HARAPAN MATEMATIKA

A.Rata-rata suatu peubah acak

Nilai rataan adalah nilai harapan banyak munculnya k atau nilai harapan x dan

dinyatakan dengan E(x).Secara umum nilai-nilai seperti itu disebut rata-rata peubah acak x atau

rata-rata sebaran peluang x,sering juga disebut dengan harapan matematika atau nilai harapan

atau ekspektasi dan disimbolkan dengan E(x) atau μ.

Nilai harapan adalah jumlah hasil kali peubah dengan peluangnya.

D.5.1 Defenisi : Andaikan 2 suatu peubah acak dengan sebaran peluang Z adalah ;

a) jika x diskrit

b) jika x kontinu

Suatu peubah acak yang diberikan dalam ,bentuk fungsi g(x) yang berarti tergantung

atau ditentukan oleh x,sedangkan fungsi pelusng adalah f(x) maka P[g(x)=g(x)]=f[g(x)] sehingga

dengan defenisi dapat diturunkan teorema berikut :

T.5.1 Teorema : Misalnya x suatu peubah acak dengan sebaran peluang f(x),maka

rata-rata atau nilai harapan peubah acak g(x) adalah :

a) , x diskrit

b) , x kontinu

D.5.2 Defenisi : Misalkan x dan y adalah peubah acak dengan sebaran peluang

bersama h(x,y) maka nilaiharapan fungsi f(x,y) adalah

μg(x) = E[f(x,y)] =

a) , x dan y diskrit

b) , x dan y kontinu

Dengan memperluas defenisi harapan untuk fungsi bersama lebih dari satu peubah acak

secara umum didefenisikan sebagai berikut :

D.5.3 Defenisi : Misalkan x1,x2, ... , xn adalah peubah acak dengan sebaran peluang

bersama n ( x1,x2, ... , xn ) maka nilai harapan fungsi F (x1,x2, ... ,xn )

adalah μF( x1,x2, ... , xn ) = E[F (x1,x2, ... ,xn )] =

a) , x1,x2, ... , xn diskrit

b)

x1,x2, ... , xn kontinu

T.5.2 Teorema : Jika a dan b konstanta,maka E ( ax + b ) = a E(x) + b

Bukti :

Menurut defenisi E ( ax + b ) =

=

Maka E ( ax + b ) = a E (x) + b

Akibat dari T.5.2

a) E (b) = b , ( T.5.2 dimana a = 0 )

b) E (ax) = a E (x) , ( T.5.2 dimana b = 0 )

T.5.3 Teorema nilai harapan jumlah atau selisih dua atau lebih fungsi suatu peubah

acak x sama dengan jumalah atau selisih nilai harapan fungsi tersebut,yaitu :

Bukti :

Menurut defenisi :

Dengan cara yang serupa dapat dibuktikan

T.5.4 Teorema : Nilai harapan jumalah atau selish dan atau lebih fungsi peubah acak

x dan y sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan fungsi tersebut

yaitu :

Bukti :

Menurut defenisi :

Dengan cara yang serupa dapat dibuktikan :

Akibat teorema T.5.4

a) Dengan membuat f(x,y) = f(x) dan g(x,y) = g(y) diperoleh

b) Dengan membuat f(x,y) = x dan g(x,y) , y diperoleh

T.5.5 Teorema : Misalkan x dan y dua peubah acak bebas,maka E(xy) = E(x) E(y)

Bukti :

Menurut defenisi

Karena x dan y bebas maka h(x,y) = f(x) g(y) dimana f(x) dan g(y)

berturut adalah sebaran marginal x dan y , karena

Dengan cara serupa dapat dibuktikan untuk n peubah acak bebas

Catatan :

Bila x = ( x1,x2, ... , xn ) merupakan sampel acak maka rata-rata sampel

dan diberi simbol :

VII. EVALUASI

SOAL

1. Misalkan banyaknya mobil yang dicua di suatu tempat pencucian mobil antara pukul

26.00 dan 17.00 pada setiap hari jumat yang cerah mempunyai sebaran peluang:

X 4 5 6 7 8 9

P(X=x)

Bila g(x) = 2x-1 menyatakan uang yang dibayarkan dalam dolar, oleh manajer kepada

pencuci. Tentukan penerimaan harapan petugas mobil pada periode waktu tersebut?

2. Misalkan x dan y adalah peubah acak dengan sebaran bersama seperti yang di berikan

dalam tabel di bawah ini.

F(x,y) 0 1 2

O

Y 1

2

Carilah nilai harapan bagi g(x,y) = xy

JAWABAN

1. Menurut teorema

Jadi penerimaan harapan petugas pencuci mobil adalah 12,67 dolar.

2. Menurut defenisi: