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Introducción a los Métodos Numéricos

Redactado por: Alejandra Mariel Reyes Salazar

Definición

Los métodos numéricos son técnicas de análisis mediante las cuales es posible formular

problemas de tal manera que se puedan resolver utilizando operaciones aritméticas.

Las técnicas más utilizadas son usadas para resolver:

ε Ajuste de curvas

ε Sistemas de ecuaciones lineales

ε Ecuaciones no lineales

ε Integración

ε Ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales)

Ecuaciones no lineales

Son funciones que no cumplen con los criterios de linealidad:

ε Si su argumento es la suma de dos elementos, entonces deberá ser lo mismo

que la suma de la función con cada elemento (abrir sumas)

T(x + y) = T(x) + T(y)

ε Si algún elemento de su argumento está siendo multiplicado por alguna

constante arbitraria, entonces deberá ser lo mismo que la constante

arbitraria multiplique a la función con el elemento como argumento (sacar

escalares) T(kx) = kT(x)

Polinomios, funciones radical, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, trigonométricas

inversas e hiperbólicas, son algunos ejemplos de ecuaciones no lineales. Las soluciones de este

tipo de ecuaciones se les llaman raíces.

Para resolver este tipo de ecuaciones, existen varios métodos numéricos que se pueden

clasificar de la siguiente manera.

En los ámbitos de la ciencia y la ingeniería es común encontrarse con problemas en los que

se requiera resolver ecuaciones no lineales que no se pueden resolver analíticamente o que

resulta muy difícil. Para estos casos, es recomendable utilizar algún método numérico. En este

documento nos enfocaremos exclusivamente al método de Newton-Raphson.

Cerrados o acotados:

(Requieren de dos valores de

x que encierren a la raíz)

Abiertos:

(Requieren de un valor de x o

dos pero que no necesariamente

encierren a la raíz)

ε Punto fijo (“Ping pong”)

ε Newton-Raphson

ε Secante

ε Müller

ε Bisección

ε Falsa posición (“Regula falsi”)

Método de Newton Raphson

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Método de Newton-Raphson

Es uno de los métodos más usados en la ingeniería por llegar al resultado del problema

planteado de forma muy rápida. Se basa en trazar rectas tangentes que “toman la forma” de la

función por medio de su primera derivada.

Supóngase una función f (x) a la que se desea calcular su raíz. Evaluando un valor x1 cercano

a la raíz en la función y trazando una recta tangente al punto x1, f(x1) se obtiene un nuevo valor

x2 que es mucho más cercano a la raíz que x1.

Para encontrar el valor de x2, se tomará la ecuación de la recta,

)()()( 1212 xxmxfxf −=−

Se supone que f (x2) sea igual a 0 para que x2 sea una raíz de f (x)

)()( 121 xxmxf −=−

Pero en el punto x1, f (x1) la pendiente m puede tomarse como f ’ (x1) por ser la mejor

aproximación a la pendiente en dicho punto.

)('

)(

))((')(

1

112

1211

xf

xfxx

xxxfxf

−=−

−=−

Y despejando x2.

)('

)(

1

112

xf

xfxx −=

y

x

Raíz

f (x)

x2

f (x1)

x1

f (x2)

x3

Incógnita

Método de Newton Raphson

3

Si buscamos una mejor aproximación a la raíz utilizando este nuevo valor x2

)('

)(

2

223

xf

xfxx −=

Si nuevamente se busca otra aproximación que es cada vez más cercana a la raíz,

)('

)(

3

334

xf

xfxx −=

Entonces podemos generalizar la ecuación de la siguiente manera,

+

+ ∈−= Zkxf

xfxx

k

kkk

)('

)(1

que es la ecuación de Newton-Raphson.

Inconvenientes

¿Qué pasa en un punto crítico?

Se sabe por cálculo diferencial que un punto crítico es aquel valor de x que hace que la

primera derivada de una función sea 0 (f ‘ (x) = 0).

0

)(

)('

)( 112

1

112

xfxx

xf

xfxx −=→−=

El método de Newton-Raphson se indetermina en los puntos críticos por haber una división

por cero. En un punto crítico, este método es ineficaz porque la recta tangente nunca cruza el

eje de las abscisas y no se obtiene un nuevo valor de x.

y

x

Raíz

f (x)

f ’ (x) = 0

f ’ (x) = 0

Método de Newton Raphson

*En muchos libros de Métodos Numéricos en lugar de x1 utilizan la notación x0

como la primera aproximación a la raíz, siendo exactamente lo mismo en este texto.

4

Si al resolver una ecuación, llegamos a un punto crítico, o que la primera derivada de la

función f ‘ (x) se aproxime a cero, se sugiere intentar un nuevo valor mayor o menor (sumando

o restando una unidad) o intentar un valor cercano a la raíz.

El método de Newton-Raphson además, resulta poco conveniente cuando se tenga una

función f (x) cuya primera derivada sea muy complicada obtener.

Otro inconveniente, es cuando se resuelva una función con raíces reales repetidas, como la

siguiente:

En las raíces que son repetidas, dicha raíz puede ser también un punto crítico o un punto de

inflexión, donde el método de Newton-Raphson es ineficaz. Como se puede notar en el gráfico

anterior, la raíz también es un punto de inflexión.

Naturalmente, este método funciona para obtener las raíces reales de las funciones, más no

raíces complejas. Las raíces complejas nunca cruzan el eje de las abscisas y su comportamiento

en las funciones produce puntos críticos o puntos de inflexión en dichas funciones.

Cuando se tenga una función que presente alguno de estos inconvenientes descritos, se

sugiere emplear otro método numérico, como Secante o Müller.

Algoritmo para encontrar raíces

1. Tomar una primera aproximación (x1)* cercana a la raíz. Si puede, haga un bosquejo de

f(x). Esto es para evitar los puntos críticos y resolver más rápido el problema.

2. Obtenga la primera derivada de la función (f ‘ (x)).

3. Evalúe x1 en la función f(x) y en la primera derivada f ‘ (x).

4. Sustituya los valores de x1, f(x1), f ‘ (x1) en la ecuación de Newton-Raphson para

encontrar una nueva aproximación x2.

)('

)(

1

112

xf

xfxx −=

y

x

f (x) = x5

Método de Newton-Raphson

5

5. Si x2 se aproxima a x1 en las cifras decimales o tolerancia deseadas, entonces tomar x2

como el valor de la raíz. Si no, volver a aplicar los pasos 3, 4 y 5 usando ahora el valor

de x2 y encontrar una nueva aproximación, hasta que se llegue a un resultado con la

tolerancia deseada.

A cada una de las repeticiones del algoritmo se le llama Iteración.

Algunos ejemplos

Los métodos numéricos se caracterizan porque tener algo en común: se tienen que realizar

muchos cálculos aritméticos para resolver problemas haciendo tedioso el aplicarlos. En este

documento se utilizó una hoja de cálculo de MS Excel para hacer los cálculos y encontrar las

raíces de las ecuaciones propuestas. Es recomendable que al aplicar algún método numérico

se utilice alguna hoja de cálculo, un programa o paquete de programación (como Matlab o

Scilab), o utilizar una calculadora.

a) Aproxime el valor de 2 hasta 5 decimales. Utilice x1 = 1

La incógnita es el valor positivo de la raíz cuadrada de 2. Por tanto se puede expresar como

x = 2

Elevando al cuadrado, se tiene que

x2 = 2

Por lo que es igual esto a,

f (x) = x2 – 2 = 0

Derivando con respecto a x,

f ‘ (x) = 2x

Para comenzar los cálculos, se debe empezar con un “valor inicial” de x, que es x1 para

obtener la nueva aproximación a la raíz. Con un bosquejo de la gráfica de la función, se puede

ver claramente que la raíz positiva está entre el 1 y el 2.

y

x

f (x) = x2 - 2

1 2

Método de Newton-Raphson

6

Utilizando el valor de x1 propuesto por el problema, en la siguiente tabla se muestran las

iteraciones que fueron realizadas, con sus respectivos valores de f (x) y de f ‘ (x) calculados.

El problema pide aproximar el valor de la 2 hasta 5 decimales, refiriéndose a que 5

decimales sean constantes. En la iteración 4 se llega a las cifras decimales que requiere el

problema, por lo que se toma ese valor ( ≈2 1.41421) como la solución del problema. Se

puede comprobar que este valor es muy aproximado al que se obtiene en una calculadora.

b) Obtenga la raíz real del siguiente polinomio: 4x3 - 10x

2 + x - 1 = 0. Considere una

tolerancia de 1 x 10-5

En la mayoría de los problemas de libro el valor de x1 ya se nos proporciona. Pero en este

problema no se nos da el valor de x1. Sin embargo, el valor de x1 se puede obtener fácilmente

evaluando en el polinomio varios valores de x usando divisiones sintéticas.

Las divisiones sintéticas realizadas evaluando x = 1, x = 2, x = 3 se muestran a continuación:

4 -10 1 -1 1

4 -6 -5

4 -6 -5 -6

4 -10 1 -1 2

8 -4 -6

4 -2 -3 -7

4 -10 1 -1 3

12 6 21

4 2 7 20

Se nota claramente que hay un cambio de signo (de negativo a positivo) entre los valores 2 y 3,

por lo que entre estos dos valores hay una raíz. Cualquiera de los dos valores puede ser x1. Se

escogió 2 como x1.

La función y su respectiva primera derivada, son las siguientes:

12012)('

01104)(

2

23

+−=

=−+−=

xxxf

xxxxf

Una tolerancia de 1 x 10-5

implica que 5 decimales sean precisos, en otras palabras, que no

cambien dichas cifras decimales entre una iteración y otra.

Las iteraciones que se realizaron con sus respectivos resultados de x, f (x) y f ‘ (x) se muestran

en la tabla siguiente:

Aproximación Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5

x 3 2.59183673 2.45549494 2.43973283 2.43952885 2.43952882

f (x) 20 4.05953302 0.38212977 0.00482053 8.02E-07 1.9984E-14

f ' (x) 49 29.7746772 24.2435659 23.6328986 23.6250351 23.6250338

En la iteración 5 se satisface la tolerancia requerida por el problema. Y se obtiene que la raíz

real del polinomio es x = 2.43952

Aproximación Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5

x 1 1.5 1.41666667 1.41421569 1.41421356 1.41421356

f (x) -1 0.25 0.00694444 6.0073E-06 4.5106E-12 0

f ' (x) 2 3 2.83333333 2.82843137 2.82842712 2.82842712

Método de Newton-Raphson

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c) Encuentre el valor de n que satisfaga la siguiente ecuación: 1924 =nn

Para resolver este problema por el método de Newton-Raphson se puede aplicar

directamente con la función tal y como está, pero el obtener su primera derivada sería más

complicado. Para facilitar los cálculos se toman logaritmos de ambas partes de la ecuación,

( ) 192ln4ln =n

n

Aplicando propiedades de los logaritmos,

192ln4ln)ln( =+ nn

Por lo que se puede expresar como una función de la variable n, que es mucho más sencilla

de derivar que la ecuación original.

( ) 0192ln4ln)ln()( =−+= nnnf

Derivando con respecto a n,

4ln1

)(' +=n

nf

Para empezar el cálculo de la nueva aproximación, se restringirá el uso de n = 0 porque la

función logaritmo no está definida para este valor de n. Y se tomará n1 = 1 por ser un valor

pequeño y sencillo de calcular en la función y en su derivada.

Las iteraciones realizadas con sus respectivos resultados se muestran en la tabla siguiente:

Aproximación Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5

n 1 2.62226466 2.99463958 2.99999907 3 3

f (n) -3.87120101 -0.65822634 -0.00921952 -1.5996E-06 -4.7962E-14 0

f ' (n) 2.386294361 1.76764412 1.72022436 1.7196278 1.71962769 1.71962769

Sustituyendo n = 3 en la ecuación original 1924 =nn , se comprueba que satisface la

ecuación y por tanto, es la raíz de la ecuación.

Aplicación a termodinámica: Ecuación de estado de Van der Waals para gases reales.

La ecuación de estado para gases ideales es muy bien conocida para cualquier estudiante o

profesionista de Química o carreras afines.

donde

p = Presión

v = Volumen molar

R = Constante universal de los gases

T = Temperatura

RTpv =

Método de Newton-Raphson

8

Siendo el volumen molar:

n

Vv =

V = Volumen del gas

n = Cantidad de sustancia (mol)

El modelo del gas ideal es el más sencillo de los que se utilizan en Fisicoquímica ya que

considera a las moléculas de los gases como partículas puntuales, que no tienen volumen y

que no interactúan entre ellas. Naturalmente, las moléculas de los gases sí ocupan un volumen

determinado y sí existen interacciones (sea de atracción o repulsión) entre ellas. Por tanto, las

propiedades de estado (presión, temperatura, volumen) que se calculen usando este modelo,

no son las que realmente tiene el sistema.

En el siglo XIX, Johannes Van der Waals propuso un nuevo modelo para gases reales

haciendo una corrección al modelo del gas ideal considerando las interacciones entre las

moléculas y el volumen que ocupa cada una de ellas. Van der Waals agrega 2 parámetros

adicionales que la diferencian de la ecuación de estado para gases ideales, que son a y b.

2v

a

bv

RTp −

−=

Ecuación de estado de Van der Waals para gases reales

donde

p = Presión

v = Volumen molar

R = Constante universal de los gases

T = Temperatura

a = Parámetro de corrección para las fuerzas de atracción entre las moléculas

b = Parámetro de corrección para el volumen propio de las moléculas

A partir de esta ecuación propuesta por Van der Waals, surgieron muchas otras ecuaciones

de estado cúbicas similares que describen mejor el comportamiento de los gases y que son las

que se usan actualmente en la ingeniería (Peng-Robinson, Redlich-Kwong-Soave, etc.).

¿Por qué cúbicas? Desarrollemos la resta de fracciones.

abavvRTpbpv

abavRTvpbvpv

bvaRTvbvpv

bvv

bvaRTvp

v

a

bv

RTp

−++−

−+−−

−−=−

−

−−=

−−

=

23

223

22

2

2

2

)(

)()(

))((

)(

La ecuación que resulta es una función del volumen molar. Por tanto, se puede expresar:

Método de Newton-Raphson

9

0)()( 23=−++−= abavvRTpbpvvf

Que es un polinomio de tercer grado (o cúbico) respecto al volumen molar. Los coeficientes

que acompañan a la variable v son siempre positivos, a excepción de aquellos que les anteceda

un signo negativo. Esto se justifica porque la presión, temperatura y las constantes (tanto R

como los parámetros de Van der Waals) son siempre positivas.

Analizando la función, se notan “3 saltos” (3 cambios) en los signos de los coeficientes de

f(v), por lo que hay 3 posibles raíces reales positivas. En f (-v), no hay ningún cambio de signo

en los coeficientes, por lo que no hay raíces reales negativas. Si completamos el cuadro de

signos de Descartes, se obtienen estas posibilidades:

ℝ ℂ + -

3 0 0

1 0 2

Con el cuadro de signos ya completo, podemos afirmar que el primer renglón de la tabla no

tiene sentido físico (¿Puede un gas ocupar tres volúmenes diferentes a condiciones dadas de

presión y temperatura?), dejando al segundo renglón como la única posibilidad con sentido

físico: Sólo una raíz real positiva y dos raíces complejas.

¿Cómo calculamos el volumen molar de algún gas a ciertas condiciones de presión y

temperatura?

El polinomio de tercer grado respecto al volumen molar se puede resolver usando un

método analítico (método de Tartaglia-Cardano), pero resulta demasiado tedioso y poco

práctico aplicarlo. En cambio, un método numérico es la opción más viable para encontrar la

única raíz real. En este documento se usará el método de Newton-Raphson.

Algoritmo para resolver la ecuación del volumen molar de Van der Waals

1. Obtener la primera aproximación v1 usando la ecuación de estado del gas ideal.

p

RTv =1

2. Sustituir los valores que se tienen como dato (presión, temperatura y las constantes a,

b y R) en el polinomio cúbico. Esto es para facilitar los cálculos aritméticos.

3. Derivar el polinomio construido en el paso 2 con respecto al volumen molar.

4. Evaluar v1 en f (v) y en f ‘ (v)

5. Sustituir v1, f (v1) y f ‘ (v1) en la ecuación de Newton-Raphson para encontrar una

nueva aproximación al volumen real.

)('

)(1

k

kkk

vf

vfvv −=

+

Método de Newton-Raphson

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6. Si vk+1 se aproxima a vk en las cifras decimales o tolerancia deseadas, entonces tomar

vk+1 como el valor de la raíz. Si no, iterar nuevamente ahora utilizando el valor de vk+1,

hasta que se llegue a un resultado con la tolerancia deseada.

Ejemplo

Utilizando la ecuación de estado para gases reales de Van der Waals, calcule el volumen

molar (v) que ocuparía n-butano en las condiciones siguientes. El valor deberá tener una

tolerancia de 1 x 10-6

.

p (atm) = 12

T (K) = 400

R (L·atm/mol·K) = 0.082

Constantes de Van der Waals:

a (L2·atm/mol

2) = 13.6844

b (L/mol) = 0.11639

La función del volumen y su respectiva primera derivada, después de sustituir los valores de

p, T, a, b y R en ellas, son:

6844.1339336.6836)('

)(23)('

0592727316.16844.1319668.3412)(

0)()(

2

2

23

23

+−=

++−=

=−+−=

=−++−=

vvvf

avRTpbpvvf

vvvvf

abvavRTpbpvvf

La tabla siguiente muestra los valores obtenidos en cada iteración.

Gas ideal Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5

v 2.73333333 2.46817271 2.40132840 2.39710964 2.39709322 2.39709322

f (v) 25.37654788 4.29042372 0.24063462 0.00092906 0.00000001 0.00000000

f ' (v) 95.70254933 64.18532997 57.03909365 56.59886362 56.59715323 56.59715320

Por lo que el volumen molar del n-butano a dichas condiciones es v = 2.397093 L/mol