως. Σε ελαστικές κρούσεις έχουµε συντηρητικές δυνάµεις και διατηρείται και η ολική ορµή και η ολική ενέργεια. Παραδείγµατα εφαρµογής των ανωτέρω έχουµε σε περιπτώσεις συστηµάτων που αποτελούνται από τµήµατα που ανταλλάσσουν µάζα, όπως στην κίνηση πυραύλων, την κίνηση ταινίας µεταφοράς χώµατος κτλ.

1.12 Στροφορµή και ∆ιατήρησή της

Σχήμα 1.13

΄Εστω το υλικό σηµείο µάζας m που έχει ορµή pως προς κάποιο σύστηµα αναφοράς.

΄Εστω σηµείο O που είναι η αρχή του συστήµατος και OA r

το διάνυσµα που αίνεται στο Σχ.1.13 (διάνυσµα έσης του κινητού). Ορίζουµε ως στροφορµή του m περί το O το διάνυσµα

L r p mr

(1.45)

όπου η ταχύτητα της µάζας m . Το L

είναι διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο των r

και p

και µαζί τους αποτελεί δεξιόστροφο σύστηµα ( , ,r p L

). Αν πάνω στο σωµάτιο στη έση A ασκείται δύναµη F

ορίζουµε ως ροπή της δύναµης F

περί το σηµείο O το

διάνυσµα N r F

. Λέμε ότι η στροφορµή είναι η ροπή της ορµής p

περί το O. ΄Εχουµε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, (δεχόµαστε ότι το σύστηµα αναφοράς είναι αδρανειακό),

33

d

d

pF

t

πολλαπλασιάζοντας επί r

εξωτερικά εξ αριστερών έχουµε,

d

d

pr F N r

t

Οπότε

d d

d d

pr F N r mr

t t

,

από τον ορισµό της στροφορµής έχουµε επίσης,

d d d

d d d

dL rm mr m mr

dt t t t

,

όµως 0

άρα,

d

ή d

dL dLmr N

dt t dt

. (1.46)

Το ίδιο ισχύει και σχετικιστικά αφού τότε 2

1

mp

c

,

2

d d d d0

d d d d1

dL r p p pp r m r r

dt t t t t

c

∆ηλαδή ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής είναι ίσος µε τη ροπή της δύναµης που ασκείται στο εξεταζόµενο υλικό σηµείο. Αν 0N

τότε η στροφορµή περί το δεδοµένο

σηµείο διατηρείται. ΄Οσα αναφέραµε ισχύουν σίγουρα για αδρανειακό σύστηµα αναφοράς για το οποίο ξέρομε ότι ισχύει ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα. Αν έχουµε κεντρική δύναµη που πάντα κατευθύνεται σε σταθερό σηµείο τότε 0N

περί

αυτό το κέντρο της δύναµης, οπότε σταθερόL

περί αυτό το σημείο, καθόλη τη διάρκεια της κίνησης του υλικού σηµείου.

34

1.13 Ροπές εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων συστήµατος υλικών σηµείων Όσα ακολουθούν είναι μη σχετικιστικά. Ας υπολογίσουµε το ρυθµό µεταβολής µε το χρόνο της ολικής στροφορµής συστήµατος σωµατίων περί σηµείο O, το οποίο εν γένει

κινείται. Για τη στροφορµή oiL

του σωµατίου i περί το O, αν ir

είναι το διάνυσµα έσης

του ως προς το αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων που χρησιµοποιούµε και orτο

διάνυσµα έσης του σηµείου O ως προς το ίδιο σύστηµα (γενικότερος ορισµός στροφορµής), τότε

o o( )i i iL r r p

. (1.47)

Ισχύει ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για το σωµάτιο i, στο οποίο ασκούνται η

εξωτερική δύναµη exiF

και εσωτερικές δυνάμεις ijF

τις οποίες οφείλονται στα άλλα

σωµάτια j του συστήµατος,

exi

i ijjj i

dpF F

dt

. (1.48)

'

Πολλαπλασιάζουµε εξωτερικά επί o( )r r

από τα αριστερά οπότε,

o o ex o

d( ) ( ) ( )

di

i i i i ijjj i

pr r r r F r r F

t

∆ιαφορίζοντας τη σχέση (1.45) για τη στροφορµή έχοµε,

o oo

d d d d( )

d d d di i i

i i i

L p r rr r p p

t t t t

(1.49)

όπου ο δεύτερος όρος στο δεξί µέλος µηδενίζεται διότι d

di

i i

rp m

t

και

d

dir

t

είναι συγγραµµικά. Με τη χρήση και της προηγούµενης σχέσης παίρνουµε,

o oo ex o

d d d( ) ( )

d d di i

i i i ij ijj i

L p rr r F r r F p

t t t

. (1.50)

Αν o oii

L L

είναι η ολική στροφορµή περί το Ο και o o ex( )i ii

N r r F

είναι η ολική

ροπή των εξωτερικών δυνάµεων περί το Ο, έχουµε αθροίζοντας την τελευταία διαφορική σχέση πάνω σε όλα τα σωµάτια,

35

o oo o

d d( )

d di iji j

j i

L rN r r F P

t t

(1.51)

όπου ii

P p

είναι η ολική ορµή που έχει τη διεύθυνση και ορά της ταχύτητας του

κέντρου µάζας.

Ο νόµος του Νεύτωνα ∆ράσης - Αντίδρασης λέει ότι ij jiF F

και επίσης λέει ότι οι

δυνάµεις κείνται στην ευθεία (φορέα) που ενώνει τα δύο υλικά σηµεία τα οποία αλληλεπιδρούν. ΄Αρα το o o( ) ( )i j i jr r r r r r

είναι συγγραµµικό διάνυσµα µε τις

ijFκαι jiF

, επομένως

o o o o( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0i ij j ji i ij j ij i j ijr r F r r F r r F r r F r r F

.

Άρα

o oo

d d

d d

L rN P

t t

. (1.52)

∆ηλαδή στη σχέση για το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής υπεισέρχονται µόνο οι ροπές των εξωτερικών δυνάµεων και οι ταχύτητες είναι ως προς το αδρανειακό σύστηµα.

Αν η ταχύτητα του Ο, od

d

r

t

, είναι κατά τη διεύθυνση του P

ή είναι µηδέν,

τότε ο τελευταίος όρος στο δεύτερο µέλος της τελευταίας σχέσης είναι µηδέν. Σε αυτή την περίπτωση έχουµε την πιο γνώριμη σχέση.

oo

d

d

LN

t

. (1.53)

∆ηλαδή ισχύει ανάλογος τύπος που ισχύει για υλικό σημείο. Προσοχή ! στη σχέση αυτή υπεισέρχονται µόνο οι ροπές των εξωτερικών δυνάµεων και οι ταχύτητες είναι ως προς το αδρανειακό σύστηµα.

1.14 Στροφορµή περί το κέντρο µάζας

Θεωρούμε ότι όλα αναφέρονται σε συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς που το λέμε απόλυτο σύστημα αναφοράς..

Για την ολική στροφορµή συστήµατος σωµατίων περί τυχαίο σημείο Ο (γενικώς κινούμενο) έχοµε

o i i ii

L m r

.

36

i

είναι η ταχύτητα του σωματίου i ως προς το συγκεκριμένο απόλυτο σύστημα

αναφοράς. Το ir

είναι το διάνυσμα από το Ο μέχρι το σωμάτιο i και µπορεί να

γραφτεί ως άθροισµα

A Ai ir r r

όπου Arείναι το διάνυσμα από το Ο μέχρι κάποιο (γενικώς) κινούμενο σηµείο

A και Air

διάνυσμα που ξεκινά από το σηµείο A και καταλήγει στο υλικό

σηµείο i . ΄Ευκολα προκύπτει ότι κάθε μια χρονική στιγμή ισχύουν για τη στροφορμή περί το Α και Ο αντιστοίχως,

A Ai i ii

L m r

και o A AL L r P

(1.54)

όπου cmi ii

P m MV

είναι η ολική ορµή του συστήµατος, ii

M m είναι η

ολική μάζα του συστήματος και cmV

η ταχύτητα του κέντρου μάζας.

∆ηλαδή κάθε μια χρονική στιγμή, η ολική στροφορµή περί το O α είναι ίση µε τη στροφορµή του συστήµατος περί το Α συν τη στροφορµή περί το Ο υλικού σηµείου που έχει στιγμιαία ορµή P

που συµπίπτει στιγμιαία µε το σημείο Α (δεν

έχουν κατ ανάγκη την ίδια ταχύτητα!).

Ξαναθυμίζομε ότι οι ταχύτητες i

και επομένως και η ολική ορμή του

συστήματος είναι ως προς το απόλυτο σύστημα αναφοράς.

Ειδική περίπτωση είναι η επιλογή του σηµείου A να είναι το κέντρο µάζας C του συστήµατος. Τότε

cm ci i ii

L m r

(1.55)

Όμως

cm ci iV

,

όπου cmV

η ταχύτητα του κέντρου μάζας ως προς το συγκεκριμένο σύστημα

αναφοράς, ci είναι η ταχύτητα του σωματίου i ως προς σύστημα αναφοράς το

οποίο κινείται με το κέντρο μάζας χωρίς να περιστρέφεται ως προς το προηγούμενο συγκεκριμένο σύστημα (μεταφορική κίνηση). Τα ci που

αναφέρονται στο παραπάνω σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας, είναι οι εσωτερικές ταχύτητες. Από τον ορισμό του κέντρου μάζας εύκολα προκύπτει ότι

37

σε αυτή την περίπτωση η ολική στροφορµή του συστήματος εξαρτάται µόνο από τις εσωτερικές ταχύτητες, δηλαδή

cm c c c c( )i i i i i ii i

L m r m r V

. (1.56)

Πράγματι ο όρος c c c c cc c 0i i i ii i

m r V m r V MR V

Διότι cc 0R

αφού είναι (ουσιαστικά) το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας στο

ανωτέρω σύστημα κέντρου μάζας που προφανώς έχει αρχή το κέντρο μάζας!

άρα cm c ci i ii

L m r

.

Έτσι καταλήγομε ότι μόνο αν το σημείο Α είναι το κέντρο μάζας, ισχύει η σχετικά απλή σχέση

o cm cmL L r P

. (1.57)

Από τα προηγούµενα ξέρουµε ότι για τις ολικές ποσότητες ισχύει,

ex

d

d

LN

t

. (1.58)

Οι ροπές των δυνάµεων και η στροφορµή λαµβάνονται περί σηµείο που ή είναι ακίνητο ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς ή έχει ταχύτητα ίδια µε το κέντρο µάζας του συστήµατος των σωµατίων που εξετάζουµε. Αν το σηµείο αυτό ληφθεί να είναι το κέντρο µάζας τότε ισχύει

cmex,c

d

d

LN

t

. (1.59)

Δηλαδή, στην περίπτωση του κέντρου μάζας η στροφορμή που υπεισέρχεται στη σχέση του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης υπολογίζεται από τις εσωτερικές ταχύτητες.

Προφανώς αυτό ισχύει ανεξάρτητα του αν το κέντρο µάζας επιταχύνεται ή όχι.

∆είξαµε στα προηγούµενα ότι

2

cm cmex 2

d d d

d d d

R PF M M

t t t

. (1.60)

Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι, αν έχομε σύστημα υλικών σημείων μπορούμε να εξετάσομε χωριστά την κίνηση του κέντρου μάζας θεωρούμενου ως υλικού σημείου και χωριστά

38

την κίνηση του συστήματος σχετικά με το κέντρο μάζας, όπου οι ταχύτητες που υπεισέρχονται είναι οι εσωτερικές. Το τελευταίο δεν ισχύει για άλλα σημεία, τότε οι ταχύτητες είναι ως προς το αδρανειακό στο οποίο αναφέρεται και η κίνηση του κέντρου μάζας. 1.15 Κινητική ενέργεια συστήματος υλικών σημείων

Ας εωρήσουµε ότι το διάνυσµα έσης του κάθε σωµατίου i του συστήµατος γράφεται ως

cm ci ir R r

(1.61)

όπου cmR

είναι το διάνυσµα έσης του κέντρου µάζας του συστήµατος και cirείναι το

διάνυσµα από το κέντρο µάζας µέχρι το σωµάτιο i. Ισχύει

cm ccm c

d d d

d d di i

i i

r R rV

t t t

. (1.62)

Το iείναι η ταχύτητα του σωµατίου i ως το σύστηµα σύστημα αναφοράς, cV

είναι η

ταχύτητα του κέντρου µάζας ως προς το ίδιο σύστηµα αναφοράς και ci είναι η ταχύτητα

του σωµατίου i στο σύστημα του κέντρου μάζας που αναφέραμε στα προηγούμενα . Η ολική κινητική ενέργεια του συστήµατος των σωματίων είναι :

2 2cm c

2 2cm c cm c

1 1( )

2 2

1 ( 2 ).

2

i i i ii i

i i ii

T m m V

m V V

(1.63)

Από τον ορισµό του κέντρου µάζας έχουµε,

cm

i ii

m rR

M

Άρα

cm cm c cm c

1 1 1( )i i i i i i

i i i

V m m V V mM M M

(1.64)

οπότε

c 0i ii

m . (1.65)

39

Τα c ci i ip mείναι οι εσωτερικές ορµές των σωματίων του συστήματος, οπότε η ολική

εσωτερική ορµή των υλικών σηµείων στο σύστημα του κέντρου µάζας, που ορίσαμε στα προηγούμενα, είναι µηδέν. Από την έκφραση της kE έχουµε,

2 2cm c cm c

2 2cm c

1 12

2 2

1 1 .

2 2

i i i ii i

i ii

T MV m V m

MV m

(1.66)

∆ηλαδή η ολική κινητική ενέργεια είναι ίση µε την κινητική ενέργεια υλικού σηµείου µάζας Μ ίσης µε το άθροισµα των µαζών των υλικών σηµείων το οποίο κινείται µε ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα του κέντρου µάζας, συν την κινητική ενέργεια των υλικών σηµείων όταν το καθένα κινείται µε ταχύτητα ίση µε την εσωτερική ταχύτητά του (δηλαδή, τη σχετική ως προς το σύστημα του κέντρου µάζας).

1.16 Σύστηµα δύο υλικών σηµείων - Ανηγµένη Μάζα

Είναι προφανές ότι, αν C είναι το κέντρο µάζας ( βλ. Σχ. 1.14), έχουµε:

cm 1 1 c c1 2 2 c c2( ) ( )L m r r m r r

(1.67)

c1 c1 c2 c2, r r

, c1 1 c c2 2 c( ), ( )r r r r r r

cm 1 c1 c1 2 c2 c2( ) ( )L m r r m r r

.

Σχήμα 1.14

Επίσης ισχύουν

40

1 c1 2 c2 c1 c20, m r m r r r r

, άρα

1 c1 2 c1

2 1c1 c2

1 2 1 2

( ) 0

,

m r m r r

m mr r r r

m m m m

(1.68)

1 2cm

1 2

cm

1 2

( )

( )

1 1 1.

m mL r r

m m

L r r

m m

(1.69)

όπου µ είναι η ανηγµένη µάζα.

Σύµφωνα µε τα προηγούµενα έχομε,

cmex ex1 ex2

d

d

LN N N

t

(1.70)

όπου οι ροπές είναι περί το κέντρο μάζας.

Ισχύουν επίσης οι σχέσεις

2 21 2

1 1 2 22 2

2 2ex1 21 2 1 2 12 21

2 21 2 1 1 2 2

d d,

d d

d ( ) d

d dex

r rm F m F

t t

F Fr r F F F Fr

t t m m m m m m

(1.71)

όμως 12 21F F

, επομένως

2

ex1 ex 2122

1 2 1 2

d 1 1

d

F FrF

t m m m m

. (1.72)

Αν ισχύει

ex1 ex 2

1 2

0F F

m m

, (1.73)

τότε καταλήγομε στη σχέση

2

122

d

d

rF

t

. (1.74)

και εποµένως

41

Έχομε αναγωγή του προβλήματος της σχετικής κίνησης των δυο σωματίων σε κίνηση ενός υλικού σημείου. Το πρόβλημα της κίνησης δυο σωματίων ανάγεται σε δυο προβλήματα ενός σωματίου, το ένα αναφέρεται στην κίνηση του κέντρου μάζας και το άλλο στη σχετική κίνηση (του ενός ως προς το άλλο) των δυο σωματίων.

1.17 Ροπή διανύσµατος περί σηµείο

Σχήμα 1.15

Ορίζουµε ως ροπή του διανύσµατος A

περί το σηµείο O, Σχ. 1.15, το µέγεθος P

που

δίνεται από τη σχέση, P r A

όπου το r

είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου B

σχετικά με το Ο. Αν C είναι τυχαίο σηµείο του ορέα του διανύσµατος A

μπορούµε να γράψουµε 1 2r r r

, άρα

1 2 1 2( )P r r A r A r A

, (1.75)

όµως 2 0r A

διότι τα 2r

και A

είναι μεταξύ τους συγγραµµικά. Εποµένως, 1P r A

.

Αν το A

είναι δύναµη, έχουµε τη συνηθισµένη ροπή δύναµης περί σηµείο, αν το A

είναι η ορµή έχουµε τη στροφορµή περί σηµείο.

42

1.18 Ροπή διανύσµατος περί άξονα

Ορίζουµε ως ροπή διανύσµατος περί άξονα την προβολή πάνω στον άξονα της

ροπής του διανύσµατος περί ένα τυχαίο σηµείο του άξονα. Από το Σχ.1.16 έχουµε για

τη ροπή np περί τον άξονα On, n n ( )p e r A

. Φανταζόµαστε ότι έρνουµε ένα επίπεδο

κάθετο στον άξονα On που περνά από το σηµείο C (που είναι η αρχή του A

). Η ευθεία

O1C είναι πάνω σε αυτό το επίπεδο και είναι κάθετη στον άξονα On. Αναλύουµε το A

σε

τρεις διανυσματικές συνιστώσες κάθετες μεταξύ τους

1 n, , A A A

. Η 1A

είναι στη διεύθυνση O1C, η nA

έχει διεύθυνση παράλληλη µε τον On

και η A

είναι πάνω στο παραπάνω κάθετο στον άξονα On επίπεδο. Η A

είναι κάθετη

στην O1C. Έχουµε, Σχήμα 1.16

n n n 1 1 1 n( ) (OO O ) ( )p e r A e C A A A

(1.76)

άρα

n n 1 1 1 1 n 1 1 1 1 nOO OO OO O O Op e A A A C A C A C A

Προφανώς

1 1 1 nOO 0, OO 0A A

43

επομένως

n n 1 1 n 1 n 1 n n 1(OO ) (OO ) (O C ) (O C )p e A e A e A e A

.

Χρησιμοποιούμε τη σχέση

( ) ( )a b c a b c

(1.77) οπότε ο πρώτος όρος του 2ου µέλους γίνεται,

1n 1 n 1 1(OO ) ( OO ) 0e A e A

εφόσον τα ne

και 1OO

είναι παράλληλα. Το ίδιο ισχύει για τον δεύτερο όρο

1n (OO ) 0e A

.

Για τον ίδιο λόγο όπως προηγουµένως ο τελευταίος όρος γράφεται,

n 1 n n n 1 n n 1(O C ) ( O C) ( ) O C 0e A e A e A

.

Τελικώς,

n n 1 1(O C ) (O C)p e A A

. (1.78)

∆ηλαδή η ροπή είναι ανεξάρτητη από το σηµείο O και ισχύει η γνωστή σχέση που ισχύει για ροπή περί άξονα διανύσµατος το οποίο είναι πάνω σε επίπεδο ενώ ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο αυτό. Μπορεί να βγάλει κανείς και άλλη χρήσιµη σχέση αναλύοντας

το A

στη nA

και σε συνιστώσα πάνω σε επίπεδο κάθετο στην On.

Σχήμα 1.17

44

Από τα ανωτέρω προκύπτει εύκολα ότι αν έχουµε τους άξονες του Σχ. 1.17, η ροπή του A

περί το O µπορεί να αναλυθεί σε τρεις συνιστώσεις που είναι ίσες µε τις ροπές του A

περί

τους τρεις άξονες Ox, Oy, Oz. Συγκεκριµένα έχουµε,

o

( ) ( ) ( )

x y z

x z y y x z z y x

x y z

e e e

p r A x y z e yA zA e zA xA e zA xA

A A A

(1.79)

Η προβολή της ροπής op

στον άξονα x, δηλαδή το oxe p

είναι:

, , x z y y x z z y xp yA zA p zA xA p xA yA (1.80)

Αν το A

είναι η (γραµµική) ορµή, τότε από τα ανωτέρω έχουµε τον ορισµό και στις ιδιότητες της στροφορµής περί άξονα.

1.19 Κεντρική δύναµη - επίπεδη κίνηση

Θα δείξουµε ότι αν η δύναµη που δρα σε υλικό σηµείο είναι της μορφής

( ) ( ) rF r F r e

δηλαδή κεντρική, τότε το σηµείο διαγράφει επίπεδη κίνηση.

΄Εχουµε για τη ροπή N

της κεντρικής δύναµης περί την αρχή των αξόνων που υποθέτουµε ότι είναι το κέντρο της δύναµης,

( ( ) ) ( ) 0r rN r F r F r e F r r e

(1.81)

αφού τα r

και reείναι παράλληλα (συγγραμμικά). ΄Εχουµε λοιπόν από το

εώρηµα της µεταβολής της στροφορµής περί την αρχή των αξόνων,

od0

d

LN

t

(1.82)

επομένως

o σταθερόL mr

. Πολλαπλασιάζουµε εσωτερικά επί r

οπότε,

o( ) ( )mr r r L

. (1.83)

Χρησιµοποιούµε τη σχετική ταυτότητα οπότε,

45

o( ) ( ) 0mr r m r r r L

. (1.84)

Εποµένως τα r

και oL

είναι κάθετα µεταξύ τους κατά τη διάρκεια της κίνησης. Με τον

ίδιο τρόπο δείχνει κανείς ότι το και το oL

είναι κάθετα μεταξύ τους. Αν διαλέξουµε

τον άξονα Oz (για παράδειγµα) κατά τη διεύθυνση του oL

, που είναι σταθερό διάνυσµα,

έχουµε

o o oz 0zr L L r e L

, (1.85)

όου zr e

είναι η προβολή του r

στον άξονα Oz άρα είναι z . ∆ηλαδή 0z για κάθε

τιµή του χρόνου. Αυτή όµως είναι η εξίσωση επιπέδου κάθετου στον άξονα Oz που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ∆ηλαδή παρόλο που οι άλλες συντεταγµένες του κινητού µπορούν να αλλάζουν µε το χρόνο, η συντεταγμένη z δεν αλλάζει και το κινητό είναι σε ένα επίπεδο που υσικά εξαρτάται από την αρχική (διανυσματική) ταχύτητα του

κινητού ή αλλιώς από το oL

.

2. Μεταφορική και περιστροφική κίνηση στερεού

Ως στερεό ορίζουµε ένα σώµα, σύστηµα υλικών σηµείων, που οι αποστάσεις µεταξύ δύο οποιωνδήποτε σηµείων του είναι σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησής του. ΄Ενα συνεχές στερεό αποτελείται από υλικά σηµεία που έχουν άλλα απείρως κοντά. Μερικές ορές λέµε στερεό και εννοούµε συνεχές στερεό. Πολλές ορές εωρούµε ως στερεό,

σύστηµα σηµείων που δεν είναι υλικά σηµεία, όπως για παράδειγµα, ένα κινούµενο σύστηµα τρισορθογώνιων αξόνων µε όλα τα σηµεία του. Πολλές ορές σε ένα υλικό στερεό προσαρτούµε και µη υλικά σηµεία και ανταζόµαστε έτσι ένα στερεό µε επέκταση.

2.1 Μεταφορική κίνηση

Στη µεταφορική κίνηση στερεού κάθε ευθεία µεταξύ δύο σηµείων του παραµένει συνεχώς παράλληλη προς τον εαυτό της κατά την κίνηση του στερεού.

46

Σχήμα 2.1

Είναι εύκολο να συµπεράνουµε το παρακάτω εώρηµα. Στη µεταφορική κίνηση όλα τα σηµεία του σώµατος κινούνται κατά µήκος οµοίων τροχιών (που α συµπέσουν αν τοποθετηθούν η µία πάνω στην άλλη) και έχουν κάθε χρονική στιγµή την ίδια διανυσµατική ταχύτητα και διανυσµατική επιτάχυνση. Από το Σχ. 2.1 έχουµε

B Ar r AB

(2.1)

εποµένως

B Ad d d

d d d

r r AB

t t t

. (2.2)

Το AB

είναι σταθερό ανεξάρτητο του χρόνου, άρα

d

0d

AB

t

οπότε,

B AB A

d d

d d

r r

t t

.

Ανάλογα ισχύουν για τις δεύτερες παραγώγους οπότε,

2 2

A A B BA B A B2 2

d d d d, ,

d d d d

r ra a a a

t t t t

. (2.3)

Είναι ευνόητο ότι µπορούµε να χαράξουµε ευθείες που ενώνουν οποιαδήποτε δύο σηµεία, οπότε τελικά α βρούµε ότι όλα έχουν ίδια και a

. Γιαυτό, στη µεταφορική

κίνηση στερεού έχει νόηµα να µιλάµε για την ταχύτητα και επιτάχυνση της κίνησης γιατί αυτή είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση οποιουδήποτε σηµείου του σώµατος.

47

2.2 Περιστροφική κίνηση στερεού

΄Ενα στερεό εκτελεί περιστροφική κίνηση αν υπάρχουν δύο σηµεία του σώµατος ή της επέκτασής του που παραµένουν ακίνητα κατά τη διάρκεια της κίνησης.

Σχήμα 2.2 Με τον όρο σώµα, εδώ μπορεί να εννοούµε και την επέκταση του σώµατος. Είναι προφανές, αφού δύο σηµεία ορίζουν µόνο µια ευθεία και όλα τα σηµεία της είναι µέρος στερεού, ότι όλα τα σηµεία της ευθείας που ορίζεται από τα δύο αυτά ακίνητα σηµεία α παραµένουν ακίνητα. Η ευθεία αυτή λέγεται άξονας περιστροφής. ΄Ολα τα σηµεία κινούνται σε περιφέρειες κύκλων κάθετων στον άξονα περιστροφής µε κέντρο το σηµείο τοµής τους µε τον άξονα αυτό. Στο Σχ. 2.2 η γωνία φ καθορίζει πλήρως τη έση του σώµατος. Η γωνιακή ταχύτητα είναι το διάνυσµα που έχει µέτρο

d

dt

.

Η διεύθυνσή του είναι η διεύθυνση του άξονα περιστροφής και η ορά σχετίζεται µε την κίνηση του σώµατος µε τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. Το επίπεδο XDC είναι κάθετο στο σταθερό άξονα AB. ∆x είναι µια σταθερή ευθεία στο επίπεδο αυτό. H γωνιακή επιτάχυνση είναι

2

2

d d d,

d d dt t t

. (2.4)

Αφού ο άξονας AB είναι σταθερός είναι προφανές ότι το α είναι κατά τη διεύθυνση του και του AB.

48

2.3 Ταχύτητα και επιτάχυνση σηµείου στερεού που περιστρέφεται περί σταθερό άξονα

΄Εστω ότι το σηµείο B είναι η αρχή µέτρησης των διανυσµάτων έσης. Το r

καθορίζει τη έση του σηµείου C στο Σχ. 2.2 και το µέτρο του r

παραµένει

σταθερό κατά τη διάρκεια της κίνησης. Από τη σχέση

d

d

AA

t

(2.5)

έχουµε,

d

d

rr

t

. (2.6)

Ισχύουν

ε(DC) , (DC) e

.

2

2

d d d d d( )

d d d d d z

r ra r e r r

t t t t t

. (2.7)

Επομένως

2d( ) ( )

d z r z z ra r e e re e et

(2.8)

2 2ε ε ε n

d dsin sin (DC) (DC)

d dza r e r e e e et t

.(2.9)

Είναι προφανές ότι το εξωτερικό γινόµενο ze e

είναι διάνυσµα µε µέτρο sin θ και

διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο ACB µε ορά που αίνεται στο προηγούµενο Σχήµ. 1.20, αφού ισχύει sinz re e e

. Τα , ze e

είναι κάθετα µεταξύ τους και ισχύει

n ze e e

, όπως αίνεται στο Σχ. 2.2. Από τις προηγούµενες σχέσεις συµπεραίνουµε

ότι,

2d

d (DC) na e et

, (2.10)

Όπου ο πρώτος όρος του δεύτερου μέλους είναι η επιτρόχιος επιτάχυνση και ο δεύτερος η κεντροµόλος επιτάχυνση για την κυκλική κίνηση.

2.4 Επίπεδη κίνηση στερεού

Επίπεδη κίνηση στερεού είναι εκείνη η κίνηση κατά την οποία όλα τα σηµεία του στερεού κινούνται παράλληλα προς ένα σταθερό επίπεδο. Είναι προφανές ότι όλα τα

49

σηµεία που βρίσκονται σε ευθεία κάθετη στο εν λόγω επίπεδο κινούνται µε τον ίδιο τρόπο το καθένα στο δικό του επίπεδο που είναι παράλληλο με τα επίπεδα των άλλων σημείων αυτής της ευθείας. Για την περιγραφή της κίνησης είναι αρκετή η περιγραφή της κίνησης σηµείων που βρίσκονται σε ένα οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο µε το σταθερό επίπεδο. Μπορούµε να µιλούµε για την κίνηση των προβολών των σηµείων του στερεού στο σταθερό επίπεδο ή σε οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο προς αυτό.

Σχήμα 2.3

Είναι ευνόητο ότι για τον προσδιορισµό της έσης του σώµατος αρκεί να δίνεται η έση ενός σηµείου του, για παράδειγµα του A στο Σχ. 2.3 και η γωνία που σχηματίζει µια ευθεία, σταθερή ως προς το στερεό, µε έναν σταθερό άξονα στο σύστηµα αναφοράς. Είναι βολικό η σταθερή ως προς το στερεό ευθεία και η σταθερή ευθεία ως προς το σύστημα αναφοράς να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο που το οποίο είναι παράλληλο προς το σταθερό επίπεδο ως προς το οποίο γίνεται η κίνηση.

Σχήμα 2.4

Ας εωρήσουµε δύο τυχαίες έσεις του στερεού που εκτελεί επίπεδη κίνηση. Τη έση I και τη έση II στο Σχ. 2.4. Μπορούµε να ανταστούµε ότι η κίνηση γίνεται ως

50

εξής, πρώτα µετακινούµε µεταφορικά (στο επίπεδο) το σώµα στη έση III. Κάνουµε τη µετακίνηση έτσι που το σηµείο 1B να πάει στη έση 2B που είναι και η έση του

σημείου αυτού όταν το στερεό είναι στη έση II. Στη συνέχεια στρέφουµε το σώµα περί το 2B έτσι ώστε η ευθεία η σταθερή ως προς το σώµα που είναι αρχικά η B1A1 και

κατόπιν 2 1B A να συµπέσει µε την 2 2B A , οπότε το σώµα είναι στην τελική του έση II.

Η στροφή αυτή γίνεται όπως φαίνεται στο Σχ. 2.4 κατά γωνία 1 , η οποία είναι αντίθετη

προς τους δείκτες του ρολογιού, άρα δεξιόστροφη. Είναι εύκολο να δει κανείς αν διαλέξει άλλη ευθεία, π.χ. την 1 1B C , ότι η µεταφορά και η περιστροφή α είναι πάλι οι ίδιες.

Στη συνέχεια αν διαλέξει αντί του B1 το σηµείο A1 να πάει στην τελική του έση

2A κατά τη µεταφορά τότε η ευθεία A1B1 α πάει στη έση 2 3A B και α χρειάζεται

περιστροφή κατά γωνία 2 1 δεξιόστροφη για να πάει το σώµα στην τελική του

έση II. Το συµπέρασµα που συνάγουµε είναι ότι η επίπεδη µετατόπιση στερεού από µια έση σε άλλη τυχαία θέση µπορεί να γίνει µε διαδοχική µεταφορά του στερεού και περιστροφή περί σηµείο που λέγεται πόλος της περιστροφής. Φυσικά πρόκειται για περιστροφή περί άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο κίνησης που συναντά το επίπεδο στον πόλο. Είναι ευνόητο ότι δεν παίζει ρόλο η σειρά µεταφορά-περιστροφή, δηλαδή µπορούµε πρώτα να περιστρέψουµε και µετά να µεταφέρουµε το σώµα. Φάνηκε ακόµα ότι ενώ η µεταφορά εξαρτάται από τον πόλο, η περιστροφή είναι ανεξάρτητη από τον πόλο που διαλέγουµε. Μπορεί υσικά ο πόλος να µην είναι υλικό σηµείο του σώµατος αλλά να είναι σημείο της (στερεάς) επέκτασής του. Αν έχουµε τυχαία στοιχειώδη µετατόπιση αυτή α µπορεί να εωρηθεί ως επαλληλία µιας στοιχειώδους µεταφοράς και µιας στοιχειώδους περιστροφής. Τότε είναι εύκολο να ορίσουµε στιγµιαία ταχύτητα µεταφοράς και στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Από τα προηγούµενα συνάγεται ότι η ταχύτητα και η επιτάχυνση της µεταφοράς α εξαρτάται από τον πόλο που διαλέγουµε και α είναι η ταχύτητα και επιτάχυνση του πόλου, ενώ η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής και η επιτάχυνση της περιστροφικής κίνησης α είναι ανεξάρτητη του πόλου. Αν είχαµε ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση µεταφορικής κίνησης για κάθε πόλο τότε η κίνηση του στερεού α ήταν µεταφορική χωρίς περιστροφή. Ας πάρουµε µια ευθεία του σώµατος και εωρήσουµε την τυχαία µετατόπιση που αίνεται στο Σχ. 2.5. Φέρουµε τις MI και M I µεσοκάθετες στα AA' και BB . Τα τρίγωνα AIB, A'IB' είναι ίσα, γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες.

Σχήμα 2.5

51

Οι γωνίες τους µε κορυφή το I είναι εποµένως ίσες άρα και οι γωνίες AIA και BIB' είναι ίσες, θ = AIA' = BIB'. Αν το τρίγωνο AIB στραφεί κατά θ = AIA' η AB α λάβει τη έση A'B' και τα τρίγωνα AIB και A'IB' ως ίσα α συµπέσουν. Εποµένως η µετατόπιση επιπέδου σχήµατος στο επίπεδο µπορεί να γίνει δια µιας περιστροφής του σχήµατος περί ένα σηµείο του επιπέδου του, που είναι το κέντρο της περιστροφής (η µεταφορά είναι µηδέν σε αυτή την περίπτωση). Αν το κέντρο περιστροφής είναι το άπειρο έχουµε ουσιαστικά µόνο µεταφορά. Μια συνεχής µετατόπιση στερεού σε επίπεδη κίνηση µπορεί να γίνει µε διαδοχικές στοιχειώδεις µεταφορές και περιστροφές περί κάποιο σηµείο του στερεού που παίρνουµε ως πόλο για την εν λόγω µετατόπιση. Ακόµη, η συνεχής µετατόπιση µπορεί να εωρηθεί ως διαδοχικές στοιχειώδεις περιστροφές περί κέντρα περιστροφής που απέχουν µεταξύ τους κατά διαδοχικές στοιχειώδεις αποστάσεις. Σε αυτή την περίπτωση τα κέντρα της περιστροφής (άξονες περιστροφής) είναι στιγµιαία και δεν είναι ένα και το αυτό σηµείο του στερεού αλλά συµπίπτουν εν γένει µε διάφορα σηµεία του στερεού κατά τη διάρκεια της κίνησης.

2.5 Καθορισµός της ταχύτητας σηµείου ενός σώµατος που εκτελεί επίπεδη κίνηση

Σχήμα 2.6

52

Ας εωρήσουµε το σηµείο B µε Br r

και το σηµείο A ως πόλο της κίνησης, ακόμη

r AB

. ΄Εχουµε,

AA B

dd d,

d d d

rr rr r r

t t t

. (2.11)

Προφανώς A BAV

όπου A

είναι η στιγµιαία ταχύτητα του πόλου A , BA είναι η

ταχύτητα του Β που οφείλεται στην περιστροφή περί τον πόλο A, άρα BA AB

. Η

τελευταία σχέση ισχύει και αν ακόµη τα σηµεία O, A, B δεν είναι στο ίδιο επίπεδο. Το

είναι κατά τον άξονα z που δεν φαίνεται στο Σχ. 2.6 και ισχύει, d

dt

. ∆ηλαδή, η

(διανυσματική) ταχύτητα ενός σηµείου στην επίπεδη κίνηση στερεού είναι ίση µε την (διανυσματική) ταχύτητα ενός σηµείου του στερεού που εωρούµε ως πόλο κατά την κίνηση συν την (διανυσματική) ταχύτητα του σηµείου που οφείλεται µόνο στην περιστροφική κίνηση του στερεού περί τον πόλο. Εύκολα δείχνεται ότι οι προβολές των ταχυτήτων δύο σηµείων ενός στερεού στην ευθεία που τα ενώνει είναι ίσες. 2.6 Στιγµιαίο κέντρο περιστροφής στο επίπεδο στερεού ή σηµείο µηδενικής ταχύτητας

Στιγµιαίο κέντρο περιστροφής είναι ένα σηµείο του στερεού ή της επέκτασής του που έχει στιγµιαία ταχύτητα µηδέν. Η ύπαρξη τέτοιου σηµείου καθεκάστη στιγµή συµπεραίνεται από τα προηγούµενα. Ας εωρήσουµε το Σχ. 2.7 όπου έχουµε δύο σηµεία A και B µε ταχύτητες A

και B

αντιστοίχως. Στην ειδική περίπτωση παραλλήλων

ταχυτήτων και που οι ταχύτητες είναι κάθετες στην ευθεία AB χρειάζεται άλλη µεθοδολογία. Στιγµιαίο κέντρο περιστροφής είναι το Ο το οποίο έχει ταχύτητα μηδέν.

Σχήμα 2.7

Αυτό ισχύει γιατί αν το Ο έχει ταχύτητα µη µηδενική o

, τότε πρέπει η προβολή της στον

άξονα OA να είναι µηδέν αφού η προβολή της A

είναι µηδέν, άρα η o

είναι κάθετη

53

στον OA. Για τον ίδιο λόγο η προβολή της o

στην OB πρέπει να είναι µηδέν αφού η

προβολή της B

είναι µηδέν. Είναι τότε ευνόητο ότι πρέπει o 0

. Το O όπως και κάθε

άλλο σημείο μπορεί να ληφθεί ως πόλος κατά μια στοιχειώδη μετατόπιση, και αφού έχει στιγμιαία ταχύτητα μηδέν είναι στιγµιαίο κέντρο περιστροφής. Προφανώς ισχύουν

A B(OA), (OB) . Για τον προσδιορισµό του O χρειαζόµαστε µόνο τις

διευθύνσεις ταχυτήτων δύο σηµείων όταν δεν ισχύει η ειδική περίπτωση που αναφέραμε πιο πάνω.

Γενικώς, για να προσδιορίσουµε τη διανυσµατική ταχύτητα κάθε σηµείου χρειαζόµαστε τη διανυσµατική ταχύτητα ενός γνωστού σηµείου και τη διεύθυνση της ταχύτητας ενός άλλου γνωστού σηµείου. 2.7 Προσδιορισµός της επιτάχυνσης κάθε σηµείου στερεού στην επίπεδη κίνηση.

Εύκολα από το Σχ. 2.6 συµπεραίνουµε ότι,

2 22 2

B AA BA2 2 2 2

d dd d,

d d d d

r rr ra a a

t t t t

(2.12)

όπου Aa

είναι η επιτάχυνση του πόλου Α και BAa

είναι η επιτάχυνση που οφείλεται µόνο

στην περιστροφική κίνηση περί τον πόλο. ΄Εχουµε ακόµη, BA ε ε c ca a e a e

όπου το

εeείναι μοναδιαίο διάνυσµα με φορά αυτή κατά την οποία αυξάνεται το (αντίθετη

αυτής των δεικτών του ρολογιού) κάθετο στο AB r

και το ce

είναι µοναδιαίο

διάνυσµα κατά τη διεύθυνση του AB r

. Προφανώς,

2

2BA BAε c

d d,

d da r a r

t t r

. (2.13)

Μπορεί να βρεθεί και το στιγµιαίο κέντρο µηδενικής επιτάχυνσης που όµως δεν συµπίπτει µε το αντίστοιχο κέντρο των μηδενικών των ταχυτήτων δηλαδή με το στιγμιαίο κέντρο περιστροφής. Αυτό µπορεί να προσδιοριστεί από την επιτάχυνση

ενός γνωστού σηµείου και τα και d

dt

της κίνησης την ίδια χρονική στιγµή. Η

επιτάχυνση κάθε σηµείου ισούται με την επιτάχυνση ένεκα περιστροφής περί το στιγµιαίο κέντρο µηδενικής επιτάχυνσης.

2.8 Κίνηση στερεού στο χώρο µε ένα σταθερό σηµείο Ας εωρήσουµε δύο καταστάσεις θέσης ενός στερεού τις I, II, Σχ. 2.8. Το στερεό κινείται στο χώρο ενώ ένα σημείο του το Ο είναι συνεχώς ακίνητο. Έστω τα σημεία Α και Β του στερεού στην κατάσταση Ι όπου ενώ το Α είναι αυθαίρετο το Β έχει επιλεγεί έτσι που η θέση του να είναι η θέση στην οποία πάει το Α όταν το στερεό βρεθεί στην

54

κατάσταση ΙΙ. Όταν το στερεό βρεθεί στην κατάσταση ΙΙ τότε το Α πάει στη θέση 1A που

συμπίπτει με τη θέση του Β στην κατάσταση Ι του στερεού. Το Β της κατάστασης Ι καταλαμβάνει τη θέση 1B όταν το στερεό είναι στην κατάσταση ΙΙ.

Σχήμα 2.8 Αφού τα σηµεία 1 1O,A,B,A ,B είναι σηµεία του στερεού, έχουµε

1 1 1 1OA=OA =OB , AB=A B . Φέρουµε την κάθετο από το O στο επίπεδο των 1A,B,B , αυτή συναντά το επίπεδο στο C. Τα ορθογώνια τρίγωνα 1OCA,OCB ,OCB είναι ίσα επειδή έχουν τις υποτείνουσες ίσες και την OC κοινή άρα 1 1AC=A C=B C. Επίσης έχουµε

1CA=CB=CB . ΄Αρα τα τρίγωνα 1 1 1ACB,A CB,A CB είναι ίσα ως έχοντα όλες τις πλευρές τους ίσες. Εποµένως οι γωνίες 1 1ACB,A CB είναι ίσες. Αν λοιπόν στρέψουµε

το σώµα κατά γωνία ACB= περί την OC τα σηµεία A, B α συµπέσουν µε τα 1 1A ,B

αντιστοίχως. Είναι ευνόητο ότι η έση του στερεού στο χώρο καθορίζεται από τρία σηµεία, εδώ έχουµε το σηµείο O ως τρίτο άρα το στερεό α πάει από τη έση I στη έση II µε µια περιστροφή κατά θ περί την OC . Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η µετατόπιση στερεού στο χώρο από µια κατάσταση I σε µια κατάσταση II, όταν το στερεό έχει ένα σταθερό σηµείο, µπορεί να γίνει µε µια περιστροφή περί κατάλληλο άξονα και κατάλληλη γωνία. Ο άξονας διέρχεται δια του σταθερού σηµείου. Αν το σώµα κάνει στοιχειώδη µετατόπιση και έχει ένα σταθερό σηµείο είναι προφανές ότι αυτό µπορεί να επιτευχθεί µε στοιχειώδη περιστροφή περί τον κατάλληλο άξονα περιστροφής. ΄Ετσι µπορεί να ορίσει κανείς τη γωνιακή ταχύτητα που είναι διάνυσµα πάνω στον άξονα περιστροφής και έχει μέγεθος ω = dθ/dt. Αν έχουµε πεπερασµένη συνεχή κίνηση του στερεού τότε έχουµε στοιχειώδεις περιστροφές περί στιγµιαίους άξονες που διέρχονται δια του σταθερού σηµείου αλλά η διεύθυνσή τους αλλάζει, δηλαδή ( )t

όπου και η διεύθυνση και το µέτρο του είναι εν γένει συναρτήσεις του χρόνου. Η γωνιακή

επιτάχυνση d

dt

δεν είναι εν γένει διάνυσµα πάνω στον στιγµιαίο άξονα

περιστροφής, τα και δεν είναι γενικώς συγγραµµικά όπως συμβαίνει κατά την κίνηση που ο άξονας περιστροφής είναι σταθερός στο χώρο.

55

2.9 Ταχύτητα και επιτάχυνση κάθε σηµείου στερεού το οποίο κατά την κίνησή του έχει ένα σταθερό σηµείο

Για µια χρονική στιγµή, όπως αίνεται στο Σχ. 2.9, ο (στιγµιαίος) άξονας περιστροφής είναι ο OA. Η KC είναι κάθετη στην OA, δηλαδή στον στιγµιαίο άξονα

Σχήμα 2.9

περιστροφής. C είναι το υπό εξέταση σηµείο και O είναι το σταθερό σηµείο που το παίρνουµε ως σηµείο αναφοράς των διανυσµάτων έσης. Προφανώς από τα προηγούµενα

έχουµε, d

d

rr

t

το είναι κάθετο στο επίπεδο KOC και βρίσκεται πάνω στο

επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα OA, πάνω σε αυτό το επίπεδο είναι το σημείο C. Ισχύει προφανώς, (KC) . Ακόµη ισχύουν,

d d d

d d d

ra r r

t t t

, (2.14)

είναι η γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής, δηλαδή το d

dt

. Ενώ η

διανυσµατική συνιστώσα της επιτάχυνσης a

είναι πάνω στο επίπεδο το κάθετο

στον άξονα που περιέχει το C (πάνω του βρίσκεται και η ) δεν ισχύει εν γένει το ίδιο για την άλλη συνιστώσα την r

που απλώς είναι κάθετη στα και r

. Η

είναι κατά την ευθεία KC, και είναι προφανώς η κεντροµόλος επιτάχυνση.

56

2.10 Γενική κίνηση στερεού στο χώρο Η έση στερεού στο χώρο καθορίζεται από τις έσεις τριών δεδοµένων σηµείων του. Είναι λοιπόν προφανές ότι για τον προσδιορισμό της μετατόπισής του αρκεί να χρησιμοποιηθούν τρία σημεία του.

Σχήμα 2.10

΄Εστω το Σχ. 2.10 όπου το στερεό βρίσκεται αρχικά στην (θεσική) κατάσταση I και η τελική του κατάσταση είναι η III. Φανταζόµαστε τη µετατόπιση σε δύο στάδια, συγκεκριµένα, κάνουµε µεταφορά του σώµατος από τη έση I στη έση II έτσι που το σημείο B να πάει στο B1 όπου είναι και η τελική του κατάσταση III. Στη συνέχεια κάνουµε µετατόπιση του σώματος από την II στην τελική III. Αφού όµως το B1 δε µετακινείται κατ’ αυτή τη µετατόπιση, αυτή η μετατόπιση µπορεί να πραγµατοποιηθεί κατά τα προηγούµενα µε περιστροφή περί κατάλληλο άξονα και γωνία. Ο άξονας διέρχεται από το B1. Το σηµείο B1 είναι ο πόλος. Μπορεί να δειχθεί µε απλή γεωµετρική µέθοδο (ή με αλγεβρική) ότι ενώ η µεταφορά εξαρτάται από τον πόλο που διαλέγουµε, η γωνία περιστροφής είναι ανεξάρτητη του πόλου και ο άξονας περιστροφής ανεξάρτητα από τον πόλο έχει ορισµένη διεύθυνση. Ακόµη µπορεί να δειχθεί ότι οι προβολές των µεταφορών πάνω στην κοινή διεύθυνση των αξόνων περιστροφής είναι ίσες. ΄Αρα, η µετατόπιση στερεού από µια έση σε άλλη µπορεί να γίνει µε µια µεταφορά και µια περιστροφή. Ακόµη δείχνεται ότι από όλους τους δυνατούς τρόπους µετατόπισης στερεού δια µιας µεταφοράς και μιας περιστροφής µπορούµε να προσδιορίσουµε έναν µοναδικό κατά τον οποίο η διεύθυνση της µεταφοράς να συµπίπτει µε τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής. Αυτή λέγεται ελικοειδής µετατόπιση. Το συµπέρασµα είναι ότι η γενική µετατόπιση στερεού στο χώρο µπορεί να γίνει µε µια ελικοειδή µετατόπιση. Αν εωρήσουµε στοιχειώδη γενική µετατόπιση είναι προφανές ότι α έχουµε στοιχειώδη µεταφορά και στοιχειώδη περιστροφή αφού εκλέξουµε κάποιο σηµείο του στερεού ως πόλο. Αν τώρα εωρήσουµε συνεχή κίνηση στερεού, αυτή µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε διαδοχικές στοιχειώδεις µεταφορές και στοιχειώδεις περιστροφές, όπου πόλος εκλέγεται κάποιο σηµείο του στερεού το ίδιο για όλη την κίνηση. Θα έχουµε προφανώς για την ταχύτητα κάποιου σηµείου C, C P CP

. (2.15)

57

∆ηλαδή η ταχύτητα του C, που είναι η C

, είναι ίση µε το άθροισµα της ταχύτητας του

πόλου (ο πόλος παριστάνεται με P) P

(είναι ταχύτητα ίδια για όλα τα σηµεία αφού

αντιστοιχεί σε µεταφορά) και της ταχύτητας CP που οφείλεται στην περιστροφή περί τον

στιγµιαίο άξονα περιστροφής που διέρχεται από τον πόλο. Ισχύει προφανώς CP CPr

όπου CPr

το διάνυσµα από τον πόλο µέχρι το σηµείο C. Το είναι ανεξάρτητο από τον

πόλο που επιλέγεται ενώ το P

εξαρτάται από την επιλογή του πόλου. Για την επιτάχυνση

του σηµείου C έχουµε,

CPPC P CP P CP CP

ddd d( )

d d d da a a a r r

t t t t

.(2.16)

2.11 Απόλυτη και σχετική κίνηση σηµείου

Συχνά στη µηχανική εµφανίζεται το εξής πρόβληµα, ξέρουµε την κίνηση σηµείου ως προς σύστηµα Ox'y'z', επίσης ξέρουµε την κίνηση του συστήµατος O'x'y'z' ως προς το σύστηµα Oxyz και έλουµε να προσδιορίσουµε την κίνηση του σηµείου ως προς το σύστηµα Oxyz. Το σύστηµα Ox'y'z' α το λέµε κινούµενο σύστηµα, την κίνησή του ως προς το Oxyz µετοχική κίνηση, την κίνηση του σηµείου ως προς το O'x'y'z' σχετική κίνηση του σηµείου και την κίνηση του σηµείου ως προς το Oxyz απόλυτη κίνηση και το Oxyz απόλυτο σύστηµα. Αν ανταστούµε το χώρο που συµπαρασύρεται µε το O'x'y'z' (σαν στερεό µε όχι κατανάγκην υλικά σηµεία) τότε µιλούµε για µετοχικές ταχύτητες και επιταχύνσεις των σηµείων του συστήµατος που οφείλονται στη µετοχική κίνησή του ως προς το Oxyz. Αυτές υσικά είναι διαφορετικές για τα διαφορετικά σηµεία εκτός αν η µετοχική κίνηση είναι µεταφορική.

2.12 Ρυθµός µεταβολής διανύσµατος µε το χρόνο

Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα διάνυσµα G

που µπορεί να είναι οτιδήποτε, όπως διάνυσµα έσης ως προς κάποιο σύστηµα, ταχύτητα ως προς κάποιο σύστηµα, στροφορµή ως προς κάποιο σύστηµα κτλ. Θέλουµε να ξέρουµε πώς σχετίζονται οι µεταβολές του διανύσµατος, όπως αίνονται από δύο συστήµατα. Το ένα σύστημα είναι αυτό που αναφέραμε προηγουμένως, θα το λέμε απόλυτο σύστημα και το άλλο που κινείται ως προς αυτό είναι το κινούμενο σύστημα. Μπορούµε να

παραστήσουµε µε adG

τη µεταβολή του διανύσματος ως προς το απόλυτο

σύστηµα (απόλυτη μεταβολή) και µε rdG

τη µεταβολή του ως προς το κινούµενο

58

σύστηµα, σχετική μεταβολή. Κάνουµε τον εξής συλλογισµό, ανταζόµαστε ότι

το διάνυσµα G

στην αρχή συµπαρασύρεται µε το κινούµενο σύστηµα χωρίς να

µεταβάλλεται ως προς αυτό. Το απόλυτο σύστηµα α βλέπει τη µεταβολή του που α οφείλεται στη µετοχική κίνηση του κινούµενου συστήµατος ως προς το

απόλυτο. Παριστάνουµε αυτή τη µεταβολή του G

µε tdG

, µεταβολή που

οφείλεται στη µετοχική (transport) κίνηση. Φανταζόµαστε στη συνέχεια ότι

σταµατά η µετοχική κίνηση και το G

µεταβάλλεται ως προς το κινούµενο

σύστηµα κατά το rdG

. Αυτή όµως η µεταβολή α είναι η µεταβολή που α

αίνεται από το απόλυτο σύστηµα γιατί "παγώσαµε" την κίνηση του κινούµενου συστήµατος. ΄Αρα,

a r td =d +dG G G

(2.17)

δηλαδή η συνολική µεταβολή, όταν συνυπάρχουν η µετοχική κίνηση και η µεταβολή του

G

ως προς το κινούµενο σύστηµα (σχετική µεταβολή), είναι το άθροισµα των δύο επί

µέρους µεταβολών. Προφανώς για τις ταχύτητες µεταβολής του G

α έχουµε,

a r t

d d d

d d d

G G G

t t t

. (2.18)

Ξέρουµε όµως ότι η κίνηση του κινούµενου συστήµατος (που το εωρούµε ως στερεό) µπορεί να περιγραφεί ως συνδυασµός µεταφοράς και περιστροφής. Παίρνουµε ως πόλο

την αρχή του G

. Το της στιγµιαίας περιστροφής δεν εξαρτάται από αυτή την επιλογή. Ακόµη, κατά τη µετοχική κίνηση το διάνυσµα δεν µεταβάλλεται ως προς το κινούµενο σύστηµα. Η µετοχική κίνηση λοιπόν α είναι µεταφορά και περιστροφή, άρα αφού το

διάνυσµα G

είναι σταθερό κατά µέτρο ως προς το απόλυτο σύστηµα α ισχύει,

t

d

d

GG

t

. (2.19)

Επομένως

a r

d d

d d

G GG

t t

. (2.20)

Ο τελευταίος όρος οφείλεται στη µετοχική κίνηση του κινούµενου συστήµατος ως προς το απόλυτο και υσικά το είναι η στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα του κινούµενου συστήµατος ως προς το απόλυτο.

59

2.13 Σχέση απόλυτης και σχετικής ταχύτητας

Ας εωρήσουµε το Σχ. 2.11. Εξετάζουµε την κίνηση σηµείου M που τη χρονική στιγµή t είναι στη έση που καθορίζεται από το διάνυσµα έσης r

στο απόλυτο σύστηµα Oxyz.

AB είναι η τροχιά του στο κινούµενο σύστηµα (O'x'y'z' τη χρονική στιγµή t). Το κινητό τη χρονική στιγµή t + dt βρίσκεται στη έση 1M . Η τροχιά του

Σχήμα 2.11

ως προς το κινούµενο σύστηµα είναι τώρα η 1 1A B . Η τροχιά του ως προς το Oxyz είναι η

καµπύλη που περνά από τα M και 1M . Η µετακίνηση της τροχιάς από το AB στο 1 1A B

οφείλεται στη µετοχική κίνηση. Μπορούµε να εφαρµόσουµε όσα είπαµε προηγουµένως,

δηλαδή να βάλουµε στη θέση του G

το r

οπότε έχουµε

a r t

d d d, OO O M

d d d

r r rr

t t t

. (2.21)

Εφόσον κατά τη σχετική κίνηση όταν υπολογίζουµε το r

d

d

r

t

«παγώνομε» τη μετοχική

Κίνηση, δηλαδή το OO

είναι σταθερό, άρα

rr r

d dO M

d d

r

t t

, (2.22)

όπου r

είναι η σχετική ταχύτητα του εξεταζόμενου σημείου ως προς το σύστημα

O x y z . Με τη χρήση του Σχ. 2.11 µπορεί κανείς να βρει το ίδιο αποτέλεσµα χωρίς αναφορά στα προηγούµενα. ΄Εχοµε

60

a r t

. (2.23)

Μπορούµε να πούµε ότι η µετοχική κίνηση είναι η κίνηση του σηµείου του συστήµατος κινούµενων αξόνων (θεωρούμενο σαν στερεό) που τη συγκεκριμένη χρονική στιγµή συµπίπτει µε το κινητό. Η µετοχική ταχύτητα, t

συµπίπτει µε την ταχύτητα του σηµείου

του κινούµενου συστήµατος στο οποίο βρίσκεται το κινητό τη δεδοµένη χρονική στιγµή. Αν λάβουµε υπόψη ό,τι έχουµε πει για τη γενική κίνηση στερεού και πάρουµε ως πόλο της µετοχικής κίνησης την αρχή O' του κινούµενου συστήµατος έχουµε, για τη χρονική

στιγµή t που είναι O M r

ότι ισχύει t O a r O, r r

. (2.24)

Δηλαδή, η απόλυτη ταχύτητα κινούμενου σημείου (ταχύτητα ως προς το απόλυτο σύστηµα) είναι ίση µε το άθροισµα της µετοχικής ταχύτητας, που είναι η ταχύτητα εκείνου του σημείου που συμπαρασύρεται με το κινούμενο σύστημα και µε το οποίο συµπίπτει τη δεδοµένη χρονική στιγµή το εν λόγω κινούμενο σηµείο, συν τη σχετική ταχύτητα του κινούμενου σημείου (ταχύτητα ως προς το κινούµενο σύστηµα).

2.14 Σχέση απόλυτης και σχετικής επιτάχυνσης. Φαινόμενο Coriolis.

Χρησιµοποιούµε τη σχέση, a r t

. Οι απειροστές µεταβολές ως προς το απόλυτο

σύστηµα είναι οι απόλυτες µεταβολές στο δεδοµένο απειροστό χρονικό διάστηµα. ΄Εχουµε,

a a r a t a(d ) (d ) (d )

(2.25)

δηλαδή πήραµε τις απειροστές µεταβολές ως προς το απόλυτο σύστηµα. Σύµφωνα µε όσα είπαµε στην παράγραφο 2.12 έχομε,

r a r r r t(d ) (d ) (d )

και t a t r t t(d ) (d ) (d )

(2.26)

επομένως

a t tr r

r ta t r

d d dd d

d d d d dt t t t t

. (2.27)

Το αριστερό µέλος είναι η απόλυτη επιτάχυνση, δηλαδή η επιτάχυνση του κινητού σηµείου ως προς το απόλυτο σύστηµα, ο πρώτος και ο δεύτερος όρος του δεξιού µέλους είναι αντιστοίχως η σχετική επιτάχυνση (η επιτάχυνση ως προς το κινούµενο σύστηµα) και η µετοχική επιτάχυνση, δηλαδή η επιτάχυνση σηµείου του κινούµενου συστήµατος ως προς το ακίνητο σύστηµα µε το οποίο το κινητό

61

συµπίπτει τη συγκεκριμένη χρονική στιγµή. Σε αντίθεση µε την ταχύτητα, για την επιτάχυνση έχουµε ότι:

tra r t

t r

dd

d da a a

t t

, (2.28)

δηλαδή η απόλυτη επιτάχυνση σηµείου είναι ίση µε το άθροισµα της σχετικής επιτάχυνσης, της µετοχικής επιτάχυνσης και ενός άλλου όρου που λέγεται επιτάχυνση ένεκα του φαινομένου Coriolis ή συµπληρωµατική επιτάχυνση ca

(λέγεται και

επιτάχυνση Coriolis),

a r t ca a a a

. (2.29)

Η επιτάχυνση αυτή είναι το άθροισµα της σχετικής επιτάχυνσης που οφείλεται µόνο στη µετοχική κίνηση και της µετοχικής επιτάχυνσης που οφείλεται µόνο στη σχετική κίνηση,

trc

t r

dd

d da

t t

. (2.30)

Το φαινόμενομο Coriolis εμφανίζεται όταν έχομε περιστροφή ενός συστήματος και σχετική ταχύτητα υλικού σημείου ως προς αυτό.

Θα υπολογίσουµε την r

t

d

dt

με χρήση του Σχ. 2.12. Oxyz είναι το απόλυτο

σύστημα αξόνων.

∆εν σχεδιάσαµε τους κινούµενους άξονες αλλά τις έσεις της τροχιάς του σηµείου M δύο χρονικές στιγµές t και t + dt ως προς αυτούς. Αυτές οι έσεις της τροχιάς είναι οι καµπύλες AB και 1 1A B . Το διάνυσµα r

της σχετικής ταχύτητας

του σηµείου M είναι εφαπτόµενο στην τροχιά στο σηµείο M τη χρονική στιγµή t. Τη χρονική στιγµή t + dt το διάνυσµα r

της σχετικής ταχύτητας είναι

εφαπτόµενο στην τροχιά 1 1A B στο σηµείο M' που είναι η έση του κινητού στη

σχετική τροχιά. ΄Εχουµε «παγώσει» τη σχετική κίνηση και έχουµε µόνο τη µετοχική κίνηση. Για να βρούµε το r t(d ) έρουµε στο

62

Σχήμα 2.12

σηµείο M' διάνυσµα παράλληλο µε το r

όπως αίνεται στο Σχ. 2.12. Τα µέτρα των

rκαι r

είναι τα ίδια αφού έχουµε παγώσει τη σχετική κίνηση όπως ήταν τη χρονική

στιγµή t. Ισχύει λοιπόν για την παράγωγο,

rr

d

dt

(2.31)

κατά τα γνωστά για σταθερού µέτρου διάνυσµα. είναι η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα της µετοχικής κίνησης δηλαδή των κινούµενων αξόνων ως προς τους απόλυτους. Για τον

υπολογισµό της t

r

d

dt

χρησιµοποιούµε το Σχ. 2.13.

Ξαναθυμίζομε ότι η µετοχική ταχύτητα t

είναι ίση µε την ταχύτητα εκείνου του σηµείου

που συµπαρασύρεται µε τους κινούµενους άξονες O'x'y'z' και το οποίο Σχήμα 2.13 συµπίπτει µε το σηµείο M που εξετάζουµε, τη δεδοµένη χρονική στιγµή t. Κατά τα

63

γνωστά για στερεό σώµα, αν πάρουµε ως πόλο το σηµείο O' α έχουµε, t O r

. (2.32)

Το κινητό M κατά τη σχετική κίνησή του (έχουµε «παγώσει» τη µετοχική κίνηση) α βρεθεί µετά από χρόνο dt στη έση M' όπου το M' έχει µετοχική ταχύτητα t

και α

έχουµε, t O r

. (2.33)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δυο τελευταίες σχέσεις βρίσκομε,

r r(d ) ( ) MM dr r t

. (2.34)

Τελικώς

tr

r

d

dt

. (2.35)

Δηλαδή βρίσκουµε το ίδιο όπως και για το r

t

d

dt

, επομένως

trc r

t r

dd2( )

d da

t t

. (2.36)

΄Εχουµε λοιπόν ότι, a r t ca a a a

(2.37)

a r t r2( )a a a

.(2.38)

Αν η σχετική ταχύτητα r 0

οπότε το κινητό συµπαρασύρεται µε το κινούµενο

σύστηµα, τότε η επιτάχυνση ένεκα του φαινομένου Coriolis είναι μηδέν. Η επιτάχυνση Coriolis επίσης µηδενίζεται αν η r

είναι παράλληλη προς την .

Φυσικά η άλλη περίπτωση µηδενισµού της είναι όταν δεν έχουµε περιστροφή αλλά µόνο µεταφορική κίνηση, τότε 0

. Μόνο για αυτές τις περιπτώσεις

έχουµε c 0a

και τότε ισχύει για τις επιταχύνσεις ό,τι ισχύει πάντα για τις

ταχύτητες, δηλαδή τότε µόνο έχομε ότι a r ta a a

. Για την ta

ισχύει ό,τι ισχύει

για τα σηµεία του στερεού που συμπαρασύρεται με το κινούμενο σύστημα. ΄Εχουµε εποµένως (Σχ. 2.13),

t O

d+ ( )

da a r r

t

(2.39)

64

οπότε

a r O r

d+ ( ) 2( )

da a a r r

t

(2.40)

και

a r O( + )r

(2.41)

Η ποσότητα ( )r

είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση. Ο όρος d

dr

t

υπάρχει αν η

γωνιακή ταχύτητα µεταβάλλεται ως διάνυσμα με το χρόνο.

2.15 Συστήµατα αναφοράς

Ο πρώτος και ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα ισχύουν για συστήµατα αναφοράς που τα λέµε αδρανειακά συστήµατα ή συστήµατα του Γαλιλαίου. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα τέτοιο σύστηµα αναφοράς. Για ένα υλικό σηµείο µάζας m µπορούµε να γράψουµε τη διαφορική εξίσωση κίνησής του, δηλαδή τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα

2

2

d

d

rF m ma

t

.

Ας υποθέσουµε τώρα ότι έχουµε ένα άλλο σύστηµα αναφοράς που κινείται ως προς το προηγούµενο. Ας παραστήσουµε την επιτάχυνση ως προς το αδρανειακό σύστηµα, µε aa

(απόλυτη επιτάχυνση) και µε ra

την επιτάχυνση του υλικού

σηµείου ως προς το κινούµενο σύστηµα (σχετική επιτάχυνση). ΄Εχουµε δείξει ότι,

a r t ca a a a

ή r a t ca a a a

. (2.42)

Επομένως έχουµε ως προς το αδρανειακό σύστηµα για τον 2ο νόµο του

Νεύτωνα,

r t cF ma ma ma

και t c rF ma ma ma

.(2.43)

Αν γράψουµε t cF F ma ma

έχουµε:

rF ma

.(2.44)

Η τελευταία εξίσωση µοιάζει µε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και αναφέρεται στη σχετική κίνηση του υλικού σηµείου, δηλαδή στην κίνησή του ως προς το

κινούµενο σύστηµα. Η F

είναι ίση µε την πραγµατική δύναµη F

που ασκείται από άλλα σώματα ή πεδία στο υλικό σηµείο συν τις ποσότητες tma

και cma

65

που είναι οι λεγόµενες ψευδοδυνάµεις (ή υποθετικές δυνάµεις) και σχετίζονται µε το γεγονός ότι το σύστηµα είναι επιταχυνόμενο ως προς αδρανειακό σύστημα. Η

ουσιώδης διαφορά είναι ότι οι πραγµατικές δυνάµεις, όπως η F

εξαρτώνται και από τις έσεις και τις κινήσεις άλλων σωµάτων που τις ασκούν στο σώµα του οποίου εξετάζουµε την κίνηση, ενώ οι υποθετικές δυνάµεις εξαρτώνται µόνο από την κίνηση του επιταχυνόµενου συστήµατος αναφοράς. Οι δεύτερες υπάρχουν ανεξάρτητα από την ύπαρξη ή όχι αλληλεπιδρώντων σωµάτων ή πεδίων µε το υπό εξέταση σώµα, ενώ οι πραγµατικές δυνάµεις υπάρχουν µόνο αν υπάρχουν αλληλεπιδρώντα σώµατα ή πεδία. Ακόµη µπορούµε να προσθέσουµε ότι στις πραγµατικές δυνάµεις υπεισέρχονται ποσότητες (αποστάσεις, ταχύτητες) που αναφέρονται στη έση και κίνηση του ενός σώµατος ως προς το άλλο που

αλληλεπιδρούν, 1 2 1 2( , )F F r r

. Από τα προηγούμενα συμπεραίνομε ότι,

t O

d( )

da a r r

t

, (2.45)

c r2a

. (2.46)

Ισχύει για τη δύναμη F

,

t c

O r

d( ) 2( )

d

F F ma ma

F ma m r m r m at

. (2.47)

Ο πρώτος όρος της παρένθεσης οφείλεται στην επιτάχυνση της αρχής των αξόνων του επιταχυνόμενου συστήµατος, ο δεύτερος όρος οφείλεται στη µεταβολή της γωνιακής ταχύτητας µε το χρόνο, ο τρίτος όρος οφείλεται στην περιστροφή του κινούµενου συστήµατος και λέγεται υγόκεντρος δύναµη, ( )r

είναι η

υγόκεντρος επιτάχυνση) και ο τέταρτος όρος οφείλεται στη γωνιακή ταχύτητα του επιταχυνόµενου συστήµατος και στη σχετική ταχύτητα (ταχύτητα ως προς το επιταχυνόµενο σύστηµα) του υλικού σημείου.

2.16 Αδρανειακά Συστήµατα Αναφοράς

Αν υποθέσουµε ότι το κινούµενο επιταχυνόμενο σύστηµα είναι σύστηµα που εκτελεί µεταφορική κίνηση ως προς το απόλυτο σύστηµα το οποίο υποθέσαµε ότι είναι αδρανειακό (σύστηµα Γαλιλαίου) τότε 0, d / d 0t

, άρα όλες οι εικονικές

δυνάµεις είναι µηδέν εκτός της Oma

. ΄Εχουµε εποµένως στο κινούµενο σύστηµα,

O rF ma F ma

.(2.48)

∆ηλαδή όταν το κινούµενο σύστηµα εκτελεί µεταφορική κίνηση ως προς το απόλυτο αδρανειακό σύστημα, τότε η εικονική δύναµη είναι η Oma

. Η Oa

είναι η επιτάχυνση

οποιουδήποτε σηµείου του κινούµενου συστήµατος ( εωρουµένου κατά τα γνωστά ως στερεού), αφού αυτή είναι η ίδια για όλα τα σηµεία κατά τη µεταφορική κίνηση.

66

Ας υποθέσουµε τώρα ότι το κινούµενο σύστηµα κινείται ευθυγράµµως και ισοταχώς ως

προς το απόλυτο, τότε O 0a

, άρα έχουµε r aF F ma ma

. ∆ηλαδή, για ένα

σύστηµα που κινείται µε αυτό τον τρόπο ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα, η εξίσωση κίνησης υλικού σηµείου περιέχει µόνο τις πραγµατικές δυνάµεις, άρα ο δεύτερος (και ο πρώτος) νόµος του Νεύτωνα ισχύει όπως ακριβώς για το αρχικό σύστηµα. ∆ηλαδή το σύστηµα αυτό είναι αδρανειακό ή σύστηµα του Γαλιλαίου. Προφανώς a ra a

(Μετασχηµατισµός επιτάχυνσης µεταξύ αδρανειακών συστηµάτων).

Αν δηλαδή ένα σύστηµα είναι αδρανειακό τότε κάθε σύστηµα που κινείται ευθυγράµµως και ισοταχώς ως προς αυτό είναι επίσης αδρανειακό. Εφαρµογές των ανωτέρω έχομε στο εκκρεµές του Foucault, στην κίνηση των κυκλώνων και αντικυκλώνων κτλ.

3. ∆υναµική των στερεών σωµάτων

Η έννοια του κέντρου µάζας για σύστηµα υλικών σηµείων προφανώς είναι η ίδια στην περίπτωση που τα υλικά σηµεία αποτελούν στερεό σώµα. Επίσης η κίνηση του κέντρου µάζας στερεού ακολουθεί το γνωστό νόµο κίνησης του κέντρου µάζας συστήµατος υλικών σηµείων.

3.1 Ροπή αδράνειας σώµατος ως προς άξονα

Για το χαρακτηρισµό της κατανοµής της µάζας ενός στερεού, εκτός από τη έση του κέντρου µάζας µπορεί να χρησιµοποιούµε και την έννοια της ροπής αδράνειας περί άξονα. Για ένα υλικό σηµείο ορίζουµε ως ροπή αδράνειάς του ως προς (περί άξονα), την ποσότητα 2

i im r , όπου im η µάζα του υλικού σηµείου και ir η απόστασή του από τον

άξονα. Ως ροπή αδράνειας στερεού περί δοθέντα άξονα ορίζουµε το άθροισµα των ροπών αδράνειας όλων των σηµείων του περί τον αυτό άξονα. Αν ο άξονας είναι ο On έχουµε,

2n i i

i

I m r . Αν έχουµε συνεχή κατανοµή µάζας α έχουµε, 2n d

V

I r V για κατανοµή

όγκου πυκνότητας ρ. Η ολοκλήρωση γίνεται πάνω στον όγκο του στερεού. Αν έχουµε επιφανειακές κατανοµές ή γραµµικές κατανοµές µάζας έχουµε τις αυτονόητες σχέσεις,

2n d

S

I r S , 2n d

L

I r l (3.1)

Συνήθως µιλούµε για την ακτίνα αδράνειας ή ακτίνα περιφοράς K, η οποία ορίζεται αν ξέρουµε για το δεδοµένο άξονα την In και τη συνολική µάζα M του σώµατος, In = M K2. Το φυσικό νόημα της K είναι ευνόητο.

67

3.2 Το εώρηµα των παράλληλων αξόνων

Θεωρούµε το σώµα του Σχ. 3.1. Σχεδιάζουµε ένα σύστηµα αξόνων Cxyz που η αρχή του C είναι το κέντρο µάζας του σώµατος. ΄Εστω ότι ο άξονας n είναι παράλληλος προς τον Cz και περνά από το σηµείο x = l του άξονα Cx. ΄Εστω σωμάτιο µάζας im στο σηµείο

Ai του στερεού. Η A Bi i είναι κάθετος στον άξονα Cz. Η B Ci i είναι η απόσταση μεταξύ

των αξόνων Cz και n . ΗC Ai i είναι η απόσταση του Ai από τον άξονα n. Το τρίγωνο

B A Ci i i είναι πάνω σε παράλληλο

Σχήμα 3.1 επίπεδο προς το xCy. ΄Εχουµε για τη ροπή αδράνειας του im περί τον άξονα n την

παράσταση 2(A C )i i im . Η ροπή αδράνειας του σώµατος περί τον άξονα αυτόν α είναι,

2

n (A C )i i ii

I m . (3.2)

Από το τρίγωνο B A Ci i i βρισκομε

2 2 2(A C ) (A B ) 2(A B ) cosi i i i i i il l ,

επομένως

68

2 2

n (A B ) 2 (A B )cosi i i i i i ii i i

I m l m l .(3.3)

΄Οµως (A B )cosi i i ix (δηλαδή η συντεταγµένη ix του σηµείου Ai ). Επειδή ο C z

περνά από το κέντρο µάζας, από τον ορισµό του κέντρου µάζας έχουµε ότι

(A B )cos 0i i i ii i

x άρα αφού ii

m M (µάζα του σώµατος) και

2c (A B )i i i

i

I m είναι η ροπή αδράνειας περί τον άξονα C z, άρα 2n cI I Ml .

∆ηλαδή, η ροπή αδράνειας περί άξονα n είναι ίση µε τη ροπή αδράνειας περί παράλληλο προς αυτόν άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του στερεού συν την ποσότητα Ml2, όπου M είναι η ολική µάζα του σώµατος και l η απόσταση µεταξύ των εν λόγω αξόνων ( εώρηµα του Steiner ή των παράλληλων αξόνων). Είναι προφανές ότι η ροπή αδράνειας είναι ελάχιστη µεταξύ των ροπών αδράνειας παράλληλων µεταξύ τους αξόνων αν ο άξονας περνά από το κέντρο µάζας.

3.3 Κινητική ενέργεια στερεού

Στην παράγραφο 1.15 δείξαµε ότι για σύστηµα υλικών σηµείων έχουµε:

2 2cm c

1 1.

2 2 i ii

T MV m

όπου M η συνολική µάζα και ci η ταχύτητα του υλικού σηµείου i ως προς το κέντρο

µάζας, cmV είναι η ταχύτητα του κέντρου µάζας. Κάνοντας τώρα χρήση των όσων είπαµε

στο κεφάλαιο 1.10, και εωρώντας τη γενική κίνηση στερεού, αν πάρουµε ως πόλο της γενικής κίνησης το κέντρο µάζας έχουµε ότι,

c ci ir

(3.4)

όπου είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ως προς στιγµιαίο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας. Η είναι ανεξάρτητη από τον πόλο που διαλέγουµε. Είναι ευνόητο ότι ci iR όπου iR είναι η απόσταση του σηµείου i

από το στιγµιαίο άξονα περιστροφής (που εδώ έχει ληφθεί να περνά από το κέντρο µάζας). ΄Αρα,

2 2 2cm

1 1

2 2 i ii

T MV m R .(3.5)

΄Οµως, αν παραστήσουµε µε cI τη ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται

από το κέντρο µάζας και είναι κατά τη διεύθυνση του ισχύει,

69

2c i i

i

I m R (3.6)

εποµένως,

2 2cm c

1 1

2 2T MV I .(3.7)

Ο πρώτος όρος είναι ο όρος που α είχαµε αν το σώµα εκτελούσε µόνο µεταφορική κίνηση µε ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα του κέντρου µάζας και ο δεύτερος όρος είναι αυτός που α είχαµε αν το σώµα εκτελούσε µόνο περιστροφική κίνηση περί κατάλληλον άξονα που διέρχεται δια του κέντρου µάζας. Είναι ευνόητο ότι το εώρηµα που διατυπώσαµε για τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας συστήµατος υλικών σηµείων µεταφέρεται και στην περίπτωση στερεού. Εύκολα αποδεικνύεται ότι σε αυτή την περίπτωση, του στερεού, οι εσωτερικές δυνάµεις του συστήµατος υπακούουν στον τρίτο νόµο του Νεύτωνα (μάλιστα βρίσκονται πάνω στον ίδιο ορέα) και παράγουν συνολικό έργο που είναι ίσο µε µηδέν. ΄Αρα η µεταβολή της κινητικής ενέργειας στερεού ισούται µε το έργο µόνο των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο στερεό. 3.4 Στροφορµή Στερεού που έχει ένα σταθερό σηµείο

Η στροφορµή του στερεού περί το σταθερό του σηµείο, έστω O, είναι,

i i ii

L m r

.(3.8)

Ξέρουµε όµως ότι η ταχύτητα σηµείου στερεού µε ένα σταθερό σηµείο είναι, i ir

,

αφού η κίνηση του στερεού είναι περιστροφή µε γωνιακή ταχύτητα κατά τη διεύθυνση του στιγµιαίου άξονα περιστροφής που διέρχεται από το O. ΄Εχουµε λοιπόν,

( )i i ii

L m r r

.(3.9)

Θεωρούµε το σύστημα καρτεσιανών αξόνων Ox, Oy, Oz και αναλύουµε το και το ir

σε συνιστώσες πάνω σε αυτούς τους άξονες. Θα έχουµε,

.

i i x i y i z

x x y y z z

r x e y e z e

e e e

(3.10)

70

Εποµένως ,

x y z

i x y z

e e e

r

x y z

(3.11)

ή

( ) ( ) ( )i i x y i z i y z i x i z x i y ir e z y e x z e y x

.(3.12)

Τελικώς βρίσκουµε ότι,

2 2

2 2

2 2

( )

+ ( )

+ ( )

x x i i i y i i i z i i ii i i

y y i i i z i i i x i i ii i i

z z i i i x i i i y i i ii i i

L e m y z m x y m x z

e m z x m y z m y x

e m x y m z x m z y

(3.13)

2 2( )i i i x xxi

m y z I I είναι η ροπή αδράνειας περί τον άξονα x. Το i i i xyi

m x y I

ορίζεται ως το γινόµενο αδράνειας του στερεού για τα επίπεδα Oyz και Oxz. (Μερικές ορές ορίζεται ως η παράσταση µε το αντίθετο πρόσηµο).

Αντιστοίχως έχουµε τις ροπές αδράνειας περί τους άξονες y και z δηλαδή τα yyI και zzI

αντίστοιχα και τα γινόµενα αδράνειας για τους άλλους συνδυασµούς επιπέδων των αξόνων Oxyz, τα εξής: , , , , xz yx yz xz zyI I I I I . Είναι ευνόητο από τους ορισµούς ότι ij jiI I .

Ισχύει,

x x y y z zL e L e L e L

, (3.14)

όπου τα Lx, Ly, Lz είναι οι στροφορµές (προβολές του L

) περί τους άξονες Ox, Oy, Oz αντιστοίχως. Ισχύουν σύµφωνα µε τα ανωτέρω,

.

x xx x xy y xz z

y yx x yy y yz z

x zx x zy y zz z

L I I I

L I I I

L I I I

(3.15)

Μπορεί να δειχτεί ότι για κάθε σηµείο O στερεού µπορούν να εκλεγούν οι σταθεροί ως προς το στερεό άξονες Oxyz, έτσι που τα γινόµενα αδράνειας να γίνονται µηδέν. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα για περιπτώσεις αξόνων σε συµµετρικά σχήµατα όµως είναι γενικότερο εώρηµα για κάθε σηµείο και κάθε στερεό. Αυτοί οι άξονες λέγονται κύριοι άξονες του στερεού σώµατος στο σηµείο που εξετάζουµε. Σε ειδικές περιπτώσεις μπορεί τα γινόμενα αδράνειας να είναι

71

μηδέν για άξονες που δεν είναι σταθεροί ως προς το στερεό. Για τέτοιους άξονες έχουµε,

,

x xx x

y yy y

z zz z

L I

L I

L I

(3.16)

και

xx x x yy y y zz z zL I e I e I e

. (3.17)

Αγνοώντας τους διπλούς δείκτες καταλήγομε στη σχέση,

x x x y y y z z zL I e I e I e

. (3.18)

Μια χρήσιµη παρατήρηση είναι ότι ενώ στη γενική περίπτωση τα διανύσµατα L

και δεν έχουν την ίδια διεύθυνση στην περίπτωση που η περιστροφή γίνεται γύρω από έναν κύριο άξονα (για παράδειγµα τον Ox) τότε τα διανύσµατα αυτά έχουν την ίδια διεύθυνση και υσικά και ορά. Αυτό βγαίνει εύκολα αν για παράδειγµα πάρουµε τον άξονα Ox ως άξονα περιστροφής, οπότε 0, 0, =y z x x x xe e

. Τότε από την παραπάνω σχέση

βρίσκομε ότι, x x xL I e I

. Ας υποθέσουµε τώρα ότι το σηµείο O είναι η

αρχή ενός αδρανειακού συστήµατος. Τότε ως προς το αδρανειακό αυτό σύστημα

ισχύει προφανώς η σχέση d

d

LN

t

(νόμος της στροφικής κίνησης) και το L

υπολογίζεται ως προς αυτό το αδρανειακό σύστηµα, δηλαδή οι ταχύτητες είναι ως

προς το αδρανειακό σύστημα, η δε N

είναι η συνολική ροπή µόνο των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται πάνω στο στερεό. Στην περίπτωση αυτή που οι άξονες είναι άξονες του αδρανειακού συστήματος οι ροπές αδράνειας και τα γινόμενα αδράνειας για στερεό τυχαίου σχήματος, γενικώς, εξαρτώνται από το χρόνο. Τότε η εφαρμογή του νόμου της στροφικής κίνησης είναι δύσκολη. Αυτός είναι ο λόγος που είναι καλό στη γενική περίπτωση να διαλέξουµε άξονες ακίνητους ως προς το στερεό, δηλαδή συμπαρασυρόµενους µε το στερεό. Τότε τα ως άνω μεγέθη είναι ανεξάρτητα του χρόνου και η μελέτη της κίνησης γίνεται πιο εύκολη. Όπως αναφέραμε στα προηγούμενα, υπάρχουν και περιπτώσεις κατανομής της μάζας στερεού τέτοιες που να μπορούμε να κάνομε επιλογή συστήματος αξόνων που δεν είναι στερεά συνδεδεμένο με το στερεό και όμως οδηγεί σε ροπές και γινόμενα αδράνειας ανεξάρτητα του χρόνου. Ας υποθέσομε ότι διαλέγομε άξονες που έχουν αρχή το O είναι κύριοι άξονες (ή γενικότερα τα γινόμενα αδράνειας είναι μηδέν) και οι ροπές αδράνειας ως προς αυτούς είναι ανεξάρτητες του χρόνου, τότε α έχουµε :

72

d dd dd dd

d d d d d d dy yx xz z

x x y y z z x x y y z z

ee eLI e I e I e I I I

t t t t t t t

.(3.19)

Σύµφωνα µε τη σχέση για την περιστροφή διανύσµατος σταθερού µέτρου είναι προφανές

ότι :

dd d

, , .d d d

yx zx y z

ee ee e e

t t t

(3.20)

Μετά την εκτέλεση αρκετών πράξεων καταλήγουµε στις σχέσεις,

d( )

dd

( )d

d( ) .

d

xx y z y z x

yy z x z x y

zz x y x y z

I I I Nt

I I I Nt

I I I Nt

(3.21)

Αυτές είναι οι εξισώσεις κίνησης του Euler για στερεό µε ένα σταθερό σηµείο. 3.5 Κινητική ενέργεια στερεού µε ένα σταθερό σηµείο ως συνάρτηση των ροπών αδράνειας και γινοµένων αδράνειας

Για τυχαίο σηµείο i µάζας im του στερού έχομε i ir

. Επομένως,

2 21 1( )

2 2i i i ii i

T m m r .(3.22)

Έχομε την Εξ. (3.12), δηλαδή,

( ) ( ) ( )i i x y i z i y z i x i z x i y ir e z y e x z e y x

.(3.23)

΄Οπου εωρούµε τις προβολές των διανυσµάτων πάνω στους ορθογώνιους άξονες Oxyz οι οποίοι συµπαρασύρονται µε το στερεό ή γενικώς είναι τέτοιοι που οι ροπές και τα γινόμενα αδράνειας είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Μετά από πράξεις βρίσκουµε ότι,

2 2 21 1 1 1

2 2 2 2xx x yy y zz z xy x y xz x z yz y zT I I I I I I .(3.24)

73

Αν υποθέσουµε ότι οι άξονες είναι κύριοι άξονες που περνούν από το σηµείο Ο ή γενικώς τέτοιοι που 0xy xz yzI I I , έχομε

2 2 21 1 1

2 2 2x x y y z zT I I I .(3.25)

3.6 Κινητική ενέργεια στερεού κατά τη γενική κίνησή του

Έχομε την Εξ.(1.66) για σύστηµα υλικών σηµείων η οποία ισχύει και για στερεό αν δεχτούµε ότι αναφερόµαστε στο κέντρο µάζας του στερεού. Για στερεό θα έχουµε σύµφωνα και µε τα ανωτέρω,

2 2 2 2cm

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2xx x yy y zz z xy x y xz x z yz y zT MV I I I I I I ,(3.26)

όπου M είναι η µάζα του στερεού, cmV η ταχύτητα του κέντρου µάζας του. Οι ροπές

αδράνειας και γινόµενα αδράνειας θεωρούνται ανεξάρτητα του χρόνου, δηλαδή αναφέρονται σε σύστηµα αξόνων που περνά από το κέντρο µάζας και είναι στερεά συνδεδεµένο µε το σώµα ή απλώς πληροί τη συνθήκη αυτή. Ο πρώτος όρος της κινητικής ενέργειας οφείλεται στη µεταφορική κίνηση του στερεού µε πόλο το κέντρο µάζας και οι άλλοι όροι αναφέρονται στην περιστροφική κίνηση περί άξονα διερχόµενο δια του κέντρου µάζας. Aν ως άξονες δια του κέντρου µάζας εκλεγούν άξονες τέτοιοι που τα γινόμενα αδράνειας να είναι μηδέν, όπως για παράδειγμα οι κύριοι άξονες αδράνειας, η σχέση απλοποιείται σε,

2 2 2 2cm

1 1 1 1

2 2 2 2x x y y z zT MV I I I .(3.27)

Οι κύριοι άξονες που έχουν αρχή το κέντρο μάζας λέγονται κεντρικοί κύριοι άξονες αδράνειας. Οι κύριοι άξονες µερικές ορές λέγονται και πρωτεύοντες άξονες.

3.7 Θεώρηµα µεταβολής της ολικής στροφορµής ως προς κινούµενο σύστηµα αξόνων µε αρχή το κέντρο µάζας

Έχομε ότι για σύστηµα υλικών σηµείων την Εξ.(1.59), αυτή θα ισχύει και για στερεό σώµα, άρα θα έχουμε,

74

cd

d

LN

t

, (3.28)

όπου cL

είναι η ολική στροφορµή του συστήµατος των σωματίων του στερεού περί το

κέντρο µάζας του και N

είναι το άθροισµα των ροπών των εξωτερικών δυνάµεων περί το κέντρο µάζας. Το κέντρο µάζας µπορεί ακόµη και να επιταχύνεται, δηλαδή μπορεί να κάνει οποιαδήποτε κίνηση. Τα διανύσµατα ταχυτήτων που υπεισέρχονται αναφέρονται σε σύστηµα αξόνων για τους οποίους ισχύουν ο πρώτος και δεύτερος νόµος του Νεύτωνα, δηλαδή πρόκειται για αδρανειακό σύστηµα. Ας υποθέσουµε όµως ότι έχουµε το σύστηµα αξόνων που εκτελεί µεταφορική κίνηση ως προς τους άξονες του αδρανειακού συστήµατος και η κορυφή του είναι το κατά γενικό τρόπο κινούµενο κέντρο µάζας. Είναι προφανές ότι αν ανταστούµε άξονες Kx',Ky',Kz' αυτού του συστήµατος, αυτοί κατά την κίνησή τους α παραµένουν παράλληλοι προς εαυτούς και αυτούς του αδρανειακού συστήματος. Αν εωρήσουµε ότι το αδρανειακό σύστηµα είναι το απόλυτο σύστηµα και το συμπαρασυρόµενο µε το κέντρο µάζας µε µεταφορική κίνηση είναι το κινούµενο σύστηµα ως προς το οποίο τα διάφορα υλικά σηµεία έχουν σχετική ταχύτητα ri έχουµε,

a r ti i i

(3.29)

όπου ti είναι η µετοχική ταχύτητα µε την οποία κινείται το σηµείο του κινούµενου

συστήµατος µια δεδοµένη χρονική στιγµή όταν συµπίπτει µε το υλικό σηµείο i. ΄Οµως αφού έχουµε µεταφορική κίνηση ισχύει t ci

δηλαδή όλα τα σηµεία του συστήµατος

κινούνται µε την ίδια ταχύτητα που είναι η στιγµιαία ταχύτητα του κέντρου µάζας. ΄Αρα

a r ci i

, r a ci i

.

Για τα διανύσµατα έσεων ισχύει

r a ci ir r r

,

όπου cr

είναι το διάνυσμα θέσης του κέντρου µάζας ως προς την αρχή του αδρανειακού

συστήματος. air

είναι το διάνυσµα έσης του σηµείου i στο ως προς το ίδιο σημείο και rir

ως προς την αρχή του κινούμενου συστήματοςτο. Προκύπτει λοιπόν από τα ανωτέρω ότι η σχέση

d

d

LN

t

ισχύει όχι µόνο για κάποιο αδρανειακό σύστηµα αλλά ακόµη και για µη αδρανειακό

σύστηµα αρκεί τα L

και N

να λαµβάνονται περί την αρχή των αξόνων του σύστηµατος και το σύστηµα να έχει ως αρχή του το κέντρο µάζας του συστήµατος υλικών σηµείων (ή στερεού) που εξετάζουµε και οι άξονες να έχουν µεταφορική κίνηση ως προς κάποιο αδρανειακό σύστηµα.

75

3.8 Μεταβολή στροφορµής περί άξονα

Αν ισχύει η σχέση d

d

LN

t

για κάποιο σύστηµα αξόνων και περί κάποιο σηµείο A,

µπορούµε να πάρουµε τις προβολές των Lκαι N

πάνω σε κάποιο σταθερό άξονα που

διέρχεται δια του A και έχουµε,

nn

d

d

LN

t (3.30)

όπου τα Ln και Nn είναι στροφορµή και ροπή περί τον άξονα An.

Παράδειγμα

Φυσικό εκκρεµές

Θεωρούµε το Σχ.3.2. Το τυχαίας μορφής σώµα µάζας M µπορεί να κινείται στο επίπεδο του σχήµατος περί άξονα κάθετο στο επίπεδο πουδιέρχεται δια του P. Το κέντρο µάζας είναι στη έση C. Να γραφεί η διαφορική εξίσωση της κίνησης του σώµατος και να βρεθεί η περίοδος T της κίνησης αν περιοριστούµε στην περίπτωση που έχουµε µικρές

Σχήμα 3.2

γωνίες απόκλισης θ. Σε µια τυχαία έση έχουµε για τις ροπές όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα ως προς τον άξονα P, i i

i

N m gx ,(3.31)

όπου η ροπή της αντίδρασης PF

το άξονα είναι µηδέν. ΄Αρα,

i i

i

N g m x (3.32)

76

και από τον ορισµό του κέντρου µάζας έχουµε, ci i

i

m x Mx (3.33)

επομένως αφού c sinx l προκύπτει,

sinN gMl .(3.34)

΄Εχουµε τη διαφορική εξίσωση για την κίνηση περί τον άξονα,

P P

d d,

d d

LN L I I

t t

.(3.35)

Το εώρηµα του Steiner δίνει 2

P cI I Ml , άρα

2c

d( )

dL I Ml

t

,(3.36)

εποµένως έχομε τη (διαφορική) εξίσωση κίνησης

2

2c 2

dsin ( )

dgMl I Ml

t

.

Το cI µπορεί να υπολογιστεί αν ξέρουµε το σχήµα του σώµατος και την κατανοµή της

µάζας σε αυτό, δηλαδή την πυκνότητα σε κάθε σηµεί. Αν θ << 1 τότε sin (σε ακτίνια), οπότε καταλήγομε στη σχέση

2

2c 2

d( ) 0

dI Ml gMl

t

.(3.37)

Κατά τα γνωστά η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι,

1 2 2c

sin( ) cos( ), gMl

C t C tI Ml

, (3.38)

είναι η κυκλική συχνότητα της περιοδικής κίνησης που προκύπτει.

Ισχύει , 2π

T , όπου T είναι η περίοδος της κίνησης. Τελικώς

c2 2

c

12π 2π

/

II Ml Ml

TgMl g l

.(3.39)

77

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Υπολογίστε, σε πρώτη προσέγγιση, τη βαρυτική ιδιοενέργεια σφαιρικού σώματος δεδομένης ακτίνας και ομοιόμορφης πυκνότητας. Βρείτε τις τιμές της ιδιοενέργειας sU ,

της Γης και του Ήλιου σε J (joule, τζουλ), βρείτε τη μάζα ss 2

UM

c στην οποία

αντιστοιχεί. Η ιδιοενέργεια συμβάλλει στη μάζα του σώματος, δηλαδή η διορθωμένη μάζα cM είναι c sM M M , όπου M η συνήθης μάζα ως άθροισμα των μαζών των

επιμέρους σωματίων που την αποτελούν. Πόση θα έπρεπε να είναι η πυκνότητα της Γης, αν είχε την ακτίνα που έχει τώρα, ώστε η διορθωμένη μάζα της cM να είναι 0,999 M ;

Ο Ήλιος ακτινοβολεί ισχύ περίπου 264 10 W , σε πόσα χρόνια χρειάζονται για να ακτινοβοληθεί η βαρυτική του ιδιοενέργεια; 2. Στο έργο Από τη Γη στη Σελήνη ο Ιούλιος Βερν αναφέρει τα εξής περιστατικά: Οι ταξιδιώτες ήταν μέσα σε ένα βλήμα που είχε εκτοξευτεί από ένα τεράστιο κανόνι και ταξίδευαν προς το φεγγάρι. Ενώ βρίσκονταν στο διάστημα ψόφησε ένας σκύλος τους και τον έβγαλαν και τον άφησαν έξω από το όχημά τους. Με έκπληξή τους είδαν τον σκύλο από το παράθυρό τους να ακολουθεί το βλήμα. Ακόμη αναφέρει ότι όταν το βλήμα έφτασε σε ένα σημείο που η βαρυτική δύναμη της Γης έγινε ίση κατά μέτρο με τη βαρυτική δύναμη του Φεγγαριού τότε οι επιβαίνοντες έπεσαν προς το ταβάνι του βλήματος το οποίο έγινε στη συνέχεια το «πάτωμά τους». Σχολιάστε τα δυο περιστατικά. 3. Για την εκπαίδευση των αστροναυτών δημιουργούν συνθήκες έλλειψης βαρύτητας βάζοντάς τους μέσα σε αεροπλάνο το οποίο για μικρά χρονικά διαστήματα εκτελεί ελεύθερη πτώση. Κάποιος μπορεί να ισχυριστεί ότι μια άλλη πιο απλή δυνατότητα είναι να εξισορροπηθεί το βάρος ενός αστροναύτη με εκμετάλλευση της αρχής του Αρχιμήδη (άνωση), δηλαδή να βυθιστεί ο αστροναύτης με κατάλληλο εξοπλισμό μέσα σε νερό έτσι που η άνωση να είναι ακριβώς ίση με το βάρος του. Σχολιάστε τα παραπάνω. 4. Δείξτε ότι το (διανυσματικό) άθροισμα των ροπών περί σημείο δυο αντίθετων (ίσου μέτρου) δυνάμεων που ασκούνται σε δυο διαφορετικά σημεία στο χώρο, είναι ανεξάρτητο από το σημείο περί το οποίο λαμβάνονται οι ροπές. Αυτή είναι η ροπή ζεύγους δυνάμεων. 5. Θεωρήστε το ακόλουθο πρόβλημα επίπεδης γεωμετρίας. Λεπτός ομογενής κύλινδρος (δίσκος) βρίσκεται πάνω σε οριζόντια σανίδα η οποία επιταχύνεται οριζόντια με σταθερή επιτάχυνση, ως προς το έδαφος το οποίο να θεωρηθεί ότι είναι αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ο κύλινδρος κινείται ως προς τη σανίδα χωρίς ολίσθηση. Ποια είναι η επιτάχυνση του κέντρου του κυλίνδρου; Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου; Ποια είναι η δύναμη τριβής μεταξύ κυλίνδρου και σανίδας; Να λυθεί με τρεις τρόπους, α) ως προς σύστημα αναφοράς το έδαφος και στροφορμή περί το κέντρο μάζας, β) ως προς το έδαφος αλλά με στροφορμή περί το σημείο επαφής του κυλίνδρου με τη σανίδα και γ) ως προς σύστημα αναφοράς επιταχυνόμενο με τη σανίδα και με στροφορμή περί το ένα από τα ανωτέρω σημεία. 6. Θεωρήστε οριζόντια άμαζη ράβδο η οποία μπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο. Στα άκρα της υπάρχουν δυο διαφορετικές σημειακές μάζες που

78

οι αποστάσεις τους από τον άξονα περιστροφής είναι γενικώς διαφορετικές. Κάποια χρονική στιγμή το σύστημα αφήνεται χωρίς αρχική κίνηση μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί ο άξονας στη ράβδο αυτή τη στιγμή. 7. Βρείτε τη σχέση για την περίοδο απλού εκκρεμούς που εκτελεί αιωρήσεις μικρού πλάτους όταν η (παθητική) βαρυτική μάζα του είναι διαφορετική από την αδρανειακή μάζα του. 8. Δυο υλικά σημεία είναι στερεωμένα στα άκρα άμαζης ράβδου. Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ομογενές πεδίο βαρύτητας. Η ράβδος ακουμπά σε ένα στήριγμα και είναι στερεωμένη έτσι που υπό την επίδραση των δυο δυνάμεων βαρύτητας πάνω στα υλικά σημεία, της αντίδρασης του σημείου στήριξης που είναι δύναμη κατακόρυφη προς τα πάνω, να ισορροπεί οριζόντια. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται περί τον κατακόρυφο άξονα που περνά από το σημείο στήριξης, δηλαδή σε οριζόντιο επίπεδο. Το σύστημα επιταχύνεται οριζόντια με σταθερή επιτάχυνση κάθετη στη ράβδο. Υπολογίστε τη ροπή που ασκείται στο σύστημα τη συγκεκριμένη στιγμή αν οι (παθητικές) βαρυτικές μάζες και οι αντίστοιχες αδρανειακές είναι διαφορετικές. 9. Υποθέστε ότι το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που οφείλεται σε ένα υλικό σημείο (σωμάτιο) μάζας M σε απόσταση από το σωμάτιο r δίνεται από τη σχέση

1

( )M

r Kr .

Για ένα λεπτό σφαιρικό φλοιό με ομοιόμορφη κατανομή μάζας και ακτίνας R , βρείτε το δυναμικό για και r R r R . Χωρίς κατ’ ανάγκη να κάνετε πολύπλοκους υπολογισμούς , δείξτε ότι το βαρυτικό πεδίο g δεν είναι μηδέν στο εσωτερικό του φλοιού αλλά μόνο αν

0 . Αυτά ισχύουν και για το ηλεκτροστατικό πεδίο. 10. Σε λεπτό ομογενή κύλινδρο (δίσκο), με μάζα m και ακτίνα R , είναι τυλιγμένο άμαζο σχοινί του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο στο ταβάνι. Το σχοινί είναι αρχικά κατακόρυφο. Ο κύλινδρος αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα να κινηθεί προς τα κάτω ενώ το σχοινί ξετυλίγεται. Βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου του δίσκου και τη μηχανική τάση του σχοινιού. Δικαιολογήστε γιατί το σχοινί θα παραμείνει κατακόρυφο, παρόλο που το κέντρο μάζας του δίσκου δεν βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφο του σχοινιού. Όλα γίνονται σε κατακόρυφο επίπεδο. 11. Ας θεωρήσομε μια λεπτή ψηλή καμινάδα η οποία αρχίζει γέρνει και να «πέφτει». Έχει παρατηρηθεί ότι τέτοιες καμινάδες καθώς πέφτουν σπάζουν σε ύψος (περίπου) 1/3 του συνολικού ύψους τους. Να θεωρήσετε ότι είναι λεπτή ομογενής ράβδος ώστε κατά προσέγγιση η γνωστή ροπή αδράνειάς της περί το κέντρο μάζας της δίνεται από το

γνωστό τύπο 21

12ml . Βρείτε την διαμήκη δύναμη, την εγκάρσια δύναμη και τη ροπή που

ασκεί το άνω τμήμα της καμινάδας στο κάτω τμήμα της μήκους r , στη μικρή διατομή στη θέση r από το κάτω άκρο της, ως συναρτήσεις της γωνίας της καμινάδας με την κατακόρυφο. Στο κάτω άκρο της ασκείται μόνο δύναμη και αυτό το άκρο δεν κινείται. Η καμινάδα αρχίζει να «πέφτει» από την κατακόρυφη θέση της χωρίς αρχικές ταχύτητες. Δικαιολογήστε από τις σχέσεις που θα βρείτε γιατί οι καμινάδες σπάζουν στο σημείο που αναφέραμε.

79

ΜΕΡΟΣ Β

80

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ 4. Β-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

Η λέξη Αναλυτική που υπάρχει στον κλάδο αυτό της δυναμικής αναφέρεται στο γεγονός ότι γίνεται χρήση του κλάδου των μαθηματικών που ξέρομε ως Μαθηματική Ανάλυση. Πιο συγκεκριμένα, σημαίνει τη χρήση στη Μηχανική των αρχών των Euler, Lagrange, Hamilton και άλλων. Σε αντιδιαστολή, η θεώρηση του Νεύτωνα στηρίζεται σε διανυσματική μεθοδολογία. Η μεθοδολογία κατά Νεύτωνα (νευτώνεια μεθοδολογία) με διανύσματα, είναι χρήσιμη στη Μηχανική κυρίως στη στατική και για απλά προβλήματα δυναμικής. Για πιο σύνθετα προβλήματα με πολλά σωμάτια, που μπορεί να υπάρχουν και δεσμοί μεταξύ τους, είναι πιο πρόσφορη η πιο αφαιρετική και λίγο πιο πέρα από τις συνήθεις εμπειρίες μας, Αναλυτική Δυναμική. Η Αναλυτική Δυναμική εκτός των άλλων είναι το σκαλοπάτι για την ανάπτυξη πιο προχωρημένων, πέραν της κλασικής φυσικής

81

θεωριών όπως είναι η Κβαντική Φυσική στις διάφορες μορφές της και η Γενική Σχετικότητα.

4.1 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΘΕΣΗΣ

Οι νόμοι του Νεύτωνα για την κίνηση μηχανικού συστήματος εκφράζονται με (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης σε καρτεσιανές συντεταγμένες του καθενός σωματίου (υλικού σημείου) του συστήματος. Πολλές φορές οι καρτεσιανές δεν είναι οι πιο βολικές συντεταγμένες για να λυθεί το πρόβλημα. Αν για παράδειγμα έχομε κεντρική κίνηση σωματίου τότε είναι πιο βολική η εισαγωγή σφαιρικών συντεταγμένων. Σε άλλες περιπτώσεις είναι βολικό να διαχωριστεί η κίνηση σε κίνηση του κέντρου μάζας που μπορεί να περιγράφεται με καρτεσιανές συντεταγμένες και σε κίνηση ως προς σύστημα του κέντρου μάζας που μπορεί να είναι σφαιρικές συντεταγμένες. Στην περίπτωση, όπως στην κίνηση στερεού, τα σωμάτια είναι δέσμια να κινούνται κατά τρόπο που η γνώση της θέσης κάποιων σωματίων μια χρονική στιγμή προσδιορίζει τη θέση των άλλων κάθε χρονική στιγμή. Έχομε δηλαδή δεσμούς μεταξύ των σωματίων. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός των συντεταγμένων θέσης είναι μικρότερος από τον αριθμό των συντεταγμένων όλων των σωματίων. Γενικώς στο συνήθη φορμαλισμό του Νεύτωνα για τη δυναμική, ξεκινούμε από τις εξισώσεις κίνησης σε καρτεσιανές συντεταγμένες (ουσιαστικά σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων) και μπορούμε να καταλήξομε στις εξισώσεις κίνησης στις μη καρτεσιανές, εν γένει, συντεταγμένες. Η μορφή των εξισώσεων κίνησης δεν είναι η ίδια στις διάφορες συντεταγμένες. Επίσης, όταν υπάρχουν δεσμοί τότε υπεισέρχονται στις εξισώσεις και δυνάμεις που εξαρτώνται από την κίνηση του συστήματος και είναι οι δυνάμεις των δεσμών. Μπορεί κάποιος να ορίσει ως Γενικευμένες Συντεταγμένες οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει κάποιο μηχανικό

82

σύστημα, συμπεριλαμβανομένων και των καρτεσιανών, πολλές φορές τις λέμε και απλώς συντεταγμένες. Οι αντίστοιχες παράγωγοι αυτών των συντεταγμένων ως προς το χρόνο είναι οι γενικευμένες ταχύτητες ή απλώς ταχύτητες. Πολλοί θεωρούν ως γενικευμένες συντεταγμένες τις ανεξάρτητες εκείνες συντεταγμένες οι οποίες αποτελούν το ελάχιστο σύνολο συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης συστήματος σωματίων. Ακόμη χρησιμοποιείται ο όρος γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες για τις τελευταίες, δηλαδή τις ανεξάρτητες συντεταγμένες και ο όρος γενικευμένες συντεταγμένες για τις συντεταγμένες γενικώς. Στα πλαίσια της Αναλυτικής Δυναμικής έχομε εξισώσεις κίνησης με την ίδια μορφή ανεξάρτητα από το είδος των γενικευμένων συντεταγμένων. Επίσης μπορεί να επιτευχθεί, να μην εμφανίζονται οι δυνάμεις των δεσμών εφόσον αυτές δεν παράγουν έργο υπό κάποιες συνθήκες (π.χ. περίπτωση στερεού σώματος). Αυτή η ιδέα ξεκίνησε από τον Lagrange. Συνήθως για τις γενικευμένες συντεταγμένες χρησιμοποιείται κατά κανόνα ο συμβολισμός: 1 2, ,..., nq q q και 1 2( , ,..., )nq q q q .

Προφανώς για τον καθορισμό της θέσης Ν σωματίων που αποτελούν κάποιο μηχανικό σύστημα, χρειάζονται 3Ν καρτεσιανές συντεταγμένες θέσης ή 3Ν άλλες κατάλληλες (γενικευμένες) συντεταγμένες. Στην πιο απλή περίπτωση οι συντεταγμένες είναι σε ομάδες των τριών διότι χρειάζονται ανά τρεις συντεταγμένες για κάθε ένα σωμάτιο. Γενικώς, οι συντεταγμένες δεν είναι απαραίτητο να είναι σε διακριτές τριάδες, αλλά όμως για Ν σωμάτια χρειάζονται συνολικά πάντα 3Ν συντεταγμένες. Ο χώρος των θέσεων λέγεται (configuration space) θεσικός χώρος ή χώρος των θέσεων. Σε κάθε χώρο 3Ν διαστάσεων η θέση του συστήματος παριστάνεται με ένα σημείο που έχει 3 N συντεταγμένες. Ο χώρος αυτός με διαστάσεις πλήθους 3 N είναι ο πλήρης θεσικός χώρος για N σωμάτια, ανεξάρτητα του αν υπάρχουν δεσμοί τέτοιοι που περιορίζουν το πλήθος των ανεξάρτητων γενικευμένων συντεταγμένων (γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες). Όταν υπάρχουν δεσμοί που περιορίζουν τις ανεξάρτητες συντεταγμένες θέσης τότε αν οι (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες είναι n ισχύει 3n N , όπου η ισότητα ισχύει αν δεν υπάρχουν δεσμοί. Παρόλο που αναφερόμαστε στη θέση των Ν σωματίων συστήματος, πολλές φορές στην πράξη αυτό δεν μας ενδιαφέρει, ειδικά αν έχομε στερεά σώματα όπως ένας συμπαγής κύλινδρος, τότε μπορεί απλώς να μας ενδιαφέρει ο προσδιορισμός της θέσης του στερεού ως συνόλου, πράγμα που χρειάζεται πολύ λίγες συντεταγμένες. Ακόμη πρέπει να πούμε ότι, ενώ όταν αναφερόμαστε σε σωμάτια χρειάζεται πολλές φορές να αθροίσομε μεγέθη των διαφόρων σωματίων, δηλαδή έχομε διακριτά αθροίσματα, σε άλλες περιπτώσεις δεν έχομε διακριτά σημεία αλλά συνεχείς κατανομές (για παράδειγμα ο συμπαγής στερεός κύλινδρος), τότε προφανώς έχομε ολοκληρώματα. Παρόλα αυτά θα λέμε πάντα ότι αθροίζομε, θεωρώντας και το ολοκληρώματα ένα είδος αθροίσματος. 4.2 Δεσμοί Μεταξύ των σωματίων μηχανικού συστήματος μπορεί να υπάρχουν γεωμετρικοί περιορισμοί (δεσμοί, σύνδεσμοι), που περιορίζουν το χώρο των θέσεων. Υπάρχουν και οι κινητικοί δεσμοί οι οποίοι περιορίζουν την κινητικότητα ενός μηχανικού συστήματος, δηλαδή τις μετατοπίσεις του και επομένως και τις ταχύτητές του. Κάθε γεωμετρικός περιορισμός περιορίζει και τις μετατοπίσεις του συστήματος, δηλαδή είναι και κινητικός περιορισμός, ενώ κάθε κινητικός περιορισμός δεν είναι κατ’ ανάγκη και γεωμετρικός περιορισμός. Για ένα σωμάτιο το οποίο είναι περιορισμένο να κινείται μέσα σε ένα κουτί που είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, οι δεσμοί εκφράζονται με ανισότητες.

83

Χρησιμοποιείται ο όρος αμφιμερείς σύνδεσμοι για συνδέσμους που εκφράζονται με ισότητες και μονομερείς σύνδεσμοι για συνδέσμους που εκφράζονται με ανισότητες. Θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με αμφιμερείς συνδέσμους, δηλαδη με συνδέσμους που εκφράζονται με ισότητες. Πολλές φορές ανάγομε, με διάφορα τεχνάσματα, μονομερείς συνδέσμους σε αμφιμερείς για να απλοποιήσομε και μπορέσομε να λύσομε πιο εύκολα μερικά προβλήματα. Ας εξετάσομε το παράδειγμα κυκλικού δίσκου ακτίνας a που μπορεί να κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο, Σχ. 4.1. Σχήμα 4.1 Κυκλικός δίσκος που μπορεί να κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο. Υποθέτομε ότι ο δίσκος κινείται έτσι ώστε να είναι συνεχώς εφαπτόμενος στο οριζόντιο επίπεδο xy και το επίπεδό του να είναι συνεχώς κατακόρυφο. Η θέση του δίσκου προσδιορίζεται από τις δυο καρτεσιανές συντεταγμένες ,x y του κέντρου του και από τις γωνίες , . Αν η επαφή είναι λεία (που υποθέτομε ότι σημαίνει χωρίς τριβή) τότε ο δίσκος κατά τη μετατόπισή του μπορεί και ολισθαίνει στο επίπεδο προς όλες τις κατευθύνσεις , οι τέσσερις αυτές συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες και μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή. Επίσης οποιαδήποτε μικρή ή μεγάλη μεταβολή αυτών των γενικευμένων συντεταγμένων είναι επιτρεπτή. Ας υποθέσομε στη συνέχεια ότι, η επαφή είναι τραχεία (δηλαδή υπάρχει τριβή) έτσι ώστε ο δίσκος να μπορεί να κυλίεται στο επίπεδο αλλά χωρίς να μπορεί να ολισθαίνει σε καμιά κατεύθυνση. Σε αυτή την περίπτωση οι τέσσερις γενικευμένες συντεταγμένες εξακολουθούν να μπορούν να πάρουν όλες τις τιμές που μπορούσαν να πάρουν και πριν παρόλο που τώρα υπάρχει ο πρόσθετος περιορισμός της μη ολίσθησης. Ο θεσικός χώρος μένει ο ίδιος, με τις ίδιες διαστάσεις. Τώρα όμως οι στοιχειώδεις μετατοπίσεις δεν μπορεί να επιλεγούν αυθαίρετα, δεν είναι ανεξάρτητες. Αν οι στοιχειώδεις μετατοπίσεις δεν είναι ανεξάρτητες τότε συμπεραίνομε ότι και οι αντίστοιχες ταχύτητες δεν θα είναι ανεξάρτητες. Στην περίπτωσή μας είναι καλύτερα να ξεκινήσομε με την δέσμευση για τις ταχύτητες που είναι γνωστή και από τη Γενική Φυσική. Έχομε για το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου του δίσκου a . Η διανυσματική ταχύτητα είναι κάθετη στον άξονα του δίσκου και είναι οριζόντια, επομένως sin sinx a , cos cosy a . Προφανώς από τις τελευταίες βρίσκομε για στοιχειώδεις μετατοπίσεις ότι

84

d sin d 0

d cos d =0.

x a

y a

(4.1)

Αυτό είναι το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων δεσμού (περιορισμού) μεταξύ των στοιχειωδών μετατοπίσεων. Δεν υπάρχει περιορισμός στις τιμές των συντεταγμένων , δηλαδή στο θεσικό χώρο, όπως αποδεικνύεται με χρήση της κατάλληλης διαδικασίας που θα δούμε παρακάτω. Αυτό σημαίνει ότι οι διαφορικές εξισώσεις (4.1) δε μπορούν να ολοκληρωθούν ώστε να προκύψουν περιοριστικές (δεσμευτικές) σχέσεις για τις συντεταγμένες. Έχομε καθαρά κινητικούς δεσμούς που δεν είναι και γεωμετρικοί δεσμοί. Μπορεί να δειχθεί ότι οι παραπάνω φυσικοί περιορισμοί μπορούν να εκφραστούν με άλλες διαφορικές εξισώσεις που μπορεί να περιέχουν και μη γραμμικά διαφορικά, συγκεκριμένα, αντί για τις Εξ. (4.1) μπορούμε να έχομε τις εξισώσεις 2 2 2 2(d ) (d ) (d ) 0, d sin -d cos 0x y a x y . (4.2) Γενικώς, είναι δυνατόν οι ίδιοι φυσικοί περιορισμοί να εκφράζονται με διαφορετικές διαφορικές εξισώσεις.

Οι γραμμικές ως προς τα διαφορικά εκφράσεις 1 21

( , ,..., )dm

li m ii

C z z z z λέγονται διαφορικές

εκφράσεις του Pfaff από το Γερμανό μαθηματικό που τις εισήγαγε. Έστω οι διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν από M ανεξάρτητες τέτοιες διαφορικές εκφράσεις (είναι όμοιες με αυτές της Εξ.(4.11),

1 21

( , ,..., )d 0, 1, 2,...,m

li m ii

C z z z z l M

M m

. (4.3)

Αυτές λέγονται (διαφορικές) εξισώσεις του Pfaff και αποτελούν ένα σύστημα εξισώσεων και θα υποθέτομε ότι είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Το πλήθος M των δεσμευτικών σχέσεων πρέπει να είναι μικρότερο του πλήθους m των μεταβλητών ώστε να υπάρχει δυνατότητα κάποιας απειροστής ή πεπερασμένης μετατοπισης. Η ανεξαρτησία μεταξύ των διαφορικών εξισώσεων πλήθους M σημαίνει ότι η μήτρα M m των συντελεστών liC στην Εξ.(4.3) είναι τάξης M .

Οι καμπύλες στον χώρο των m διαστάσεων που είναι λύσεις του συστήματος έχουν την παραμετρική μορφή 1 2( ) ( ), ( ),..., ( )mz t z t z t z t (4.4)

t είναι μια παράμετρος που στη μηχανική είναι συνήθως ο χρόνος. Οι Εξ.(4.3) είναι πλήρως (όλες μαζύ) ολοκληρώσιμες αν υπάρχουν M σχέσεις που τις πληρούν, ή καλύτερα είναι ισοδύναμές τους, της μορφής 1 2( , ,..., ) l m lh z z z c (4.5)

lc είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Αυτό σημαίνει ότι η διαφόρηση των (4.5) οδηγεί σε

διαφορικές εξισώσεις που αν πάρομε γραμμικούς συνδυασμούς τους πολλαπλασιάζοντας επί κατάλληλες συναρτήσεις καταλήγομε στις (4.3). Για κάθε l οι Εξ.(4.5) αντιπροσωπεύουν μια μονοπαραμετρική οικογένεια υπερεπιφανειών (διάστασης 1m μέσα σε χώρο διάστασης m ) που δεν τέμνονται. Τομές M τέτοιων υπερεπιφανειών (με διαφορετικά l ) είναι υπόχωρος m M διαστάσεων του χώρου των m διαστάσεων.

85

Όταν το σύστημα διαφορικών εξισώσεων είναι πλήρως ολοκληρώσιμο, τότε οι λύσεις (4.4) βρίσκονται σε αυτό τον υπόχωρο. Όταν το σύστημα είναι πλήρως ολοκληρώσιμο ισχύει ένα ή συνδυασμός από τα παρακάτω, α) η κάθε διαφορική μορφή είναι ολικό διαφορικό ή μπορεί να γίνει ολικό διαφορικό με πολλαπλασιασμό επί κατάλληλο μη μηδενικό ολοκληρωτικό παράγοντα (γενικώς συνάρτηση των συντεταγμένων). β) υπάρχουν γραμμικοί συνδυασμοί των Εξ.(4.3) που είναι ολικά διαφορικά. Εκτός από την περίπτωση της μιας διαφορικής εξίσωσης, το πρόβλημα με σύστημα διαφορικών εξισώσεων είναι πολύ πολύπλοκο. Μπορεί μέρος του συστήματος να είναι ολοκληρώσιμο με την ανωτέρω έννοια, ενώ οι υπόλοιπες εξισώσεις του να μην είναι. Το σύστημα τότε είναι μερικώς ολοκληρώσιμο. Στην περίπτωση της Μηχανικής, γενικώς, μπορεί να έχομε πολλές δεσμευτικές διαφορικές εξισώσεις, M m , ανεξάρτητες μεταξύ τους. Όταν το σύστημα είναι ολοκληρώσιμο τότε σε κάθε σημείο υπάρχουν γειτονικά σημεία που δεν ενώνονται με αυτό ακολουθόντας τις λύσεις (4.4) των διαφορικών εξισώσεων. Αυτό συμβαίνει διότι οι λύσεις θα βρίσκονται πάνω στις «τομές» M υπερεπιφανειών διάστασης η κάθε μια

1m .Η κάθε μια υπερεπιφάνεια ανήκει σε μια από τις M οικογένειες υπερεπιφανειών. Το αρχικό σημείο βρίσκεται πάνω σε κάποια τομή από όπου περνά μια λύση, όμως όποια σημεία δε βρίσκονται πάνω σε τέτοιες τομές δε μπορούν να ενωθούν με το αρχικό γιατί η λύση δε μπορεί να βγεί έξω από αυτόν τον υπόχωρο. Αυτό σχετίζεται με το θεώρημα του Καραθεοδωρή το οποίο χρησιμοποίησε για να αναδιατυπώσει το δεύτερο Θερμοδυναμικό Αξίωμα. Αν έχομε τρισδιάστατο χώρο τότε είναι δυνατόν να έχομε το πολύ μέχρι δυο δεσμευτικές διαφορικές σχέσεις. Οι αντίστοιχες επιφάνειες θα είναι δυο οικογένεις δισδιάστατων επιφανειών. Μια διαφορική εξίσωση μπορεί να είναι ολοκληρώσιμη χωρίς να είναι ολικό διαφορικό, αυτό σημαίνει ότι μπορεί να γίνει ολικό διαφορικό αν πολλαπλασιαστεί επί κάποιον κατάλληλο ολοκληρωτικό παράγοντα. Αν υπάρχει ένας ολοκληρωτικός παράγοντας μπορεί να βρεθεί άπειρο πλήθος ολοκληρωτικών παραγόντων. Για το πλήθος L των ολοκληρωμάτων (αν υπάρχουν) ισχύει L M , όπου M το πλήθος των ανεξάρτητων διαφορικών εξισώσεων. Δηλαδή, τό σύστημα μπορεί να είναι πλήρως, μερικώς ή καθόλου ολοκληρώσιμο. Οι λύσεις στην περίπτωση των ολοκληρώσιμων διαφορικών εξισώσεων λέγονται και γνήσιες λύσεις. Όταν κάποια διαφορική εξίσωση ή σύστημα εξισώσεων δε μπορεί να ολοκληρωθεί τότε δεν υπάρχουν γνήσιες λύσεις κατά την ανωτέρω έννοια αλλά υπάρχουν λύσεις που λέγονται ιδιάζουσες λύσεις οι οποίες μπορούν να «ενώσουν» οποιαδήποτε γειτονικά σημεία. Στα επόμενα θα γράφομε τα ολοκληρώματα των διαφορικών εξισώσεων στη μορφή 1 2( , ,..., ) 0 l mf z z z . (4.6)

Για την ανωτέρω ειδική περίπτωση του κυλιόμενου δίσκου χωρίς ολίσθηση, μπορούμε να κατανοήσομε ότι δεν υπάρχει δεσμευτική σχέση μεταξύ των γενικευμένων συντεταγμένων και οι συντεταγμένες μπορούν να πάρουν όλες τις τιμές που θα έπαιρναν αν δεν υπήρχαν οι δεσμευτικές σχέσεις. Αυτό φαίνεται με το συλλογισμό που ακολουθεί. Έστω ότι έχομε δεδομένα , ,x y που προφανώς μπορεί να είναι οποιαδήποτε. Ισχυριζόμαστε ότι το μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Πράγματι, ο δίσκος μπορεί να κυλίσει (χωρίς ολίσθηση) διαγράφοντας, για παράδειγμα, κύκλο αυθαίρετης ακτίνας R

86

του οποίου το κέντρο είναι πάνω στην κάθετο στο επίπεδό του στο σημείο επαφής του με το οριζόντιο επίπεδο, ενώ πληρούνται οι συνθήκες των δεσμών. Κατά την κίνηση, το επίπεδο του δίσκου είναι συνεχώς κάθετο στην ακτίνα του διαγραφόμενου κύκλου η οποία περνά από το σημείο επαφής. Αυτό σημαίνει ότι ο δίσκος περιστρέφεται περί τον κατακόρυφο άξονα που περνά από το σημείο επαφής και το μεταβάλλεται. Ας υποθέσομε ότι ο δίσκος διαγράφει έναν πλήρη κύκλο στο οριζόντιο επίπεδο. Προφανώς τα , ,x y θα έχουν και πάλι τις τιμές που είχαν όταν ξεκίνησε η μετατόπιση. Είναι ευνόητο ότι διαλέγοντας κατάλληλα την ακτίνα R του κύκλου περιστροφής μπορούμε να πετύχομε οποιοδήποτε για δεδομένα , ,x y . Αυτό δείχνει ότι δεν υπάρχει δεσμευτική σχέση μεταξύ των , , ,x y . Το ίδιο ισχύει για απειροστή μετατόπιση, δηλαδή αν είμαστε σε κάποια θέση ( , , , )x y και θέλομε να πάμε στην απείρως κοντυνή γειτονική θέση ( , , d , )x y , μπορούμε να το πετύχομε διαλέγοντας κύκλο κατάλληλης ακτίνας R στον οποίο να κινηθεί κατά συνεχή τρόπο, όπως πριν, ο δίσκος έτσι που τα , ,x y να έχουν τελικώς τις αρχικές τους τιμές και το να αποκτήσει την τιμή d . Ένας άλλος τρόπος να δει κανείς ότι στην περίπτωση μη ολοκληρώσιμης διαφορικής εξίσωσης δεσμού, υπάρχει διαδρομή που από ένα σημείο να μας οδηγεί σε οποιοδήποτε άλλο είναι και ο ακόλουθος. Ας εξετάσομε μια ειδική περίπτωση που η δεσμευτική κινητική σχέση είναι μια, είναι στο χώρο των τριών διαστάσεων και είναι η διαφορική εξίσωση d d 0y z x . Μπορεί να δειχτεί ότι αυτή δεν οδηγεί σε (δεσμευτική) σχέση μεταξύ των , ,x y z , δηλαδή δεν είναι ολοκληρώσιμη με την ανωτέρω έννοια. Ισχυριζόμαστε ότι μπορούμε να βρούμε μια (ιδιάζουσα) λύση που να ενώνει δυο τυχαία σημεία. Έστω το αρχικό σημείο 1 1 1, ,x y z και το τελικό σημείο 2 2 2, ,x y z . Θα δούμε ότι

μπορούμε ξεκινώντας από την αρχική θέση να φτάσομε στην τελική τυχαία θέση, κινούμενοι κατά συνεχή τρόπο χωρίς να παραβιάζεται η κινητική δεσμευτική σχέση. Αυτό, για παράδειγμα, μπορεί να γίνει ακολουθώντας τη διαδρομή

d ( )

( ) d

f xy f x z

x

όπου η ( )f x είναι (αρκετά αυθαίρετη) αλλά έχει επιλεγεί έτσι ώστε να έχει πρώτη παράγωγο και να ισχύουν

1 21 1 1 2 2 2

d ( ) d ( )( ) ( )

d d

f x f xf x y z f x y z

x x

Αντικαθιστώντας τα ,y z στη διαφορική εξίσωση του δεσμού βρίσκομε ότι αυτή πράγματι ικανοποιείται κατά την ανωτέρω διαδρομή. Πράγματι έχομε

d

d d d d 0d

fy z x f x

x .

Οι συνθήκες που βάλαμε να ισχύουν για την ( )f x και την παράγωγό της, δείχνουν ότι η

ανωτέρω διαδρομή πράγματι μας οδηγεί από το σημείο 1 1 1, ,x y z στο σημείο 2 2 2, ,x y z .

Ξανατονίζομε ότι δε μπορεί να γίνει ανάλογη διαδικασία για ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις γιατί οι λύσεις είναι δεσμευμένες να βρίσκονται πάνω σε κάποια (μια) μονοπαραμετρική επιφάνεια που αντιπροσωπεύει ένα ολοκλήρωμα. Αυτό σημαίνει ότι

87

ακόμη και απείρως γειτονικά σημεία προς κάποιο σημείο δεν είναι προσβάσιμα με συνεχή γραμμή λύση αν δε βρίσκεται πάνω στη σχετική επιφάνεια. Οι δεσμοί μπορεί να εξαρτώνται και από το χρόνο. Αν οι δεσμοί μεταξύ των γενικευμένων συντεταγμένων δίνονται από σχέσεις της μορφής 1 2( , ,..., , ) 0 1, 2,....,k nf q q q t k M (4.7)

τότε λέμε ότι οι δεσμοί είναι ολόνομοι. Οι σχέσεις πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Όλοι οι άλλοι δεσμοί που δεν δίνονται σε αυτή τη μορφή ή δίνονται σε μορφή που δεν μπορεί να αναχθεί στη μορφή αυτή, λέγονται μη ολόνομοι δεσμοί. Σχέσεις που περιέχουν και γενικευμένες ταχύτητες, δηλαδή είναι της μορφής ( , , ) 0, 1, 2,..., kg q q t k M (4.8)

αν δε μπορούν να ολοκληρωθούν και να οδηγήσουν σε εξισώσεις της μορφής της Εξ.(4.7) οπότε θα ανάγονταν σε ολόνομους δεσμούς, εκφράζουν μη ολόνομους δεσμούς. Όλοι οι δεσμοί που δεν είναι ολόνομοι είναι μη ολόνομοι. Ειδική περίπτωση των Εξ.(4.8) είναι αυτή των Εξ.(4.9) που είναι γραμμικές ως προς τις ταχύτητες,

1

( , ) ( , ) 0 1, 2,...,n

ki i ki

A q t q A q t k M

. (4.9)

Έστω κυκλικός δίσκος ακτίνας a που κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά μήκος ευθείας όπως στο Σχ. 4.2. Ο περιορισμός για κύλιση χωρίς ολίσθηση δίνει

d d

d dd d =0.

sa

t ts a

(4.10)

Σχήμα 4.2 Δίσκος που κυλίεται πάνω σε μια ευθεία.

88

Προφανώς με ολοκλήρωση παίρνομε μια σχέση μεταξύ των δυο γενικευμένων συντεταγμένων τη σχέση 0 0 0s s a a , ο κάτω δείκτης 0 δηλώνει αρχικές τιμές

των αντίστοιχων μεγεθών. Αυτή η σχέση είναι της μορφής της Εξ. (4.7), άρα το σύστημα είναι ολόνομο και η ανεξάρτητη γενικευμένη συντεταγμένη είναι μια, δηλαδή ο θεσικός χώρος είναι μονοδιάστατος. Αν η κύλιση γίνονταν με ολίσθηση τότε δεν θα υπήρχε δεσμευτική σχέση και ο θεσικός χώρος θα είχε διάσταση δύο. Παρατηρούμε ότι ξεκινόντας από το αρχικό σημείο του χώρου των δυο διαστάσεων δε μπορούμε να πάμε σε οποιοδήποτε γειτονικό του σημείο εφόσον υπάρχει η δεσμευτική σχέση στο χώρο των δυο διαστάσεων, δηλαδή από ,s σε ,s s . Δεν υπάρχει ορισμός για το τι είναι μη ολόνομος δεσμός, απλά, δεσμός που δεν είναι ολόνομος είναι μη ολόνομος δεσμός. Θα ασχοληθούμε κυρίως με την ειδική κατηγορία δεσμών που περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις του τύπου

1

( , )d ( , )d 0 1, 2,..., n

lk k lk

A q t q A q t t l M M n

(4.11)

ή 1

( , ) ( , ) 0 1, 2,..., n

lk k lk

A q t q A q t l M M n

.

Ξανατονίζομε ότι αυτές οι διαφορικές εξισώσεις εκφράζουν ολόνομους δεσμούς αν μπορεί να οδηγήσουν σε ολοκληρώματα που γενικώς συνδέουν γενικευμένες συντεταγμένες και το χρόνο. Αν δεν μπορούν να οδηγήσουν σε τέτοιες σχέσεις μεταξύ συντεταγμένων και του χρόνου τότε εκφράζουν μη ολόνομους δεσμούς. Οι μη ολόνομοι δεσμοί που εκφράζονται με διαφορικές εξισώσεις λέγονται ανολόνομοι δεσμοί. Αν οι διαφορικές εξισώσεις είναι ολικά διαφορικά τότε λέγονται ημιολόνομοι δεσμοί. Οι διαφορικές εξισώσεις, δεσμοί, με τις οποίες κυρίως θα ασχοληθούμε , θα είναι γραμμικές ως προς τα διαφορικά ή τις ταχύτητες (διαφορικές εξισώσεις (του) Pfaff). Αν δεν υπάρχει ο όρος με το ( , )lA q t τότε ο δεσμός λέγεται καταστατικός αν υπάρχει αυτός ο όρος τότε

έχομε ακαταστατικό δεσμό. Αν όλοι οι δεσμοί συστήματος είναι του πρώτου τύπου το σύστημα λέγεται καταστατικό, αν όλοι είναι του δεύτερου τύπου το σύστημα λέγεται ακαταστατικό. Αν έχομε τις ολόνομες σχέσεις Εξ. (4.7) μπορούμε να πάρομε τις διαφορικές εξισώσεις με διαφόριση

1

( , ) ( , )d d 0 1, 2,...,

( , ) ( , )( , ) , ( , ) .

nl l

kk k

l llk l

k

f q t f q tq t l M

q t

f q t f q tA q t A q t

q t

(4.12)

Αν ο δεσμός δεν εξαρτάται (άμεσα) από το χρόνο λέγεται σκληρόνομος δεσμός αν εξαρτάται (άμεσα) από το χρόνο λέγεται ρεόνομος δεσμός. Η τυχόν εξάρτηση από το χρόνο εμφανίζεται είτε σε εξισώσεις όπως οι Εξ. (4.7), Εξ. (4.8) ή σε διαφορικές εξισώσεις, δηλαδή στους συντελεστές των Εξ. (4.11) ή (4.12), ακόμη ο χρόνος μπορεί να εμφανίζεται σε ανισότητες. Αν οι διαφορικές εξισώσεις δεσμών που σχετίζονται με διαφορικές εκφράσεις που αρχικά δεν είναι ολικά διαφορικά, μπορεί να μετατραπούν οι ίδιες ή γραμμικοί συνδυασμοί τους σε ολικά διαφορικά αφού πολλαπλασιαστούν επί κατάλληλες συναρτήσεις που λέγονται

89

ολοκληρωτικοί παράγοντες τότε λέμε ότι έχομε μετατροπή του συστήματος των δεσμών σε σύστημα ημιολόνομων δεσμών. Μπορούμε να χρησιμοποιήσομε τον ακόλουθο συμβολισμό για τις συντεταγμένες συμπεριλαμβάνοντας και το χρόνο

1, 2,..., 1 l l mu q l n m n u t .

Οι διαφορικές εξισώσεις των Εξ. (4.11) παίρνουν τη μορφή

1

( )d 0, = 1, 2,...,m

lk k lm lk

B u u B A l M

. (4.13)

Αν έχομε μόνο μια μοναδική δεσμευτική σχέση της μορφής

1

d 0m

r rr

B u

(4.14)

το κριτήριο ολοκληρωσιμότητάς της είναι σχετικά απλό, συγκεκριμένα πρέπει να ισχύει

( ) ( ) ( ) 0

, , 1, 2,..., .

l s s lr rs l r

r l s r l s

B B B BB BB B B

u u u u u u

r l s m

(4.15)

Υπάρχουν ( 1)( 2) / 6m m m εξισώσεις εκ των οποίων ( 1)( 2) / 2m m είναι ανεξάρτητες. Μερικές φορές για να ελέγξομε την ολοκληρωσιμότητα ενός διαφορικού πολλαπλασιάζομε επί μια άγνωστη συνάρτηση το διαφορικό και βλέπομε αν υπάρχει τέτοια (μη) μηδενική συνάρτηση που να κάνει το διαφορικό ολικό διαφορικό, δηλαδή αξιοποιούμε τις σχέσεις που πρέπει να ισχύουν για το ολικό διαφορικό. Για μια δεσμευτική σχέση με τρεις μεταβλητές έχομε

d d d 0

( ) ( ) ( ) 0.

A x B y C z

B C C A A BA B C

z y x z y x

(4.16)

Για μια σχέση με δυο μεταβλητές, ( , )d ( , )d 0A x y x B x y y , αν το διαφορικό δεν είναι τέλειο εξ αρχής, πάντα μπορεί να βρεθεί ολοκληρωτικός παράγοντας που το κάνει τέλειο διαφορικό. Αυτό μπορεί να δειχτεί και απευθείας αλλά φαίνεται από το γεγονός ότι το κριτήριο της Εξ.(4.15) ή της Εξ.(4.16) ικανοποιείται κατά τετριμμένο τρόπο. Στην περίπτωση μιας ολοκληρώσιμης διαφορικής εξίσωσης τύπου Pfaff τριών μεταβλητών έχομε μια εικόνα όπου φαίνεται το γεωμετρικό νόημα της διαδικασίας, βλέπε Σχήμα 4.3.

90

Σχήμα 4.3 . Γεωμετρική εικόνα μιας ολοκληρώσιμης διαφορικής εξίσωσης σε χώρο τριών διαστάσεων. Το ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης, η σχέση ( , , )f x y z c , φαίνεται για δυο τιμές

,c c της σταθεράς c με τη μορφή δυο μη τεμνόμενων επιφανιών. Στο σημείο 0 0 0, ,x y z

της επιφάνειας c έχει σχεδιαστεί το στοιχειώδες εφαπτόμενο επίπεδο και η κάθετος που

αντιπροσωπεύει διάνυσμα ( , , )V A B C

, δηλαδή με συνιστώσες τα , ,A B C . Πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο βρίσκονται τα d ,d ,dx y z που είναι κατά μήκος της λύσης

( ), ( ), ( )x x t y y t z z t η οποία περνά από το εν λόγω σημείο. Η καθετότητα υπάρχει γιατί ισχύει η διαφορική εξίσωση d d d 0A x B y C z που φαίνεται και στο Σχήμα 4.3. Μπορούμε να γράψομε και τη σχέση

d 0, d (d ,d ,d )V r r x y z

. (4.17) Το dr

είναι πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο.

Αυτό που συμβαίνει είναι ότι όλες οι λύσεις που περνούν από το ανωτέρω σημείο είναι κάθετες στο «διάνυσμα» , ,A B C και μπορούν και σχηματίζουν ένα επίπεδο εφαπτόμενο στην επιφάνεια c . Δεν υπάρχει γενικός τρόπος υπολογισμού των ολοκληρωτικών παραγόντων.

Το κριτήριο της Εξ.(4.16) σημαίνει ότι αν ( , , )V A B C

πρέπει

( ) 0V V

. (4.18)

91

Η Εξ.(4.15) είναι γενίκευση της Εξ.(4.16) και (4.18). Αν η διαφορική εξίσωση είναι από την αρχή ολικό διαφορικό τότε ισχύουν οι γνωστές σχέσεις

, , B C C A A B

z y x z y x

. (4.19)

Όταν ισχύουν αυτές οι σχέσεις τότε το κριτήριο (4.16) ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο.

Οι σχέσεις (4.19) λένε ότι το 0V

άρα το αντίστοιχο πεδίο είναι αστρόβιλο

επομένως προέρχεται από δυναμικό άρα V f

. Δηλαδή

, , f f f

A B Ax y z

.

Η κλίση είναι κάθετη στην επιφάνεια ( , , )f x y z c . Αυτά είναι ειδική περίπτωση της Εξ.(4.12) . Για να είναι πλήρες διαφορικό η διαφορική μορφή της μοναδικής Εξ. (4.14) με πολλές μεταβλητές, οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες οι αντίστοιχες των Εξ.(4.19) είναι οι εξής

, 1, 2,...,sr

s r

BBr s m

u u

. (4.20)

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει συνάρτηση ( )f u που το ολικό διαφορικό της είναι η διαφορική μορφή της Εξ. (4.14). Η εύρεση της συνάρτησης αυτής μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους που εξαρτώνται από τη μορφή της διαφορικής εξίσωσης. Μπορεί

κάποιος να κάνει χρήση του γεγονότος ότι ii

fB

u

. Επίσης ό,τι το ολοκλήρωμα μεταξύ

δυο σημείων δεν εξαρτάται από τη διαδρομή (αστρόβιλο πεδίο) κτλ κτλ. Στη γενική περίπτωση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων (4.13) που οι διαφορικές μορφές τους δεν είναι κατ’ ανάγκη ολικά διαφορικά, για να υπάρχουν αναγκαίες και ικανές συνθήκες ώστε οι διαφορικές εξισώσεις να είναι πλήρως ολοκληρώσιμες ως σύστημα εξισώσεων, είναι οι συνθήκες του Frobenius,

1 1

( ) 0m m

lr lsr s

r s r s

B Bx x

u u

1, 2,...,l M (4.21)

όπου τα ,r sx x είναι δυο σύνολα λύσεων των

1

0 . m

lr rr

B x

1, 2,...,l M (4.22)

Επειδή οι εξισώσεις είναι λιγότερες από τους αγνώστους, υπάρχουν γενικώς περισσότερες από μια λύσεις. Αν όλες ή μερικές από τις διαφορικές εκφράσεις του Pfaff που αποτελούν το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων είναι πλήρη διαφορικά τότε για κάθε μια από αυτές ισχύει το κριτήριο της Εξ. (4.20). Το κριτήριο του Frobenius, στην παραπάνω μορφή του, είναι πολύ δύσκολο να εφαρμοστεί στην πράξη. Μια πιο χρηστική μορφή του κριτηρίου Frobenius είναι αυτή που στηρίζεται στις διαφορικές μορφές (defferential forms) που οφείλονται στον Cartan.

92

Έστω ότι έχομε σύστημα M διαφορικών εξισώσεων Pfaff οι οποίες είναι διαφορικές μορφές-1 (βαθμού 1) σε χώρο n διαστάσεων

1

d 1,2,..., , n

i ij jj

A q i M M n

. (4.23)

Αν οι διαφορικές εξισώσεις είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες τότε η διαφορική μορφή-M (βαθμού M ) που είναι γινόμενο-Λ (wedge product) των ανωτέρω M διαφορικών μορφών-1 είναι διάφορο του μηδενός, δηλαδή 1 2 ... 0M . (4.24)

Σε αυτή την περίπτωση οι διαφορικές μορφές ως σύστημα είναι (πλήρως) ολοκληρώσιμες αν ισχύει ταυτοτικά 1d ... 0, 1, 2,...,i M i M . (4.25).

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν M ανεξάρτητες σχέσεις ολοκληρώματα όπως στην Εξ.(4.5). Αν ο χώρος των ανεξάρτητων μεταβλητών 1 2( , ,..., )nq q q είναι απλά συνεκτικός (θέτοντάς

το απλά, αν δεν έχει τρύπες), τότε αν ισχύει ταυτοτικά η σχέση d 0i αυτό οδηγεί στο

ό,τι το i είναι ολικό διαφορικό Εξ.(4.20) και η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση είναι

ολοκληρώσιμη από μόνη της. Αυτά σημαίνουν ότι υπάρχει συνάρτηση

1 2( , ,..., )nf f q q q της οποίας το ολικό διαφορικό ισούται με το συγκεκριμένο δηλαδή

df . Αφού εξασφαλιστεί η ύπαρξη τέτοιας συνάρτησης, η εύρεσή της μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους ανάλογα με τη μορφή της διαφορικής μορφής όπως αναφέραμε στα προηγούμενα. Παραδείγματα

1. Δίνεται η διαφορική εξίσωση d d d 0x x y y z z στο χώρο των τριών διαστάσεων. Δείξτε ότι είναι ολοκληρώσιμη και μάλιστα ολικό διαφορικό. Βρείτε το ολοκλήρωμα ( , , )f x y z c . Η έκφραση αυτή ως δεσμός στη μηχανική είναι ολόνομος. Λύση Υπολογίζομε το εξωτερικό διαφορικό d της διαφορικής μορφής

d d dx x y y z z , d d d d d d d 0x x y y z z , αυτό σημαίνει ότι η διαφορική μορφή είναι ολικό διαφορικό άρα η διαφορική εξίσωση είναι ολοκληρώσιμη οπότε ενώ το κριτήριο του Frobenius d 0 ισχύει, δε χρειάζεται να εφαρμοστεί. Εφόσον ξέρομε ότι υπάρχει το ολοκλήρωμα, αυτό μπορεί να υπολογιστεί με κάποια διαδικασία. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η διαδικασία είναι τετριμένη αφού

2 2 21d d d

2x x y y z z x y z άρα 2 2 2( , , )f x y z x y z c .

93

2. Να δειχθεί ότι η 4 2 3 5 3 5 25 d 2 d 3 d 0x y z x x yz y x y z είναι ολοκληρώσιμη και να βρεθεί το ολοκλήρωμά της ( , , )f x y z c . Χώρος τριών διαστάσεων. Λύση

4 2 3 5 3 5 25 d 2 d 3 dx y z x x yz y x y z άρα 4 3 4 2 2

4 3 5 2

4 2 2 5 2

4 3 4 3 4 2 2 4 2 2

5 2 5 2

d (10 d d 15 d d )

(10 d d 6 d d )

(15 d d 6 d d )

( 10 10 )d d ( 15 15 )d d

( 6 6 )d d 0

x yz y x x y z z x

x yz x y x yz z y

x y z x z x yz y z

x yz x yz x y x y z x y z x z

x yz x yz y z

επομένως η διαφορική μορφή είναι ολικό διαφορικό άρα η διαφορική εξίσωση

4 2 3 5 3 5 25 d 2 d 3 d 0x y z x x yz y x y z είναι ολοκληρώσιμη. Έστω ( , , )f x y z c το ζητούμενο ολοκλήρωμα. Θα έχομε

4 2 3 5 3 5 2 25 , 2 , 3f f f

x y z x yz x y zx y z

Ολοκληρώνομε την πρώτη ως προς x και βρίσκομε 5 2 31( , , ) ( , )f x y z x y z f y z

Από αυτήν και τη δεύτερη βρίσκομε 5 3 5 3 1( , )2 2

f y zfx yz x yz

y y

άρα 1( , )0

f y z

y

οπότε 1 1( )f f z . Με χρήση και της τρίτης βρίσκομε

5 2 2 5 2 2 1d ( )3 3

d

f zfx y z x y z

z z

οπότε 1d ( )

0d

f z

z , άρα 1 σταθεράf , αυτό

σημαίνει ότι 5 2 3( , , )f x y z x y z c . 3. Δείξτε ότι το σύστημα d d d 0, d d 0y x x y w z w w z είναι πλήρως

ολοκληρώσιμο και βρείτε τα δυο ολοκληρώματα

1 2( , , , ) , g( , , , )f x y z w c x y z w c .

Λύση

1 2d d d , d dy x x y w z w w z 1 d dd w z , 2 0d . Αυτά δείχνουν

ότι η δεύτερη εξίσωση είναι ολικό διαφορικό από μόνη της. Εφαρμόζομε το κριτήριο του Frobenius για την πρώτη εξίσωση από μόνη της. Έχομε

1 1 d d d d d d 0d y w z x x w z y , άρα η πρώτη εξίσωση δεν είναι από

μόνη της ολοκληρώσιμη. Όμως 1 1 2d 0 και προφανώς 2 1 2 0d ,

επομένως το σύστημα είναι πλήρως ολοκληρώσιμο. Πολλαπλασιάζομε τη δεύτερη εξίσωση επί w και προσθέτομε το αποτέλεσμα στην πρώτη διαφορική εξίσωση οπότε βρίσκομε ως γραμμικό συνδυασμό των δυο αρχικών διαφορικών εξισώσεων την 2

3 d d d 0y x x y w w . Φαίνεται με το

μάτι ότι αυτή είναι ολικό διαφορικό. Εξάλλου 3d d d d d 0y x x y .

Καταλήγομε στο ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα εξισώσεων

94

22 3d d 0, d d d 0w w z y x x y w w του οποίου η κάθε μια εξίσωση

είναι ολικό διαφορικό άρα ολοκληρώσιμη.

Προφανώς βρίσκομε 2 31 2

1 1( , , , ) , ( , , , )

2 3f x y z w w z c g x y z w yx w c .

Θα δείξομε ότι αυτές είναι ισοδύναμες , δηλαδή οδηγούν ή αλλοιώς ικανοποιούν τις δεδομένες αρχικά διαφορικές εξισώσεις. Πράγματι, από τη διαφόρισή τους βρίσκομε τις 2d d 0, d d d 0w w z y x x y w w . Η πρώτη είναι η μια από τις αρχικές εξισώσεις, στη συνέχεια την πολλαπλασιάζομε επί w και προσθέτομε το αποτέλεσμα στη δεύτερη οπότε καταλήγομε στην άλλη από τις αρχικές εξισώσεις. Άρα οι δυο αρχικές επαληθεύονται από τα ολοκληρώματα 1 2, f c g c .

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1. Δείξτε ότι στον τρισδιάστατο χώρο η σχέση ( ) 0V V

είναι αναγκαία και ικανή για να υπάρχει ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης

d d d 0A x B y C z . 2. Πότε η διαφορική μορφή d ( )d 0y g z x , από μόνη της, με μεταβλητές τα

, ,x y z είναι ολοκληρώσιμη; 3. Δείξτε ότι η d d d 0y x x y z z είναι ολοκληρώσιμη και βρείτε το

ολοκλήρωμά της ( , , )f x y z c . 4. Δείξτε ότι η (6 )d ( 2 )d ( 2 )d 0x yz x xz y y xy z z είναι ολοκληρώσιμη

και βρείτε το ολοκλήρωμά της ( , , )f x y z c . 5. Δείξτε ότι η d 2 d d 0yz x xz y xy z είναι ολοκληρώσιμη και βρείτε το

ολοκλήρωμά της ( , , )f x y z c . 6. Βρείτε αν η d ( )d d 0z x x y y zy z είναι ολοκληρώσιμη. 7. Δείξτε ότι η ( )d ( )d ( )d 0yz y z x zx z x y xy x y z είναι ολοκληρώσιμη. 8. Ελέγξτε αν οι διαφορικές εξισώσεις

95

d sin d =0

dy+ cos d =0

x a

a

είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ελέγξτε α) αν η κάθε μια διαφορική εξίσωση, από μόνη της, είναι ολοκληρώσιμη, β) αν οι ανωτέρω εξισώσεις είναι πλήρως ολοκληρώσιμες ως σύστημα εξισώσεων . Οι μεταβλητές είναι οι , , ,x y .

9. Βρείτε το γινόμενο-Λ της διαφορικής μορφής 2d d d d d dx y z x z x y x y , στο χώρο των , ,x y z , επί α) 1/ x , β) 2 d dx x y και γ) d dxy x z y .

10. Θεωρήστε την περίπτωση της ρόδας που κινείται ενώ είναι σε επαφή με οριζόντιο επίπεδο. Αγνοήστε την κύλιση χωρίς ολίσθηση και θεωρήστε ότι η ρόδα μπορεί να κινείται μόνο στο επίπεδό της. Βρείτε την εξίσωση αυτού του δεσμού. Είναι ο δεσμός ολόνομος ή ημιολόνομος; Αυτό είναι παρόμοιο με το πρόβλημα του πατινάζ. 11. Θεωρήστε το ποδήλατο του σχήματος. Το μήκος μεταξύ των αξόνων των δυο ίσων ροδών του ποδηλάτου είναι l . Το ψαλίδι της μπροστυνής ρόδας είναι κατακόρυφο. Θεωρήστε τους δεσμούς που αναγκάζουν τις ρόδες να κυλίονται (ταχύτητα κέντρου) κατά την κατεύθυνση του επίπεδου τους.

Σχήμα για Πρόβλημα 10.

Δείξτε ότι οι δεσμοί μπορεί να εκφραστούν με τις διαφορικές εξισώσεις:

sin( )d cos( )d cos d 0, sin d cos d 0x y l x y . Οι μεταβλητές είναι τα , , ,x y . ,x y είναι οι συντεταγμένες του κέντρου της πίσω ρόδας. Να μη συμπεριληφθούν δεσμοί που οδηγούν σε κύλιση χωρίς ολίσθηση. Είναι κάποιος από τους δεσμούς ολόνομος ή ημιολόνομος; Είναι το σύστημα των δεσμών ολόνομο ή ημιολόνομο; 12. Θεωρείστε το μετασχηματισμό συντεταγμένων ( , , ), ( , , ), ( , , )x x u v w y y u v w z z u v w . Μετασχηματίστε το ολοκλήρωμα

dxdydz σε ολοκλήρωμα όπου οι συντεταγμένες είναι τα , ,u v w .

Θα βρείτε το γνωστό αποτέλεσμα όπου εισέρχεται η ιακωβιανή. Κάντε τους υπολογισμούς όταν sin cos , sin sin , cosx r y r z r , χωρίς να χρησιμοποιήσετε το προηγούμενο γενικό αποτέλεσμα,

96

Υπόδειξη: Διαφορίστε τα ( , , ), ( , , ), ( , , )x x u v w y y u v w z z u v w και σχηματίστε το γινόμενο-Λ των διαφορικών. Μετά από τις πράξεις, μέσα στα τελικά ολοκληρώματα, όπου υπάρχει το σύμβολο Λ να το αντικαταστήσετε με συνήθη πολλαπλασιασμό. Φυσικά το χωρίο ολοκλήρωσης Ω ( , , )x y z πρέπει να μετασχηματιστεί στο Ω' ( , , )u v w . 13. Δείξτε ότι για την περίπτωση του δίσκου που κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει ενώ το απίπεδό του είναι κατακόρυφο, οι δεσμευτικές σχέσεις της κίνησής του μπορεί να γραφτούν στη μορφή 2 2 2 2(d ) (d ) (d ) 0, d sin -d cos 0x y a x y . Παρατηρούμε ότι η πρώτη δεσμευτική εξίσωση δεν είναι γραμμική ως προς τα διαφορικά, δηλαδή δεν έχει μορφή εξίσωσης του Pfaff.

4.3 Είδη μετατοπίσεων Θυμίζομε ότι αναφερόμαστε σε συνδέσμους (δεσμούς) που εκφράζονται με εξισώσεις, δηλαδή σε αμφιμερείς δεσμούς. Όπως είδαμε, οι ολόνομοι δεσμοί μειώνουν τη διάσταση του θεσικού χώρου και την κινητικότητα. Οι μη ολόνομοι δεσμοί δε μειώνουν τη διάσταση του θεσικού χώρου αλλά μειώνουν την κινητικότητα. Μερικές φορές, η διάσταση του θεσικού χώρου αναφέρεται και ως θεσικοί βαθμοί ελευθερίας, ενώ η κινητικότητα ισούται με τους κινητικούς βαθμούς ελευθερίας. Πολλές φορές δε γίνεται αυτή η διάκριση, πράγμα που μπορεί να οδηγήσει σε παρανοήσεις. Η κατάσταση ενός μηχανικού (ή αλλιώς δυναμικού) συστήματος είναι το σύνολο 1 2 1 2( , ,..., , , ,..., )n nq q q q q q .

Αυτά είναι σημεία ενός χώρου του λεγόμενου χώρου των καταστάσεων (καταστατικός χώρος) που έχει διάσταση 2n . 1. Πραγματική μετατόπιση (actual displacement). Αν οι ποσότητες 1 2( ( ), ( ),..., ( ))nq t q t q t είναι λύσεις των εξισώσεων κίνησης που μαζί με

τις ταχύτητες 1 2( ( ), ( ),..., ( ))nq t q t q t ικανοποιούν τις εξισώσεις των δεσμών, τότε

αποτελούν πεπερασμένες πραγματικές (θεσικές) μετατοπίσεις του συστήματος. Αυτό το σύνολο των 1 2( ( ), ( ),..., ( ))nq t q t q t συνηθίζομε να λέμε ότι αποτελεί ένα διάνυσμα

πραγματικής πεπερασμένης μετατόπισης. 2. Πιθανή μετατόπιση (possible displacement). Το σύνολο των απειροστών μετατοπίσεων d 1,2,...,kq k n που ικανοποιούν τις

διαφορικές εξισώσεις

97

1

( , )d ( , )d 0 1, 2,..., n

lk k lk

A q t q A q t t l M

(4.26)

ή 1

( , ) ( , ) 0 1, 2,..., n

lk k lk

A q t q A q t l M

αλλά δεν πληρούν κατ’ ανάγκη και τις εξισώσεις κίνησης, λέγονται πιθανές μετατοπίσεις και το στοιχειώδες διάνυσμα 1 2d (d ,d ,...,d )nq q q q λέγεται διάνυσμα πιθανής μετατόπισης.

Οι απειροστές πραγματικές μετατοπίσεις είναι μέλη του συνόλου των πιθανών μετατοπίσεων αλλά δεν ισχύει το αντίθετο. 3. Δυνατή μετατόπιση (virtual displacement). Δυνατές (ή οιωνεί ή εικονικές ή φανταστικές ή δυνητικές) μετατοπίσεις είναι αυτές που ικανοποιούν τις διαφορικές εξισώσεις των δεσμών για t=σταθερό (d 0)t . Αυτό σημαίνει ότι οι δεσμευτικές σχέσεις των Εξ. (4.11) οδηγούν στις δυνατές μετατοπίσεις που ικανοποιούν τις

1

( , )δ 0n

lk kk

A q t q

. (4.27)

Οι δυνατές και οι πιθανές μετατοπίσεις συμπίπτουν για καταστατικά συστήματα όπως και για ολόνομα σκληρόνομα συστήματα. Ως δυνατές ταχύτητες ορίζονται τα δ kq . Ισχύουν οι σχέσεις

d(δ ) d d dδ , δ( )

d d d dd(δ ) d

δ( ) δ , dδ δd .d d

k k k kk k k

k kk k k

q q q qq q q

t t t tq q

q q qt t

(4.28)

Δηλαδή εδώ τα δ και d μετατίθενται. Πιθανή είναι μια κατάσταση 1 2 1 2( , ,..., , , ,..., )n nq q q q q q που ικανοποιεί τις σχέσεις των

δεσμών, δηλαδή τις

1

( , ) ( , ) 0 n

lk k lk

A q t q A q t

(4.29)

ή τις 1 2( , ,..., , ) 0 1, 2,..., .l nf q q q t l M Αναφέρομε ότι αν ένα σύστημα είναι ανολόνομο (δηλαδή μη ολόνομο που όμως περιγράφεται με εξισώσεις, οι οποίες βέβαια είναι μη ολοκληρώσιμες), μια δυνατή μετατόπιση δεν οδηγεί από πιθανή σε πιθανή κατάσταση. Αν είναι ολόνομο, μια δυνατή μετατόπιση πάντα οδηγεί από πιθανή σε πιθανή κατάσταση. Συγκεκριμένα, μια δυνατή μεταβολή μετατρέπει τις ανωτέρω δεσμευτικές σχέσεις στις αντίστοιχες σχέσεις

98

1

1 1 2 2

( δ , )( δ ) ( δ , )

( δ , δ ,..., δ , ).

n

lk k k lk

l n n

A q q t q q A q q t

f q q q q q q t

(4.30)

Για να είναι η προκύπτουσα κατάσταση πιθανή πρέπει αυτές οι εκφράσεις να είναι μηδέν (παραλείποντας διαφορικά δεύτερης τάξης), δηλαδή πρέπει

1 1 2 21

1 1 2 2

( δ , δ ,..., δ , )( δ ) ( δ , ) 0

( δ , δ ,..., δ , ) 0.

n

lk n n k k lk

l n n

A q q q q q q t q q A q q t

f q q q q q q t

(4.31)

Αυτό συμβαίνει μόνο αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι. Για να είναι οι διαφορικές εκφράσεις ολικά διαφορικά πρέπει να ισχύουν οι απλούστερες σχέσεις του τύπου των Εξ.(4.20). Εύκολη είναι η απόδειξη όταν είναι γνωστές οι ολοκληρωμένες σχέσεις. Πράγματι τότε έχομε

1 2( , ,..., , ) 0 1, 2,....,k nf q q q t k M

1 1 2 2 1 21

( δ , δ ,..., δ , ) ( , ,..., , ) δ 1, 2,....,n

kk n n k n i

i i

ff q q q q q q t f q q q t q k M

q

όμως από τον ορισμό των δυνατών μετατοπίσεων, Εξ.(4.27), προκύπτει ότι ο όρος με το άθροισμα είναι μηδέν, άρα 1 1 2 2 1 2( δ , δ ,..., δ , ) ( , ,..., , ) 0k n n k nf q q q q q q t f q q q t δηλαδή η δυνατή μετατόπιση οδηγεί στην ίδια σχέση, δηλαδή από πιθανή κατάσταση οδηγηθήκαμε σε πιθανή κατάσταση. Η απόδειξη για την πιο γενική περίπτωση διαφορικών εκφράσεων οι οποίες μπορούν να οδηγήσουν σε ολοκληρωμένες μορφές δεσμευτικών σχέσεων, άρα είναι κρυμμένες ολόνομες σχέσεις, στηρίζεται στη χρήση του κριτηρίου του Frobenius. 4.4 Παραλλαγή ή μεταβολή (variation) Έστω συνάρτηση των συντεταγμένων, των ταχυτήτων και του χρόνου. Η συνάρτηση και το ολικό διαφορικό της είναι

1 1

( , , )

d d d d .n n

l ll ll l

f f q q t

f f ff q q t

q q t

(4.32)

Η παραλλαγή, που είναι μεταβολή με το χρόνο σταθερό, d 0t , ορίζεται ως

99

1 1

δ δ δn n

l ll ll l

f ff q q

q q

. (4.33)

Πρέπει να τονίσομε ότι πολλές φορές το df δεν παριστάνει ολικό διαφορικό αλλά απλώς ένα απειροστό μέγεθος. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει πάντα συνάρτηση f της οποίας το df είναι ολικό διαφορικό. Στα πλαίσια της θερμοδυναμικής αυτό δηλώνεται με μια οριζόντια γραμμή πάνω ή στη μέση του d. Για παράδειγμα η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας γράφεται dU , ενώ η στοιχειώδης θερμότητα dQ . Τέτοιες περιπτώσεις έχομε και στη μηχανική αλλά δυστυχώς, δεν έχει καθιερωθεί από όλους ένας τέτοιος συμβολισμός και αυτό οδηγεί μερικές φορές σε παρανοήσεις. Ανάλογα ισχύουν στη μηχανική για το δf που μερικές φορές δεν παριστάνει διαφόριση με το χρόνο σταθερό, αλλά απλώς στοιχειώδη ποσότητα που σχετίζεται με πάγωμα του χρόνου. Δεν έχει καθιερωθεί από όλους ο συμβολισμός δ για τη δεύτερη περίπτωση που απλά παριστάνει στοιχειώδη ποσότητα. Ας έχομε υπόψη ότι υπάρχουν αυτά τα μειονεκτήματα στους καθιερωμένους συμβολισμούς. 4.5 Δυνατό έργο. Ας περιοριστούμε σε καρτεσιανή περιγραφή. Το έργο δύναμης που ασκείται σε σωμάτιο το οποίο κινείται σε κάποια τροχιά στο χώρο (για πραγματικές ή πιθανές μετατοπίσεις), βρίσκεται με ολοκλήρωση του στοιχειώδους έργου κατά τη στοιχειώδη μετατόπιση του σωματίου στην τροχιά του. Όπως έχομε πει το στοιχειώδες έργο, γενικώς, δεν είναι

διαφορικό κάποιας συνάρτησης του τύπου ( , , )W r r t (με t=σταθερό ή όχι σταθερό).

Κατά τα γνωστά το στοιχειώδες έργο για πραγματικές ή πιθανές μετατοπίσεις είναι

d ( , , )d ( , , )d ( , , )dx y zW F r r t x F r r t y F r r t z

(4.34)

ενώ το ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης του τύπου ( , , )W r r t , είναι

100

( , , ) ( , , ) ( , , )d d d d

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )d d d d .

W r r t W r r t W r r tW x y z

x y z

W r r t W r r t W r r t W r r tx y z t

x y z t

(4.35)

Το δυνατό έργο, δηλαδή το έργο σε μια δυνατή μετατόπιση είναι

δ ( , , )δ ( , , )δ ( , , )δx y zW F r r t x F r r t y F r r t z (4.36)

Η παραλλαγή, δηλαδή η μεταβολή με χρόνο σταθερό, (variation) μιας συνάρτησης

( , , )W r r t είναι

( , , ) ( , , ) ( , , )δ δ δ δ

( , , ) ( , , ) ( , , )δ δ δ .

W r r t W r r t W r r tW x y z

x y z

W r r t W r r t W r r tx y z

x y z

(4.37)

Τα ανωτέρω επεκτείνονται και στις περιπτώσεις που η περιγραφή γίνεται σε χώρους γενικευμένων συντεταγμένων όπου εισάγεται και η έννοια των γενικευμένων δυνάμεων. 4.6 Δυνατό έργο δυνάμεων μερικών δεσμών Μια έννοια πολύ θεμελιακή για την αναλυτική μηχανική, είναι η έννοια του δυνατού έργου των δυνάμεων επί του μηχανικού συστήματος. Ενώ στη νευτώνεια εικόνα της μηχανικής υπάρχει ο διαχωρισμός σε εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις, στη μεθοδολογία της αναλυτικής μηχανικής γίνεται διαχωρισμός σε ασκούμενες (ενεργητικές) δυνάμεις και σε δυνάμεις δεσμών (παθητικές). Στην αναλυτική δυναμική ενδιαφέρουν κυρίως εκείνες οι δυνάμεις δεσμών που κατά τις δυνατές μετατοπίσεις δεν παράγουν (δυνατό) έργο. Τέτοια δεν είναι η δύναμη που ασκείται σε δίσκο ο οποίος κυλίεται και ολισθαίνει σε επιφάνεια όπου υπάρχει τριβή. Ξαναθυμίζομε ότι μια δυνατή, συνήθως στοιχειώδης, μετατόπιση είναι μετατόπιση που γίνεται ενώ ο χρόνος παγώνει, δηλαδή κατά τη μετατόπιση ο χρόνος παραμένει σταθερός, dt=0, στη δεσμευτική σχέση που πληρούν οι χωρικές μετατοπίσεις. Περιοριζόμαστε σε έργα δυνάμεων σε καρτεσιανά συστήματα αλλά ανάλογα ισχύουν και στα συστήματα γενικευμένων συντεταγμένων ως προς τα οποία μπορούμε να περιγράψομε κάποιο μηχανικό σύστημα. Χρήσιμα παραδείγματα μηδενικών δυνατών έργων είναι τα εξής:

101

1. Το δυνατό έργο των εσωτερικών δυνάμεων των δεσμών που κάνουν ένα σύστημα σωματίων να είναι στερεό σώμα. Ας φανταστούμε δυο οποιαδήποτε σωμάτια του στερεού που ασκούν δυνάμεις το ένα στο άλλο. Η σχέση του γεωμετρικού δεσμού μεταξύ οποιωνδήποτε δυο τέτοιων σωματίων του στερεού είναι

2( )ji j ir r r

σταθερό. Δηλαδή οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων είναι σταθερές

ανεξάρτητα του προσανατολισμού και της κίνησης του μηχανικού συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι και ( ) ( )j i j ir r r r

σταθερό.

Προφανώς οι δυνατές μετατοπίσεις οι συμβατές με το δεσμό πληρούν τη σχέση (δ -δ ) ( ) 0j i j ir r r r

.

Το δυνατό έργο του ζεύγους των δυο αυτών δυνάμεων σε μια δυνατή μετατόπιση είναι

δ =δ = δ + δij ji ij i ji jW W F r F r

.

Υποθέτομε ότι για τις εσωτερικές δυνάμεις ισχύει η αρχή δράσης-αντίδρασης της

νευτώνειας θεώρησης. Άρα, η δύναμη που ασκεί το σωμάτιο j στο i, δηλαδή η ijF

είναι

ίση και αντίθετη με τη δύναμη που ασκεί το i στο j , επομένως αν θέσομε ij jiG G τότε

έχομε

. ( ), ( )ij ij i j ji ji j iF G r r F G r r

Άρα καταλήγομε στη σχέση δ = ( - ) δ + ( - ) δ (δ - δ ) ( ) 0ij ij i j i ij j i j ij j i j iW G r r r G r r r G r r r r

.

Επομένως αν αθροίσομε πάνω σε όλα τα ζεύγη δυνάμεων βρίσκομε ότι και το συνολικό δυνατό έργο είναι μηδέν, δ 0W , κατά την άθροιση φροντίζομε ώστε να μην έχομε πολλές φορές τον ίδιο όρο στο άθροισμα. Αν αλλάξομε συντεταγμένες και θεωρήσομε συντεταγμένες τις ij i jr r r

, οπότε δ = δ -δ , δ 0ij i j ij ijr r r r r

δηλαδή η μεταβολή είναι

κάθετη στο διάνυσμα της απόστασης, πράγμα που αναμένεται αφού η απόσταση είναι σταθερή. 2. Σώμα που είναι αναγκασμένο να παραμένει σε επαφή με λεία γενικώς κινούμενη επιφάνεια. Η δύναμη αυτού του συνδέσμου είναι κάθετη στο κοινό τοπικό επίπεδο επαφής. Κάθε στοιχειώδης δυνατή μετατόπιση συμβατή με αυτό το σύνδεσμο (κάθε εξέλιξη στο χρόνο παγώνει) θα είναι κάθετη στη δύναμη άρα το δυνατό έργο θα είναι μηδέν. 3. Η δύναμη συνδέσμου σε σώμα που κυλίεται σε γενικώς κινούμενη επιφάνεια χωρίς ολίσθηση. Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει στοιχειώδης σχετική μετατόπιση του σημείου επαφής του σώματος ως προς την επιφάνεια το οποίο στιγμιαία είναι ακίνητο επομένως το έργο είναι μηδέν. 4. Δυο σώματα που παραμένουν ενωμένα έχοντας ένα κοινό σημείο ανεξάρτητα της κίνησής τους. Οι δυνάμεις αυτού του συνδέσμου είναι ίσες και αντίθετες σύμφωνα με τη

102

γνωστή αρχή άρα κατά τη μετατόπιση του κοινού σημείου η μια παράγει θετικό έργο και η άλλη ίσο και αντίθετο, επομένως το άθροισμα είναι μηδέν. 5. ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE 5.1 Αρχή των δυνατών έργων. Η αρχή των δυνατών έργων λέγεται και αρχή D’ Alembert. Αυτήν την αρχή διετύπωσε πρώτα ο James Bernoulli αλλά αναπτύχτηκε στη συνέχεια από τον D’ Alembert. Η ιδέα ξεκινά από το γεγονός ότι, στη Στατική όταν ένα σύστημα υλικών σημείων ισορροπεί, τότε η συνολική δύναμη που ασκείται σε κάθε σημείο του συστήματος είναι μηδέν,

0 1,2,...,iF i m

. (5.1)

Αυτό σημαίνει ότι, αν τα υλικά σημεία υποστούν στοιχειώδεις δυνατές μετατοπίσεις από τα σημεία ισορροπίας τους, δηλαδή μετατοπίσεις που δεν παραβιάζουν τους δεσμούς άρα είναι συμβατές με τους δεσμούς, το δυνατό έργο της ολικής δύναμης πάνω σε κάθε ένα θα είναι προφανώς μηδέν διότι από την Εξ (5.1) προκύπτει κατά προφανή τρόπο ότι, για καρτεσιανές συντεταγμένες θέσης, ισχύουν

δ 0, 1,2,...,i iF r i m

. (5.2)

Όταν υπάρχουν δεσμοί, σύμφωνα με τα προηγούμενα, υπάρχουν οι ασκούμενες (ενεργητικές) δυνάμεις και οι δυνάμεις των δεσμών (παθητικές δυνάμεις), επομένως η συνολική δύναμη πάνω σε κάθε υλικό σημείο μπορεί να αναλυθεί σε μια (συνολική)

ενεργητική , aiF

, και μια (συνολική) δύναμη δεσμού, ciF

, οπότε

a ci i iF F F

. (5.3)

Το δυνατό έργο θα είναι τότε

a cδ δ δ 0i i i i i iF r F r F r

. (5.4)

Οι δυνατές μετατοπίσεις δ 1,2,...,ir i n των διαφόρων σωματίων, δεν είναι αυθαίρετες

διότι πρέπει να είναι συμβατές με τους δεσμούς. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κάποιες εξαρτήσεις μεταξύ τους. Αν αθροίσομε τα δυνατά έργα για όλα τα υλικά σημεία του συστήματος, θα έχομε για το συνολικό δυνατό έργο όλων των δυνάμεων επί του συστήματος,

103

a c1 1

δ δ 0n n

i i i ii i

F r F r

. (5.5)

Αυτά όλα προκύπτουν εύκολα κατά τετριμμένο τρόπο ξεκινώντας από την αρχική σχέση για την ισορροπία. Αν όμως οι δυνάμεις των δεσμών είναι τέτοιες που το συνολικό τους έργο επί του συστήματος (μπορεί να υπάρχουν θετικές και αρνητικές συνεισφορές) ισούται με μηδέν,

c1

δ 0n

i ii

F r

, (5.6)

τότε έχομε

a1

δ 0n

i ii

F r

. (5.7)

Αυτό σημαίνει ότι κάθε χρονική στιγμή, κατά την ισορροπία, το συνολικό δυνατό έργο επί του συστήματος των ενεργητικών (ασκούμενων) είναι μηδέν. Η Εξ (5.7)αναφέρεται ως αρχή των δυνατών έργων. Αυτό είναι κάτι χρήσιμο που μπορεί να εφαρμοστεί σε συστήματα σε ισορροπία και να βοηθήσει στη λύση προβλημάτων στατικής. Σε στοιχειώδες επίπεδο εφαρμόζεται στις απλές μηχανές με τροχαλίες, μοχλούς κτλ. Στη συνέχεια έγινε η προσπάθεια να αναχθούν τα προβλήματα της Δυναμικής σε προβλήματα Στατικής. Ο θεμελιώδης νόμος της δυναμικής για κάθε υλικό σημείο ενός συστήματος δίνει,

d

di

i i

pF p

t , (5.8)

Από αυτή τη σχέση καταλήγομε στη σχέση

0i iF p . (5.9)

Ο όρος ip λέγεται αντίστροφη ενεργός δύναμη (reversed effective force).

Η Εξ. (5.9)μας λέει ότι για ένα σύστημα υλικών σημείων που γενικώς κινείται, κάθε στιγμή το διανυσματικό άθροισμα των πραγματικών δυνάμεων και των αντίστροφων ενεργών δυνάμεων σε κάθε ένα σημείο είναι μηδέν, δηλαδή αυτές οι «δυνάμεις» ισορροπούν. Αν φανταστούμε δυνατές μετατοπίσεις ( ο χρόνος παγώνει), από την Εξ. (5.9)βρίσκομε

δ δ 0i i i iF r p r . (5.10)

Στη συνέχεια κάνομε την ανάλυση των πραγματικών δυνάμεων σύμφωνα με την Εξ. (5.3), υποθέτομε ότι το άθροισμα των δυνατών έργων όλων των δυνάμεων των δεσμών είναι ίσο με μηδέν οπότε καταλήγομε μετά από άθροιση πάνω σε όλα τα σωμάτια του συστήματος στη σχέση,

a1

1 1

δ 0

ή απλώς

δ δ 0.

n

i i ii

n n

i i i i i i ii i

F p r

F p r F m r r

(5.11)

Αυτή η σχέση λέγεται Αρχή (των δυνατών έργων) του D’ Alembert ή Αρχή D’ Alembert (των δυνατών έργων). Σε όσα ακολουθούν παραλείπομε το δείκτη a στην πραγματική δύναμη. Σημειώνομε ότι από την Εξ. (5.11) δε μπορούμε να συμπεράνομε ότι

104

0i i i i iF p F m r (5.12)

διότι γενικώς τα δ ir

δε μπορούν να ληφθούν αυθαίρετα, αφού μπορεί να

αλληλοεξαρτιώνται. 5.2 Εξισώσεις Lagrange συστημάτων με εμφύτευση ολόνομων δεσμών. Για να μπορούμε να χρησιμοποιήσομε τη σχέση Εξ.(5.11) για τα δυνατά έργα πρέπει να τη μετασχηματίσομε έτσι που να περιέχει μόνο τις γνήσιες συντεταγμένες θέσης. Αυτές μπορεί να είναι οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες. Ας υποθέσομε ότι έχομε τις M ανεξάρτητες σχέσεις ολόνομων δεσμών σε ολοκληρωμένη μορφή,

1 2

1 1 1 2 2 2

( , ,..., , ) 0 1,2,...,

ή

( , , , , , ,... , , , ) 0 1,2,...,

3

l N

l N N N

f r r r t l M

f x y z x y z x y z t l M

M N

. (5.13)

Αυτό σημαίνει ότι από τις 3N συντεταγμένες θέσης οι 3n N M είναι ανεξάρτητες. Υποθέτομε ότι, κάθε χρονική στιγμή, μπορούμε να λύσομε τις εξισώσεις του συστήματος των Εξ. (5.13) και να εκφράσομε τις υπόλοιπες M μεταβλητές ως συναρτήσεις των ανεξάρτητων n μεταβλητών. Μπορούμε συγχρόνως να διαλέξομε οποιεσδήποτε n κατάλληλες μεταβλητές ως συντεταγμένες θέσης που να μην είναι κατ ανάγκη καρτεσιανές, (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες. Είναι ευνόητο ότι θα έχομε σχέσεις μετασχηματισμού της παρακάτω μορφής, 1 2( , ,..., , ) 1,2,...,i i nr r q q q t i N

(5.14)

Αυτή η διαδικασία λέγεται εμφύτευση των ολόνομων δεσμών. Από την Εξ.(5.14) βρίσκομε

1

δ δn

ii i

rr q

q

(5.15)

Η αρχή του D’ Alembert Εξ.(5.12) γίνεται

1 1

δ ( ) 0n N

ii i i

i

rq m r F

q

. (5.16)

Θεωρούμε ότι όλα τα μεγέθη έχουν εκφραστεί συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων q (και του χρόνου). Ας προχωρήσομε τώρα στις ενεργητικές (δηλαδή στις ασκούμενες) δυνάμεις. Θα ασχοληθούμε με τον όρο που έχει αυτές τις δυνάμεις στις Εξ.(5.11) και (5.16). Έχομε για το δυνατό έργο των ενεργητικών (ασκούμενων) δυνάμεων

1 1

δ δn N

ii

i

rq F W

q

. (5.17)

105

Ορίζομε ως γενικευμένη συνιστώσα δύναμης που σχετίζεται με τη συντεταγμένη q την

ποσότητα

1

Ni

ii

rQ F

q

. (5.18)

Επομένως έχομε για το δυνατό έργο των ασκούμενων δυνάμεων

1 1

δ δ δN n

i ii

W F r Q q

(5.19)

Ας ασχοληθούμε και με τον όρο στην Εξ.(5.16) που περιέχει τις επιταχύνσεις, έχομε

d d

d di i i

i i i

r r rr r r

q t q t q

. (5.20)

Από την Εξ. (5.14) έχομε για τις ταχύτητες

1

d

d

ni i i

i i

r r rr q

t q t

(5.21)

οπότε

i i ir r

q q q

. (5.22)

Για τον τελευταίο όρο στο δεξί μέλος της Εξ.(5.20) έχομε

2

1

1

d

d

.

ni i i

ni i i

r r rq

t q q q t q

r rq

q q t q

(5.23)

Εισάγομε τα αποτελέσματα των Εξ.(5.22) και Εξ.(5.23) στην Εξ.(5.20), πολλαπλασιάζομε επί im και αθροίζομε ως προς i , οπότε βρίσκομε

1 1

d

d

d,

d

N Ni i i

i i i i i ii i

rm r m m

q t q q

T T

t q q

106

η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των σωματίων είναι 2

1

1

2

N

i ii

T m

, όπου οι

ταχύτητες i έχουν εκφραστεί ως συναρτήσεις των γενικευμένων συντεταγμένων.

Επομένως αντί για την Εξ.(5.16) έχομε

1

dδ =0

d

n T Tq Q

t q q

(5.24)

Αυτή είναι η αντίστοιχη της (5.11), δηλαδή η αρχή του D’ Alembert για γενικευμένες συντεταγμένες. Επειδή τα δq είναι αυθαίρετα, μπορούμε να πάρομε n ανεξάρτητα

σύνολα των δq έτσι που το πρώτο σύνολο να έχει μόνο το πρώτο, δηλαδή το 1δq μη

μηδενικό ενώ όλα τα άλλα μηδέν, το δεύτερο σύνολο να έχει το δεύτερο, δηλαδή το

2δq μη μηδενικό και όλα τα άλλα μηδέν, κοκ. Αυτό οδηγεί σε n ανεξάρτητες εξισώσεις

κίνησης, δηλαδή στις εξισώσεις Lagrange, της μορφής

d

, 1, 2,...,d

T TQ n

t q q

(5.25)

Αν όλες οι ασκούμενες δυνάμεις προκύπτουν από δυναμική συνάρτηση που δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, τότε σε καρτεσιανές συντεταγμένες ισχύουν

( , )

i

V V r t

F V

(5.26)

Με χρήση της Εξ. (5.18) βρίσκομε

1 1

( , )= - 1,2,...,

N Ni i

k ii ik k k

r r V q tQ F V k n

q q q

(5.27)

Επομένως οι σχέσεις της Εξ.(5.25) γίνονται

d ( ) ( )

0d

T V T V

t q q

.

Η έκφραση L T V είναι η λαγκρανζιανή (lagrangian) του συστήματος και οι εξισώσεις Lagrange (λέγονται και Euler-Lagrange) παίρνουν τη μορφή

( , , ) ( , , ) ( , )

d0 1, 2,..., .

d

L q q t T q q t V q t

L Ln

t q q

(5.28)

107

Το ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις ως προς το χρόνο βρίσκεται εύκολα μετά από μερικές πράξεις. Αν ξεκινήσομε από τις Εξ. (5.25) καταλήγομε στις

2 2 2

1

( , , )n T T T T

q q Q q q tq q q q t q q

(5.29)

Η περίπτωση που δεν έχομε δεσμούς είναι μερική περίπτωση όταν 0M . Οι εξισώσεις κίνησης Lagrange είναι ίδιες με τη διαφορά ότι οι γενικευμένες συντεταγμένες θα είναι

3 .n N Είναι ευνόητο ότι αν δεν προέρχονται όλες οι δυνάμεις από δυναμική συνάρτηση τότε μπορούμε να γράψομε τις εξισώσεις κίνησης στη μορφή

( , , ) ( , , ) ( , )

d 1, 2,..., .

d

L q q t T q q t V q t

L LQ n

t q q

(5.30)

Τα 0Q αν η γενικευμένη συνιστώσα δύναμης η αντίστοιχη στη γενικευμένη

συντεταγμένη με δείκτη προέρχεται από δυναμική συνάρτηση που έχει εισαχθεί στην L . Ισχύει Q Q για τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης που δεν έχουν εισαχθεί στην

L . Συνήθως αυτές οι εξισώσεις κίνησης, με τη λαγκρανζιανή, αναφέρονται ως εξισώσεις των Euler- Lagrange ή απλώς του Lagrange, παρόλο που χρησιμοποιείται ο όρος και για τις Εξ.(5.25), θα χρησιμοποιούμε τον όρο αυτό και για τις δυο περιπτώσεις. Είναι ευνόητο ότι οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης για συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα προκύπτουν από τις ανωτέρω γενικής μορφής εξισώσεις του Lagrange αφού δωθεί η μορφή της κινητικής ενέργειας ή της λαγκρανζιανής για το μηχανικό σύστημα που εξετάζεται. Δηλαδή οι εξισώσεις Λαγκράνζ είναι ένα είδος «συνταγής» που οδηγεί στις ειδικές (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης για κάθε συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα. Το μηχανικό σύστημα που μπορεί να περιγραφεί με λαγκρανζιανή, χωρίς πρόσθετες γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, λέγεται λαγκρανζιανό σύστημα. Ένα χαρακτηριστικό των εξισώσεων Euler-Lagrange είναι ότι η μορφή τους δεν εξαρτάται από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό είναι ότι στην περίπτωση ύπαρξης ολόνομων δεσμών μπορούμε να έχομε τις εξισώσεις κίνησης ανεξάρτητες των δυνάμεων των δεσμών. Επειδή μπορούμε με κατάλληλο μετασχηματισμό να διαλέξομε οποιεσδήποτε συντεταγμένες, αν ο μετασχηματισμός μας οδηγεί από αδρανειακό σύστημα σε μη αδρανειακό τότε βρίσκομε εύκολα τις εξισώσεις κίνησης και για μη αδρανειακά συστήματα. Η μορφή των εξισώσεων Euler-Lagrange μένει η ίδια. Σημειώνομε ότι η τιμή της λαγκρανζιανής ή της κινητικής και δυναμικής ενέργειας που υπεισέρχονται στις εξισώσεις Lagrange είναι ίδιες την ίδια χρονική στιγμή για κάθε ένα σημείο του χώρου ανεξάρτητα από τις γενικευμένες συντεταγμένες, αυτό που αλλάζει είναι η συναρτησιακή μορφή της.

108

Δεν είναι εύκολο να προσδιορίσει κάποιος τη λαγκρανζιανή σε συστήματα που κινούνται κατά τυχαίο τρόπο (μη αδρανειακά) γιαυτό είναι καλύτερα να ξεκινά από αδρανειακό σύστημα, να εφαρμόζει τη συνταγή L T V και μετά με τον κατάλληλο μετασχηματισμό συντεταγμένων να πηγαίνει στο μη αδρανειακό σύστημα. Μπορεί κάποιος να δείξει με απευθείας υπολογισμό ότι κάθε μετασχηματισμός μεταξύ (γενικευμένων) συντεταγμένων που μπορεί να υπεισέρχεται και ο χρόνος, αφήνει αναλλοίωτη τη μορφή των εξισώσεων Euler-Lagrange. Προφανώς η αρχή του D’ Alembert, όταν υπάρχουν και μονογενείς δυνάμεις για τις οποίες μπορούμε αν θέλομε να εισαγάγομε τη λαγκραντζιανή, αντί της μορφής που έχει στην Εξ.(5.24) παίρνει τη μορφή

1

dδ =0

d

n L Lq Q

t q q

. (5.31)

5.3 Δυναμικά που εξαρτώνται από τις ταχύτητες Ας υποθέσομε ότι έχομε δυναμική συνάρτηση (δυναμικό) που εξαρτάται από τις ταχύτητες (γενικευμένο δυναμικό) και οι γενικευμένες δυνάμεις υπολογίζονται ως εξής

( , , )

d, 1, 2,...,

djj j

U U q q t

U UQ j n

q t q

(5.32)

Η λαγκραντζιανή υπολογίζεται από τη γνωστή σχέση και εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange, δηλαδή έχομε την αντίστοιχη της Εξ. (5.30).

( , , ) ( , , ) ( , , )

d 1, 2,..., .

d

L q q t T q q t U q q t

L LQ n

t q q

(5.33)

Οι δυνάμεις που γενικώς προέρχονται από δυναμικό και που μπορεί να εξαρτώνται από τις ταχύτητες ή να μην εξαρτώνται, λέγονται μονογενείς δυνάμεις σε αντίθεση με όλες τις άλλες που λέγονται πολυγενείς.

109

5.4 Ηλεκτρομαγνητική δύναμη Κλασική περίπτωση μονογενούς δύναμης που εξαρτάται από την ταχύτητα είναι η δύναμη του Lorentz σε φορτισμένο σωμάτιο που κινείται μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, η οποία μπορεί να προέλθει από δυναμική συνάρτηση όπως φαίνεται παρακάτω

21,

2q q q qU e e A L m e e A

(5.34)

( qe είναι το φορτίο).

Παίρνοντας ως γενικευμένες συντεταγμένες τις καρτεσιανές συντεταγμένες του σωματίου σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς και γράφοντας τις εξισώσεις του Lagrange, καταλήγομε σε εξισώσεις κίνησης όπου εμφανίζεται η γνωστή δύναμη του Lorentz

( )qF e E B

(5.35)

αφού λάβομε υπόψη ότι

, A

E B At

.

Βρίσκομε δηλαδή ότι

( )qmr F e E B . (5.36)

5.5 Ισοδύναμες λαγκρανζιανές Η λαγκραντζιανή καθορίζει κατά μοναδικό τρόπο τις εξισώσεις κίνησης μηχανικού συστήματος αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή, υπάρχουν πολλές λαγκρανζιανές που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις κίνησης, αυτές είναι ισοδύναμες λαγκρανζιανές. Θα δείξομε ότι αν σε κάποια λαγκρανζιανή προσθέσομε μια συνάρτηση η οποία είναι ολική παράγωγος ως προς το χρόνο κάποιας συνάρτησης των ,q t τότε οι εξισώσεις κίνησης παραμένουν οι ίδιες. Σημειώνομε όμως ότι αν δυο λαγκρανζιανές δίνουν τις ίδιες εξισώσεις κίνησης αυτό δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι διαφέρουν κατά τη συνάρτηση που αναφέραμε παραπάνω. Τέτοιο παράδειγμα αποτελούν οι ισοδύναμες λαγκρανζιανές

110

2 2 2 21 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1, ( ) ( ) ( ) ( )

2L q q q q L q q q q

οι οποίες οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις κίνησης χωρίς να διαφέρουν κατά μια ολική παράγωγο συνάρτησης των ,q t . Έστω ότι έχομε τις λαγκρανζιανές

1

d ( , )( , , ),

d

G q tL L q q t L L

t (5.37)

Θα δείξομε ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι ίδιες για τις δυο αυτές λαγκρανζιανές. Αρκεί να δείξομε ότι οι παραστάσεις με τις παραγώγους για τα L και 1L είναι ταυτοτικά ίδιες

(δηλαδή για κάθε σύνολο ( )q t ), οπότε προφανώς θα είναι ίσες με τις πρόσθετες γενικευμένες συνιστώσες δύναμης που είναι στο δεύτερο μέλος των εξισώσεων κίνησης διότι αυτές δεν εξαρτώνται από τις λαγκρανζιανές και άρα δε μετασχηματίζονται ένεκα αλλαγής των λαγκρανζιανών. Για κάθε σύνολο συναρτήσεων ( )q t θα δείξομε ότι ισχύουν

1 1d d

d dj j j j

L L L L

t q q t q q

. (5.38)

Έχομε

1

1

( , ) ( , )

( , )

n

iij j j i

j j

L L G q t G q tq

q q q q t

L G q t

q q

(5.39)

Επομένως

2 2

1

1

d d ( , ) ( , )

d d

n

iij j j i j

L L G q t G q tq

t q t q q q q t

(5.40)

Έχομε επίσης

111

1

1

2 2

1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

n

iij j j i

n

iij j i j

L L G q t G q tq

q q q q t

L G q t G q tq

q q q q t

(5.41)

Από την Εξ.(5.40) και την Εξ.(5.41) καταλήγομε στη ζητούμενη σχέση

1 1d d

d dj j j j

L L L L

t q q t q q

. (5.42)

Ουσιαστικά δείξαμε ότι αν ισχύει η πρώτη από τις παρακάτω σχέσεις θα ισχύουν και οι δεύτερες

d ( , )δηλαδή αν ( , , )

d

d ( , , ) ( , , )τότε θα ισχύουν οι 0.

d j j

G q tg q q t

t

g q q t g q q t

t q q

(5.43)

Προφανώς έχομε την ίδια εξίσωση κίνησης αφού ισχύουν

1 1

1 1

d d, 1, 2,...,

d d

d, 1, 2,...,

d

jj j j j

jj j

L L L LQ j n

t q q t q q

L LQ j n

t q q

(5.44)

Τα ίδια ισχύουν αν η λαγκραντζιανή είναι απλώς η κινητική ενέργεια, οπότε

0L T T . 5.6 Ανολόνομοι δεσμοί-Υπολογισμός δυνάμεων δεσμών Εισαγάγαμε τις γενικευμένες συντεταγμένες υποθέτοντας ότι έχομε μόνο ολόνομους δεσμούς και ότι ξέρομε την ολοκληρωτική τους μορφή την οποία χρησιμοποιούμε για να μειώσομε το πλήθος των συντεταγμένων του δυναμικού συστήματος που εξετάζομε. Εδώ θα εξετάσομε και την περίπτωση που υπάρχουν και μη ολόνομοι δεσμοί που εκφράζονται

112

με διαφορικές μορφές, τέτοιες που οι δεσμοί να είναι ανολόνομοι. Ενώ αυτοί οι δεσμοί περιορίζουν τις δυνατές μετατοπίσεις δεν περιορίζουν τη διάσταση του θεσικού χώρου, άρα δε μπορεί να χρησιμοποιηθούν για να εισαχθούν λιγότερες το πλήθος γενικευμένες συντεταγμένες, όπως μπορεί και γίνεται με ολόνομους δεσμούς. Στην ίδια κατηγορία μπορούμε να εντάξομε την περίπτωση που ενώ ξέρομε ότι κάποιοι δεσμοί είναι ολόνομοι, δε λαβαίνομε υπόψη τις ολοκληρωμένες σχέσεις τους ώστε να διώξομε τις δυνάμεις των δεσμών αυτών και να μειώσομε το πλήθος των συντεταγμένων με την εισαγωγή των (γνήσιων) γενικευμένων συντεταγμένων (εμφύτευση δεσμών). Συνήθως δεν κάνομε εμφύτευση δεσμών όταν θέλομε να προσδιορίσομε τις δυνάμεις αυτών των ολόνομων δεσμών με τη μέθοδο που θα αναπτύξομε για ανολόνομους και ολόνομους δεσμούς. Θα δεχτούμε λοιπόν ότι αφήνομε μερικούς δεσμούς που εκφράζονται με τις γνωστές διαφορικές μορφές τους, ενώ για μερικούς από τους ολόνομους δεσμούς ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία και εισάγομε n γενικευμένες συντεταγμένες. Θα έχομε επομένως τη σχέση της αρχής του D’ Alembert , Εξ.(5.31), μαζί με δεσμευτικές διαφορικές εξισώσεις μεταξύ των γενικευμένων συντεταγμένων και του χρόνου,

1

1

dδ 0

d

( , )d ( , )d 0, 1, 2,...,

n

n

lk k lk

L Lq Q

t q q

A q t q A q t t l M

(5.45)

Πρέπει να τονίσομε ότι εδώ τα δn q δεν είναι όλα αυθαίρετα, δηλαδή ανεξάρτητα

μεταξύ τους, άρα δε μπορούμε να καταλήξομε στις εξισώσεις κίνησης, Εξ.(5.30). Με άλλα λόγια τώρα οι δεσμευτικές σχέσεις μας είναι απαραίτητες για τον προσδιορισμό της κίνησης του συστήματος διότι δεν έχομε ένα σύστημα από n διαφορικές εξισώσεις και n ανεξάρτητες συντεταγμένες τις οποίες να προσδιορίσομε ως συναρτήσεις του χρόνου. Μπορούμε να προχωρήσομε διαλέγοντας κάποιες μεταβολές, ( )n M το πλήθος, ως ανεξάρτητες, στη συνέχεια να εκφράσομε τις υπόλοιπες ως συναρτήσει αυτών, οπότε τελικώς καταλήγομε σε εκφράσεις με μόνο ανεξάρτητες μεταβολές οπότε μπορούμε να βρούμε τις διαφορικές εξισώσεις, εξέλιξης με το χρόνο, του συστήματος. Για να βρούμε την τελική λύση του προβλήματος κάνομε τη διαδικασία που ακολουθεί και είναι η διαδικασία των πολλαπλασιαστών του Lagrange. Οι δυνατές μετατοπίσεις δq πρέπει να πληρούν τις σχέσεις που προκύπτουν από τις διαφορικές εξισώσεις για

d 0t , δηλαδή τις σχέσεις

1

( , )δ 0, 1, 2,...,n

lk kk

A q t q l M

. (5.46)

Παρατηρείστε ότι αυτές οι σχέσεις θυμίζουν έργο δυνάμεων για δυνατές (δυνητικές) μετατοπίσεις το οποίο είναι μηδέν! Αυτό γίνεται επειδή οι δεσμοί είναι ολόνομοι ή ανολόνομοι, δεν ισχύει για άλλους μη ολόνομους δεσμούς. Θα δούμε παρακάτω κάποια γενίκευση. Σύμφωνα με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrange, ( )l t , πολλαπλασιάζομε τις

Εξ.(5.46) επί ( )l t , που είναι Μ συναρτήσεις που πρέπει να προσδιοριστούν και αφού

αθροίσομε στα l βρίσκομε

113

1 1

( ) ( , )δ 0.M n

l lk kl k

t A q t q

(5.47)

Στη συνέχεια αφαιρούμε κατά μέλη την Εξ.(5.47) από την πρώτη από τις Εξ.(5.45) και βρίσκομε τελικώς

1 1

dδ ( ) ( , ) 0

d

n M

l ll

L Lq t A q t Q

t q q

(5.48)

Αφού έχομε κρατήσει M δεσμευτικές σχέσεις, συμπεραίνομε ότι μεταξύ των n δυνατών μεταβολών υπάρχουν μόνο m n M ανεξάρτητες τέτοιες μεταβολές. Μπορούμε να διαλέξομε τις πρώτες στη σειρά δυνατές μεταβολές πλήθους m ως αυθαίρετες (ανεξάρτητες) δυνατές μεταβολές και τις επόμενες M ως εξαρτημένες. Στη συνέχεια διαλέγομε τους Μ πολλαπλασιαστές ( )l t να πληρούν τις Μ το πλήθος σχέσεις

1

d( ) ( , ) 0, = +1, +2,...,

d

M

l ll

L Lt A q t Q m m n

t q q

. (5.49)

Επομένως η Εξ.(5.48) ανάγεται στην Εξ.(5.50) για τις m πρώτες ανεξάρτητες δυνατές μεταβολές

1 1

dδ ( ) ( , ) 0

d

m M

l ll

L Lq t A q t Q

t q q

. (5.50)

Αφού οι δυνατές μεταβολές αυτές είναι ανεξάρτητες προφανώς ο κάθε όρος του αθροίσματος πάνω στα =1,2,.., m θα είναι μηδέν, δηλαδή

1

d( ) ( , ) 0, =1,2,...,

d

M

l ll

L Lt A q t Q m

t q q

. (5.51)

Τελικώς οι Εξ.(5.49) και Εξ.(5.51) οδηγούν στις Εξ.(5.52)

1

d( ) ( , ) 0, =1,2,...,

d

M

l lj jlj j

L Lt A q t Q j n

t q q

. (5.52)

Αυτές μαζί με τις εξισώσεις των δεσμών της Εξ.(5.45), στη μορφή

1

( , ) ( , ) 0, 1, 2,...,n

lk k lk

A q t q A q t l M

(5.53)

114

μας λύνουν το δυναμικό πρόβλημα. Η διαδικασία αυτή οδηγεί στην ενσωμάτωση (adjoining) των σχέσεων των δυνατών μεταβολών Εξ.(5.46) που σχετίζονται με τους δεσμούς. Οι Εξ.(5.46) λέγονται πρόσθετες συνθήκες (side conditions) και δεν είναι απαραίτητο να οδηγούν από πιθανές σε πιθανές καταστάσεις. Δηλαδή οι μετατοπισμένες δεν ικανοποιούν κατ’ ανάγκη τις Εξ.(5.53) των δεσμών. Είναι ευνόητο ότι μπορούμε να σκεφτούμε ότι στη θέση των Μ ανωτέρω δεσμών έχομε δυνάμεις δεσμών. Όταν κάναμε την ανάλυση για μόνο ολόνομους δεσμούς και λάβαμε υπόψη τις ολοκληρωμένες εξισώσεις τους, είχαμε εισαγάγει τις δυνάμεις των δεσμών στο

καρτεσιανό σύστημα παριστάνοντάς τις με ciF

, Εξ.(5.3). Αυτές οι δυνάμεις εξαλείφθηκαν

διότι διαλέξαμε κατάλληλα τις γενικευμένες συντεταγμένες και τις δυνατές μετατοπίσεις ώστε τα δυνατά έργα τους να είναι μηδέν. Εδώ όμως δε διαλέξαμε έτσι τις γενικευμένες συντεταγμένες, άρα οι δυνάμεις αυτών των δεσμών θα παραμείνουν μετασχηματισμένες σε γενικευμένες δυνάμεις δεσμών, cjQ (όπως συμβαίνει και με τις ασκούμενες δυνάμεις).

Επομένως μπορούμε να γράψομε από την αρχή τις εξισώσεις κίνησης (του Lagrange) στη μορφή

c

d0, =1,2,...,

d j jj j

L LQ Q j n

t q q

. (5.54)

Οι Εξ.(5.52) και Εξ.(5.54) μας οδηγούν στο ότι οι γενικευμένες συνιστώσες των δυνάμεων των δεσμών δίνονται από τις

1

( ) ( , )M

cj l ljl

Q t A q t

. (5.55)

Τονίζομε ότι, ουσιαστικά, η κάθε μια από τις δεσμευτικές σχέσεις των Εξ. (5.46) εκφράζουν το γεγονός ότι το ολικό έργο των δυνάμεων του κάθε δεσμού κατά τις δυνητικές (δυνατές) μετατοπίσεις είναι μηδέν. Αυτή είναι η θεμελιώδης απαίτηση της Αναλυτικής Δυναμικής η οποία ισχύει ανεξάρτητα από το αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι ή ανολόνομοι. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Προσδιορίστε μια λαγκρανζιανή για το το απλό εκκρεμές και στη συνέχεια με χρήση της βρείτε την (διαφορική) εξίσωση κίνησης για το απλό εκκρεμές. Θεωρήστε ως γνήσια γενικευμένη συντεταγμένη τη γωνία με την κατακόρυφο, γωνία εκτροπής από την κατακόρυφο. Η φορά της κατακορύφου να θεωρηθεί θετική προς τα κάτω. Για μικρές γωνίες εκτροπής, βρείτε την περίοδο του εκκρεμούς. 2. Θεωρείστε ότι η κινητική ενέργεια συστήματος είναι ομογενής τετραγωνική μορφή ως

προς τις ταχύτητες, δηλαδή , 1

1

2

n

lk l kl k

T a q q

, δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Στο

σύστημα δρουν οι ενεργητικές (ασκούμενες) γενικευμένες δυνάμεις ( , , ), 1, 2,...,i iQ Q q q t i n . Δείξτε ότι οι εξισώσεις κίνησης γίνονται

115

1 , 1

1, , 1, 2,...,

2

n nlm lm lr mr lm

ri i r l m r ri l m m l r

a a aa q q q Q r n

q q q

όπου lm

r

είναι τα σύμβολα του Cristoffel πρώτου είδους. 3. Έστω μηχανικό σύστημα που αποτελείται από σωμάτιο-χάνδρα η οποία μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή σε στερεά ευθύγραμμη λεπτή ράβδο. Η ράβδος περιστρέφεται σε επίπεδο περί το ένα άκρο της με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, . Το σύστημα είναι εκτός πεδίου βαρύτητας. Θεωρείστε πολικές συντεταγμένες, ,r . Υποθέστε ότι οι αρχικές

συνθήκες είναι 00, (0) , (0) 0, (0) 0t r r r . Θεωρείστε ως γνήσια συντεταγμένη

τη συντεταγμένη r , αυτό σημαίνει ότι έχετε εμφυτέψει την εξίσωση του δεσμού. Γράψτε τη (διαφορική) εξίσωση κίνησης που η λύση της προσδιορίζει την κίνηση της χάνδρας και βρείτε τη λύση με τις παραπάνω αρχικές συνθήκες. 4. Έστω μηχανικό σύστημα που αποτελείται από σωμάτιο-χάνδρα η οποία μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή σε στερεά ευθύγραμμη λεπτή ράβδο. Η ράβδος περιστρέφεται σε επίπεδο περί το ένα άκρο της με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Το σύστημα είναι εκτός πεδίου βαρύτητας. Υποθέστε ότι οι αρχικές συνθήκες είναι

00, (0) , (0) 0, (0) 0t r r r . Θεωρείστε ως γνήσιες συντεταγμένες τις πολικές

συντεταγμένες ,r , δηλαδή μην εμφυτέψετε την εξίσωση του δεσμού. Προσδιορίστε την εξίσωση του δεσμού σε διαφορική μορφή. Βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης που η λύση τους προσδιορίζει την κίνηση της χάνδρας και βρείτε τη λύση με τις παραπάνω αρχικές συνθήκες. Προφανώς τα ( ), ( )r r t t πρέπει να είναι τα ίδια με αυτά που βρίσκετε στο ίδιο πρόβλημα που δεν έχει εμφυτευτεί η εξίσωση του δεσμού. 5. Με Αναλυτική Μηχανική βρείτε τις εξισώσεις κίνησης για ελεύθερο σωμάτιο σε σφαιρικές συντεταγμένες. Στο σωμάτιο ασκείται μια καρτεσιανή δύναμη με δεδομένες φυσικές συνιστώσες κατά μήκος των μοναδιαίων διανυσμάτων, e , e , er

.

6. Δίσκος ακτίνας a και μάζας m , ομοιόμορφα κατανεμημένης, είναι δέσμιος να κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο. Το επίπεδο του δίσκου να θεωρηθεί

κατακόρυφο. Στο δίσκο ασκείται η καρτεσιανή δύναμη F

η οποία ασκείται στο κέντρο του δίσκου. Βρείτε τις εξισώσεις κίνησης του δίσκου. 7. Γράψτε όλες τις εξισώσεις δεσμών για επίπεδο εκκρεμές (υλικό σημείο) αν το σημείο στήριξής του κινείται στο ίδιο επίπεδο κατά γνωστό τρόπο, 0 0( ), ( )x f t y g t . Οι

εξισώσεις να γραφούν στην πεπερασμένη μορφή τους με (γενικευμένες) συντεταγμένες τα , x y . Γράψτε τις εξισώσεις για τις δυνατές μετατοπίσεις και για τις πιθανές μετατοπίσεις.

Πότε οι δυο θα ήταν ίδιες; Γράψτε την εξίσωση κίνησης της αναλυτικής δυναμικής με μόνη γενικευμένη (γνήσια) συντεταγμένη τη γωνία του εκκρεμούς με την κατακόρυφο. 8. Θεωρείστε σωμάτιο δεμένο στο άκρο άμαζης στερεάς ράβδου η οποία μπορεί να περιστρέφεται περί το άλλο άκρο της σε κατακόρυφο επίπεδο μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Αυτό το άλλο άκρο της εκτελεί γνωστή κατακόρυφη κίνηση. Γράψτε την εξίσωση

116

κίνησης της αναλυτικής δυναμικής. Δείξτε ότι η κίνηση θα ήταν ίδια αν το άκρο της ράβδου ήταν ακίνητο και το πεδίο βαρύτητας μεταβάλλονταν με το χρόνο. 9. Σωμάτιο τοποθετείται (ακίνητο) στο ανώτατο σημείο ακίνητου κατακόρυφου κυκλικού βρόχου και από εκεί με μικρή διαταραχή ξεκινά να κινείται. Υποθέστε ότι το σωμάτιο είναι χάνδρα που ο βρόχος διαπερνά και ότι το σύστημα είναι μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Γράψτε την εξίσωση κίνησης της αναλυτικής δυναμικής, υπολογίστε τη δύναμη του δεσμού ως συνάρτηση της ταχύτητας και της θέσης του κινητού πάνω στο βρόχο (όχι συναρτήσει του χρόνου. Αν υποθέσετε ότι το σωμάτιο τοποθετείται στο εξωτερικό του βρόχου, βρείτε πότε θα ξεφύγει από το βρόχο. 10. Θεωρήστε σύστημα πλαγιογώνιων συντεταγμένων xOy , που η γωνία μεταξύ των αξόνων , x y είναι (σταθερή). Πάνω σε σωμάτιο ασκείται σταθερή καρτεσιανή δύναμη

F

η οποία αναλύεται με τον κανόνα του παραλληλόγραμμου σε συνιστώσες , x yF F κατά

μήκος των ανωτέρω δυο αξόνων για τους οποίους τα μοναδιαία διανύσματα είναι ,x ye e

.

Θεωρήστε ως γενικευμένες συντεταγμένες του σωματίου τις πλαγιογώνιες συντεταγμένες , x y . Προσδιορίστε τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης , x yQ Q . Υπενθυμίζεται ότι

d ( ) (d d )x x y y x yW F e F e xe ye

. Βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης.

11. Υποθέστε ότι οι γενικευμένες συνιστώσες δύναμης δεν εξαρτιόνται από τις επιταχύνσεις και δείξτε ότι οι δυναμικές συναρτήσεις που μπορεί να εξαρτιόνται από τις ταχύτητες είναι της γενικής μορφής,

01

( , , ) ( , ) ( , )n

j jj

U q q t a q t q a q t

.

117

6. ΑΡΧΗ ΤΟΥ HAMILTON Ιδέες σαν την Αρχή του Hamilton υπάρχουν από την εποχή των Αρχαίων Ελλήνων, π.χ. η Αρχή του Ήρωνος για το φως. Η εισαγωγή στην κλασική δυναμική αρχών που σχετίζονται με ολοκληρω(μα)τικές σχέσεις οδηγούν στις εξισώσεις του Lagrange. Η ιδέα επεκτάθηκε και έτσι αναπτύχθηκε η μαθηματική θεωρία Λογισμός των Μεταβολών ή σωστότερα Παραλλαγών ( Calculus of Variations) . Γενικώς, πολλά προβλήματα της φυσικής όπως της δυναμικής διακριτών συστημάτων, της θεωρίας πεδίων, της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, της υδροδυναμικής, του ηλεκτρομαγνητισμού κτλ, μπορούν να αντιμετωπιστούν με παρόμοιες μεθόδους. Αν θυμηθούμε τις Εξ. (5.11) και Εξ.(5.24), καταλαβαίνομε ότι η αρχή του D’ Alembert αναφέρεται σε κάποια απειροστή ποσότητα η οποία είναι το ολικό δυνατό έργο των αδρανειακών και ασκούμενων δυνάμεων σε κάποιο δυναμικό σύστημα. Η αρχή λέει ότι αυτή η ποσότητα είναι μηδέν. Ας ξεκινήσομε λοιπόν από την αρχή του D’ Alembert της Εξ.(5.24), δηλαδή την

1

dδ =0

d

n T Tq Q

t q q

(6.1)

Γενικώς, μπορεί να υπάρχουν και δεσμευτικές σχέσεις. Ας ολοκληρώσομε την Εξ.(6.1) μεταξύ δυο δεδομένων χρονικών στιγμών 1 2,t t οπότε

έχομε

2

11

dδ d =0

d

t n

t

T TQ q t

t q q

(6.2)

Στη συνέχεια απαιτούμε οι θέσεις 1 2( ), ( )q t q t να είναι καθορισμένες και να μη

μεταβάλλονται κατά τις δυνατές μετατοπίσεις, επομένως

1 2δ ( )=δ ( )=0, 1, 2,...,q t q t n (6.3)

Ολοκληρώνομε παραγοντικά τον πρώτο όρο της Εξ.(6.2) οπότε εφόσον ισχύουν για τα άκρα της ολοκλήρωσης οι Εξ.(6.3), βρίσκομε

22 2

1 1 1

2

1

d dδ d (δ )d δ

d d

δ d .

tt t

t t t

t

t

T T Tq t q t q

t q q t q

Tq t

q

(6.4)

118

Αντικαθιστώντας την Εξ.(6.4) στην Εξ.(6.2) βρίσκομε

2

11

δ δ δ d =0t n

j j j jj j jt

T Tq q Q q t

q q

. (6.5)

Όμως ισχύουν

1

1

δ δ

δ δ δ

n

j jj

n

j jj j j

W Q q

T TT q q

q q

(6.6)

Επομένως από τις Εξ.(6.5) και (6.6) βρίσκομε

2

1

δ δ d 0t

t

T W t . (6.7)

Η αρχή που εκφράζεται με τις Εξ.(6.7) προέκυψε από την αρχή του D’ Alembert, επομένως οι δυνατές μετατοπίσεις πρέπει να είναι τέτοιες που το ολικό δυνατό έργο των δυνάμεων του κάθε ενός δεσμού να είναι μηδέν. Αυτό δεν σημαίνει ότι αν υπάρχουν μη εμφυτευμένοι δεσμοί αυτοί πληρούν κατ’ ανάγκη και τις εξισώσεις των δεσμών στη μορφή των Εξ.(5.53). Δηλαδή δεν σημαίνει ότι η αντίστοιχη δυνατή μετατόπιση οδηγεί από πιθανή σε πιθανή κατάσταση. Σημειώνομε επίσης ότι το δW δεν είναι κατανάγκη δυνατή μεταβολή κάποιας συνάρτησης αλλά το στοιχειώδες έργο των ασκούμενων δυνάμεων κατά τη στοιχειώδη δυνατή μεταβολή των γενικευμένων συντεταγμένων. Θα μπορούσε να δηλώνεται ως δW . Το δT είναι η δυνατή μεταβολή της κινητικής ενέργειας κατά τη δυνατή μετατόπιση που κάναμε. Το ολοκλήρωμα ως προς t λαμβάνεται κατά μήκος οποιασδήποτε απειροστά γειτονικής τροχιάς που περνά από τις δυο ακραίες δεδομένες θέσεις κατά τις δυο δεδομένες χρονικές στιγμές. Όταν όμως το ολοκλήρωμα είναι μηδέν όπως δηλώνει η Εξ.(6.7) τότε η τροχιά είναι η πραγματική τροχιά κίνησης. Ουσιαστικά δεν έχομε ένα πρόβλημα θεωρίας μεταβολών, απλώς καταλήξαμε σε μια ολοκληρωτική αρχή της μηχανικής. Πολλές φορές η Εξ.(6.7) αναφέρεται ως Αρχή του Hamilton. Είναι εύκολο να δούμε ότι ξεκινώντας από την Εξ.(6.7) θα καταλήξομε στις εξισώσεις του Lagrange αν τα δ jq στις Εξ.(6.1) είναι ανεξάρτητα (και αυθαίρετα).

Αν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα είναι μονογενείς (δηλαδή προκύπτουν από δυναμική συνάρτηση) τότε το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως λαγκραντζιανό και τότε μπορεί να βρεθεί η πραγματική κίνηση από μια αρχή μεταβολών. Αυτή κυρίως αναφέρεται ως αρχή του Hamilton. Σε αυτή την περίπτωση έχομε,

119

1 1

( , , )

dδ δ δ

d

n n

j j jj j j j

U U q q t

U UW Q q q

t q q

(6.8)

Επομένως,

2 2

1 1

22

11

2

1

1

dδ d δ d

d

δ δ δ d

0 δ d

t t n

jj j jt t

tt

j j jj j jtt

t

t

U UW t q t

t q q

U U Uq q q t

q q q

U t

(6.9)

Με χρήση και της Εξ.(6.7) βρίσκομε

2 2 2 2

1 1 1 1

δ δ d δ d δ d δ d 0t t t t

t t t t

T W t T U t L t L t (6.10)

Το δ μπορεί να βγει έξω από το ολοκλήρωμα διότι η έκφραση δ δL T U είναι δυνατή

μεταβολή κάποιας συνάρτησης, διαφορικό της L με t =σταθερό, και όχι απλώς κάποιο απειροστό μέγεθος όπως είναι το δW το οποίο γενικώς δεν είναι διαφορικό κάποιας συνάρτησης. Επομένως υπάρχει συνάρτηση που μπορεί να ολοκληρωθεί κατά μήκος τροχιάς που περνά από τα δυο ακραία δεδομένα σημεία. Έχομε επομένως την αρχή του Hamilton στη μορφή

2

1

δ ( , , )d 0t

t

L q q t t (6.11)

Αυτή η μορφή της αρχής του Hamilton λέει ότι η κίνηση ενός λαγκραντζιανού συστήματος από μια αυθαίρετη δεδομένη στιγμή 1t μέχρι μιαν αυθαίρετη δεδομένη

στιγμή 2t είναι τέτοια που για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (που λέγεται δράση ή

ολοκλήρωμα δράσης) ισχύουν,

2

1

( , , )d

δ 0

t

t

I L q q t t

I

(6.12)

δηλαδή το ολοκλήρωμα έχει στάσιμη τιμή για την πραγματική τροχιά κίνησης. Όλες οι τροχιές πραγματική και γειτονικές περνούν από τις ίδιες ακραίες θέσεις τις δεδομένες

120

χρονικές στιγμές 1 2,t t . Καταλήξαμε στην αρχή του Hamilton ξεκινώντας από την αρχή

D’ Alembert, όμως η αρχή του Hamilton μπορεί να θεωρηθεί και ως βασική Αρχή της δυναμικής και να ξεκινήσει από αυτήν για τη θεμελίωση της Δυναμικής. Σημειώνομε ότι οι Εξ.(6.12) ισχύουν ενώ είναι δυνατόν να υπάρχουν και πρόσθετοι δεσμοί ολόνομοι (που δεν έχουν εμφυτευτεί) ή/και μη ολόνομοι που πληρούν διαφορικές εξισώσεις. Εύκολα προκύπτει από τα προηγούμενα ότι αν δεν εκφράσομε όλες τις δυνάμεις ως μονογενείς αλλά μόνο μερικές από αυτές, έστω αυτές με 1, 2,...,j n , τότε οι Εξ.(6.8) γίνονται

1 2 1 2

1 1 1

( , ,..., , , ,..., , )

dδ δ δ δ .

d

n n

n n n

j j j j jj j n j j j

U U q q q q q q t

U UW Q q Q q q

t q q

(6.13)

Επομένως θα έχομεΆρα αντί της Εξ.(6.10) θα βρούμε τη σχέση

2 2 2

1 1 1

2 2

1 1

1 1

1

δ δ d δ + δ d δ δ d .

δ d δ d 0

t t tn n

j j j jj n j nt t t

t t n

j jj nt t

T W t T U Q q t L Q q t

L t Q q t

Άρα αντί της Εξ.(6.10) θα βρούμε τη σχέση

2 2 2

1 1 11 1

δ d δ d δ δ d 0t t tn n

j j j jj n j nt t t

L t Q q t L Q q t

. (6.14)

6.1 Πιθανές τροχιές Οι τροχιές οι οποίες αποτελούνται από σημεία που αντιστοιχούν σε πιθανές καταστάσεις λέγονται πιθανές τροχιές. Επομένως συμπεραίνομε ότι, όταν διαγράφεται η πιθανή τροχιά πληρούνται, αν υπάρχουν, οι αντίστοιχες σχέσεις δεσμών. Είναι ευνόητο ότι η πραγματική τροχιά είναι και πιθανή τροχιά. Επίσης κάθε πιθανή τροχιά μπορεί να γίνει

121

πραγματική τροχιά με την εφαρμογή των κατάλληλων ασκούμενων δυνάμεων. Στην περίπτωση που δεν έχομε δεσμούς (αν υπάρχουν ολόνομοι δεσμοί, έχουν εμφυτευτεί με την εισαγωγή των γενικευμένων συντεταγμένων) κάθε τροχιά είναι πιθανή τροχιά. Μια σημαντική απαίτηση που βάλαμε στα προηγούμενα είναι ότι όλες οι πραγματική και γειτονικές τροχιές πρέπει να περνούν από τα ίδια σημεία σε δυο δεδομένες χρονικές στιγμές. Υπάρχουν δυνατές μετατοπίσεις συμβατές με τους δεσμούς (για d 0t ) και άλλες μη συμβατές με τους δεσμούς. Γενικώς, οι δυνατές μετατοπίσεις στην αναλυτική δυναμική είναι τέτοιες που απλά το δυνατό έργο των δυνάμεων των δεσμών να είναι μηδέν. 6.2 Εξισώσεις του Lagrange από την Αρχή του Hamilton για Διακριτά Συστήματα. Στα προηγούμενα βρήκαμε την αρχή του Hamilton ξεκινώντας από τις εξισώσεις του Lagrange, τώρα θα θεωρήσομε ως βάση την αρχή του Hamilton και θα καταλήξομε στις εξισώσεις του Lagrange. Μπορούμε να ξεκινήσομε κάνοντας χρήση του αποτελέσματος του Παραρτήματος Π4.1 όπου αναπτύσεται η γενική περίπτωση θεωρίας μεταβολών για χώρο με πολλές διαστάσεις, όπου οι εξαρτημένες προς προδιορισμό μεταβλητές εξαρτώνται από τις πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές. Η γενική αυτή θεώρηση μπορεί να περιλάβει και την κλασική θεωρία πεδίων της Φυσικής. Η περίπτωση των διακριτών συστημάτων της Μηχανικής, αναφέρεται σε μια διάσταση, δηλαδή υπάρχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή που είναι ο χρόνος και οι εξαρτημένες από το χρόνο μεταβλητές που θέλομε να προσδιορίσομε (για τον προσδιορισμό της κίνησης του συστήματος) είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Έστω ότι έχομε δεσμούς της μορφής των Εξ.(5.53), τα δ iq δεν είναι ανεξάρτητα.

Όπως είπαμε ξανά στο Εδάφιο 5.6, μπορούμε να προχωρήσομε διαλέγοντας κάποιες μεταβολές ως ανεξάρτητες, στη συνέχεια να εκφράσομε τις υπόλοιπες ως συναρτήσει αυτών, οπότε τελικώς καταλήγομε σε εκφράσεις με μόνο ανεξάρτητες μεταβολές οπότε μπορούμε να βρούμε τις διαφορικές εξισώσεις, εξέλιξης με το χρόνο, του συστήματος. Προτιμούμε να χρησιμοποιήσομε ξανά τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrange όπως κάναμε και το Εδάφιο 5.6 , με τη διαφορά ότι εδώ έχομε και ολοκληρώματα. Οι δυνατές μετατοπίσεις, μετατοπίσεις με παγωμένο το χρόνο, προκύπτουν από τις διαφορικές εξισώσεις για ανολόνομους ή ολόνομους δεσμούς, Εξ.(5.45) , θέτοντας d 0t , οπότε καταληγομε στις Εξ. (5.46). Αυτές είναι οι πρόσθετες (auxiliary) σχέσεις. Πολλαπλασιάζομε την κάθε μια από αυτές επί μια συνάρτηση ( )l t ,

στη συνέχεια τις αθροίζομε και ολοκληρώνομε ως προς το χρόνο μεταξύ 1 2,t t οπότε

έχομε

2

11 1

( ) ( , )δ d 0t M n

l lk kl kt

t A q t q t

. (6.15)

122

Στη συνέχεια προσθέτομε κατά μέλη τις Εξ.(6.14) και τις Εξ.(6.15) οπότε βρίσκομε

2 2

1 11 1 1

δ δ d δ δ ( , )δ d 0t t n n M

j j lj jj j lt t

T W t L Q q A q t q t

. (6.16)

Όπου, όπως έχομε πει θεωρούμε ότι 0, 1, 2,...,jQ j n .

Αντικαθιστούμε το δL κατά τα γνωστά οπότε,

2

11 1 1 1 1

dδ (δ ) δ ( ) ( , )δ d 0.

d

t n n n n M

j j j j l lj jj j j j lj jt

L Lq q Q q t A q t q t

q q t

(6.17)

Ολοκληρώνομε παραγοντικά το δεύτερο όρο και κάνοντας χρήση των σχέσεων για τις μεταβολές στα άκρα του ολοκληρώματος, Εξ.(6.3), καταλήγομε

2

11 1

d( ) ( , ) δ d 0.

d

t n M

j l lj jj lj jt

L LQ t A q t q t

t q q

(6.18)

Στη συνέχεια κάνομε τον εξής συλλογισμό, τα δ jq δεν είναι μεταξύ τους

ανεξάρτητα, αφού υπάρχουν μεταξύ τους M δεσμευτικές σχέσεις. Επομένως δεν μπορούμε να διαλέξομε διαδοχικά ένα από αυτά μη μηδενικό στο άθροισμα των ολοκληρωμάτων πάνω στα 1, 2,...,j n και όλα τα άλλα μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να συμπεράνομε ότι κάθε ένα από αυτά τα ολοκληρώματα του αθροίσματος είναι μηδέν. Είναι ευνόητο ότι υπάρχουν μόνο m n M από αυτές τις δυνατές μεταβολες είναι ανεξάρτητες, οι άλλες M το πληθος εξαρτώνται από αυτές. Μπορούμε να διαλέξομε τις πρώτες m ως ανεξάρτητες (δεν είναι απαραίτητο να διαλέξομε τις πρώτες, όμως η διάταξη είναι αυθαίρετη). Επειδή οι συναρτήσεις (πολλαπλασιαστές Λαγκράνζ) ( )l t είναι αυθαίρετες μπορούμε να

τις διαλέξομε ετσι που για να ισχύουν οι σχέσεις

1

d( ) ( , ) 0 1, 2,...,

d

M

j l ljlj j

L LQ t A q t j m m n

t q q

. (6.19)

Έτσι η Εξ. (6.18) γίνεται

2

11 1

d( ) ( , ) δ d 0.

d

t m M

j l lj jj lj jt

L LQ t A q t q t

t q q

(6.20)

123

Τώρα όμως τα δ jq είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα επομένως, όπως αναφέραμε και στο

Εδάφιο 5.6, ο κάθε όρος του αθροίσματος είναι μηδέν, δηλαδή

2

11

d( ) ( , ) δ d 0, 1, 2,...,

d

t M

j l lj jlj jt

L LQ t A q t q t j m

t q q

. (6.21)

Στη συνέχεια εφαρμόζομε το λεγόμενο Θεμελιώδες Λήμμα του λογισμού των μεταβολών. Με απλά λόγια, σκεφτόμαστε ως εξής, τα δ δ ( )j jq q t , είναι αυθαιρετες συναρτήσεις του

χρόνου, άρα μπορούν να διαλεχτούν έτσι που για κάθε χρονική στιγμή σε μια μικρή περιοχή χρόνου γύρω από τη στιγμή αυτή, το δ ( )jq t να έχει το ίδιο πρόσημο με το

περιεχόμενο στη μεγάλη αγγύλη στο ολοκλήρωμα, ενώ έξω από τη μικρή περιοχή το δ ( ) 0jq t . Αυτό σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα περιορίζεται στην εν λόγω περιοχή και ενώ

η υπό ολοκλήρωση παράσταση είναι παντού θετική το ολοκλήρωμα είναι μηδέν, αυτό είναι άτοπο, επομένως η αγγύλη πρέπει να είναι παντού μηδέν αφού το δ ( )jq t είναι

αυθαίρετο άρα μπορεί α θεωρείται παντού μη μηδενικό. Αυτά ισχύουν για συνεχείς συναρτήσεις. Έχομε επομένως

1

d( ) ( , ), 1, 2,...,

d

M

j l ljlj j

L LQ t A q t j m

t q q

. (6.22)

Προφανώς από τις Εξ.(6.22) , (6.19) και (5.53) καταλήγομε στις εξισώσεις

1

1

d( ) ( , ) 0, 1, 2,...,

d

( , ) ( , ) 0, 1, 2,...,

M

j l ljlj j

n

lk k lk

L LQ t A q t j n

t q q

A q t q A q t l M

(6.23)

Σημειώνομε ότι οι δυνατές μετατοπίσεις δεν είναι κατ’ ανάγκη συμβατές με τις εξισώσεις των δεσμών, όπως αυτές στην Εξ. (6.23). Θα δούμε παρακάτω πότε ισχύει αυτό. Το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι οι δυνατές μετατοπίσεις είναι τέτοιες που το δυνητικό (δυνατό) έργο των δυνάμεων δεσμών να είναι μηδέν. Είναι ευνόητο ότι η ανωτέρω διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρούμε τη μορφή των εξισώσεων κίνησης για την περίπτωση ολόνομων δεσμών που δεν έχουν εμφυτευτεί, όπως και για την περίπτωση ανολόνομων δεσμών. 6.3 Γενικευμένη αρχή του Hamilton Αν έχομε μη εμφυτευμένους ολόνομους δεσμούς σε ολοκληρωμένη μορφή, ( , ) 0, 1, 2,...,lf q t l M (6.24)

Θα δούμε ότι μπορούμε να τροποποιήσομε τη λαγκρανζιανή L , έτσι ώστε αντί της αρχικής να έχομε μια νέα λαγκρανζιανή L , δηλαδή

124

( , , )L L q q t (6.25)

1

( , , ) ( ) ( , )M

l ll

L L q q t t f q t

. (6.26)

Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα ανάγεται σε πραγματικό πρόβλημα θεωρίας μεταβολών. Η δεσμευτική σχέση για τις μεταβολές των δq πρέπει να είναι αυτή της αρχής του D’ Alembert δηλαδή η Εξ.(5.46). Η περίπτωσή μας περιγράφεται στο μέρος Π4.1 του παραρτήματος Π4 διότι η Εξ.(17.25) συμπίπτει με την Εξ.(5.46) αφού η ( , )lf q t δεν

εξαρτάται από τις ταχύτητες. Σύμφωνα με όσα θα αναφερθούν στο παρακάτω στο Εδάφιο 6.4 Διερεύνηση, πρέπει όταν κάνομε τις δυνατές μεταβολές σύμφωνα με τις Εξ.(5.46) (όπου οι συντελεστές εκφράζονται με μερικές παραγώγους, Εξ.(4.12)), να ισχύουν οι Εξ.(6.24) των δεσμών. Αυτό ισχύει στην περίπτωσή μας, διότι οι δεσμοί είναι ολοκληρωμένοι ολόνομοι δεσμοί. Έτσι θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσομε το Π4.1 του παραρτήματος Π4 για 1m , με ανεξάρτητη μεταβλητή το χρόνο. Εδώ όμως θα κάνομε τη διαδικασία που ακολουθεί. Διευρύνομε τις εξαρτημένες από το χρόνο μεταβλητές (γενικευμένες συντεταγμένες) ώστε να συμπεριληφθούν σε αυτές και οι συναρτήσεις

( )l t , έτσι το σύνολο των νέων μεταβλητών (συντεταγμένων) είναι

1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ), ( , ,..., )n M n Mq q q q . (6.27)

Έχομε επομένως ότι η νέα λαγκρανζιανή είναι συνάρτηση των j και μπορεί και του

χρόνου, 1 2( , ,..., , )n ML L t . (6.28)

Αυτά επιτρέπονται διότι οι γενικευμένες συνιστώσες των δυνάμεων των δεσμών είναι

1

( , ), 1, 2,...,

Ml

cjl j

f q tQ j n M

(6.29)

Οι δυνατές μετατοπίσεις είναι δ (δ ,δ )q και πρέπει να πληρούν τη σχέση που είναι συμβατή με την αρχή του D’ Alembert, δηλαδή το δυνατό έργο των δυνάμεων των δεσμών κατά τις δυνατές μετατοπίσεις πρέπει να είναι μηδέν,

c c1 1 1

( , )δ δ δ =0

n M n M Ml

j j jj j l j

f q tW Q

. (6.30)

Όμως το δυνατό έργο χωρίς την εισαγωγή των ( )l t είναι μηδέν οπότε από τις

προηγούμενες σχέσεις είναι ευνόητο ότι οι γενικευμένες συνιστώσες για τα j των

δυνάμεων των δεσμών είναι μηδέν άρα προφανώς ισχύει και η Εξ.(6.30). Η αρχή του D’ Alembert γίνεται (αν αφήσομε και γενικευμένες συνιστώσες δυνάμεων που δεν εκφράζονται από δυναμική συνάρτηση),

125

1

dδ 0

d

n M

j jj j j

L LQ

t

. (6.31)

Η άλλη απαίτηση είναι ότι αυτές οι δυνατές μετατοπίσεις των νέων συντεταγμένων πρέπει να ικανοποιούν τους δεσμούς. Αυτό είναι ευνόητο γιατί οι Εξ.(6.24) δεν εξαρτώνται από τα ( )j t και οι δυνατές μεταβολές των jq οδηγούν σε κατάσταση που

ικανοποιεί τους δεσμούς διότι πρόκειται για ολόνομους δεσμούς. Αυτά οδηγούν στο συμπέρασμα ότι θα έχομε τις εξισώσεις κίνησης στη μορφή

d

, 1, 2,...,d j

j j

L LQ j n M

t . (6.32)

Δηλαδή έχομε (πραγματικό) πρόβλημα θεωρίας μεταβολών και καταλήξαμε στις εξισώσεις των Euler-Lagrange Έχομε n M εξισώσεις και n M αγνώστους και δεν έχομε πρόσθετες σχέσεις δεσμών. Με τη χρήση και της Εξ.(6.26) βρίσκομε τις γνωστές σχέσεις με τις οποίες μπορούμε να προσδιορίσομε και τις δυνάμεις των δεσμών,

1

( , )d( ) 0, 1, 2,...,

d

( , ) 0, 1, 2,...,

Ml

l jlj j j

l

f q tL Lt Q j n

t q q q

f q t l M

(6.33)

Αυτές είναι ισοδύναμες με τις Εξ.(6.32), όμως τώρα έχομε n εξισώσεις κίνησης μαζί με M πρόσθετες σχέσεις. 6.4 Διερεύνηση Θα ασχοληθούμε με δεσμούς της μορφής διαφορικών εξισώσεων όπως στην Εξ.(6.34)

1

( , , ) ( , ) ( , ) 0, 1, 2,...,n

l lk k lk

g q q t A q t q A q t l M

. (6.34)

126

Αυτές οι σχέσεις μπορεί να περιγράφουν ολόνομους δεσμούς ή μη ολόνομους δηλαδή ανολόνομους δεσμούς. Οι δυνατές μετατοπίσεις δ kq ικανοποιούν τις σχέσεις

1

( , )δ 0, 1, 2,...,n

lk kk

A q t q l M

(6.35)

Αυτές εκφράζουν ουσιαστικά την αρχή των δυνατών έργων του D’ Alembert, δηλαδή ότι το δυνατό έργο των δυνάμεων των δεσμών είναι μηδέν. Από αυτές έχομε τις γνωστές εξισώσεις κίνησης που μαζί με τις Εξ.(6.34) δίνουν τη λύση του δυναμικού προβλήματος,

1

1

d( ) ( , ) 0, 1, 2,...,

d

( , , ) ( , ) ( , ) 0, 1, 2,...,

M

l lk jlj j

n

l lk k lk

L Lt A q t Q j n

t q q

g q q t A q t q A q t l M

(6.36)

Προφανώς η περίπτωση με ολοκληρωμένους δεσμούς μπορεί να αναχθεί στην ανωτέρω περίπτωση όπως φαίνεται παρακάτω, Εξ.(6.37),

1 1

( , ) ( , )( , , ) ( , ) ( , ) 0 1, 2,...,

( , ) ( , )( , ) , ( , ) .

n nl l

l k lk k lk kk

l llk l

k

f q t f q tg q q t q A q t q A q t l M

q t

f q t f q tA q t A q t

q t

(6.37)

Θα εξετάσομε πότε μπορούμε να τροποποιήσομε τη λαγκρανζιανή ώστε να έχει τη μορφή

1

M

l ll

L g

, οπότε θα έχομε (πραγματικό) πρόβλημα θεωρίας μεταβολών) και την

Εξ.(6.38), δηλαδή τη γενικευμένη αρχή του D’ Alembert. Θα δούμε ότι ισχύουν πράγματι όσα ισχυριστήκαμε στα προηγούμενα και ότι κάτι τέτοιο γίνεται μόνο για ολόνομους δεσμούς (συμπεριλαμβάνονται και οι ημιολόνομοι δεσμοί). Η εφαρμογή της ιδέας στις άλλες περιπτώσεις έχει οδηγήσει σε λάθη στη διεθνή βιβλιογραφία. Υποθέτομε ότι όταν κάνομε τις δυνατές μετατοπίσεις που χρειάζονται (δυνατό έργο δυνάμεων δεσμών ίσο με μηδέν) για όλα τα γειτονικά σημεία ισχύουν οι Εξ.(6.34). Τότε είναι σαν να προσθέτομε ένα μηδενικό άθροισμα (ακόμη και όταν κάνομε τις απαραίτητες δυνατές μεταβολές στο μηχανικό σύστημα) στην αρχική λαγκρανζιανή L και παίρνομε τη νέα λαγκρανζιανή

1

M

l ll

L g

.

Αυτό σημαίνει ότι όπως ισχύει η αρχή του D’ Alembert με την αρχική λαγκρανζιανή θα

ισχύει και με τη νέα στη μορφή Εξ.(6.38), όπου 1

M

l ll

L L g

127

1

dδ 0

d

n M

j jj j j

L LQ

t

(6.38)

Στη θέση των ( )t των Εξ.(6.27) χρησιμοποιούμε τα ( )t .Τα δ j είναι αυθαίρετα

(ανεξάρτητα). Εισάγομε τα ljG έτσι που να ισχύουν

d, 1, 2,...,

d

0, 1, 2,..., .

l llj

j j

lj

g gG j n

t

G j n n n M

(6.39)

Οι Εξ.(6.38) γίνονται

1 1 1 1

dδ 0

d

n M M M Ml l

l l lj l j jj l l lj j j j

gL LG g Q

t

. (6.40)

Εφόσον τα ( )l l t , δηλαδή είναι συναρτήσεις μόνο του t, και τα δ j είναι ανεξάρτητα

(αυθαίρετα) βρίσκομε τις σχέσεις

1 1

d0, 1, 2,...,

d

0, 1, 2,..., .

M Ml

l l lj jl lj j j

l

gL LG Q j n

t q q q

g l M

(6.41)

Τα ( )t είναι συναρτήσεις μόνο του χρόνου οπότε μπορούμε να τα θεωρήσομε ως ( )l t ,

δηλαδή τα αντίστοιχα των ( )l t . Προφανώς υπεισέρχονται πάλι οι συντελεστές ljA και

υπολογίζονται από τις σχέσεις που χρησιμοποιήσαμε, οι οποίες δεν είναι οι ολοκληρωμένες αλλά περιέχουν τις ταχύτητες στην πρώτη δύναμη, δηλαδή έχομε

1

( , , ) ( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., .n

l lk k lk

g q q t A q t q A q t l M

(6.42)

llj

j

gA

q

. (6.43)

Υπενθυμίζομε ότι για ολόνομους δεσμούς εκφραζόμενους με τις ολοκληρωμένες σχέσεις (δηλαδή χωρίς εξάρτηση από τις ταχύτητες), μπορούμε να βρούμε τη σχέση με τις ταχύτητες και να ακολουθήσομε όσα λέμε για ημιολόνομους δεσμούς. Πράγματι έχομε

128

( , ) 0

( , )l

llj

j

f q t

f q tA

q

(6.44)

Ξέρομε ότι οι σωστές εξισώσεις κίνησης είναι οι Εξ.(6.36), επομένως για να είναι οι Εξ.(6.41) ίδιες με τις σωστές πρέπει

1

0n

lj ljli llj i

i i j j

A AA AG q

q q t q

. (6.45)

Η σχέση αυτή ικανοποιείται αν για κάθε iq ισχύουν οι σχέσεις

0, 0lj ljli l

i j j

A AA A

q q t q

. (6.46)

Αυτές οι σχέσεις είναι οι σχέσεις που ισχύουν για να είναι η διαφορική μορφή που αντιστοιχεί στις Εξ.(6.36) ολικό διαφορικό (βλ. Εξ.(4.20)). Αυτοί οι δεσμοί που εκφράζονται με ολικά διαφορικά, είναι ημιολόνομοι δεσμοί. Επομένως οι ημιολόνομοι δεσμοί μπορεί να μας οδηγήσουν σε εισαγωγή νέας λαγκραντζιανής και σε χρήση της γενικευμένης αρχής D’ Alembert. Συμπεραίνομε ότι οι δυνατές μετατοπίσεις οι σύμφωνες με την αρχή του D’ Alembert, Εξ.(6.35) που τώρα γράφονται όπως στην Εξ.(6.47)

1 1

( , )δ δ 0, 1, 2,...,n n

llk k k

k k j

gA q t q q l M

q

(6.47)

δεν παραβιάζουν τους δεσμούς των Εξ.(6.42), δηλαδή τους

1

( , , ) ( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., .n

l lk k lk

g q q t A q t q A q t l M

(6.48)

Επομένως οι δυνατές αυτές μετατοπίσεις οδηγούν από πιθανή σε πιθανή κατάσταση. Πράγματι έχομε ( δ , δ , ) ( , , ) δ ( , , )l l lg q q q q t g q q t g q q t . (6.49)

Ισχύουν οι σχέσεις

129

=1 1

=1 1

δ = δ ( ) δ ( )

δ ( ) d δ ( ) / d

dδ = δ ( ) δ ( ).

d

n nl l

l j jj jj j

j j

n nl

l j lj jj jj

g gg q t q t

q q

q t q t t

gg q t G q t

t q

(6.50)

Αφού για ημιολόνομους δεσμούς έχομε την Εξ.(6.45), προκύπτει 0ljG , επίσης οι

δυνατές μετατοπίσεις οδηγούν στις σχέσεις της Εξ.(6.47), επομένως δ =0lg . Άρα από την

Εξ.(6.49) εφόσον η αρχική κατάσταση είναι πιθανή και ισχύει η Εξ.(6.48) συμπεραίνομε ότι και η μετατοπισμένη είναι πιθανή αφού ισχύει

( δ , δ , ) ( , , ) δ ( , , )l l lg q q q q t g q q t g q q t =0+0=0.

Αν η δεσμευτική σχέση περιέχει τις ταχύτητες στην πρώτη δύναμη αλλά το αντίστοιχο διαφορικό δεν είναι ολικό διαφορικό αλλά μπορεί να μετατραπεί σε ολικό πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο ολοκληρωτικό παράγοντα, τότε ισχύουν τα ανωτέρω για την προκύπτουσα μετά τον πολλαπλασιασμό δεσμευτική σχέση η οποία είναι ολικό διαφορικό. Οι εξισώσεις που λύνουν το πρόβλημα γίνονται

'

1

d( ) 0

d

1,2,3...

0, 1, 2,3...

Ml

l jlj j j

l

gL Lt Q

t q q q

j n

g l M

(6.51)

6.5 Γενίκευση της αρχής του Hamilton Ακολουθώντας τις προηγούμενες μεθόδους όπου, από τις εξισώσεις κίνησης του Lagrange, που ουσιαστικά στηρίζονται στην αρχή του D’ Alembert, οδηγηθήκαμε στην αρχή του Hamilton. Ξεκινώντας από την γενικευμένη αρχή του D’ Alembert μπορούμε να δείξομε τη γενικευμένη αρχή του Hamilton για δεσμούς που είναι ολόνομοι σε ολοκληρωμένη μορφή. Έχομε

2 2

1 11

δ δ ( , , )d δ ( ) ( , ) d 0t t M

l llt t

I L t t L t f q t t

. (6.52)

Το ίδιο μπορούμε να κάνομε για ημιολόνομους δεσμούς (διαφορική μορφή), οπότε καταλήγομε στην

130

2 2

1 11

δ δ ( , , )d δ ( ) ( , , ) d 0t t M

l llt t

I L t t L t g q q t t

(6.53)

Αυτά ισχύουν διότι όπως είδαμε στα προηγούμενα οι δυνατές μετατοπίσεις από πιθανές καταστάσεις μας οδηγούν σε πιθανές καταστάσεις. Αυτό σημαίνει ότι από πιθανή τροχιά (άρα και την πραγματική τροχιά) οδηγούν σε πιθανές γειτονικές τροχιές. Εδώ έχομε πραγματικό πρόβλημα θεωρίας μεταβολών και όχι απλώς μια ολοκληρω(μα)τική αρχή. 6.6 Εξισώσεις κίνησης με γενικούς μη ολόνομους δεσμούς Μέχρι τώρα θεωρήσαμε δεσμούς όπου αν περιλαμβάνουν και ταχύτητες αυτές είναι στην πρώτη δύναμη, είχαμε έτσι ολόνομους, ημιολόνομους ή ανολόνομους δεσμούς. Τώρα θα εξετάσομε την περίπτωση που οι δεσμοί δεν έχουν τον ανωτέρω περιορισμό αλλά είναι της γενικής μορφής ( , , ) 0, 1, 2,...,lg q q t l M (6.54)

Το πρόβλημα που τίθεται είναι, πώς στη γενική αυτή περίπτωση να βρούμε τη σχέση που συνδέει τις δυνατές μετατοπίσεις. Ας ξανατονίσομε ότι πρέπει κατά τις δυνατές μετατοπίσεις να έχομε δυνατό έργο των δυνάμεων των δεσμών ίσο με μηδέν, αρχή του D’ Alembert. Επίσης, το δυνατό έργο δυνάμεων είναι της μορφής

1

δ ( , , )δn

j jj

W Q q q t q

(6.55)

Ψάχνομε, επομένως, με βάση αυτά να βρούμε σχέσεις όπως της Εξ.(6.55) που θα δίνουν το δυνατό έργο των δυνάμεων των δεσμών και το οποίο θα είναι ίσο με μηδέν. Έτσι θα έχομε σχέσεις που θα συνδέουν μεταξύ τους τις δυνατές μετατοπίσεις. Γενικώς, οι δυνατές μετατοπίσεις μπορεί να μην ικανοποιούν τις Εξ.(6.54), απλώς πρέπει να σχετίζονται κατάλληλα με αυτές λαμβάνοντας υπόψη ότι πρέπει να ισχύει η αρχή του D’ Alembert. Ας πάρομε την ολική παράγωγο της Εξ.(6.54), θα έχομε

1 1

d0, 1, 2,...,

d

n nl l l l

j jj jj j

g g g gq q l M

t q q t

. (6.56)

131

Ας κάνομε μιαν ελάχιστη υπόθεση, η οποία λέει ότι οι δυνάμεις των δεσμών επηρεάζουν τις επιταχύνσεις jq μόνο όπως καθορίζουν οι Εξ.(6.56). Οι εξισώσεις αυτές περιέχουν

μόνο τις προβολές της επιτάχυνσης 1 2( , ,..., )nq q q q (6.57)

στην κατεύθυνση που ορίζεται από τους δεσμούς ως εξής

1 2

, ,..., , 1, 2,...,l l l l

n

g g g gl M

q q q q

. (6.58)

Αυτό σημαίνει ότι οι δεσμοί επηρεάζουν τις προβολές των επιταχύνσεων στις κατευθύνσεις που ορίζουν οι Εξ.(6.58), που κατά συνέπεια οδηγεί στο ότι οι γενικευμένες συνιστώσες των δυνάμεων των δεσμών είναι κατά τις κατευθύνσεις που ορίζουν οι Εξ.(6.58). Επομένως καταλήγομε στο ότι για να ισχύει η αρχή του D’ Alembert πρέπει οι δυνατές μετατοπίσεις δq θα είναι κάθετες στις δυνάμεις των δεσμών, οπότε οι δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων (πρόσθετες σχέσεις, side conditions) είναι

1

( , , )δ 0, 1, 2,...,

nl

jj j

g q q tq l M

q

. (6.59)

Προφανώς θα έχομε τώρα αντίστοιχες σχέσεις με αυτές των Εξ.(5.52) και Εξ. (5.53), δηλαδή τις

1

( , , )d( ) 0, =1,2,...,

d

( , , ) 0, 1, 2,...,

Ml

l jlj j j

l

g q q tL Lt Q j n

t q q q

g q q t l M

(6.60)

Τα ανωτέρω μπορεί να δειχτούν ξεκινώντας και από τις ολοκληρωτικές αρχές της δυναμικής. Εύκολα φαίνεται ότι οι σχέσεις αυτές πράγματι ισχύουν για την περίπτωση που έχομε ημιολόνομους ή ολόνομους δεσμούς (ολοκληρωμένες σχέσεις) αφού τότε δίνουν τις σωστές εξισώσεις κίνησης. 6.7 Εμφύτευση ανολόνομων δεσμών. Έστω ότι σε κάποιο μηχανικό σύστημα έχομε δεσμούς με τη μορφή διαφορικών εξισώσεων του Pfaff ή των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων γραμμικών ως προς τις ταχύτητες. Αν οι δεσμοί ληφθούν υπόψη με χρήση πολλαπλασιαστών του Lagrange καταλήγομε να έχομε να λύσομε το παρακάτω σύστημα των Εξ.(6.61)

132

1

1

d( ) ( , ) 0, 1, 2,...,

d

( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., .

M

l lk jlj j

n

lk k lk

L Lt A q t Q j n

t q q

A q t q A q t l M

(6.61)

Θυμίζομε ότι σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι οι δεσμοί έχουν ενσωματωθεί. Έχουν εισαχθεί οι δεσμοί με χρήση των βοηθητικών μεταβλητών ( )l t ώστε να διασφαλιστεί ότι

κατά την πραγματική κίνηση δεν παραβιάζονται οι δεσμοί. Όταν λάβει κανείς υπόψη τους δεσμούς, με το σωστό τρόπο, αλλά χωρίς τη χρήση βοηθητικών μεταβλητών τότε λέμε ότι οι δεσμοί εμφυτεύονται. Ας υποθέσομε ότι έχομε μόνο M ολόνομους δεσμούς σε ολοκληρωμένη μορφή και οι γενικευμένες συντεταγμένες είναι n . Ας υποθέσομε ακόμη ότι μπορούμε να βρούμε αναλυτική λύση που να συνδέει M γενικευμένες συντεταγμένες με τις υπόλοιπες n M . Αυτές μπορούν να εισαχθούν στην έκφραση της λαγκρανζιανής οπότε έχομε πρόβλημα με n M γενικευμένες συντεταγμένες, χωρίς δεσμούς. Υπάρχει μέθοδος με την οποία μπορεί να εμφυτευτούν δεσμοί ακόμη και αν δεν είναι ολόνομοι αλλά γενικώς δίνονται στη μορφή εξισώσεων του Pfaff ή των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων γραμμικών ως προς τις ταχύτητες. Οι δεσμοί είναι της μορφής

1

( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., n

lk k lk

A q t q A q t l M

. (6.62)

Οι δυνατές μεταβολές ικανοποιούν τις σχέσεις

1

( , )δ 0, 1, 2,..., n

lk kk

A q t q l M

. (6.63)

Επειδή υποθέτομε ότι οι σχέσεις των δεσμών Εξ.(6.62) είναι ανεξάρτητες είναι εύκολο να λύσομε τις Εξ.(6.63) ως προς M από τις n μετατοπίσεις δ kq . Μπορούμε πάντα να το

κάνομε για τις πρώτες M . Αυτό δεν σημαίνει ότι οι πρώτες παίζουν κάποιον προεξάρχοντα ρόλο αφού μπορούμε να κάνομε τη διάταξη των γενικευμένων συντεταγμένων όπως θέλομε. Το αποτέλεσμα θα είναι

1 21

δ ( , ,..., , )δ 1, 2,...,n

i ij n jj M

q a q q q t q i M

. (6.64)

Έχομε από την Εξ.(5.45)

133

1 1

1

d dδ δ 0

d d

( , )d ( , )d 0, 1, 2,..., .

M n

M

n

lk k lk

L L L Lq Q q Q

t q q t q q

A q t q A q t t l M

(6.65)

Αντικαθιστούμε τα M δ iq από την Εξ.(6.64) στο πρώτο άθροισμα της Εξ.(6.65) και

μετά από αλλαγή της σειράς των αθροισμάτων καταλήγομε στις

1 1

1

d dδ 0

d d

( , )d ( , )d 0, 1, 2,..., .

n M

j i ijj M i i i j j

n

lk k lk

L L L Lq Q a Q

t q q t q q

A q t q A q t t l M

(6.66)

Τώρα τα δ jq είναι ανεξάρτητα επομένως συμπεραίνομε ότι

1

1

d d0, 1, 2,...,

d d

( , )d ( , )d 0, 1, 2,..., .

M

i iji i i j j

n

lk k lk

L L L LQ a Q j M M n

t q q t q q

A q t q A q t t l M

(6.67)

Αυτές είναι οι n εξισώσεις που η λύση τους δίνει τις n ( )iq t σχέσεις για την κίνηση του

συστήματος. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Θεωρήστε τη γνωστή περίπτωση του δίσκου που κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο και το επίπεδό του είναι κατακόρυφο. Κάντε χρήση των δεσμών αυτής της περίπτωσης σε μορφή διαφορικών εξισώσεων του Pfaff και βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης Προσδιορίστε τη λύση, δηλαδή τα

( ), ( ), ( ), ( )x x t y y t t t υποθέτοντας ότι η αρχικές τους τιμές είναι

134

0, 0, 0, 0, ,x y Ω. Προσδιορίστε τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης των δεσμών και τις καρτεσιανές (συνήθεις) δυνάμεις.

2. Θεωρήστε τη γνωστή περίπτωση του δίσκου που κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο και το επίπεδό του είναι κατακόρυφο. Κάντε χρήση των δεσμών αυτής της περίπτωσης σε μη γραμμική μορφή και βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης Προσδιορίστε τη λύση, δηλαδή τα

( ), ( ), ( ), ( )x x t y y t t t υποθέτοντας ότι η αρχικές τους τιμές είναι

0, 0, 0, 0, ,x y Ω.

3. Δείξτε ότι η μετρική στην επιφάνεια σφαίρας προσδιορίζεται από τη σχέση για το στοιχειώδες μήκος d s ,

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(d ) (d ) sin (d )

ή d d sin d .

s R R

s R R

Γεωδεασιακή είναι μια καμπύλη πάνω στη σφαιρική επιφάνεια που το μήκος μεταξύ δυο σημείων της έχει στάσιμη τιμή. Θέλομε να βρούμε τις σχέσεις που προσδιορίζουν τις γεωδεασιακές. Θεωρήστε ως ανεξάρτητη μεταβλητή (παράμετρο) το μήκος πάνω στη γεωδεσιακή, δηλαδή ( ), ( )s s . Προσδιορίστε τη λαγκραζιανή και βρείτε τις εξισώσεις Λαγκράνζ και τις αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις . Λύστε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων και δείξτε ότι ισχύουν 0 0cos ( ) cos sin( )s s s και

0 0tan ( ) sin tans s όπου 0 0 0, , s σταθερές ολοκλήρωσης.

4. Η μετρική στη Σχετικότητα καθορίζεται από τη μορφή του τετραμήκους το οποίο είναι της μορφής, 2d ( )d d , , 0,1,2,3 i k

iks g x x x i k . Χρησιμοποιούμε τη

συνήθη σύμβαση άθροισης επαναλαβανόμενων άνω και κάτω βωβών δεικτών. Μέσα σε πεδίο βαρύτητας, όταν δεν υπάρχουν άλλες δυνάμεις, ένα υλικό σημείο πολύ μικρής μάζας ώστε να μην επηρεάζει το πεδίο βαρύτητας (δοκιμαστικό υλικό σημείο) κινείται κατά μήκος κάποιας γεωδεσιακής. Σε αυτή την περίπτωση

ως λαγκραζιανή του προβλήματος μπορεί να ληφθεί η έκφραση d

d

sL mc

όπου είναι κάποια βαθμωτή παράμετρος για την παραμετροποίηση των (γειτονικών) καμπύλω μεταξύ των ακραίων σημείων 1,2 (που αντιστοιχούν στα 1 2, ) στον τετραδιάστατο χώρ. Δηλαδή ( ), 0,1, 2,3i ix x i .. Προφανώς το

ολοκλήρωμα δράσης θα είναι

2

1

d- d

d

sI mc

. Βρείτε τις εξισώσεις Λαγκράνζ . Υποθέστε ότι οι μεταβολές

δ ix στα άκρα του ολοκληρώματος είναι μηδέν. Στη συνέχεια θεωρήστε ότι

s , όπου το s είναι το τετραμήκος κατά μήκος της γεωδεσιακής και δείξτε ότι ισχύουν οι εξισώσεις κίνησης

135

,

2

2

d0

d ή

d d d0 .

d d

ii k

il l ik

i k likl

ug u u

s

x x x

ds s s

Γ

Γ

Υπενθυμίζομε ότι d

d

kk x

us

. Τα σύμβολα ,i klΓ είναι τα σύμβολα του

Christoffel πρώτου είδους για τα οποία ισχύει ,

1

2ik il kl

i kl l k i

g g g

x x x

Γ .

Τα σύμβολα iklΓ είναι τα σύμβολα του Christoffel δευτέρου είδους για τα

οποία ισχύει ,

1

2i im im mk ml klkl m kl l k m

g g gg g

x x x

Γ Γ .

5. Υποθέστε ότι σωμάτιο ξεκινά από την ηρεμία και εκτελεί ελεύθερη πτώση μέσα σε ομογενές και σταθερό με το χρόνο πεδίο βαρύτητας, g . Υπολογίστε τη δράση (ολοκλήρωμα δράσης) για την κίνηση, όταν z bt μεταξύ ( 0, 0)t z και

1 1( , )t t z z . Το b είναι κατάλληλη σταθερά. Κάντε το ίδιο για την πραγματική κίνηση

για την οποία ισχύει η γνωστή σχέση 21

2z gt . Δείξτε ότι η πρώτη δράση είναι

μεγαλύτερη από τη δράση για την πραγματική κίνηση. Ο άξονας z είναι κατακόρυφος (θετικός) προς τα κάτω. Επισημαίνεται ότι, από τα 1 1, , ,g b t z δυο μόνον είναι ανεξάρτητα

μεταξύ τους. Για να συγκρίνετε τα δυο ολοκληρώματα δράσης μπορείτε να θεωρείστε τα

1,g t ανεξάρτητα και δεδομένα και να εκφράστε τα 1,b z συναρτήσει αυτών.

6. Υποθέστε ότι είναι γνωστό πειραματικά ότι υλικό σημείο, ξεκινώντας από την ηρεμία,

έπεσε ελεύθερα κατά δεδομένο κατακόρυφο διάστημα 1y σε χρόνο 11

2yt

g . Δεν είναι

γνωστοί οι χρόνοι διαδρομής για άλλα διαστήματα πτώσης. Θεωρήστε θετική φορά του άξονα y προς τα κάτω. Υποθέστε ότι η κίνηση περιγράφεται από την 2

1 2y b t b t . Αν οι

παράμετροι 1 2,b b σχετίζονται μεταξύ τους έτσι που ο χρόνος πτώσης κατά 1y να είναι 1t ,

δείξτε ότι το ολοκλήρωμα δράσης 1

0

dt

I L t γίνεται στάσιμο αν 1 20, / 2.b b g Ο

υπολογισμός να γίνει άμεσα θεωρώντας ότι οι ανωτέρω παράμετροι περιγράφουν και παραλλαγμένες (πιθανές) τροχιές και όχι με χρήση των εξισώσεων των Euler-Lagrange. 7. Υποθέστε ότι έχετε ένα είδος γενικευμένης μηχανικής όπου η λαγκραντζιανή εξαρτάται και από δεύτερες παραγώγους των γενικευμένων συντεταγμένων ως προς το χρόνο, δηλαδή 1 2( , , , ), ( , ,..., )nL L q q q t q q q q . Εφαρμόστε την αρχή του Hamilton με

τους περιορισμούς ότι στα άκρα της ολοκλήρωσης οι «μεταβολές» (variations) όχι μόνο

136

των iq αλλά και των iq είναι μηδέν και δείξτε ότι οι (διαφορικές) εξισώσεις των Euler-

Lagrange παίρνουν τη μορφή:

2

2

d d0

d di i i

L L L

t q t q q

. Θυμίζομε ότι η αρχή του Hamilton λέει ότι η «μεταβολή»

του ολοκληρώματος δράσης λαμβανόμενου πάνω στην πραγματική διαδρομή και πάνω σε απείρως γειτονικές διαδρομές είναι μηδέν, δηλαδή

2

1

δ δ ( , , , )d 0t

t

I L q q q t t , οι «μεταβολές» νοούνται με t σταθερό. Κάντε εφαρμογή για

2

2 2

m kL qq q .

8. Ας θεωρήσομε την περίπτωση του δίσκου που κινείται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο. Ο δίσκος είναι ομογενής και κατά την κίνησή του παραμένει κατακόρυφος (δεν μας ενδιαφέρουν οι δυνάμεις δεσμών που τον κρατούν κατακόρυφο). Στον δίσκο ασκείται μόνο το βάρος του αλλά επειδή ασκείται και η κάθετη δύναμη του δαπέδου μπορούμε να λέμε ότι δεν υπάρχουν αυτές οι δυο δυνάμεις. Έτσι το πρόβλημα συνίσταται στην περιγραφή της κίνησης χωρίς ασκούμενες (ενεργητικές) δυνάμεις. Θεωρήστε ως συντεταγμένες τις καρτεσιανές συντεταγμένες του κέντρου του δίσκου και τις γνωστές γωνίες , . Βρείτε τις εξισώσεις κίνησης θεωρώντας ως σχέσεις δεσμών τις γνωστές γραμμικές ως προς τις ταχύτητες σχέσεις. Στη συνέχεια βρείτε τις εξισώσεις κίνησης αντικαθιστώντας τις δυο γραμμικές σχέσεις με τη μη γραμμική δεσμευτική σχέση 2 2 2 2

1( , , ) 0g q q t x y a

και τη γραμμική 2 ( , , ) cos sin 0g q q t x y . Δείξτε γιατί αυτές οι δεσμευτικές

σχέσεις περιγράφουν την κατάσταση. Συγκρίνετε με την περίπτωση που οι σχέσεις δεσμών είναι οι συνήθεις γραμμικές. Λύστε τις εξισώσεις κίνησης και προσδιορίστε την κίνηση του συστήματος.

137

7. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ Σε πολλές περιπτώσεις μπορούμε να βρούμε ολοκληρώματα της κίνησης χωρίς να λύσομε το δυναμικό πρόβλημα. Βρίσκομε δηλαδή σχέσεις οι οποίες ισχύουν για την πραγματική κίνηση και είναι της μορφής ( , , )r rF q q t c = σταθερό (7.1)

Μια τέτοια έκφραση είναι αυτή που σχετίζεται με τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας ή κάποιας συνιστώσας της ορμής κτλ. Η ύπαρξη συμμετρίας στο δυναμικό σύστημα οδηγεί σε διατήρηση κάποιας ποσότητας κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος. Το αντίστροφο δεν συμβαίνει, δηλαδή υπάρχουν διατηρούμενες ποσότητες που δε σχετίζονται με συμμετρίες. Οι πιο σημαντικές τέτοιες περιπτώσεις όπου έχομε διατηρούμενες ποσότητες χωρίς να υπάρχουν αντίστοιχες συμμετρίες, είναι στη θεωρία πεδίων όπου είναι πεδία που έχουν λύσεις σολιτόνια, τέτοια πεδία περιγράφονται με την εξίσωση sine-Gordon ή την εξίσωση των Korteweg-de Vries. Μια απλή περίπτωση διατήρησης που προέρχεται από συμμετρία είναι η εξής, έστω ότι η λαγκρατζιανή δεν εξαρτάται από κάποια συγκεκριμένη συντεταγμένη έστω την rq , ενώ μπορεί να περιέχει

την αντίστοιχη ταχύτητα rq . Η συντεταγμένη αυτή λέγεται κυκλική ή αγνοήσιμη.

Μερικοί λένε κυκλική αυτήν που δεν υπάρχει στην κινητική ενέργεια και αγνοήσιμη αυτήν που δεν υπάρχει στη λαγκραντζιανή. Χρησιμοποιείαι και ο όρος κινοσθενική (kinosthenic) αντί του όρου αγνοήσιμη. Αν έχομε αγνοήσιμη μεταβλητή, τότε λέμε ότι το σύστημα έχει μια συμμετρία και εννοούμε ότι η λαγκρατζιανή δεν μεταβάλλεται κατά μετατόπιση ως προς αυτή τη μεταβλητή. Ορίζομε ως γενικευμένη ορμή που σχετίζεται με μια συντεταγμένη iq την ποσότητα

ii

Lp

q

. (7.2)

Αυτή λέγεται και κανονική ορμή ή συζυγής ορμή. Αν έχομε λαγκρατζιανό σύστημα τότε ισχύει για την συντεταγμένη rq

d

0d r r

L L

t q q

(7.3)

Αφού το ( , , )L q q t δεν εξαρτάται από την rq προφανώς 0r

L

q

άρα

dd

0, d d

rr

r

pLp

t q t

= σταθερό . (7.4)

138

Αφού ισχύουν οι εξισώσεις κίνησης του Lagrange, η ποσότητα διατηρείται κατά τη διάρκεια της πραγματικής κίνησης. Η τιμή της εξαρτάται από αρχικές συνθήκες. Αν έχομε φορτισμένο σωμάτιο μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που ούτε το διανυσματικό ούτε το βαθμωτό δυναμικό εξαρτώνται από (έστω) τη συντεταγμένη x , τότε διατηρείται η γενικευμένη ορμή x xp mx qA =σταθερά. (7.5)

Μπορεί να δειχτεί ότι ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους είναι για τη συγκεκριμένη περίπτωση που δεν υπάρχει η εξάρτηση από το x , η συνιστώσα της ορμής του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στην κατεύθυνση x . Στην περίπτωση που έχομε μόνο βαθμωτό δυναμικό που δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες και εφόσον δεχτούμε ότι η λαγκρατζιανή δε μεταβάλλεται αν κάνομε μια μετατόπιση σε ορισμένη κατεύθυνση στον καρτεσιανό μας χώρο, τότε αποδεικνύεται ότι η προβολή της συνήθους ορμής σε αυτή την κατεύθυνση διατηρείται. 7.1 Ενεργειακή συνάρτηση-Διατήρηση της ενέργειας Υποθέτομε ότι ασχολούμαστε με λαγκρανζιανά συστήματα στα οποία οι δεσμοί είναι ολόνομοι και έχουν εξαλειφθεί με εισαγωγή των κατάλληλων συντεταγμένων. Ας θεωρήσομε τη λαγκρανζιανή ( , , )L q q t που στην κανονική (φυσική) της μορφή δίνεται από τη γνωστή σχέση ( , , ) ( , , ) ( , , )L q q t T q q t U q q t . Μπορεί όμως η λαγκρανζιανή να έχει τροποποιηθεί έτσι που να μην ισχύει αυτή η σχέση. Γενικώς θα έχομε για την εξέλιξη στο χρόνο

1 1

d

d

n n

j jj jj j

L L L Lq q

t q q t

. (7.6)

Εφόσον μελετούμε πραγματική κίνηση ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange οπότε

d

dj j

L L

q t q

. (7.7)

139

Άρα 1 1

d d

d d

n n

j jj jj j

L L L Lq q

t t q q t

. (7.8)

ή

1

d d

d d

n

jj j

L L Lq

t t q t

. (7.9)

Άρα 1

d0

d

n

jj j

L Lq L

t q t

. (7.10)

Η παράσταση στην παρένθεση λέγεται, συνήθως, ενεργειακή συνάρτηση και συμβολίζεται με h .

1

( , , )n

jj j

Lh q q t q L

q

. (7.11)

Αυτή δεν είναι η χαμιλτονιανή που θα δούμε αργότερα, παρόλο που έχουν σε κάθε σημείο την ίδια τιμη. Η χαμιλτονιανή είναι συνάρτηση άλλων μεταβλητών, των , ,q p t όπου p παριστάνει τις συζυγείς ορμές. Επομένως η Εξ.(7.10) και (7.11) οδηγούν στην Εξ.(7.12)

d

d

h L

t t

(7.12)

Αν η λαγκρανζιανή είναι της μορφής ( , )L L q q , δηλαδή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, τότε h σταθερό, δηλαδή διατηρείται κατά τη διάρκεια της πραγματικής κίνησης του δυναμικού συστήματος. Αυτό είναι ένα ολοκλήρωμα της κίνησης και συνήθως ονομάζεται ολοκλήρωμα του Jacobi. Εδώ έχομε συμμετρία που σχετίζεται με το γεγονός ότι η λαγκρανζιανή δεν επηρεάζεται από μετατόπιση στο χρόνο. Θα δούμε τώρα ότι σε ειδικές περιπτώσεις η συνάρτηση h είναι η (ολική) μηχανική ενέργεια του δυναμικού συστήματος. Σύμφωνα με το παράρτημα Π2, η κινητική ενέργεια μηχανικού συστήματος γράφεται ως 0 1 2( , ) ( , , ) ( , , ).T T q t T q q t T q q t (7.13)

Ο πρώτος όρος είναι ανεξάρτητος από τις ταχύτητες, ο δεύτερος εξαρτάται γραμμικά από τις ταχύτητες και ο τελευταίος όρος είναι τετραγωνική μορφή ως προς τις ταχύτητες. Όλοι οι όροι είναι ομογενείς συναρτήσεις ως προς τις ταχύτητες, βαθμών 0, 1 και 2 αντίστοιχα. Το θεώρημα του Euler λέει ότι για μια ομογενή συνάρτηση f βαθμού k ως προς τα

, 1, 2,...,ix i n , ισχύει

1

n

ii i

fx kf

x

(7.14)

140

Σε πολλές περιπτώσεις η λαγκρανζιανή μπορεί να γραφτεί σε ανάλογη μορφή όπως η κινητική ενέργεια, δηλαδή 0 1 2( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , )L q q t L q t L q q t L q q t (7.15)

όπου οι τρεις όροι έχουν ομογένεια 0,1,2 βαθμών αντιστοίχως όπως συμβαίνει στην κινητική ενέργεια. Σε αυτή την περίπτωση βρίσκομε ότι 0 1 2 0 1 2 2 00 1 2 ( )h L L L L L L L L . (7.16)

Αν το 2 ( , )T T q q και αν επιπλέον το δυναμικό δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες,

δηλαδή, ( , )U V V q t , τότε από τη σχέση 2 1 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , )L q q t L q q t L q q t L q t

σε συνδυασμό με τη σχέση 2( , ) ( , ) ( , )L T V q t T q q V q t

Είναι ευνόητο ότι ισχύουν 1( , , ) 0L q q t , 2L T και 0L V ,

οπότε η Εξ.(7.16) οδηγεί στην h T V E . (7.17) Η ισχύς της σχέσης 2 ( , )T T q q μπορεί να οφείλεται στο ό,τι οι εξισώσεις

μετασχηματισμού από τις καρτεσιανές στις γενικευμένες συντεταγμένες, δεν περιέχουν άμεσα το χρόνο, βλέπε παράρτημα Π2, τότε 1 0 0T T και 2T T .

Η Εξ. (7.17) λέει ότι η ενεργειακή συνάρτηση είναι και η ολική μηχανική ενέργεια του δυναμικού συστήματος. Υπό αυτές τις συνθήκες και επιπλέον η δυναμική συνάρτηση (το δυναμικό) είναι ( )V V q , δηλαδή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, ούτε η

λαγκρανζιανή θα εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, 0L

t

. Άρα σύμφωνα με την Εξ.(7.17)

που τώρα γράφεται ως

d d

d d

h E L

t t t

=0 (7.18)

η ενέργεια διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος, δηλαδή E T V σταθερή. Ενώ η λαγκρανζιανή για κάθε δυναμικό σύστημα καθορίζεται πλήρως από τη σχέση L T U

141

και αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τις ειδικές συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται, η ενεργειακή συνάρτηση h για δεδομένο δυναμικό σύστημα, δεν είναι η ίδια αλλά εξαρτάται σε μέγεθος αλλά και σε μορφή (ως συνάρτηση) από τις ειδικές συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται. Για το ίδιο δυναμικό σύστημα το φυσικό νόημά της είναι διαφορετικό και εξαρτάται από τις χρησιμοποιούμενες συντεταγμένες. 7.2 Πρώτο Θεώρημα της Noether για διακριτά δυναμικά συστήματα Από τους μετασχηματισμούς στους οποίους μπορούν να υποβληθούν τα μεγέθη που περιγράφουν ένα δυναμικό σύστημα, υπάρχει ένα σύνολο με ιδιαίτερο ενδιαφέρον, είναι οι μετασχηματισμοί που αφήνουν αναλλοίωτη τη μορφή των εξισώσεων κίνησης. Αυτοί λέγονται μετασχηματισμοί (δυναμικής) συμμετρίας. Όταν σε λαγκραντζιανά συστήματα υπάρχουν τέτοιοι μετασχηματισμοί συμμετρίας τότε υπάρχουν ποσότητες που είναι σταθερές της κίνησης. Αν ισχύουν οι κατάλληλες προϋποθέσεις, δηλαδή αν η συμμετρία είναι νεδεριανή (βλέπε παράρτημα Π4) τότε για τα μεγέθη που διατηρούνται μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα της Noether. Θα κάμομε χρήση των αποτελεσμάτων του παραρτήματος Π4 που αναφέρεται σε αρχή μεταβολών και στο θεώρημα της Noether και μάλιστα για πολυδιάστατους χώρους. Εδώ θα εξειδικεύσομε το πρώτο θεώρημα της Noether για διακριτά συστήματα. Ένα τέτοιο λαγκρανζιανό σύστημα περιγράφεται από τη λαγκρανζιανή ( , , )L L q q t , το ολοκλήρωμα της δράσης είναι

2

1

( , , )dt

t

I L q q t t . (7.19)

Ισχύουν 1 2 1 2( ( ), ( ),..., ( )), ( ( ), ( ),..., ( ))n nq q t q t q t q q t q t q t .

Στη συνέχεια κάνομε χρήση του Παραρτήματος Π4. Εδώ έχομε ότι ο χώρος των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι μονοδιάστατος και η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο

χρόνος, δηλαδή 1, , ( ) ( ), y

m x t y x q t qx

. Επίσης , Z I F L .

142

Έστω ότι έχομε τους κατωτέρω μετασχηματισμούς

1 2 1 2

( , , ), ( , ,0)

( , , ), ( , ,0)

( , ,..., ), ( , ,..., ).

i i i i

n r

q q q t q q q t

t t q t t t q t

q q q q

(7.20)

Οι μετασχηματισμοί εξαρτώνται από r ανεξάρτητες παραμέτρους, τις 1 2 ( , ,..., )r .

Γράφομε αυτούς τους μετασχηματισμούς στη μορφή απειροστών μετασχηματισμών οπότε οι r ανεξάρτητες παράμετροι είναι απειροστές ποσότητες. Έχομε

1 1

1 1

δ , δ

( , ), δ ( , )

( , ), δ ( , ).

i i i

r r

i i i i i

r r

q q q t t t

q q q t q q t

t t q t t q t

(7.21)

Ισχύουν οι σχέσεις

0 0

( , ) , ( , )ii

q tq t q t

(7.22)

Έχομε για τις παραγώγους ως προς το χρόνο

d d d d d

, , d d d d d

δ

i i i ii i i

i i i

q q q q tq q q

t t t t tq q q

. (7.23)

Αν υπάρχει νεδεριανή συμμετρία ως προς τους απειροστούς μετασχηματισμούς των Εξ.(7.21) μέχρι και σε πρώτη τάξη ως προς τις μεταβολές και επομένως και ως προς τις απειροστές παραμέτρους τότε αυτό οδηγεί σε σταθερές κίνησης, πλήθους ίσου με το πλήθος των ανεξάρτητων παραμέτρων. Τέτοιοι μετασχηματισμοί συμμετρίας είναι οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου στη μη σχετικιστική φυσική και οι μετασχηματισμοί του Lorentz στην περίπτωση ισχύος της ειδικής σχετικότητας. Και οι δυο αυτές ομάδες μετασχηματισμών χαρακτηρίζονται από 10 ανεξάρτητες παραμέτρους και έτσι οδηγούν σε 10 ανεξάρτητες σταθερές κίνησης. α) Για να ισχύει το θεώρημα της Noether πρέπει να ισχύει για το ολοκλήρωμα δράσης πριν και μετά το μετασχηματισμό συμμετρίας

2 2

1 1

( , , )d ( , , )d , t t

t t

L q q t t L q q t t

. (7.24)

143

β) Δεχόμαστε ότι έχομε, γενικώς, ημιαναλλοιώτητα με την έννοια της Εξ. (7.25).

dδ ( , )

( , , ) ( , , )d

G q tL q q t L q q t

t

. (7.25)

Χρησιμοποιούμε την Εξ.(Π4.68) οπότε το κριτήριο ελέγχου για να είναι κάποιος μετασχηματισμός συμμετρίας νεδεριανός είναι

1 1

dδ dδδ δ δ 0

d d

n n

i ii ii i

L L L t Gq q t L

q q t t t

. (7.26)

Αυτή η σχέση μπορεί να γραφτεί και στη μορφή με τις παραμέτρους , Εξ.(Π4.73),

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0.

n n

i i ii ii i

L L Lq t q t q q t q t

q q t

L q t F q t

(7.27)

Αν υποθέσομε ότι έχομε πραγματική κίνηση του συστήματος οπότε ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange τότε η Εξ.(Π4.74) δίνει

1 1

δ δ δn n

i ii ii i

L Lq q L t G

q q

σταθερά της κίνησης. (7.28)

Προφανώς μπορούμε να εισαγάγομε σε αυτή τη σχέση τις συζυγείς ορμές, ii

Lp

q

.

Έχομε τις σχέσεις

1

1

δ ( , ) δ ( , ), δ ( , ) ( , )

δ ( , ) ( , ).

r

r

G q t G q t G q t F q t

G q t F q t

(7.29)

Η Εξ. (7.28) είναι ισοδύναμη με την

1 1 1

( , , ) ( , , )( , ) ( , , ) ( , )

r n n

i ii ii i

L q q t L q q tq t q L q q t q t

q q

(7.30) ( , )F q t = σταθερά της κίνησης.

Αφού τα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους τότε κάθε όρος του αθροίσματος είναι από

μόνος του μηδέν οπότε τελικώς έχομε,

144

1 1

( , , ) ( , , )( , ) ( , , ) ( , )

( , ) , =1,2,..., .

n n

i ii ii i

L q q t L q q tq t q L q q t q t

q q

F q t r

(7.31)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1) Ας θεωρήσομε την περίπτωση που η λαγκρανζιανή μηχανικού συστήματος δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Θα δείξομε ότι διατηρείται η ενεργειακή συνάρτηση h κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος.

Λύση Εφαρμόζομε στο σύστημα το μετασχηματισμό

δ , =1, δ

, δ =0, =0, δ =0.i i i i i

t t t t

q q q q

Οι Εξ.(7.26) και (7.27) γίνονται αντιστοίχως

dδ

δ 0 , 0d

L G Lt F

t t t

.

Αυτό είναι το κριτήριο για να είναι ο μετασχηματισμός νεδεριανός. Αυτό σημαίνει ότι ο ανωτέρω μετασχηματισμός πρέπει να αφήνει τη λαγκρανζιανή αναλλοίωτη στη μορφή. Τότε, σύμφωνα με την Εξ.(7.28) ή την Εξ.(7.30) έχομε τη διατήρηση της ενεργειακής συνάρτησης h , η οποία, αν ισχύουν οι γνωστές προϋποθέσεις, ισούται με την ενέργεια, δηλαδή

1

n

ii i

LL q h

q

σταθερά της κίνησης.

2) Ας θεωρήσομε σύστημα σωματίων που περιγράφονται με καρτεσιανές συντεταγμένες και του οποίου η λαγκρανζιανή είναι αναλλοίωτη κατά τη μορφή σε περιστροφή περί τον άξονα z . Έστω ακόμη ότι η δυναμική συνάρτηση δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες. Το i δηλώνει το αντίστοιχο σωμάτιο και ( ), ( ), ( )x i y i z i είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες του. Λύση Η κινητική ενέργεια είναι

2 2 2

1

1( ) ( ) ( )

2

N

ii

T m x i z i y i

.

145

Ο μετασχηματισμός για πεπερασμένη περιστροφή κατά γωνία περί τον άξονα z είναι

( ) ( )cos ( )sin

( ) ( )sin + ( )cos

( ) ( ).

x i x i y i

y i x i y i

z i z i

Για περιστροφή κατά απειροστή γωνία δ έχομε

δ ( ) ( )δ , δ ( ) ( )δ , δ ( ) 0

δ ( ) ( )δ , δ ( ) ( )δ , δ ( ) 0.

x i y i y i x i z i

x i y i y i x i z i

Προφανώς δ 0t . Εφόσον η περιστροφή αφήνει τη λαγκραντζιανή αναλλοίωτη στη μορφή, έχομε δ 0, 0 G F . Η Εξ.(7.26) γίνεται

1 1

1 1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 0.( ) ( )

N N

i i

N N

i i

L Ly i x i

x i y i

L Ly i x i

x i y i

Εφόσον η δυναμική συνάρτηση δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες έχομε

1 1 1 1

( ), ( ) .( ) ( )

N N N N

i ii i i i

L Lm x i m y i

x i y i

Αντικαθιστούμε στην προηγούμενη εξίσωση οπότε οι δυο τελευταίοι όροι της δίνουν μηδέν. Έχομε επομένως ότι το νεδεριανό κριτήριο γίνεται

1 1

( ) ( ) 0.( ) ( )

N N

i i

L Ly i x i

x i y i

Εφόσον δεν έχομε εξάρτηση από τις ταχύτητες, ισχύει

( ) , ( ) .( ) ( )x y

L LF i F i

x i y i

Το νεδεριανό κριτήριο επομένως δίνει

146

1

( ) ( ) ( ) ( ) 0.N

y xi

F i x i F i y i

Η αγκύλη είναι η ροπή της δύναμης που ασκείται στο σωμάτιο i περί τον άξονα z . Επομένως καταλήγομε στο ότι για να μένει η λαγκραντζιανή αναλλοίωτη στη μορφή με την ανωτέρω περιστροφή πρέπει η ολική ροπή ως προς τον άξονα z , όλων των ασκούμενων δυνάμεων στα σωμάτια του συστήματος να είναι μηδέν. Στη συνέχεια σύμφωνα με την Εξ.(7.28) βρίσκομε

1 1

( ) ( )( ) ( )

N N

i i

L Ly i x i

x i y i

σταθερά της κίνησης.

Ισχύουν οι σχέσεις για τις ορμές

( ) , ( ) .( ) ( )x y

L Lp i p i

x i y i

Επομένως είναι προφανές ότι διατηρείται η ολική στροφορμή ως προς τον άξονα z , δηλαδή

1

( ) ( ) ( )N

z y xi

L p i x i p y i

σταθερά της κίνησης.

3) Ας θεωρήσομε σύστημα από N σωμάτια, για το οποίο ισχύει το νεδεριανό κριτήριο σε μετασχηματισμό του Γαλιλαίου που συνδέει αδρανειακά συστήματα μεταξύ τους (χωρίς χωρικές και χρονικές μετατοπίσεις ούτε περιστροφές, δηλαδή έχομε μετασχηματισμούς τύπου boost, μετάβασης). Υποθέστε δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα και οι εσωτερικές πληρούν την αρχή δράσης αντίδρασης. Βρείτε μια ποσότητα που διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος. Οι αντίστοιχοι άξονες των συστημάτων είναι παράλληλοι μεταξύ τους. Ο δείκτης στο

=1,2,3x δηλώνει τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες, 1 2 3, , x x x y x z . Το i

δηλώνει το αντίστοιχο σωμάτιο. V είναι η αντίστοιχη συνιστώσα ταχύτητας του

τονούμενου συστήματος συντεταγμένων (κινούμενο) ως προς το μη τονούμενο σύστημα συντεταγμένων (ακίνητο). Εδώ έχομε την περίπτωση της ημιαναλλοιώτητας, δηλαδή δεν έχομε αναλλοίωτη τη μορφή της λαγκρανζιανής κατά το μετασχηματισμό. Λύση Ο πεπερασμένος μετασχηματισμός έχει τη μορφή για τις καρτεσιανές συνιστώσες

( ) ( )

( ) ( )

x i x i V t

t t

x i x i V

147

Ο αντίστοιχος απειροστός μετασχηματισμός που ισχύει για απειροστή ταχύτητα του τονούμενου συστήματος ως προς το μη τονούμενο, είναι

δ ( ) δ

δ ( ) δ

δ 0.

x i V t

x i V

t

Το κριτήριο νέδερ, Εξ.(7.26), γίνεται

1 1

dδδ δ

( ) ( ) d

N N

i i

GL LV t V

x i x i t

.

Το πρώτο άθροισμα στο πρώτο μέλος της ανωτέρω σχέσης είναι μηδέν,

1

0( )

N

i

L

x i

.

Αυτό ισχύει διότι αυτή είναι η συνολική συνιστώσα δύναμης που ασκείται σε όλο το σύστημα όπου δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις και οι εσωτερικές δυνάμεις υπακούουν στην αρχή δράσης-αντίδρασης άρα αλληλοεξουδετερώνονται.

Η συνιστώσα της ορμής του σωματίου i είναι ( ) ( )( ) i

Lp i m x i

x i

, η

συνιστώσα της ολικής ορμής είναι 1

( )N

i

P p i

. Επομένως το κριτήριο γίνεται

dδ

δd

GV P

t

.

Σε διανυσματική μορφή έχομε

3

1

δ δ

dδδ .

d

G G

GV P

t

Αυτό σημαίνει ότι έχομε αναλλοίωτο μορφής της λαγκραντζιανής όταν τα δV

και P

είναι κάθετα μεταξύ τους. Αν αυτό δεν ισχύει τότε με χρήση των σχέσεων

cm

1 1

1( ), ( )

N N

i ii i

P m x i X m x iM

βρίσκομε ότι το νεδεριανό κριτήριο δίνει

148

cm

1

δ δ ( ) δN

ii

G V m x i V MX

M = ολική μάζα, cmX = η α συνιστώσα του κέντρου μάζας του συστήματος. Από το

θεώρημα της Noether (Εξ.(7.28) προκύπτει ότι για κάθε μια συνιστώσα

cm

1 1

δ ( ) δ δ ( ) δ( )

N N

i i

Lx i G V t p i V MX

x i

σταθερά της κίνησης.

Από αυτήν προφανώς καταλήγομε στην cmMX tP σταθερά της κίνησης.

Σε διανυσματική μορφή ισχύει

cmMX tP

σταθερά της κίνησης.

Από αυτήν μπορούμε να δούμε ότι αν διατηρείται και η ολική ορμή, δηλαδή αν d

0d

P

t

,

τότε ισχύει cm

PX

M σταθερά, η οποία εξαρτάται από το αδρανειακό σύστημα

αναφοράς. Δηλαδή το κέντρο μάζας κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα σε κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Αυτό είναι το θεώρημα του κέντρου μάζας. Για ένα σωμάτιο μπορούμε να πούμε ότι αυτό είναι η σύνδεση μεταξύ γαλιλαιικής σχετικότητας και αρχής της αδράνειας. 4) Ας θεωρήσομε σύστημα N μη αλληλεπιδρώντων σωματίων με σχετικιστική λαγκρανζιανή [βλέπε παρακάτω Εξ.(5.1.4)] την

22 2 2 2 2 2

2 21 1

1( , , ) 1 , ( )

N N

L L x x t m c x y zc c

.

Δείξτε ότι διατηρείται η ορμή του συστήματος. Προφανώς θα θεωρήσομε μετασχηματισμό μόνο μετατόπισης στο χώρο κατά μήκος του άξονα x . Αυτός ο μετασχηματισμός είναι μερική περίπτωση του ομογενούς μετασχηματισμού lorentz (ή αλλοιώς του μετασχηματισμού του Poincare) μεταξύ συστημάτων που οι αντίστοιχοι καρτεσιανοί άξονές τους είναι συνεχώς παράλληλοι, δηλαδή τα συστήματα βρίσκονται στην κανονική διάταξη και η σχετική τους ταχύτητα είναι μηδέν. Ουσιαστικά ο μετασχηματισμός συμπίπτει με τον αντίστοιχο μετασχηματισμό του Γαλιλαίου. Λύση Γράφομε κατευθείαν το στοιχειώδη μετασχηματισμό για μετατόπιση κατά τον άξονα x .

149

δ δ , δ 0, δ 0

δ 0, δ 0, δ 0

δ 0.

x x y z

x y z

t

Η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται από τις θέσεις οπότε ισχύει

0.L L L

x y z

Εύκολα διαπιστώνεται ότι ικανοποιείται το νεδεριανό κριτήριο της Εξ.(7.26) με τη λαγκρανζιανή να μην αλλάζει μορφή, δηλαδή έχομε δ 0G . Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να βρούμε την αντίστοιχη σταθερά της κίνησης από την Εξ.(7.28). Μας χρειάζεται να υπολογίσομε από τη δεδομένη σχετικιστική λαγκρανζιανή μόνο τα

21

x

m xLp

x

.

Η έκφραση αυτή δίνει τη συνιστώσα κατά μήκος του άξονα x της σχετικιστικής ορμής

xp του σωματίου . Η ολική σχετικιστική ορμή xP του συστήματος είναι 1

N

x xP p

.

Επομένως, η Εξ.(7.28) δίνει τελικώς

2

1 1

N

x

m xP

σταθερά της κίνησης.

Δηλαδή η συνιστώσα κατά μήκος του άξονα x της ολικής σχετικιστικής ορμής του συστήματος διατηρείται. Είναι εύκολο να δει κάποιος ότι αν η μετατόπιση γίνεται σε τυχαία κατεύθυνση δ (δ ,δ ,δ )r x y z

τότε διατηρείται η διανυσματική ολική σχετικιστική

ορμή, δηλαδή

2

1 1

N mP

σταθερά της κίνησης.

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σε όλα τα προβλήματα να γίνει χρήση του θεωρήματος της Noether για διακριτά συστήματα.

150

4.1 Δείξτε ότι η γενικευμένη ορμή η συζυγής μιας αγνοήσιμης συντεταγμένης είναι σταθερά της κίνησης. 4.2 Μια στεφάνη ακτίνας a με μάζα m ομοιόμορφα κατανεμημένη, κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο. Το επίπεδο έχει μάζα M και σχηματίζει γωνία με το οριζόντιο (ακίνητο) επίπεδο στο οποίο μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή. Θεωρήστε ότι οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Διαλέξτε ως γενικευμένες συντεταγμένες την x που καθορίζει την (οριζόντια) θέση του κεκλιμένου επιπέδου ως προς το οριζόντιο επίπεδο και την s που καθορίζει τη θέση του κέντρου της στεφάνης ως προς το κεκλιμένο επίπεδο. Βρείτε τέσσερις ανεξάρτητες σταθερές της κίνησης για το σύστημα. 4.3 Έστω σύστημα σχετικιστικών σωματίων που δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Θεωρήστε μετασχηματισμό μετατόπισης μόνο στο χρόνο. Βρείτε την ποσότητα που είναι σταθερά της κίνησης. 4.4 Για σύστημα σχετικιστικών μη αλληλεπιδρώντων σωματίων θεωρείστε μετασχηματισμό lorentz τύπου boost κατά μήκος του άξονα x . Βρείτε ποια ποσότητα είναι σταθερά της κίνησης. 4.5 Έστω μη σχετικιστικό σύστημα σωματίων στα οποία ασκούνται μόνο αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους. Τα αντίστοιχα δυναμικά εξαρτώνται μόνο από τις μεταξύ τους αποστάσεις (τέτοιες είναι για παράδειγμα οι βαρυτικές αλληλεπιδράσεις). Δείξτε ότι διατηρείται η ολική ενέργεια του συστήματος, η ολική ορμή του συστήματος και η ολική στροφορμή του συστήματος. 8. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

Θα περιοριστούμε στην κίνηση φορτισμένου σωματίου μέσα σε εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η γενική περίπτωση συστήματος τέτοιων σωματίων με μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις είναι πολύ πιο πολύπλοκη, ιδιαίτερα στα πλαίσια της ειδικής

151

σχετικότητας. Ακόμη και χωρίς αλληλεπιδράσεις οι γνωστές έννοιες από τη νευτώνεια μηχανική, όπως κέντρο μάζας κτλ, πρέπει να οριστούν με ιδιαίτερη προσοχή. Γι’ αυτό που θέλομε υπάρχουν δυο τρόποι αντιμετώπισης, ο ένας τρόπος είναι πιο εύκολος και στηρίζεται σε απλές γενικεύσεις της νευτώνειας μηχανικής ώστε να συμπεριλάβει τα σχετικιστικά φαινόμενα σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς του Lorentz. Ο άλλος τρόπος είναι ο (εμφανώς) συναλλοίωτος φορμαλισμός [(manifestly) covariant formulation]. Σε αυτόν το φορμαλισμό ο χρόνος μαζί με το χώρο σχηματίζουν το χωρόχρονο και εισάγονται ως οι τέσσερις συνιστώσες ενός τετρανύσματος. Γενικώς, όλα τα φυσικά μεγέθη είναι συνιστώσες τανυστών, τετρανυσμάτων, είναι σπίνορες ή είναι αναλλοίωτα μεγέθη (scalar, βαθμωτά). Με αυτό τον τρόπο γίνεται προφανές το συναλλοίωτο των σχέσεων σε μετασχηματισμούς του Lorentz. Αυτός είναι ο ποιο κομψός τρόπος και ανεξάρτητος από το (αδρανειακό) σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται, αλλά είναι πιο δύσκολος στην κατανόηση και χρήση. 8.1 Απλή διαδικασία για την εύρεση μιας σχετικιστικής λαγκρανζιανής Στην αρχή θα ακολουθήσομε σε γενικές γραμμές την πρώτη διαδικασία που αναφέραμε προηγουμένως. Θα προσπαθήσομε να βρούμε μια λαγκρανζιανή που μας οδηγεί στις εξισώσεις του Lagrange με χρήση της αρχής του Hamilton. Δηλαδή θα ασχοληθούμε με λαγκρανζιανά συστήματα. Έχομε την αρχή μεταβολών του Hamilton

2

1

δ δ d 0t

t

I L t . (8.1)

Οι σχετικιστικές εξισώσεις κίνησης που πρέπει να βρούμε για ένα σωματίδιο, σε καρτεσιανές συντεταγμένες και αδρανειακό σύστημα αναφοράς (του Lorentz), είναι

2

d, , 1, 2,3

d 1i i

i i

p mxF p i

t

. (8.2)

Μια κατάλληλη λαγκρανζιανή για δυναμική συνάρτηση που δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες είναι η

free int er free

1 2 3 1 2 3

( , , ) ( , , ) ( , )

( , , ), ( , , )

L x x t L x x t L L V x t

x x x x x x x x

(8.3)

όπου free ( , , )L x x t είναι η λαγκρανζιανή του ελεύθερου σωματιδίου (ελεύθερη

λαγκρανζιανή, δηλαδή χωρίς αλληλεπίδραση) και inter ( , )L V x t είναι η λαγκρανζιανή

αλληλεπίδρασης με εξωτερική δυναμική συνάρτηση (δυναμικό). Στη συνέχεια κάνομε την ακόλουθη επιλογή για την ελεύθερη λαγκρανζιανή,

152

2

2 2 2 2 2 2free 1 2 32 2

1( , , ) 1 , ( )L x x t mc x x x

c c

(8.4)

Υπάρχουν και άλλες επιλογές για τη λαγκρανζιανή που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις του Lagrange, αλλά αυτή εδώ γίνεται διότι οδηγεί στο ότι η Εξ.(8.9) δίνει και την ενέργεια του συστήματος και επίσης οι συζυγείς ορμές υπολογίζονται όπως και στη νευτώνεια μηχανική. Η αρχή μεταβολών του Hamilton μας οδηγεί στις εξισώσεις του Lagrange

d

0, 1, 2,3d i i

L Li

t x x

. (8.5)

Έχομε όμως 2

, 1, 2,31

ii

i

mxLp i

x

. (8.6)

Επομένως οι εξισώσεις κίνησης για αυτή τη λαγκρανζιανή των Εξ.(8.3) και Εξ. (8.4) είναι

2

d, 1, 2,3

d 1i

ii

mx VF i

t x

. (8.7)

Βρήκαμε τις Εξ.(8.2) που θέλαμε, επομένως αυτή η επιλογή της λαγκρανζιανής είναι μια σωστή επιλογή. Παρά τις δυσκολίες που αναφέραμε για συστήματα πολλών σωματιδίων, μπορούμε να γράψομε τις σχέσεις για σύστημα με πολλά σωμάτια, μη αλληλεπιδρώντα μεταξύ τους, θεωρώντας ως λαγκρανζιανή του συστήματος το άθροισμα των λαγκρανζιανών των επιμέρους σωματίων για το συγκεκριμένο αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Για N σωμάτια η γενικευμένη ορμή του συστήματος θα είναι κατά τα γνωστά

, 1, 2,...,3ii

Lp i N

q

. (8.8)

Η ενεργειακή συνάρτηση είναι και σε αυτή τη σχετικιστική περίπτωση

3

1

N

i ii

h q p L

. (8.9)

Αν ( , )L L q q , δηλαδή η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, τότε η h διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος αφού ισχύει η γνωστή σχέση

d.

d

h L

t t

Γενικώς η ανωτέρω σχετικιστική λαγκρανζιανή ( , , )L L q q t , δεν είναι άθροισμα ομογενών συναρτήσεων ως προς τις ταχύτητες άρα ούτε και ομογενής βαθμού 2, γιαυτό δε μπορούμε να πούμε εκ των προτέρων ότι η h είναι η ενέργεια του συστήματος. Ας κάνομε τον υπολογισμό της h από τις Εξ.(8.3), (8.4) και Εξ. (8.9), βρίσκομε

153

22 2

21 1

22

21 1

1 2 3 1 2 3

1 ( , )1

( , ) ( ) ( , )1

( , ,..., ), ( , ,..., )

N Nl l

l ll ll

N Nl

ll ll

N N

mh m c V x t

m cV x t T x m c V x t E

x x x x x x x x

(8.10)

Παρατηρούμε ότι και στη σχετικιστική περίπτωση η h είναι η ολική ενέργεια και μάλιστα η σχετικιστική ενέργεια αφού περιλαμβάνει και τις ενέργειες ηρεμίας των σωματίων. Η ολική ενέργεια διατηρείται αν η δυναμική συνάρτηση, άρα και η λαγκρανζιανή, δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Έστω η περίπτωση της εξωτερικής ηλεκτρομαγνητικής επίδρασης σε φορτισμένο κινούμενο σωμάτιο, η κατάλληλη λαγκρανζιανή σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι

2 2

e e1

( , ), ( , )

L mc q q A

x t A A x t

. (8.11)

Εδώ η λαγκρανζιανή αλληλεπίδρασης είναι

inter e eL q q A

. (8.12)

Η γενικευμένη ορμή είναι

e2, 1, 2,3

1i

i i

mxp q A i

. (8.13)

Η ενεργειακή συνάρτηση ισούται με τη σχετικιστική ενέργεια, συγκεκριμένα έχομε

22 2

2

2

1 2 3 1 2 3

1 ( , )1

( ) ( , )

( , , ), ( , , )

q

q

mh mc e x t

T x mc e x t E

x x x x x x x x

(8.14)

E h Δηλαδή η σχετικιστική ενέργεια δίνεται από την ίδια σχέση Εξ.(8.10). Η ενεργειακή συνάρτηση και η ίση της (σχετικιστική) μηχανική ενέργεια εξαρτώνται μόνο από το βαθμωτό δυναμικό. Γενικώς η (σχετιστική) μηχανική ενέργεια είναι άθροισμα της ενέργειας ηρεμίας της κινητικής ενέργειας και της δυναμικής ενέργειας που είναι ο όρος εκείνος της δυναμικής συνάρτησης που η παραγώγισή του ως προς κάποια γενικευμένη συντεταγμένη δίνει την αντίστοιχη γενικευμένη συντεταγμένη δύναμης. Στο κινούμενο σωμάτιο μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ασκείται ηλεκτρική δύναμη

154

e e e e

( , )Φ( , )

A x tF q E q x t q

t

και μαγνητική δύναμη m e ( , )F q A x t

.

Στη μηχανική ενέργεια υπεισέρχονται όροι που σχετίζονται με την ηλεκτρική δύναμη που προκύπτει από παραγώγιση ως προς τη θέση, δηλαδή ο όρος είναι το βαθμωτό δυναμικό επί το φορτίο. Η μαγνητική δύναμη δεν προκύπτει με τέτοιο τρόπο και δεν παράγει έργο. Ούτε ο άλλος όρος της ηλεκτρικής δύναμης προκύπτει έτσι, είναι όρος που οφείλεται στην ηλεκτρομαγνητική επαγωγή και μπορεί να παράγει έργο επί του σωματίου. Επομένως οι όροι που περιέχουν το διανυσματικό δυναμικό δεν παίζουν όλο στη μηχανική ενέργεια και επομένως το διανυσματικό δυναμικό δεν υπεισέρχεται στη μηχανική ενέργεια. Ορίζεται ως δυναμική ενέργεια το μέγεθος

1

( , , )( , ) ( , , )

n

ii i

U q q tV q t q U q q t

q

.

Η μηχανική ενέργεια είναι 0( , ) ( )E T V q t E .

Η ενέργεια ηρεμίας δε χρειάζεται στη μη σχετικιστική μηχανική. Ίδια ισχύουν για μη σχετικιστική μηχανική με τη διαφορά πως δεν υπάρχει ο όρος ενέργειας ηρεμίας. Χρειάζεται προσοχή για να απαντηθεί το ερώτημα: Αν το βαθμωτό δυναμικό δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο διατηρείται η ενέργεια; 8.2 Εμφανώς συναλλοίωτος λαγκρανζιανός φορμαλισμός Σε ότι ακολουθεί σε αυτή την ενότητα, ισχύει η άθροιση άνω και κάτω δεικτών που χρησιμοποιείται στον τανυστικό λογισμό. Η αρχή του Hamilton θα είναι σε μορφή εμφανώς συναλλοίωτη (manifestly covariant). Αυτό σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα δράσης πρέπει να είναι μια παγκόσμια βαθμωτή ποσότητα. Ο χρόνος δεν θα είναι ανεξάρτητος από τις συντεταγμένες θέσης και μαζί τους θα σχηματίζει ένα τετράνυσμα. Για την περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος στο θεσικό χώρο για φορμαλισμό με θεωρία μεταβολών πρέπει να διαλέξομε μια βαθμωτή παράμετρο. Αυτά σημαίνουν ότι και η λαγκρανζιανή θα είναι βαθμωτό μέγεθος. Επίσης, με αυτή τη φιλοσοφία, η λαγκρανζιανή πρέπει να είναι συνάρτηση όχι των συνήθων συντεταγμένων αλλά συντεταγμένων του χώρου του Minkowski (τετραχώρος) και των παραγώγων τους ως προς την ανωτέρω παράμετρο. Θα ασχοληθούμε μόνο με σύστημα ενός σωματίου. Μια βαθμωτή παράμετρος που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος στο θεσικό χώρο, είναι ο ιδιόχρονος (κύριος χρόνος) του σωματίου (proper time) . Σε αυτή

155

την περίπτωση, όμως, οι συνιστώσες της γενικευμένης ταχύτητας , u u δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αλλά ικανοποιούν τη δεσμευτική σχέση 2u u u u c

(8.15)

Έχομε τις σχέσεις

0 1 2 3

0 1 2 3

2 2 2 1 2 2 2 3 2

d( , , , ) , =0,1,2,3

d

, , ,

(d ) ( d ) ( d ) (d ) (d ) (d )

xu u u u u u x

x ct x x x y x z

s c c t x x x

(8.16)

Η λαγκρανζιανή ελεύθερου σωματίου της Εξ.(8.4) μπορεί να γραφτεί ως

free 2

1,

1

mcL u u

. (8.17)

Το ολοκλήρωμα δράσης γίνεται

2

1

dI mc u u

. (8.18)

Η εξίσωση κίνησης που περιμένομε να πάρομε εφαρμόζοντας την αρχή του Hamilton

είναι η d

0d

uu

που προφανώς ισχύει για ελεύθερο σωμάτιο. Όμως όπως είπαμε

έχομε τη δεσμευτική σχέση της Εξ.(8.15) ή την ισοδύναμή της

d

0d

uu u u

. (8.19)

Μπορεί κάποιος να χειριστεί το θέμα με χρήση της τεχνικής των πολλαπλασιαστών του Lagrange, όμως μπορεί να ακολουθηθεί και η παρακάτω διαδικασία. Η διαφορική παράσταση μέσα στο ολοκλήρωμα στην Εξ.(8.18) είναι το στοιχειώδες μήκος στον τετραχώρο, πράγματι

d d d d ds u u x x g x x

Αυτό μας δίνει την ιδέα να αντικαταστήσομε το ολοκλήρωμα δράσης της Εξ.(8.18) με το ολοκλήρωμα δράσης

2

1

d dd , ,

d d

x xI mc g x x x x

. (8.20)

156

Όπου η παράμετρος θ είναι μια αυθαίρετη βαθμωτή παράμετρος, με μόνη απαίτηση να αυξάνεται μονότονα με τον ιδιόχρονο τ. Οι συντεταγμένες είναι συναρτήσεις του θ,

( )x x . Αυτό σημαίνει ότι δεν έχομε δεσμευτική σχέση όπως της Εξ.(8.15) και μπορούμε να κάνομε τις δυνατές μεταβολές ελεύθερα. Η αρχή των μεταβολών, αρχή του Hamilton, δίνει τις εξισώσεις των Euler- Lagrange,

d

0d

L L

x x

Οπότε έχομε 1/2

d0

d

x

x x

. (8.21)

Στη συνέχεια κάνομε κάτι ανάλογο όπως στις περιπτώσεις με δεσμούς που είδαμε στη νευτώνεια δυναμική, δηλαδή θεωρούμε ότι έχομε και τη δεσμευτική σχέση της Εξ.(8.15). Αυτό το πετυχαίνομε παίρνοντας ως παράμετρο τον ιδιόχρονο κατά μήκος της πραγματικής τροχιάς, . Αυτό οδηγεί στη, σχέση κατά μήκος της πραγματικής τροχιάς,

d d d d d d dg x x s u u x x g x x c . (8.22)

Έτσι καταλήγομε στις γνωστές σχέσεις

2

2

d0

d

xx

(8.23)

που είναι η σχετικιστικές εξισώσεις κίνησης ελεύθερου σωματίου. Το ολοκλήρωμα δράσης (σε αυτή την περίπτωση) γίνεται μέγιστο κατά μήκος της πραγματικής κοσμικής τροχιάς του σωματίου. Δηλαδή έχομε τον μέγιστο ιδιόχρονο μεταξύ των δυο άκρων. Η τροχιά είναι δηλαδή γεωδεσιακή τροχιά. Στην περίπτωση φορτισμένου σωματίου σε εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο η μορφή για την λαγκραντζιανή αλληλεπίδρασης της Εξ.(8.12), μας οδηγεί με ανάλογο συλλογισμό όπως προηγουμένως, να διαλέξομε ως λαγκρανζιανή την

e ( )L mc g x x q x A x . (8.24)

Επομένως το ολοκλήρωμα δράσης είναι

2

1

e ( ) d I mc mc g x x q x A x

. (8.25)

Η αρχή του Hamilton δίνει τις εξισώσεις Euler-Lagrange

157

d

0d

L L

x x

. (8.26)

Μετά από πράξεις αυτή γίνεται

e e

( )( ) 0

A xmx q A x q x

x

. (8.27)

Όμως έχομε

, A x Ax

άρα emx q A A x . (8.28)

Αυτή είναι ακριβώς η εξίσωση κίνησης με τη δύναμη του Lorentz. 9. ΧΑΜΙΛΤOΝΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με μιαν άλλη θεώρηση της μηχανικής που αναφέρεται ως φορμαλισμός του Hamilton, χαμιλτονιανός φορμαλισμός. Από πλευράς φυσικής δεν προστίθεται κάτι καινούργιο όμως πρόκειται για ένα πιο δυνατό εργαλείο δουλειάς με καθιερωμένες αρχές της φυσικής. Η χαμιλτονιανή μέθοδος δεν είναι ανώτερη από τη λαγκρατζιανή μέθοδο κατά την άμεση λύση προβλημάτων της μηχανικής. Το προσόν αυτής της μεθόδου είναι ότι είναι η βάση της προχωρημένης θεωρητικής μηχανικής και βάζει τα θεμέλια για θεωρητικές επεκτάσεις σε πολλές περιοχές της

158

φυσικής. Τέτοιες περιπτώσεις στα πλαίσια της ίδιας της μηχανικής είναι η θεωρία των Hamilton-Jacobi, διαταραχές και χάος. Έξω από την μηχανική την ίδια, αυτός ο φορμαλισμός δίνει ένα μεγάλο μέρος από τη γλώσσα της στατιστικής μηχανικής και της κβαντομηχανικής. Σε ότι ακολουθεί υποθέτομε ότι οι δυνάμεις είναι μονογενείς, τα δυναμικά συστήματα είναι ολόνομα και οι δεσμοί έχουν απαλειφτεί με την κατάλληλη επιλογή (γνήσιων) γενικευμένων συντεταγμένων, έχομε δηλαδή λαγκρατζιανά δυναμικά συστήματα. 9.1 Εξισώσεις του Hamilton Για λαγκρανζιανό δυναμικό σύστημα ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange,

d

0, 1, 2,...,d i i

L Li n

t q q

. (9.1)

Οι εξισώσεις κίνησης είναι δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις ως προς το χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση καθορίζεται από 2n αρχικές τιμές. Αυτές μπορεί να είναι οι τιμές των ( )in q t και οι τιμές των ( )n q t κάποια χρονική στιγμή 1t , ή οι τιμές των ( )in q t

δυο χρονικές στιγμές 1 2,t t , δηλαδή έχομε 2n αρχικά μεγέθη. Οι εξισώσεις χάμιλτον είναι

2n το πλήθος και είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Οι εξισώσεις του Hamilton συνηθίζεται να λέγονται και κανονικές εξισώσεις. Μπορεί κάποιος να καταλήξει στις εξισώσεις χάμιλτον χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις κίνησης του Lagrange και το μετασχηματισμό του Legendre αλλά μπορεί να ακολουθήσει και άλλη μέθοδο, μπορεί να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrange. Ας ακολουθήσομε τη μέθοδο του μετασχηματισμού legendre (βλέπε παράρτημα Π6). Οι μεταβλητές στη λαγκραντζιανή είναι οι ( , , )q q t και θα πάμε στις μεταβλητές ( , , )q p t όπου ip οι

συζυγείς ορμές

( , , )

, 1, 2,...,ii

L q q tp i n

q

. (9.2)

Θα χρησιμοποιήσομε μετασχηματισμό legendre ως προς τις ταχύτητες q οι οποίες θεωρούνται ανεξάρτητες των q . Έχομε

1 1

d d d dn n

i ii ii i

L L LL q q t

q q t

(9.3)

Από τις Εξ.(9.2) και Εξ. (9.1) βρίσκομε ότι

159

ii

Lp

q

(9.4)

επομένως η Εξ.(9.3) δίνει

1 1

d d d dn n

i i i ii i

LL p q p q t

t

. (9.5)

Η χαμιλτονιανή ( , , )H q p t θα είναι η νέα συνάρτηση αντί της λαγκρανζιανής ( , , )L q q t που κατασκευάζεται σύμφωνα με το μετασχηματισμό legendre, παράρτημα Π6. Ας ξεκινήσομε από την περίεργη συνάρτηση ( , , , )H q p t q

1

( , , , ) ( , , )n

i ii

H q p t q q p L q q t

. (9.6)

Όταν τα q έχουν εκφρασθεί ως προς ( , , )q p t μέσω της Εξ.(9.2) αυτή θα είναι η χαμιλτονιανή ( , , )H q p t . Οι συναρτήσεις ( , , ), ( , , , ), ( , , )h q q t H q q p t H q p t έχουν ίδια μεγέθη, με την έννοια ότι στα ίδια «σημεία» έχουν ίδιες τιμές (ίδια «μεγέθη»), αλλά είναι εκφρασμένες ως προς διαφορετικές μεταβλητές. Η μια μετατρέπεται στην άλλη με τους μετασχηματισμούς των μεταβλητών τους. Από την Εξ.(9.6) με χρήση και της Εξ.(9.5) βρίσκομε

1 1 1 1

1 1

d d d d d d

d d d

n n n n

i i i i i i i ii i i i

n n

i i i ii i

LH q p p q p q p q t

t

Lq p p q t

t

(9.7)

Αν διαφορίσομε τη χαμιλτονιανή ( , , )H q p t βρίσκομε

1 1

d d + d + dn n

i ii ii i

H H HH q p t

q p t

. (9.8)

Προφανώς d dH H άρα από τις Εξ.(9.7), (9.8) και (9.4) καταλήγομε στις σχέσεις

160

, 1, 2,...,

,

ii

ii

i i

Hq

p

Hp i n

q

L H L H

t t q q

. (9.9)

Από αυτές οι 2n πρώτες εξισώσεις είναι οι κανονικές εξισώσεις του Hamilton. Είναι σύστημα από 2n διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης ως προς το χρόνο. Είναι ισοδύναμες με τις αντίστοιχες n εξισώσεις δεύτερης τάξης του Lagrange. Παρόλο που οι n πρώτες από τις κανονικές εξισώσεις είναι οι αντεστραμένες εξισώσεις ορισμού των συζυγών ορμών Εξ.(9.2) και δεν δίνουν επομένως τίποτα καινούργιο, όμως μη ξεχνούμε ότι οι εξισώσεις του Hamilton μπορεί να ληφθούν ως η αρχή και όχι ότι προήλθαν από το μετασχηματισμό του λαγκρανζιανού φορμαλισμού. Δηλαδή μπορεί να ξεκινήσομε με μια χαμιλτονιανή που δεν έχει σημασία πως τη βρήκαμε και τότε η Εξ.(9.2) δεν προϋπάρχει του χαμιλτονιανού φορμαλισμού και δεν υπεισέρχεται σε αυτόν. Η δυϊκότητα των διαφόρων μεγεθών φαίνεται στα παρακάτω

1 1

( , , )

( , , ) ( , ( , , ), ), ( , , ) ( , ( , , ), )

( , , ) ( , , ).

i ii i

n n

i i i ii i

L q q t Hp q

q p

H q q p t p L q q q p t t L q p q q t H q p q q t t

H H q p t L L q q t

(9.10)

Η τυπική διαδικασία για να βρούμε τη χαμιλτονιανή ξεκινώντας από τη λαγκρανζιανή είναι αυτή που ακολουθεί. 1. Με τις επιλεγμένες γενικευμένες συντεταγμένες , 1,2,...,iq i n φτιάχνεται η

λαγκρανζιανή ( , , )L q q t . 2. Ορίζονται οι συζυγείς ορμές με τις Εξ.(9.2) ως συναρτήσεις των , ,q q t . 3. Χρησιμοποιείται η Εξ.(9.6) για να οριστεί η περίεργη συνάρτηση ( , , , )H q q p t που θα οδηγήσει στη χαμιλτονιανή. 4. Οι Εξ.(9.2) αντιστρέφονται και μας δίνουν τα iq συναρτήσει των , ,q p t .

5. Με το αποτέλεσμα του βήματος 4 απαλείφονται τα q από την ( , , , )H q q p t και προκύπτει η ζητούμενη χαμιλτονιανή ( , , )H q p t . Ξέροντας τη χαμιλτονιανή γράφομε τις εξισώσεις κίνησης του Hamilton για το εξεταζόμενο δυναμικό σύστημα. Σε πολλές περιπτώσεις μπορούμε να απλοποιήσομε την ανωτέρω διαδικασία εύρεσης της χαμιλτονιανής. Όπως είπαμε στο Κεφάλαιο 4 σε πολλά προβλήματα η λαγκραντζιανή μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ομογενών όρων ως προς τις ταχύτητες, βαθμών 0,1,2. Τότε η ενεργειακή συνάρτηση h που ορίζεται από την Εξ.(7.11) που είναι η ανάλογη της Εξ.(9.6) η οποία ορίζει τηνH , δίνεται από τη σχέση 2 0h L L . Όπως είπαμε

προηγουμένως, τα μεγέθη , ,h H H είναι εκφράσεις του ίδιου μεγέθους ως προς διαφορετικές μεταβλητές. Αν εκφράσομε τις ταχύτητες με τη χρήση των Εξ.(9.2) συναρτήσει των , ,q p t βρίσκομε από την 2 0( , , )h q q t L L , τη χαμιλτονιανή,

161

2 0( , , )H q p t L L . Ουσιαστικά δε χρειαζόμαστε το βήμα 3. Αν επιπλέον 1 0 0T T τότε

2 ( , )L T q q . Όπως έχομε ξαναπεί στην παράγραφο 4.1 αυτό μπορεί να συμβεί, π.χ. αν οι

σχέσεις που μετασχηματίζουν από τις καρτεσιανές στις γενικευμένες συντεταγμένες δεν περιέχουν άμεσα το χρόνο. Στην ίδια παράγραφο είδαμε ότι αν επιπλέον η δυναμική συνάρτηση δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες οπότε ( , )V V q t τότε 0L V . Σε αυτή

την περίπτωση h T V E δηλαδή η ενεργειακή συνάρτηση είναι η ολική μηχανική ενέργεια. Αν εκφράσομε με χρήση των Εξ.(9.2) τις ταχύτητες συναρτήσει των , ,q p t τότε αν ξέρομε την έκφραση της ολικής ενέργειας καταλήγομε στη χαμιλτονιανή, διότι τώρα ( , , , )H q p t E T V . Δηλαδή δε χρειαζόμαστε και πάλι το βήμα 3. Στο λαγκρανζιανό φορμαλισμό η κίνηση ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται στο θεσικό χώρο με τις ανεξάρτητες συντεταγμένες ( ), 1, 2,...,iq t i n . Στο χαμιλτονιανό

φορμαλισμό η κίνηση ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται στο φασικό χώρο (phase space) όπου οι ανεξάρτητες συντεταγμένες είναι τα ( ), ( )q t p t . 9.2 Αγνοήσιμες συντεταγμένες και θεωρήματα διατήρησης Ανεξάρτητα του πως βρήκαμε τη χαμιλτονιανή του συστήματος που εξετάζομε, αν λείπει από τη χαμιλτονιανή η συντεταγμένη r , τότε η αντίστοιχη κανονική εξίσωση του χάμιλτον δίνει

0, 0, r r rr

Hp p p

q

σταθερά της κίνησης . (9.11)

Αν μια συντεταγμένη λείπει από τη λαγκραντζιανή (είναι αγνοήσιμη), θα λείπει και από τη χαμιλτονιανή εφόσον θα ακολουθήσομε την προηγούμενη διαδικασία για να κατασκευάσομε τη χαμιλτονιανή από τη λαγκρανζιανή. Αν η H δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο τότε με χρήση και των εξισώσεων του Hamilton θα δείξομε ότι είναι σταθερά της κίνησης. Πράγματι έχομε

1 1

d ( , , )

d

,

d0.

d

n n

i ii ii i

i ii i

H q p t H H Hq p

t q p t

H Hq p

p q

H H

t t

(9.12)

Άρα ( , )H q p σταθερά της κίνησης . (9.13) Σύμφωνα με όσα είπαμε στην παράγραφο 4.1, αυτό μπορεί να συμβαίνει αν για παράδειγμα, οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων από καρτεσιανές σε γενικευμένες δεν

162

περιέχουν το χρόνο και η δυναμική συνάρτηση δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες ( ( , )V V q t ), τότε η ενέργεια ισούται με τη χαμιλτονιανή αφού αυτή είναι η ενεργειακή συνάρτηση με διαφορετικές συντεταγμένες, δηλαδή τις ( , )q p , E H T V . (9.14) Αν επιπλέον η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο (εδώ, αυτό σημαίνει ότι η

( )V V q ), τότε έχομε, E H T V σταθερά της κίνησης. Η χρήση διαφορετικών γενικευμένων συντεταγμένων για κάποιο συγκεκριμένο δυναμικό σύστημα μπορεί να αλλάξει και τη μορφή της χαμιλτονιανής και το «μέγεθός» (τιμή, μέτρο) της. Η χαμιλτονιανή μπορεί να διατηρείται για κάποιες συντεταγμένες και για άλλες όχι. Επίσης μπορεί να είναι η ενέργεια για κάποιες και για άλλες να μην είναι. Αντιθέτως, για δεδομένο μηχανικό σύστημα η λαγκρανζιανή μπορεί να αλλάζει μορφή με την αλλαγή συστήματος γενικευμένων συντεταγμένων αλλά το «μέγεθός» (τιμή, μέτρο) της μένει το ίδιο. Μάλιστα στη φυσική της μορφή μπορεί να υπολογιστεί κατά τα γνωστά από τη σχέση L T U . Το απλό μονοδιάστατο παράδειγμα που ακολουθεί είναι χρήσιμο για την κατανόηση αυτών των εννοιών. Στο Σχ.(6.1) έχομε ένα σωμάτιο μάζας m στερεωμένο στο άκρο ελατηρίου με σταθερά επαναφοράς k , του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε καρότσι που κινείται με σταθερή ταχύτητα 0 . Η θετική φορά

είναι προς τα δεξιά και η αρνητική προς τα αριστερά. Έστω x η συντεταγμένη του σωματίου στο ακίνητο (αδρανειακό) σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο κινείται το καρότσι. Προφανώς και το καρότσι είναι αδρανειακό σύστημα αλλά δε θα κάνομε χρήση αυτού του γεγονότος στην παρούσα ανάλυσή μας. Έστω x η συντεταγμένη του σωματίου ως προς το σταθερό στο καρότσι άκρο του ελατηρίου. Ας περιγράψομε την κίνηση με βάση τη συντεταγμένη x . Η δυναμική ενέργεια εξαρτάται από την επιμήκυνση του ελατηρίου.

Σχήμα 9.1 Αρμονικός ταλαντωτής στερεωμένος σε καρότσι που κινείται με σταθερή ταχύτητα. Ας υποθέσομε ότι έχομε μια κατάλληλη κατασκευή τέτοια που το «φυσικό μήκος» του ελατηρίου είναι μηδέν, δηλαδή όταν 0x η δύναμη επαναφοράς του ελατηρίου είναι μηδέν. Θεωρούμε επίσης ότι τη στιγμή 0t το δεμένο στο καρότσι άκρο του ελατηρίου περνά από την αρχή του ακίνητου συστήματος αναφοράς. Η δυναμική ενέργεια είναι

163

2

0

1( , )

2V x t k x t . (9.15)

Έχομε για την κινητική ενέργεια ως προς το ακίνητο σύστημα

21

2T mx . (9.16)

Επομένως

220

1 1( , , )

2 2L x x t mx k x t . (9.17)

Το δυναμικό δεν εξαρτάται από την ταχύτητα x και η x είναι καρτεσιανή ως προς το ακίνητο σύστημα αναφοράς (επομένως ο μετασχηματισμός συντεταγμένης δεν περιλαμβάνει το χρόνο αφού είναι ο τετριμμένος, «ταυτοτικός» μετασχηματισμός q x ). Η γενικευμένη ορμή είναι

, /L

p mx x p mx

. (9.18)

Επομένως σύμφωνα με όσα είπαμε βρίσκομε τη χαμιλτονιανή με τη «συνταγή»

2

2

0( , , )2 2

p kH x p t E T V x t

m . (9.19)

Για τον προσδιορισμό της χαμιλτονιανής μπορούν να χρησιμοποιηθούν και οι Εξ.(9.2) και Εξ.(9.6). Βρήκαμε ότι η χαμιλτονιανή είναι η ενέργεια του συστήματος η οποία αφού εξαρτάται άμεσα από το χρόνο δεν διατηρείται κατά την κίνηση του συστήματος. Αυτό είναι κατανοητό διότι ο δεσμός ο οποίος οδηγεί σε καθορισμένη κίνηση του στερεωμένου στο καρότσι άκρου του ελατηρίου, εξαρτάται από το χρόνο που σημαίνει ότι η δύναμη του δεσμού σε αυτό το άκρο εκτελεί έργο επί του ελατηρίου εφόσον το σημείο εφαρμογής της μετατοπίζεται με το χρόνο κατά την πραγματική μετατόπιση του συστήματος. Έστω στη συνέχεια ότι χρησιμοποιούμε ως συντεταγμένη την x . Έχομε το μετασχηματισμό συντεταγμένης 0x x t . (9.20)

Για την κινητική ενέργεια, ως προς το ακίνητο σύστημα, για τη δυναμική συνάρτηση και για τη λαγκρανζιανή βρίσκομε

164

0

222 2 0

0 0

2 20

2220

0

1 1( , , ) ( ) ( )

2 2 2 21

( , ) ( , ) ( )2 2

( , , ) ( , ) ( )2 2 2

x x

mmxT x x t mx T x m x m x

kV x t k x t V x t x

mmx kL x x t T V L x x m x x

(9.21)

Η χαμιλτονιανή μπορεί να βρεθεί από τις Εξ.(9.2) και (9.6) κατά τα γνωστά

0 0

2220

0

2 220 0

( , ),

( )2 2 2

( ) ( )( , )

2 2 2

L x x pp mx m x

x m

mmx kH p x L p x m x x

p m mk xH x p

m

(9.22)

Η χαμιλτονιανή ( , )H x x δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο άρα διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση, αλλά δεν είναι η ενέργεια του συστήματος. Πράγματι η ενέργεια του συστήματος με μεταβλητές τα ,x p βρίσκεται ως εξής

220

2 20

22

1( ) ( , )

2 21

( ) ( , ) ( ) ( )2 2

( ) ( , ) ( ) .2 2

kE E T x V x t mx x t

kT x V x t m x x

p kT p V x t x

m

(9.23)

Προφανώς ( , ) ( , )H x p E x p . Αν πάμε στις μεταβλητές ,x x θα έχομε για την ενεργειακή συνάρτηση

22 20( )

( , )2 2 2

mmx k xh x x

. (9.24)

Αν ξεχάσομε τον τελευταίο σταθερό όρο (που δεν παίζει ρόλο στις εξισώσεις κίνησης), αυτή η συνάρτηση είναι η ενέργεια ως προς το σύστημα αναφοράς που κινείται με το καρότσι. Συμπεραίνομε ότι οι δυο χαμιλτονιανές διαφέρουν ως προς τη μορφή, ως προς το φυσικό τους νόημα και ως προς την τιμή τους.

165

Η ολική ενέργεια ως προς το ακίνητο σύστημα μπορεί να εκφραστεί κατά τα γνωστά ως προς οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες με απλό μετασχηματισμό των συντεταγμένων και ταχυτήτων ή γενικευμένων συντεταγμένων και γενικευμένων ορμών, δηλαδή κάνομε απλή αντικατάσταση. Όμως προσοχή ! Έστω ότι έχομε τη σωστή χαμιλτονιανή με τις αρχικές συντεταγμένες και τις αντίστοιχες συζυγείς ορμές. Αν απλώς αντικαταστήσομε σε αυτή την έκφραση τις θέσεις και ορμές με τις σχέσεις μετασχηματισμού που τις συνδέουν με άλλες γενικευμένες συντεταγμένες και αντίστοιχες ορμές αυτό δεν οδηγεί σε σωστή χαμιλτονιανή ως συνάρτηση των μετασχηματισμένων μεταβλητών. Για να βρούμε τη σωστή χαμιλτονιανή πρέπει να ακολουθήσομε τη διαδικασία που προκύπτει από τον ορισμό της με τυχόν απλοποιήσεις. Ανάλογα ισχύουν για την εύρεση της ενεργειακής συνάρτησης h Προσοχή ! Στα προηγούμενα η ενέργεια των Εξ.(9.23) δεν διατηρείται κατά την κίνηση παρόλο που δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Αυτό συμβαίνει διότι δεν ταυτίζεται με τη χαμιλτονιανή η οποία διατηρείται αν δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. 9.3 Η διαδικασία του Routh Ο χαμιλτονιανός φορμαλισμός δε βοηθά στην κατευθείαν λύση μηχανικών προβλημάτων. Έχομε διπλάσιες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης σε σχέση με την περίπτωση του λαγκραντζιανού φορμαλισμού όπου έχομε τις μισές διαφορικές εξισώσεις αλλά δεύτερης τάξης. Στην πράξη απαλείφομε τις συζυγείς ορμές και καταλήγομε στη λύση διαφορικών εξισώσεων του Lagrange που είναι οι μισές αλλά δεύτερης τάξης. Η μεθοδολογία με τις εξισώσεις του Hamilton είναι χρήσιμη για αγνοήσιμες συντεταγμένες. Έστω ότι η συντεταγμένη nq είναι αγνοήσιμη, τότε

1 2 1 1 2( , ,..., , , ,..., , )n nL L q q q q q q t , παρόλα αυτά πρέπει κανείς να συμπεριλάβει την

αντίστοιχη εξίσωση του Lagrange για να λύσει το δυναμικό πρόβλημα. Στην περίπτωση όμως του χαμιλτονιακού φορμαλισμού έχομε ότι για τη συζυγή ορμή n np =σταθερά

και η χαμιλτονιανή γίνεται

1 2 1 1 2 1( , ,..., , , ,... , , )n n nH q q q p p p t

Δηλαδή το πρόβλημα είναι πρόβλημα με 1n συντεταγμένες . Η σταθερά n

προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Προφανώς η εξέλιξη με το χρόνο της αγνοήσιμης συντεταγμένης προσδιορίζεται από τη λύση της εξίσωσης που ακολουθεί αφού προσδιοριστούν τα υπόλοιπα ( ), 1, 2,..., 1iq t i n . Έτσι θα έχομε

( ( ), ( ), , ) ( ( ), ( ), , )

, ( ) dn nn n

n n

H q t p t t H q t p t tq q t t

Η διαδικασία του Routh εκμεταλλεύεται τα πλεονεκτήματα του χαμιλτονιακού φορμαλισμού στην περίπτωση αγνοήσιμων συντεταγμένων συνδυάζοντάς τον με το λαγκραντζιανό φορμαλισμό. Αυτό που γίνεται είναι ότι μετασχηματίζει κανείς μόνο ως

166

προς τις αγνοήσιμες συντεταγμένες από q σε p ενώ αφήνει τις άλλες απείραχτες. Έτσι για τις αγνοήσιμες καταλήγει σε εξισώσεις του Hamilton ενώ για τις άλλες σε εξισώσεις του Lagrange. Αυτό γίνεται με χρήση μιας συνάρτησης που παίζει το ρόλο και λαγκραντζιανής και χαμιλτονιανής και λέγεται routhian (ρουθιανή). Έστω ότι οι αγνοήσιμες συντεταγμένες είναι οι 1 2, ,...,s s nq q q δηλαδή οι

, 1, 2,...,iq i s s n δηλαδή οι τελευταίες n s το πλήθος. Ορίζομε τη ρουθιανή ως

προς αυτές με τα εξής βήματα όπως κάναμε και για τον προσδιορισμό της χαμιλτονιανής

1 2 1 1 21

1 2 1 2 1 2

( , ,..., , , ,..., , )

, 1, 2,...,

( , ,..., , , ,..., , , ,..., , )

n

i i n ni s

ii

s s s s n

R p q L q q q q q q t

Lp i s s n

q

R R q q q q q q p p p t

(9.25)

Διαφορίζομε την πρώτη σχέση οπότε βρίσκομε

1 1 1 1

1 1 1

d d d d d d

d d d d

n n s n

i i i i i ii s i s i ii i

n s s

i i i ii s i ii i

L L LR q p p q q q t

q q t

L L Lq p q q t

q q t

. (9.26)

Από τη διαφόριση της τρίτης έχομε

1 1 1

d d d d ds s n

i i ii i i si i i

R R R RR q q p t

q q p t

. (9.27)

Προφανώς d dR R άρα βρίσκομε ότι

, , 1, 2,...,

, , 1, 2,...,

.

i i i i

i ii i

R L R Li s

q q q q

R Rp q i s s n

q p

R L

t t

(9.28)

Προφανώς η ii

Rp

q

ισχύει κατά προφανή τρόπο διότι τα ip είναι σταθερές της

κίνησης και η R δεν εξαρτάται από τα , 1, 2,...,iq i s s n . Οι εξισώσεις που ισχύουν

για 1, 2,...,i s ουσιαστικά μας λένε ότι ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange για τις μη αγνοήσιμες συντεταγμένες με τη ρουθιανή στη θέση της λαγκρανζιανής, δηλαδή

167

d

0, 1, 2,...,d i i

R Ri s

t q q

. (9.29)

Οι υπόλοιπες εξισώσεις με 1, 2,...,i s s n , δηλαδή για τις αγνοήσιμες συντεταγμένες είναι οι εξισώσεις του Hamilton με τη ρουθιανή στη θέση της χαμιλτονιανής, δηλαδή είναι οι δεύτερη σειρά των σχέσεων της Εξ.(9.28), δηλαδή έχομε

, , 1, 2,..., .i ii i

R Rp q i s s n

q p

(9.29)′

Είναι ευνόητο ότι μια συντεταγμένη που δεν υπάρχει στη λαγκρανζιανή δε θα υπάρχει ούτε στη ρουθιανή. Οι συζυγείς ορμές , 1, 2,...,ip i s s n είναι σταθερές της κίνησης,

, 1, 2,...,i ip i s s n και προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έτσι η

ρουθιανή μπορεί να γραφτεί ως συνάρτηση μόνο των μη αγνοήσιμων συντεταγμένων, των ταχυτήτων τους και του χρόνου. 1 2 1 2 1 2( , ,..., , , ,..., , , ,..., , )s s s s nR R q q q q q q t . (9.30)

Ένα απλό παράδειγμα της μεθόδου του Routh είναι η επίπεδη κίνηση σωματίου σε

κεντρικό δυναμικό της μορφής ( )n

kV r

r . Εργαζόμαστε σε πολικές συντεταγμένες και

έχομε προφανώς,

2 2 2( )2 n

m kL r r

r . (9.31)

Η είναι αγνοήσιμη.

2 2 2

22

22

2

( )2

,

1 1.

2 2

n

n

m kR p r r

rpL

p mrmr

p kR mr

mr r

(9.32)

Για το μη αγνοήσιμο r η εξίσωση του Lagrange δίνει

2

3 10

n

p nkmr

mr r

. (9.33)

Για την αγνοήσιμη έχομε από τις εξισώσεις του Hamilton

2

2

0,

pp

mr

p mr l

. (9.34)

168

Το l διατηρείται και είναι η στροφορμή ως προς τον άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνησης που περνά από το ελκτικό κέντρο. 9.4 Εξισώσεις του Hamilton από μια αρχή παραλλαγών (μεταβολών) Όπως είδαμε οι εξισώσεις του Lagrange μπορεί να βγουν από μιαν αρχή παραλλαγών, δηλαδή την αρχή του Hamilton. Θα βρούμε μιαν αρχή παραλλαγών που να μας οδηγεί στις εξισώσεις του Hamilton. Τέτοιες μεθοδολογίες είναι χρήσιμες διότι επεκτείνονται εύκολα σε συστήματα που δε βρίσκονται στην περιοχή της μηχανικής. Ας ξεκινήσομε από την αρχή του Hamilton (για λαγκρανζιανά δυναμικά συστήματα) που αναφέρεται σε τροχιές στο θεσικό χώρο των n διαστάσεων. Έχομε

2 2

1 1

δ δ ( , , )d δ ( , , )d 0 t t

t t

Ι L q q t t L q q t t . (9.35)

Οι μεταβλητές στο χαμιλτονιανό φορμαλισμό είναι τα ,q p (που θεωρούνται μεταξύ τους ανεξάρτητες), άρα είμαστε στο φασικό χώρο με 2n διαστάσεις. Χρησιμοποιούμε τη σχέση που ορίζει από τη λαγκρανζιανή τη χαμιλτονιανή οπότε έχομε

2 2

1 11 1

δ δ ( , , ) d δ ( , , ) d 0 t tn n

i i i ii it t

Ι p q H q p t t p q H q p t t

.(9.36)

Αυτή αναφέρεται ως τροποποιημένη αρχή του Hamilton (modified Hamilton’s principle). Εφόσον η υπό ολοκλήρωση παράσταση

1

( , , , , ) ( , , )n

i ii

f q p q p t p q H q p t

είναι συνάρτηση των ,q p καθώς επίσης και των χρονικών παραγώγων τους ,q p (εδώ

δεν υπάρχουν τα ip ) και του χρόνου t η αρχή παραλλαγών θα οδηγήσει στις εξισώσεις

του Lagrange. Έχομε

d d

0, 0, 1, 2,...,d di i i i

f f f fi n

t q q t p p

. (9.37)

Άρα

= =- i ii i i i

f d f f Hp p

q dt q q q

.

Επομένως

, i ii i

H Hp q

q p

. (9.38)

169

Δηλαδή βρίσκομε τις εξισώσεις του Hamilton. Εδώ πρέπει να τονίσομε τα εξής, στην περίπτωση της θεωρίας παραλλαγών στα άκρα της ολοκλήρωσης απαιτούμε οι μεταβολές των συντεταγμένων να είναι μηδέν. Δηλαδή όλες οι τροχιές περνούν από τα ίδια αρχικό και τελικό σημεία. Εδώ ο χώρος είναι ο χώρος των φάσεων δηλαδή οι μεταβλητές, που είναι οι συντεταγμένες του χώρου αυτού είναι τα ,q p άρα είναι φυσικό να απαιτήσομε ότι 1 2 1 2δ ( )=δ ( ) δ ( )=δ ( ) 0i i i iq t q t p t p t .

Μια προσεκτική ματιά στο παράρτημα Π4 δείχνει ότι η απαίτηση αυτή χρειάζεται όταν υπάρχουν οι παράγωγοι των μεταβλητών γιατί έτσι μετά την παραγοντική ολοκλήρωση που χρησιμοποιείται, φεύγουν οι όροι που προκύπτουν που έχουν ως παράγοντες τις ανωτέρω μεταβολές στα άκρα των συντεταγμένων. Αν δεν υπάρχει κάποια παράγωγος δεν χρειάζεται η αντίστοιχη δεσμευτική σχέση της μεταβλητής. Στην περίπτωσή μας εφόσον ξεκινήσαμε από τη λαγκρανζιανή για να καθορίσομε τη χαμιλτονιανή, η προκύπτουσα έκφραση στο ολοκλήρωμα τροποποιημένης δράσης δεν περιέχει παραγώγους ως προς το χρόνο των μεταβλητών ip άρα δεν χρειάζεται να απαιτήσομε να

ισχύουν 1 2δ ( )=δ ( ) 0i ip t p t . Όμως υπάρχουν πλεονεκτήματα να απαιτήσομε κάτι τέτοιο

επειδή ο χαμιλτονιανός φορμαλισμός μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητος του λαγκρανζιανού. Στην περίπτωση της αρχής του Hamilton όπου όλες οι τροχιές στο θεσικό χώρο περνούν από τα ίδια ακραία σημεία, μπορούμε να προσθέσομε στην υπό ολοκλήρωση συνάρτηση την ολική παράγωγο ως προς το χρόνο οποιασδήποτε καλά συμπεριφερόμενης συνάρτησης των συντεταγμένων και αυτό να μην επηρεάσει το να ισχύει η αρχή παραλλαγών. Εδώ αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι της μορφής

( , , )F q p t και η παράγωγός της d ( , , )

d

F q p t

t που προφανώς μπορεί να εισαγάγει

παραγώγους και των ip . Ένα απλό παράδειγμα είναι η προσθήκη ενός όρου της μορφής

d( )

di iq p

t αυτό οδηγεί στη σχέση

2

11

δ δ ( , , ) d 0t n

i iit

I p q H q p t t

.

Από αυτήν εύκολα βγαίνουν οι εξισώσεις του Hamilton αλλά τώρα πρέπει να δεσμεύσομε τα ip στα άκρα ώστε να ισχύουν και για αυτά οι σχέσεις 1 2δ ( )=δ ( ) 0i ip t p t . Επομένως

για να είναι ο χαμιλτονιανός φορμαλισμός ανεξάρτητος του λαγκρανζιανού πρέπει να επιβληθούν εκτός από τις δεσμευτικές σχέσεις στα άκρα για τα iq και αυτές οι

δεσμευτικές σχέσεις στα άκρα για τα ip .

170

9.5 Η αρχή της ελάχιστης δράσης Πρόκειται γενικώς για στάσιμη κατάσταση της δράσης και όχι πάντα για ελάχιστη δράση. Παρόλα αυτά έχει επικρατήσει ο όρος ελάχιστη δράση. Αυτή η αρχή σχετίζεται με το χαμιλτονιανό φορμαλισμό. Αναφέρεται σε συστήματα που διατηρείται η χαμιλτονιανή, δηλαδή η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Σε αυτή την περίπτωση εισάγεται μια άλλη έννοια μεταβολής μεγεθών η λεγόμενη μεταβολή-Δ. Στην περίπτωση της γνωστής μεταβολής – δ όλες οι παραλλαγμένες τροχιές αρχίζουν και τερματίζονται στο θεσικό χώρο κατά τις ίδιες χρονικές στιγμές 1 2,t t με την

πραγματική τροχιά. Επίσης τα ακραία σημεία όλων των τροχιών είναι τα ίδια άρα ισχύουν

1 2δ ( ) δ ( ) 0.i iq t q t Στην περίπτωση της μεταβολής – Δ οι παραλλαγμένες τροχιές έχουν

γενικώς άκρα που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς χρόνους από αυτούς της πραγματικής τροχιάς και τα άκρα της κάθε μιας τροχιάς στο θεσικό χώρο είναι γενικώς διαφορετικά. Μπορούμε να παραμετροποιήσομε τις τροχιές (ανάλογο μπορούσαμε να είχαμε κάνει και για τις μεταβολές -δ ) με χρήση μιας παραμέτρου, οπότε έχομε για τις διάφορες τροχιές,

( , ) 1, 2,...,iq t i n . Το 0 για την πραγματική τροχιά, δηλαδή

( ) ( ,0) 1, 2,...,i iq t q t i n . (9.39)

Έστω ότι κάνομε την παραμετροποίηση ( , ) ( ) ( ) 1, 2,...,i i iq t q t t i n . (9.40)

Οι συναρτήσεις ( )i t είναι αυθαίρετες αλλά παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Για να

μπορούμε να έχομε τη δυνατότητα διαφορετικών χρόνων 1t και διαφορετικών χρόνων 2t

για κάθε παραλλαγμένη τροχιά (στα άκρα), κατά τη μεταβολή-Δ, τα αντίστοιχα σημεία είναι όπως φαίνεται στο Σχ.(6.2), όπου εικονίζεται η πραγματική και μια Δ -παραλλαγμένη τροχιά, για την απλή περίπτωση δυο μεταβλητών στο θεσικό χώρο. Δηλαδή, στην γενική αυτή περίπτωση, τα αντίστοιχα σημεία της πραγματικής τροχιάς και της οποιασδήποτε παραλλαγμένης δε μπορεί να έχουν ίδια t , ενώ αυτό γίνεται αν όλοι οι αρχικοί χρόνοι 1t είναι ίσοι μεταξύ τους και αντιστοίχως οι τελικοί 2t . Αυτό ισοδυναμεί

με το γεγονός ότι, οι αντίστοιχοι χρόνοι Δt t στην παραλλαγμένη τροχιά των χρόνων t της πραγματικής τροχιάς εξαρτώνται και από την παράμετρο . Με χρήση της απλής περίπτωσης του Σχ. 6.2 μπορούμε να καταλήξομε, σε πρώτη προσέγγιση ως προς τις μικρές μεταβολές, στη σχέση Δ δ ( ) ( )Δi i iq q t q t t .

Μπορούμε επίσης να δείξομε αυτή τη σχέση χρησιμοποιώντας την παραμετροποίηση της Εξ.(9.40). Από την παραμετροποίηση έχομε για οποιαδήποτε αντίστοιχα σημεία ότι, Δ ( Δ , ) ( ,0) ( Δ ,0) ( ,0) ( Δ ).i i i i i iq q t t q t q t t q t t t

171

Σχήμα 9.2 Η μεταβολή-Δ στο θεσικό χώρο. Σε πρώτη προσέγγιση, για μικρές ποσότητες ,Δt έχομε Δ ( )Δ δ ( )i i iq q t t q t . (9.41)

Προφανώς η μεταβολή-Δ δεν μπορεί να εναλλαχτεί με τη συνήθη διαφόριση d , ενώ αυτό γίνεται για τη μεταβολή-δ. Για τα άκρα 1,2 έχομε για κάθε παραλλαγμένη τροχιά

1 2Δ (1) Δ ,Δ (2) Δt t t t , αυτά είναι προφανώς συναρτήσεις της παραμέτρου της

αντίστοιχης τροχιάς. Οι Εξ.(9.41) δίνουν για τα άκρα

1

2

Δ (1) δ (1) (1)Δ

Δ (2) δ (2) (2)Δ .i i i

i i i

q q q t

q q q t

(9.42)

Ας υπολογίσομε τη μεταβολή-Δ του ολοκληρώματος δράσης, 2

1

dt

t

L t .

2 2 2 2

1 1 1 1

Δ

Δ

Δ d ( )d (0)dt t t t

t t t t

L t L t L t

. (9.43)

Για το πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους ισχύει

2 2 2 2 2 1 1

1 1 1 2 1

Δ Δ Δ

Δ

( )d ( )d ( )d ( )dt t t t t t t

t t t t t

L t L t L t L t

. (9.44)

Κάνοντας πρώτη προσέγγιση στα απειροστά για το δεύτερο και τρίτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της Εξ.(9.44), βρίσκομε από την Εξ.(9.43)

172

2 2 2

1 1 1

2 2 1 1Δ d ( )Δ ( )Δ ( )d (0)d .t t t

t t t

L t L t t L t t L t L t (9.45)

Επειδή τα ολοκληρώματα του δευτέρου μέλους έχουν τα ίδια άκρα 1 2,t t , μπορούμε να

πάρομε ως αντίστοιχα σημεία της πραγματικής και της παραλλαγμένης τροχιάς σημεία όπουΔ 0t . Τότε όμως σύμφωνα με την Εξ.(9.41) οι μεταβολές Δ και δ συμπίπτουν οπότε

2 2 2

1 1 1

2 2 1 1 2 2 1 1Δ d ( )Δ ( )Δ δ d ( )Δ ( )Δ δ d .t t t

t t t

L t L t t L t t L t L t t L t t L t (9.46)

Για τη μεταβολή-δ έχομε προφανώς ότι

2 2

1 1

2

1 11

dδ d δ δ d

d

t tn n

i ii ii i it t

L L LL t q q t

q q t q

. (9.47)

Ο όρος από την παραγοντική ολοκλήρωση δεν μηδενίζεται διότι τα δ (1),δ (2)i iq q στα

άκρα δεν μηδενίζονται στην περίπτωση της μεταβολής-Δ. Ισχύουν οι εξισώσεις του

Lagrange και η σχέση ii

Lp

q

, επομένως οι Εξ.(9.46) και (9.47) οδηγούν στην

2

1

2

1 1

Δ d ( )Δ δt n

i iit

L t L t t p q

. (9.48)

Τα 1 2δ ( ),δ ( )i iq t q t στην Εξ.(9.48) είναι οι μεταβολές που φαίνονται στο Σχ.(6.2) για τα

αντίστοιχα σημεία των άκρων της πραγματικής και της παραλλαγμένης τροχιάς. Στη συνέχεια θέλομε να εκφράσομε τη μεταβολή -Δ του ολοκληρώματος της Εξ.(9.48) ως προς τις μεταβολές Δ iq των iq μεταξύ παραλλαγμένης και πραγματικής τροχιάς για τα

ακραία αντίστοιχα σημεία τους λαμβάνοντας υπόψη και τους διαφορετικούς χρόνους για τα άκρα της πραγματικής και της παραλλαγμένης τροχιάς. Οι σχέσεις της Εξ.(9.42) οδηγούν από την Εξ.(9.48) στην

2

1

2 2

1 1 1 11

Δ d Δ Δ Δ Δ Δt n n n

i i i i i ii i it

L t L t p q t p q p q t

. (9.49)

Το επόμενο βήμα για να βρούμε τη λεγόμενη αρχή της ελάχιστης δράσης είναι να βάλομε τους παρακάτω περιορισμούς. 1. Θεωρούμε μόνο δυναμικά συστήματα που η Η δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο οπότε είναι σταθερά της κίνησης.

173

2. Η παραλλαγή είναι τέτοια που η Η διατηρείται και στην παραλλαγμένη όπως και στην πραγματική τροχιά (στο θεσικό χώρο) αλλά για κάθε διαφορετική τροχιά έχει, γενικώς, διαφορετικό μέγεθος H για κάθε μια παραλλαγμένη τροχιά και διαφορετική

(γενικώς) 0H για την πραγματική.

3. Για τα άκρα των παραλλαγμένων τροχιών θέτομε Δ (1) Δ (2) 0i iq q , ενώ

1 2Δ 0, Δ 0t t . Δηλαδή οι τροχιές τέμνονται στα άκρα (1) και (2) στο θεσικό χώρο δυο

διαφορετικές στιγμές, άρα έχομε ότι τα H είναι όλα ίσα οπότε 0H H =σταθερά.

Έτσι η Εξ.(9.49) γίνεται

2

1

0 2 1Δ d ( )t

t

L t Η t t . (9.50)

Υπό τις ίδιες συνθήκες έχομε για το ολοκλήρωμα της δράσης

2 2

1 1

0 2 11

d d ( )t t n

i iit t

L t p q t Η t t

. (9.51)

Για την παραλλαγή-Δ αυτής της έκφρασης έχομε ότι

2 2

1 1

0 2 11

Δ d Δ d (Δ Δ )t t n

i iit t

L t p q t Η t t

. (9.52)

Από τις Εξ.(9.50) και (9.52) βρίσκομε την αρχή της ελάχιστης δράσης που φαίνεται στην Εξ.(9.53)

2

11

Δ d 0t n

i iit

p q t

. (9.53)

Παλιά το ολοκλήρωμα στην Εξ.(9.53) λέγονταν δράση ή ολοκλήρωμα δράσης, σήμερα όμως έτσι λέγεται το ολοκλήρωμα της αρχής του Hamilton, και το ολοκλήρωμα της Εξ.(9.53) λέγεται απλουστευμένη (ή συνοπτική) δράση (abbreviated action). Η αρχή της ελάχιστης δράσης μπορεί να πάρει διάφορες μορφές. Έστω ότι η κινητική ενέργεια είναι τετραγωνική μορφή ως προς τις ταχύτητες χωρίς άμεση εξάρτηση από το χρόνο, δηλαδή έχει τη μορφή

, 1

1( , )

2

n

jk j kj k

T q q M q q

. (9.54)

Έστω επιπλέον ότι η δυναμική συνάρτηση δεν εξαρτάται άμεσα από τα ταχύτητες, τότε οι κανονικές ορμές προσδιορίζονται μόνο από το T και ισχύει

174

1

2n

i ii

p q T

τότε η αρχή της ελάχιστης δράσης παίρνει τη μορφή

2

1

Δ d 0t

t

T t . (9.55)

Έστω επίσης ότι διατηρείται η κινητική ενέργεια, τότε η αρχή της ελάχιστης δράσης γίνεται 2 1Δ( ) 0t t . (9.56)

Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, στην περίπτωση στερεού στο οποίο δεν εφαρμόζονται ασκούμενες δυνάμεις αλλά μόνο δυνάμεις δεσμών τέτοιες που για οποιαδήποτε μετατόπιση του στερεού δεν παράγουν έργο. Η Εξ. (9.56) δείχνει γιατί στην αρχή της ελάχιστης δράσης χρειάζεται να επιτρέπονται και διαφορετικοί χρόνοι άκρων, δηλαδή διαφορετικά διαστήματα χρόνου διαγραφής των τροχιών. Η σχέση της Εξ.(9.56) λέει ότι, υπό τις ανωτέρω προϋποθέσεις, από όλες τις πιθανές τροχιές μεταξύ δυο σημείων, όπου η ενέργεια διατηρείται κατά την διαγραφή των τροχιών, το σύστημα κινείται κατά μήκος εκείνης της τροχιάς (πραγματική) για την οποία ο χρόνος διαδρομής είναι ο μικρότερος (ποιο σωστά είναι στάσιμος). Μπορούμε να φτιάξομε ένα θεσικό χώρο όπου τα jkM της Εξ.(9.54) να σχηματίζουν το

μετρικό τανυστή του χώρου. Το στοιχείο μήκους d αυτού του, γενικώς καμπύλου και μη ορθογώνιου, χώρου θα δίνεται από την Εξ.(9.57)

2

, 1

(d ) ( )d dn

jk j kj k

M q q q

. (9.57)

Η κινητική ενέργεια θα είναι

2

1 d

2 dΤ

t

. (9.58)

Από αυτήν βρίσκομε

d

d2

tΤ

. (9.59)

Αλλάζομε ανεξάρτητη μεταβλητή στην Εξ.(9.55) οπότε η αρχή της ελάχιστης δράσης γίνεται

2 2

1 1 1 2

Δ d Δ / 2d Δ / 2d 0t

t Α Α

T t Τ Τ

. (9.60)

175

Τελικώς έχομε

1 2

0Δ ( )d 0Α Α

H V q . (9.61)

Σε αυτή τη σχέση δεν εμφανίζεται άμεσα ο χρόνος και έχομε μόνο τροχιές χωρίς να φαίνεται πως διαγράφονται συναρτήσει του χρόνου. Θυμίζομε ότι οι παραλλαγμένες τροχιές και η πραγματική τροχιά περνούν όλες από τα δυο ίδια σημεία 1 2,Α Α , του

θεσικού χώρου. Χρησιμοποιώντας την Εξ.(9.57) βρίσκομε

1 2 1 2

0 0, 1

Δ ( )d Δ ( ) d d .n

ik i ki kΑ Α Α Α

H V q H V q M q q

(9.62)

Η Εξ.(9.61), όπως και η ισοδύναμή της Εξ.(9.62), λέγεται συχνά μορφή του Jacobi της αρχής της ελάχιστης δράσης. Αυτή η αρχή μπορεί να γραφτεί σε πιο πρακτική μορφή, εκφράζοντας τις καμύλες συναρτήσει μιας μεταβλητής που μεταβάλλεται μονότονα κατά τη διαγραφή της κάθε καμπύλης στο θεσικό χώρο και κατά τη μεταβολή-Δ ισχύει ότι το =σταθερό. Η παίζει το ρόλο της ανεξάρτητης μεταβλητής της θεωρίας παραλλαγών και αφού κατά τη μεταβολή-Δ η (ανεξάρτητη) μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι σταθερή, η μεταβολή-Δ γίνεται μεταβολή-δ. Σύμφωνα με τα ανωτέρω θα έχομε

1 2 1 2

1 2

0 0, 1

0, 1

( ), 1, 2,...,

Δ ( )d Δ ( ) d d

d d=δ ( ) d 0.

d d

r r

n

ik i ki kΑ Α Α Α

ni k

iki kΑ Α

q q r n

H V q H V q M q q

q qH V q M

(9.63)

Θέτομε

0, 1

d ( )

d

( , , ) ( ) .

ii

n

ik i ki k

qq

f f q q H V q M q q

(9.64)

Αυτό σημαίνει ότι έχομε πρόβλημα θεωρίας παραλλαγών τύπου μεταβολών-δ οπότε θα καταλήξομε στις γνωστές εξισώσεις του Euler, δηλαδή ισχύουν

1 2 1 2

δ ( , , )d δ ( , , )d 0

d0.

d

Α Α Α Α

i i

f q q f q q

f f

q q

(9.65)

176

Μερικές φορές αντί της μπορεί η ανεξάρτητη μεταβλητή να είναι μια από τις συντεταγμένες θέσης. Τονίζομε ότι καταλήξαμε σε εξισώσεις της Διαφορικής Γεωμετρίας, χωρίς το χρόνο, δηλαδή έχομε τις τροχιές χωρίς να εμφανίζεται η κίνηση του συστήματος. Αν δεν υπάρχουν ενεργητικές (ασκούμενες) δυνάμεις τότε το T είναι σταθερό κατά την κίνηση και η αρχή του Jacobi λέει ότι το σημείο του συστήματος στον ανωτέρω θεσικό χώρο ακολουθεί δρόμο μεταξύ δυο σημείων που είναι στάσιμος. Ισοδύναμα λέμε ότι το σημείο κινείται πάνω σε γεωδεσική καμπύλη. Η αρχή της ελάχιστης δράσης στη μορφή της αρχής του Fermat βρίσκει πολλές χρήσιμες εφαρμογές στη γεωμετρική οπτική και την «οπτική» δεσμών ηλεκτρονίων. Υπάρχουν και άλλες παρόμοιες αρχές μεταβολών στην κλασική μηχανική. Ένα παράδειγμα είναι η αρχή της ελάχιστης καμπυλότητας του Hertz. Σύμφωνα με αυτήν την αρχή, για την περίπτωση που δεν υπάρχουν ασκούμενες δυνάμεις παρά μόνο δυνάμεις των συνδέσμων, το σημείο που περιγράφει το σύστημα κινείται σε τροχιά ελάχιστης καμπυλότητας. Επίσης υπάρχει η αρχή του ελάχιστου εξαναγκασμού. 9.6 Πότε τα στάσιμα σημεία είναι σημεία ελάχιστου Θα διατυπώσομε ένα θεώρημα που μας λέει πότε ένα στάσιμο σημείο του ολοκληρώματος της οποιασδήποτε μορφής δράσης είναι πραγματικά σημείο ελάχιστου. Ας θεωρήσομε ότι βρισκόμαστε στο θεσικό χώρο ενός μηχανικού συστήματος. Έστω ένα σημείο Α μιας πραγματικής τροχιάς στο θεσικό χώρο. Έστω ότι από το ίδιο σημείο περνά και μια άλλη πραγματική τροχιά που σχηματίζει μικρή γωνία με την πρώτη στο σημείο Α. Έστω ότι η δεύτερη τροχιά συναντά την πρώτη σε ένα άλλο σημείο, έστω Β. Φανταζόμαστε ότι ενώ η πρώτη τροχιά παραμένη σταθερή η δεύτερη μεταβάλλεται ενώ συναντά στο σταθερό σημείο Α την πρώτη, τότε θα μεταβάλλεται επίσης η θέση του σημείου Β. Η οριακή θέση του σημείου Β όταν η γωνία στο Α μεταξύ των δυο πραγματικών τροχιών τείνει στο μηδέν, λέγεται κινητική εστία (kinetic focus) του Α στην πρώτη τροχιά ή λέμε ότι το Β είναι το συζυγές σημείο του Α. Το θεώρημα λέει αυτό που ακολουθεί. Το ολοκλήρωμα κατά μήκος της πραγματικής τροχιάς μεταξύ δυο δεδομένων σημείων είναι πραγματικό ελάχιστο, με την προϋπόθεση ότι κατά τη διαδρομή από το αρχικό σημείο του ολοκληρώματος φτάνομε στο τελικό χωρίς να συναντήσομε την κινητική εστία του αρχικού σημείου. Αν φτάνομε στο τελικό σημείο συναντώντας κατά τη διαδρομή την κινητική εστία, τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν το ολοκλήρωμα είναι ελάχιστο ή όχι. Δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι για αρκούντως μικρά διαστήματα στα οποία υπολογίζεται το ολοκλήρωμα, αυτό έχει ελάχιστο. Μια απλή περίπτωση είναι η περίπτωση σωματίου δεσμευμένου να κινείται σε λεία σφαιρική επιφάνεια χωρίς τη δράση ασκούμενων δυνάμεων. Οι πραγματικές τροχιές είναι μέγιστοι κύκλοι. Η απλουστευμένη δράση κατά μήκος οποιασδήποτε τροχιάς, ανεξάρτητα του αν είναι μέγιστος κύκλος ή όχι (αρκεί η ενέργεια να είναι δεδομένη, σταθερή) είναι ανάλογη του

177

μήκους της τροχιάς. Η κινητική εστία οποιουδήποτε σημείου Α είναι το διαμετρικά αντίθετο σημείο του Α το Α . Το θεώρημα που αναφέραμε λέει ότι οποιοδήποτε τόξο μέγιστου κύκλου που ενώνει οποιαδήποτε δυο σημεία έχει ελάχιστο μήκος σε σχέση με τις τροχιές πάνω στη σφαίρα που ενώνουν τα ίδια αυτά σημεία, αρκεί το μήκος του τόξου αυτού να είναι μικρότερο από το μισό του μήκους ενός μέγιστου κύκλου της σφαίρας. 9.7 Κίνηση δυναμικού συστήματος Γενικώς, η πραγματική κίνηση ενός συγκεκριμένου μηχανικού συστήματος στο λαγκρανζιανό φορμαλισμό, μπορεί να προσδιοριστεί από τις (αρχικές) θέσεις και ταχύτητες κάποια δεδομένη (αρχική) στιγμή. Αυτό σημαίνει ότι τα τρία μεγέθη ( ( ), ( ), )q t q t t μιας πραγματικής κίνησης δεν μπορεί να ανήκουν σε δυο ή περισσότερες διαφορετικές κινήσεις του ίδιου μηχανικού συστήματος. Αυτό προκύπτει από τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης Euler-Lagrange που είναι διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Εξαίρεση αποτελούν ιδιάζοντα σημεία που είναι σημεία ισορροπίας, όπου ( ( ) 0, ( ) 0, )q t q t t . Σε αυτά μπορεί να τείνουν πολλές κινήσεις ή καμία. Στην περίπτωση του χαμιλτονιανού φορμαλισμού, η πραγματική κίνηση ενός συγκεκριμένου μηχανικού συστήματος, μπορεί να προσδιοριστεί από τις θέσεις και ορμές κάποια δεδομένη (αρχική) στιγμή. Αυτό σημαίνει ότι τα τρία μεγέθη ( ( ), ( ), )q t p t t μιας πραγματικής κίνησης δεν μπορεί να ανήκουν σε δυο ή περισσότερες διαφορετικές κινήσεις του ίδιου μηχανικού συστήματος. Αυτό προκύπτει από τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης του Hamilton οι οποίες είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Εξαίρεση αποτελούν και πάλι ιδιάζοντα σημεία, δηλαδή σημεία ισορροπίας όπου ( ( ) 0, ( ) 0, )q t p t t . Θα αναφερθούμε περισσότερο στα σημεία ισορροπίας, αργότερα. Η κίνηση προκύπτει από τη λύση των εξισώσεων του λαγκρανζιανού ή του χαμιλτονιανού φορμαλισμού. Γενικώς πρόκειται για συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Αν οι εξισώσεις αυτές δεν περιέχουν άμεσα το χρόνο τότε είναι αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις και το αντίστοιχο δυναμικό σύστημα λέγεται αυτόνομο. Για ένα μη αυτόνομο σύστημα η λύση των εξισώσεων κίνησης θα είναι για τις περιπτώσεις των δυο φορμαλισμών, αντίστοιχα, της μορφής 0 0 0( , , , ), 1, 2,...,i iq q q q t t i n

(9.66)

0 0 0

0 0 0

( , , , )

( , , , ), 1, 2,...,i i

i i

q q q p t t

p p q p t t i n

Για ένα αυτόνομο σύστημα η λύση των εξισώσεων κίνησης θα είναι για τις περιπτώσεις των δυο φορμαλισμών, αντίστοιχα, της μορφής 0 0( , , ), 1, 2,...,i iq q q q t i n

(9.67)

178

0 0

0 0

( , , )

( , , ), 1, 2,...,i i

i i

q q q p t

p p q p t i n

Υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των αυτόνομων και των μη αυτόνομων συστημάτων. Σε ένα μη αυτόνομο σύστημα η κίνηση, μετά την αρχική στιγμή, εξαρτάται εκτός από τις αρχικές τιμές 0 0,q q ή αντίστοιχα 0 0,q p και από την αρχική στιγμή 0t . Με άλλα λόγια για

τις ίδιες αρχικές τιμές 0 0,q q ή 0 0,q p έχομε γενικώς διαφορετικές κινήσεις αν οι αρχικοί

χρόνοι 0t είναι διαφορετικοί. Σε ένα αυτόνομο σύστημα η κίνηση μετά την αρχική στιγμή

δεν εξαρτάται από το 0t αλλά μόνο από τις αρχικές τιμές 0 0,q q ή 0 0,q p . Αν ένα σύστημα

είναι λαγκρανζιανό θα είναι αυτόνομο αν ( , )L L q q . Αν ένα σύστημα είναι χαμιλτονιανό τότε είναι αυτόνομο αν ( , )H H q p . Η περιγραφή δυναμικών συστημάτων γίνεται σε διάφορους χώρους, όπως φαίνεται στα επόμενα. α) Ο θεσικός χώρος έχει διάσταση n και αποτελείται από το σύνολο των σημείων θέσης, δηλαδή των συντεταγμένων θέσης 1 2( , ,..., )nq q q . Αυτό το σημείο (θέσης) του θεσικού

χώρου διαγράφει μια καμπύλη κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος, αφού κατά την κίνηση ( )i iq q t . Σύμφωνα με τα προηγούμενα, ένα συγκεκριμένο δυναμικό

σύστημα μπορεί να διαγράφει διάφορες καμπύλες στο θεσικό χώρο που η κάθε μια εξαρτάται από τις αρχικές θέσεις και ταχύτητες του συστήματος σε κάποια, κάθε φορά, αρχική χρονική στιγμή. Οι καμπύλες που διαγράφει κατά την κίνησή του το μηχανικό σύστημα στο θεσικό χώρο, μπορεί να τέμνονται μεταξύ τους. Πράγματι, οποιοδήποτε σημείο μιας τέτοιας αρχικής καμπύλης μπορεί να ληφθεί ως αρχικό σημείο κατά μια νεοεπιλεγόμενη αρχική στιγμή και γενικώς, με διαφορετικές αρχικές ταχύτητες (ή αντίστοιχα αρχικές συζυγείς ορμές) από αυτές που έχει το μηχανικό σύστημα στο σημείο του θεσικού χώρου κατά τη διαγραφή της αρχικής καμπύλης. Είναι ευνόητο ότι από αυτή τη νέα χρονική στιγμή και μετά η εξέλιξη του συστήματος με το χρόνο θα είναι διαφορετική, άρα από το σημείο της αρχικής καμπύλης θα ξεκινήσει μια άλλη καμπύλη πραγματικής κίνησης του ίδιου μηχανικού συστήματος στο θεσικό χώρο, άρα οι καμπύλες γενικώς τέμνονται. β) Ως γεγονός θεωρείται ο συνδυασμός 1 2( , ,..., , )nq q q t . Αυτός ο συνδυασμός είναι ένα

σημείο του χώρου των γεγονότων που έχει διάσταση 1n . Είναι ευνόητο ότι και σε αυτό το χώρο καμπύλες που περιγράφουν την κίνηση κάποιου δεδομένου μηχανικού συστήματος μπορεί να τέμνονται διότι κάθε σημείο μιας αρχικής πραγματικής καμπύλης κίνησης μπορεί να ληφθεί ως αρχικό σημείο όπου οι ταχύτητες (ή οι ορμές) να είναι διαφορετικές από αυτές της αρχικής κίνησης. Αυτό θα οδηγήσει σε άλλη καμπύλη κίνησης που θα τέμνει την αρχική. γ) Ο χώρος των καταστάσεων έχει συντεταγμένες τα ( , )q q άρα έχει διάσταση 2n . Καμπύλες που παριστάνουν πραγματική κίνηση κάποιου μη αυτόνομου μηχανικού συστήματος μπορεί να τέμνονται, όμως, δεν μπορούν να τέμνονται την ίδια χρονική στιγμή διότι τότε, με τις ίδιες αρχικές συνθήκες (θέσεων και ταχυτήτων ή ορμών, την ίδια αρχική χρονική στιγμή) θα είχαμε δυο διαφορετικές εξελίξεις του ίδιου μηχανικού συστήματος πράγμα που δεν γίνεται. Εξαίρεση αποτελούν τα σημεία ισορροπίας . Αν η λαγκραντζιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, οπότε είναι σταθερά της κίνησης και έχομε αυτόνομο μηχανικό σύστημα, τότε οι καμπύλες στο χώρο ( , )q q δεν τέμνονται εκτός των σημείων ισορροπίας. δ) Στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό μπορεί να έχομε ως χώρο των καταστάσεων, το χώρο των φάσεων, δηλαδή τα σημεία ( , )q p , με διάσταση 2n . Γενικώς, για μη αυτόνομα

179

μηχανικά συστήματα, οι καμπύλες που περιγράφουν την πραγματική κίνηση σε αυτόν το χώρο μπορεί να τέμνονται, όμως δεν μπορούν να τέμνονται την ίδια χρονική στιγμή διότι τότε, με τις ίδιες αρχικές συνθήκες (θέσεων και συζυγών ορμών την ίδια αρχική χρονική στιγμή) θα είχαμε δυο διαφορετικές εξελίξεις του ίδιου μηχανικού συστήματος πράγμα που δεν γίνεται. Εξαίρεση αποτελούν τα σημεία ισορροπίας που αναφέραμε στην αρχή. Αν η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, οπότε είναι σταθερά της κίνησης και το σύστημα είναι αυτόνομο, τότε οι καμπύλες στο χώρο των φάσεων δεν τέμνονται εκτός των σημείων ισορροπίας. Οι καμπύλες στο χώρο των φάσεων λέγονται και φασικές καμπύλες ή φασικές τροχιές. ε) Ο χώρος κατάστασης-χρόνου αποτελείται από τα σημεία ( , , )q q t , άρα έχει διάσταση 2 1n . Αυτή η περίπτωση καλύπτεται από όσα αναφέραμε στο (γ). Οι καμπύλες δεν τέμνονται παρά μόνο σε σημεία ισορροπίας. ζ) Μπορούμε να αναφερόμαστε και στο χώρο ( , , )q p t . Η περίπτωση καλύπτεται από όσα είπαμε στο (δ). Οι καμπύλες δεν τέμνονται παρά μόνο σε σημεία ισορροπίας. Μπορούμε να κατανοήσομε με απλό τρόπο τι γίνεται σε ιδιάζοντα σημεία εξετάζοντας την ειδική περίπτωση του απλού εκκρεμούς παράγραφος 6.8. που ακολουθεί. Θα δούμε ότι στην περίπτωση του φασικού χώρου, αν το σύστημα βρίσκεται σε ιδιάζον σημείο, σημείο ισορροπίας, τότε παραμένει εκεί συνεχώς. Υπάρχουν τροχιές στο φασικό χώρο οι οποίες οριακά καθώς ο χρόνος τείνει στο ή στο τείνουν σε ιδιάζοντα σημεία. 9.8 Το απλό εκκρεμές στο χώρο των φάσεων. Έστω η περίπτωση του απλού εκκρεμούς του Σχ.(6.3). Η κίνηση θεωρείται στο επίπεδο και η μοναδική γενικευμένη συντεταγμένη είναι το . Η χαμιλτονιανή είναι

2

2 cos

2

pH mgl

ml . (9.68)

Το μηχανικό σύστημα είναι αυτόνομο, η χαμιλτονιανή διατηρείται κατά την κίνησή του. Οι εξισώσεις κίνησης του Hamilton είναι

2

, sinp

p mglml

. (9.69)

180

Σχήμα 9.3 Απλό εκκρεμές. Η χαμιλτονιανή είναι η ενέργεια του συστήματος και είναι σταθερή.

2

2 cos

2

pmgl E

ml . (9.70)

Από αυτή τη σχέση βρίσκομε

22 ( cos )p ml E mgl . (9.71)

Αν η ενέργεια έχει τιμές που να επαληθεύεται η σχέση E mgl (9.72) τότε θα έχομε για τη γωνία τον περιορισμό cos >0E mgl

ή cos >-E

mgl . (9.73)

Αυτό σημαίνει ότι για τέτοιες τιμές της ενέργειας η κίνηση θα περιορίζεται να έχει τέτοια που m m .

Όπου m0 arccos πE

mgl

. (9.74)

181

Η κίνηση θα παριστάνεται στο φασικό χώρο, στο Σχ.(6.4), με τις κλειστές φασικές καμπύλες της περιοχής Α. p

Σχήμα 9.4 Φασικές καμπύλες απλού εκκρεμούς. Το ιδιάζον σημείο Ο είναι σημείο (ευσταθούς) ισορροπίας, διότι για αυτό το σημείο ισχύουν 0, =0p (επομένως 0, E mgl E mgl ) και από τις εξισώσεις κίνησης

προκύπτει πράγματι η συνθήκη ισορροπίας, δηλαδή ότι 0, 0p . Η ολική μηχανική ενέργειά του είναι μόνο δυναμική ( )mgl και είναι η ελάχιστη ενέργεια που μπορεί να έχει. Το σωμάτιο βρίσκεται στο κατώτατο σημείο ακίνητο, οπότε ξέρομε ότι αυτή είναι και θέση ευσταθούς ισορροπίας. Αυτό είναι ένα μεμονωμένο σημείο από όπου δεν διέρχεται καμία τροχιά (φασική καμπύλη). Έστω ότι η ενέργεια είναι αρκετά μεγάλη, δηλαδή E mgl . (9.75) Σε αυτή την περίπτωση το μπορεί να είναι οποιοδήποτε και οι φασικές καμπύλες φαίνονται στην περιοχή Β του Σχ.(6.4). Τα βέλη δείχνουν πως διαγράφονται η καμπύλες με την εξέλιξη στο χρόνο. Για μια τιμή ενέργειας έχομε δυο καμπύλες μια πάνω από τον άξονα των και μια κάτω από αυτόν που διαγράφονται με αντίθετες φορές. Ειδική περίπτωση είναι αυτή για την ενέργεια ισχύει E mgl . (9.76) Αυτή είναι η περίπτωση που το εκκρεμές έχει τόση ενέργεια όση του χρειάζεται για να φτάσει οριακά στο ανώτατο σημείο της διαδρομής του. Η σχετική καμπύλη στο χώρο των φάσεων στο Σχ.(6.4) είναι η S. Αυτή χωρίζει το φασικό χώρο στις περιοχές Α και Β. Η καμπύλη S λέγεται διαχωριστική (separatrix). Η Εξ.(9.71) γράφεται για αυτή την περίπτωση

2 32 (1 cos )p m gl . (9.77)

182

Το πρόσημο + αντιστοιχεί στον άνω φασικό χώρο όπου 0p και το – στον κάτω φασικό χώρο όπου 0p . Από την πρώτη των Εξ.(9.69) βρίσκομε

2

(1 cos ) 2 cos2

g g

l l

. (9.78)

Άρα

0 +π+π

ln tan ln tan4 4

π.

gt

l

(9.79)

Τελικώς

0 π

4arctan exp tan π4

π.

gt

l

(9.80)

Η άνω διαχωριστική φασική καμπύλη, με 0p , καθώς t τείνει στο ιδιάζον σημείο (ασταθούς ισορροπίας) +π και καθώς t τείνει στο ιδιάζον σημείο (ασταθούς ισορροπίας) –π. Η κάτω διαχωριστική καμπύλη, με 0p , καθώς t τείνει στο –π και καθώς t τείνει στο +π. Επειδή η μεταβλητή είναι περιοδική με περίοδο 2π, μπορούμε να απεικονίσομε το χώρο των φάσεων στην επιφάνεια κυλίνδρου όπως στο Σχ.(6.5).

183

Σχήμα (9.5) Κυλινδρική απεικόνιση του χώρου των φάσεων απλού εκκρεμούς. Τώρα τα σημεία +π και –π συμπίπτουν. Είναι φανερό ότι στην περιοχή Α έχομε ταλάντωση, στην περιοχή Β έχομε περιστροφική κίνηση, ουσιαστικά και τα δυο είδη είναι κλειστές τροχιές. Για την τιμή της ενέργειας της διαχωριστικής καμπύλης έχομε ουσιαστικά τρεις κινήσεις μια στο κάτω τμήμα όπου η διαδρομή στο χρόνο είναι από +π προς –π, μια στο άνω τμήμα όπου η κίνηση είναι από –π προς +π και μια που είναι ισορροπία στο +π ή (ισοδύναμα) στο –π. 10. ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Η χρήση των κανονικών εξισώσεων οδηγεί σε εύκολη λύση προβλημάτων στα οποία η χαμιλτονιανή είναι σταθερά της κίνησης (δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο) και όλες οι συντεταγμένες είναι αγνοήσιμες. Τότε έχομε ( , )H H q p σταθερά της κίνησης

, i ii i

H Hp q

q p

(10.1)

i ip =σταθερό

1 2( , ,..., )nH H

Άρα θα έχομε

1 2( , ,..., )i i ni i

H Hq

p

. (10.2)

Επομένως τα i είναι σταθερά κατά την κίνηση και έχομε τις λύσεις (την κίνηση)

( )i i i iq q t t . (10.3)

Είναι ευνόητο ότι, στην περίπτωση της διατήρησης της χαμιλτονιανής, το ιδανικό θα ήταν να μπορούμε να βρούμε κατάλληλους μετασχηματισμούς οι οποίοι να μας οδηγήσουν σε περιγραφή με συντεταγμένες που να είναι όλες αγνοήσιμες. Αυτό δεν είναι εφικτό πάντοτε. Γενικώς, η αλλαγή γενικευμένων συντεταγμένων και γενικευμένων ορμών μπορεί να απλουστεύσει αρκετά το πρόβλημα.

184

Είναι γνωστό ότι οι μετασχηματισμοί σημείου (point transformations) ( , )i iQ Q q t

μετασχηματίζουν ένα σύστημα το οποίο αρχικά περιγράφεται με τις συντεταγμένες iq ,

να περιγράφεται με τις νέες συντεταγμένες iQ και ως προς αυτές τις συντεταγμένες

ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange. Οι εξισώσεις κίνησης κάθε συγκεκριμένου μηχανικού συστήματος ως προς Q είναι ίδιες με αυτές που προκύπτουν από τις εξισώσεις κίνησης του ίδιου συστήματος ως προς q αν οι τελευταίες μετασχηματιστουν με τον ανωτέρω μετασχηματισμό. Η λαγκραντζιανή είναι η ίδια με την έννοια ότι οι αρχικές μεταβλητές της έχουν μετασχηματιστεί σύμφωνα με τον ανωτέρω μετασχηματισμό με απλή αντικατάσταση. Οι σημειακοί μετασχηματισμοί δρουν στο θεσικό χώρο. Στην περίπτωση των εξισώσεων του Hamilton (κανονικές εξισώσεις), θέλομε να βρούμε γενικότερους μετασχηματισμούς, ( , , ), ( , , )i i i iQ Q q p t P P q p t , που να μετασχηματίζουν τις

συντεταγμένες του φασικού χώρου ,q p σε αντίστοιχες ,Q P και οποιαδήποτε χαμιλτονιανή από ( , , )H q p t να μπορεί να μετασχηματιστεί κατάλληλα (όχι κατ ανάγκη με απλή αντικατάσταση) σε κάποιαν άλλη χαμιλτονιανή ( , , )K Q P t και να ισχύουν για αυτά τα μετασχηματισμένα μεγέθη του μηχανικού συστήματος, οι αντίστοιχες κανονικές εξισώσεις κίνησης. Οι μετασχηματισμοί που έχουν αυτή την ιδιότητα, ορίζονται ως κανονικοί μετασχηματισμοί (canonical transformations), ή μετασχηματισμοί επαφής (contact transformations). Πρέπει να τονίσομε ότι ένας μετασχηματισμός για να είναι κανονικός πρέπει να συμπεριφέρεται ως τέτοιος για κάθε μηχανικό σύστημα του οποίου η χαμιλτονιανή είναι συνάρτηση των μεταβλητών , ,q p t του μετασχηματισμού. Αν συμπεριφέρεται σαν κανονικός για ορισμένες μόνο χαμιλτονιανές τότε δεν είναι κανονικός μετασχηματισμός. Δηλαδή ο κανονικός μετασχηματισμός δεν εξαρτάται από συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα. Για τους κανονικούς μετασχηματισμούς θα έχομε

,

( , , ), ( , , )

( , , ) ( , , )

, .

i ii i

i i i i

i ii i

H Hq p

p q

Q Q q p t P P q p t

H q p t K Q P t

K KQ P

P Q

(10.4)

Μετασχηματισμοί του τύπου ( , ), ( , )i i i iQ Q q t P P q t λέγονται διευρυμένοι

μετασχηματισμοί σημείου (extended point transformations). Για να ισχύουν οι κανονικές εξισώσεις για συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα, πρέπει πριν και μετά το μετασχηματισμό να ισχύει η αρχή του Hamilton, δηλαδή

185

2 2

1 11 1

δ ( , , ) d δ ( , , ) d 0t tn n

i i i ii it t

p q H q p t t p q H q p t t

(10.5)

2 2

1 11 1

δ ( , , ) d δ ( , , ) d 0.t tn n

i i i ii it t

PQ K Q P t t PQ K Q P t t

(10.6).

Ας υποθέσομε ότι για το αρχικό σύστημα ισχύει η Εξ. (10.5) και επομένως οι αντίστοιχες εξισώσεις του Hamilton. Είναι ευνόητο ότι οι εξισώσεις του Hamilton που θα προκύψουν δεν αλλάζουν αν η παρένθεση του ολοκληρώματος πολλαπλασιαστεί επί μια σταθερά έστω . Επίσης είναι γνωστό από τη θεωρία μεταβολών ότι οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι οι ίδιες αν προστεθεί στην υπό ολοκλήρωση ποσότητα η ολική παράγωγος ως προς το χρόνο κάποιας αυθαίρετης συνάρτησης των ανεξάρτητων μεταβλητών (εδώ του χώρου των φάσεων, δηλαδή γενικευμένων συντεταγμένων και γενικευμένων ορμών) και του χρόνου. Αυτά σημαίνουν ότι αν θεωρήσομε ότι ισχύει η Εξ. (10.7)

1 1

d( , , ) ( , , )

d

n n

i i i ii i

Fp q H q p t PQ K Q P t

t

(10.7)

θα ισχύει και η Εξ. (10.6), επομένως για τις μετασχηματισμένες μεταβλητές ,Q P θα ισχύουν οι μετασχηματισμένες εξισώσεις του Hamilton. Μπορούμε αρχικά να θεωρήσομε την F ως συνάρτηση μόνο των νέων μεταβλητών και του χρόνου ή μόνο των αρχικών μεταβλητών και του χρόνου. Αυτό είναι ευνόητο διότι ο όρος που την περιέχει μπορεί να μεταβεί από το δεύτερο στο πρώτο μέλος, να προστεθεί ή να αφαιρεθεί χωρίς να αλλάξουν οι εξισώσεις χάμιλτον. Θα δούμε παρακάτω ότι αν ισχύουν κατάλληλες προϋποθέσεις και άλλοι συνδυασμοί 2n μεταβλητών μαζί με το χρόνο αποτελούν ανεξάρτητες μεταβλητές και όλα τα μεγέθη μπορούν να εκφραστούν ως προς αυτές. Η F η οποία λέγεται γεννήτρια συνάρτηση στην πραγματικότητα μπορεί να συνδέεται με μια γεννήτρια συνάρτηση gF η οποία με τη διαδικασία που θα δούμε παρακάτω γεννά

κανονικό μετασχηματισμό. Η gF πρέπει να είναι συνάρτηση n αρχικών και n τελικών

μεταβλητών και γενικώς και του χρόνου για να μπορεί να συνδέσει τις αρχικές με τις μετασχηματισμένες μεταβλητές. Στα άκρα της ολοκλήρωσης θα ισχύουν

1 2 1 2

1 2 1 2

δ ( )=δ ( )=δ ( )=δ ( )=0

δ ( )=δ ( )=δ ( )=δ ( )=0.

q t q t p t p t

Q t Q t P t P t (10.8)

Αυτό χρειάζεται για να πάρομε από τη διαδικασία παραλλαγών τις εξισώσεις Hamilton. Η σταθερά μπορεί να σχετιστεί με αυτό που λέμε μετασχηματισμό κλίμακας (scale transformation). Θα δούμε ότι μπορούμε να εξετάσομε την περίπτωση με 1 χωρίς να χαθεί η γενικότητα. Μετασχηματισμός κλίμακας είναι αυτός που μετασχηματίζει τις συντεταγμένες του φασικού χώρου ως εξής, , i i i iq q p p

186

για παράδειγμα, αλλάζοντας τις μονάδες μέτρησής τους. Ας εφαρμόσομε αυτό το μετασχηματισμό στις εξισώσεις Hamilton. Ας κάνομε απλή αντικατάσταση των μεταβλητών για να πάρομε μια νέα χαμιλτονιανή από την αρχική, τότε θα έχομε τη χαμιλτονιανή εκφρασμένη συναρτήσει των ,i iq p , δηλαδή

( ), ( ),H H q q p p t .

Έχομε τις σχέσεις

( , , ) ( , , ),

( ), ( ), , , ( )

( ), ( ), , , ( ).

i ii i

i i i i

i i i

i i i

i i i

H q p t H q p tq p

p q

H q q p p t H q p t p p q q

p p p

H q q p p t H q p t q q p

q q q

Αυτές δεν οδηγούν ακριβώς σε εξισώσεις χάμιλτον. Όμως αν πάρομε ως μετασχηματισμένη χαμιλτονιανή την ( , , ) ( ), ( )H q p t H q q p p , θα έχομε

, i ii i

H Hq p

p q

Δηλαδή προκύπτουν εξισώσεις χάμιλτον. Επομένως προκύπτει ότι αν υποθέσομε ότι

1 1

n n

i i i ii i

p q H PQ H

και επίσης θέσομε , βρίσκομε την Εξ.(10.7) με 0F . Αυτά σημαίνουν ότι μπορούμε πάντα να κάνομε ενδιάμεσα κατάλληλο μετασχηματισμό κλίμακας έτσι που το να πολλαπλασιαστεί επί το 1/ ώστε να καταλήξομε στο ότι η Εξ.(10.7) να γίνει τελικώς, μετά από αναδιάταξη των όρων, όπως φαίνεται στις Εξ.(10.9), (10.10) με 1 .

1 1

d d ( , , ) ( , , ) d d .n n

i i i ii i

p q P Q K Q P t H q p t t F

(10.9)

187

1 1

d( , , ) ( , , )

d

n n

i i i ii i

Fp q PQ K Q P t H q p t

t

. (10.10)

Οι μετασχηματισμοί που ικανοποιούν αυτή τη σχέση με τις παραγώγους ή τα διαφορικά είναι κανονικοί μετασχηματισμοί και επομένως οδηγούν σε κανονικές εξισώσεις κίνησης στο μετασχηματισμένο χώρο των φάσεων. Ο μετασχηματισμός με 1 λέγεται διευρυμένος κανονικός μετασχηματισμός (extended canonical transformation). Για 1 έχομε (απλό) κανονικό μετασχηματισμό. Επειδή, εκτός των άλλων, υπάρχει η απαίτηση οι κανονικοί μετασχηματισμοί να διατηρούν τις αγγύλες poisson (που θα δούμε παρακάτω) δεν θεωρούμε ως κανονικούς μετασχηματισμούς τους διευρυμένους διότι δεν τις διατηρούν. Αν δεν υπάρχει ο χρόνος στο μετασχηματισμό, οπότε ( , ), ( , )i i i iQ Q q p P P q p , τότε

λέμε ότι έχομε περιορισμένο κανονικό μετασχηματισμό. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι πλήθους 2n . Οι Εξ.(10.9), (10.10) ισχύουν για κάθε κανονικό μετασχηματισμό όταν όλα έχουν εκφραστεί ως συναρτήσεις των 2n παλιών συντεταγμένων και του χρόνου , ,q p t ή των 2n «νέων» συντεταγμένων και του χρόνου , ,Q P t . Δηλαδή ισχύουν πάντοτε όταν μεταβλητές είναι μόνο οι παλιές και ο χρόνος ή μόνο οι νέες και ο χρόνος. Αυτό γίνεται διότι σε κάθε κανονικό μετασχηματισμό οι παλιές μεταβλητές είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες και το ίδιο ισχύει για τις νέες μεταβλητές. Έχομε επομένως πάντοτε τις σχέσεις

1 1

1 1

d ( , , )d ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ) ( , , ) d

d ( , , )

( , , )d ( , , ) d ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ) d

d ( , , ), ( , , ), =d ( , , ).

n n

i i i ii i

n n

i i i ii i

p q P q p t Q q p t K Q q p t P q p t t H q p t t

F q p t

p Q P t q Q P t P Q K Q P t H q Q P t p Q P t t t

F q Q P t p Q P t t F Q P t

(10.11)

Ουσιαστικά οι Εξ.(10.9), (10.10) και (10.11) λένε ότι το πρώτο τους μέλος είναι ολική παράγωγος ή ολικό διαφορικό ως προς το χρόνο κάποιας συνάρτησης F των αρχικών ή των τελικών συντεταγμένων και γενικώς και του χρόνου. Από αυτές τις σχέσεις μπορούμε με δεδομένο τον κανονικό μετασχηματισμό να βρούμε την ( , , )F q p t ή την ( , , )F Q P t . Τις σχέσεις (10.9), (10.10) μπορούμε να τις γράψομε ως προς μεταβλητές οποιοδήποτε συνδυασμό 2n παλιών και νέων συντεταγμένων και ορμών (μαζί με το χρόνο) αρκεί αυτές να είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Το αν ένας τέτοιος συνδυασμός αποτελείται από ανεξάρτητες μεταβλητές εξαρτάται από το συγκεκριμένο κανονικό μετασχηματισμό, γενικώς δεν είναι όλοι οι συνδυασμοί, συνδυασμοί ανεξάρτητων μεταβλητών. Θα δούμε ότι ο αντίστροφος ενός κανονικού μετασχηματισμού είναι κανονικός μετασχηματισμός . Το ότι αν υπάρχει ο αντίστροφος είναι και αυτός κανονικός μετασχηματισμός, προκύπτει εύκολα διότι για τον αντίστροφο μετασχηματισμό, όπου από , ,Q P t (αρχικές μεταβλητές, K αρχική χαμιλτονιανή) πάμε στις , ,q p t (που τώρα είναι οι τελικές μεταβλητές, H η τελική χαμιλτονιανή), βρίσκομε από τη δεύτερη από τις Εξ.(10.11) ότι ισχύει η ίδια

188

σχέση που ισχύει για τον προηγούμενο μετασχηματισμό με τη διαφορά ότι η F γίνεται F , δηλαδή

1 1

d ( , , )d ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ) ( , , ) d

d ( , , ) .

n n

i i i ii i

P Q p Q P t q Q P t H q Q P t p Q P t t K Q P t t

F Q P t

Στη συνέχεια θα βρούμε πως φτιάχνομε κανονικούς μετασχηματισμούς χρησιμοποιώντας μια γεννήτρια συνάρτηση gF η οποία σχετίζεται με την F και, όπως είπαμε, είναι

συνάρτηση n παλαιών και n νέων μεταβλητών και ίσως και του χρόνου που όλες είναι 2 1n ανεξάρτητες μεταβλητές. Αντιστρόφως, θα δούμε πως από έναν κανονικό μετασχηματισμό μπορούμε να βρούμε μια γεννήτρια συνάρτηση gF . Όπως ήδη

αναφέραμε, το κάθε συγκεκριμένο πρόβλημα μπορεί να περιορίζει την επιλογή των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν για παράδειγμα έχομε μετασχηματισμό με Q q είναι ευνόητο ότι δε μπορούμε να έχομε ανεξάρτητες μεταβλητές τα , ,q Q t γιατί τα ,q Q δεν είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τα κριτήρια περί ανεξαρτησίας των συνδυασμών μεταβλητών θα φανούν καλύτερα, αργότερα. Θα δούμε ότι αν ο μετασχηματισμός εξαρτάται άμεσα από το χρόνο τότε και η γεννήτρια συνάρτηση εξαρτάται άμεσα από το χρόνο και η χαμιλτονιανή δε διατηρεί τη μορφή της κατά το μετασχηματισμό. Ακριβέστερα, δε μπορεί να προκύψει από την παλιά με απλή αντικατάσταση των σχέσεων που συνδέουν τις παλιές και τις νέες μεταβλητές. Με αυτή την έννοια δεν είναι αναλλοίωτη στη μορφή. Είναι ενδιαφέρον να εξετάσομε τις παρακάτω ειδικές κατηγορίες βασικών μετασχηματισμών όπου θα έχομε γεννήτριες συναρτήσεις των 2n ανεξάρτητων μεταβλητών της μορφής 1 2 3 4( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ).F q Q t F q P t F p Q t F p P t

Ξανατονίζομε ότι πάντοτε στις γεννήτριες συναρτήσεις gF πρέπει να υπάρχει ανάμειξη

αρχικών και τελικών συντεταγμένων εφόσον ενδιαφερόμαστε να δημιουργήσομε από τη γεννήτρια συνάρτηση μετασχηματισμούς οι οποίοι εξ ορισμού συνδέουν τις αρχικές με τις τελικές συντεταγμένες. Επομένως, οι συναρτήσεις ( , , )F q p t , ( , , )F Q P t που αναφέραμε στα προηγούμενα και περιέχουν μόνο παλιές ή μόνο νέες συντεταγμένες και ορμές, δε μπορούν να χρησιμοποιηθούν αυτούσιες ως γεννήτριες συναρτήσεις, μπορούν όμως να μετατραπούν σε γεννήτριες συναρτήσεις κάνοντας χρήση της διαδικασίας που θα ακολουθήσομε παρακάτω. Σε όλα που ακολουθούν μπορεί κανείς να χρησιμοποιεί την Εξ.(10.9) ή την Εξ.(10.10), θα χρησιμοποιούμε σε όλες τις περιπτώσεις την Εξ.(10.9). 1. Περίπτωση 1 ( , , )F q Q t .

Ας υποθέσομε ότι τα ,i iq Q είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.

Ξεκινούμε από την Εξ.(10.9) που έχει τη μορφή

1 1

d d ( , , ) ( , , ) d d ( , , ).n n

i i i ii i

p q P Q K Q P t H q p t t F q p t

Το γεγονός ότι τα ,q Q είναι ανεξάρτητα σημαίνει ότι οι άλλες μεταβλητές μπορούν να εκφραστούν ως προς αυτές, δηλαδή

189

( , , ), ( , , )i i i ip p q Q t P P q Q t .

Επομένως έχομε

1 1

( , , )d ( , , )d , ( , , ), , ( , , ), d

d , ( , , ), d , ,

n n

i i i ii i

p q Q t q P q Q t Q K Q P q Q t t H q p q Q t t t

F q p q Q t t F q Q t

(10.12)

Γράφομε d , ( , , ), d , ,F q p q Q t t F q Q t και εννοούμε ότι έχομε απλή αντικατάσταση

χωρίς να προστεθεί κάποιος άλλος όρος. Με αυτή την έννοια λέμε ότι δεν «αλλοιώνεται» η μορφή της F , το σωστότερο είναι ότι έχει το ίδιο μέγεθος στα αντίστοιχα σημεία. Έχομε

1 1 1

1 1

d ( , , ) d d dn n

i ii ii i

F F FF q Q t q Q t

q Q t

.

Επομένως

1 1

1 1

( , , )d ( , , )d , ( , , ), , ( , , ), d

d d d

n n

i i i ii i

n n

i ii ii i

p q Q t q P q Q t Q K Q P q Q t t H q p q Q t t t

F F Fq Q t

q Q t

(10.13)

Θέτομε 1( , , ) ( , ( , , ), ) ( , , )F q Q t F q p q Q t t F q Q t .

Η ανεξαρτησία των διαφορικών οδηγεί στις δυο πρώτες από τις παρακάτω σχέσεις

1 1

1

( , , ) ( , , ),

( , , ), ,( , , ) ( , , ), ( , , ), .

i ii i

F q Q t F q Q tp P

q Q

F q Q P t Q tK Q P t H q Q P t p Q P t t

t

(10.14)

Η τελευταία από αυτές τις σχέσεις δίνει τη μετασχηματισμένη χαμιλτονιανή. Παρατηρούμε ότι δεν είναι αναγκαίο το ενδιάμεσο βήμα στην Εξ.(10.13) της αντικατάστασης των P και p στα K και H .

Στην περίπτωση 1F μπορούμε κατά κάποιο τρόπο να ταυτίσομε τη συνάρτηση F με την

1F .

Από τις σχέσεις της Εξ. (10.14) με δεδομένη την 1( , , )F q Q t και εφόσον ισχύει η παρακάτω

Εξ.(10.17) βρίσκομε τις εξισώσεις του κανονικού μετασχηματισμού ως εξής: Λύνομε τις 2n πρώτες εξισώσεις ως προς τα ,i iQ P οπότε βρίσκομε τον κανονικό μετασχηματισμό

( , , ), ( , , )i i i iQ Q q p t P P q p t . Για να γίνει αυτό πρέπει να μπορούν να αντιστραφούν οι

πρώτες από τις Εξ.(10.14) για να πάρομε τις ( , , )i iQ Q q p t . Στη συνέχεια

αντικαθιστούμε στις δεύτερες από τις Εξ.(10.14) και βρίσκομε τις ( , , )i iP P q p t . Οι

πρώτες των Εξ.(10.14) είναι της μορφής ( , , )i ip p q Q t , επομένως για

να μπορούν να αντιστραφούν και να δώσουν τα ( , , )i iQ Q q p t πρέπει να ισχύει για την

ιακωβιανή ορίζουσα

190

0i

j

p

Q

. (10.15)

Θυμίζομε ότι χρησιμοποιούμε το σύμβολο για να δηλώσομε μια μήτρα και στην

περίπτωση ορθογώνιας μήτρας την αντίστοιχη ορίζουσα με το σύμβολο . Εδώ θα

έχομε δισδιάστατες περιπτώσεις. Τα στοιχεία τους στη γνωστή δισδιάστατη απεικόνιση συμβολίζονται με ijA όπου ο “πρώτος” δείκτης i παριστάνει σειρά και ο “δεύτερος” j

στήλη. Στην περίπτωση της Εξ.(10.15) ο “πάνω” δείκτης παριστάνει γραμμή και ο

“κάτω” στήλη, δηλαδή iij

j

pA

Q

. Αυτό θα ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις πο θα

ακολουθήσουν. Επίσης θυμίζομε ότι όταν έχομε ανώτερες παραγώγους

Έχομε το συμβολισμό 1 2 ...

1 1...k

k

x x xk k

YY

x x x

. Πρώτα υπολογίζεται η παράγωγος ως

προς 1x μετά ως προς 2x κοκ μέχρι την τελευταια ως προς kx .

Αν έχομε την απλή περίπτωση δισδιάστατης μήτρας ή ορίζουσας με ανεξάρτητες μεταβλητές 1 2 1 2( , ,..., ) και ( , ,..., )n nq q q q p p p p αν οι δεύτερες παράγωγοι του τύπου

2

i jq pj i

YY

p q

είναι στοιχεία μήτρας ή ορίζουσας τότε τα i δηλώνουν τις αντίστοιχες σειρές και τα j τις αντίστοιχες στήλες στη γνωστή αναπαράσταση. Οι πρώτες από τις Εξ.(10.14) σε συνδυασμό με την Εξ.(10.15) οδηγούν στην

2

1( , , )i

j j i

p F q Q t

Q Q q

. (10.16)

Επομένως πρέπει να ισχύει για τη hessian (χεσιανή) ορίζουσα

2

1( , , )0.

j i

F q Q t

Q q

. (10.17)

Μπορούμε να δείξομε άμεσα ότι υπάρχει και ο αντίστροφος μετασχηματισμός. Πράγματι, αντιστρέφοντας τις δεύτερες από τις Εξ.(10.14) βρίσκομε τα ( , , )i iq q Q P t . Για να

γίνεται αυτό πρέπει να ισχύει

0i

j

P

q

. (10.18)

Με τη βοήθεια των δεύτερων από τις Εξ.(10.14) βρίσκομε ότι αυτό είναι αλήθεια αφού ισχύει η Εξ.(10.17), οπότε

191

2

1( , , )0.i

j j i

P F q Q t

q q Q

(10.19)

Επομένως ισχύει η Εξ.(10.18) και έτσι η αντιστροφή γίνεται. Αντικαθιστώντας τα

( , , )i iq q Q P t στις πρώτες σχέσεις των Εξ.(10.14) βρίσκομε τα ( , , )i ip p Q P t . Θα

δούμε παρακάτω ότι και αυτός, αφού είναι ο αντίστροφος, είναι κανονικός μετασχηματισμός. Στη συνέχεια βρίσκομε από την τελευταία των Εξ.(10.14) τη νέα χαμιλτονιανή. Προσοχή ! σε αυτή τη σχέση πρώτα κάνομε τη μερική παραγώγιση της 1( , , )F q Q t ως

προς το χρόνο και κατόπιν αντικαθιστούμε τις εκφράσεις ( , , )iq Q P t , ( , , )ip Q P t οπότε

βρίσκομε τη νέα χαμιλτονιανή ( , , )K Q P t . Προφανώς η νέα χαμιλτονιανή, όταν υπάρχει η άμεση εξάρτηση από το χρόνο, δεν βρίσκεται με απλή αντικατάσταση των νέων μεταβλητών συναρτήσει των παλιών στην αρχική ( , , )H q p t . Πρέπει να τονιστεί ότι αν

δεν ισχύει η Εξ.(10.15) και επομένως και η Εξ.(10.17), η δεδομένη 1( , , )F q Q t δεν είναι

γεννήτρια συνάρτηση κανονικού μετασχηματισμού. Αν είναι γνωστός ο κανονικός μετασχηματισμός μπορούμε να ελέγξομε αν μπορεί να υπάρχει γεννήτρια συνάρτηση του μετασχηματισμού τύπου 1( , , )F q Q t όπως φαίνεται

παρακάτω. Είδαμε ότι η 1( , , )F q Q t βρίσκεται από τη σχέση

1( , , ) , ( , , ),F q Q t F q p q Q t t

όπου έχει γίνει αντικατάσταση του p ως συνάρτησης των , ,q Q t . Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μπορεί να λυθεί η σχέση μετασχηματισμού ( , , )Q Q q p t ως προς p οπότε θα έχομε το ( , , )p p q Q t . Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει η σχετική ιακωβιανή ορίζουσα να μην είναι μηδέν, δηλαδή

0.i

j

Q

p

2. Περίπτωση 2 ( , , )F q P t .

Ας υποθέσομε ότι τα ,q P είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι όλα μπορούν να γίνουν συναρτήσεις των , ,q P t . Θα δούμε ότι σε αυτή την περίπτωση η γεννήτρια συνάρτηση δε μπορεί να ταυτιστεί με την F , με την έννοια της απλής αντικατάστασης μεταβλητών όπως κάναμε στην περίπτωση 1F . Πρέπει να δούμε πώς να

μετασχηματίσομε την Εξ.(10.9) ώστε στο πρώτο μέλος να υπάρχουν μόνο διαφορικά των ,q P και στο δεύτερο μέλος η 2 ( , , )F q P t .

Ξεκινούμε και πάλι από την Εξ.(10.9).

1 1

d d ( , , ) ( , , ) d d ( , , ).n n

i i i ii i

p q P Q K Q P t H q p t t F q p t

Εφόσον τα ,q P είναι ανεξάρτητα θα μπορούμε να έχομε τις σχέσεις

192

( , , ), ( , , ).i i i ip p q P t Q Q q P t (10.20)

Επομένως

1 1

( , , )d d ( , , ) ( , , ), , , ( , , ), d

d , ( , , ), d , , .

n n

i i i ii i

p q P t q P Q q P t K Q q P t P t H q p q P t t t

F q p q P t t F q P t

(10.21)

Ισχύουν οι σχέσεις

1 1

1 1

d ( , , ) d d d

d ( , , ) d d d .

n ni i i

i j jj jj j

n n

j jj jj j

Q Q QQ q P t q P t

q P t

F F FF q P t q P t

q P t

(10.22)

Επομένως μετά από αλλαγή του ονόματος των δεικτών και λαμβάνοντας υπόψη ότι τα

,q P είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα βρίσκομε

1 1 1 1 1 1

1 1

( ) ( ) ( )( , , )d d d d

( , , ), , , ( , , ), d d d d .

n n n n n nj j j j j j

i i i ii i j i j ji i

n n

i ii ii i

P Q P Q P Qp q P t q q P t

q P t

F F FK Q q P t P t H q p q P t t t q P t

q P t

(10.23)

Μεταφέρομε τους όρους 2,3,4 στο δεύτερο μέλος και εφόσον και το t είναι ανεξάρτητη μεταβλητή έχομε

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

( ) ( ) ( )( , , )d d d d

( , , ), , , ( , , ), d

d d d .

n n n n n nj j j j j j

i i i ii i j i j ji i

n n n

j j j j j jn nj j j

i ii ii i

P Q P Q P Qp q P t q q P t

q P t

K Q q P t P t H q p q P t t t

F P Q F P Q F P Q

q P tq P t

(10.24)

Θέτομε

21

( , , ) , ( , , ), ( , , )n

j jj

F q P t F q p q P t t P Q q P t

.(10.25)

Ένεκα της ανεξαρτησίας των d ,d ,dq P t καταλήγομε στις σχέσεις

2 2

2

( , , ) ( , , ),

( ( , , ), , )( , , ) ( , , ), ( , , ), .

i ii i

F q P t F q P tp Q

q P

F q Q P t P tK Q P t H q Q P t p Q P t t

t

(10.26)

193

Η παραπάνω λεπτομερής διαδικασία μας οδηγεί στο να ακολουθήσομε την παρακάτω κάπως απλουστευμένη πορεία για να βρούμε τις Εξ.(10.26). Εννοείται και πάλι ότι όλα τα μεγέθη είναι συναρτήσεις των , ,q P t παρόλο που πολλές φορές δεν το γράφομε. Προσθέτομε και στα δυο μέλη της Εξ.(10.9) το ολικό διαφορικό

=1 =1 =1

d d dn n n

i i i i i ii i i

PQ P Q Q P .

Έτσι έχομε

1 1 =1

d d ( , , ) ( , , ) d dn n n

i i i i i ii i i

p q Q P K Q P t H q p t t F PQ

.

Θέτομε

21

( , , ) ( , , )n

i ii

F q P t F q P t PQ

.

Προφανώς τώρα έχομε

21 1

d d ( , , ) ( , , ) d d ( , , ).n n

i i i ii i

p q Q P K Q P t H q p t t F q P t

Από αυτή τη σχέση αναπτύσσοντας το ολικό διαφορικό της 2 ( , , )F q P t καταλήγομε στη

σχέση

2 2 2

1 1 1 1

2 2 2

1 1

d d ( , , )d ( , , )d d d d

d d ( , , ) ( , , ) d 0.

n n n n

i i i i i ii i i ii i

n n

i i i ii ii i

F F Fp q Q P H q p t t K Q P t t q P t

q P t

F F Fp q Q P K Q P t H q p t t

q P t

Εφόσον τα d ,d ,di iq P t είναι ανεξάρτητα οι παρενθέσεις είναι η καθεμιά ίση με μηδέν,

άρα έχομε πάλι την Εξ.(10.26). Για να βρούμε τις σχέσεις μετασχηματισμού ( , , )i iP P q p t πρέπει να μπορούν να

αντιστραφούν οι πρώτες των Εξ.(10.26). Γι’ αυτό πρέπει η ιακωβιανή ορίζουσα να είναι μη μηδενική, δηλαδή

0.i

j

p

P

(10.27)

Επομένως αφού ισχύει

194

2

2 ( , , )i

j j i

p F q P t

P P q

. (10.28)

για να είναι γεννήτρια κανονικού μετασχηματισμού η δεδομένη συνάρτηση τύπου

2 ( , , )F q P t πρέπει η χεσιανή ορίζουσα να μην είναι μηδενική, δηλαδή

2

2 ( , , )0.

j i

F q P t

P q

(10.29)

Με ανάλογη συλλογιστική όπως στην περίπτωση της 1F σχηματίζομε τη νέα

χαμιλτονιανή ως προς τις μεταβλητές ,i iQ P και το χρόνο t .

Αν είναι γνωστός ο κανονικός μετασχηματισμός μπορούμε να ελέγξομε αν μπορεί να υπάρχει γεννήτρια συνάρτηση του μετασχηματισμού τύπου 2 ( , , )F q P t όπως φαίνεται

παρακάτω. Είδαμε ότι η 2 ( , , )F q P t βρίσκεται από τη σχέση

21

( , , ) , ( , , ), , ( , , ),n

i ii

F q P t F q p q P t t PQ q p q P t t

όπου έχει γίνει αντικατάσταση του p ως συνάρτησης των , ,q P t . Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μπορεί να λυθεί η σχέση μετασχηματισμού ( , , )P P q p t ως προς p οπότε θα έχομε το ( , , )p p q P t . Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει η σχετική ιακωβιανή ορίζουσα να μην είναι μηδέν, δηλαδή

0.i

j

P

p

3. Περίπτωση 3 ( , , )F p Q t .

Υποθέτομε ότι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι τα , ,p Q t . Μπορούμε να ακολουθήσομε την αναλυτική μεθοδολογία που ακολουθήσαμε στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις. Όμως θα προτιμήσομε την ανάλογη της δεύτερης απλοποιημένης διαδικασίας που ακολουθήσαμε στην περίπτωση 2F . Θα μετασχηματίσομε την Εξ.(10.9) ώστε στο πρώτο

μέλος να έχομε τα διαφορικά των ανεξάρτητων συντεταγμένων που είναι μάλιστα στη μορφή

1 1

d , d n n

i i i ii i

q p P Q . (10.30)

Προσθέτομε και στα δυο μέλη της Εξ.(10.9) το ολικό διαφορικό

195

1 1 1

d d dn n n

i i i i i ii i i

q p p q q p

. (10.31)

Έτσι βρίσκομε

1 1 =1

d d ( , , ) ( , , ) d dn n n

i i i i i ii i i

q p P Q K Q P t H q p t t F p q

. (10.32)

Θέτομε

31

( , , ) ( , , ), , ( , , )n

i ii

F p Q t F q p Q t p t q p Q t p

. (10.33)

Επομένως βρίσκομε

1 1

3

( , , )d ( , , )d , ( , , ), ( , , ) , , d

d ( , , ).

n n

i i i ii i

q p Q t p P p Q t Q K Q P p Q t t H q p Q t p t t

F p Q t

(10.34)

Αφού πάρομε το ολικό διαφορικό της 3 ( , , )F p Q t έχομε μετά από αναδιάταξη των όρων

3 3 3

1 1

d d d 0.n n

i i i ii ii i

F F Fq p P Q K H t

p Q t

(10.35)

Εφόσον τα d , d , di ip Q t είναι ανεξάρτητα καταλήγομε στις σχέσεις

3 3

3

( , , ) ( , , ),

( , , ), ,( , , ) ( , , ), ( , , ), .

i ii i

F p Q t F p Q tq P

p Q

F p Q P t Q tK Q P t H q Q P t p Q P t t

t

(10.36)

Τελικώς, με χειρισμούς όπως στις προηγούμενες περιπτώσεις, βρίσκομε τους μετασχηματισμούς που μας οδηγούν στις μετασχηματισμένες συντεταγμένες και την έκφραση της νέας χαμιλτονιανής. Για να προσδιορίζεται ο κανονικός μετασχηματισμός από τις Εξ.(10.36) πρέπει να αντιστρέφονται οι πρώτες από αυτές, άρα πρέπει η αντίστοιχη ιακωβιανή να είναι μη μηδενική, δηλαδή

0i

j

q

Q

. (10.37)

Όμως από αυτές τις ίδιες έχομε

196

2

3 ( , , ).i

j j i

q F p Q t

Q Q p

(10.38)

Επομένως για να είναι γεννήτρια η δεδομένη συνάρτηση τύπου 3 ( , , )F p Q t πρέπει να

ισχύει για τη χεσιανή

2

3 ( , , )0.

j i

F p Q t

Q p

(10.39)

Αν είναι γνωστός ο κανονικός μετασχηματισμός μπορούμε να ελέγξομε αν μπορεί να υπάρχει γεννήτρια συνάρτηση του μετασχηματισμού τύπου 3 ( , , )F p Q t όπως φαίνεται

παρακάτω. Είδαμε ότι η 3 ( , , )F p Q t βρίσκεται από τη σχέση

31

( , , ) ( , , ), , ( , , )n

i ii

F p Q t F q p Q t p t q p Q t p

όπου έχει γίνει αντικατάσταση του qως συνάρτησης των , ,p Q t . Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μπορεί να λυθεί η σχέση μετασχηματισμού ( , , )Q Q q p t ως προς q οπότε θα έχομε το ( , , )q q p Q t . Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει η σχετική ιακωβιανή ορίζουσα να μην είναι μηδέν, δηλαδή

0.i

j

Q

q

4. Περίπτωση 4 ( , , )F p P t .

Τώρα ανεξάρτητες μεταβλητές είναι τα , ,p P t . Ακολουθούμε την απλή διαδικασία. Ξεκινούμε από την Εξ.(10.9) και προσπαθούμε να έχομε στο πρώτο μέλος όρους με διαφορικά των ,p P που είναι μάλιστα της μορφής

1 1

d , d n n

i i i ii i

q p Q P . (10.40)

Προσθέτομε και στα δυο μέλη της Εξ.(10.9) το ολικό διαφορικό

1 1 1 1 1 1

d d d d d n n n n n n

i i i i i i i i i i i ii i i i i i

q p Q P q p p q Q P P Q

. (10.41)

Οπότε έχομε

1 1 1 1

d d ( , , ) ( , , ) d d .n n n n

i i i i i i i ii i i i

q p Q P K Q P t H q p t t F q p Q P

(10.42)

197

Θέτομε

41 1

( , , ) ( , , ), , ( , , ) ( , , ) n n

i i i ii i

F p P t F q p P t p t q p P t p Q p P t P

. (10.43)

Οπότε καταλήγομε στην

1 1

4

( , , )d ( , , )d

( , , ), , ( , , ), , d d ( , , ).

n n

i i i ii i

q p P t p Q p P t P

K Q p P t P t H q p P t p t t F p P t

(10.44)

Αναπτύσσομε το ολικό διαφορικό του δευτέρου μέλους και με την ανάλογη διαδικασία όπως και πριν καταλήγομε στις

4 4

4

( , , ) ( , , ),

( ( , , ), , )( , , ) ( , , ), ( , , .

i ii i

F p P t F p P tq Q

p P

F p Q P t P tK Q P t H q Q P t p Q P t

t

(10.45)

Από αυτές προσδιορίζομε τους μετασχηματισμούς που μας οδηγούν στις μετασχηματισμένες συντεταγμένες και στη νέα χαμιλτονιανή. Η σχέση που πρέπει να ισχύει ώστε η 4 ( , , )F p P t να είναι γεννήτρια κανονικού μετασχηματισμού προκύπτει από

την απαίτηση να αντιστρέφονται οι πρώτες από τις Εξ.(10.45) οπότε πρέπει

0.i

j

q

P

(10.46)

Από αυτές όμως έχομε ότι

2

4 ( , , ).i

j j i

q F p P t

P P p

(10.47)

Άρα πρέπει για τη δεδομένη 4 ( , , )F p P t να ισχύει

2

4 ( , , )0.

j i

F p P t

P p

.(10.48)

Αν είναι γνωστός ο κανονικός μετασχηματισμός μπορούμε να ελέγξομε αν μπορεί να υπάρχει γεννήτρια συνάρτηση του μετασχηματισμού τύπου 4 ( , , )F p P t όπως φαίνεται

παρακάτω. Είδαμε ότι η 4 ( , , )F p P t βρίσκεται από τη σχέση

198

41 1

( , , ) ( , , ), , ( , , ) ( , , ), ,n n

i i i ii i

F p P t F q p P t p t q p P t p Q q p P t p t P

όπου έχει γίνει αντικατάσταση του qως συνάρτησης των , ,p P t . Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μπορεί να λυθεί η σχέση μετασχηματισμού ( , , )P P q p t ως προς q οπότε θα έχομε το ( , , )q q p P t . Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει η σχετική ιακωβιανή ορίζουσα να μην είναι μηδέν, δηλαδή

0.i

j

P

q

Μπορεί κάποιος να μετασχηματίσει από μιαν οποιαδήποτε περίπτωση, αν υπάρχει, σε άλλη, αν υπάρχει, με απλό ή πολλαπλό μετασχηματισμό legendre. Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει να ισχύουν κατάλληλες προϋποθέσεις ύπαρξης του μετασχηματισμού legendre. Πολλοί κανονικοί μετασχηματισμοί δεν μπορούν να αναχθούν σε κάποια από τις παραπάνω απλές μορφές αλλά σε κάποια μικτή περίπτωση όπως η επόμενη. Θα δούμε παρακάτω ότι για κάθε κανονικό μετασχηματισμό υπάρχει πάντα κάποιου είδους γεννήτρια συνάρτηση. 5. Μικτή περίπτωση 23 23 1 2 2 1( , , , , )F F q p Q P t .

Μπορούμε να έχομε μικτές περιπτώσεις των ανωτέρω απλών μορφών γεννητριών συναρτήσεων. Δηλαδή, μπορεί μερικές μεταβλητές να ακολουθούν μια από τις ανωτέρω τέσσερις απλές μορφές και άλλες άλλη. Ως παράδειγμα ας δούμε την ακόλουθη απλή περίπτωση όπου έχομε (αρχικό) χώρο των φάσεων με συντεταγμένες

1 2 1 2( , ) ( , , , )q p q q p p και τελικό με 1 2 1 2( , ) ( , , , )Q P Q Q P P . Έστω ότι η γεννήτρια

συνάρτηση είναι της μορφής της Εξ.(10.49), με ανεξάρτητες μεταβλητές τα

1 1 2 2, , , ,q P p Q t .

23 1 1 2 2( , , , , )F q P p Q t . (10.49)

Αυτή είναι μεικτού τύπου 2F και 3F και γιαυτό συμβολίζεται ως 23F . Θα διατάξομε τις

εμπλεκόμενες μεταβλητές σε διάταξη παλιών και νέων γράφοντας τη γεννήτρια ως

23 23 1 2 2 1( , , , , )F F q p Q P t .

Ξεκινούμε και πάλι όπως πριν από την Εξ.(10.9) για 2n , δηλαδή την 1 1 2 2 1 1 2 2d d d d ( , , ) ( , , ) d dp q p q P Q P Q K Q P t H q p t t F . (10.50)

Εφαρμόζομε την απλή μεθοδολογία οπότε θα καταλήξομε να έχομε στο πρώτο μέρος μόνο διαφορικά της μορφής 1 1 2 2 1 1 2 2d , d , d , dp q q p Q P P Q . (10.51)

Για να το πετύχομε προσθέτομε και στα δυο μέλη της Εξ.(10.50) το ολικό διαφορικό

199

2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1d( ) d d d dq p PQ q p p q P Q Q P . (10.52)

Έτσι καταλήγομε στη σχέση

2 2 1 1 2 2 1 1

2 2 1 1

d d d d ( , , ) ( , , ) d

d .

q p p q P Q Q P K Q P t H q p t t

F q p PQ

.(10.53)

Θέτομε

23 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2

( , , , , ) , ( , , , , ), ( , , , , ), ,

( , , , , ) ( , , , , )

F q p Q P t F q q q p Q P t p q p Q P t p t

Q q p Q P t P q q p Q P t p

(10.54)

οπότε βρίσκομε τη σχέση

2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 1 23 1 2 2 1

, , , , d , , , , d , , , , d

, , , , d d d , , , , .

q q p Q P t p p q p Q P t q P q p Q P t Q

Q q p Q P t P K H t F q p Q P t

(10.55)

Για ευκολία στη γραφή δε γράφομε τις εξαρτήσεις των ,K H από τις ανεξάρτητες μεταβλητές. Αναπτύσσομε το ολικό διαφορικό του δευτέρου μέλους και τελικώς με ανάλογη όπως πριν διαδικασία καταλήγομε στις εξισώσεις που θα μας δώσουν τον κανονικό μετασχηματισμό, δηλαδή στις

23 1 2 2 1 23 1 2 2 11 1

1 1

23 1 2 2 1 23 1 2 2 12 2

2 2

23 1 2 2 1

, , , , , , , ,,

, , , , , , , ,,

, , , ,( , , ) ( , , ), ( , , ), .

F q p Q P t F q p Q P tp Q

q P

F q p Q P t F q p Q P tq P

p Q

F q p Q P tK Q P t H q Q P t p Q P t t

t

(10.56)

Αντιστρέφοντας την πρώτη και την τρίτη (μαζί ως σύστημα εξισώσεων) βρίσκομε τα

2 2 1 1( , , ), ( , , )Q Q q p t P P q p t και αντικαθιστώντας στις δεύτερη και τέταρτη βρίσκομε τα

1 1 2 2( , , ), ( . , )Q Q q p t P P q p t δηλαδή βρίσκομε όλες τις σχέσεις του κανονικού

μετασχηματισμού. Για να μπορούν να αντιστραφούν η πρώτη και η τρίτη μαζί, θεωρούμε ως διάταξη των μεταβλητών τη ,q p και ,Q P αντιστοίχως, οπότε πρέπει να ισχύει για την ιακωβιανή ορίζουσα

2 2

2 1

1 1

2 1

0.

q q

Q P

p p

Q P

(10.57)

Με χρήση της Εξ.(10.56) βρίσκομε ότι για τη χεσιανή ορίζουσα ισχύει

200

2 22 2 23 23

2 1 2 2 1 2

1 1 23 23

2 1 2 1 1 1

q q F FQ P Q p P p

p p F FQ P Q q P q

.(10.58)

Επομένως για να είναι η 23 1 1 2 2( , , , , )F q P p Q t γεννήτρια συνάρτηση πρέπει η χεσιαμνή

ορίζουσα να ειναι μη μηδενική, δηλαδή

2 223 23

2 2 1 2

23 23

2 1 1 1

0.

F F

Q p P p

F F

Q q P q

(10.59)

Ας δούμε τώρα τι πρέπει να ισχύει ώστε δεδομένος κανονικός μετασχηματισμός να είναι κανονικός μετασχηματισμός τύπου 23F και μάλιστα 23 1 2 2 1( , , , , )F q p Q P t .

Οι σχέσεις του δεδομένου μετασχηματισμού θα είναι

1 1 1 1 2 1 2

2 2 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 1 2

2 2 2 1 2 1 2

( , , ) ( , , , , )

( , , ) ( , , , , )

( , , ) ( , , , , )

( , , ) ( , , , , ).

Q Q q p t Q q q p p t

Q Q q p t Q q q p p t

P P q p t P q q p p t

P P q p t P q q p p t

Η 23 1 2 2 1( , , , , )F q p Q P t υπολογίζεται από τη σχέση (10.54) επομένως πρέπει να μπορεί να

λυθεί το σύστημα της δεύτερης και τρίτης σχέσης του δεδομένου μετασχηματισμού ως προς 2 1,q p ώστε να υπολογιστούν ως συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών. Έχομε

έτσι τα 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1( , , , , ), ( , , , , )q q q p Q P t p p q p Q P t . Αντικαθιστούμε αυτά τα μεγέθη

στην πρώτη και τέταρτη σχέση του μετασχηματισμού οπότε έχομε και τα

1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1( , , , , ), ( , , , , )Q Q q p Q P t P P q p Q P t , οπότε όλα μπορούν να εκφραστούν ως

προς τις ανεξάρτητες μεταβλητές. Για να γίνεται αυτό πρέπει να μπορεί να γίνει η λύση (αντιστροφή) της δεύτερης και τρίτης σχέσης ως προς 2 1,q p . Αυτό γίνεται αν η σχετική

ιακωβιανή ορίζουσα είναι μη μηδενική, δηλαδή πρέπει

201

2 2

2 1

1 1

2 1

0.

Q Q

q p

P P

q p

10.1 Εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης από τις εξισώσεις κανονικού μετασχηματισμού. Όταν δίνεται ένας μετασχηματισμός υπάρχουν κριτήρια που μας λένε αν είναι κανονικός ή όχι. Παρακάτω θα δούμε κριτήριο που βασίζεται στο συμπλεκτικό φορμαλισμό και κριτήρια που σχετίζονται με τις αγκύλες του Poisson και τις αγκύλες του Lagrange. Άλλο κριτήριο είναι η ύπαρξη γεννήτριας συνάρτησης όπως αναλύσαμε στα προηγούμενα. Ένα άλλο θα προκύψει από αυτά που θα αναπτύξομε παρακάτω. Οι διαδικασίες που περιγράψαμε μέχρι τώρα οδηγούν από δεδομένη γεννήτρια συνάρτηση σε κανονικούς μετασχηματισμούς. Μπορούμε όμως να κάνομε και το αντίστροφο, δηλαδή να δίνονται οι εξισώσεις κανονικού μετασχηματισμού ( , , ), ( , , )i i i iQ Q q p t P P q p t και να θέλομε να

βρούμε την gF . Η μέθοδος που μπορούμε να ακολουθήσομε είναι να αντιστρέψομε

κατάλληλα τις εξισώσεις μετασχηματισμού και να εκφράσομε τις υπόλοιπες μεταβλητές συναρτήσει αυτών που θέλομε να είναι οι ανεξάρτητες μεταβλητές και του χρόνου. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις κατάλληλες για την περίπτωση σχέσεις που συνδέουν τις μερικές παραγώγους της gF με μεταβλητές του χώρου των φάσεων πριν και μετά το

μετασχηματισμό. Αυτές μπορούμε, κατ’ αρχή, να τις ολοκληρώσομε και να βρούμε τη γεννήτρια συνάρτηση. Φυσικά η γεννήτρια συνάρτηση είναι απροσδιόριστη κατά μια προσθετική αυθαίρετη συνάρτηση μόνο του χρόνου. Είναι προφανές ότι, αφού υπεισέρχονται μόνο οι μερικές παράγωγοι της γεννήτριας συνάρτησης ως προς μεταβλητές του χώρου των φάσεων, οι εξισώσεις μετασχηματισμού δεν εξαρτώνται από αυτή την προσθετική συνάρτηση του χρόνου. Αυτό επηρεάζει μόνο τη μορφή της νέας χαμιλτονιανής αλλά κατά τρόπο που δεν επηρεάζει τις εξισώσεις κίνησης. Το ποια είναι δυνατόν να είναι η μορφή της g ( , , , , )F q Q p P t εξαρτάται από τις δυνατότητες

αντιστροφής που καθορίζουν ποιες μεταβλητές μπορεί να ληφθούν ως ανεξάρτητες. Αν η περίπτωση δεν εμπίπτει σε καμιά από τις απλές περιπτώσεις που αναφέραμε, τότε είναι κάποιο είδος μεικτής περίπτωσης και πρέπει να ακολουθήσομε ανάλογη διαδικασία όπως στην ανωτέρω μεικτή περίπτωση 5 για να βρούμε για τη συγκεκριμένη περίπτωση τις εξισώσεις με τις μερικές παραγώγους της gF . Έστω ο μετασχηματισμός

2 , Q p q P p t . (10.60) Αυτός είναι κανονικός μετασχηματισμός όπως μπορεί να ελεγχθεί με το κριτήριο των αγκυλών poisson που φαίνεται στο σχετικό κεφάλαιο παρακάτω, πράγματι [ , ] 1Q P . (10.61) Εφόσον έχομε μόνο δυο μεταβλητές είναι ευνόητο ότι η γεννήτρια συνάρτηση θα υπάγεται σε μια από τις απλές περιπτώσεις που αναφέραμε προηγουμένως, δηλαδή τις (1)

202

–(4). Πράγματι μπορεί να εφαρμοστεί η διαδικασία όπου g 1( , , )F F q Q t διότι η πρώτη

σχέση του μετασχηματισμού μπορεί να αντιστραφεί και να δώσει το ( , , )p p q Q t . Η γενική σχέση που πρέπει να ισχύει για να μπορεί να γίνεται αντιστροφή είναι ότι η

ορίζουσα της μήτρας( , , )i

j

Q q p t

p

να είναι διάφορος του μηδενός . Δηλαδή

( , , )

0i

j

Q q p t

p

. (10.62)

Στην περίπτωσή μας έχομε μόνο ένα στοιχείο μήτρας και πράγματι γενικώς ισχύει

2 0Q

pp

. (10.63)

Εξάλλου φαίνεται αμέσως ότι γίνεται η αντιστροφή της 2( , , )Q Q q p t p q (10.64) και δίνει

1/ 2p Q q . (10.65)

Προφανώς και το P μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των , ,q Q t . Πράγματι έχομε

1/ 2P p t Q q t . (10.66)

Χρησιμοποιούμε τις πρώτες σχέσεις της Εξ.(10.14) σε συνδυασμό με τις Εξ.(10.65), (10.66) και καταλήγομε στις

1/ 21

1/ 21

( , , )

( , , ).

F q Q tQ q

q

F q Q tQ q t

Q

(10.67)

Ολοκληρώνομε την πρώτη εξίσωση ως προς q , θεωρώντας τα ,Q t σταθερές παραμέτρους οπότε βρίσκομε

3/ 2

1

2( , , ) ( , )

3F q Q t Q q f Q t (10.68)

203

όπου η ( , )f Q t συνάρτηση που θα προσδιοριστεί. Ολοκληρώνομε τη δεύτερη εξίσωση από τις Εξ.(10.67) ως προς Q θεωρώντας τα ,q t σταθερές παραμέτρους οπότε βρίσκομε

3/ 2

1

2( , , ) ( , )

3F q Q t Q q tQ f q t . (10.69)

Για να παριστάνουν την ίδια συνάρτηση οι Εξ.(10.68) και (10.69) πρέπει να ισχύει

3/2 3/2

1

2 2( , , ) ( , ) ( , )

3 3F q Q t Q q f Q t Q q tQ f q t . (10.70)

Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να κάνομε την επιλογή ( , ) ( ), ( , ) ( )f Q t tQ f t f q t f t . (10.71) Άρα

3/ 2

1

2( , , ) ( )

3F q Q t Q q tQ f t . (10.72)

Μπορούμε να κάνομε και το αντίστροφο, δηλαδή να ξεκινήσομε από τη γεννήτρια της Εξ.(10.72) και να επαληθεύσομε ότι βρίσκομε πράγματι τον κανονικό μετασχηματισμό της Εξ.(10.60). Πράγματι

1/ 21

1/ 21

( , , )

( , , ).

F q Q tp Q q

q

F q Q tP Q q t

Q

(10.73)

Από αυτές προφανώς βρίσκομε τις Εξ.(10.60) 2 , Q p q P p t . Η άλλη δυνατότητα που έχομε είναι να επιχειρήσομε να βρούμε γεννήτρια συνάρτηση τύπου 2 ( , , )F q P t . Για να μπορούμε να έχομε ανεξάρτητες μεταβλητές τα

, ,q P t πρέπει να μπορούμε να κάνομε τις σχετικές αντιστροφές, άρα πρέπει

( , , )

0.i

j

P q p t

p

(10.74)

204

Αυτό ισχύει πράγματι διότι έχομε

1 0.P

p

(10.75)

Έχομε 2, ( )p P t Q P t q . (10.76) Ακόμη μπορούμε να βρούμε και γεννήτρια τύπου 3 ( , , )F p Q t . Αυτό γίνεται διότι

μπορούμε να αντιστρέψομε τις εξισώσεις μετασχηματισμού και να εκφράσομε τα ,q P συναρτήσει των ,p Q . Για να γίνεται τέτοια αντιστροφή πρέπει να ισχύει

( , , )

0i

j

Q q p t

q

. (10.77)

Στην περίπτωσή μας πράγματι ισχύει

1 0Q

q

. (10.78)

Έχομε από την αντιστροφή 2q Q p . (10.79) Χρησιμοποιούμε τις δυο τελευταίες από τις Εξ.(10.36) οπότε έχομε

23

3

( , , )

( , , ).

F p Q tq Q p

p

F p Q tP p t

Q

(10.80)

Ολοκληρώνομε ως προς p την πρώτη από τις Εξ.(10.80), θεωρώντας τα ,Q t σταθερές παραμέτρους και τη δεύτερη ως προς Q θεωρώντας τα ,p t σταθερές παραμέτρους οπότε βρίσκομε

205

3

3

3

1( , , ) ( , )

3( , , ) ( , ).

F p Q t Qp p f Q t

F p Q t Qp Qt f p t

(10.81)

Προφανώς μπορούμε να κάνομε την επιλογή

3

( , , )

( , , ) / 3 ( ).

f p Q t Qt

f p Q t p f t

(10.82)

Βρίσκομε επομένως ότι

33

1( , , ) ( ).

3F p Q t Qp p Qt f t (10.83)

Και πάλι κάνοντας το αντίστροφο βρίσκομε από τη γεννήτρια συνάρτηση της Εξ.(10.83) τον μετασχηματισμό από όπου ξεκινήσαμε. Πράγματι

23

3

( , , )

( , , ).

F p Q tq Q p

p

F p Q tP p t

Q

(10.84)

Άρα 2 , .Q p q P p t Από εκεί και πέρα η διαδικασία είναι όπως στις άλλες περιπτώσεις που μελετήσαμε. Η μόνη άλλη απλή περίπτωση που θα μπορούσαμε να έχομε είναι η περίπτωση

4 ( , , )F p P t .

Όμως αυτό δε μπορεί να γίνει διότι δε μπορούμε να εκφράσομε τις μεταβλητές ως προς , ,p P t . Πράγματι για να γίνεται αυτό θα πρέπει

( , , )

0.i

j

P q p t

q

(10.85)

Στην περίπτωσή μας έχομε

0P

q

. (10.86)

Επομένως δε μπορεί να βρεθεί γεννήτρια συνάρτηση της μορφής 4 ( , , )F p P t .

206

Είναι προφανές ότι οι ανωτέρω εξισώσεις μετασχηματισμού δε μπορεί να δώσουν σχέσεις της μορφής ( , , ), ( , , )Q Q p P t q q p P t . Συνοψίζοντας αναφέρομε ότι, ξεκινούμε από το μετασχηματισμό

( , , ), ( , , )i i i iQ Q q p t P P q p t και ακολουθούμε την ανωτέρω διαδικασία . Αν

μπορέσομε να βρούμε συνάρτηση g ( , , , , )F q Q p P t που γεννά κατά τα γνωστά τον

δεδομένο μετασχηματισμό, τότε είμαστε βέβαιοι ότι ο μετασχηματισμός είναι κανονικός. 10.2 Ένα άλλο κριτήριο για το αν ένας μετασχηματισμός είναι κανονικός Θα αναπτύξομε παρακάτω και ένα άλλο κριτήριο για να βρίσκομε αν ένας δεδομένος μετασχηματισμός είναι κανονικός. Ξεκινούμε από τη βασική Εξ.(10.9) η οποία είναι

1 1

d d ( , , ) ( , , ) d d .n n

i i i ii i

p q P Q K Q P t H q p t t F

(10.87)

Ας υποθέσομε ότι ο χρόνος είναι μια αυθαίρετη σταθερή παράμετρος, 0t t . Αυτό

σημαίνει ότι d 0t , οπότε η Εξ.(10.87) γίνεται

1 1

δ δ δn n

i i i ii i

p q P Q F

(10.88)

ή απλώς

01 1

d d d , n n

i i i ii i

p q P Q F t t

σταθερό. (10.89)

Αυτό μας οδηγεί στο κριτήριο που λέει ότι, ένας κανονικός μετασχηματισμός, για χρόνο αυθαίρετο που λαμβάνεται ως σταθερή παράμετρος, οδηγεί στο ότι η διαφορά των διαφορικών εκφράσεων του πρώτου μέλους είναι ολικό διαφορικό για σταθερό χρόνο, μιας συνάρτησης F των 2n συντεταγμένων και του χρόνου. Φυσικά εννοείται ότι όλα πρέπει να εκφραστούν συναρτήσει ανεξάρτητων συντεταγμένων και του χρόνου. Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω, είναι σίγουρο ότι για κανονικούς μετασχηματισμούς, σε αυτές τις εκφράσεις μπορεί να είναι ανεξάρτητες συντεταγμένες τα ,q p ή τα ,Q P . Εφόσον έχομε ολικό διαφορικό ως προς τις ανεξάρτητες συντεταγμένες, αυτό που μπορούμε να κάνομε για να βρούμε (για παράδειγμα) την ( , , )F q p t είναι το εξής: Εκφράζομε όλα συναρτήσει των

, ,q p t , και θέτομε όπου 0t t σταθερό,

207

0 0 01 1

d ( , , )d ( , , ) d ( , , )n n

i i i ii i

p q P q p t Q q p t F q p t

. (10.90)

στη συνέχεια ολοκληρώνομε την έκφραση του πρώτου μέλους στο χώρο των ,q p ,

μεταξύ ενός αυθαίρετου σημείου 0 0,q p και του σημείου ,q p , ακολουθώντας μιαν

οποιαδήποτε διαδρομή μεταξύ τους. Προφανώς ακολουθούμε κάποια που μας βολεύει. Στη συνέχεια θέτομε όπου 0t το t . Αν έχομε κάνει σωστά τους υπολογισμούς και εφόσον

ο μετασχηματισμός είναι κανονικός θα έχομε την ( , , )F q p t ως άθροισμα μιας έκφρασης που θα είναι συνάρτηση μόνο των , ,q p t και μιας άλλης έκφρασης που θα είναι

συνάρτηση μόνο των σταθερών 0 0,q p και του χρόνου t ,

0 0( , , ) ( , , ) ( , , )F q p t f q p t g q p t .

Ξανατονίζομε ότι, γενικώς, αυτή η συνάρτηση δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί όπως είναι ως γεννήτρια συνάρτηση, με απλή αντικατάσταση των συντεταγμένων (αν αυτό μπορεί φυσικά να γίνει με κατάλληλες αντιστροφές των εξισώσεων μετασχηματισμού), ώστε να καταλήξει να είναι συνάρτηση του χρόνου και n αρχικών και n μετασχηματισμένων μεταβλητών. Η συνάρτηση αυτή με απλή κατάλληλη αντικατάσταση μεταβλητών (αν μπορεί να γίνει αυτό) ώστε να μετατραπεί σε συνάρτηση των , ,q Q t , δίνει μόνο τη σωστή

γεννήτρια τύπου 1( , , )F q Q t . Αυτό αναμένεται διότι η μορφή που ξεκινήσαμε έχει στο

πρώτο μέλος τα d , dp q P Q οπότε αν τα ,q Q είναι ανεξάρτητα τότε είμαστε στην

περίπτωση 1( , , )F q Q t . Για τις άλλες περιπτώσεις πρέπει η ανωτέρω F να αλλάξει μορφή

όπως έγινε στις ειδικές περιπτώσεις που περιγράψαμε με προσθήκη κατάλληλων όρων οι οποίοι, σύμφωνα με την παρούσα φιλοσοφία, μπορεί να θεωρηθούν ως συναρτήσεις των

, ,q p t . Είναι καλό να διατυπώσομε αυτό το κριτήριο για τις ειδικές περιπτώσεις

γεννητριών συναρτήσεων που εξετάσαμε παραπάνω, 1 2 3 4, , ,F F F F . Δίνομε απλώς τα

αποτελέσματα, τα οποία μπορεί κάποιος να βρει εύκολα. Είναι ευνόητο ότι η εύρεση της γεννήτριας για την κάθε περίπτωση ακολουθεί την ανάλογη διαδικασία που παρουσιάσαμε προηγουμένως με ολοκλήρωση σε αυθαίρετο δρόμο στον αντίστοιχο χώρο, ( , ), ( , ), ( , ), ( , )q Q q P p Q p P αντιστοίχως για τις τέσσερις περιπτώσεις αντιστοίχως. Περίπτωση 1( , , )F q Q t .

0 0 1 01 1

( , , )d ( , , )d =d ( , , )n n

i i i ii i

p q Q t q P q Q t Q F q Q t

. (10.91)

Περίπτωση 2 ( , , )F q P t .

0 0 2 01 1

( , , )d ( , , )d d ( , , ).n n

i i i ii i

p q P t q Q q P t P F q P t

(10.92)

Περίπτωση 3 ( , , )F p Q t .

208

0 0 3 01 1

( , , )d ( , , )d d ( , , ).n n

i i i ii i

q p Q t p P p Q t Q F p Q t

(10.93)

Περίπτωση 4 ( , , )F p P t .

0 0 4 01 1

( , , )d ( , , )d d ( , , ).n n

i i i ii i

q p P t p Q p P t P F p P t

(10.94)

Μια μεικτή περίπτωση 1 2 1 2( , , , , )F q p P Q t .

1 1 2 2 1 0 1 2 1 2 2 1 0 2 2 1 2 2 1 0 2

1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1

( , , , , )d ( , , , , )d ( , , , , )d

( , , , , )d d , , , , .

p q p Q P t q q q p Q P t p P q p Q P t Q

Q q p Q P t P F q p Q P t

(10.95)

Η γενική περίπτωση που περιλαμβάνει όλες τις παραπάνω περιπτώσεις (μεικτή) γράφεται

1 2

1 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

d d d d d d ( , , , , )

( , ,..., ), ( , ,..., )

( , ,..., ), ( , ,..., )

( , , , , ) 1,

n nn n

i i i i i i i ii i n i i n

n n n n

n n n n

ii

p q q p P Q Q P K H t F q p Q P t

q q q q p p p p p

Q Q Q Q P P P P P

Fp q p Q P t i

q

1

1 1

2

2 2

2,...,

( , , , , ) 1, 2,...,

( , , , , ) 1, 2,...,

( , , , , ) 1, 2,...,

ii

ii

ii

n

Fq q p Q P t i n n n

p

FP q p Q P t i n

Q

FQ q p Q P t i n n n

P

(10.96)

Για να μπορούμε από τις Εξ.(10.96) να προσδιορίσομε τον κανονικό μετασχηματισμό

( , , ), ( , , )Q Q q p t P P q p t , πρέπει να μπορεί να αντιστραφεί (επιλυθεί) το σύστημα των

n εξισώσεων, το οποίο αποτελείται από τις πρώτες 1n και τις δεύτερες 1n n εξισώσεις,

ώστε να προσδιοριστούν τα ,Q P . Στη συνέχεια από τις δεύτερες και τις τρίτες σχέσεις θα προσδιοριστούν και τα υπόλοιπα ,Q P . Για να επιλύεται το παραπάνω σύστημα, πρέπει η ορίζουσα που ακολουθεί (η οποία, όπως και φαίνεται, αποτελείται από τέσσερις ορίζουσες) να μην είναι μηδέν, δηλαδή

209

det 0.

i i

j j

i i

j j

p p

Q P

q q

Q P

(10.97)

Από τις Εξ.(10.96) και (10.97) καταλήγομε στην συνθήκη με τη γεννήτρια συνάρτηση για τη δυνατότητα επίλυσης του παραπάνω συστήματος εξισώσεων. Δηλαδή η Εξ.(10.97) γίνεται

2 2

2 2

det 0.

i j i j

i j i j

F F

q Q q P

F F

p Q p P

(10.98)

Προφανώς έχομε για το σχετικό κριτήριο κανονικότητας του μετασχηματισμού με

0t t σταθερό,

1 2

1

0 0 01 1 1

0

( , , , , )d ( , , , , )d ( , , , , )d

d ( , , , , ).

n nn

i i i i i ii i n i

p q p Q P t q q q p Q P t p P q p Q P t Q

F q p Q P t

(10.99)

Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε έναν διαφορετικό συμβολισμό και δίνομε μιαν άλλη μορφή της γενικής έκφρασης. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό i ix q ή i ix p

i iy p αν i ix q (10.100)

i iy q αν i ix p .

Ομοίως i iX Q ή i iX P

i iY P αν i iX Q (10.101)

i iY Q αν i iX P .

Ο κανονικός μετασχηματισμός ( , , ), ( , , )i i i iQ Q q p t P P q p t πληροί τη γενική σχέση

g1 1

d d d d .n n

i i i ii i

y x Y X K H t F

(10.102)

Το κριτήριο με 0t t σταθερό γίνεται

210

g 01 1

d d d , n n

i i i ii i

y x Y X F t t

σταθερό. (10.103)

Παράδειγμα Ας ξεκινήσομε από το μετασχηματισμό που είδαμε και στα προηγούμενα 2 , Q p q P p t . (10.104) Ας βρούμε συνάρτηση ( , , )F q p t τέτοια που να ισχύει η Εξ.(10.90), δηλαδή η

0 0 01 1

d ( , , )d ( , , ) d ( , , )n n

i i i ii i

p q P q p t Q q p t F q p t

. (10.105)

Αντικαθιστούμε από τις Εξ.(10.104) και έχομε 2

0 0 0 0d ( , , )= d ( )d( ) d 2 ( )dF q p t p q p t p q t q p p t p . (10.106)

Εδώ τα πράγματα είναι απλά και δε χρειάζεται η επιλογή κάποιας διαδρομής για την ολοκλήρωση μεταξύ 0 0,q p και ,q p διότι ο κάθε ένας όρος με τα διαφορικά εξαρτάται

μόνο από τη μεταβλητή του διαφορικού, άρα το αποτέλεσμα είναι 3 2

0 0 0 0 0 0( , , ) 2 / 3 ( , , )F q p t qt p p t f q p t . (10.107)

Οπότε θέτοντας όπου 0t το t έχομε τελικώς

3 2

0 0( , , ) 2 / 3 ( , , )F q p t qt p p t f q p t . (10.108)

Αφού υπάρχει η ( , , )F q p t ο μετασχηματισμός είναι κανονικός. Για διδακτικούς λόγους ας διαλέξομε την διαδρομή από 0 0,q p μέχρι 0 ,q p με

q σταθερό και στη συνέχεια από 0 ,q p μέχρι ,q p με p σταθερό. Θα έχομε

από την Εξ.(10.106)

0 0

0 0 0

3 3 2 20 0 0 0 0 0 0

( , , ) 2 ( )d d

2 2.

3 3

p q

p q

F q p t p p t p t q

p p t p t p t q t q

(10.109)

211

Βάζομε όπου 0t το t και έτσι πράγματι βρίσκομε την Εξ.(10.108).

Ας πάρομε τώρα την Εξ.(10.108) και ας αγνοήσομε τον τελευταίο προσθετέο για ευκολία. Έχομε 3 2( , , ) 2 / 3 .F q p t qt p p t (10.110) Αν από τις σχέσεις μετασχηματισμού Εξ.(10.104) εκφράσομε τα ,p P ως προς ,q Q και αντικαταστήσομε στην Εξ.(10.110) βρίσκομε την ίδια συνάρτηση με αυτήν της Εξ.(10.72) , χωρίς τον τελευταίο προσθετέο, δηλαδή βρίσκομε τη σωστή γεννήτρια συνάρτηση τύπου 1( , , )F q Q t .

3/2

1

2( , , ) ( , , ) .

3F q Q t F q Q t Q q tQ (10.111)

Ας κάνομε τώρα κάτι που είναι λάθος! Από τις σχέσης μετασχηματισμού (10.104) βρίσκομε τα ( , , ), ( , , )q q p Q t P P p Q t και κάνοντας απλή αντικατάσταση στην Εξ.(10.110) βρίσκομε

32( , , )

3F p Q t p Qt . (10.112)

Παρατηρούμε ότι με απλή αντικατάσταση δε βρήκαμε τη γεννήτρια συνάρτηση τύπου

3 ( , , )F p Q t !! που σύμφωνα με την Εξ.(10.83) είναι

33

1( , , ) .

3F p Q t Qp p Qt (10.113)

Ας ακολουθήσομε τώρα τη σωστή διαδικασία και όπως στην Εξ.(10.33) ας προσθέσομε

στα δυο μέλη στην Εξ.(10.110) τον όρο 1

n

i ii

q p

, που εδώ είναι απλώς ο όρος qp ,

τότε βρίσκομε 3 2

3 ( , , ) ( , , ) 2 / 3 .F q p t F q p t qp qt p p t pq (10.114)

Αντικαθιστώντας τις μεταβλητές όπως πριν, τώρα καταλήγομε πράγματι στη γεννήτρια τύπου 3 ( , , )F p Q t , δηλαδή βρίσκομε την Εξ.(10.113), δηλαδή την

33

1( , , ) .

3F p Q t Qp p Qt (10.115)

Το ίδιο βρίσκομε αν στην Εξ.(10.112) προσθέσομε τον όρο pq αν πρώτα αντικαταστήσομε το q αφού το εκφράσομε ως προς ,p Q , δηλαδή προσθέτομε τον όρο

2( ).p Q p (10.116) Πράγματι βρίσκομε πάλι τη σωστή Εξ.(10.115).

212

10.3 Αγκύλες του Poisson. Έστω η συνάρτηση ( , , )f q p t , των μεταβλητών ( , , )q p t κάποιου χαμιλτονιανού μηχανικού συστήματος το οποίο έχει χαμιλτονιανή ( , , )H q p t . Αυτές οι συναρτήσεις (ποσότητες) λέγονται δυναμικές ποσότητες ή δυναμικές μεταβλητές ή δυναμικές συναρτήσεις. Η ολική παράγωγος ως προς το χρόνο της συνάρτησης αυτής είναι

1

d

d

n

i ii i i

f f f fq p

t t q p

. (10.117)

Ισχύουν οι εξισώσεις του Hamilton

, i ii i

H Hq p

p q

. (10.118)

Οι Εξ.(10.117) και (10.118) δίνουν

def

1

d,

d

, = .

qp

n

qpi i i i i

f ff H

t t

f H f Hf H

q p p q

(10.119)

Η αγκύλη ,

qpf H λέγεται αγκύλη του Poisson των f και H ως προς τις συζυγείς

μεταβλητές ( , )q p . Αν μια ποσότητα ( , , )f q p t είναι σταθερά της κίνησης τότε

d, 0.

d qp

f ff H

t t

(10.120)

Αν η ποσότητα δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, δηλαδή είναι της μορφής ( , )f q p , τότε έχομε

d, 0.

d qp

ff H

t (10.121)

Δηλαδή μια διατηρούμενη ποσότητα, η οποία δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, έχει αγκύλη poisson με τη χαμιλτονιανή ίση με μηδέν. Γενικότερα, ορίζεται ως αγκύλη poisson ως προς ( , )q p , για κάθε δυο δυναμικές συναρτήσεις ( , , ), ( , , )f q p t g q p t το μέγεθος

213

def

1

, = .n

qpi i i i i

f g f gf g

q p p q

(10.122)

Εύκολα από τον ορισμό προκύπτει ότι ισχύουν οι εξής σχέσεις για τις αγκύλες του Poisson, όπου για απλούστευση δεν γράφομε ως δείκτες τα qp . 1) , ,f g g f .

2) Αν c σταθερά ανεξάρτητη από τα ( , , )q p t , τότε , 0f c .

3) , 0.f f

4) 1 2 1 2, , ,f f g f g f g .

5) 1 2 1 2 2 1, , , .f f g f f g f f g

6) , , ,f g

f g g ft t t

.

7) , .ii

ff q

p

8) , .ii

ff p

q

Από τις (7), (8) βάζοντας όπου f τα iq και τα ip , βρίσκομε τις θεμελιώδεις σχέσεις των

αγκύλων του Poisson, δηλαδή τις

9) , 0.i jq q

10) , 0.i jp p

11) , δi j ijq p (το δέλτα του Kronecker).

Ισχύει επίσης η ταυτότητα του Jacobi, η οποία λέει ότι, αν , ,u w είναι τρεις δυναμικές συναρτήσεις, τότε έχομε

12) , , , , , , 0.u w w u w u

Αυτή αποδεικνύεται πιο δύσκολα και η διαδικασία φαίνεται στο παράρτημα Π7. Θα δείξομε ότι ισχύει το Θεώρημα του Poisson το οποίο λέει ότι, αν ( , , )f q p t και

( , , )g q p t είναι σταθερές της κίνησης τότε και η αγκύλη poisson ,f g είναι σταθερά της

κίνησης, δηλαδή

d, 0.

df g

t (10.123)

Έχομε

214

d, , , ,

df g f g f g H

t t

. (10.124)

Χρησιμοποιούμε τη σχέση (6) και την ταυτότητα του Jacobi και καταλήγομε στις σχέσεις

d, , , , , , ,

d

, , , ,

d d, , 0 0.

d d

f gf g g f g H f H f g

t t t

f gH f g f H g

t t

f gg f

t t

(10.125)

Παρακάτω Κεφ. 10.4 για τη συμπλεκτική μορφή του χαμιλτονιανού φορμαλισμού, θα δειχτεί ότι οι αγκύλες του Poisson είναι αναλλοίωτες σε (απλούς) κανονικούς μετασχηματισμούς, δηλαδή είναι ανεξάρτητες από τις κανονικές συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται. Αυτό σημαίνει ότι πράγματι δε χρειάζεται να γράφονται οι δείκτες

,q p στις αγκύλες poisson. Προς το παρόν, θα διευκρινήσομε τι σημαίνει αυτό το αναλλοίωτο. Έστω δυο δυναμικές μεταβλητές (συναρτήσεις) ( , , ), ( , , )F q p t G q p t . Έστω ο κανονικός μετασχηματισμός , ,q p Q P . Έχομε

1

( , , ), ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ).

qp

n

i i i i i

F q p t G q p t

F q p t G q p t F q p t G q p tA q p t

q p p q

(10.126)

Αφού βρήκαμε την έκφραση για την αγκύλη poisson ως προς τις αρχικές μεταβλητές

,q p , δηλαδή το ( , , )A q p t , στη συνέχεια μετασχηματίζομε τις μεταβλητές σύμφωνα με

τις σχέσεις ( , , ), ( , , )i i i iq q Q P t p p Q P t , οπότε βρίσκομε

( , , ), ( , , ), ( , , )A q Q P t p Q P t t A Q P t . (10.127)

Τώρα κάνομε το εξής, πρώτα εκφράζομε τις αρχικές δυναμικές συναρτήσεις ως προς τις μετασχηματισμένες μεταβλητές και μετά σχηματίζομε την αγκύλη poisson, συγκεκριμένα

( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , )

( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ).

F q p t F q Q P t p Q P t t F Q P t

G q p t G q Q P t p Q P t t G Q P t

(10.128)

Έχομε

215

1

( , , ), ( , , ), , ( , , ), ( , , ),

( , , ), ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ).

QP

QP

n

i i i i i

F q Q P t p Q P t t G q Q P t p Q P t t

F Q P t G Q P t

F Q P t G Q P t F Q P t G Q P tA Q P t

Q P P Q

(10.129)

Το αναλλοίωτο σημαίνει ότι ( , , ) ( , , ) ( , , ).A Q P t A Q P t A q p t (10.130) Επομένως μπορούμε να γράφομε τις αγκύλες του Poisson χωρίς δείκτες , , ,

qp QPF G F G F G . (10.131)

Σημειώνομε ότι αν χρησιμοποιήσομε διευρυμένο κανονικό μετασχηματισμό, βλέπε Κεφ. 10, τότε οι αγκύλες δεν είναι αναλλοίωτες αλλά πολλαπλασιάζονται επί το συντελεστή ο οποίος διαφέρει από μετασχηματισμό σε μετασχηματισμό. Αυτή είναι μια αιτία που ορίζομε ως κανονικό το μετασχηματισμό με 1 . Στη συνέχεια ορίζομε τις αγκύλες του Lagrange. Ας φανταστούμε στο χώρο των φάσεων μια δυσδιάστατη επιφάνεια που καθορίζεται από δυο παραμέτρους ,u . Για αυτή την

επιφάνεια θα έχομε ( , ), ( , )i i i iq q u p p u . Η αγκύλη του Lagrange ορίζεται από την

Εξ.(10.132).

def

1

, =n

i i i iqp

i

q p p qu

u u

. (10.132)

Προφανώς ισχύει ότι , ,u u .

Εύκολα προκύπτουν οι σχέσεις α) , 0.i iq q

β) , 0.i ip p

γ) , δ , δi j ij ijq p = το δέλτα του Kronecker.

Οι εκφράσεις αυτές είναι οι θεμελιώδεις αγκύλες του Lagrange. Ισχύει η εξής σχέση για 2n ανεξάρτητες συναρτήσεις, , 1, 2,..., 2iu i n , στο χώρο των

φάσεων

216

2

1

, , δn

l i l j ijl

u u u u

. (10.133)

Είναι σαν οι αγκύλες του Poisson να είναι το αντίστροφο των αγκύλων του Lagrange. Ισχύει και για τις αγκύλες του Lagrange ότι είναι αναλλοίωτες σε κανονικούς μετασχηματισμούς άρα δε χρειάζεται να γράφονται οι δείκτες ,q p . Δηλαδή , , ,

qp QPu u u . (10.134)

Αξίζει να πούμε ότι οι αγκύλες poisson της κλασικής μηχανικής αντιστοιχούν (αρχή της

αντιστοιχίας) στους μεταθέτες της κβαντικής φυσικής επί 2π

ih

, δηλαδή

2π, ( )u i u u

h . Οι ανωτέρω κλασικές σχέσεις (1) μέχρι (5) , ισχύουν και στην

κβαντική φυσική για τους μεταθέτες. 10.4 Συμπλεκτική μορφή του χαμιλτονιανού φορμαλισμού Οι εξισώσεις του Hamilton μπορούν να γραφτούν σε συμπλεκτική μορφή όπως φαίνεται στη συνέχεια. Ο όρος συμπλεκτική μορφή σημαίνει ότι οι θέσεις και οι συζυγείς ορμές εμπλέκονται και εμφανίζονται ως συνιστώσες κάποιας στήλης-διανύσματος. Πράγματι,

σχηματίζομε τις στήλες- διανύσματα η και Hη

, με συνιστώσες τα ,q p και τις

παραγώγους της χαμιλτονιανής ως προς τα ,q p , αντίστοιχα, δηλαδή έχομε

,

, .

i i n i i

i i n i i

q p

Η Η Η Ηi n

q p

(10.135)

Επίσης σχηματίζομε την αντισυμμετρική μήτρα (πίνακα) J , με διαστάσεις 2 2n n , με χρήση της μήτρας-μονάδας I , διαστάσεων n n . Έχομε επομένως

217

1

1 2

2

1

12

2

.

. .

. .

.

Iη = , , J = , I =

- I η

.

....

.

n n

n

n

H

q

Hq q

q

H

q qH

p H

pp

H

p

p

H

p

1

1

1

.

.

.

1

(10.136) Προφανώς οι εξισώσεις Hamilton γράφονται σε συμπλεκτική μορφή ως εξής

H

η = Jη

. (10.137)

Η μήτρα J λέγεται η μήτρα της συμπλεκτικής δομής και ισχύουν οι σχέσεις

218

T

T 1

T T

2

J = J

J = J J

J J = JJ = I

J 1

det J J 1

ik kiJ J

(10.138)

Στη συνέχεια θα βρούμε τη συνθήκη ώστε ένας μετασχηματισμός της μορφής ( , , ), ( , , )i i i iQ Q q p t P P q p t . (10.139)

να είναι κανονικός μετασχηματισμός. Οι σχέσεις αυτές μπορεί να γραφτούν στη συμπλεκτική μορφή

( , ), 1, 2,...,

( , )i i t i n

t

ζ ζ η

, όπου 1 2 1 2( , ,..., , , ,..., , )n nQ Q Q P P P tζ . (10.140)

Ισχύουν προφανώς οι σχέσεις

,

, 1, 2,...,

i i n i i

i i n i i

Q P

i nQ P

(10.141)

Θα βρούμε τη λεγόμενη συμπλεκτική συνθήκη που είναι η συνθήκη η οποία πρέπει να ισχύει, ώστε ο ανωτέρω μετασχηματισμός να είναι κανονικός. Η ιακωβιανή 2 2n n μήτρα , M , του μετασχηματισμού είναι

iij

j

M

. (10.142)

Υποθέτομε ότι αυτή η μήτρα είναι ομαλή οπότε οι σχέσεις μετασχηματισμού αντιστρέφονται και δίνουν τις

( , ), 1, 2,..., 2

( , )i i t i n

t

η η ζ

. (10.143)

Από αυτές βρίσκομε τις σχέσεις

219

2

1

1

ni i

i jj jt

t

ηη M ζ.

(10.144)

Αν ( , )H t ζ είναι η χαμιλτονιανή με τις συντεταγμένες μετασχηματισμένες, έχομε

2T

1

(ζ, ) (η, )

, M .η ζ

nj

ji j i

H t H t

H H H H

(10.145)

Ισχύουν οι εξισώσεις του Hamilton, Εξ.(10.137) οι οποίες με τη βοήθεια των Εξ.(10.144) και (10.145) και με πολλαπλασιασμό επί M , δίνουν

1 TηM MM ζ MJM 0.

ζ

H

t

(10.146)

Αυτή η σχέση μας οδηγεί στις

T

T T T 1

T T 1

T T 1 1

T T 1

ηζ = MJM M

ζ

ηζ = MJM - MJM (JM )

ζ

ηMJM - (JM )

ζ

ηMJM - (M ) J

ζ

ηζ MJM + (M ) J .

ζ

H

t

H

t

H

t

H

t

H

t

(10.147)

Αν υπάρχει δυναμική συνάρτηση ( , )R tζ τέτοια που να ισχύει η σχέση

T 1 η(M ) J

ζ

R

t

(10.148)

τότε η τελευταία σχέση της Εξ.(10.147) γράφεται

220

Tζ MJM ,ζ

όπου K H R . (10.149)

Αυτό σημαίνει ότι για να ισχύουν οι εξισώσεις του Hamilton, Εξ.(10.137), με τις νέες μεταβλητές, πρέπει στην Εξ.(10.149) να έχομε ότι TMJM J . (10.150) Αυτή είναι η συμπλεκτική συνθήκη που πρέπει να ισχύει ώστε ο μετασχηματισμός της Εξ.(10.140) να είναι κανονικός. Τότε η Εξ. (10.149) δίνει την εξίσωσεις του Hamilton

ζζ

K

.

Αν έχομε εκτεταμένο κανονικό μετασχηματισμό τότε η συμπλεκτική συνθήκη γίνεται TMJM J . Μήτρες όπως η M που πληρούν τη συμπλεκτική συνθήκη Εξ.(10.150) λέγονται συμπλεκτικές μήτρες. Πρέπει τώρα να ελέγξομε αν, όταν ισχύει η συμπλεκτική συνθήκη, υπάρχει συνάρτηση R τέτοια που να ισχύει η Εξ.(10.148). Η Εξ.(10.148) με τη βοήθεια της Εξ.(10.150) δίνει

1R

t

ηJ M

ζ. (10.151)

Το αριστερό μέλος της Εξ.(10.151) είναι μια στήλη-διάνυσμα A με συνιστώσες

1 2 21 2 2

, ,..., nn

R R RA A A

. (10.152)

Είναι ευνόητο ότι για κάθε ζευγάρι συνιστωσών του A , ισχύουν οι σχέσεις

2 2

0

0.

ji

j i j i i j

ji

j i

AA R R

AA

(10.153)

221

Όλα αυτά μπορούμε ακόμη να ισχυριστούμε ότι συμβαίνουν, διότι το αριστερό μέλος της Εξ.(10.151) είναι η βαθμίδα (gradient) της συνάρτησης R ως προς ζ , Εξ.(10.152), οπότε το σχετικό θεώρημα λέει ότι ο στροβιλισμός (curl ή rot) της βαθμίδας ως προς ζ είναι μηδέν. Το τελευταίο οδηγεί στην Εξ.(10.153) που δείξαμε χωρίς αναφορά στο θεώρημα αυτό. Για το δεύτερο μέλος της Εξ.(10.151) γράφομε

1

t

η

B J M . (10.154)

Σύμφωνα με τα ανωτέρω πρέπει να ισχύουν για αυτό το B η δεύτερες εξισώσεις της Εξ.(10.153), δηλαδή

0ji

j i

BB

. (10.155)

Σύμφωνα με την Εξ.(10.154) έχομε

2

, 1

ni k

l lii k k

B Jt

. (10.156)

Έτσι καταλήγομε στις σχέσεις

2 22 2

, 1 , 1

2 22 2

, 1 , 1

0

.

n ni k i k

lr li rii k i kk r k l

n ni k i k

li rii k i kk r k l

B J Jt t

J Jt t

(10.157)

Η δεύτερη εξίσωση της Εξ.(10.157) γράφεται

T1 1 T 1

1 1 TM M (M )J M J M M J

t t t

. (10.158)

Από την Εξ.(10.150) έχομε τις σχέσεις -1 T T -1 T -1J M (M ) J, M J = JM . (10.159) Επομένως η Εξ.(10.158) γίνεται

222

1 T -1T -1 -1

T -1 -1

M (M )(M ) J JM 0

(M ) JM 0.

t t

t

(10.160)

Από την Εξ.(10.150) προκύπτει ότι T -1 -1(M ) JM J . (10.161) Οπότε αφού η μήτρα J είναι η γνωστή μήτρα της συμπλεκτικής δομής με συνιστώσες σταθερούς αριθμούς (1,-1,0), προφανώς ισχύει η δεύτερη από τις σχέσεις της Εξ.(10.160), άρα εξασφαλίζεται η ύπαρξη της R και η ισχύς της συμπλεκτικής σχέσης της Εξ.(10.150) ως ικανής για να είναι ο μετασχηματισμός των Εξ.(10.139) κανονικός. Αντιστρέφοντας τη διαδικασία μπορούμε να δούμε ότι η συνθήκη είναι και αναγκαία. Ανεξάρτητα από το αν ακολουθούμε τη διαδικασία των γεννητριών συναρτήσεων για τους κανονικούς μετασχηματισμούς ή τη συμπλεκτική διαδικασία, αποδεικνύεται ότι οι κανονικοί μετασχηματισμοί έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες που χαρακτηρίζουν μια ομάδα.

1. Ο μετασχηματισμός-μονάδα είναι κανονικός. 2. Αν ένας μετασχηματισμός είναι κανονικός, τότε είναι κανονικός και ο αντίστροφός

του. 3. Δυο διαδοχικοί κανονικοί μετασχηματισμοί (η πράξη του γινομένου για τις

ομάδες) ορίζουν έναν μετασχηματισμό που είναι κανονικός. 4. Η πράξη του γινομένου είναι προσεταιριστική.

10.5 Αναλλοίωτο των αγκύλων του Poisson σε κανονικούς μετασχηματισμούς με συμπλεκτικό φορμαλισμό Από τον ορισμό των αγκύλων poisson Εξ.(10.122) προκύπτει ότι, η αγκύλη poisson ως προς τις μεταβλητές η μπορεί να γραφτεί στη μορφή

T

, .u

u

J

η η (10.162)

Οι θεμελιώδεις αγκύλες του Poisson, δηλαδή οι σχέσεις (9), (10) και (11) στο Εδάφιο 7.2 γράφονται ,

η η J . (10.163)

223

Έστω οι μετασχηματισμένες μεταβλητές ,Q P που στη συμπλεκτική μορφή παριστάνονται με το ζ . Προφανώς αν θέσομε όπου u μια συνιστώσα του ζ και όπου επίσης μια συνιστώσα του ζ , θα έχομε σύμφωνα με την Εξ.(10.162) για κάθε ζεύγος

,k r συνιστωσών τη σχέση

T

, .k rk r

J

η η (10.164)

Αυτή μπορεί να γραφτεί πιο συνοπτικά ως

T

, .

ζ ζζ ζ J

η η (10.165)

Οι μερικές παράγωγοι στο δεύτερο μέλος ορίζουν την ιακωβιανή μήτρα του μετασχηματισμού, M , Εξ.(10.142), επομένως η Εξ.(10.165) γίνεται Tζ,ζ M JM

. (10.166)

Αφού ο μετασχηματισμός η ζ είναι κανονικός, ισχύει η συμπλεκτική συνθήκη,

TM JM J οπότε ,

ζ ζ J . (10.167)

Αντιστρόφως, αν ισχύει η Εξ.(10.167) τότε ο μετασχηματισμός είναι κανονικός. Οι Εξ.(10.163), (10.167) είναι οι θεμελιώδεις αγκύλες poisson, σχέσεις (9), (10) και (11), σε συμπλεκτική μορφή. Προφανώς από την Εξ.(10.163) έχομε ,

ζ ζ J . (10.168)

Αυτό σημαίνει ότι οι θεμελιώδεις αγκύλες poisson έχουν το ίδιο μέγεθος ανεξάρτητα από τις κανονικές συντεταγμένες ως προς τις οποίες υπολογίστηκαν. Δηλαδή οι θεμελιώδεις αγκύλες poisson είναι αναλλοίωτες σε κανονικούς μετασχηματισμούς. Οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες (10.167) και (10.168) για να είναι ένας μετασχηματισμός κανονικός μπορούν να γραφτούν ως

, 0, , 0, , δ

, 0, , 0, , δ

i j i j i j ij

i j i j i j ij

P P Q Q Q P

q q p p q p

(10.169)

Είδαμε από την Εξ.(10.166) ότι το αναλλοίωτο είναι μια αναγκαία και ικανή συνθήκη

224

για να είναι η μήτρα μετασχηματισμού Μ συμπλεκτική (δηλαδή για αυτήν ισχύει η συμπλεκτική συνθήκη TM JM J ). Επομένως, το αναλλοίωτο των θεμελιωδών αγκυλών του Poisson είναι τελείως ισοδύναμο με τη συμπλεκτική συνθήκη για να είναι ένας μετασχηματισμός συντεταγμένων του χώρου των φάσεων κανονικός. Θα δείξομε ότι κάθε αγκύλη poisson είναι αναλλοίωτη σε κανονικούς μετασχηματισμούς. Πράγματι, για κανονικό μετασχηματισμό η ζ , έχομε τις σχέσεις

T T T

T TM , M Mη ζ η ζ ζ

u u u

. (10.170)

Επομένως οι αγκύλες poisson της Εξ.(10.162) γίνονται

T T

T, J MJM .η η ζ ζ

u uu

(10.171)

Αφού ο μετασχηματισμός είναι κανονικός ισχύει η συμπλεκτική συνθήκη άρα

T T

def

, , .u u

u u

J Jη η ζ ζ

(10.172)

Επομένως οι αγκύλες poisson είναι αναλλοίωτες σε κανονικούς μετασχηματισμούς, δηλαδή είναι κανονικές αναλλοίωτες συναρτήσεις. Έχουν το ίδιο μέγεθος ανεξάρτητα από τις κανονικές μεταβλητές ως προς τις οποίες υπολογίζονται και δε χρειάζεται στο συμβολισμό των αγκυλών να δηλώνονται συγκεκριμένες κανονικές μεταβλητές. Είναι ευνόητο από τα παραπάνω ότι αναφερόμαστε σε (απλούς) κανονικούς μετασχηματισμούς και όχι σε εκτεταμένους κανονικούς μετασχηματισμούς. Στην περίπτωση των εκτεταμένων κανονικών μετασχηματισμών οι αγγύλες poisson δεν είναι αναλοίωτες αλλά πολλαπλασιάζονται επί κατά το μετασχηματισμό, άρα διαφέρουν από μετασχηματισμό σε μετασχηματισμό. 10.5 Αναλλοίωτα ολοκληρώματα του Poincare Υπάρχει μια σειρά από ολοκληρώματα στο χώρο των φάσεων, που είναι κανονικά αναλλοίωτα. Ένας κανονικός μετασχηματισμός η ζ μετασχηματίζει ένα χώρο των φάσεων με συντεταγμένες ( , )q pη σε χώρο των φάσεων με συντεταγμένες ( , )Q Pζ . Έστω το ολοκλήρωμα της Εξ.(10.173) σε ένα χωρίο Ω , στον αρχικό χώρο των φάσεων, που είναι ένα είδος υπερεπιφάνειας με διαστάσεις 2n . Οι διαστάσεις είναι ίδιες με αυτές του χώρου των φάσεων, οπότε μπορούμε να λέμε ότι πρόκειται για ολοκλήρωμα «όγκου».

225

1 2 1 2d d ...d d d ...dn n

Ω

q q q p p p . (10.173)

Ο μετασχηματισμός αυτού του ολοκληρώματος, με κάποιον μετασχηματισμό συντεταγμένων, οδηγεί σε ίσο ολοκλήρωμα στο μετασχηματισμένο χωρίο Ω . Θα έχομε τη γνωστή σχέση για το μετασχηματισμό του ολοκληρώματος

1 2 1 2 1 2 1 2d d ...d d d ...d d d ...d d d ...dn n n n

Ω Ω

q q q p p p Q Q Q P P P

M . (10.174)

Όπου M είναι η απόλυτη τιμή της ορίζουσας M της ιακωβιανής μήτρας

μετασχηματισμού των συντεταγμένων, M . Εφόσον έχομε κανονικό μετασχηματισμό ισχύει η συμπλεκτική συνθήκη TM JM J , επομένως, παίρνοντας τις ορίζουσες και των δυο μελών, βρίσκομε

2 M J J . (10.175)

Έχομε τη γνωστή σχέση 1J επομένως

2

1, 1, 1 M M M . (10.176)

Άρα πραγματικά ισχύει

1 2 1 2 1 2 1 2d d ...d d d ...d d d ...d d d ...dn n n n

Ω Ω

q q q p p p Q Q Q P P P

. (10.177)

Δηλαδή το πολλαπλό ολοκλήρωμα (πολλαπλότητα 2n )

1 2 1 2d d d ...d d d ...dn n n

Ω Ω

J q q q p p p (10.178)

είναι αναλλοίωτο σε κανονικούς μετασχηματισμούς. Επειδή το χωρίο μπορεί να ληφθεί οσοδήποτε μικρό, κατά τα γνωστά, συμπεραίνομε ότι το στοιχειώδες χωρίο είναι αναλλοίωτο σε κανονικούς μετασχηματισμούς, δηλαδή

1 2 1 2 1 2 1 2

d d

d d ...d d d ...d d d ...d d d ...d .n n n nq q q p p p Q Q Q P P P

(10.179)

226

Το ολοκλήρωμα nJ είναι ένα από τα αναλλοίωτα σε κανονικούς μετασχηματισμούς

ολοκληρώματα στο χώρο των φάσεων, που λέγονται αναλλοίωτα ολοκληρώματα του Poincare. Τα αναλλοίωτα ολοκληρώματα του Poincare είναι

2

4

6

2

1=1

2, =1

3, , =1

1 2 1 2

d d

d d d d

d d d d d d

d d ...d d d ...dn

n

i iiΩ

n

i i k ki kΩi k

n

i i j j k ki j kΩi j k

n n n

Ω

J q p

J q p q p

J q q q p p p

J q q q p p p

(10.180)

To 1J είναι πολλαπλό ολοκλήρωμα σε «επιφάνεια» (χωρίο) διαστάσεως 2, το 2J είναι

σε «επιφάνεια» διαστάσεως 4, το 3J είναι σε «επιφάνεια» διαστάσεως 6, και ούτω

καθεξής μέχρι το τελευταίο ολοκλήρωμα nJ που δεν έχει αθροίσματα και είναι σε

«επιφάνεια» διάστασης 2n , δηλαδή στον «όγκο» του χώρου των φάσεων. 10.6 Εξισώσεις κίνησης με αγκύλες του Poisson Ας ξεκινήσομε από την πρώτη από τις Εξ.(10.119), χωρίς δείκτες, δηλαδή την Εξ.(10.181)

d,

d

f ff H

t t

(10.181)

και ας θέσομε όπου f διαδοχικά τα iq και ip , οπότε βρίσκομε τις Εξ.(10.182) που είναι

οι εξισώσεις κίνησης του Hamilton, δηλαδή έχομε τις κανονικές εξισώσεις κίνησης με αγκύλες του Poisson. , , ,i i i iq q H p p H . (10.182)

227

Αν στην Εξ.(10.181) f H , δηλαδή η χαμιλτονιανή, τότε

d

, 0d

d.

d

H H H HH H

t t t tH H

t t

. (10.183)

Αν η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο (ξαναβρίσκομε το γνωστό αποτέλεσμα), τότε είναι σταθερά της κίνησης διότι

d

0d

H H

t t

. (10.184)

Αν η f δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, 0f

t

, και επιπλέον η αγκύλη poisson με τη

χαμιλτονιανή είναι μηδέν, τότε η f είναι σταθερά της κίνησης. Πράγματι από την Εξ.(10.120) ή την Εξ.(10.181), έχομε τότε ότι

d,

d

f ff H

t t

=0. (10.185)

10.7 Απειροστοί κανονικοί μετασχηματισμοί και θεωρήματα διατήρησης Ας θεωρήσομε τον απειροστό κανονικό μετασχηματισμό, με μορφή γεννήτριας συνάρτησης 2F , που φαίνεται στην Εξ.(10.186). Το θεωρείται απειροστό.

21

2

2

δ , δ

( , , )

, δ

( , , ), δ .

i i i i i i

n

i ii

i i i i ii i i

i i i i ii i i

Q q q P p p

F q P G q P t

F G Gp P P p p

q q q

F G G q p tQ q Q q q

P P p

(10.186)

Μπορούμε να μην αναφερθούμε στην 2F και απλώς να ξεκινήσομε κατευθείαν από τις

σχέσεις

228

δ , δ

δ

( , , )δ .

i i i i i i

ii

ii

Q q q P p p

Gp

q

G q p tq

p

(10.187)

Έχομε θεωρήσει ότι για απειροστές μεταβολές των ip , ένεκα της συνέχειας της

( , , )G q P t , μπορούμε να πούμε ότι ( , , ) ( , δ , ) ( , , )i i iG q P t G q p p t G q p t . Συνηθίζεται

να λέγεται γεννήτρια συνάρτηση του (απειροστού) μετασχηματισμού εκτός της 2F και η

G . Μια ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι αυτή που φαίνεται στην Εξ.(10.188)

( , , ), d

δ d d d

δ d d d .

i i ii

i i ii

G H q p t t

Hq t q t q

p

Hp t p t p

q

(10.188)

Δηλαδή η πραγματική κίνηση (μετατόπιση) του μηχανικού συστήματος σε στοιχειώδη χρόνο dt , μπορεί να περιγραφτεί με κανονικό απειροστό μετασχηματσμό που έχει γεννήτρια (G ) τη χαμιλτονιανή. Οι κανονικοί μετασχηματισμοί, όπως προαναφέραμε, αποτελούν ομάδα, άρα η πεπερασμένη μετατόπιση περιγράφεται από διαδοχικές απειροστές μετατοπίσεις αυτής της μορφής. Επομένως, η χαμιλτονιανή είναι η γεννήτρια της πραγματικής κίνησης στο χρόνο. Έστω η παρακάτω περίπτωση μετασχηματισμού που φαίνεται στην Εξ.(10.189)

1 1

( , , ), δ , δ

δ ( δ , δ , ) ( , , )

δ δ

δ , .

i ii i

n n

i ii ii i i i i i

G Gf f q p t q p

p q

f f q q p p t f q p t

f f f G f Gq p

q p q p p q

f f G

(10.189)

Αν f H και αν η G δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο και είναι και σταθερά της κίνησης, τότε

δ , , , 0

δ 0.

H H G H G

H

(10.190)

229

Δηλαδή, οι σταθερές της κίνησης αν δεν εξαρτώνται άμεσα από το χρόνο, είναι γεννήτριες απειροστών κανονικών μετασχηματισμών που αφήνουν τη χαμιλτονιανή αναλλοίωτη. Οι ιδιότητες συμμετρίας καθορίζουν μετασχηματισμούς που δε μεταβάλλουν το μέγεθος της χαμιλτονιανής. Μπορεί να βρεθούν σταθερές της κίνησης εξετάζοντας τις συμμετρίες της χαμιλτονιανής. Ας δούμε κάποια παραδείγματα. Αν η συντεταγμένη rq είναι αγνοήσιμη, δηλαδή η χαμιλτονιανή, H , είναι ανεξάρτητη

από αυτήν, τότε η H είναι αναλλοίωτη σε στοιχειώδη (απειροστό) μετασχηματισμό που είναι μετατόπιση μόνο ως προς την rq , άρα

δ δ , δ 0i ri iq p . (10.191)

Σύμφωνα με την Εξ.(10.186), αυτός ο μετασχηματισμός μπορεί να προκύψει από γεννήτρια της μορφής ( )rG G p , διότι πράγματι τότε έχομε

δ 0

δ .

ii

ii

Gp

q

Gq

p

(10.192)

Αφού η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται από το rq προφανώς η τελευταία από τις Εξ.(10.189)

δίνει

δ 0 , ( )

, ( ) 0.

r r

r

H H G p

H G p

. (10.193)

Δηλαδή κάθε συνάρτηση της συζυγούς ορμής της αγνοήσιμης συντεταγμένης και η ίδια η συζυγής ορμή, είναι σταθερά της κίνησης. Δηλαδή βρίσκομε το γνωστό αποτέλεσμα διατήρησης της συζυγούς ορμής. Ας εξετάσομε και τον απειροστό κανονικό μετασχηματισμό για απειροστή περιστροφή d περί τον άξονα z . Έχομε

d

d

δ d , δ d , δ 0.

i i i

i i i

i i

i i i i i

X x y

Y y x

Z z

x y y x z

(10.194)

Ανάλογα ισχύουν για τις συζυγείς ορμές δ d , δ d , δ 0.ix iy iy ix izp p p p p (10.195)

Η κατάλληλη γεννήτρια αυτού του απειροστού μετασχηματισμού με d είναι

230

1

( )n

i iy i ixi

G x p y p

. (10.196)

Πράγματι αυτή δίνει τις προηγούμενες σχέσεις

δ d d , δ d d , δ d 0

δ d d , δ d d , δ d 0.

i i i i iix iy iz

ix iy iy ix izi i i

G G Gx y y x z

p p p

G G Gp p p p p

x y z

(10.197)

Το φυσικό νόημα αυτής της γεννήτριας είναι ότι ισούται με τη συνιστώσα z της γενικευμένης στροφορμής ως προς την αρχή των καρτεσιανών συντεταγμένων, zG L .

Αν η χαμιλτονιανή δεν μεταβάλλεται με την ανωτέρω περιστροφή τότε έχομε, τις αντίστοιχες των Εξ.(10.193) σχέσεις

δ 0 ,

, 0.

z

z

H H L

H L

(10.198)

Δηλαδή η γενικευμένη στροφορμή zL διατηρείται. Ο άξονας z είναι αυθαίρετος άρα για

τυχαίο άξονα με μοναδιαίο διάνυσμα e

μπορούμε να γράψομε G L e

. Υπάρχουν ενδιαφέροντα θεωρήματα, ανάλογα των αντίστοιχων κβαντικών για τις διάφορες συνιστώσες της στροφορμής και το μέτρο της. Όλα τα ανωτέρω μπορούν να αποδοθούν κομψά στον συμπλεκτικό φορμαλισμό. 10.8 Το Θεώρημα του Liouville Έχομε δει ότι η εξέλιξη ενός δυναμικού συστήματος κατά την πραγματική του κίνηση μπορεί να παρασταθεί στο χώρο των φάσεων, που έχει 2n διαστάσεις, με μια καμπύλη. Επίσης μπορεί να παρασταθεί στον χώρο των καταστάσεων που περιλαμβάνει και τον χρόνο εκτός από τις συντεταγμένες του χώρου των φάσεων, δηλαδή έχει διαστάσεις 2 1n . Για διάφορες τιμές των συντεταγμένων μιαν (αρχική) χρονική στιγμή το ίδιο σύστημα διαγράφει διάφορες τροχιές στους ανωτέρω χώρους. Αν το σύστημα είναι αυτόνομο (δηλαδή η χαμιλτονιανή του δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο) τότε οι τροχιές στο χώρο των φάσεων δεν τέμνονται, εξαίρεση αποτελούν μερικά μεμονωμένα ανώμαλα σημεία, σημεία ισορροπίας. Αν το σύστημα δεν είναι αυτόνομο, τότε οι τροχιές στον χώρο των καταστάσεων δεν τέμνονται, με πιθανή εξαίρεση στα ανώμαλα σημεία. Το Σχ.(7.1) δείχνει τις δυο περιπτώσεις.

231

Σχήμα 10.1 α) Φασικές καμπύλες αυτόνομου συστήματος. β) Καμπύλες στον χώρο των καταστάσεων μη αυτόνομου συστήματος. Ας υποθέσομε ότι έχομε ένα σύνολο (μια συλλογή, ensemble) από διαφορετικές (αρχικές) καταστάσεις ενός δυναμικού συστήματος που βρίσκονται σε μια περιοχή 1A , μιαν αρχική

χρονική στιγμή 1t . Τη χρονική στιγμή 2t η συλλογή αυτή θα βρίσκεται στην περιοχή 2A .

Ανάλογα με το είδος του μηχανικού συστήματος χρησιμοποιούμε το Σχ.(7.1α) ή (7.1β). Αφού οι καμπύλες δεν τέμνονται, κανένα σημείο της συλλογής δε μπορεί να διασχίσει τις περικλείουσες τις περιοχές A κατά την εξέλιξη του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι το πλήθος ΔN των σημείων των περιοχών 1 2, A A είναι το ίδιο. Όμως έχομε δει ότι το

στοιχείο «όγκου» του χώρου των φάσεων παραμένει αναλλοίωτο σε κανονικούς μετασχηματισμούς, Εξ.(10.179). Αυτό σημαίνει ότι, αν θεωρήσομε στοιχείο όγκου με μικρές όλες τις διαστάσεις του, σε ένα σημείο στο χώρο των φάσεων, που περιέχει δεδομένο πλήθος καταστάσεων μιαν αρχική χρονική στιγμή, θα έχομε ότι κατά την εξέλιξη του συστήματος αυτό παραμένει αναλλοίωτο, δηλαδή

232

1 2 1 2 1 2 1 2d =d d ...d d d ...d d d ...d d d ...d .n n n n nq q q p p p Q Q Q P P P (10.199)

Η εξέλιξη ενός μηχανικού συστήματος με το χρόνο, περιγράφεται από κανονικό μετασχηματισμό, που είναι επαλληλία απειροστών κανονικών μετασχηματισμών, άρα κατά την εξέλιξη του συστήματος το d n παραμένει σταθερό, παρόλο που μπορεί το

σχήμα του να μεταβάλλεται. Αυτό είναι το θεώρημα του Liouville. Αν ορίσομε ως

πυκνότητα της συλλογής στο χώρο των φάσεων το μέγεθος Δ

Δ n

ND

Ω , θα έχομε ότι το D

θα είναι σταθερό με το χρόνο, δηλαδή είναι μια σταθερά της κίνησης, d

0d

D

t . Αν

θεωρήσομε την πυκνότητα αυτή ως συνάρτηση της θέσης στο χώρο των φάσεων και (άμεσα) του χρόνου, δηλαδή ως μια δυναμική συνάρτηση, ( , , )D D q p t , τότε θα έχομε

d, 0

d

, .

D DD H

t tD

H Dt

(10.200)

Η άμεση εξάρτηση αυτής της πυκνότητας από το χρόνο, σημαίνει ότι σε δεδομένο σταθερό σημείο στο χώρο των φάσεων, δηλαδή για ,q pσταθερά, το ( , , )D q p t μεταβάλλεται με το χρόνο.Τα ανωτέρω βρίσκουν εφαρμογή στη Στατιστική Μηχανική. Είναι δύσκολο αν έχομε ένα δυναμικό σύστημα αποτελούμενο από μεγάλο πλήθος (της τάξης των 2310 ) δομικών λίθων (σωμάτια) να μελετήσομε την κίνηση του συστήματος με ένα τεράστιο πλήθος συντεταγμένων. Εκτός των άλλων, μας είναι αδύνατο να έχομε τις αρχικές συντεταγμένες του συστήματος στο χώρο των φάσεων. Έτσι περιγράφομε το σύστημα μέσα στα πλαίσια της Στατιστικής Φυσικής (Μηχανικής), όπου ενδιαφερόμαστε για μακροσκοπικά μεγέθη που είναι μέσες τιμές μικροσκοπικών μεγεθών . Η μεθοδολογία είναι να εξετάσομε την εξέλιξη μεγάλου αριθμού συλλογών (με διαφορετικές γειτονικές αρχικές συνθήκες) του μηχανικού συστήματος. Έχομε δηλαδή ότι η κάθε συλλογή να είναι ένα σμήνος σημείων σε μια πολύ μικρή περιοχή στο χώρο των φάσεων, κάποια χρονική στιγμή. Από την Εξ.(10.200) συμπεραίνομε ότι αν το εξεταζόμενο (θερμοδυναμικό) σύστημα σωματίων βρίσκεται σε στατιστική ισορροπία, τότε σε δεδομένο σταθερό σημείο στο χώρο των φάσεων η πυκνότητα D δεν μεταβάλλεται με το χρόνο, δηλαδή δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο. Δηλαδή

( , )

0.

D D q p

D

t

(10.201)

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7.1 Αποδείξτε ότι οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί είναι κανονικοί:

233

α) 2 2 2( / ), arctan .2

a pQ q p a P

aq

β)

2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 2 1 2

2 1 21 2

2 1 2

1,

2

1 1arctan arctan , arctan .

2 2

Q q p Q q q p q

q q qP P

p p p

7.2 Δείξτε ότι ο μετασχηματισμός

sin

ln , cotp

Q P q pq

είναι κανονικός. Βρείτε μια συνάρτηση ( , )F q p της οποίας το ολικό διαφορικό να είναι: d ( , ) d ( , )d ( , ).F q p p q P q p Q q p

Ελέγξτε ποιες από τις απλές μορφές γεννητριών συναρτήσεων 1 2 3 4, , , F F F F μπορεί να

γεννήσουν αυτόν τον κανονικό μετασχηματισμό. Βρείτε μια από αυτές.

7.3 Η χαμιλτονιανή κάποιου συστήματος είναι 21( , )

2H q p p . Δείξτε ότι αν γίνει ο

μετασχηματισμός , ( )q Q p f Q όπου η ( )f Q είναι αυθαίρετη καλά

συμπεριφερόμενη συνάρτηση και αν ορίσομε ( ) ( )dk Q f Q Q , τότε ισχύουν

, k k

Q PP Q

, δηλαδή κανονικές εξισώσεις. Δείξτε ότι για την αγκύλη του Poisson

ισχύει 1

d,

d

kP Q

P

. Είναι ο μετασχηματισμός κανονικός; Τι έχετε να πείτε;

7.4 Βρείτε κανονικό μετασχηματισμό τέτοιον που η χαμιλτονιανή σωματίου σε κατακόρυφη ελεύθερη πτώση μέσα στο πεδίο βαρύτητας να γίνει ( , ) .K Q P P Λύστε το πρόβλημα βρίσκοντας τα ( ), ( )Q t P t και μετασχηματίστε για να βρείτε τη συνήθη λύση. 7.5 Δείξτε ότι ο μετασχηματισμός που λέγεται εκτεταμένος σημειακός μετασχηματισμός, δηλαδή ο μετασχηματισμός

1

( , )( , ),

nj

i i i jj i

q Q tQ Q q t P p

Q

είναι κανονικός μετασχηματισμός.

7.6 Δείξτε ότι ο μετασχηματισμός 1 1

ln sin , tan

Q p P qq p

είναι κανονικός.

Βρείτε μια γεννήτρια συνάρτηση για αυτόν. 7.7 Δείξτε ότι ο μετασχηματισμός

234

1 1 1 1 2

2 2 2 1 2

2

2

Q q P p p

Q p P q q

είναι κανονικός και βρείτε μια γεννήτρια συνάρτηση για αυτόν. 7.8 Αν για κάποιον κανονικό μετασχηματισμό υπάρχουν δυο γεννήτριες συναρτήσεις τύπου οποιουδήποτε από τους γνωστούς 1 2 3 4, , ,F F F F , τότε οι δυο γεννήτριες συνδέονται

με κατάλληλο μετασχηματισμό legendre. 7.9 Προσδιορίστε τους κανονικούς μετασχηματισμούς που γεννούν οι παρακάτω γεννήτριες συναρτήσεις:

α) g1

( , , )n

i ii

F q Q t q Q

.

β) g1

( , , )n

i ii

F p P t p P

.

γ) g ( , , ) (tan )(e 1)QF p Q t p .

7.10 Η χαμιλτονιανή κάποιου μηχανικού συστήματος είναι ( , , ) e pH q p t q t . Με τον

κανονικό μετασχηματισμό e , pQ q t P p το σύστημα πάει στις νέες μεταβλητές ,Q p .

α) Βρείτε δυο γεννήτριες συναρτήσεις αυτού του μετασχηματισμού. β) Ποια είναι η νέα χαμιλτονιανή; 11. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ HAMILTON-JACOBI Η μεθοδολογία του Hamilton και του Jacobi (των Hamilton-Jacobi, H-J), συνίσταται στην εύρεση κανονικού μετασχηματισμού ( , , ), ( , , )Q Q q p t P P q p t ο οποίος να μετασχηματίζει, δηλαδή να μπορεί να συσχετίζει, τις συντεταγμένες ,q p την παρούσα

χρονική στιγμή t , στις συντεταγμένες 0 0,Q q P p την αρχική χρονική στιγμή 0t . Με

αυτό τον τρόπο οδηγούμαστε σε σταθερές τιμές μετασχηματισμένων συντεταγμένων (σταθερές της κίνησης) και η αντιστροφή του κανονικού μετασχηματισμού μας δίνει τη λύση του προβλήματος αφού προσδιορίζει τις παρούσες συντεταγμένες συναρτήσει των αρχικών τους τιμών δηλαδή 0 0 0 0 0 0( , , , ), ( , , , )q q q p t t p p q p t t . Αυτό σημαίνει ότι το

πρόβλημα λύνεται αν βρεθεί η κατάλληλη γεννήτρια συνάρτηση τύπου gF . Πιο

συγκεκριμένα, για να πετύχομε οι μετασχηματισμένες, «νέες», συντεταγμένες να είναι

235

σταθερές της κίνησης, απαιτούμε η μετασχηματισμένη χαμιλτονιανή gFK H

t

να

είναι ίση με μια σταθερά, έστω c . Δεν περιορίζεται η γενικότητα αν θέσομε 0c διότι

αν η γεννήτρια συνάρτηση gF δίνει τη χαμιλτονιανή gFK H c

t

τότε μπορούμε να

διαλέξομε ως γεννήτρια συνάρτηση τη συνάρτηση gF ct (οι μετασχηματισμοί και οι

εξισώσεις κίνησης δεν αλλάζουν) η οποία δίνει την ίση με μηδέν χαμιλτονιανή, πράγματι

g( )0

F ctH K c c c

t

. Τότε οι εξισώσεις κίνησης lagrange γίνονται

0, 0i ii i

K KQ P

P Q

. (11.1)

Δηλαδή οι λύσεις πράγματι είναι σταθερές. Θα προχωρήσομε στον προσδιορισμό του μετασχηματισμού, δηλαδή στην εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης, gF , του

μετασχηματισμού. Έχομε για τη μετασχηματισμένη (νέα) χαμιλτονιανή

g( , , ) 0F

H q p t Kt

. (11.2)

Είναι βολικό να ψάξομε για γεννήτρια συνάρτηση gF του τύπου 2 ( , , )F q P t . Τότε ξέρομε

ότι ισχύουν οι σχέσεις

2 ( , , )i

i

F q P tp

q

. (11.3)

Η γεννήτρια συνάρτηση συνηθίζεται να συμβολίζεται με S , επομένως η Εξ.(11.2) δίνει τη μερική διαφορική εξίσωση

1 21 2

, ,..., , , ,..., , 0nn

S S S SH q q q t

q q q t

. (11.4)

Αυτή η εξίσωση λέγεται εξίσωση των Hamilton-Jacobi και έχει 1n ανεξάρτητες μεταβλητές ,q t . Αφού λυθεί αυτή η εξίσωση, θα μας δώσει τη ζητούμενη γεννήτρια

συνάρτηση 0( , , ), S q P t p P =σταθερά. Η ζητούμενη συνάρτηση S λέγεται κύρια

συνάρτηση του Hamilton. Αφού η μερική διαφορική εξίσωση είναι πρώτης τάξεως με 1n ανεξάρτητες μεταβλητές, η λύση της, S , είναι συνάρτηση των μεταβλητών ,q t και

περιέχει και 1n ανεξάρτητες σταθερές. Ας υποθέσομε ότι υπάρχει λύση της Εξ.(11.4) που έχει τη μορφή 1 2 1 2 1( , ,..., , , ,..., , , )n n nS S q q q t . (11.5)

236

Κάθε τέτοια λύση λέγεται πλήρης λύση και δε σημαίνει ότι είναι μοναδική, δεν είναι γενική λύση. Για τη διαδικασία μας αρκεί να υπάρχει και να βρούμε τουλάχιστο μια τέτοια πλήρη λύση. Είναι ευνόητο ότι, εφόσον η εξίσωση περιέχει μόνο παραγώγους της S , αν είναι λύση η S λύση θα είναι και η S k όπου k =σταθερά. Αυτό σημαίνει ότι η μια σταθερά μπορεί να ληφθεί ως εντελώς προσθετική σταθερά. Θα δούμε αμέσως ότι χρειαζόμαστε μόνο n ανεξάρτητες σταθερές που να μπορούν να σχετιστούν με τις μετασχηματισμένες ορμές. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να κρατήσομε μόνο τις n από τις

1n ανεξάρτητες σταθερές, χωρίς να δημιουργηθεί πρόβλημα στη λύση που ζητούμε να βρούμε. Θα δούμε παρακάτω ότι καμιά από τις n σταθερές δε μπορεί να είναι εντελώς προσθετική. Έχομε λοιπόν τη λύση με n μη προσθετικές ανεξάρτητες σταθερές 1 2 1 2( , ,..., , , ,..., , )n nS S q q q t . (11.6)

Τώρα μπορούμε να συσχετίσομε τις σταθερές με τις μετασχηματισμένες (νέες) ορμές iP ,

αφού αυτές είναι οι αρχικές ορμές άρα είναι κάποιες σταθερές. Αρχικά ας τις ταυτίσομε, δηλαδή ας υποθέσομε ότι 0 ( )i iP t t . (11.7)

Οι νέες συντεταγμένες iQ συνδέονται με τη γεννήτρια 2F μέσω της γνωστής σχέσης

2i

i

FQ

P

. (11.8)

Αν υποθέσομε ότι οι αρχικές συντεταγμένες έχουν μεγέθη 0, i iQ t t (11.9)

τότε θα έχομε (αφού 2S F )

( , , )

i ii

S q tQ

. (11.10)

Η Εξ.(11.3) γίνεται

( , , )

ii

S q tp

q

. (11.11)

Αν υποθέσομε ότι για την ορίζουσα της χεσιανής μήτρας ισχύει 2

0i j

S

q

, τότε οι

σχέσεις της Εξ.(11.10) αντιστρέφονται και βρίσκομε τα ( , , )i iq q t (11.12)

δηλαδή ως συναρτήσεις των αρχικών συντεταγμένων του φασικού χώρου και του χρόνου. Αν υποθέσομε ότι η μια ανεξάρτητη σταθερά είναι εντελώς προσθετική, έστω η 1 , τότε

237

2 2 1( , , ,..., )nS S q . Προφανώς η πρώτη γραμμή της χεσιανής ορίζουσας είναι

μηδέν, διότι 1

1S

άρα 2

1 j

S

q

=0. Αυτό σημαίνει ότι η ορίζουσα της χεσιανής

μήτρας είναι μηδέν δε μπορεί να γίνει αντιστροφή των σχέσεων της Εξ.(11.10). Δηλαδή δε μπορεί καμιά σταθερά να είναι προσθετική. Αντικαθιστούμε τα ( , , )i iq q t στην

Εξ.(11.11) και βρίσκομε και τα ( , , )i ip p t . (11.13)

Οι Εξ.(11.12) και (11.13) αποτελούν τη λύση του προβλήματος. Πρέπει να πούμε ότι μπορούμε να πάρομε ως νέες ορμές οποιεσδήποτε ανεξάρτητες συναρτήσεις των i , δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι

1 2( , ,..., )i i nP . (11.14)

Από αυτές τις σχέσεις υποθέτοντας ότι μπορούν να αντιστραφούν, μπορούμε να βρούμε τις σχέσεις 1 2( , ,..., )i i n . (11.15)

Στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην Εξ.(11.6) και βρίσκομε την S ως συνάρτηση των . Δηλαδή

1 2 1 2

1 2 1 2

( , ,..., , ( ), ( ),..., ( ), )

( , ,..., , , ,..., , ).n n

n n

S S q q q t

S q q q t

(11.16)

Από εκεί και πέρα έχομε την ίδια διαδικασία όπως πριν. Όταν το σύστημα είναι αυτόνομο, η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, η διαδικασία H-J γίνεται απλούστερη. Σε αυτή την περίπτωση, η χαμιλτονιανή είναι ένα ολοκλήρωμα της κίνησης, δηλαδή θα ισούται με μια σταθερά έστω h . Θα έχομε ( , )H q p h . (11.17) Έστω 1 2( , ,..., )n μια σταθερά, συνάρτηση των σταθερών i . Μπορούμε να

γράψομε ότι ( , , ) ( , ) ( )S q t W q t . (11.18) Στη συνέχεια, βλέπομε ότι πράγματι αντικατάσταση της Εξ.(11.18) στην εξίσωση H-J Εξ.(11.4) είναι συμβατή με την Εξ.(11.17) αφού δίνει

1 21 2

, ,..., , , ,..., ( )nn

W W WH q q q h

q q q

. (11.19)

238

Δηλαδή η σταθερά ( ) είναι η h . Ας ξεκινήσομε υποθέτοντας ότι 1( ) h .

Διαλέξαμε την 1 από τις n σταθερές στην Εξ.(11.18) αλλά μπορούμε να διαλέξομε

οποιαδήποτε, η αρίθμηση των σταθερών είναι αυθαίρετη. Η W λέγεται χαρακτηριστική συνάρτηση του Hamilton. Η W εμφανίζεται ως μέρος της γεννήτριας συνάρτησης S , όμως θα δούμε τώρα ότι μπορεί να θεωρηθεί ως γεννήτρια κανονικού μετασχηματισμού που μας οδηγεί στη λύση του προβλήματος. Η W περιέχει τις παραπάνω n ανεξάρτητες μη προσθετικές σταθερές i . Μπορούμε, προφανώς, να δουλέψομε με την γεννήτρια

συνάρτηση S εκφρασμένη όπως στην Εξ.(11.18). Ας δουλέψομε όμως με την χαρακτηριστική συνάρτηση W ως γεννήτρια συνάρτηση, θεωρώντας κανονικό μετασχηματισμό όπου οι νέες ορμές σχετίζονται με τις (ή είναι οι) n σταθερές κίνησης

i και η γεννήτρια συνάρτηση έχει τη μορφή 2F , χωρίς το χρόνο, δηλαδή είναι η

( , )W q P . Στην αρχή θα υποθέσομε ότι i iP και 1 1( )h P . Οι εξισώσεις

μετασχηματισμού είναι

, i ii i i

W W Wp Q

q P

. (11.20)

Η χαμιλτονιανή είναι σταθερά της κίνησης και ισχύει η Εξ.(11.17). Αντικαθιστώντας σε αυτήν τα ip από τις πρώτες σχέσεις της Εξ.(11.20) βρίσκομε ότι

1 2 11 2

, ,..., , , ,...,nn

W W WH q q q h

q q q

. (11.21)

Αυτή είναι η Εξ.(11.19). Επομένως, χρησιμοποιώντας ως γεννήτρια την W , βρήκαμε ξανά την Εξ.(11.19) η οποία είχε βρεθεί με χρήση της S στη μορφή της Εξ.(11.18), δηλαδή έχομε το ίδιο αποτέλεσμα. Έχομε για τη νέα χαμιλτονιανή

1

0

.

WK H H H

tK h

(11.22)

Επομένως οι κανονικές εξισώσεις με τις παραγώγους των ορμών είναι

0, i i ii

KP P

Q

. (11.23)

Επειδή η χαμιλτονιανή εξαρτάται μόνο από την ορμή 1 1K P έχομε τις εξισώσεις

κίνησης για τα iQ

239

1, 1,

0, 1.

ii i

K KQ i

P

i

(11.24)

Η ολοκλήρωση των ανωτέρω εξισώσεων δίνει 1 1, 1. i iQ t Q i (11.25)

Όπου i είναι σταθερές. Η Εξ.(11.21) λέγεται και αυτή εξίσωση των Hamilton-Jacobi

και μπορεί να δώσει την εξάρτηση της ( , )W q από τις παλιές συντεταγμένες iq . Από

τις δεύτερες από τις σχέσεις μετασχηματισμού Εξ.(11.20) και τις Εξ.(11.24), (11.25), βρίσκομε

1

1

( , ),

( , ), 1.i

i

W qt

W qi

(11.26)

Αν η ορίζουσα 2

0i j

W

q

τότε οι Εξ.(11.26) μπορούν να λυθούν ως προς iq . Αν

αντικαταστήσομε αυτά τα iq στις πρώτες από τις Εξ.(11.20) βρίσκομε και τα ip .

Δηλαδή

( , , )

( , , ).i i

i i

q q t

p p t

(11.27)

Δεν είναι απαραίτητο να ληφθούν τα i ως οι νέες ορμές. Μπορούμε να πάρομε ως νέες

ορμές ανεξάρτητες συναρτήσεις αυτών των σταθερών, οπότε

( )

( )

.

i i

i ii

i i i

KQ

Q t

(11.28)

Το φυσικό νόημα των σταθερών προσδιορίζεται από τα αρχικά μεγέθη, δηλαδή για 0t t .

Επειδή έχομε αυτόνομα συστήματα οποιαδήποτε στιγμή μπορεί να ληφθεί ως αρχική και η εξέλιξη του συστήματος θα είναι η ίδια από εκεί και πέρα. Δηλαδή δεν χάνεται η γενικότητα αν ληφθεί 0 0.t

240

11.1 Η μέθοδος των Hamilton-Jacobi στον αρμονικό ταλαντωτή Η χαμιλτονιανή είναι

2 2 2 21

2

.

H p m q Em

k

m

(11.29)

Το σύστημα είναι αυτόνομο και έχομε την εξίσωση των H-J

2

2 2 21

2

Wm q E

m q

. (11.30)

Μια πλήρης λύση της Εξ.(11.30) είναι η

2 2 2

2 1 d2

m qW m q

. (11.31)

Επομένως

241

2 2 2

2

2

2 12

1arcsin

2

2sin( )

=

W m qp m

q

W mQ t q

q tm

. (11.32)

Η σχέση ( )q q t είναι το γνωστό αποτέλεσμα, κίνηση για τον αρμονικό ταλαντωτή. Το p υπολογίζεται από την πρώτη και την τρίτη των Εξ.(11.32)

2 cos( )p m t . (11.33) Από τις Εξ.(11.33) και την τρίτη από τις Εξ.(11.32) απαλείφοντας το χρόνο βρίσκομε τις εξισώσεις των τροχιών στο χώρο των φάσεων (orbit, εξίσωση τροχιάς με χωρίς παράμετρο το χρόνο) , με παράμετρο το που εδώ είναι η ενέργεια E . Έχομε

2

2 211

2 2

mp q

mE E

. (11.34)

Φυσικά αυτό είναι αναμενόμενο αποτέλεσμα αφού η σταθερά είναι η ενέργεια, είναι η σχέση από την οποία ξεκινήσαμε, η πρώτη από τις Εξ.(11.29). 12. ΣΥΝΕΧΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, ΠΕΔΙΑ Στην περίπτωση συνεχών δυναμικών συστημάτων η περιγραφή γίνεται με πεδία, δηλαδή με μεγέθη που είναι συναρτήσεις της θέσης του συνήθους τρισδιάστατου χώρου και του χρόνου. Θα χρησιμοποιούμε καρτεσιανές συντεταγμένες. Το πεδίο γενικώς έχει συνιστώσες (πεδία), οπότε θα είναι της μορφής 1 2 3( , , , ), 1, 2,...,x x x t n . (12.1)

242

Τα πεδία παίζουν το ρόλο συντεταγμένων, δηλαδή είναι τα αντίστοιχα των kq για

διακριτά συστήματα. Για ευκολία, εισάγομε το συμβολισμό που ακολουθεί με χρήση της ταχύτητας του φωτός στο κενό c , Εξ.(12.2). Με αυτό το συμβολισμό δεν εννοούμε, κατ’ ανάγκη, ότι βρισκόμαστε στον τετραδιάστατο χώρο του Minkowski, δηλαδή ο χρόνος και ο χώρος μπορεί να είναι μεγέθη ανεξάρτητα μεταξύ τους, όπως ισχύει στη νευτώνεια μηχανική.

0 1 2 3

2def def def

, , ,

, , ,

d dd, ,

d d d dj j

x ct x x x y x z

x x x x

. (12.2)

Μπορεί να χρησιμοποιούνται και μερικές παράγωγοι στους ανωτέρω συμβολισμούς. Επίσης στις περιπτώσεις ορισμάτων συναρτήσεων χρησιμοποιείται το σύμβολο x για να δηλώσει εξάρτηση από το τετράνυσμα χρόνου- θέσης αλλά μπορεί να χρησιμοποιείται και το σύμβολο x , δηλαδή

def

0 1 2 3( , , , )x x x x x . (12.3) Τα πεζά ελληνικά γράμματα ως δείκτες παίρνουν τιμές 0,1,2,3 ενώ τα λατινικά παίρνουν τιμές 1,2,3. Επαναλαμβανόμενοι δείκτες είναι βωβοί δείκτες και αθροίζονται όπως γίνεται με τανυστικά μεγέθη πάνω σε όλες τις τιμές που παίρνουν, εκτός αν στο κείμενο λέγεται ότι δεν είναι έτσι. Εδώ δεν χρειάζεται στην άθροιση να είναι άνω και κάτω δείκτες (πράγμα που συνηθίζεται στη Θεωρία της Σχετικότητας που θα δούμε και παρακάτω). Συνήθως (αλλά όχι πάντοτε) για τις συνιστώσες των πεδίων χρησιμοποιούμε ως δείκτη το που μπορεί να παριστάνει και συνδυασμό πολλών δεικτών. Ορίζεται η πυκνότητα της λαγκρανζιανής (ή η λαγκρανζιανή πυκνότητα)

,( , , )

, 1, 2,..., , =0,1,2,3

x

n

. (12.4)

Η ολική λαγκρανζιανή L είναι το ολοκλήρωμα της λαγκρανζιανής πυκνότητας στον όγκο V του τρισδιάστατου χώρου του συστήματος, δηλαδή

3,

3 1 2 3

( , , )d

d d d d .

V

L x x

x x x x

(12.5)

Μπορούμε να ορίζομε το ολοκλήρωμα δράσης να είναι

2 2

1 1

3 4, ,

4 3

d ( , , )d d ( , , )d

d d d .

t t

t t V Ω

I c L t c x t x x x

x c t x

(12.6)

243

Όπου με Ω παριστάνομε ένα χωρίο (περιοχή) του τετραχώρου των 0 1 2 3, , ,x x x x . Το παραπάνω ολοκλήρωμα δράσης διαφέρει από το ολοκλήρωμα δράσης που ορίσαμε στα προηγούμενα κατά τον σταθερό παράγοντα c , πράγμα που δεν επηρεάζει τις εξισώσεις που προκύπτουν. Η επέκταση της αρχής hamilton είναι

4 4, ,δ δ ( , , )d δ ( , , )d 0.I x x x x

(12.7)

Κατά τη μεταβολή δ τα ix είναι σταθερά. Μπορούμε να κάνομε χρήση των αποτελεσμάτων του Παραρτήματος Π4. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές εδώ είναι τα

0 1 2 3, , ,x x x x δηλαδή 4m και οι εξαρτημένες μεταβλητές είναι τα πεδία . Το I είναι

το συναρτησιακό και η αντίστοιχη συνάρτηση F είναι η λαγκρανζιανή πυκνότητα . Στο σύνορο του χώρου οι τιμές των πεδίων είναι καθορισμένες, οι ίδιες για όλες τις δυνατές μεταβολές. Τα όρια του χρόνου είναι αυθαίρετα. Σύμφωνα με το Παράρτημα Π4 καταλήγομε στις εξισώσεις των Euler-Lagrange για συνεχή συστήματα, δηλαδή

,

d0

dx

. (12.8)

Στη λαγκρανζιανή πυκνότητα μπορεί να προστεθεί ένας όρος που να είναι η τετραπόκλιση οποιωνδήποτε τεσσάρων διαφορίσιμων συναρτήσεων των και των x

χωρίς να αλλάξουν οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης, δηλαδή ο όρος που μπορεί να προστεθεί είναι της μορφής

d ( , )

d

F x

x

. (12.9)

Επομένως η λαγκρανζιανή πυκνότητα ,( , , )x μπορεί να αντικατασταθεί με

αυτήν της Εξ.(12.10).

,

d ( , )( , , )

d

F xx

x

. (12.10)

Ας ορίσομε τον τελεστή για τη συναρτησιακή παράγωγο ως εξής

,

δ d

δ d iix

όπου έχομε άθροιση στα 1,2,3i . Οι εξισώσεις κίνησης του Lagrange για συνεχή συστήματα, Εξ.(12.8), παίρνουν μορφή που θυμίζει περισσότερο τις αντίστοιχες εξισώσεις για διακριτά συστήματα. Έχομε πράγματι

d δ

0d δt

. (12.11)

244

12.1 Ο τανυστής τάσης-ενέργειας ή ενέργειας-ορμής και θεωρήματα διατήρησης Υπολογίζομε τις ολικές παραγώγους της λαγκρανζιανής πυκνότητας, ως προς x ,

, ,,

d

dx x

. (12.12)

Λαμβάνοντας υπόψη και τις εξισώσεις κίνησης Εξ.(12.8) βρίσκομε

,,

, ,

,,

dd d

d d d

d.

d

x x x x

x x

(12.13)

Τελικώς έχομε

,,

dδ

dx x

. (12.14)

Ας υποθέσομε ότι η λαγκρανζιανή πυκνότητα δεν εξαρτάται άμεσα από το τετράνυσμα x , τότε

,( , )

0.x

(12.15)

Οι Εξ.(12.14) και (12.15) οδηγούν στις σχέσεις τετραπόκλισης που φαίνονται στην Εξ.(12.16)

def

,,

,

δ

d0.

d

T

TT

x

(12.16)

Η Εξ.(12.16) δείχνει ότι έχομε τέσσερις διαφορικές μορφές που είναι αποκλίσεις οι οποίες μηδενίζονται. Αυτό μπορεί να οδηγήσει όπως θα δούμε παρακάτω σε διατηρούμενα μεγέθη.

245

Παρόλο που χρησιμοποιούμε συμβολισμό τανυστών, εφόσον ο τετραχώρος που ορίσαμε δεν είναι ο χώρος του Minkowski, τα μεγέθη δεν είναι τανυστές του τετραχώρου μας και έτσι δεν έχουν νόημα πάνω και κάτω δείκτες. Όμως, οι έννοιες αυτές ορίζονται και όταν γίνεται χρήση της Ειδικής Σχετικότητας οπότε ο συμβολισμός μας είναι εναρμονισμένος με το συμβολισμό των τανυστών του τετραχώρου του Minkowski. Όμως, οι χωρικές συνιστώσες του φυσικού μεγέθους T

συμπεριφέρονται πράγματι ως συνιστώσες

τανυστή στο συνήθη τρισδιάστατο χώρο. Συγκεκριμένα, οι συνιστώσες , 1, 2,3ijT i j είναι οι συνιστώσες ενός τανυστή τριών διαστάσεων δεύτερης τάξης.

Αυτός ο τανυστής ijT λέγεται τανυστής των (μηχανικών) τάσεων (τασικός τανυστής).

Παρόλα αυτά, θα ονομάζομε και το φυσικό μέγεθος T τανυστή (μηχανικής) τάσης-

ενέργειας ή τανυστή ενέργειας-ορμής. Για τη συνιστώσα 00T έχομε

00T

L

. (12.17)

Αυτό θυμίζει τη σχέση που ισχύει για την ενεργειακή συνάρτηση όταν έχομε διακριτά μηχανικά συστήματα. Αν ισχύουν οι γνωστές προϋποθέσεις τότε η ενεργειακή συνάρτηση είναι η ολική μηχανική ενέργεια του μηχανικού συστήματος. Με αντίστοιχη επιχειρηματολογία μπορούμε να πούμε ότι το 0

0T είναι η ολική ενεργειακή πυκνότητα

του πεδίου ή η πυκνότητα της πεδιακής ενέργειας. Για να δούμε τι μπορούμε να πούμε για τις άλλες συνιστώσες, γράφομε τις δεύτερες σχέσεις της Εξ.(12.16) στη μορφή

0 0

,

def1 2 3

d d d0

d d d

= ( , , ).

j

j

T T TT T

c t x c t

T T T T

(12.18)

Αυτή η σχέση θυμίζει εξίσωση συνέχειας όπου ο ρυθμός μεταβολής με το χρόνο κάποιας πυκνότητας συν την απόκλιση κάποιας αντίστοιχης ροής είναι μηδέν. Ας ορίσομε το φυσικό μέγεθος

0 3dV

R T x . (12.19)

Από τις πρώτες από τις Εξ.(12.18) και χρήση του θεωρήματος της απόκλισης, βρίσκομε

0

3 3d dd d d

d dV V S

R Tx x T A T

c t c t

. (12.20)

Αν τα πεδία είναι εντοπισμένα, τότε παίρνομε ως όγκο αυτόν που εκτείνεται έξω από την περιοχή που τα πεδία είναι μη μηδενικά, δηλαδή η επιφάνεια βρίσκεται σε χώρο όπου

0T

, επομένως από την Εξ.(12.20) καταλήγομε στο ότι d

0d

R

t . Αν τα πεδία

εκτείνονται σε όλο το χώρο, καταλήγομε στο ίδιο αποτέλεσμα αφού υποθέτομε ότι για

246

μεγάλες αποστάσεις τα πεδία τείνουν με κατάλληλο τρόπο στο μηδέν. Αυτό σημαίνει πως υπό αυτές τις προϋποθέσεις τα R διατηρούνται. Αυτή είναι η αιτία που τα μεγέθη

, 0,1, 2,3T λέγονται διατηρούμενα ρεύματα. Σε αναλογία με τα αντίστοιχα του

ηλεκτρομαγνητισμού. Από την εξέταση συγκεκριμένων συνεχών μηχανικών συστημάτων, μπορούμε να δώσομε φυσικό νόημα σε καθεμιά από τις συνιστώσες του τανυστή ενέργειας-ορμής, T

. Συγκεκριμένα, το 00T είναι η πυκνότητα της πεδιακής ενέργειας, το

0 T

με τρεις συνιστώσες 0jT είναι η πυκνότητα ρεύματος της πεδιακής ενέργειας, το

0iT είναι η συνιστώσα i από τις τρεις χωρικές συνιστώσες για την πυκνότητα πεδιακής

ορμής, τα iT

με συνιστώσες 0iT είναι η πυκνότητα ρεύματος για τη συνιστώσα i της

πυκνότητας της πεδιακής ορμής, jiT είναι τανυστής τάσης-ενέργειας στον συνήθη

τρισδιάστατο χώρο. Ο φορμαλισμός και η ονοματολογία ξεκινούν από μηχανικά συστήματα αλλά εφαρμόζονται σε κάθε είδος πεδίων. Η κλασική θεωρία πεδίων μπορεί να αναφέρεται σε ταλαντώσεις ελαστικών μέσων, σε ηλεκτρομαγνητικά πεδία, στο πεδίο της κβαντομηχανικής στη μορφή του Schroedinger, στο σχετικιστικό πεδίο που περιγράφει κάποιο στοιχειώδες σωματίδιο κτλ. Μπορούμε να ορίσομε την πυκνότητα στροφορμής για πεδία (πεδιακή στροφορμή) έτσι που, όπως έγινε και με την πυκνότητα πεδιακής ορμής να μπορούν υπό κατάλληλες συνθήκες να υπάρξουν αντίστοιχες διατηρούμενες ποσότητες. Η στροφορμή είναι αξονικό διάνυσμα, επομένως περιμένομε ότι οι συνιστώσες της πυκνότητας πεδιακής στροφορμής θα είναι συνιστώσες ενός αντισυμμετρικού τανυστή δεύτερης τάξης. Μια κατάλληλη μορφή αυτού του τανυστή είναι 0 0( )ij i j j ix T x T M . (12.21) Η ολική στροφορμή του πεδίου είναι

3dijij

V

M x M . (12.22)

Προφανώς

0 0

3d d dd

d d d

ij j ii j

V

M T Tx x x

t t t

. (12.23)

Από την εξίσωση της συνέχειας, Εξ.(12.20), βρίσκομε

3d d dd

d d d

ij jk iki j

k kV

M T Tx x x

t x x

. (12.24)

Παραγοντική ολοκλήρωση οδηγεί στη σχέση

247

3 3d dd d

d d

iji jk j ik ij ji

kV V

Mx x T x T x T T

t x . (12.25)

Το πρώτο ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα όγκου μιας απόκλισης επομένως με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης μπορεί να μετατραπεί σε ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια που περικλείει το σχετικό όγκο. Για εντοπισμένα πεδία αλλά και για αυτά που υπάρχουν σε όλο το χώρο, το ολοκλήρωμα στην περικλείουσα επιφάνεια μηδενίζεται, με κατάλληλη επιλογή της επιφάνειας έτσι που να φτάνει σε περιοχή που τα πεδία είναι μηδέν. Επειδή

ij jiT T έπεται ότι και το δεύτερο ολοκλήρωμα μηδενίζεται, άρα η πεδιακή στροφορμή διατηρείται σε μια τέτοια περίπτωση όπως μπορούσε να εικάσει κάποιος. Επειδή ο τανυστής τάσης-ενέργειας ικανοποιεί τις σχέσεις με την απόκλιση, Εξ.(12.16)(9.25), είναι προφανώς απροσδιόριστος γιατί μπορεί να προστεθεί σε αυτόν οποιαδήποτε συνάρτηση της οποίας η τετραπόκλιση είναι μηδέν. Δηλαδή

,( , , )

d0

d

.

G G x

G

x

T T G

(12.26)

12.2 Χαμιλτονιανός φορμαλισμός Ορίζομε ως πυκνότητα πεδιακής γενικευμένης ορμής το μέγεθος

. (12.27)

Τα μεγέθη ,

ορίζουν τον απείρων διαστάσεων χώρο των φάσεων που περιγράφει τα

κλασικά πεδία και την εξέλιξή τους στο χρόνο. Όπως θα δούμε παρακάτω, στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό που ακολουθούμε, ο χρόνος ξεχωρίζει από τη θέση, γι’ αυτό υιοθετούμε το συμβολισμό ( , ), ( , )i ix t x t

. Αν μια πεδιακή ποσότητα είναι

248

αγνοήσιμη, δηλαδή η δεν εξαρτάται από αυτήν οπότε 0

, τότε οι πεδιακές

εξισώσεις lagrange, Εξ.(12.8), παίρνουν μορφή που μοιάζει με διατύπωση ύπαρξης διατηρητικού ρεύματος. Πράγματι έχομε

,

d0

d

d d0.

d d ii

t

t x

. (12.28)

Όταν λοιπόν ένα είναι αγνοήσιμο, από τις δεύτερες σχέσεις της Εξ.(12.28), κάνοντας

χρήση του θεωρήματος της απόκλισης και θεωρώντας μηδέν τα πεδία στην επιφάνεια-σύνορο κατά τα γνωστά, καταλήγομε στο ότι υπάρχει ένα μέγεθος υπό μορφή ολοκληρώματος που διατηρείται. Αυτό είναι το εξής

3d ( , )i

V

Π x x t . (12.29)

Η πεδιακή χαμιλτονιανή πυκνότητα ορίζεται ως εξής ,( , , , )i

i x . (12.30)

Εννοείται ότι έχομε λύσει τις Εξ.(12.27) (αντιστροφή) ως προς και τα έχομε εξαλείψει

από την Εξ.(12.30). Από την Εξ.(12.30) βρίσκομε

.

(12.31)

Δηλαδή βρήκαμε τις μισές από τις πεδιακές εξισώσεις Hamilton. Έχομε επίσης από την Εξ.(12.30) και την Εξ.(12.27)

. (12.32)

Χρησιμοποιούμε τις πεδιακές εξισώσεις lagrange οπότε οι Εξ.(12.32) δίνουν

249

, ,

d d

d d iix x

. (12.33)

Με ανάλογη διαδικασία βρίσκομε

, , , , ,i i i i i

. (12.34)

Επομένως βρίσκομε τις δεύτερες μισές πεδιακές εξισώσεις Hamilton. Δηλαδή

,

d

d iix

. (12.35)

Δηλαδή όλες μαζί οι πεδιακές εξισώσεις του Hamilton, από τις Εξ.(12.31) και (12.35), είναι

,

d.

d iix

(12.36)

Με χρήση της συναρτησιακής παραγώγου μπορούμε να φέρομε τις πεδιακές εξισώσεις Hamilton, σε μορφή που θυμίζει τις εξισώσεις Hamilton για διακριτά συστήματα. Πράγματι βρίσκομε

δ δ

, δ δ

. (12.37)

12.3 Σχετικιστική θεωρία πεδίου Θα κάνομε μια σύντομη εισαγωγή στη σχετικιστική θεωρία πεδίου. Στην περίπτωση των διακριτών σχετικιστικών συστημάτων υπήρχε πρόβλημα διότι η περιγραφή γίνονταν με μηχανικές μεταβλητές τις συντεταγμένες θέσης ενώ ο χρόνος ήταν μια μονότονα μεταβαλλόμενη παράμετρος. Στην σχετικιστική θεωρία πεδίου δεν υπάρχει αυτό το πρόβλημα, η θέση και ο χρόνος είναι παράμετροι και μεταβλητές είναι τα πεδία. Σε αυτή την περίπτωση ο τετραχώρος είναι ο χώρος minkowski, με τη γνωστή μετρική του. Ουσιαστικά ο φορμαλισμός που αναπτύξαμε στα προηγούμενα, για τη μη σχετικιστική περίπτωση, μεταφέρεται χωρίς πολύ προσπάθεια στην περίπτωση της σχετικιστικής θεωρίας πεδίου και μάλιστα ο φορμαλισμός είναι εμφανώς συναλλοίωτος κατά lorentz. Χρειάζεται μόνο να λάβει κανείς υπόψη του ότι, (1) η μετρική του χώρου είναι η μετρική του χώρου του Minkowski, (2) οι διάφορες ποσότητες είναι τανυστές, διαφόρων τάξεων,

250

ως προς τους μετασχηματισμούς lorentz και (3) τα όρια ολοκλήρωσης πρέπει να εισαχθούν έτσι που να είναι συναλλοίωτα σε μετασχηματισμούς lorentz. Ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange, Εξ.(12.8), δηλαδή

,

d0

dx

. (12.38)

Τα πεδιακά μεγέθη πρέπει να έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες συναλλοιώτου κατά Lorentz. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να είναι, γενικώς, τετρατανυστές. Τα μπορεί να

αποτελούνται από περισσότερους από έναν διαφορετικούς τανυστές, π.χ. δυο βαθμωτά μεγέθη κ.τ.λ. Το ολοκλήρωμα δράσης θεωρείται ως βαθμωτό. Το στοιχείο «όγκου» του τετραχώρου είναι 4d x είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς lorentz , επομένως και η σχετικιστική πεδιακή λαγκρανζιανή πυκνότητα (συνεπώς και η αντίστοιχη χαμιλτονιανή πυκνότητα, ) πρέπει να είναι βαθμωτό μέγεθος. Ο τανυστής ενέργειας- ορμής, T

, Εξ.(12.16), είναι αυτομάτως τετρατανυστής δεύτερης τάξης.

def

,,

,

δ

d0.

d

T

TT

x

(12.39)

Ισχύουν

1.

1 2 3

d

d

d d d d .

pT u T u

V

V x x x

(12.40)

Όπου u είναι η τετραταχύτητα του παρατηρητή. Το δεξί μέλος είναι το αρνητικό της τετραορμής ανά μονάδα του τρισδιάστατου όγκου στο σημείο που μετριέται ο τανυστής στο σύστημα αναφοράς του παρατηρητή. 2. Αν n ένα μοναδιαίο τετραδιάνυσμα, 1n n

, τότε

d

d

pT u n T u n n

V

. (12.41)

Αυτό είναι το αρνητικό της συνιστώσας πυκνότητας της τετραορμής στην κατεύθυνση n .

3. d

d

pT u u T u u u

V

. (12.42)

Αυτή είναι η μάζα- ενέργεια (υλοενέργεια) ανά μονάδα όγκου όπως μετριέται σε σύστημα αναφοράς με τετραταχύτητα u .

251

4. Αν πάμε σε ένα σύστημα αναφοράς και διαλέξομε σε αυτό, δυο χωρομορφικά διανύσματα βάσης ,i ke e , τότε βρίσκομε από την Εξ.(12.42) ik kiT T . Το ikT παριστάνει

τη συνιστώσα i δύναμης που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στην διεύθυνση

ke , από την πλευρά kx προς την πλευρά kx , όπου πολύ μικρό. Επίσης το kiT

παριστάνει τη συνιστώσα k δύναμης που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στην διεύθυνση ie , από την πλευρά ix προς την πλευρά ix , όπου πολύ μικρό.

Για παράδειγμα, ας υποθέσομε ότι έχομε σχετικιστικό ρευστό που κινείται με τετραταχύτητα u , που μπορεί να εξαρτάται από το σημείο του χωρόχρονου. Έστω ότι το ρευστό έχει πυκνότητα μάζας m και ισοτροπική πίεση mp και τα δυο στο σύστημα

ηρεμίας του (απειροστού) στοιχείου του ρευστού. Ισχύει ( )m m mT p u u p g . (12.43)

Έχομε γενικώς

( ) δm m m mT u p u u p u u . (12.44)

Στο σύστημα ηρεμίας του σημείου του ρευστού καταλήγομε στην 0

mT u c . (12.45)

Έχομε επίσης στο σύστημα ηρεμίας,

d0

d

ii p

T uV

. (12.46)

Αυτό λέει ότι η πυκνότητα της γενικευμένης τρισδιάστατης ορμής στο σύστημα ηρεμίας μικρής περιοχής σε κάποιο σημείο του ρευστού είναι μηδέν. Τελικώς δik m ikT p . (12.47)

Η λαγκραντζιανή πυκνότητα μπορεί να πολλαπλασιαστεί επί έναν σταθερό παράγοντα και αυτό να μην επηρεάσει τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Συνηθίζομε να ορίζομε τη λαγκρανζιανή πυκνότητα έτσι που η συνιστώσα 00T του τανυστή ενέργειας-ορμής να

είναι η πεδιακή πυκνότητα ενέργειας. Στον τετραχώρο του Minkowski οι ποσότητες R ,

Εξ.(12.19), είναι

0 3dV

R T x . (12.48)

252

Από αυτές ορίζομε τα παρακάτω μεγέθη

1

P Rc

. (12.49)

Από τις Εξ.(12.40) μέχρι (12.42) και ότι είπαμε προηγουμένως για τα 0iT , προκύπτει ότι

τα iP είναι οι συνιστώσες της ολικής ορμής του πεδίου. Επίσης 0 /P E c όπου E είναι η ολική ενέργεια του πεδίου. Αυτό υποδεικνύει ότι μπορούμε να ερμηνεύσομε τα P ως την τετραορμή του πεδίου. Όμως πρέπει πρώτα να δείξομε ότι τα R και P μετασχηματίζονται ως τετρανύσματα υπό μετασχηματισμούς lorentz. Για να δείξομε αυτή την ιδιότητα θα εξετάσομε τι σημαίνει ολοκλήρωση πάνω σε τρισδιάστατο χώρο σε συναλλοίωτο φορμαλισμό και, γενικώς, πως πρέπει να χειριστούμε τα όρια της ολοκλήρωσης. Ας εξετάσομε το ολοκλήρωμα δράσης Εξ.(12.6) που χρησιμοποιείται στην αρχή του Hamilton, δηλαδή

2 2

1 1

3 4, ,

4 3

d ( , , )d d ( , , )d

d d d .

t t

t t V Ω

I c L t c x t x x x

x c t x

(12.50)

Η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι εμφανώς συναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς lorentz, ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης δεν είναι εμφανώς συναλλοίωτα. Η χωρική ολοκλήρωση είναι πάνω σε έναν όγκο στο συνήθη τρισδιάστατο χώρο, για σταθερό χρόνο και η ολοκλήρωση στο χρόνο είναι μεταξύ δυο στιγμών 1 2,t t . Όμως η έννοια του σταθερού

χρόνου δεν είναι συναλλοίωτη έννοια διότι ο ταυτοχρονισμός δεν διατηρείται κατά το μετασχηματισμό lorentz. Ο κατάλληλος συναλλοίωτος τρόπος για τη χωρική ολοκλήρωση είναι να γίνει πάνω σε υπερεπιφάνεια των συνήθων τριών χωρικών διαστάσεων (εμβαπτισμένη στον τετραδιάστατο χώρο minkowski) η οποία είναι χωρομορφική. Χωρομορφική υπερεπιφάνεια σημαίνει ότι όλα τα τετρανύσματα (απειροστά ή πεπερασμένα) που συνδέουν δυο οποιαδήποτε τετρασημεία της είναι χωρομορφικά. Τα τετρανύσματα τα κάθετα σε τέτοια υπερεπιφάνεια είναι χρονομορφικά. Οποιοδήποτε τετράνυσμα που συνδέει δυο τετρασημεία σε τρισδιάστατη υπερεπιφάνεια της οποίας όλα τα τετρασημεία αντιστοιχούν στον ίδιο χρόνο είναι χωρομορφικό τετράνυσμα διότι η χρονική συνιστώσα του είναι μηδέν, διότι 0

2 1( ) 0x c t t και

επομένως το τετραμήκος του 2 1 2 2 2 3 2( ) ( ) ( ) 0s x x x , ιδιότητα που χαρακτηρίζει

ένα χωρομορφικό τετράνυσμα. Αυτό σημαίνει ότι μια υπερεπιφάνεια σταθερού χρόνου (για κάποιο σύστημα lorentz) είναι ειδική περίπτωση χωρομορφικής υπερεπιφάνειας. Μια τέτοια υπερεπιφάνεια διατηρεί τον χαρακτήρα (της χωρομορφικότητας) σε όλα τα συστήματα lorentz, η χωρομορφικότητα και η χρονομορφικότητα δεν επηρεάζονται από το μετασχηματισμό του Lorentz. Δηλαδή ενώ σε άλλο σύστημα αναφοράς (lorentz) η ανωτέρω υπερεπιφάνεια δεν θα είναι με σταθερό χρόνο όμως θα εξακολουθεί να είναι χωρομορφική και αυτό είναι η απαίτησή μας και όχι ο ταυτοχρονισμός σε όλα τα συστήματα lorentz. Με ανάλογο τρόπο, αυτό που σε κάποιο σύστημα αναφοράς είναι ολοκλήρωση στο χρόνο t σε ένα χωρικό σημείο μπορεί να περιγραφεί συναλλοίωτα για κάθε σύστημα lorentz, ως ολοκλήρωση πάνω σε χρονομορφική επιφάνεια.

253

Συνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι, οι ολοκληρώσεις στην Εξ.(12.50) γίνονται σε μια περιοχή του τετραχώρου που περικλείεται από χωρομορφικές και χρονομορφικές επιφάνειες, αυτό σημαίνει ότι τα όρια ολοκλήρωσης είναι εμφανώς συναλλοίωτα σε μετασχηματισμούς lorentz. Η κατάλληλη συναλλοίωτη περιγραφή μεγεθών που δίνονται από ολοκληρώματα όπως αυτό για το P είναι όπως φαίνεται παρακάτω.

1d

S

P T Sc

, (12.51)

όπου η ολοκλήρωση είναι σε μια περιοχή πάνω σε μια χωρομορφική τρισδιάστατη υπερεπιφάνεια. Το στοιχειώδες τετράνυσμα dS έχει τέσσερις συνιστώσες οι οποίες ισούνται κατά μέτρο με τα «εμβαδά» των στοιχειωδών υπερεπιφανειών. Οι συνιστώσες του τετρανύσματος είναι κάθετες στις αντίστοιχες στοιχειώδεις υπερεπιφάνεις, δηλαδή κάθετες σε όλα τα τετρανύσματα της υπερεπιφάνειας. Έχομε,

0 123 1 023 2 013 3 012d d ,d d ,d d ,d dS S S S S S S S . Για παράδειγμα 0 1 2 3d d d dS x x x είναι η στοιχειώδης υπερεπιφάνεια που είναι η προβολή του τετραδιάστατου στοιχειώδους όγκου στο υπερεπίπεδο με 0x =σταθερό, πρόκειται για στοιχειώδη τρισδιάστατο όγκο του συνήθους χώρου. Επειδή ο T είναι τετρατανυστής δεύτερης τάξης, προφανώς και το P είναι τετράνυσμα. Αν ο τανυστής T έχει απόκλιση μηδέν, Εξ.(12.39), τότε οι συνιστώσες του P δίνονται από ολοκλήρωμα στον συνήθη όγκο των τριών διαστάσεων. Ας φανταστούμε ένα χωρίο στον τετραδιάστατο χώρο που περικλείεται από τρεις υπερεπιφάνειες, τις 1 2,S S που χωρομορφικές και την 3S που είναι χρονομορφική,

Σχ.(9.1).

Σχήμα 12.1 Όγκος ολοκλήρωσης σε τετραχώρο, σχηματικά. Με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης για αυτόν τον τετραχώρο έχομε

254

4 1 2 3

4 dd d

dV S S S

Tx T S

x

. (12.52)

Η ολοκλήρωση πάνω στην υπερεπιφάνεια τριών διαστάσεων 3S σημαίνει ολοκλήρωση

στο χρόνο t για σταθερή θέση r

. Αν υποθέσομε ότι η επιφάνεια 3S είναι έξω από την

περιοχή που τα πεδία είναι εντοπισμένα, ή καλύτερα αν βρίσκεται σε περιοχή που τα πεδία είναι μηδέν, τότε το ολοκλήρωμα στην 3S ισούται με μηδέν. Επειδή και το

ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους είναι μηδέν, προφανώς

1 2

d dS S

T S T S . (12.53)

Όπου οι φορές στις χωρομορφικές επιφάνειες 1 2,S S είναι η μια προς τα έξω του όγκου

και η άλλη προς τα μέσα, δηλαδή κατά κάποιο τρόπο οι ίδιες, δεν ακολουθείται ο κανόνας για το επιφανειακό ολοκλήρωμα όπου οι φορές είναι από μέσα προς τα έξω. Αν η 1S είναι

αυθαίρετη χωρομορφική υπερεπιφάνεια και η 2S είναι ειδική χωρομορφική

υπερεπιφάνεια για την οποία ο χρόνος είναι σταθερός, τότε η Εξ.(12.53) δίνει

1

0 3d dS V

T S T x . (12.54)

Το πρώτο μέλος της Εξ.(12.54), προφανώς μετασχηματίζεται ως τετρανύσμα. Επομένως και το δεύτερο μέλος, που σύμφωνα με την Εξ.(12.51) είναι το R , επίσης μετασχηματίζεται ως τετράνυσμα. Αν και το 1S και το 2S είναι με σταθερούς χρόνους

1 2,t t αντιστοίχως, τότε η Εξ.(12.53) οδηγεί στην

1 2( ) ( )R t R t . (12.55)

Αυτό είναι ο συναλλοίωτος τρόπος απόδειξης ότι το R είναι σταθερά της κίνησης.Επομένως, με κάποια προσοχή, οι ποσότητες που διατηρούνται και έχουν τη μορφή ολοκληρωμάτων, μπορεί να χρησιμοποιηθούν και στη σχετικιστική θεωρία κλασικών πεδίων. Στις περισσότερες περιπτώσεις δεν χρειάζεται να κάνει λεπτομερώς τα βήματα αυτής της αντιστοιχίας αλλά αρκεί ο όγκος ολοκλήρωσης σε ένα σύστημα lorentz όπου η χωρομορφική υπερεπιφάνεια είναι περιοχή του συνήθους τρισδιάστατου χώρου με t σταθερό. Για την πυκνότητα της στροφορμής το συναλλοίωτο ανάλογο του ijM της Εξ.(12.21), είναι τετρατανυστής τρίτης τάξης, δηλαδή

1

( )x T x Tc

M . (12.56)

255

Αυτός είναι αντισυμμετρικός στα , . Η αντίστοιχη ολική ποσότητα (ολοκλήρωμα) είναι

dS

M S M . (12.57)

Η ολοκλήρωση είναι πάνω σε μια χωρομορφική υπερεπιφάνεια S . Σε ένα σύστημα αναφοράς lorentz όπου η υπερεπιφάνεια είναι με t σταθερό, έχομε

0 3dS

M x M . (12.58)

12.4 Παραδείγματα πεδίων 12.5 Θεώρημα της Noether 13. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ. ΚΛΑΣΙΚΟ ΧΑΟΣ

256

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Π1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχομε σύστημα διαφορικών εξισώσεων λέμε ότι είναι τάξης k, όπου k είναι το άθροισμα των τάξεων των επιμέρους διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, σύστημα n διαφορικών εξισώσεων, η κάθε μια δεύτερης τάξης, αποτελούν σύστημα τάξης 2n. Κάθε σύστημα διαφορικών εξισώσεων τάξης k μπορεί να αναχθεί σε σύστημα διαφορικών εξισώσεων της μορφής

1 2

d( , ,..., , ), 1, 2,...,

dr

r k

xX x x x t r k

t . (14.1)

Όπου ix είναι οι εξαρτημένες μεταβλητές και t η ανεξάρτητη μεταβλητή.

Αυτό γίνεται παίρνοντας ως καινούργιες μεταβλητές ( 1 2( ), ( ),..., ( )kx t x t x t ) τις αρχικές

εξαρτημένες μεταβλητές μαζί με τις παραγώγους τους τάξης κατά ένα μικρότερης της μέγιστης τάξης παραγώγου που απαντά στο αρχικό σύστημα. Για παράδειγμα έστω το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων

2 21 2

1 1 2 1 2 2 1 2 1 22 2

d d( , , , ), ( , , , )

d d

q qQ q q q q Q q q q q

t t . (14.2)

Αυτό είναι τάξης 4 και μπορεί να αναχθεί στο

31 2 4

3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4

dd d d, , ( , , , ), ( , , , )

d d d d

xx x xx x Q x x x x Q x x x x

t t t t . (14.3)

Αν η 1 2,...,( , , )kF x x x t είναι τέτοια που d

0d

F

t για εκείνα τα 1 2( ), ( ),..., ( )kx t x t x t που

ικανοποιούν το σύστημα των διαφορικών Εξ. (14.1), τότε η εξίσωση 1 2( , ,..., , )kF x x x t c σταθερό (14.4)

λέγεται ότι είναι ένα ολοκλήρωμα του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων. Πολλές φορές η ίδια η συνάρτηση 1 2( , ,..., , )kF x x x t λέγεται ότι είναι ένα ολοκλήρωμα του

συστήματος. Εύκολα βρίσκεται η συνθήκη που πρέπει να ισχύει ώστε δεδομένη συνάρτηση ( , )F x t να αποτελεί ένα ολοκλήρωμα του συστήματος. Πράγματι αφού

προφανώς ισχύει d

0d

F

t , άρα έχομε

1

0k

ii i

F Fx

x t

(14.5)

257

ή 1

0k

ii i

F FX

x t

. (14.6)

Αυτή είναι η συνθήκη για να μπορεί να είναι η Εξ.(14.4) ένα ολοκλήρωμα του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων, Εξ.(14.1). Η πλήρης λύση αυτού του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων τάξης k επιτυγχάνεται αν βρεθούν k τέτοια ολοκληρώματα, δηλαδή 1 2( , ,..., , ) , 1, 2,...,r k rF x x x t r k (14.7)

όπου τα r είναι k αυθαίρετες σταθερές. Υποτίθεται ότι οι σχέσεις αυτές είναι

ανεξάρτητες μεταξύ τους. Αυτό μπορούμε να το καταλάβομε θεωρώντας τις μεταβλητές

1 2, ,..., kx x x που βρίσκονται από τη λύση του συστήματος των αλγεβρικών Εξ.(14.7) ως

συναρτήσεις των 1 2, , ,..., kt , δηλαδή

1 2( , ,..., , ), 1, 2,...,r r kx t r k . (14.8)

Αν 1 2( , ,..., )kx x x είναι κάποιο ειδικό σύνολο συναρτήσεων το t που ικανοποιούν τις

διαφορικές εξισώσεις, Εξ.(14.1), προκύπτει από όσα είπαμε ότι δίνοντας στις αυθαίρετες σταθερές r κατάλληλες σταθερές τιμές μπορούμε να πετύχομε να ικανοποιούνται οι

Εξ.(14.7) για αυτό το ειδικό σύνολο συναρτήσεων και επομένως αυτό το σύνολο συναρτήσεων θα συμπεριλαμβάνεται στις συναρτήσεις που ορίστηκαν με τις Εξ.(14.8). Επομένως η λύση του δυναμικού προβλήματος με n συντεταγμένες θέσης μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμο με τον προσδιορισμό 2n ολοκληρωμάτων του αντίστοιχου συνόλου διαφορικών εξισώσεων τάξης 2n.

258

Π2. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ας ξεκινήσομε από σύστημα αναφοράς στο οποίο η περιγραφή γίνεται με καρτεσιανές, σταθερές ως προς το σύστημα, συντεταγμένες. Για μηχανικό σύστημα με Ν σωμάτια έχομε

2

1

1

2

N

i ii

T m

. (15.1)

Έχομε τις σχέσεις μετασχηματισμού συντεταγμένων Εξ.(15.2), όπου έχουν ληφθεί υπόψη ολόνομοι δεσμοί και έτσι έχουν οριστεί n γενικευμένες συντεταγμένες θέσης 1 2( , ,..., , ), 1, 2,..., .i i nr r q q q t i N

(15.2)

Ισχύουν για τις αντίστοιχες ταχύτητες

1

d

d

ni i i

i i

r r rr q

t q t

. (15.3)

Άρα

2

1 1

0 1 2

1

2

( , ) ( , , ) ( , , ).

N ni i

i ji j j

r rT m q

q t

T q t T q q t T q q t

(15.4)

Όπου

2

0 0 01

11 1

21 1

1( , ) ( , ), ( , )

2

( , , ) ( , ) , ( , )

1( , , ) ( , ) , ( , ) ( , )

2

Ni

ii

n Ni i

j j j ij i j

n Ni i

jk j k jk kj ij k i j k

rT q t M q t M q t m

t

r rT q q t M q t q M q t m

t q

r rT q q t M q t q q M q t M q t m

q q

1

.n

(15.5)

Ο πρώτος όρος, 0 0 ( , )T T q t , δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, ο δεύτερος όρος,

1 1( , , )T T q q t , εξαρτάται γραμμικά από τις ταχύτητες και ο τρίτος όρος, 2 2 ( , , )T T q q t ,

είναι δευτέρου βαθμού ως προς τις ταχύτητες. Οι όροι αυτοί είναι ομογενείς ως προς τις ταχύτητες βαθμών 0, 1, 2 αντιστοίχως. Δηλαδή ισχύει η γνωστή σχέση

259

1

n

ii i

fx kf

x

όπου k είναι ο βαθμός ομογένειας για τις n μεταβλητές. Αν οι εξισώσεις

μετασχηματισμού από τις καρτεσιανές στις άλλες γενικευμένες δεν περιέχουν το χρόνο, τότε 0 1 0T T και μένει

μόνο ο όρος 2 2, ( , )T T T q q , ο οποίος έχει ομογενή τετραγωνική μορφή ως προς τις

γενικευμένες ταχύτητες και δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Π3. ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΙΔΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ Αν έχομε μια δυνατή μεταβολή, δ iq , της γενικευμένης συντεταγμένης, iq , ενώ όλες οι

άλλες γενικευμένες συντεταγμένες μένουν αμετάβλητες, τότε το σημείο

1 2( , ,..., )Nr r r r

του πλήρους καρτεσιανού θεσικού χώρου θα υποστεί μιαν αντίστοιχη

δυνατή μεταβολή, 1 2δ (δ ,δ ,...,δ )Nr r r r

. Η κατεύθυνση αυτής της μετατόπισης στον

καρτεσιανό χώρο, λέγεται κατεύθυνση iq . Έστω η δύναμη, 1 2 3( , ,..., )NF X X X

, του

καρτεσιανού χώρου. Η ορθή προβολή της στην κατεύθυνση iq λέγεται φυσική

συνιστώσα της F

στην κατεύθυνση iq και παριστάνεται συνήθως ως iqF . Για να βρούμε

τη σχέση μεταξύ γενικευμένων συνιστωσών δυνάμεων και φυσικών συνιστωσών σκεφτόμαστε ως εξής. Η συνιστώσα μιας δυνατής μετατόπισης στην iq κατεύθυνση, στην

κατεύθυνση της καρτεσιανής συνιστώσας jx δίνεται από τη σχέση

δ δ , 1, 2,...,3jj i

i

xx q j N

q

. (16.1)

Επομένως η συνιστώσα στην κατεύθυνση jx του μοναδιαίου διανύσματος

1 2 3( ) ( , ,..., )i Nn q n n n

στην κατεύθυνση iq , είναι

1/2

2

1

/( ) , 1, 2,...,3

/

j ij i

N

j ij

x qn q j N

x q

. (16.2)

Το εσωτερικό γινόμενο επί τη δύναμη 1 2 3( , ,..., )NF X X X

, δίνει τη φυσική συνιστώσα

της δύναμης αυτής στην κατεύθυνση iq , δηλαδή

260

3 3

1/21 1 2

1

/( )

/i

N Nj j i

q j j iNj j

j ij

X x qF X n q

x q

. (16.3)

Έχομε την Εξ.Error! Reference source not found. για τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, δηλαδή την

1

Ni

ii

rQ F

q

.

Προφανώς στο συμβολισμό με τις καρτεσιανές συνιστώσες μπορεί να γραφτεί ως

3

1

Nj

i jj i

xQ X

q

. (16.4)

Από την Εξ.(16.3) και την Εξ.(16.4) βρίσκομε τη ζητούμενη σχέση για την iq φυσική

συνιστώσα της καρτεσιανής δύναμης,

1/2

2

1

/i

jq

N

j ij

QF

x q

. (16.5)

Υπάρχουν και άλλες ανάλογες ποσότητες για τις δυνάμεις, οι πιο διαδεδομένες είναι οι λεγόμενες συνήθεις (ordinary) συνιστώσες δύναμης, o iqX . Οι συνήθεις συνιστώσες

δύναμης στις κατευθύνσεις , 1,2,...,iq i n , ορίζονται ως το σύνολο των

πολυδιάστατων διανυσμάτων στις κατευθύνσεις iq τα οποία όταν αθροιστούν

διανυσματικά δίνουν το πολυδιάστατο διάνυσμα της δύναμης στον καρτεσιανό χώρο των 3Ν διαστάσεων. Χωρίς να το αποδείξομε απλώς αναφέρομε ότι η συνήθης συνιστώσα δύναμης στην κατεύθυνση iq δίνεται από

1/ 2o

1

( )i

n

q ii ij jj

X g g Q

(16.6)

όπου jQ η iq γενικευμένη συνιστώσα δύναμης, ijg είναι μήτρα με στοιχεία

3

1

/ ( / )N

ij k i k jk

g x q x q

και ijg είναι τα στοιχεία της αντίστροφης μήτρας.

Πολλές φορές οι όροι δε χρησιμοποιούνται προσεκτικά και μπερδεύονται, καλό είναι να το έχομε υπόψη. Το Σχ. (Π3.1) δείχνει τις διαφορές τους στις δυο διαστάσεις. ΟΒ είναι η φυσική

συνιστώσα της δύναμης f

στην κατεύθυνση της 1q γενικευμένης συνιστώσας. ΟΑ είναι

261

η συνήθης συνιστώσα της δύναμης f

στην ίδια κατεύθυνση. Το σύστημα των

γενικευμένων συντεταγμένων 1 2,q q είναι πλαγιογώνιο καρτεσιανό.

Σχήμα Π3.1 Φυσική (OB) και συνήθης (ΟΑ) συνιστώσες δύναμης.

262

Π4. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ-ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER Για την περιοχή αυτή των μαθηματικών, χρησιμοποιούνται οι όροι, θεωρία μεταβολών ή παραλλαγών ή παραλλακτικές μέθοδοι (variational methods). Τα θεωρήματα στα οποία θα αναφερθούμε είναι στην ουσία μαθηματικά θεωρήματα. Αυτά τα θεωρήματα έχουν εφαρμογή στα δυναμικά συστήματα, στη φυσική και γι’ αυτό τα εξετάζομε στη μορφή που είναι χρήσιμα στη φυσική. Συγκεκριμένα, βρίσκουν εφαρμογή στην κλασική φυσική και με αυτό εννοούμε, στην περιοχή που λαμβάνονται υπόψη η καθαρά νευτώνεια φυσική ή η ειδική ή η γενική σχετικότητα, ακόμη και η κβαντική φυσική με τα πεδία να είναι κλασικά πεδία, δηλαδή χωρίς δεύτερη κβάντωση, με άλλα λόγια, δεν συμπεριλαμβάνονται οι κβαντικές θεωρίες πεδίων. Οι χώροι ολοκλήρωσης είναι , επίπεδοι (flat), μη καμπύλοι, χώροι. Τέτοιος χώρος στη φυσική, είναι ο συνήθης τρισδιάστατος χώρος στη μη σχετικιστική μηχανική μαζί με το χρόνο ή ο τετραδιάστατος χώρος της σχετικότητας, ( 0 1 2 3( , , , )x x ct x x x ), 4 0 1 2 3d d d d dx x x x x . Δηλαδή ο χώρος είναι ευκλείδειος ή ψευδοευκλείδειος. Αυτό δεν αποκλείει την περίπτωση της Γενικής Σχετικότητας όπου κατά κάποιο τρόπο η καμπύλωση μπαίνει μέσα στην F και οι ολοκληρώσεις γίνονται στα 0 1 2 3( , , , )x x ct x x x , 4 0 1 2 3d d d d dx x x x x . Αυτό ξεκινά από το γεγονός ότι το αναλλοίωτο στοιχείο ολοκλήρωσης στον τετραδιάστατο χώρο είναι

0 1 2 3( )d d d dg x x x x x , όπου ( )g x είναι η ορίζουσα του μετρικού τανυστή ( )g x στο

τετρασημείο x . Σε αυτή την περίπτωση τροποποιείται με ανάλογο τρόπο και το θεώρημα της απόκλισης που συνδέει το ολοκλήρωμα όγκου με το ολοκλήρωμα στην περικλείουσα τον όγκο επιφάνεια. Π4.1 Εξισώσεις των Euler-Lagrange από θεωρία μεταβολών Έστω η συνάρτηση F η οποία εξαρτάται, τελικώς, από m ανεξάρτητες μεταβλητές ix .

Στη φυσική έχομε 1m στην περιγραφή με βάση τη συνήθη κλασική νευτώνεια μηχανική και 4m στην περίπτωση περιγραφής με βάση την ειδική και γενική θεωρία της σχετικότητας, επίσης η F είναι η λαγκρανζιανή πυκνότητα ή η λαγκρανζιανή. Γίνονται και επεκτάσεις σε χώρους όπως στον χώρο των πρόσθετων ανεξάρτητων μεταβλητών του Grassmann. Η F εξαρτάται και από n συναρτήσεις των ix , τις ( )jy x ,

που είναι εξαρτημένες μεταβλητές και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Θα υποθέσομε

ακόμη ότι η F εξαρτάται επίσης, από (μόνο) τις πρώτες παραγώγους ,j

j ii

yy

x

. Μπορεί

κανείς να ασχοληθεί με πιο γενικές μορφές όπου υπάρχει εξάρτηση και από παραγώγους ανώτερης τάξης, τότε οι εξισώσεις Euler-Lagrange είναι ανώτερης τάξης και οι εκφράσεις του θεωρήματος της Noether περιέχουν ανώτερες παραγώγους. Τέτοιες γενικεύσεις και επεκτάσεις έχουν προταθεί ή βρίσκουν εφαρμογή στα πλαίσια Υπερσυμμετρικών

263

Θεωριών Στοιχειωδών Σωματιδίων (θεωρίες SUSY, supersymmetry). Όμως στα πλαίσια της φυσικής που μας ενδιαφέρει εδώ, είναι αρκετή η εξάρτηση μόνο από τις πρώτες παραγώγους. ‘Οσα ακολουθούν αναφέρονται σε προβλήματα που σχετίζονται με ανεξάρτητες μεταβλητές χώρου m διαστάσεων (υπερόγκος). Στο σύνορο του χώρου (υπερεπιφάνεια m-1 διαστάσεων ) οι τιμές των εξαρτημένων μεταβλητών είναι καθορισμένες και δεν μεταβάλλονται κατά τις παραλλαγές. Θα χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς

1 2

1 2

,

,

( , ,..., )

( ) ( ), ( ),..., ( )

= 1, 2,..., 1, 2,...,

( , , ) , , , , 1, 2,..., 1, 2,..., .

m

n

jx j i

i

jx i j i j j i

i

x x x x

y y x y x y x y x

yyy y j n i m

x x

yF x y y F x y F x y y j n i m

x

(17.1)

Σχηματίζομε το συναρτησοειδές της συνάρτησης F

2

1

1 2

( ) ( , , )d

d d d ...d

m

mm

Z Z y x F y y x x

x x x x

(17.2)

Το ολοκλήρωμα εκτείνεται σε ένα πεπερασμένο ή απέραντο χωρίο («όγκο») του χώρου των x , διαστάσεως m . Τα ( )y x παριστάνουν μια «τροχιά» στον ανωτέρω πολυδιάστατο χώρο. Θέλομε να βρούμε τις σχέσεις που πρέπει να πληρούν τα ( )y x (πραγματική τροχιά) ώστε το συναρτησοειδές να έχει στάσιμη τιμή για αυτή την τροχιά σε σχέση με γειτονικές τροχιές που διαφέρουν κατά απειροστό πρώτης τάξης από την πραγματική. Οι απειροστές μεταβολές των ( )y x είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των ix και γίνονται με τα

ix σταθερά. Για κάθε θέση x πηγαίνομε από το σημείο της πραγματικής τροχιάς ( )y x στο

σημείο της γειτονικής τροχιάς ( )y x . Σε αυτό το Εδάφιο, αυτές οι μεταβολές θα συμβολίζονται με το γνωστό σύμβολο δ . Αφού τα ( )y x είναι καθορισμένα και μη μεταβλητά κατά τις παραλλαγές στο σύνορο, οι αυθαίρετες μεταβολές των ( )y x , δηλαδή τα δ ( )y x , πρέπει να μηδενίζονται στο σύνορο του χωρίου (όγκου) Ω . Όπως είπαμε το σύνορο S είναι ένα είδος υπερεπιφάνειας διαστάσεως 1m μέσα στο χώρο των ανεξάρτητων μεταβλητών διαστάσεως m . Προφανώς το χωρίο Ω δεν μεταβάλλεται κατά την παραλλαγή (μεταβολή). Στάσιμη τιμή σημαίνει ότι, η απειροστή παραλλαγή του συναρτησοειδούς (δηλαδή του ολοκληρώματος) της Εξ.(17.2), κατά τη μεταβολή από την πραγματική τροχιά στη γειτονική παραλλαγμένη τροχιά, είναι μηδέν. Συγκεκριμένα

264

δ = , , d , , d

= , , , , d

=δ , , d δ , , d 0.

m mi x x

Ω Ω

mx x

Ω

m mx x

Ω Ω

Z F x y y x F x y y x

F x y y F x y y x

F x y y x F x y y x

(17.3)

Στο Σχ.(Π4.1) φαίνεται η απλή περίπτωση για 1m και 1n .

Σχήμα Π4.1 Πραγματική και γειτονική τροχιά για την πιο απλή περίπτωση. Αυτή είναι η αρχή παραλλαγών (ή μεταβολών). Με βάση αυτή την αρχή θα δείξομε ότι για την πραγματική τροχιά ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange. Η ισχύς των εξισώσεων των Euler-Lagrange είναι αναγκαία συνθήκη για το στάσιμο του συναρτησοειδούς αλλά όχι πάντοτε και ικανή συνθήκη. Δεν θα ασχοληθούμε με αυτό το μαθηματικό θέμα εδώ. Υποθέτομε ότι υπάρχουν τα ( )y x έχουν παραγώγους μέχρι δεύτερης τάξης ως προς τα x . Θα ορίσομε μεταβολές των μεταβλητών που να είναι σε συμφωνία με όσα είπαμε παραπάνω. Ενώ μπορεί κανείς να ορίσει γενικότερες μεταβολές με πιο πολύπλοκες εξαρτήσεις, συγκεκριμένα

265

δ 0 1, 2,...,

δ ( )= 1, 2,...,

δ ( ) =0.

i i i

j j j

j S

x x x i m

y x y y j n

y x

(17.4)

Για μια συνάρτηση f με άμεση και έμμεση εξάρτηση από τα ix έχομε

,

δδ

δδ =δ

δδ .

i i i i i

ii i

kk

k ki i

f f ff f f

x x x x x

fff

x x

ff

x x

(17.5)

Έχομε τη σχέση

,1 1 ,

δ δ d δ δ d 0n m

j j ij ij j iΩ Ω

F FZ F Ω y y Ω

y y

. (17.6)

Σε αυτό το σημείο αναφέρομε ότι πρέπει να προσέχομε διότι ο συμβολισμός που ακολουθείται σε αυτή την περιοχή, διεθνώς, δεν είναι ο συνήθης. Συγκεκριμένα, αν έχομε μια συνάρτηση της μορφής , ( ), ( ) xf x y x y x , αυτή εξαρτάται άμεσα από τις

μεταβλητές ix και επίσης έμμεσα από τις ix μέσω των ( ), ( )xy x y x . Θα παριστάνομε με

το σύμβολο της μερικής παραγώγου ως προς kx , δηλαδή ( , ( ), ( ))x

k

f x y x y x

x

, την

παραγώγιση που αναφέρεται μόνο στην άμεση εξάρτηση από την kx και με το σύμβολο

της συνήθους παραγώγου θα παριστάνομε την «ολική παράγωγο ως προς kx » που

σημαίνει ότι η παραγώγιση αναφέρεται στην «ολική» εξάρτηση από το kx , άμεση και

έμμεση. Προφανώς έχομε για αυτού του είδους την ολική παράγωγο

,

1 1 1 ,

d ( , ( ), ( ))

d

n m nl rx l

l r lk k l k l r k

yf x y x y x yf f f

x x y x y x

. (17.7)

Μερικές φορές δεν γίνεται διάκριση συμβολισμού μεταξύ μερικής παραγώγισης και ολικής παραγώγισης, ειδικά στη θεωρία πεδίων. Θυμίζομε ότι στη συνήθη πρακτική το

266

σύμβολο kx

χρησιμοποιείται για να δείξει ότι η συνάρτηση εξαρτάται από πολλές

μεταβλητές αλλά είναι ουσιαστικά παράγωγος που λαβαίνει υπόψη όλες τις εξαρτήσεις

από το kx και το σύμβολο d

d kx για να δείξει ότι δεν υπάρχουν πολλές μεταβλητές.

Προφανώς ισχύει σύμφωνα με όσα είπαμε ότι

( ) d ( )

dj j

k k

y x y x

x x

. (17.8)

Μεγαλύτερη δυσκολία εμφανίζεται με τα διαφορικά διότι εδώ ολικό διαφορικό εννοείται διαφορικό που σχετίζεται μόνο με την ανεξάρτητη μεταβλητή d kx (είναι ουσιαστικά

μερικό ολικό διαφορικό!). Οι συγγραφείς εισάγουν διάφορα σύμβολα για να αποφεύγονται οι παρανοήσεις, χωρίς όμως να υπάρχει κάτι που να ακολουθείται από όλους. Είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύουν οι αντίστοιχες των τελευταίων από τις Εξ.(17.5) για την ολική παράγωγο. Πράγματι για μια συνάρτηση με άμεση και έμμεση εξάρτηση από τα ix έχομε

d d d d(δ )δ

d d d d

d d (δ )δ .

d d

i i i i

k k

k ki i

f f f f

x x x x

f f

x x

(17.9)

Θα ολοκληρώσομε παραγοντικά το δεύτερο ολοκλήρωμα του αθροίσματος της Εξ.(17.6). Ισχύει η σχέση

, , ,

, , , ,

,, ,

d(δ )d dδ δ

d d d

dd dδ δ δ δ

d d d

d=δ δ .

d

jj j

i j i i j i j i i

i ij j

i j i j i i i j i j i i

j j ii j i j i

yF F Fy y

x y x y y x

y yF F F Fy y

x y y x x y y x

F Fy y

x y y

(17.10)

Επομένως, με παραγοντική ολοκλήρωση, το δεύτερο ολοκλήρωμα της Εξ.(17.6) γίνεται

,1 1 1 1 1 1, , ,

d dδ d δ d - δ d

d d

n m n m n m

j i j jj i j i j ij i i j i i j iΩ Ω Ω

F F Fy Ω y Ω y Ω

y x y x y

. (17.11)

267

Η έκφραση 1 ,

dδ

d

m

ji i j i

Fy

x y

στο πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της

Εξ.(17.11), είναι η απόκλιση με διάσταση m της συνάρτησης που αντιπροσωπεύει η παρένθεση, επομένως ισχύει το σχετικό θεώρημα της απόκλισης και το ολοκλήρωμα όγκου μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα στην επιφάνεια που περικλείει τον όγκο (σύνορο του χωρίου, του όγκου), όπου στην επιφάνεια θεωρείται θετική η κατεύθυνση από μέσα προς τα έξω. Συγκεκριμένα, ισχύει

1 1

dd d

d

m mi

i ii iiΩ S

fΩ f S

x

. (17.12)

Τα d iS είναι οι «προβολές» του στοιχείου του συνόρου S στο υπερεπίπεδο που

καθορίζεται από ix =σταθερό. Επομένως το παραπάνω ολοκλήρωμα της Εξ.(17.11)

γίνεται

1 1 1 1, ,

dδ d δ d .

d

n m n m

j j ij i j ii j i j iS

F Fy y S

x y y

(17.13)

Όμως οι δεύτερες σχέσεις της Εξ.(17.4) λένε ότι στην επιφάνεια S τα δ 0jy , άρα το

ολοκλήρωμα της Εξ.(17.13) είναι μηδέν, οπότε η Εξ.(17.6) με χρήση της Εξ.(17.11) και της Εξ.(17.13) δίνει

1 1 ,

dδ δ - d 0

d

n m

jj ij i j iΩ

F FZ y Ω

y x y

. (17.14)

Στη συνέχεια κάνομε τον εξής συλλογισμό, αφού τα jy είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα θα

είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και τα δ jy , επομένως μπορούμε να διαλέγομε διαδοχικά

ένα από αυτά μη μηδενικό στο άθροισμα των ολοκληρωμάτων πάνω στα 1, 2,...,j n και όλα τα άλλα μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ένα από αυτά τα ολοκληρώματα του αθροίσματος θα είναι μηδέν, δηλαδή

1 ,

dδ - d 0

d

m

jij i j iΩ

F Fy Ω

y x y

. (17.15)

Ας υποθέσομε ότι η κάθε αγκύλη στην Εξ.(17.15) είναι παντού μη μηδενική. Αφού οι μεταβολές δ jy είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των ix , μπορούμε σε κάθε σημείο x να τις

διαλέξομε έτσι που να έχουν το ίδιο πρόσημο με αυτό της μη μηδενικής έκφρασης που είναι μέσα στην αγκύλη. Αυτό σημαίνει ότι η υπό ολοκλήρωση παράσταση θα είναι παντού θετική. Τότε όμως καταλήγομε σε άτοπο διότι δεν μπορεί το ολοκλήρωμα της Εξ. (17.15) να είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η αγκύλη πρέπει να είναι μηδέν. Επομένως

268

τελικώς η Εξ.(17.15) μας οδηγεί στο ότι, για την πραγματική τροχιά, δηλαδή για τα ( ) 1, 2,...,jy x j n , που την καθορίζουν, ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange για τη

συνάρτηση F του συναρτησοειδούς, δηλαδή

1 ,

1

d0

d

d0 1, 2,..., .

d /

m

ij i j i

m

ij i j i

F F

y x y

F Fj n

y x y x

(17.16)

Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφερθούμε στο γεγονός ότι, αν προσθέσομε στην F την απόκλιση κάποιων αυθαίρετων παραγωγίσιμων συναρτήσεων ( , ) 1, 2,...,iΛ x y i m ,

δηλαδή την παράσταση 1

d ( , )

d

mi

i i

Λ x y

x τότε θα έχομε τη νέα συνάρτηση

1

d ( , )

d

mi

i i

Λ x yF F

x

. Εύκολα δείχνεται ότι αν χρησιμοποιήσομε στο πρόβλημα των

μεταβολών την F στη θέση της F , προκύπτουν οι ίδιες εξισώσεις Euler-Lagrange. Πράγματι θα έχομε αντί για την Εξ.(17.6) την

1

,1 1 1,

d ( , )δ δ d δ d δ d

d

dδ ( , )δ δ d d 0.

d

mi

i i

n m mi

j j ij i ij j i i

x yZ F F

x

x yF Fy y

y y x

(17.17)

Κάναμε χρήση της Εξ.(17.9) και με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης, Εξ.(17.12), το τελευταίο ολοκλήρωμα όγκου της Εξ.(17.17) γίνεται επιφανειακό ολοκλήρωμα στο σύνορο του Ω , δηλαδή

1 1

dδ ( , )d δ ( , ) d

d

m mi

i ii iiΩ S

Λ x yΩ Λ x y S

x

. (17.18)

Είναι προφανές ότι αφού τα ix σταθερά, ισχύει στο σύνορο S ότι

1

δ ( , ) δ 0n

ii j

j j

ΛΛ x y y

y

διότι στο σύνορο δ 0.jy Άρα το τελευταίο ολοκλήρωμα στην Εξ.(17.17) μηδενίζεται

επομένως έχομε και πάλι την Εξ.(17.6), οπότε πράγματι προκύπτουν πάλι οι ίδιες εξισώσεις Euler-Lagrange, Εξ.(17.16). Παρόλο που εφόσον η F περιέχει μόνο πρώτες παραγώγους των y , γράψαμε τα iΛ ως

συναρτήσεις μόνο των ,x y μπορεί να θεωρήσομε τα iΛ ως συναρτήσεις και παραγώγων

αρκεί να μπορούν οι μεταβολές των παραγώγων στο σύνορο να είναι μηδέν. Ανάλογο ισχύει και σε γενικότερες περιπτώσεις όπου υπάρχουν στην F ανώτερες παράγωγοι. Παρουσιάζει ενδιαφέρον η περίπτωση που έχομε δεσμούς, δηλαδή δεσμευτικές σχέσεις

269

μεταξύ των ,, ( ), ( ) 1, 2,..., 1,2,...,i j j ix y x y x i m j n . Σε αυτή την περίπτωση έχομε να

λύσομε το ίδιο πρόβλημα όπως προηγουμένως αλλά πρέπει να λάβομε υπόψη τις πρόσθετες σχέσεις, τις δεσμευτικές σχέσεις, που φαίνονται στις Εξ.(17.19).

δ =δ ( , , )d δ ( , , )d 0

( , , ) 0, 1, 2,..., .

x x

Ω Ω

l x

Z F x y y Ω F x y y Ω

f x y y l K

(17.19)

Για την περίπτωση αυτή, θα δείξομε ότι κατά την μεταβολή δZ μπορούμε να αγνοήσομε τις δεσμευτικές σχέσεις, αφού ορίσομε ένα νέο συναρτησοειδές για μιαν άλλη συνάρτηση, την

1

( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )K

x x l l xl

h x y y F x y y x f x y y

. (17.20)

Στη συνέχεια, θα δούμε ότι αν αυτό το συναρτησοειδές έχει στάσιμη τιμή θα ικανοποιούνται οι εξισώσεις των Euler-Lagrange που μαζί με τις δεσμευτικές σχέσεις δίνουν τη λύση του προβλήματος. Τα ( )l x είναι συναρτήσεις που πρέπει να

προσδιοριστούν. Θα έχομε

1 ,

1

d0

d

d0 1, 2,...,

d /

( , , ) 0, 1, 2,..., .

m

ij i j i

m

ij i j i

l x

h h

y x y

h hj n

y x y x

f x y y l K

. (17.21)

Βλέπομε ότι έχομε n K αγνώστους και n K εξισώσεις. Προχωρούμε στην απόδειξη. Πρέπει και σε αυτήν εδώ την περίπτωση, το αρχικό συναρτησιακό να έχει στάσιμη τιμή και απαιτούμε να ισχύουν οι δεσμευτικές σχέσεις για όλες τις τροχιές, δηλαδή την πραγματική και τις παραλλαγμένες τροχιές. Έχομε επομένως τις σχέσεις

δ =δ ( , , )d δ ( , , )d 0

( , , ) 0, 1, 2,..., .

x x

Ω Ω

l x

Z F x y y Ω F x y y Ω

f x y y l K

. (17.22)

Κατά την ανάλυση που θα κάνομε παρακάτω θα φανεί ότι δεν είναι απαραίτητο να ισχύουν οι δεσμευτικές σχέσεις για όλες τις παραλλαγμένες τροχιές αλλά για πολύ κοντινές στην πραγματική, σε πρώτη προσέγγιση ως προς τις δυνατές μετατοπίσεις (μέχρι διαφορικά πρώτης τάξεως). Θα χρησιμοποιήσομε τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrange. Η πρώτη των Εξ.(17.22) οδηγεί στην προηγούμενη Εξ.(17.14), δηλαδή στην

1 1 ,

dδ δ - d 0

d

n m

jj ij i j iΩ

F FZ y Ω

y x y

. (17.23)

270

τώρα όμως τα δ jy δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, προφανώς δεν είναι ούτε και

αυθαίρετα το καθένα σε κάθε σημείο. Δεν μπορούμε επομένως να εξισώσομε με μηδέν τον καθένα όρο (ολοκλήρωμα) του αθροίσματος 1, 2,...,j n ούτε να εξισώσομε με μηδέν την κάθε μια αγκύλη. Για να βρούμε τις δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των μεταβολών κάνομε τους παρακάτω συλλογισμούς. Οι στοιχειώδεις μετατοπίσεις, με σταθερά τα ix , από την πραγματική τροχιά πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να

ικανοποιούνται οι δεσμευτικές σχέσεις των Εξ.(17.19). Οι σχέσεις που προκύπτουν μας δίνουν τις συσχετίσεις των μεταβολών δ iy (και ,δ j iy ). Κάνομε μια τέτοια μεταβολή από

την πραγματική τροχιά στις δεσμευτικές αυτές σχέσεις και καταλήγομε, με προσέγγιση πρώτης τάξεως για τα διαφορικά, στις παρακάτω Εξ.(17.24),

( , δ , δ ) 0 ( , , ) δ

( , , ) 0.l x x l x l

l x

f x y y y y f x y y f

f x y y

(17.24)

Επομένως

,1 1 1 ,

δ δ δ 0 1, 2,..., .n n m

l ll j j i

j j ij j i

f ff y y l K

y y

(17.25)

Πολλαπλασιάζομε την κάθε μια από αυτές τις δεσμευτικές σχέσεις επί μιαν άγνωστη συνάρτηση των ανεξάρτητων μεταβλητών, την ( )l x και αθροίζομε στα l και

ολοκληρώνομε ως προς dΩ οπότε έχομε

,1 1 1 1 ,

( ) ( )δ δ d 0

n K K ml l l l

j j ij l l ij j iΩ

x f x fy y Ω

y y

. (17.26)

Προχωρούμε σε παραγοντική ολοκλήρωση του δεύτερου ολοκληρώματος. Έχομε την αντίστοιχη της Εξ.(17.10)

,, , ,

d dδ =δ δ .

d dl l l l l l

j j j ii j i i j i j i

f f fy y y

x y x y y

(17.27)

Επομένως το δεύτερο ολοκλήρωμα της Εξ.(17.26) γίνεται

,

1 1 1 1 1 1, , ,

d dδ d δ d - δ d

d d

n m n m n ml l l l l l

j i j jj i j i j ij i i j i i j iΩ Ω Ω

f f fy Ω y Ω y Ω

y x y x y

. (17.28)

271

Κατά τα γνωστά, το πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους, σύμφωνα με το θεώρημα της απόκλισης, μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα στην επιφάνεια S (στο σύνορο) που περικλείει το χωρίο Ω . Επειδή στο σύνορο οι σχέσεις δ jy =0 μπορούν να ισχύουν και σε

αυτή την περίπτωση, το ολοκλήρωμα μηδενίζεται, οπότε τελικώς η Εξ.(17.26) γίνεται

1 1 1 1 ,

( ) dδ - δ d d 0

d

n K n ml l l l

j jj l j ij i j iΩ Ω

x f fy y Ω Ω

y x y

. (17.29)

Προσθέτομε τις Εξ.(17.23) και (17.29) οπότε έχομε

1 1 1 1 1, ,

( )d dδ δ - δ - δ d 0.

d d

n m K n ml l l l

j j jj i l j ij i j i j i j i

x f fF FZ y y y

y x y y x y

(17.30) Προφανώς ισχύει

1 1 ,

dδ δ - d 0

d

n m

jj ij i j iΩ

h hZ y Ω

y x y

. (17.31)

Όπου

1

( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )K

x x l l xl

h x y y F x y y x f x y y

. (17.32)

Όπως έχομε ξαναπεί, αφού τα δ jy στις Εξ.(17.31) δεν είναι ανεξάρτητα, δεν μπορούμε

να εξισώσομε με μηδέν το κάθε ένα ολοκλήρωμα του αθροίσματος 1, 2,...,j n . Από τα

δ in y μόνο n K είναι αυθαίρετα αφού υπάρχουν Κ δεσμευτικές σχέσεις. Θα πάρομε

τα πρώτα Κ μη αυθαίρετα και τα τελευταία n K να είναι αυθαίρετα. Διαλέγομε τις ( )l x έτσι που οι πρώτες Κ αγκύλες να είναι μηδέν, δηλαδή

1 ,

d- 0, 1, 2,...,

d

m

ij i j i

h hj K

y x y

. (17.33)

οπότε από την Εξ.(17.31) θα έχομε ότι

1 1 ,

d- δ d 0

d

n m

jj K ij i j iΩ

h hy x

y x y

. (17.34)

272

Όμως αυτά τα δ iy είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και αυθαίρετα σε κάθε σημείο οπότε

ακολουθώντας τη διαδικασία που ακολουθήσαμε στα προηγούμενα, χωρίς δεσμευτικές σχέσεις, καταλήγομε τελικώς στις

1 ,

d- 0 1, 2,...,

d

m

ij i j i

h hj K K n

y x y

. (17.35)

Άρα βρίσκομε τις παρακάτω εξισώσεις των Euler-Lagrange, με τροποποιημένη συνάρτηση του συναρτησοειδούς που μαζί με τις σχέσεις των δεσμών προσδιορίζουν την πραγματική τροχιά,

1 ,

1

d- 0 1, 2,...,

d

( , , ) 0 1, 2,...,

( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ).

m

ij i j i

l x

K

x x l l xl

h hj n

y x y

f x y y l K

h x y y F x y y x f x y y

(17.36)

Με την τροποποίηση της συνάρτησης του συναρτησοειδούς, καταφέραμε να μην έχομε δεσμευτικές σχέσεις κατά τη διαδικασία των παραλλαγών, δηλαδή καταλήξαμε σε ένα πρόβλημα αμιγούς θεωρίας παραλλαγών αλλά με περισσότερες συναρτήσεις προς προσδιορισμό. Προστέθηκαν οι ( )l x . Έτσι, για των προσδιορισμό των n K

συναρτήσεων ( ), ( )y x x χρησιμοποιούμε τις n εξισώσεις των Euler-Lagrange μαζί με τις K δεσμευτικές σχέσεις. Σε τέτοιες περιπτώσεις, που μπορούν να εξαλειφθούν οι δεσμοί με τροποποίηση της συνάρτησης του συναρτησοειδούς και το πρόβλημα γίνεται καθαρό πρόβλημα θεωρίας μεταβολών, παρατηρούμε ότι οι σχέσεις των δυνατών μεταβολών και οι δεσμοί είναι τέτοιοι που για τις πολύ γειτονικές στην πραγματική τροχιές ικανοποιούνται οι εξισώσεις των δεσμών, βλέπε Εξ.(17.24) και (17.25). Με άλλα λόγια, οι γειτονικές στην πραγματική τροχιές είναι πιθανές τροχιές. Αυτοί οι δεσμοί περιλαμβάνουν αυτούς της μηχανικής που ονομάζομε ολόνομους δεσμούς στην ολοκληρωμένη τους μορφή. Η πιο γενική μορφή συνάρτησης F είναι να ορίζεται σε πολυδιάστατο χώρο (ή ακόμη περισσότερους διαφορετικούς πολυδιάστατους χώρους) ανεξάρτητων μεταβλητών και να εξαρτάται από πολλές εξαρτημένες μεταβλητές και παραγώγους τους ανώτερης τάξης συμπεριλαμβανομένων μεικτών παραγώγων της

μορφής 1 2 3....

l

x x x

.

Η γενική περίπτωση είναι πολύπλοκη, παρακάτω δίνομε την περίπτωση όπου στην F έχομε μιαν ανεξάρτητη μεταβλητή μια εξαρτημένη μεταβλητή και παραγώγους μέχρι τάξη N . Αυτή μπορεί σχετικά εύκολα να γενικευθεί για πολλές ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές με παραγώγους ανώτερης τάξης, χωρίς μεικτές παραγώγους. Θα χρησιμοποιήσομε για ευκολία το συμβολισμό

273

0

0 1

dd , 0,1,...,

d

d

d (d ,d ,...,d )

( ,d ).

ll

l

N

yy l N

x

y y

y y y y

F F x y

(17.37)

Τώρα η Εξ.(17.6) γίνεται

0

1 2

δ δ d δd d 0d

( , ).

Ni

iiX X

FZ F x y x

y

X x x

. (17.38)

Σε αυτή την περίπτωση με παραγώγους μέχρι N τάξης ισχύει ο περιορισμός δd , 0,1,..., 1i y i N στο σύνορο 1 2( , )X x x . (17.39)

Σύμφωνα με τις Εξ.(17.5) ή (17.9) μετατίθενται τα d , δi οπότε έχομε

0

δ δ d d δ d 0d

Ni

iiX X

FZ F x y x

y

. (17.40)

Είναι γνωστό ότι ισχύει η ταυτότητα της Εξ.(17.41) (όπου αν 0,i θεωρούμε ότι η

αγκύλη στην παρακάτω ταυτότητα είναι μηδέν, 0 )

1 1 1

1

d ( 1) d d ( 1) d d gi

i i i l l i l

l

f g g f f

. (17.41)

Επομένως η Εξ.(17.40) γίνεται

0

1 1

0 1

δ δ d ( 1) δ d dd

d( 1) d d (δ ) d 0.

d d

Ni i

iiX X

N il l i l

ii lX

FZ F x y x

y

Fy x

x y

(17.42)

Το τελευταίο ολοκλήρωμα κάνοντας την μετάθεση των di l και δ γίνεται

274

2

1

2

1

1 1

0 1

1 1

0 1

d( 1) d δ(d ) d

d d

( 1) d δ(d ) .d

x N il l i l

ii lx

xN i

l l i li

i lx

Fy x

x y

Fy

y

(17.43)

Αυτό το ολοκλήρωμα είναι μηδέν αφού υποθέσαμε ότι ισχύουν οι συνθήκες μηδενισμού των μεταβολών των παραγώγων και (προφανώς) και της y στο σύνορο,

δ(d ) 0, 0,1, , 1r y r N , Εξ.(17.39) και για την περίπτωση 0i είπαμε ότι η αγκύλη

είναι μηδέν. Επομένως εφόσον τα όρια 1 2,x x είναι αυθαίρετα όπως είναι και το δy , από

την Εξ.(17.42) καταλήγομε στην παρακάτω εξίσωση των Euler-Lagrange με ανώτερες παραγώγους

1

d( 1) =0.

ddd

iNi

iii

i

F F

yx xx

. (17.44)

Τελικώς δίνομε, χωρίς απόδειξη, τη γενική μορφή των εξισώσεων των Euler-Lagrange, Εξ.(17.47),με όλων των μορφών παραγώγους στην F , με πολλές ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. Αν θέλει να εισαγάγει χωριστά τις πρόσθετες μεταβλητές Grassmann, αυτό είναι εύκολο προσθέτοντας άλλο ένα αντίστοιχο πολλαπλό άθροισμα πάνω σε αυτές τις μεταβλητές, εντελώς όμοιο με αυτό που φαίνεται στην Εξ.(17.44). Ο συμβολισμός που ακολουθούμε εδώ είναι ο εξής

... ...

dd ,

d d ... ...

r rr r

x x x x

. (17.45)

Για απλούστευση, θεωρούμε ότι η F εξαρτάται από παραγώγους της ίδιας μέγιστης τάξης, r N , για όλες τις υπάρχουσες ανεξάρτητες μεταβλητές, ky . Το σύμβολο του

δείκτη ( ) δηλώνει άθροιση πάνω σε όλους τους συνδυασμούς ( , ,...) , δηλαδή

( )

...

. (17.46)

Στα αθροίσματα ο κάθε όρος εμφανίζεται μόνο μια φορά, δηλαδή οι όροι στα αθροίσματα είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους. Έχομε

...1 ( ) ...

δ( 1) d 0.

δ (

Nn n

nnk k k

F F F

y y y

(17.47)

Οι παρακάτω εκφράσεις που συνήθως παριστάνονται με το σύμβολο E

275

1

d0

d /

m

jij i j i

F FE

y x y x

1

d( 1) =0

ddd

iNi

iii

i

F FE

yx xx

...1 ( ) ...

( 1) d 0(

Nn n

k nnk k

F FE

y y

και απαντούν στις Εξ.(17.16), (17.44) και (17.47), αντιστοίχως, είναι μορφές αυτού που ονομάζομε εκφράσεις του Euler. Πρέπει να τονίσομε εδώ ότι, η συνάρτηση F μπορεί να εξαρτάται και από άλλες συναρτήσεις των ix των οποίων η εξέλιξη δεν προκύπτει από

θεωρία μεταβολών του ανωτέρω συναρτησοειδούς, οπότε για τη θεωρία μεταβολών που οδηγεί στις εξισώσεις των Euler-Lagrange είναι δεδομένες και προσδιορίζονται με άλλους τρόπους. Όταν κάνομε τις ανωτέρω μεταβολές αυτές οι συναρτήσεις δεν μεταβάλλονται αλλά λαμβάνονται ως σταθερές. Οι ανωτέρω συναρτήσεις (μεταβλητές) που μπορούν να προσδιοριστούν από θεωρία μεταβολών στη φυσική λέγονται δυναμικές μεταβλητές και τα άλλα απόλυτες μεταβλητές. Οι δυναμικές μεταβλητές εξαρτώνται από τις απόλυτες ενώ οι απόλυτες δεν εξαρτώνται από τις δυναμικές. Π4.2 Θεώρημα της Noether Το θεώρημα της Noether ασχολείται με τις συνέπειες της ύπαρξης ομάδας απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, συμπεριλαμβανομένων δυναμικών και απόλυτων, υπό τους οποίους ένα συναρτησοειδές (το οποίο ως ολοκλήρωμα λαμβάνεται πάνω σε αυθαίρετο χωρίο Ω το οποίο μετασχηματίζεται επίσης) παραμένει αναλλοίωτο ή ημιαναλλοίωτο (quasi-invariant). Δεν τίθεναται περιορισμοί στο σύνορο του χωρίου κατά τις παραλλαγές. Αυτό συνήθως λέγεται παραλλακτική συμμετρία, συμμετρία θεωρίας παραλλαγών (variational symmetry). Οι συμμετρίες τις οποίες διαπραγματεύεται αυτό το θεώρημα περιγράφονται με συνεχείς απειροστούς μετασχηματισμούς που αποτελούν ομάδα και εξαρτώνται από κάποιες αυθαίρετες ανεξάρτητες παραμέτρους ή από κάποιες αυθαίρετες ανεξάρτητες συναρτήσεις. Αυτές οι ομάδες είναι ομάδες του Lie. Το θεώρημα της Noether μπορεί να χρησιμεύσει στη φυσική (στη δυναμική) διότι και στη δυναμική, στις πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις, ορίζεται ένα συναρτησοειδές που είναι το ολοκλήρωμα δράσης και από αυτό το ολοκλήρωμα δράσης (συναρτησοειδές) προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης των Euler-Lagrange από την αρχή του Hamilton, δηλαδή από

276

θεωρία μεταβολών. Το θεώρημα εφαρμόζεται στα πλαίσια της φυσικής εκτός κβαντικής θεωρίας πεδίων, όπως αναφέραμε στην αρχή αυτού του Παραρτήματος Π4 . Υπάρχουν συμμετρίες που δεν περιγράφονται με συνεχείς μετασχηματισμούς, μια τέτοια σχετίζεται με την αλλαγή συντεταγμένων από r

σε r

, μάλιστα η ύπαρξη τέτοιας

συμμετρίας οδηγεί στη διατήρηση της ομοτιμίας (parity). Αυτές οι περιπτώσεις δεν περιγράφονται από το θεώρημα της Noether. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δυο θεωρήματα, το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα της Noether. Στο πρώτο θεώρημα οι μετασχηματισμοί περιέχουν απλές αυθαίρετες, ανεξάρτητες σταθερές (παραμέτρους) και αποτελούν ομάδα τύπου πεπερασμένων συνεχών ομάδων (finite continuous group). Βρίσκει εφαρμογή στη φυσική, όταν έχομε θεωρίες με παγκόσμια (ολική) αναλλοίωτητα βαθμίδας (global gauge invariant). Στο δεύτερο θεώρημα οι μετασχηματισμοί περιέχουν αυθαίρετες, ανεξάρτητες παραγωγίσιμες συναρτήσεις (παραμέτρους) των ανεξάρτητων μεταβλητών και αποτελούν ομάδα τύπου απείρων συνεχών ομάδων (infinite continuous group). Το δεύτερο θεώρημα της Noether βρίσκει εφαρμογή σε θεωρίες της Φυσικής που έχουν τοπικές συμμετρίες, όπως οι θεωρίες τοπικού αναλλοίωτου βαθμίδας (local gauge invariance). Τέτοια θεωρία είναι η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας αλλά και η Κβαντική Χρωμοδυναμική και άλλες κβαντικές θεωρίες στοιχειωδών σωματιδίων μέχρι το σημείο που τα πεδία τους θεωρούνται κλασικά πεδία. Οι ομάδα μετασχηματισμών του πρώτου τύπου είναι υποομάδα των μετασχηματισμών του δεύτερου τύπου, όπου οι αυθαίρετες συναρτήσεις γίνονται αυθαίρετες σταθερές. Αν οι γενικότεροι μετασχηματισμοί παραλλακτικής συμμετρίας που επιδέχεται ένα φυσικό σύστημα είναι τύπου ομάδας ολικού χαρακτήρα τότε μπορεί να προκύψουν σταθερές ποσότητες κίνησης που είναι αναλλοίωτες στη μορφή υπό τους εν λόγω μετασχηματισμούς. Αν όμως οι γενικότεροι μετασχηματισμοί είναι τοπικού τύπου, παρόλο που ως υποομάδα αυτών ισχύουν και ολικοί μετασχηματισμοί, δεν μπορούν να οριστούν σταθερές ποσότητες κίνησης που να είναι αναλλοίωτες στη μορφή υπό τους γενικότερους μετασχηματισμούς του συστήματος. Τώρα θα ασχοληθούμε με απειροστούς συνεχείς μετασχηματισμούς των ανεξάρτητων και των εξαρτημένων μεταβλητών από τις οποίες εξαρτάται η συνάρτηση F του συναρτησιακού Z . Όπως είπαμε με τους μετασχηματισμούς μεταβάλλεται και το χωρίο Ω ολοκλήρωσης. Οι απειροστοί μετασχηματισμοί των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι της μορφής δ ( )i i ix x x x . (17.48)

Όπου οι μεταβολές δ ( )ix x είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών

ix . Οι ανεξάρτητες μεταβλητές και οι παράγωγοί τους μετασχηματίζονται όπως φαίνεται

στις Εξ.(17.49) και εύκολα προκύπτει ότι η μεταβολή δ και η ολική παραγώγιση d

d ix ή η

μερική παραγώγιση ix

, γενικώς, δεν μετατίθενται διότι κατά το μετασχηματισμό δεν

αναφερόμαστε στο ίδιο σημείο αλλά πάμε από το σημείο x στο σημείο x όπου γενικώς, x x

277

, , ,

( ) ( ) δ ( )

( ) ( ) δ ( )

d dδ δ , δ δ.

d d

j i j i j i

j i i j i i j i i

i i i i

y x y x y x

y x y x y x

x x x x

(17.49)

Σε αυτό το Εδάφιο, η μεταβολή δ ( )j iy x οφείλεται σε δυο είδη μεταβολών, δηλαδή έχομε

μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής ένεκα μεταβολής των ανεξάρτητων μεταβλητών (θέση), 1,2,...,i ix x i m και σε μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής ενώ οι

ανεξάρτητες μεταβλητές (θέση) μένουν σταθερές. Η μεταβολή των εξαρτημένων μεταβλητών δ jy γίνεται με σταθερές ανεξάρτητες μεταβλητές, δηλαδή για σταθερή

θέση. Εύκολα προκύπτει ότι η μεταβολή δ και η παραγώγιση d

d ix ή η

ix

πάντοτε

μετατίθενται, διότι δεν έχομε κατά τη μεταβολή δ αλλαγή στα ix . Συγκεκριμένα ισχύουν

, , ,

( ) ( ) δ ( )

( ) ( ) δ ( )

d dδ δ , δ δ.

d d

j i j i j i

j i i j i i j i i

i i i i

y x y x y x

y x y x y x

x x x x

(17.50)

Θα εφαρμόσομε τον παραπάνω απειροστό μετασχηματισμό και θα υπολογίσομε τη μεταβολή του παρακάτω συναρτησιακού (συναρτησιακή μεταβολή)

= , , dx

Ω

Z F x y y Ω . (17.51)

Θα έχομε

δ = , , d , , dx x

Ω Ω

Z F x y y Ω F x y y Ω

. (17.52)

Υποθέτομε ότι η μεταβολή της μορφής της F είναι τέτοια που να αντιστοιχεί με πρόσθεση της απόκλισης (divergence) μιας αυθαίρετης απειροστής συνάρτησης των ,x y ,

δηλαδή 1

dδ ( , )

d

mk

k k

G x y

x

. Αυτό σχετίζεται με το γεγονός ότι αν θέλομε να καταλήξομε στις

εξισώσεις των Euler-Lagrange εφαρμόζοντας αρχή μεταβολών για το συναρτησιακό της Εξ.(17.51), οι εξισώσεις των Euler-Lagrange θα είναι οι ίδιες αν προστεθεί ένας τέτοιος όρος στην F . Ισχύουν προφανώς όσα αναφέραμε στα προηγούμενα σχετικά με τα iΛ .

Δηλαδή, τα δ kG μπορεί να εξαρτώνται από παραγώγους των y , ακόμη και ανώτερης

τάξης, αρκεί οι μεταβολές των παραγώγων στο σύνορο να μπορεί να ληφθούν ίσες με μηδέν. Η ύπαρξη αυτού του όρου είναι χρήσιμη στη φυσική, για παράδειγμα, όταν εξετάζομε μετασχηματισμούς από ένα αδρανειακό σύστημα σε άλλο που κινείται ως προς

278

το πρώτο με σταθερή διανυσματική ταχύτητα (συστήματα του Γαλιλαίου ή συστήματα του Lorentz). Δυστυχώς ο συμβολισμός και εδώ δεν είναι ο καλύτερος, εδώ το δ kG

δηλώνει απειροστό μέγεθος, όχι μεταβολή! Σύμφωνα με τα ανωτέρω θα έχομε

1

1

δ = , , d , , d

dδ ( , )= , , d , , d

d

dδ ( , ), , d , , d + d

d

x x

Ω Ω

mk

x xk kΩ Ω

mk

x xk kΩ Ω Ω

Z F x y y Ω F x y y Ω

G x yF x y y Ω F x y y Ω

x

G x yF x y y Ω F x y y Ω Ω

x

(17.53)

Για το μετασχηματισμό του τελευταίου ολοκληρώματος από το χωρίο Ω στο Ω μπορούμε να κάνομε χρήση της ιακωβιανής ορίζουσας που προκύπτει από τις Εξ.(17.49). Έχομε παραλείποντας διαφορικά ανώτερης τάξης

1 1

(δ ) (δ )1 , d =d d d d .

m mk i k i

i il i l i

x x x xΩ Ω Ω Ω Ω

x x x x

(17.54)

Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι και η υπό ολοκλήρωση ποσότητα σε προσέγγιση πρώτης τάξεως μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση των μη μετασχηματισμένων μεταβλητών ,i jx y

έτσι για το τελευταίο ολοκλήρωμα έχομε

1 1

dδ ( , ) dδ ( , )d d

d d

m mk k

k kk kΩ Ω

G x y G x yΩ Ω

x x

. (17.55)

Για το τρίτο ολοκλήρωμα από το τέλος στην Εξ.(17.53), μπορούμε να αλλάξομε το συμβολισμό για τις ανεξάρτητες μεταβλητές από x σε x (και από dΩ σε dΩ ) γιατί η ολοκλήρωση γίνεται ως προς τις ανεξάρτητες μεταβλητές (από τις οποίες εξαρτάται και το διαφορικό του όγκου) και επομένως αντιπροσωπεύουν βωβές μεταβλητές. Φυσικά το χωρίο ολοκλήρωσης παραμένει Ω Ω . Έτσι από την Εξ.(17.53) καταλήγομε στην

1

dδ ( , )δ , , d , , d + d

d

mk

x xk kΩ Ω Ω

G x yZ F x y y Ω F x y y Ω Ω

x

. (17.56)

Στη συνέχεια, για να καταλήξομε σε ολοκλήρωμα πάνω στο ίδιο χωρίο, μπορούμε να ακολουθήσομε μια διαδικασία όπου παίρνομε τις μεταβολές της F και του dΩ . Τότε η διαφορά των δυο πρώτων ολοκληρωμάτων μπορεί να γραφτεί ως

, , d , , d δ , , d , , δ(d )x x x x

Ω Ω Ω Ω

F x y y Ω F x y y Ω F x y y Ω F x y y Ω

279

και μπορούμε να προχωρήσομε τη διαδικασία από εδώ. Ένας άλλος τρόπος είναι με χρήση της ιακωβιανής να καταλήξομε σε ολοκληρώματα που να είναι πάνω στο ίδιο χωρίο Ω . Εμείς εδώ θα ακολουθήσομε έναν άλλο τρόπο. Αυτός ο τρόπος γίνεται κατανοητός με το Σχήμα Π4.1, που δείχνει μια αναπαράσταση των ,Ω Ω για χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών δυο διαστάσεων. Είναι ευνόητο ότι εφόσον ο μετασχηματισμός είναι απειροστός η μεταβολή Ω Ω του χωρίου ολοκλήρωσης, που σχετίζεται με τις (απειροστές) μεταβολές δ ix έχει απειροστό όγκο.

Γράφοντας το πρώτο ολοκλήρωμα της Εξ.(17.56) ως άθροισμα δυο ολοκληρωμάτων, θα έχομε για τη διαφορά των δυο πρώτων ολοκληρωμάτων της Εξ.(17.56) την ακόλουθη σχέση

, , d , , d

, , d , , d , , d

, , , , d , , d .

x x

Ω Ω

x x x

Ω Ω Ω Ω

x x x

Ω Ω Ω

F x y y Ω F x y y Ω

F x y y Ω F x y y Ω F x y y Ω

F x y y F x y y Ω F x y y Ω

(17.57)

Σχήμα Π4.2 Τα χωρία ολοκλήρωσης σε χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών δυο διαστάσεων. Είναι ευνόητο ότι το διάκενο μεταξύ των ,Ω Ω είναι απειροστό, επομένως η τιμή της

συνάρτησης , , xF x y y είναι περίπου η ίδια κατά το μετασχηματισμό από το σημείο

x της επιφάνειας S στο αντίστοιχο x της επιφάνειας S . Μπορούμε επομένως να φανταστούμε ένα στοιχειώδη «όγκο» σε κάθε σημείο x της επιφάνειας S που φτάνει μέχρι το αντίστοιχο μετασχηματισμένο σημείο x της επιφάνειας S . Αν d iS είναι το

στοιχείο της επιφάνειας, στον επίπεδο χώρο που αναφερόμαστε, ο παραπάνω στοιχειώδης

280

όγκος θα είναι το «εσωτερικό» γινόμενο =1

δ dm

i ii

x S , επομένως το τελευταίο ολοκλήρωμα

της Εξ.(17.57), πάνω στο στοιχειώδη όγκο Ω Ω γίνεται ολοκλήρωμα στην επιφάνεια S , δηλαδή

=1

, , δ dm

x k kkS

F x y y x S . (17.58)

Όμως αυτό το ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται σε ολοκλήρωμα όγκου με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης, Εξ.(17.12), οπότε έχομε

1 =1

d( , , )δ , , δ d

d

m m

x k x k kk kkΩ S

F x y y x F x y y x Sx

. (17.59)

Από τις Εξ.(17.56), (17.57), (17.58) και (17.59) καταλήγομε στη σχέση

1

dδ , , , , ( , , )δ δ ( , ) d

d

m

x x x k kk kΩ

Z F x y y F x y y F x y y x G x y Ωx

. (17.60)

Λαβαίνοντας υπόψη την (17.50) βρίσκομε για τη διαφορά που είναι μέσα στην αγκύλη στην Εξ.(17.60)

,1 1 1 ,

( , , ) ( , , )δ , , , , δ δ

n n mx x

x x r r lr r lr r l

F x y y F x y yF F x y y F x y y y y

y y

. (17.61)

Σύμφωνα με την Εξ.(17.50) τα δ, και οι παράγωγοι μετατίθενται άρα έχομε ,

dδδ

dr

r ll

yy

x

(προφανώς εδώ η μερική παράγωγος και η ολική συμπίπτουν, σύμφωνα με τους ορισμούς που τους έχομε δώσει στα προηγούμενα, εφόσον τα ry εξαρτώνται μόνο από τα lx ).

Επομένως η Εξ.(17.61) γίνεται

1 1 1 ,

( , , ) ( , , ) dδδ , , , , δ .

d

n n mx x r

x x rr r lr r l l

F x y y F x y y yF F x y y F x y y y

y y x

(17.62)

Επομένως η υπό ολοκλήρωση ποσότητα, δηλαδή ο μύστακας της Εξ.(17.60) γίνεται

281

1

1 1 1 1,

dδ δ δ

d

dδ dδ δ δ .

d d

m

k kk k

n n m mr

r k kr r l kr r l l k

F F x Gx

yF Fy F x G

y y x x

(17.63)

Όμως ισχύει

1 1 1, , ,

( δ ) dδd dδ

d d d

m m mr r

rl l ll r l l r l r l l

F y yF Fy

x y x y y x

. (17.64)

Από τις Εξ.(17.60), (17.63) και (17.64) καταλήγομε στη σχέση

1

1 1 1 1, ,

dδ δ δ δ d

d

d dδ δ δ δ d .

d d

m

k kk kΩ

n m m n

r r k kr k k rr k r k k r kΩ

Z F F x G Ωx

F F Fy y F x G Ω

y x y x y

(17.65)

Οι εκφράσεις μέσα στις πρώτες παρενθέσεις είναι οι εκφράσεις του Euler, λέγονται και λαγκραντζιανές εκφράσεις. Το θεώρημα της Noether εφαρμόζεται στην περίπτωση που ο παραπάνω απειροστός μετασχηματισμός των Εξ.(17.48), (17.49) οδηγεί σε δ 0Z . Επομένως, αν εισαγάγουμε την έκφραση του Euler, rE

1 ,

d

d

m

rkr k r k

F FE

y x y

. (17.66)

θα έχομε

1

1 1 1 ,

dδ δ δ δ d

d

dδ δ δ δ d 0.

d

m

k kk kΩ

n m n

r r r k kr k rk r kΩ

Z F F x G Ωx

Fy E y F x G Ω

x y

(17.67)

Όταν δ 0Z , λέμε ότι έχομε ημιαναλλοιώτητα όταν η συνάρτηση F αλλάζει μορφή με τον τρόπο που καθορίζεται στην Εξ.(17.53). Αν δεν αλλάζει μορφή, δηλαδή αν δ 0kG

στην Εξ.(17.53), τότε λένε ότι έχομε αναλλοιώτητα. Υποθέτοντας ότι δ 0Z για κάθε χωρίο Ω εύκολα καταλήγομε στο ότι οι υπό ολοκλήρωση ποσότητες στην Εξ.(17.67) είναι μηδέν, άρα έχομε τελικώς τις σχέσεις

282

1

1 1

1 ,

dδ δ δ

d

dδ

d

δ δ δ .

m

k kk k

n mk

r rr k k

n

k r k kr r k

F F x Gx

By E

x

FB y F x G

y

(17.68)

Ως κριτήριο ημιαναλλοιώτητας ή αναλλοιώτητας μπορεί να ληφθεί η πρώτη από αυτές τις σχέσεις, δηλαδή ότι η μεταβολή δF παίρνει μορφή απόκλισης. Μπορούμε να πούμε, χωρίς απόδειξη ότι, για όλες τις περιπτώσεις οι οποίες είναι πιο γενικές από αυτήν με την οποία ασχοληθήκαμε εδώ, ισχύει η δεύτερη σχέση με που φαίνεται στην Εξ.(17.68). Στις ποιο γενικές περιπτώσεις οι συναρτήσεις του Lagrange έχουν και παραγώγους ανώτερης τάξης από ότι συνήθως και τα iB εξαρτώνται, γενικώς, από τα δx , την F , τις

ανεξάρτητες μεταβλητές, τις εξαρτημένες μεταβλητές και παραγώγους ανώτερης τάξης. Αυτή η δεύτερη από τις σχέσεις των Εξ.(17.68) συνδέει μια παράσταση στο πρώτο μέλος, που περιέχει τις κατάλληλες για κάθε περίπτωση εκφράσεις του Euler με το δεύτερο μέλος που αποτελείται από αποκλίσεις (divergences). Σημειώστε ότι τα παραπάνω είναι ανεξάρτητα από το αν ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange, αφού πουθενά δεν υποθέσαμε κάτι τέτοιο. Μπορούμε να πούμε ότι αυτή η δεύτερη σχέση των Εξ.(17.68) αποτελεί το κριτήριο του αν ένας μετασχηματισμός είναι νεδεριανή συμμετρία ή αλλοιώς, αν το σύστημα είναι νεδεριανό υπό τον εν λόγω μετασχηματισμό, πράγμα που σημαίνει ότι ισχύει η απαίτηση για το θεώρημα της Noether, δηλαδή η Εξ. (17.67). Η ομάδα μετασχηματισμών που είναι νεδεριανοί, λέγεται νεδεριανή ομάδα Π4.2.1 Πρώτο θεώρημα της Noether Διατυπώνομε το πρώτο θεώρημα της Noether όπως φαίνεται παρακάτω. «Αν μια συνεχής ομάδα (του Lie) απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, η οποία εξαρτάται από αυθαίρετες απειροστές

παραμέτρους, σταθερές 1, 2,..., , (πρόκειται για παγκόσμιο μετασχηματισμό,

global) είναι νεδεριανή ομάδα ως προς τη συνάρτηση ,, ,i j j iF x y y , τότε ικανοποιούνται

οι ακόλουθες σχέσεις, μια για την κάθε παράμετρο από τις οποίες εξαρτάται η ομάδα»:

1 1 1 ,

d =1,2,..., .

d

n m n

r r r k kr k rk r k

FE F

x y

(17.69)

Με άλλα λόγια, έχομε ότι ανεξάρτητοι γραμμικοί συνδυασμοί των εκφράσεων του Euler είναι αποκλίσεις (diveregences). Το μπορεί να είναι και άπειρο. Πρέπει να

283

τονίσομε ότι η εξάρτηση των μεταβολών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών είναι γραμμική ως προς τις απειροστές παραμέτρους . Η Εξ.(17.69) προκύπτει εύκολα

από τις Εξ.(17.68) με δεδομένο ότι οι μετασχηματισμοί για τις απειροστές μεταβολές δ kx , της Εξ.(17.48), καθορίζουν τις συναρτήσεις ( , , )k xx y y και οδηγούν στις

γραμμικές ως προς τις παραμέτρους σχέσεις

1 1

δ ( , , ) δ

δ ( , , ) .

k k x k

k k x

x x y y x

x x y y

. (17.70)

Εφόσον, όπως είπαμε προηγουμένως, οι μεταβολές δ ry είναι γραμμικές ως προς τις

παραμέτρους, προκύπτει εύκολα από τις Εξ.(17.49) και (17.50) ότι το ίδιο θα ισχύει για τις μεταβολές δ ry , με συναρτήσεις ( , , )k xx y y που θα εξαρτώνται από το

μετασχηματισμό ως εξής

1 1

δ ( , , ) δ

δ ( , , ) .

r r x r

r r x

y x y y y

y x y y

(17.71)

Υποθέτομε ότι και τα δ ( , )kG x y γράφονται ανάλογα, δηλαδή έχομε

1 1

δ δ ( , ) ( , ) δ

δ ( , ) .

k k k k

k k

G G x y x y G

G x y

(17.72)

Εδώ απλώς αναπτύσσομε το απειροστό δ ( , )kG x y (ξαναθυμίζομε ότι το δ ( , )kG x y δεν

είναι μεταβολή, απλώς συμβολίζεται έτσι διότι είναι απειροστό!). Προφανώς τα k θα

εξαρτώνται μόνο από τα ( , )x y διότι τα δ kG εξαρτώνται μόνο από αυτά.

Αντικαθιστούμε τις Εξ.(17.68) οπότε βρίσκομε

1 1 1 1 1 ,

d

d

n m n

r r r k kr k rk r k

FE F

x y

. (17.73)

Εφόσον τα είναι αυθαίρετα και μεταξύ τους ανεξάρτητα, προκύπτουν ανεξάρτητες

σχέσεις μια για κάθε , δηλαδή οι Εξ.(17.69). Είναι ευνόητο ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσομε την κάθε μια από τις σχέσεις στην Εξ.(17.69) επί το αντίστοιχο και έτσι να πάμε πίσω στις μεταβολές και να γράψομε τις

σχέσεις συναρτήσει αυτών, δηλαδή ως

284

1 1 1 ,

dδ δ δ δ . =1,2,..., .

d

n m n

r r r k kr k rk r k

Fy E y F x G

x y

(17.74)

Όταν υπάρχουν στην F ανώτερες παράγωγοι, είναι ευνόητο ότι με χρήση των όσον αναφέραμε πιο πάνω, μπορεί το θεώρημα να πάρει γενικότερη ποιο πολύπλοκη μορφή. Π4.2.2 Δεύτερο θεώρημα της Noether Το κύριο συμπέρασμα που συνδέεται με το δεύτερο θεώρημα της Noether έχει την παρακάτω διατύπωση. «Αν μια συνεχής ομάδα (του Lie) απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, η οποία εξαρτάται από αυθαίρετες απειροστές

συναρτήσεις ( ) 1, 2,...,p x και παραγώγους τους d ( )

, 1, 2,...,d

l

l

p xl

x (πρόκειται

για τοπικό μετασχηματισμό, local) είναι νεδεριανή ομάδα ως προς τη συνάρτηση

,, ,i j j iF x y y , τότε ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις, μια για την κάθε αυθαίρετη

συνάρτηση από τις οποίες εξαρτάται η ομάδα»:

01 1 1

d ( )( 1) 0 . 1, 2,...,

d

rn mj r jr

j j rj i r i

b Eb E

x

(17.75)

Όπως θα δούμε παρακάτω, έχομε υποθέσει ότι στους μετασχηματισμούς δεν υπεισέρχονται μεικτές παράγωγοι των αυθαίρετων συναρτήσεων ( )p x . Ανάλογα με τη

σύμβαση που υιοθετεί κάποιος μπορεί αντί για d

d

r

rx να χρησιμοποιεί το συμβολισμό

r

rx

.

Ο μετασχηματισμός έχει τη μορφή

285

01 1 1

01 1 1

1

01 1 1

dδ

d

dδ

d

δ δ

dδ .

d

lm

k k kl li l i

lm

j j jl li l i

k k

lm

k k kl li l i

px a p a

x

py b p b

x

G G

pG c p c

x

(17.76)

Γενικώς τα , ,a b c εξαρτώνται από τα ,x y και παραγώγους των y . Με χρήση των δεύτερων από τις σχέσεις (17.76) έχομε ότι

01 1 1 1 1

dδ

d

ln n m

j j j j jl lj j i l i

pE y E b p b

x

. (17.77)

Ισχύει η ταυτότητα

1

11

1

d dd d( 1) ( 1)

d d d d

r kr r krj jr k

j r r k r kki i i i i

p pp

x x x x x

. (17.78)

Εννοείται ότι όταν 0

0

d d0

d d

r

ri i

rx x

. Ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους της

Εξ. (17.78) οδηγεί, όταν αθροίσομε στα 1, 2,...,i m , σε απόκλιση (divergence) των συναρτήσεων

1

11

1

d d( 1)

d d

k r krjk

ji k r kk i i

pC

x x

. (17.79)

Έτσι έχομε αντί της (17.78) την εξίσωση

d dd

( 1)d d d

rrj jir

j r ri i i

Cpp

x x x

. (17.80)

286

Θέτομε όπου j τα j jlE b στην Εξ. (17.80) και αντικαθιστώντας στην Εξ. (17.77)

βρίσκομε

1

01 1 1 1 1 1

d ( ) dδ ( ) .

d d

n

i jij

ln n m mjl j i

j j j j lj j i l ii i

C C

b E CE y p b E

x x

(17.81)

Παρατηρούμε ότι ο τελευταίος όρος είναι μια απόκλιση. Συνδυάζοντας την Εξ. (17.81) με τη δεύτερη από τις σχέσης στην Εξ. (17.68) καταλήγομε στην

01 1 1 1 1

d ( ) d( )( )

d d

ln m mjl j i i

j j lj i l ii i

b E B Cp b E

x x

. (17.82)

Παίρνομε το ολοκλήρωμα και των δυο μελών πάνω σε οποιοδήποτε χωρίο Ω .

01 1 1 1 1

d ( ) d( )d ( ) d

d d

ln m mjl j i i

j j lj i l ii iΩ Ω

b E B CΩ p b E Ω

x x

. (17.83)

Το δεύτερο ολοκλήρωμα της απόκλισης σύμφωνα με το θεώρημα της απόκλισης ισούται με το επιφανειακό ολοκλήρωμα στην κλειστή υπερεπιφάνεια S που είναι το σύνορο του χωρίου Ω , επομένως έχομε

1 1

d( )d d ( )

d

m mi i

k k ki kiΩ S

B CΩ S B C

x

. (17.84)

Σύμφωνα με τα παραπάνω τα ,k kB C εξαρτώνται από τις αυθαίρετες συναρτήσεις ( )p x

και τις παραγώγους τους έτσι που αν στο σύνορο S ληφθούν οι συναρτήσεις και οι υπάρχουσες παράγωγοί τους μηδέν τότε τα ,k kB C είναι μηδέν στο σύνορο. Αυτό

μπορούμε να το κάνομε διότι οι συναρτήσεις ( )p x είναι αυθαίρετες. Επομένως τελικώς

καταλήγομε στο ότι το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της Εξ. (17.83) είναι μηδέν άρα είναι και το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους. Εφόσον το χωρίο Ω είναι αυθαίρετο η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι επίσης μηδέν. Άρα

01 1 1 1

d ( )( ) 0 .

d

ln mjl j

j j lj i l i

b Ep b E

x

. (17.85)

287

Εφόσον οι συναρτήσεις ( )p x είναι αυθαίρετες (και προφανώς ανεξάρτητες μεταξύ τους)

ο κάθε όρος του αθροίσματος πάνω στα 1, 2,..., που είναι μέσα στον μύστακα θα είναι μηδέν άρα καταλήγομε στις παρακάτω σχέσεις (εξαρτήσεις) μεταξύ των λαγκραντζιανών εκφράσεων που ισχύουν ανεξάρτητα αν ισχύουν ή όχι οι εξισώσεις των Euler-Lagrange,

01 1 1

d ( )( ) 0 =1,2,...,

d

ln mjl j

j j lj i l i

b Eb E

x

. (17.86)

Αυτές οι εξαρτήσεις, ταυτότητες, είναι του τύπου των ταυτοτήτων του Bianchi, που απαντούν στη Γενική Σχετικότητα, και σημαίνουν ότι στην περίπτωση φυσικών συστημάτων που υπακούουν σε τοπικές συμμετρίες βαθμίδας, οι εκφράσεις του Euler που υπολογίζονται από τη λαγκραντζιανή και οι παράγωγές τους συνδέονται με τις ανωτέρω εξισώσεις ανεξάρτητα από το αν ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange. Αυτό έχει συνέπειες στη λύση τέτοιων προβλημάτων και σημαίνει ότι όταν ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange δεν είναι όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους. Π5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας ο χωρόχρονος του Minkowski έχει τις τέσσερις συντεταγμένες που σε κάποιο σύστημα lorentz είναι 0 1 2 3 0 1 2 3, , , , , ,x x x x x ct x x x y x z . (18.1) Δηλαδή η συντεταγμένη με δείκτη 0 αντιστοιχεί στο χρόνο και οι υπόλοιπες τρεις είναι οι συνήθεις καρτεσιανές συντεταγμένες. Οι τέσσερεις αυτές συντεταγμένες αντιστοιχούν σε ένα (κοσμικό) γεγονός σε ορισμένη χωρική θέση 1 2 3( , , )x x x που συμβαίνει ορισμένη χρονική στιγμή t . Η τετράδα αυτή αποτελεί ένα τετράνυσμα.

288

Χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό για τετρανύσματα, με ελληνικούς δείκτες που παίρνουν τιμές (0,1,2,3) τετράνυσμα , 0,1, 2,3x . (18.2) Ας υποθέσομε ότι υπάρχει μετασχηματισμός που μας οδηγεί από ένα σύστημα συντεταγμένων σε άλλο σύστημα συντεταγμένων. Έστω ότι οι συντεταγμένες των δυο συστημάτων συνδέονται με μετασχηματισμούς της μορφής

0 1 2 3

0 1 2 3

( , , , )

( , , , ), 0,1, 2,3

x x x x x x

x x x x x x

(18.3)

Οι τανυστές τάξης k που ορίζονται στο χωροχρονικό σημείο x χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες μετασχηματισμού τους υπό το μετασχηματισμό συντεταγμένων x x . Συγκεκριμένα ένα βαθμωτό (μέγεθος) είναι ένας τανυστής τάξης μηδέν, δηλαδή είναι μια μοναδική ποσότητα που η τιμή της δε μεταβάλλεται από το μετασχηματισμό. Οι τανυστές τάξης 1 είναι διανύσματα και μπορεί να είναι δυο τύπων. Τα λεγόμενα ανταλλοίωτα διανύσματα A με τέσσερις συνιστώσες 0 1 2 3, , ,A A A A , που δηλώνονται με άνω δείκτες και μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον κανόνα

x

A Ax

. (18.4)

Δηλαδή όπως ένα διαφορικό. Εδώ εννοείται ότι έχομε άθροιση στους επαναλαμβανόμενους δείκτες, δηλαδή

0 1 2 30 1 2 3

x x x xA A A A A

x x x x

. (18.5)

Οι άνω δείκτες λέγονται ανταλλοίωτοι δείκτες. Τα λεγόμενα συναλλοίωτα διανύσματα B , δηλώνονται με κάτω δείκτες και χαρακτηρίζονται από τον ακόλουθο

μετασχηματισμό

x

B Bx

. (18.6)

Δηλαδή μετασχηματίζονται όπως η βαθμίδα μιας συνάρτησης. Αναλυτικά έχομε

0 1 2 3

0 1 2 3

x x x xB B B B B

x x x x

. (18.7)

Οι κάτω δείκτες λέγονται συναλλοίωτοι δείκτες. Ένας ανταλλοίωτος τανυστής τάξης δύο F αποτελείται από 16 ποσότητες (συνιστώσες) που μετασχηματίζονται ως εξής

289

x x

F Fx x

. (18.8)

Ένας συναλλοίωτος τανυστής τάξης δύο , μετασχηματίζεται όπως φαίνεται παρακάτω

x x

G Gx x

. (18.9)

Ένας μεικτός τανυστής δεύτερης τάξης H

μετασχηματίζεται ως εξής

x xH H

x x

. (18.10)

Το πλήθος των δεικτών χαρακτηρίζει την τάξη του τανυστή. Εύκολα μπορεί να γενικεύσει κάποιος τα ανωτέρω και σε τανυστές μεγαλύτερης τάξης. Το εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο δυο διανυσμάτων ορίζεται ως γινόμενο των αντίστοιχων συνιστωσών ενός συναναλλοίωτου και ενός ανταλλοίωτου διανύσματος, δηλαδή B A B A

. (18.11)

Εύκολα προκύπτει ότι αυτό είναι πράγματι βαθμωτό με την έννοια ότι οι ανωτέρω μετασχηματισμοί συντεταγμένων το αφήνουν αμετάβλητο B A B A . (18.12) Με τον όρο εσωτερικό γινόμενο ή συναλοιφή ή συστολή (contaction) σε σχέση με δυο δείκτες που ανήκουν στον ίδιο τανυστή ή σε διαφορετικούς, ορίζεται ως η άθροιση ως προς αυτούς τους δείκτες με ανάλογο τρόπο όπως στην Εξ.(18.11). Πρέπει ο ένας δείκτης να είναι ανταλλοίωτος και ο άλλος συναλλοίωτος. Παρόλο που αναφερθήκαμε σε τανυστές που ορίζονται σε τετραδιάστατο χώρο, αυτό δεν είναι απαραίτητο, ο χώρος μπορεί να έχει οσεσδήποτε διαστάσεις. Αν ο χώρος έχει n διαστάσεις και η τάξη του τανυστή είναι k , τότε ο τανυστής έχει nk συνιστώσες. Όπως αναφέραμε στην αρχή, στην περίπτωση της ειδικής σχετικότητας ο χώρος είναι ο τετραδιάστατος χώρος του Minkowski. Οι μετασχηματισμοί είναι οι μετασχηματισμοί του Lorentz. Η γεωμετρία του χωρόχρονου της ειδικής σχετικότητας χαρακτηρίζεται από το (αναλλοίωτο) μήκος s ως προς μετασχηματισμούς Lorentz, για το οποίο ισχύει 2 0 2 1 2 2 2 3 2( ) ( ) ( ) ( )s x x x x . Για το στοιχειώδες μήκος έχομε 2 0 2 1 2 2 2 3 2(d ) =(d ) -(d ) -(d ) -(d )s x x x x . (18.13) Το στοιχειώδες μήκος είναι επίσης αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς του Lorentz, δηλαδή είναι ένα βαθμωτό (μέγεθος). Γενικώς το στοιχειώδες μήκος καθορίζεται από τη μετρική του χώρου που εκφράζεται από το μετρικό τανυστή g , ως εξής 2(d ) d d d ds x x g x x

. (18.14)

290

Ο μετρικός τανυστής είναι ο ακόλουθος συμμετρικός, διαγώνιος τανυστής

1 0 0 0

0 -1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

g

. (18.15)

Ισχύουν οι σχέσεις g g g

0, g g για και (18.16)

00 11 22 331, 1, 1, 1g g g g .

Προφανώς έχομε τη σχέση , 0 , 1 =0,1,2,3g g

. (18.17)

Όπου

είναι το δέλτα του Kronecker. Ο μετρικός τανυστής είναι αυτός που

χρησιμοποιείται ώστε να μετατρέψομε ένα δείκτη τανυστή από συναλλοίωτο σε ανταλλοίωτο και αντίστροφα, αυτό ουσιαστικά έγινε στην Εξ.(18.14). Έχομε

.. .. .... ... ...

.. .. ... . ....

,

,

x g x x g x

F g F G g G

. (18.18)

Στην περίπτωση της σχετικότητας όταν ανεβαίνει ή κατεβαίνει ένας δείκτης τανυστή, αν ο δείκτης έχει την τιμή 0 (δηλαδή αναφέρεται στη χρονική συνιστώσα) τότε η συνιστώσα του τανυστή μένει αμετάβλητη, αν ο δείκτης είναι 1,2 ή 3 (χωρικές συνιστώσες) τότε το μέτρο της συνιστώσας μένει το ίδιο αλλά αλλάζει το πρόσημό της. Για παράδειγμα, έστω το ανταλλοίωτο τετράνυσμα A στο χώρο του Minkowski, θα έχομε ( , ), ( , )A a a A a a

. (18.19)

Το εσωτερικό γινόμενο δυο τετρανυσμάτων είναι

0 0B A B A B A B A

, 0

0B B

Ο τελεστής της παραγώγισης ως προς μιαν ανταλλοίωτη συνιστώσα του τετρανύσματος το τετραχώρου της σχετικότητας, είναι συναλλοίωτος διανυσματικός τελεστής. Ο τελεστής παραγώγισης ως προς τις αντίστοιχες συναλλοίωτες συνιστώσες είναι ανταλλοίωτος διανυσματικός τελεστής. Πρέπει να πούμε ότι τέτοιες παραγωγίσεις δεν

291

οδηγούν στη γενική περίπτωση του τανυστικού λογισμού σε τανυστές αλλά μόνο αν ο μετασχηματισμός συντεταγμένων είναι γραμμικός. Έχομε τους συμβολισμούς

1,

1, .

x c t

x c t

(18.20)

Η τετραπόκλιση ενός τετρανύσματος είναι ένα βαθμωτό (αναλλοίωτο) μέγεθος,

01 A

A A Ac t

. (18.21)

Ο τετραδιάστατος τελεστής του Laplace (λαπλασιανή) στο χώρο της ειδικής σχετικότητας είναι

22 2

1

c t

. (18.22)

292

Π6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LEGENDRE Ο μετασχηματισμός του Legendre γενικώς σχετίζεται με διαφορικές εξισώσεις. Στη φυσική, πολλές φορές κάποιες ποσότητες δίνονται ως συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών που δεν είναι βολικές για την περιγραφή του φυσικού συστήματος ενώ είναι πιο βολικές μεταβλητές που είναι οι παράγωγοι της αρχικής συνάρτησης ως προς τις αρχικές μεταβλητές. Αφού διαλέξομε αυτές τις νέες ανεξάρτητες μεταβλητές, πρέπει να βρούμε την κατάλληλη ποσότητα-συνάρτηση ως προς αυτές. Τίθεται τότε το ερώτημα αν η νέα συνάρτηση διατηρεί το φυσικό και μαθηματικό περιεχόμενο της αρχικής ή αλλοιώς, αν έχει την ίδια πληροφορία με την αρχική. Θα εξετάσομε απλές περιπτώσεις για να γίνει σαφές αυτό που λέμε. Έστω η συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, ( )f f x . (19.1) Η παράγωγός της είναι

d ( )

( )d

f xp x

x . (19.2)

Έστω ότι αυτή η σχέση μπορεί να αντιστραφεί, δηλαδή να λυθεί ως προς x οπότε ( )x x p . (19.3)

Αυτό γίνεται αν 2

2

d0

d

f

x . Από την Εξ.(19.3) και την Εξ.(19.1) βρίσκομε

a( ) ( )f f x p f p . (19.4)

Το πρόβλημα φαίνεται εκ πρώτης όψεως λυμένο αφού η άνεξάρτητη μεταβλητή x αντικαταστάθηκε από την ανεξάρτητη μεταβλητή p . Αυτό όμως δεν είναι αλήθεια, θα δούμε ότι η Εξ.(19.1) και η Εξ.(19.4) δεν είναι εντελώς ισοδύναμες, επομένως αυτή η προφανής διαδικασία δεν οδηγεί στο ζητούμενο αποτέλεσμα. Πράγματι, ενώ η Εξ.(19.4) προέκυψε μονοσήμαντα από την Εξ.(19.1), η Εξ.(19.1) δεν προκύπτει μονοσήμαντα από

293

την Εξ.(19.4). Αυτό είναι ευνόητο διότι για να πάμε από την Εξ.(19.4) πίσω στην Εξ.(19.1), πρέπει να λύσομε τη διαφορική εξίσωση που προκύπτει από την Εξ.(19.4), δηλαδή την

a

d ( )( )

d

g xg x f

x

. (19.5)

Αν αυτή η διαφορική εξίσωση δεν είναι γραμμική έχει διάφορες λύσεις για διάφορες αρχικές συνθήκες. Μια από αυτές είναι και η αρχική συνάρτηση Εξ.(19.1), επομένως δεν έχομε ισοδυναμία των a ( )f p και ( )f x , δηλαδή η a ( )f p έχει περισσότερη πληροφορία

από την αρχική ( )f x . Αυτό γίνεται σαφέστερο αν περιοριστούμε στην ειδική περίπτωση που η διαφορική εξίσωση είναι γραμμική. Τότε έχει γενική λύση η οποία, εφόσον είναι πρώτης τάξεως, εξαρτάται από μια σταθερά c . Αυτή η γενική λύση, για διάφορες τιμές της σταθεράς, δίνει όλες τις λύσεις του προβλήματος. Δηλαδή η γενική λύση θα είναι της μορφής ( , )g g x c . (19.6) Αυτή είναι μια παραμετρική οικογένεια (πολλών) καμπύλων (συναρτήσεων) που όλες είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Η αρχική συνάρτηση της Εξ.(19.1) είναι μια λύση, επομένως θα συμπεριλαμβάνεται στην Εξ.(19.6) για κάποια τιμή της σταθεράς, δηλαδή 0( ) ( , )f x g x c . Αυτά σημαίνουν ότι η συνάρτηση a ( )f p δεν είναι ακριβώς

ισοδύναμη με την αρχική ( )f f x , διότι οδηγεί και σε άλλες (λύσεις) συναρτήσεις του x , δηλαδή έχει περισσότερη πληροφορία από την αρχική.

294

(α) (β)

(γ) Σχήμα Π6.1 α) Καμπύλη συνάρτησης, ως γεωμετρικός τόπων σημείων. β) Καμπύλη συνάρτησης ως περιβάλλουσα οικογένειας εφαπτόμενων. γ) Γεωμετρική κατασκευή για την εύρεση της εξίσωσης της οικογένειας εφαπτόμενων του (β). Η λύση του προβλήματος ανάγεται στην εύρεση κατάλληλου μετασχηματισμού που να μας οδηγεί από την αρχική συνάρτηση ( )f f x σε μια νέα τελική συνάρτηση ( )F F p και η αντίστροφη διαδικασία να οδηγεί μόνο στην αρχική συνάρτηση. Για να κατανοήσομε τον μετασχηματισμό που λύνει το πρόβλημά μας θα χρησιμοποιήσομε τις γεωμετρικές εικόνες των Σχ.(Π6.1α, β,γ). Μια καμπύλη μπορεί να παρασταθεί είτε ως ο γεωμετρικός τόπος σημείων των οποίων οι συντεταγμένες πληρούν δεδομένη σχέση όπως εδώ την Εξ.(19.1), είτε ως η περιβάλλουσα μιας οικογένειας εφαπτόμενων ευθειών των οποίων η κλίση υπακούει σε δεδομένη σχέση. Στα Σχ.(Π6.1α,β) παριστάνεται η ίδια καμπύλη με τους δυο τρόπους. Το πρόβλημα ανάγεται στο να βρούμε την εξίσωση που

295

ισχύει για την οικογένεια των εφαπτόμενων ευθειών. Στο Σχ.(Π6.1γ) έχομε την καμπύλη του Σχ.(Π6.1α) όπου φαίνεται η εφαπτόμενη ευθεία σε ένα σημείο της η οποία τέμνει τον άξονα των f στο σημείο (0,- )F . Προφανώς από αυτό το σχήμα έχομε για την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας

( )

, f F

p F px fx

. (19.7)

Αυτή είναι η ζητούμενη συνάρτηση με την οποία μπορεί να κατασκευαστεί η οικογένεια εφαπτόμενων ευθειών, άρα και η περιβάλλουσα καμπύλη τους. Αυτός λέγεται μετασχηματισμός του Legendre (για την περίπτωση μιας μεταβλητής). Η απαλοιφή των x και f από τη δεύτερη των Εξ.(19.7) με χρήση των Εξ.(19.1) και (19.2) οδηγεί στη ζητούμενη σχέση ( )F F p . (19.8) Αντιστρόφως από την Εξ.(19.8) μπορούμε να βρούμε, επίσης μονοσήμαντα, την Εξ.(19.1). Πράγματι το διαφορικό της δεύτερης από τις Εξ.(19.7) γράφεται d d d dF p x x p f . (19.9) Όμως από την Εξ.(19.2) έχομε d df p x . (19.10) Άρα η Εξ.(19.9) γράφεται

d

d d , ( )d

FF x p x x p

p . (19.11)

Στη δεύτερη των Εξ.(19.7) απαλείφομε, με χρήση των Εξ.(19.8) και(19.11), τα ,F p και έτσι παίρνομε την αρχική σχέση Εξ.(19.1). Αυτά μπορούν να γενικευθούν για πολλές μεταβλητές όπως φαίνεται στα επόμενα. Ας θεωρήσομε μια συνάρτηση 1 2 1 2( , ) ( , ,..., , , ,..., )r sf x y f x x x y y y , με r s μεταβλητές

που τις θεωρούμε ανεξάρτητες. Υποθέτομε ότι στην περιοχή ενδιαφέροντος για τα ix η

χεσιανή (hessian) ορίζουσα είναι μη μηδενική, 2 ( , ) / 0i jf x y x x . Έστω ότι είναι πιο

βολικό αντί των μεταβλητών 1 2, ,..., rx x x να έχομε τις μεταβλητές

( , ) / , 1, 2,...,i iX f x y x i r .

296

Θα δείξομε ένα θεώρημα που έχει δυο μέρη τα εξής: 1. Θα βρούμε μια νέα συνάρτηση ( , )F X y των νέων μεταβλητών. 2. Επιπλέον οι δυο συναρτήσεις, η παλιά και η νέα, θα είναι ισοδύναμες. Δηλαδή και οι δυο συναρτήσεις θα περιέχουν την ίδια πληροφορία. Αυτό θα το πετύχομε με τον πιο γενικό, από πριν, μετασχηματισμό legendre. Ορίζομε τις νέες μεταβλητές και τη νέα συνάρτηση ως εξής,

1

( , ),

r

i i iii

f x yX F x X f

x

(19.12)

τότε θα έχομε

1

( , ),

r

i i iii

F X yx f X x F

X

. (19.13)

Η ( , )F X y λέγεται ότι είναι ο μετασχηματισμός legendre της ( , )f x y ως προς τις μεταβλητές x . Από τη δεύτερη των Εξ.(19.12) βρίσκομε

1 1

( , ) ( , )( , ) ( , )r ri i

i ji ij j i j

x X y x X yF X y f x yX x

X X x X

(19.14)

Αντικαθιστώντας την πρώτη από τις σχέσεις της Εξ.(19.12) στην Εξ.(19.14) βρίσκομε την πρώτη από τις σχέσεις της Εξ.(19.13). Έτσι δείξαμε το πρώτο μέρος, (1), του θεωρήματος αφού και από τη δεύτερη των Εξ.(19.12) προκύπτει η δεύτερη των Εξ.(19.13). Για το δεύτερο μέρος, (2), σκεφτόμαστε όπως παρακάτω. Αν μας έχει δοθεί η συνάρτηση ( , )f x y , μπορούμε από την πρώτη από τις Εξ.(19.12) να βρούμε το

( , )X X x y και επομένως και το ( , )x x X y . Αντικαθιστούμε το τελευταίο αποτέλεσμα στη δεύτερη από τις Εξ.(19.12) και βρίσκομε την ( , )F X y . Επομένως από την ( , )f x y βρήκαμε με την ανωτέρω διαδικασία την ( , )F X y . Με ανάλογη συλλογιστική μπορούμε από την ( , )F X y να βρούμε την ( , )f x y . Άρα και οι δυο περιέχουν την ίδια πληροφορία αφού προκύπτουν με ακριβώς ίδιες διαδικασίες. Έτσι δείχτηκε και το δεύτερο μέρος του θεωρήματος. Ο μετασχηματισμός λέγεται ότι είναι δυϊκός αφού μπορεί κάποιος να κινηθεί αντίστροφα και από την ( , )F X y να οδηγηθεί στην ( , )f x y η οποία είναι ο μετασχηματισμός legendre της ( , )F X y ως προς τις μεταβλητές X . Αυτό που χρειάζεται είναι να μπορούν να γίνουν οι αντιστροφές των συναρτήσεων. Ο περιορισμός που

297

υπάρχει για να αντιστρέφεται η πρώτη από τις Εξ.(19.12), είναι ότι

2( , ) / ( , ) / 0i j i jX x y x f x y x x

όπου στο πρώτο μέλος έχομε μιαν ιακωβιανή (ορίζουσα) και στο δεύτερο μια χεσιανή (ορίζουσα). Η σχέση αυτή του περιορισμού ισχύει εξ υποθέσεως. Για να μπορεί να αντιστραφεί και η πρώτη από τις Εξ.(19.13) πρέπει να ισχύει

2( , ) / ( , ) / 0i j i jx X y X F X y X X .

Μπορεί να δειχθεί ότι το ( , ) /i jx X y X είναι το αντίστροφο του ( , ) /i jX x y x .

Επομένως αν το ( , ) / 0i jX x y x , τότε και ( , ) / 0i jx X y X . Ένα άλλο αποτέλεσμα

είναι ότι αν ( , )F X y είναι ο μετασχηματισμός legendre της ( , )f x y ως προς τις

μεταβλητές ix , τότε

( , ) ( , )

j j

F X y f x y

y y

. (19.15)

Πράγματι έχομε τη σχέση

1

r

i ii

F x X f

. (19.16)

Άρα

1 1

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )r ri i

ii ij j i j j

x X y x X yF X y f x y f x yX

y y x y y

. (19.17)

Αντικαθιστώντας την πρώτη από τις Εξ.(19.12) στην Εξ.(19.17) βρίσκομε την Εξ.(19.15). Οι σχέσεις των μετασχηματισμών legendre, συνοψίζονται ως εξής

1 1

( , ) ( , ) (α) (β)

(γ) (δ)

( , ) ( , ) (ε)

i ii i

r r

i i i ii i

j j

f x y F X yX x

x x

F x X f f X x F

F X y f x y

y y

(19.18)

298

Οι συναρτήσεις ( , ), ( , )F X y f x y είναι ισοδύναμες, ή λέμε ότι περιέχουν την ίδια πληροφορία. Π7. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ JACOBI Θα δείξομε την ταυτότητα του Jacobi, δηλαδή ότι για οποιεσδήποτε τρεις δυναμικές συναρτήσεις , ,u w ισχύει

, , , , , , 0.u w w u w u (20.1)

Εξετάζομε τους δυο πρώτους όρους της Εξ.(20.1) εναλλάσσοντας μεταξύ τους, στο δεύτερο όρο, τα ,u w . Έχομε

, , , ,u w u w . (20.2)

Θα δείξομε ότι αυτοί οι όροι μαζί δεν περιέχουν δεύτερες παραγώγους του w . Για τη συνάρτηση εισάγομε το γραμμικό διαφορικό τελεστή

1

.n

i i i i i

Dq p p q

(20.3)

Ο τελεστής αυτός μπορεί να γραφτεί στη μορφή

2

1

n

ii i

D

. (20.4)

Τα i είναι παράγωγοι του ως προς τα ,q p με κατάλληλα πρόσημα. Ανάλογα

μπορούμε να εισαγάγομε το γραμμικό τελεστή

2

1

n

u jj j

D

. (20.5)

299

Η Εξ.(20.2) μπορεί να γραφτεί στη μορφή

2 2

, 1 , 1

n n

u u i j j ii j i ji j j i

w wD D w D D w

. (20.6)

Οι μόνοι όροι στην Εξ.(20.6) που περιέχουν δεύτερες παραγώγους του w είναι αυτοί του αθροίσματος της Εξ.(20.7), το άθροισμα όμως είναι μηδέν, δηλαδή

2 22

, 1

0n

i j j ii j i j j i

w w

. (20.7)

Επομένως η Εξ.(20.2) έχει μόνο πρώτες παραγώγους του w και θα έχει τη μορφή

1

, , , ,n

i ii i i

w wu w u w A B

p q

. (20.8)

Τα ,i iA B είναι συναρτήσεις των ,u , που πρέπει να προσδιοριστούν, αλλά δεν είναι

συναρτήσεις του w . Ο προσδιορισμός τους γίνεται ως εξής. Θεωρούμε την ειδική περίπτωση όπου iw p (αυτό δεν μεταβάλλει τα ,k kA B γιατί δεν εξαρτώνται από το w ),

τότε η Εξ.(20.8) γίνεται

, , , , iu w u w A . (20.9)

Όμως ισχύει η σχέση (8) στο Κεφάλαιο 7, Εδάφιο 7.3, δηλαδή

, kk

ff p

q

. (20.10)

Επομένως η Εξ.(20.9) δίνει

,ii

A uq

. (20.11)

300

Ομοίως, θέτοντας iw q και χρησιμοποιώντας τη σχέση (7) από το Κεφάλαιο 7, Εδάφιο

7.3, δηλαδή την

, kk

ff q

p

. (20.12)

Βρίσκομε

,ii

B up

. (20.13)

Η Εξ.(20.8), με χρήση των Εξ.(20.11) και(20.13), γίνεται

1

, , , , , , , , .n

i i i i i

w wu w w u u u w u

p q q p

Αυτή προφανώς είναι η ταυτότητα του Jacobi, δηλαδή η Εξ.(20.1). Π8. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ Διαφορική μορφή-1 ή απλώς διαφορικό ή μορφή-1 (differential 1-form ή απλώς differential ή 1-form) ή διαφορική μορφή πρώτου βαθμού, σε χώρο διάστασης n είναι η έκφραση της μορφής

1

( )dn

i ii

A q q

, 1 2( , ,..., )nq q q q (21.1)

Υποτίθεται ισχύουν κατάλληλα κριτήρια παραγωγισιμότητας και συνέχειας για τα ( )iA q .

Διαφορική μορφή-0 είναι απλώς η έκφραση (συνάρτηση) ( )f q (21.2) Διαφορική μορφή-2 είναι η έκφραση

1

1

( )d dn n

ij i ji j ji

B q q q

. (21.3)

301

Το πλήθος των όρων του αθροίσματος στην Εξ.(21.3) είναι οι συνδυασμοί (δεν ενδιαφέρει η σειρά στη διάταξη) n διαφορετικών αντικειμένων ανά k διαφορετικά

αντικείμενα δηλαδή !

!( )!

n

k n k.

Το σύμβολο Λ παριστάνει το γινόμενο-Λ (wedge-product) που βοηθά στη γενίκευση των συνήθων γινομένων του διανυσματικού λογισμού. Η μεθοδολογία αυτή ξεκίνησε για την εύκολη μετατροπή ολοκληρωμάτων από ένα σύστημα μεταβλητών σε άλλο. Διαφορική μορφή- k (το k είναι ο βαθμός της διαφορικής μορφής) είναι η σχέση

1 2 1 2

1 2

......

1

( )d d ... dn k

k

n

i i i i i ii i i

i

B q q q q

. (21.4)

Για το γινόμενο-Λ μεταξύ διαφορικών μορφών ισχύουν οι ιδιότητες

, 0

(και προφανώς) d d d d , d d 0

i j j i i i

i j j i i i

a a a a a a

a a a a a a

(21.5)

Για να προστεθούν δυο διαφορικές μορφές πρέπει να έχουν τον ίδιο βαθμό και ισχύει a b b a . (21.6) Το γινόμενο-Λ έχει πολλές από τις ιδιότητες του «συνήθους» γινομένου της αριθμητικής. Δηλαδή αν , ,a b c διαφορικές μορφές τότε

( )

( ) ( )

a b c a b a c

a b c a b c a b c

. (21.7)

Το γινόμενο δυο διαφορικών μορφών βαθμού k και l αντιστοίχως οδηγεί σε διαφορική μορφή βαθμού ( )k l . Η (εξωτερική) διαφόριση της διαφορικής μορφής της Εξ.(21.4) ορίζεται ως εξής

1 2 1 2

1 2

...... 1

d d ( ) d d ... dn k

k

n

i i i i i ii i i

B q q q q

. (21.8)

Τα

1 2 ... ( )ni i iB q είναι συνήθεις συναρτήσεις (άρα διαφορικές μορφές-0) και το διαφορικό

τους είναι το σύνηθες ολικό διαφορικό συναρτήσεων. Το διαφορικό d είναι βαθμού 1k , δηλαδή διαφορική μορφή-( 1k ). Κάθε διαφόριση αυξάνει το βαθμό της

διαφορικής μορφής κατά ένα. Για παράδειγμα, έστω η διαφορική μορφή πρώτου βαθμού 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3( , , )d ( , , )d ( , , )dA q q q q B q q q q C q q q q

Η εξωτερική διαφόρισή της οδηγεί στη διαφορική μορφή 2ου βαθμού

302

1 2 3 1 1 2 3 21 2 3 1 2 3

1 2 3 3 2 1 3 11 2 3 2 3

1 2 3 2 1 3 2 31 3 1 2

d d d d d d d d d

d d d d d d d d

d d d d d d d d

A A A B B Bq q q q q q q q

q q q q q q

C C C A Aq q q q q q q q

q q q q q

B B C Cq q q q q q q q

q q q q

Τελικώς

1 2 1 3 2 31 2 1 3 2 3

d d d d d d dB A C A C B

q q q q q qq q q q q q

Μπορεί κανείς να δει εύκολα ότι μια διαφορική μορφή βαθμού μεγαλύτερου από τη διάσταση του χώρου είναι ίση με μηδέν διότι θα υπάρχουν δυο τουλάχιστο ίδια d lq σε

κάθε όρο της, βλέπε Εξ.(21.5). Βιβλιογραφία

1. Classical Mechanics, by Charles Poole- John Safko- Herbert Goldstein, Addison- Wesley, 2001

2. Theoretical Mechanics, A Short course, by S. Targ, Peace Publishers, Translated from the Russian by V. Talmy

3. Mechanics, by Keith R. Symon, third edition, Addison-Wesley,1971 4. Classical Mechanics, A Modern Perspective, by V. Barger-M. Olsson, McGraw-

Hill,1973 5. Στοιχεία Θεωρητικής Μηχανικής, συγγρ. Πέτρος Ιωάννου- Θεοχάρης

Αποστολάτος, Leader Books, 2004 6. Κλασσική Μηχανική, συγγρ. Νικ. Μπατάκης, Ιωάννινα, 1992 7. Mechanics, by L. Landau- E. Lifshitz, Pergamon Press, 1976 8. Μαθήματα Αναλυτικής Μηχανικής, συγγρ. Γ. Κατσιάρης, Συμμετρία 9. Εισαγωγή στη Μηχανική Hamilton, Συγγρ. Σ. Ι. Ιχτιάρογλου, Αριστοτέλειο

Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 10. Classical Mechanics, Vol. 1, 2, by E. A. Desloge, John Wiley, 1982 11. Αναλυτική Μηχανική, συγγρ. Αναστ. Μαυραγάνης, ΕΜΠ, 1998 12. Methods of Classical Mechanics, by V. I. Arnold, Springer-Verlag, 1978 13. Classical Dynamics, by J. V. Jose- Eu. J. Saletan, Cambridge Univ. Press, 1998 14. A Treatise in the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, by E.

Whittaker, Cambridge Univ. Press, 1965 15. The Variational Principles of Mechanics, by C. Lanczos, Univ. of Toronto Press,

1970 16. Analytical Dynamics of Discrete Systems, by Reinhardt M. Rosenberg, Plenum

Press, 1977

303

17. The Classical Theory of Fields, by L. Landau- E. Lifshitz, Addison-Wesley, 1987 18. Principles of Relativity Physics, by J. L. Anderson, Academic Press, 1967 19. Gravitation and Cosmology, by Steven Weinberg, John Wiley and Sons, 1972 20. The Enigma of Nonholonomic Constraints, M. R. Flannery, Am. J. Phys. 73, 265

(2005) 21. A Variational Principle for Nonholonomic Systems, E. J. Saletan and A. H.

Cromer, Am. J. Phys. 38, 892 (1970) 22. Invariant Variation Problems, Emmy Noether, Transport Theory and Statistical

Physics 1, 183 (1971). Translated from the German by M. A. Tavel. The original publication in German is, Invariante Variationsprobleme, Nachr. d. Koenig. Gesellsch. d. Wiss. zu Goettingen, Math-Phys. Klasse, 235 (1918)

23. Symmetries and Conservation Laws in Theories with Higher Derivatives, I. Damian, Int. J. Theor. Phys. 39, 2141 (2000)

24. Noether’s Theorem in Generalized Mechanics, Dan Anderson, J. Phys. A: Math., Nucl.Gen., 6, 299 (1973)

25. Noether’s Theorem in Classical Field Theories and Gravitation, H. Fleming, Revista Brasileira de Fisica, 17, 236 (1987)

26. Hamilton’s Principle and the Conservation Theorems of Mathematical Physics, E. L. Hill, Rev. Modern Phys., 23, 253 (1951)

27. Principle of Action with Higher Derivatives, M. Borneas, Phys. Rev., 186, 1299 (1969)

28. Noether’s Theorem in Discrete Classical Mechanics, Nilo Bobillo-Ares, Am. J. Phys. 56, 174 (1988)

29. Mathematical Methods for Physicists, by George Arfken, second edition, Academic Press, 1970

30. Methods of Mathematical Physics Vol. I, II, by Courant & Hilbert, John Wiley & Sons, 1989

31. Regular and Stochastic Motion, by A. J. Lichtenberg-M. A. Lieberman, Springer- Verlag, 1983

32. Chaotic Dynamics, by G. L. Baker-J. P. Gollub, Cambridge Univ. Press, 1990 33. Strange Attractors, by Julien C. Sprott, M & T Books, 1993 34. Pars’s Acceleration Paradox, Y. H. Chen, J. Franklin Inst. Vol. 335B, No. 5., pp.

871- 875, 1998 35. Pars, L. A., A treatise on Analytical Dynamics. Heinemann,1968. 36. Caratheodory, C., Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the

First Order, Part I: Partial Differential Equations of the First Order, English Translation by Robert B. Dean and Julius J. Brandstatter, Holden-Day, 1965

37. “Theorem of Caratheodory”, C. Caratheodory, Math. Annalen 67, 355 (1909) 38. On the Unrestricted Theorem of Caratheodory and its Application in the

Treatment of the Second Law of Thermodynamics, H. A. Buchdahl, American Journal of Physics,17 ,212 (1949).

39. The Mathematics of Physics and Chemistry, by Margenau, H. and Murphy G. M., D. Van Nostrand Co. Inc., 1962.

40. Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, by Flandres H., Dover Publications, N.Y., 1989.

41. Differential Forms: A Complement to Vector Calculus, by Weitraub S.H., Academic Press,1996.

42. Reanalysis of the Eodvos Experiment, Ephraim Fischbach et al , Phys. Rev. Lett. 56, 3 (1986).

304

43. Long Range Forces and the Eodvos Experiment, Ephraim Fischbach et al , Annals of Physics 182,1(1988).