1

Sinyal Digital dan Operasi Matematika

2

Time Domain sinyal diskrit

X[n]=xa(t)|t=nT=xa(nT), n=……., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……

T= perioda Sampling, frekuensi sampling Fs=1/T

X[n] dapat real, atau kompleks

X[n]=xr[n]+jxi[n]signal kompleks

3

Sinyal Digital Dasar

1- Unit impulse or unit sample

1][ n0][ n

If n=0

If n=0 n=0

][n

2- Unit step

u[n]=1 if n>=0

u[n]=0 if n<0n=0

n

n

u[n]

1

1

4

3- Ramp signal

r[n]=nu[n]

r[n]

n=0n

4- Exponential sequencenAnx ][

A and α dapat berupa bil.real:

X[n]=0.2(1.2)n X[n]=20(0.9)n

5

A dan α dapat berupa bil.kompleks :

)( jwe jeAA )(][ wnjneeAnx

)sin()cos(][ wneAjwneAnx nn

Real Imaginer

Bagian real dan kompleks dari sebuah eksponensial kompleks adalah sekuensial real sinusoidal dengan growing

amplitude ( >0), decaying amplitude ( <0), constant amplitude ( =0)

6

Real Imaginer

<0

>0

=0

7

Hubungan antara Cosinus, Sinus, and Fungsi Eksponensial

x1[n]= A exp(jwn) = A cos(wn) + jA sin(wn)

x2[n]= A exp(-jwn) = A cos(wn) - jA sin(wn)

cos(wn)= 0.5A(exp(jwn)+exp(-jwn))

sin(wn)= 0.5A(exp(jwn)-exp(-jwn))

f

Amplitude

f1f

f1-f1

Amplitude

Spektrum gelombang sinus real

Spektrum dari gelombang sinus kompleks

8

Klasifikasi Sinyal1- Finite length or infinite length sequences

X[n]

N1<=n<=N2 maka sequence dikatakan

finite length

Jika N1= - atau N2= maka

Sequence dikatakan infinite length

9

2- Even and Odd sequences (Simetris)

n

Even sequence

x[n]=x[-n]

x[n]=-x[-n]

Odd sequence

10

3- Periodic and aperiodic sequences

n

Periodic

x[n]=x[n+kN], N=20

Sequence dikatakan aperiodic jika gambar tidak periodic

Periodic Sequence

11

4- Bounded and UnboundedSequence is dikatakan bounded jika the magnitud dari seitap

sampel kurang atau sama dengan sebuah bil. positive tertentu.

Bnx ][5- Absolutely summable

Sequence dikatakan absolutely summable jika:

n

nx ][

6- Energy of a sequence

Energy of a sequence x[n] dirumuskan :

n

nxE2

][

12

Operasi dasar pada sequencesXx1[n]

x2[n]

y[n]=x1[n].x2[n]

Perkalian, Windowing

+x1[n]

x2[n]

y[n]=x1[n]+x2[n]

Penjumlahan

Ax1[n] y[n]=A*x1[n]

Pensaklaan

Dx1[n]

y[n]=x[n-1]

Unit delay

D-1x1[n]y[n]=x[n+1]

Unit advance

13

D D Dx[n] x[n-1] x[n-2] x[n-3]

+

a1 a2 a3 a4

y[n]

D D Dx[n] x[n-1] x[n-2] x[n-3]

+

a1 a2 a3 a4

y[n]

Contoh

y[n]= a1x[n] + a2x[n-1] + a3x[n-2] + a4x[n-3]

D

D

D

x[n]

x[n-1]

x[n-2]

y[n-1]

+b0

b1

b2

a1

y[n]

Da2

y[n-2]

D

D

D

x[n]

x[n-1]

x[n-2]

y[n-1]

+b0

b1

b2

a1

y[n]

Da2

y[n-2]

Contoh

y[n]= b0x[n]+b1x[n-1]+b2x[n-2]+a1y[n-1] + a2y[n-2]

14

Sistem waktu diskritFungsi dari sebuah sistem waktu diskrit (discrete time system) adalah

untuk memproses sebuah input sequence yang diberikan untuk menghasilkan sebuah output sequence.

Discrete time systemInput sequence Output sequence

X[n] y[n]

Contoh: M (point moving average system)

1

0

][1

][M

k

knxM

ny

Sistem digunakan untuk memperbaiki noise

15

X[n]=s[n] + d[n]

Sinyal Noise%moving average filterR=50;d=rand(1,R)-0.5;m=0:1:R-1;s=2*m.*(0.9.^m);x=s+d;subplot(2,1,1);plot(m,d,'r',m,s,'b',m,x,'g')xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');M=3;b=ones(M,1)/M;y=filter(b,1,x);subplot(2,1,2);plot(m,y,'b')xlabel('Time indexn');ylabel('Amplitude');

d=noise, s=sinyal, M=3, averaging window ada 3 samples

16

Biru=sinyal

Hijau=sinyal+noise

Merah=noise

Sinyal Hasil Filter

17

Linearitas

Homogen

18

Additivitas

19

Shift Invariance

LTI (linear time invariant) memenuhi 2 syarat yaitu sifat linearitas dan time invariance. Sistem akan mudah dianalisis dan di desain. Kebanyakan dari algoritma pemrosesn sinyal tergantung kepada dua sifat ini.

20

KausalitasDalam sistem kausal sinyal output tergantung hanya pada input saat ini

dan input sebelumnya dan tidak pada input yang akan datang.

Y[n]=2y[n-1]+x[n+2]Sistem tidak kausal

StabilitasSebuah system yang stabil menghasilkan output tertentu

atau terbatas (bounded) terhadap input terbatas (bounded) Ini berarti bahwa jika x[n] bounded, mis. |x[n]|<Bx, maka untuk sistem menjadi Bounded Input Bounded Output

(BIBO) stabil, maka |y[n]|<By.

BxBxMM

knxM

knxM

nyM

k

M

k

)(1

][1

][1

][1

0

1

0

Contoh :Untuk M point average filter kita dapat memperlihatkan bahwa sistem adalah BIBO yang stabil,

21

InvertabilitasJika sebuah system dengan input x[n] memberikan sebuah

output y[n], maka systemini dikatakan invertabel jika kita dapat mendefinisikan input tanpa ada ambigu saat kita tahu

output..

Y[n]=(x[n])2System adalah non-invertabel

karena jika kita tahu y[n], ada ada 2 harga unutk x[n] yang dapat

memberikan output ini. Yaitu +x[n], dan –x[n]Pasifitas

Sebuah discrete time system dikatakan pasif, jika untuk setiap energy tertentu input sequence x[n], output sequence y[n] mempunyai energi yang

sama atau malah lebih kecil.

nn

nxny22

][][

Y[n]=a x[n] adalah pasif jika |a|<1, dan lossless jika |a|=1.

22

Komutatif

Ketika dua sinyal atau lebih disusun secara kaskade, hubungan yang terjadi pada sistem tidak mempengaruhi

karakteristik sistem.

23

System dengan banyak inputs dan/atau outputs akan menjadi linear jika disusun dari sistem yang linear dan

penambahan sinyal

24

SuperposisiSinyal diperlihatkan sebagai superposisi

(sum) dari bentuk gel.sederhana

(penjumlahan)

Dipisah-pisahkan

25

DecompositionsPerlu diingat bahwa tujuan dari metode ini adalah untuk

menggantikan problem yang rumit menjadi beberapa cara yang mudah.

Ada dua cara untuk men- decompose sinyal dalam signal processing

Impulse decomposition

Fourier decomposition

26

Menampilkan sebuah sequence melalui sebuah unit sample

Jika x[n]=[1, 3, 0.05, -2.5], maka dapat di tampilkan :

X[n]=1 [n+1]+ 3 [n] +0.05 [n-1] -2.5 [n-2]

indek waktu nol Sample

dan

x[n]= [0 0 0 0.5 0 0 1.5 -1 0 1 0 0.75 0 0 0]

Dapat ditulis sebagai,

x[n]=0.5δ[n+2]+1.5δ[n-1]-δ[n-2]+δ[n-4]+0.75δ[n-6]

27

Asumsi bahwa sistem adalah linear dan mempunyai sebuah impulse response h[n], dan dengan

menggunakan theorema superposisi kita dapat menulis outputnya :

y[n]=0.5h[n+2]+1.5h[n-1]-h[n-2]+h[n-4]+0.75h[n-6]

Dimana h[n] disebut impulse response

h[n]δ[n] y[n]=h[n]

Impulse response dari sebuah system

Adalah output dari sistem ketika input sebuah impulse .

28

Secara umum :

k

knkxnx ][][][

Respons dari sebuah system LTI terhadap input sebelumnya menjadi :

k

knhkxny ][][][

k

khknxny ][][][

Operasi ini disebut convolusi

y[n]=x[n]*h[n]

29

Convolusi

Convolusi adalah sebuah cara matematika dari penggabungan dua buah sinyal menjadi bentuk sinyal yang lain.

Teknik ini merupakan teknik yang cukup penting in Digital Signal Processing.

Penggunaan strategi dari decomposisi impulse, systems di deskripsikan dengan sinyal yang disebut impulse response. Convolusi adalah sangat penting karena berhubungan dengan 3 sinyal : input signal, output signal, dan impulse response

30

Sinyal output dari sebuah system linear adalah sama dengan sinyal input diconvolvusi dengan impulse response system.Convolusi disimbolkan dengan bintang (*)

31

Convolusi adalah komutatif

x1[n]*x2[n]=x2[n]*x1[n]

dan assosiatif

(x1[n]*x2[n])*x3[n]=x1[n]*(x2[n]*x3[n])

dan distributif,

x1[n]*(x2[n]+x3[n])=x1[n]*x2[n]+x1[n]*x3[n]

k

knhkxny ][][][

Perhitungan dari convolusi dari dua sequences

32

0.5

x[n]

n

0 1 2

n

h[n]

0 1 2

3

21

k-2- 1 0

3

21

h[-k]

1

1.5

y[n]

n

0.5

x[k]

k

0 1 2

k-1 0 1

3

21

h[1-k]

2

2.5

1.5

y[n]

n

k

khkxy ]0[][]0[

k

khkxy ]1[][]1[

33

1.5

y[n]

n

0.5

x[k]

k

0 1 2

k 0 1 2

3

21

h[2-k]

3

2.5

3

1.5

y[k]

n

2.5

3

1.50.5

Hasil Akhir

0 1 2 3 4

N=3+3-1=5

Panjang data sekuens output adalah jumlah data kedua input dikurangi 1

k

khkxy ]2[][]2[

34

Contoh :

h[n]=an u[n], x[n]=u[n], 0<a<1

k

knxkhny ][][][

k

k knukuany ][][][

Perkalian u[k] dan u[n-k] adalah 1 hanya untk n>=0 dan Nol untuk n<0, maka kita dapat menulis persamaan terakhir

menjadi

n

k

nk

a

aany

0

1

1

1][

Output didefenisikan hanya untuk n>0

][1

1][

1

nua

any

n

=1 utk K>=0, dan k<=n

i.e 0<=k<=n

35

%konvoluasi dua sequencesa=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];c=conv(a,b);subplot(3,1,1);stem(a);subplot(3,1,2);stem(b);subplot(3,1,3);stem(c)

Menggunakan MATLAB

36

Hubungan kaskade dari 2 systems LTI

h1[n] h2[n]x[n] y[n]

h2[n] h1[n]x[n] y[n]

h1[n]*h2[n]y[n]x[n]

Hubungan dalam kaskade sistem LTI tidak berpengaruh kepada impulse

response keseluruhan karena sifat komutatif

dari konvolusi

37

Hubngan parallel dua system LTI

h1[n]

h1[n]

x[n]

y[n]+

h1[n]+h2[n]y[n]x[n]

Output dari dua sistem adalah penjumlahan yang menghasilkan

sistem output

38

Bounded Input Bounded Output, BIBO LTI systems

Kita tahu bahwa system BIBO adalah sistem memberikan sebuah output bounded ketika inputnya juga bounded.

Sebuah system LTI adalah BIBO jika impulse responsenya bounded, mis

Skhk

][

Untuk membuktikan, ambil nilai absolut untuk output system :

k

knxkhny ][][][

Nilai absolut total adalah lebih kecil dari nilai ablsolut :

k

knxkhny [][][

39

Asumsikan bahawa input sequence adalah bounded, |x[n]|<=M, maka dapat ditulis:

Mkhnyk

][][

k

khMny ][][

SMny .][

Sehingga, karena S bounded, maka |y[n]| juga bounded

Sehingga , system LTI dikatakan BIBO jika impulse response-nya juga bounded.

40

Systems Causal LTI

Impulse response h[n] dari sebuah system LTI harus nol untuk semua n negatif untuk membuat system LTI causal.

Asumsikan : x1[n]=x2[n], n≤n0 maka dapat ditulis response dari system untuk dua inputs sbb:

k k k

knxkhknxkhknxkhny0

1

]0[1][]0[1][]0[1][]0[1

k k k

knxkhknxkhknxkhny0

1

]0[2][]0[2][]0[2][]0[2

Kedua bentuk ini identik karena k>0 dan [n0-k] akan

menjadi <n0. Maka x1[n]=x2[n] memenuhi

Untuk k<0 maka [n0-k] akan menjadi >no dan x1[n] tidak identik

trhadap x2[n]. Maka untuk membuat y1[n]=y2[n] maka h[k] harus nol

untuk nilai k negatif

41

Contoh :

Hitung jika system h[n]=anu[n] adalah a)BIBO b)causal

Dari defenisi u[n] dimana nol untuk n<0, maka system adalah causal.

][][][ kukhnhk

0

][k

kanh

aanh

k

k

1

1][

0

Sehingga , jika |a|<1 maka |h[n]| adakan bounded dan sistem adalah BIBO

42

Systems LTI menurut panjangnya

Finite impulse response, FIR. Dalam kasus in ouput di hitung

berdasarkan jumlah konvolusi

Infinite impulse response, IIR.

Dalam kasus ini konvolusi tidak dapat

digunakan kecuali kalau input sequence dibatasi panjangnya

(finite lenght).

43

Systems LTI berdasarkan bagaimana cara menghitung output

Nonrecursive recursive

Output adalah fungsi dari input saat ini dan input

sebelumnya

Output saat ini adalah fungsi input saat ini, input sebelumnya dan output

sebelumnya.

2

1

][][][N

Nk

knxkhny

N

k

M

k

kk knxd

pkny

d

dny

1 0 00

][][][

44

Latihan Menggambar system impulse response menggunakan

MATAB

Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the filter described by vectors A and B to create the filtered data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed" implementation of the standard difference equation:

a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) - ... - a(na+1)*y(n-na) If a(1) is not equal to 1, FILTER normalizes the filter coefficients by a(1).

function FILTER Dari HELP :

45

y[n]=-0.7y[n-1]+0.45y[n-2]+0.6y[n-3]+ 0.8x[n]-0.44x[n-1]+0.36x[n-2]+0.02x[n-3]

1 -Menggunakan function filter untuk menggambar system impulse response

Impulse response output dari system y[n] ketika input x[n] adalah sebuah impulse.

%Perhitungan impulse response menggunakan function fiterL=41; % panjang dari output sequenceb=[0.8 -0.44 0.36 0.02];a=[1 0.7 -0.45 -0.6];x=[1 zeros(1,L-1)];y=filter(b, a, x);n=0:1:L-1;stem(n,y);xlabel('time index n');ylabel('Amplitude');

46

2 -Menggunakan function filter untuk menggambar step response dari system

y[n]=-0.7y[n-1]+0.45y[n-2]+0.6y[n-3]+ 0.8x[n]-0.44x[n-1]+0.36x[n-2]+0.02x[n-3]

%Perhitungan dari step response menggunakan functionfiter L=41; % panjang dari output sequenceb=[0.8 -0.44 0.36 0.02];a=[1 0.7 -0.45 -0.6];x=[ones(1,L)];y=filter(b, a, x);n=0:1:L-1;stem(n,y);xlabel('time index n');ylabel('Amplitude');

47

a) x[n]=2δ[n-3]-3δ[n+2] b) x[n]=3sin(0.2πn)u[n] c) x[n]=u[n-2]

2. Jika sequence g[n] adalah sequence genap and h[n] adalah ganjil, yang mana dari sequences dibawah ini yang ganjil dan mana yang genap

a) x1[n]=g[n].g[n] b) x2[n]=g[n].h[n]

Asumsikan setiap sequences untuk g[n] and h[n]

TUGAS

1. Gambar fungsi berikut menggunakan MATLAB

3. Tulis y[n] sebagai fungsi dari x[n] untuk gambar disamping ini :

48

a) x[n]=3sin(0.05πn) b)x[n]=3sin(0.05πn)+3sin(0.12πn) c) x[n]=5cos(0.6πn)

a) y[n]=Ax2[n] b) y[n]=Ax[n]+B c) y[n]=Ae-πn

4. Tentukan periode untuk setiap sequence dibawah ini dan perlihatkan apakah periodik atau tidak

5. Perlihatkan bahwa untuk setiap sequence dibawah ini linear, stabil, kausal atau tidak