Prof. Enrique Mateus NievesDoctorado en Educación Matemática

Identidades Trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funcionestrigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (ylas operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuacionesde conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si

21sen la conversión

propuesta en la tabla indica que 23 2sen-1cos , aunque es posible que

23cos . Para

obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones de ángulos negativo

sen-sen cos-cos tan-tan

Cot-cot sec-sec Csc-csc

Relación pitagórica 12 2cossen

Identidad de la razón

cos

sentan

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Fórmulas de adición.

sencoscossensen sensencoscoscos

tantan1

tantantan

tcotco

tancotcot

1

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

Entérminos

deSen Cos Tan cotan Sec Csc

sen sen cos 21tan1

tan2

tco1 2

1

sec

sec 2 1Csc

1

Cos sen 21 Costan1 2

1

tco1

Cot2

sec

1

Csc

Csc 2 1

Tansen1

sen2

cos

sco1 2 Tancot

1sec 2 1

Csc 2 1

1

cot

sen

sen 21cos1

Cos2

tan

1cot

sec 2 1

1

Csc 2 1

Secsen1 2

1

cos

1tan 21

cot

cot1 2 SecCsc

Csc2 1

Cscses

1cos1 2

1

tan

tan1 2cot 21

sec

sec2 1

Csc

Identidades de ángulos múltiples

Si Tn es el n-ésimo Polinomio de Chebyshev entonces xcosTnxcos n

Formula de De Moivre: x senixcosnx seninxcos

Identidades para ángulos doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea xsenxxsen 2 ) en las identidades

anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad entérminos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la fórmula de De Moivre cuando 2n .

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Fórmula del ángulo doble

2tan1

tansen

cossensen

2

2

22

2

2

tan1

tancos

sencos

coscos

sen-coscos

2

2

2

2

12

212

122

2

2tan1

tantan

22

22

tancotCot

Fórmula del ángulo triple

sensensen 3433 cosscocos 343 3

2

3

tan1

tantantan

3

33

Fórmula del ángulo medio

2

cos

2sen

1

2

cos

2cos

1

cos1

sen

2tan

cos1

cos

2tan

cotCsc2

tan

1

cotcsc2

cot

Producto infinito de Euler:

sen

2cos

8cos

4cos

2cos

nn

1

Identidades para la reducción de exponentesResuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para xsen2 y xcos2 .

Sen

2

2cos-1sen

2

4

3sen-3sensen

3

Cos

2

2cos1cos

2

4

sen3-3sencos

3

16

cos3scocos10cos

555

Otros8

4cos-1cossen

22

8

2sencossen

33

3

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Paso de producto a sumaPuede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

2

coscoscoscos

2

coscossensen

2

sensencossen

2

sensensencos

Deducción de la identidad

2

coscoscoscos

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

sen sencoscoscos Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles

casos:

sen sencoscoscos.i

sen sencoscoscos.ii

Si tomamos la ecuación i y despejamos coscos nos queda que:

sensencoscoscos.iii

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación ii al miembro izquierdo de la ecuación iii, y para

mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación ii en el lado derecho de la ecuación iii (al sumar la

misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

-cos sensencoscoscos sensencoscos

Simplificando el elemento sensen y sumando coscos quedaría:

coscoscoscos2 Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½

queda:

2

coscoscoscos

Nota:

Este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones

simplemente cambiando los valores.

Usando iii y el resultado anterior se obtiene también:

2

coscos sensen Notar el

cambio de signo.

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Funciones trigonométricas inversas

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. Se nota arcsen . El significado geométrico es: el

arco cuyo seno es dicho valor. La función arcoseno real es una función ,1,1- 20 , es decir, no está

definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

1x

1x1-xxx

x

1x2

-

arcsen

2

7642531

543

21

321 753

Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. Se nota arccos . El significado

geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. Es una función similar a la anterior, de hecho puede

definirse como:

arsenarcsen 2

Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. Se nota arctan . El significado

geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. A diferencia de las anteriores la función

arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

-1xcon1,xconxxx2

1xxxx

xarctan

53

753

5

1

3

11753

.

0x si ,

0xsi ,cotararctan

2

2

-1

arctanarctanarctan

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Series de potenciasA partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones

analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

!

x

!

x

!

x

!

x

!k

xsen

k

kk

7531121 753

0

12

!

x

!

x

!

x

!

x

!k

xcos

k

kk

64202

1 642

0

2

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con

frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones

trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las

series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales,

independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas

funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

Relación con la exponencial compleja

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones

trigonométricas según la fórmula de Euler: senicosei

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y elobtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real eimaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos deexponenciales complejas:

2

eecos

ii

;i2

eesen

ii

A partir de ecuaciones diferencialesLas funciones seno y coseno satisfacen la igualdad: yy Es decir, la segunda derivada de cada

función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que

consiste en todas las soluciones de esta ecuación,

La función seno es la única solución que satisface la condición inicial 01,0y,0y

Y La función coseno es la única solución que satisface la condición inicial 10,0y,0y

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Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas pueden formar la base de V.

Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de

Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella

también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno. Además, laobservación de que el seno y el coseno satisfacen yy implica que son funciones eigen del operador

de la segunda derivada.

La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal 21 yy satisfaciendo la

condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta

ecuación diferencial.

Referencias:

Stewart, J. “Cálculo. Trascendentes tempranas”.Cengage Learning. Sexta edición. 2008. Texto guía del curso. Stewart.Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall 1999Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.«Esquema del desarrollo histórico de la matemática» págs. pág. 6. Universidad Nacional del Nordeste.J J O'Connor y E F Robertson. «Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani» (en inglés) (html). Consultado el 08-06-2008. «Latrigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi» (en catalán) (html). Consultado el 08-06-2008. «Al-Kashi, Gamshidibn Messaoud» (en francés).Viète, François (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC165919384.Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.