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Governo dos Açores Escola Básica e Secundária de Velas

Período Domínios

N.º de aulas (45 minutos)

Lecionação de

conteúdos

Dia do ProSucesso, apresentação, atividades de diagnóstico, revisões,

testes, trabalhos de avaliação, correções,

autoavaliações e outras atividades da escola

1.º

Previstas

76

Trigonometria (TRI11) 36 13 (2 ProSucesso, 1 diagnóstico, 3

minifichas, 6 testes, 1

autoavaliação) Geometria Analítica (GA11) 28

2.º

Previstas

72

Sucessões (SUC11) 34 10

(3 minifichas, 6 testes, 1

autoavaliação) Funções Reais de Variável Real (FRVR11) 28

3.º

Previstas

38

Funções Reais de Variável Real (FRVR11) 22

10 (3 minifichas, 4 testes, 2 escola

dinâmica,1 autoavaliação) Estatística (EST10) *

Estatística (EST 11) 6

153 33

Total (Ano) 153 + 33 = 186

* Os 18 tempos de quarenta e cinco minutos previstos para lecionar o domínio de Estatística de 10º ano não estão

contemplados na presente planificação, apesar de terem de ser lecionados em primeiro lugar em relação ao

domínio de Estatística de 11ºano.

Manual adotado: Maria Augusta e outros, Máximo 11, Porto Editora

PLANIFICAÇÃO ANUAL

DISCIPLINA DE MATEMÁTICA A

11.º ANO

O docente da disciplina: Marleen Rocha Ano Letivo: 2016/2017

A avaliação ao longo do ano será feita mediante os seguintes parâmetros: -Observação direta; -Fichas de avaliação; -Trabalho em grupo, em pares ou individual; -Trabalhos de casa; -Empenho nas tarefas propostas; -Participação oral na aula; -Atitudes/comportamento; -Ficha de autoavaliação.

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Domínio: TRI11

1 Trigonometria

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

1.1. Extensão da trigonometria a ângulos retos

e obtusos e resolução de triângulos

1.1.1.Lei dos senos e lei dos cossenos

1.1.2. Extensão da definição das razões trigonométricas

aos casos de ângulos retos e obtusos

1.1.3. Resolução de triângulos

1.1.4.Resolução de problemas envolvendo razões

trigonométricas e a determinação de distâncias

1.1. Provar, dado um triângulo acutângulo [ABC], de ângulos internos ˆBACα = , ˆABCβ = e

ˆACBγ = e de lados de medida , B C b A Cα = = e c AB= , fixada uma unidade de

comprimento, que sin sin sin

a b c

α β γ= = , e designar estas igualdades por lei dos senos ou

analogia dos senos.

1.2. Estender a definição do seno aos ângulos retos, tomando sin 1α = , quando o ângulo α é reto,

reconhecendo que esta definição é a única possível por forma a estender a lei dos senos a

triângulos retângulos.

1.3. Estender a definição do seno aos ângulos obtusos tomando, para um ângulo α obtuso,

sin sin ,α α ′= onde α ′ é suplementar a α , reconhecendo que esta definição é a única possível

por forma a estender a lei dos senos a triângulos obtusângulos.

1.4. +Provar, dado um triângulo [ABC], de lados de medida =a BC , =b AC e =c AB , fixada uma

unidade de comprimento, e sendo agudo o ângulo interno em A, que, se ˆα = BAC , 2 2 2 2 cosα= + −a b c bc , e designar este resultado por Teorema de Carnot ou lei dos cossenos.

1.5. Estender a definição do cosseno aos ângulos retos, tomando cos 0α = quando o ângulo α é

reto, reconhecendo que esta definição é a única possível por forma a estender a Lei dos cossenos ao caso de um ângulo interno reto, reconhecendo que neste caso se reduz ao Teorema de Pitágoras.

1.6. +Estender a definição do cosseno aos ângulos obtusos tomando, para um ângulo α obtuso,

cos cosα α ′= − , onde 'α é suplementar a α , reconhecendo que esta definição é a única

possível por forma a estender a lei dos cossenos ao caso de um ângulo interno obtuso.

1.7. Estender a todos os ângulos convexos a propriedade segundo a qual, dados ângulos α e α ′ com

a mesma amplitude ˆ ˆα α′= , o seno e o cosseno de α são respetivamente iguais ao seno e ao

cosseno de α ′ e designá-los, também, respetivamente por seno e cosseno de α̂ .

1.8. Determinar, dado um triângulo [ABC], fixadas unidades de comprimento e de amplitude de

ângulos e conhecidas as medidas dos comprimentos dos três lados (LLL), as medidas do

comprimento de dois dos lados e da amplitude do ângulo interno por eles formado (LAL) ou as

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medidas do comprimento de um dos lados e das amplitudes dos dois ângulos internos que lhe são

adjacentes (ALA), as medidas dos comprimentos dos restantes lados e as medidas das amplitudes

dos restantes ângulos internos do triângulo, designar este procedimento por “resolução do

triângulo [ABC]” e obter valores aproximados destas medidas na forma de dízimas finitas até uma

dada ordem, utilizando uma máquina de calcular.

9.1. +Resolver problemas envolvendo a resolução de triângulos.

9.2. +Resolver problemas envolvendo a determinação de distâncias utilizando ângulos e as respetivas

razões trigonométricas.

1.2. Ângulos orientados e ângulos

generalizados e rotações. Fórmulas

trigonométricas. Redução ao primeiro

quadrante.

1.2.1. Ângulos orientados; amplitudes de ângulos

orientados e respetivas medidas; rotações

segundo ângulos orientados

1.2.2. Ângulos generalizados; medidas de amplitude de

ângulos generalizados

1.2.3. Ângulos generalizados e rotações

1.2.4. Circunferência trigonométrica (círculo

trigonométrico)

1.2.5. Generalização das definições das razões

trigonométricas aos ângulos orientados e

generalizados e às respetivas medidas de

amplitude

2.1. Identificar “ângulo orientado” como um ângulo não nulo nem giro no qual se fixa um dos lados para “lado origem”, designando o outro por “lado extremidade”.

2.2. Identificar um ângulo orientado de um plano como tendo “orientação negativa” quando, imaginando os movimentos dos ponteiros de um relógio cujo mostrador se supõe situado nesse

plano π , os ponteiros podem descrever o ângulo começando no lado origem e terminando no lado extremidade, identificar um ângulo orientado como tendo “orientação positiva” no caso contrário, e afetar do sinal “–” as amplitudes dos primeiros enquanto ângulos orientados, bem como as respetivas medidas.

3. Definir rotações segundos ângulos orientados.

3.1. Designar, dados dois pontos O e M e um ângulo orientado α em determinado plano, um

ponto M′ por “imagem do ponto M pela rotação de centro O e de ângulo orientado α ”

quando O M O M ′= e OM′& for o lado extremidade do ângulo orientado de lado origem OM&

e com a mesma amplitude de α enquanto ângulos orientados.

4. Definir “ângulos generalizados”. 4.1. Identificar um “ângulo generalizado” (ou “ângulo trigonométrico”) como um par ordenado

( ) , ,nα onde α é um ângulo orientado ou um ângulo nulo e n é um número inteiro, que é

positivo ou nulo se α tiver orientação positiva e negativo ou nulo se α tiver orientação

negativa, interpretando-o intuitivamente como o resultado de rodar o lado extremidade do

ângulo α (ou, no caso de α ser nulo, o único lado, coincidente com α ), realizando n voltas

completas, no sentido determinado pelo sinal de n .

4.2. Designar o lado origem (respetivamente extremidade) de um ângulo orientado α também por

“lado origem (respetivamente extremidade) dos ângulos generalizados ( ) , nα ” e um ângulo

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1.2.6. Medidas de amplitude em radianos

1.2.7. Generalização da fórmula fundamental da

trigonometria

1.2.8. Fórmulas trigonométricas de “redução ao 1.º

quadrante”: seno e cosseno de π

2x ± , πx± e de

x− , com x∈ ℜ

nulo ω também como “lado origem e extremidade dos ângulos generalizados ( ) , nω ”.

4.3. Identificar, fixado um ângulo unidade e sendo g a medida de amplitude dos ângulos giros, a

medida de amplitude do ângulo generalizado ( ) , nα como a ng+ , onde a é a medida de

amplitude do ângulo orientado ou nulo α .

4.4. Reconhecer que dois ângulos generalizados ( ) , nα e ( ) , a n′ ′ têm a mesma amplitude se e

somente se α e α ′ tiverem a mesma amplitude e n n′= e justificar, fixado um ângulo unidade

que, dado um número real x e fixada uma semirreta para lado origem, existe um e apenas um ângulo generalizado cuja medida de amplitude é igual a x .

4.5. Identificar, fixado um ponto O e um ângulo generalizado ( ) , nα , a “rotação de centro O e

ângulo generalizado ( ) , nα ”, no caso de α ser um ângulo nulo, como a aplicação identidade

no plano e nos restantes casos como a aplicação do plano sobre si próprio que a cada ponto

distinto de O associa a imagem desse ponto pela rotação de centro O e ângulo orientado α e ao

ponto O associa o próprio ponto O.

4.6. Reconhecer, dado um ponto O e ângulos generalizados ( ) , nα e ( ) , nα′ ′ , α , α ′ ângulos

orientados, que as rotações de centro O e ângulos generalizados ( ) , nα e ( ) , nα′ ′ coincidem

se e somente se α e α ′ tiverem a mesma amplitude ou se tiverem sentidos contrários e os

valores absolutos das respetivas amplitudes tiverem soma igual à medida de um ângulo giro.

5.1. Designar um referencial ortonormado num dado plano como “direto” quando o primeiro quadrante, considerado como ângulo orientado de lado origem coincidente com o semieixo positivo Ox e lado extremidade coincidente com semieixo positivo Oy, tem orientação positiva.

5.2. Designar, dado um referencial ortonormado em dado plano, a circunferência centrada na origem e de raio 1 desse plano também por “circunferência trigonométrica” (ou, por abuso de linguagem, por “círculo trigonométrico”).

5.3. Identificar, dado um referencial ortonormado direto em dado plano e um ângulo orientado α

desse plano, o “seno de α ” (respetivamente o “cosseno de α ”) como a ordenada

(respetivamente a abcissa) do ponto P, interseção da circunferência trigonométrica com o lado extremidade do ângulo orientado de lado origem coincidente com o semieixo positivo Ox e de

amplitude igual a α , representá-lo por ( ) ( )sin , sen , sinα α α ou senα (respetivamente

por ( )cosα ou por cosα ), reconhecer que este valor não depende da escolha do referencial,

e que esta definição estende a definição de seno (respetivamente de cosseno) de ângulos geométricos convexos, se o identificarmos com o seno (respetivamente cosseno) de um ângulo orientado com a mesma amplitude.

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5.4. Identificar, dado um referencial ortonormado direto em dado plano, e um ângulo orientado α

desse plano de lados não perpendiculares, a “tangente de α ” como a ordenada do ponto P,

interseção da reta de equação x = 1 , tangente à circunferência trigonométrica no ponto de coordenadas (1 , 0) , com a reta suporte do lado extremidade do ângulo orientado de lado origem

coincidente com o semieixo positivo Ox e de amplitude igual a α , representá-la por ( )tan α ,

( )tg α , tanα ou tgα , reconhecer que sin

tancos

ααα

= e que esta definição estende a

definição de tangente de um ângulo agudo, se a identificarmos com a tangente de um ângulo orientado com a mesma amplitude.

5.5. Identificar, dado um ângulo generalizado ( ) , nθ α= , o “seno de θ”, o “cosseno de θ” e a

“tangente de θ” como, respetivamente, o seno, o cosseno e a tangente de α .

5.6. Justificar, dados ângulos generalizados θ e θ ′ com a mesma amplitude ˆ ˆθ θ ′= , que o seno, o

cosseno e a tangente de θ são respetivamente iguais ao seno, ao cosseno e à tangente de θ ′ e

designá-los também, respetivamente, por seno, cosseno e tangente de θ̂ .

6.1. Designar por “radiano” a amplitude de um ângulo ao centro de uma circunferência que nela

determina um arco de comprimento igual ao raio e reconhecer que o radiano não depende da

escolha da circunferência, aproximando o comprimento do arco de circunferência por

comprimentos de linhas poligonais inscritas.

6.2. Efetuar conversões de medidas de amplitude de ângulos de graus para radianos e de radianos

para graus, começando por justificar que um ângulo giro tem amplitude 2π radianos.

7.8. Justificar que, para todo o � ∈ ��, cos−�� = cos ��, ( )sin sinx x− =− , ( )cos cosx x± = −π, ( )sin sinx x± =−π , cos sin

2x x

± = ±

π e sin cos2

x x ± = ±

π .

1.3. Funções trigonométricas. Equações e

inequações trigonométricas

1.3.1. Funções reais de variável real seno, cosseno e

tangente: domínios, contradomínios, periodicidade,

paridade, zeros e extremos locais; funções

trigonométricas inversas.

7.1. Identificar, dado um número real x, a “tangente de x” (respetivamente, o “seno de x” e o

“cosseno de x”) como a tangente (respetivamente, o seno e o cosseno) de um ângulo

generalizado de medida de amplitude igual a x , em radianos, sempre que esse valor esteja

definido, e designar a função assim determinada nesse conjunto de números reais e com conjunto

de chegada IR por “(função) tangente” (respetivamente, “(função) seno” e “(função) cosseno”),

representando-a por “tan” ou “tg” (respetivamente, por “sin” ou “sen” e por “cos”) e o respetivo

valor num ponto x do domínio também por tan x ou tg x (respetivamente, por “sin x” ou “sen

x” e por “cos x”).

7.2. Identificar, dado um número P > 0, uma função f como “periódica de período P” ou “P-periódica”

se para todo o , f fx D x P D∈ + ∈

e ( ) ( )f x P f x+ =.

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1.3.2. Equações do tipo sinx k= , cosx k= e tanx k= e

inequações trigonométricas com domínio num intervalo

limitado

1.3.3. Resolução de problemas envolvendo funções

trigonométricas

7.3. Designar, dada uma função f, o número 0 0P > por “período fundamental de f ou por “período

positivo mínimo de f ” se f for 0P -periódica e não admitir outro período P inferior a 0P .

7.4. Justificar que as funções reais de variável real seno e cosseno têm domínio IR, contradomínio [–1 ,

11] e período fundamental 0 2P = π .

7.5. Provar que os zeros da função seno (respetivamente da função cosseno) são os números da forma

��, � ∈ ℤ(respetivamente da forma �� + ��, � ∈ ℤ ).

7.6. Justificar que a função seno (respetivamente a função cosseno) admite extremos locais nos pontos

de abcissa da forma �� + ��, � ∈ ℤ (respetivamente da forma � = ��, � ∈ ℤ).

7.9. Justificar que a função real de variável real tangente tem domínio ���� = ℝ ∖ ��: � = �� + ��, � ∈

ℤ�, contradomínio IR, período fundamental 0P = π e que os respetivos zeros são os números da

forma � = ��, � ∈ ℤ).

8.1. +Reconhecer que as funções [ ]sin : , 1 , 1

2 2 − → −

π π

, [ ] [ ]cos : 0 , 1 , 1→ −π e

���: − �� , �

�! ⟶ ℝ obtidas por restrição respetivamente das funções sin, cos e tan aos intervalos

indicados e tomando para conjuntos de chegada os respetivos contradomínios, são bijetiva e designar as bijeções recíprocas por “(função) arco-seno” (arcsin ou arcsen), “(função) arco-cosseno” (arccos) e “(função) arco-tangente” (arctan ou arctg), respetivamente, sabendo que são valores aproximados destas funções que as calculadoras fornecem, associados às teclas,

respetivamente, 1sin− ,

1cos− e

1tan− , desde que esteja selecionado o radiano para unidade de

medida dos ângulos.

8.2. Reconhecer, dados números reais x e α , que cos cosx α= se e somente se existir � ∈ ℤ tal

que 2x kα= + π ou 2x kα= − + π .

8.3. Reconhecer, dados números reais x e α , que sin sinx α= se e somente se existir � ∈ ℤ tal

que 2x kα= + π ou 2x kα= +π− π .

8.4. Reconhecer, dados números reais x e α do domínio da função tangente, que tan tanx α= se

e somente se existir � ∈ ℤ tal que x kα= + π .

8.5. Resolver equações da forma sin , cos e tan , x a x a x a a= = = ∈� .

9.3. +Resolver problemas envolvendo fórmulas trigonométricas e a determinação de razões

trigonométricas.

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9.4. +Resolver problemas envolvendo funções trigonométricas.

Estratégias: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas.

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Domínio: GA11

2 Geometria Analítica

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

2.1. Declive e inclinação de uma reta do plano. Produto escalar.

2.1.1. Inclinação de uma reta do plano e relação com o

respetivo declive.

2.1.2. Produto escalar de um par de vetores

2.1.3. Ângulo formado por um par de vetores não nulos;

relação com o produto escalar

2.1.4. Perpendicularidade entre vetores e relação com o

produto escalar

2.1.5. Simetria e bilinearidade e outras propriedades do

produto escalar;

2.1.6. Cálculo do produto escalar de um par de vetores

a partir das respetivas coordenadas

2.1.7. Resolução de problemas envolvendo a noção de

produto escalar

2.1.8. Relação entre o declive de retas do plano

perpendiculares

2.1.9. Resolução de problemas relativos à

determinação de equações de retas do plano em

situações envolvendo a noção de

perpendicularidade

1.1. Identificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e dada uma

reta r que passa pela origem e é distinta do eixo Ox , a “inclinação de r” como a amplitude do

ângulo convexo formado pelo semieixo positivo das abcissas e a semirreta &O P , onde P é um

qualquer ponto de r de ordenada positiva, e identificar a inclinação do eixo das abcissas como a

amplitude nula.

1.2. Identificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado de origem O , a inclinação de

uma reta r como a inclinação da reta paralela a r que passa por O .

1.3. Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado, que o declive de uma reta não

vertical é igual à tangente trigonométrica da respetiva inclinação.

2.1. Identificar, fixada uma unidade de comprimento, dados os vetores não nulos ur

e vr

, o “produto

escalar (ou interno) de ur

e vr

” como o número OP OQ′× (respetivamente, o número – OP OQ′×) onde, fixado um ponto O , P O u= + r

, , Q O v Q ′= + r é a projeção ortogonal de Q na reta OP

, se OQ′uuuur

e O Puuur

tiverem o mesmo sentido (respetivamente, se tiverem sentidos contrários),

reconhecendo que este valor é independente da escolha do ponto O , identificar o produto

escalar de vetores ur

e vr

como nulo se um dos vetores for nulo e representar o produto escalar

de vetores ur

e vr

por “ u v⋅r r”.

2.2. Identificar, dados os vetores não nulos ur

e vr

, “ângulo dos vetores ur

e vr

” como qualquer ângulo

convexo, nulo ou raso, POQ, tal que u OP=uuurr

e v OQ=uuurr

, reconhecendo que têm todos a mesma

amplitude, designar também essa amplitude por “ângulo formado pelos vetores ur

e vr

”, quando

essa designação não for ambígua, e representá-la por “ �( ), u vr r

”.

2.3. Provar, dados os vetores ur

e vr

não nulos, que �( )cos , u v u v u v⋅ =r r r r r r .

2.4. Identificar os vetores ur

e vr

como “perpendiculares” quando um deles for nulo ou quando, não

sendo nulo nenhum dos dois, forem perpendiculares duas retas de vetores diretores

respetivamente iguais a ur

e a vr

, e indicar que ur

e vr

são perpendiculares escrevendo “ u v⊥r r

”.

2.5. Justificar, dados os vetores ur

e vr

, que 0⋅ = ⇔ ⊥r r r ru v u v

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2.6. Justificar, dado um vetor ur

, que 2

u u u⋅ =r r r .

2.7. Justificar, dados os vetores ur

e vr

, que u v v u⋅ = ⋅r r r r .

2.8. +Provar, dados os vetores ur

e vr

e um número real λ , que ( ) ( )u v u vλ λ⋅ = ⋅r r r r .

2.9. +Provar, dados os vetores , u vr r

e wr

, que ( )u v w u w v w+ ⋅ = ⋅ + ⋅r r r r r r r .

2.10. Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e os vetores ( )1 2, u u ur

e

( )1 2, v v vr

, que 1 1 2 2u v u v u v⋅ = +r r , começando por justificar que 1 1 2 2 1e e e e⋅ = ⋅ =

ur ur uur uur

e 1 2 0e e⋅ =ur uur

.

2.11. Provar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado, que duas retas de declives

respetivamente iguais a m e a m′ são perpendiculares se e somente se 1mm′ = − .

2.12. Justificar, fixado um referencial ortonormado do espaço e dados os vetores ( )1 2 3, , u u u ur

e

( )1 2 3, , v v v vr

do espaço, que 1 1 2 2 3 3u v u v u v u v⋅ = + +r r , começando por justificar que

1 1 2 2 3 3 1e e e e e e⋅ = ⋅ = ⋅ =ur ur uur uur ur ur

e 1 2 1 3 2 3 0e e e e e e⋅ = ⋅ = ⋅ =ur uur ur ur uur ur

.

4.1. +Resolver problemas envolvendo a noção de produto escalar de vetores.

4.2. +Resolver problemas relativos à determinação de equações de uma reta do plano em situações

diversas envolvendo a noção de perpendicularidade.

2.2. Equações de planos no espaço

2.2.1. Vetores normais a um plano

2.2.2. Paralelismo entre vetores e planos

2.2.3. Equações cartesianas, vetoriais e sistemas de

equações paramétricas de planos

3.1. Identificar um vetor vr

como “normal a um plano α ” se for nulo ou, não sendo nulo, se as retas

de vetor diretor vr

forem perpendiculares a α .

3.2. Justificar, dados os planos α e β e vetores vαr

e vβr

não nulos, normais, respetivamente a

α e β , que α e β são (estritamente) paralelos ou coincidentes se e somente se vαr

e vβr

forem colineares e α e β são perpendiculares se e somente se vαr

e vβr

forem

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0

2.2.4. Relação entre a posição relativa de dois planos e

os respetivos vetores normais

2.2.5. Resolução de problemas envolvendo a

determinação de equações de planos, em situações

envolvendo a noção de perpendicularidade e de

paralelismo

2.2.6. Resolução de problemas envolvendo equações de planos e de retas no espaço

perpendiculares.

3.3. Justificar, dado um vetor não nulo vr

normal a um plano α e um ponto 0P α∈ , que para todo o

ponto P do plano, 0 0P PP vα∈ ⇔ ⋅ =uuur r

.

3.4. Reconhecer, fixado um referencial ortonormado do espaço e dado um vetor não nulo

( )1 2 3, , v v v vr

e um ponto ( )0 0 0 0, , P x y z , que existe um único plano α que passa por 0P tal

que vr

é normal a α e provar que ( ), , P x y z α∈

se e somente se

( ) ( ) ( )1 0 2 0 3 0 0v x x v y y v z z− + − + − = .

3.5. Justificar que as equações da forma ax + by + cz + d = 0, onde , , , a b c d ∈� ,

( ) ( ), , 0, 0, 0a b c ≠ , são equações de planos e, reciprocamente, que qualquer plano admite

uma equação cartesiana daquela forma.

3.6. Justificar, dados , , , a b c d ∈� ,( ) ( ), , 0, 0, 0a b c ≠

, que o vetor de coordenadas( ), , a b c

é normal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0 .

3.7. Identificar, dado um plano α , um vetor vr

como “paralelo a α ” se vr

for nulo ou, não sendo

nulo, se for vetor diretor de uma reta de α .

3.8. +Provar, dado um plano α , um ponto 0P α∈ e dois vetores ur

e vr

não colineares paralelos a α, que para todo o ponto P do espaço, , :α∈ ⇔ ∃ ∈�P s t 0P P su tv= + +r r

e designar esta

equação por “equação vetorial do plano α ”.

3.9. Justificar, dado um plano α , um ponto ( )0 0 0 0, , P x y z α∈

e dois vetores ( )1 2 3, , u u u ur

e

( )1 2 3, , v v v vr

não colineares paralelos a α que, para todo o ponto P (x, y, z) do espaço, , :α∈ ⇔ ∃ ∈�P s t 0 1 1 0 2 2x x su tv y y su tv= + + ∧ = + + ∧ 0 3 3 = + +z z su tv e designar este

sistema de equações por “sistema das equações paramétricas do plano α ”.

4.3. +Resolver problemas relativos à determinação de equações de planos em situações diversas

envolvendo a noção de perpendicularidade e de paralelismo.

4.4. +Resolver problemas envolvendo equações de planos e de retas no espaço.

Estratégias: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito.

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1

Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas.

Domínio: SUC11

3 Sucessões

Conteúdos

Descritores (Metas Curriculares)

N.º de aulas de 45’

3.1. Sucessões de números reais

3.1.1.Conjuntos minorados, majorados e limitados

3.1.2. Máximo e mínimo de um conjunto.

3.1.3. Sucessões numéricas; sucessões monótonas,

majoradas, minoradas e limitadas

3.1.4. Resolução de problemas envolvendo o estudo da

monotonia e a determinação de majorantes e

minorantes de sucessões

3.1.5. Princípio de indução matemática

3.1.6. Definição de uma sucessão por recorrência

3.1.7. Demonstração de propriedades utilizando o

1.1. Identificar um subconjunto A de � como “majorado” quando existe um número real M tal

que , a A a M∀ ∈ ≤ e designar M por “majorante de A”.

1.2. Identificar um subconjunto A de � como “minorado” quando existe um número real m tal

que , a A a m∀ ∈ ≥ e designar m por “minorante de A “.

1.3. Identificar um subconjunto A de � como “limitado” quando for majorado e minorado.

1.4. Designar por “máximo” (respetivamente por “mínimo”) de um subconjunto A de � um

majorante (respetivamente um minorante) de A pertencente a A e justificar que se existir é

único.

2.1. Identificar uma “sucessão real” (ou simplesmente “sucessão” quando esta designação não for

ambígua) como uma função u de domínio � e de conjunto de chegada � , e representar

por “ nu ”, dito “termo geral da sucessão”, a imagem ( )u n de n∈� por u e por “ ( )nu n∈� ”

(ou simplesmente por “ ( )nu ”, ou ainda por “ nu ”, quando estas notações não forem ambíguas) a

18

Pá

gin

a1

2

princípio de indução matemática

3.1.8. Progressões aritméticas e geométricas; termos

gerais e somas de termos consecutivos

3.1.9.Resolução de problemas envolvendo progressões

aritméticas e geométricas

própria sucessão u .

2.2. Identificar uma sucessão ( )nu como “crescente” (respetivamente “decrescente”) quando o for

como função real de variável real, ou seja, quando para quaisquer 1 2, p p ∈ � ,

1 21 2 p pp p u u> ⇒ > (respetivamente 1 21 2 p pp p u u> ⇒ < ) e reconhecer que ( )nu é crescente

(respetivamente decrescente) se e somente se para todo n∈� , 1n nu u+ > (respetivamente

1n nu u+ < ).

2.3. Identificar uma sucessão ( )nu como “crescente (respetivamente decrescente) em sentido lato”

quando para quaisquer 1 2, p p ∈ � , 1 21 2 p pp p u u> ⇒ ≥ (respetivamente

1 21 2 p pp p u u> ⇒ ≤

) e reconhecer que ( )nu é crescente (respetivamente decrescente) em sentido lato se e somente

se para todo n∈� , 1n nu u+ ≥ (respetivamente 1n nu u+ ≤ ).

2.4. Identificar uma sucessão ( )nu como “majorada” se o conjunto { }: nu n∈� dos respetivos

termos for majorado e designar os majorantes deste conjunto também por “majorantes da

sucessão”.

2.5. Identificar uma sucessão ( )nu como “minorada” se o conjunto { }: nu n∈� dos respetivos

termos for minorado e designar os minorantes deste conjunto também por “minorante da

sucessão”.

2.6. Designar por “limitada” uma sucessão ( )nu simultaneamente majorada e minorada.

3.1. Saber, dada uma condição ( )T n , que a proposição ( ), n T n∀ ∈� é verdadeira se ( )1T for

verdadeira e se, além disso, para todo o ( ) ( ), 1∈ ⇒ +�n T n T n designar este resultado por

“princípio de indução matemática”, ( )T n , enquanto antecedente da implicação

( ) ( )1T n T n⇒ + , por “hipótese de indução” e a proposição n∀ ∈� , ( ) ( )1T n T n⇒ + por

“hereditariedade” da propriedade ( )T n e saber que o princípio de indução pode estender-se,

mutatis mutandis, fixado um número inteiro p e uma condição ( )T n , à demonstração da

proposição ( ) pn T n∀ ∈� , onde { }: p n n p= ∈ ≥� � .

3.2. Saber, dada uma função :f A A→ e a A∈ , que existe uma única sucessão ( )nu de

Pá

gin

a1

3

elementos de A tal que 1u a= e ( )1, n nn u f u+∀ ∈ =� , referir que estas condições definem a

sucessão ( )nu “por recorrência” e saber que estes resultados podem estender-se, mutatis

mutandis, à definição de funções de p� em A, onde { }: p n n p= ∈ ≥� � , também designadas

por “sucessões (indiciadas em p� )”

3.3. +Utilizar o princípio de indução para efetuar demonstrações.

4.1. Designar, dados , a r ∈ � , por “progressão aritmética de primeiro termo a e razão r” a sucessão

definida por recorrência por 1u a= e, para todo o 1, n nn u u r+∈ = +� .

4.2. Justificar que o termo geral da progressão aritmética de primeiro termo a∈� e de razão r∈�

é dado por ( )1nu a n r= + − .

4.3. Designar, dados , a r ∈ � , por “progressão geométrica de primeiro termo a e razão r” a

sucessão definida por recorrência por 1u a= e para todo o 1, n nn u u r+∈ = ×� .

4.4. Justificar que o termo geral da progressão geométrica de primeiro termo a e razão r não nula é dado por 1n

nu ar −= .

5.1. Designar, dado N∈� , por “progressão aritmética (finita) de comprimento N“ (respetivamente

“progressão geométrica (finita) de comprimento N“), a sequência ( )1 2, , ..., Nu u u “dos N

primeiros termos” de uma progressão aritmética (respetivamente geométrica) ( )nu .

5.2. +Reconhecer, dado N∈� , que a soma dos termos de uma progressão aritmética de

comprimento N , ( )1 2, , ..., Nu u u , é dada por 1

1 2

NN

ii

u uS u N

=

+= = ×∑ .

5.3. +Reconhecer, dado N∈� , que a soma dos termos de uma progressão geométrica de

comprimento N, de primeiro termo 1u e de razão r diferente de 1, é dada por 1

1

1

NrS u

r

−=−

.

7.1. +Resolver problemas envolvendo o estudo da monotonia e a determinação de majorantes e

minorantes de sucessões.

7.2. +Resolver problemas envolvendo progressões aritméticas e geométricas.

Pá

gin

a1

4

3.2. Limites de sucessões 3.2.1. Limite de uma sucessão (casos de convergência)

3.2.2. Unicidade do limite

3.2.3. Convergência e limitação

3.2.4. Limites infinitos

3.2.5. Limite de sucessões que diferem num número

finito de termos

3.2.6. Operações com limites e situações

indeterminadas

3.2.7. Levantamento algébrico de indeterminações

3.2.8. Limites de polinómios e de frações racionais

3.2.9. Limites lim na , ( )lim 0n a a > e ( )lim pn p ∈ �

• Resolução de problemas envolvendo limites de

sucessões

6.1. Identificar, dada uma sucessão ( )nu , um número real l como “limite da sucessão ( )nu ” ou como

“limite de nu quando n tende para + ∞ ” quando, para todo o número real 0>δ , existir uma

ordem p ∈� tal que , nn n p u l∀ ∈ ≥ ⇒ − <� δ , referir, nesta situação, que “ nu tende para l”

(“ →nu l ”), e designar a sucessão ( )nu por “convergente” quando um tal limite l existe e por

“divergente” quando não for convergente.

6.2. Provar que uma sucessão convergente ( )nu admite um único limite e representá-lo por “ lim nn

u→∞

”,

“ lim nn

u ” ou simplesmente por “lim nu ”.

6.3. +Reconhecer que as sucessões convergentes são limitadas.

6.4. Saber que uma sucessão crescente (respetivamente decrescente) em sentido lato e majorada

(respetivamente minorada) é convergente.

6.5. Identificar uma sucessão ( )nu como “tendo limite + ∞ “

( )lim , lim ou lim→ +∞

= +∞ = +∞ = +∞n n nn n

u u u quando, para todo o 0L > , existir uma ordem

p ∈� tal que , nn n p u L∀ ∈ ≥ ⇒ >� . Referir, nesta situação, que “ nu tende para + ∞ ” (“

nu → +∞ ”) e reconhecer que uma tal sucessão é divergente.

6.6. Identificar uma sucessão ( )nu como “tendo limite − ∞ ” ( lim nn

u→+∞

= −∞ , lim nn

u = −∞ ou

lim nu = −∞ ) quando, para todo o 0L > , existir uma ordem p ∈� tal que

, nn n p u L∀ ∈ ≥ ⇒ < −� . Referir, nesta situação, que “ nu tende para − ∞ ” (“ nu → −∞ ”) e

reconhecer que uma tal sucessão é divergente (e não tende para + ∞ ).

6.7. Reconhecer, dada uma sucessão ( )nu com limite l ∈� ou tendendo para + ∞ ou para − ∞

(respetivamente sem limite), que qualquer sucessão ( )nv que possa ser obtida de ( )nu ,

alterando apenas um número finito de termos, tem o mesmo limite (respetivamente não tem

limite).

6.8. +Provar, dada uma sucessão ( )nu limitada e uma sucessão ( )nv com limite nulo, que

lim 0n nu v = .

6.9. Provar, dados números reais a , b , c e d e utilizando a definição de limite, que o limite da

16

Pá

gin

a1

5

sucessão de termo geral n

an bu

cn d

+=+

( 0cn d+ ≠ para todo o n) é igual a a

c se 0c≠ , a + ∞

, se 0c= e 0a

d> , a − ∞ se 0c= e 0

a

d< e a

b

d ′ se 0a c= = , ou seja, em particular, que o

limite de uma sucessão constante é igual à própria constante.

6.10. Provar, utilizando a definição de limite, que, dado um número racional p , lim pn = +∞ se 0p >

e lim 0pn = se 0p < .

6.11. Provar, dadas duas sucessões ( )nu e ( )nv convergentes, com limites respetivamente iguais a 1l e

2l , que a sucessão ( )n nu v+ é convergente e que ( ) 1 2lim n nu v l l+ = + .

6.12. #Provar, dadas duas sucessões ( )nu e ( )nv convergentes, com limites respetivamente iguais a 1l

e 2l , que a sucessão ( )n nu v é convergente e que 1 2lim n nu v l l= .

6.13. #Provar, dada uma sucessão ( )nu convergente de termos não nulos, com limite 1l não nulo, que

1

1 1lim

nu l= e justificar que se for também dada uma sucessão ( )n n

v∈� convergente, com limite

2l , então a sucessão n

n

v

u

é convergente e 2

1

lim n

n

v l

u l= .

6.14. #Provar, dada uma sucessão convergente ( )nu e um número real a, que a sucessão de termo

geral na u é convergente e que ( )lim limn nau a u= .

6.15. #Provar, dada uma sucessão convergente ( )nu e um número racional r , que, se r ∈� , ou se os

termos da sucessão forem todos não negativos e r for positivo, ou ainda se os termos da sucessão

forem todos positivos, então a sucessão de termo geral ( )r

nu é convergente e

( ) ( )lim limr r

n nu u= .

6.16. Provar, dadas sucessões ( )nu e ( )nv , com limites respetivamente + ∞ e l ∈� (ou ambas com

Pá

gin

a1

6

limite + ∞ ), que ( )lim n nu v+ =+∞ e representar esta propriedade por “ l+∞ + = +∞” (ou por

“ ( )+∞+ +∞ =+∞ ”).

6.17. #Provar, dadas sucessões ( )nu e ( )nv , com limites respetivamente − ∞ e l ∈� (ou ambas

com limite − ∞ ), que ( )lim n nu v+ =−∞ e representar esta propriedade por “ l−∞ + = −∞”

(ou por “ ( )−∞+ −∞ =−∞ ”).

6.18. Justificar, dadas sucessões ( )nu e ( )nv , que apenas da informação lim nu = +∞ e

lim nv = −∞ nada se pode concluir acerca da existência de ( )lim n nu v+ e referir esta situação

por “indeterminação do tipo ( ) ( )+∞ + −∞ ”.

6.19. #Provar, dadas sucessões ( )nu , com limite + ∞ , e ( )nv com limite l +∈� ou + ∞

(respetivamente com limite l −∈� ou − ∞ ), que ( )lim n nu v =+∞ (respetivamente

( )lim n nu v =−∞) e representar estas propriedades por “ ( ) l+∞ × =+∞” e “

( ) ( )+∞ × +∞ =+∞” (respetivamente por “ ( ) l+∞ × =−∞ “ e “ ( ) ( )+∞ × −∞ =−∞”).

6.20. #Provar, dadas sucessões ( )nu , com limite − ∞ , e ( )nv com limite l +∈� (respetivamente com

limite l −∈� ou − ∞ ), que ( )lim n nu v =−∞ (respetivamente ( )lim n nu v =+∞) e representar

esta propriedade por “ ( ) l−∞ × =−∞” (respetivamente por “ ( ) l−∞ × =+∞” e “

( ) ( )−∞ × −∞ =+∞”).

6.21. #Provar, dada uma sucessão ( )nu com limite + ∞ e de termos não negativos (respetivamente

com limite − ∞ ) e um número racional r positivo (respetivamente r ∈� ), que a sucessão de

termo geral rnu tem limite + ∞ (respetivamente tem limite + ∞ se r for par e limite − ∞ se r

for ímpar) e representar esta propriedade por “ ( )r+∞ = +∞ ” (respetivamente por “

( )r−∞ = +∞ ” se r for par e por “ ( )r−∞ = −∞ ” se r for ímpar).

6.22. Justificar, dadas as sucessões ( )nu e ( )nv , que apenas da informação lim nu = +∞ (ou

lim nu = −∞ ) e lim 0nv = nada se pode concluir acerca da existência de ( )lim n nu v e referir

esta situação por “indeterminação do tipo 0∞ × ”.

Pá

gin

a1

7

6.23. #Provar, dada uma sucessão ( )nv de termos não nulos, positiva a partir de certa ordem, com

limite nulo (“ lim 0nv += ”), que 1lim

nv= +∞ e representar esta propriedade por “

1

0+ = +∞ ”.

6.24. #Provar, dada uma sucessão ( )nv de termos não nulos, negativa a partir de certa ordem, com

limite nulo (“ lim 0nv −= ”), que 1lim

nv= −∞ e representar esta propriedade por “

1

0− = −∞ ”.

6.25. #Provar, dada uma sucessão ( )nv de termos não nulos e a tender para + ∞ ou para − ∞ , que

1lim 0

nv= e representar esta propriedade por “

10=

∞”.

6.26. Justificar, dadas as sucessões ( )nu e ( )nv , que apenas da informação lim nu = ±∞ e

lim nv = ±∞ (respetivamente lim lim 0n nu v= = , em que ( )nv não se anula) nada se pode

concluir acerca da existência do limite lim n

n

u

v e referir esta situação por “indeterminação do tipo

∞∞

” (respetivamente “indeterminação do tipo 0

0”).

6.27. Justificar, dado um polinómio ( )P x de grau superior ou igual a 1, que a sucessão ( )( )n

P n∈�

é

tal que ( )limP n =+∞ se o coeficiente do termo de maior grau da forma reduzida de P for

positivo e que ( )limP n =−∞ no caso contrário.

6.28. Calcular, dadas as sucessões ( )( )n

P n∈�

e ( )( )n

Q n∈�

, em que ( )P x e ( )Q x são polinómios,

( )Q x sem raízes naturais, o limite ( )( )

limP n

Q n e relacioná-lo com os graus de ( )P n e ( )Q n e

com os coeficientes dos termos de maior grau das respetivas formas reduzidas.

6.29. +Provar, dado um número real a > 0, que lim na = +∞ se a > 1 e que lim 0na = se a < 1.

6.30. +Provar, dado um número real a > 0, que lim 1n a = , começando por observar, no caso de 1a≥

, que 1 1n

aa

n ≤ ≤ +

.

Pá

gin

a1

8

6.31. Saber de memória os limites das sucessões de termo geral ( ), p nn p a∈� e ( )0n a a > .

7.3. +Calcular, por meios algébricos, o limite de sucessões em situação indeterminada e referir esse

cálculo como um “levantamento da indeterminação”.

7.4. +Resolver problemas envolvendo a noção de limite de uma sucessão.

Estratégias: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas.

Pá

gin

a1

9

Domínio: FRVR11

4 Funções

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

4.1. Limites e continuidade 4.1.1. Pontos aderentes a um conjunto de números

reais

4.1.2. Limite de uma função num ponto aderente ao

respetivo domínio

4.1.3. Limites laterais

4.1.4. Limites no infinito

4.1.5. Operações com limites e casos indeterminados

4.1.6. Limite do produto de uma função limitada por

uma função de limite nulo

4.1.7. Limite de uma função composta

4.1.8. Levantamento algébrico de indeterminações

4.1.9.Função contínua num ponto e num subconjunto

do respetivo domínio

4.1.10. Continuidade da soma, diferença, produto e

quociente de funções contínuas

4.1.11. Continuidade de funções polinomiais, racionais

dadas por expressões da forma

( )( )

P x

Q x , onde P e Q

são polinómios, trigonométricas, raízes e potências

de expoente racional

4.1.12. Continuidade da composta de funções contínuas

4.1.13. Resolução de problemas envolvendo a noção de

limite e de continuidade de uma função real de

1.1. Identificar, dado um conjunto ⊂�A e ∈�a , a como “ponto aderente a A” quando existe uma

sucessão ( )nx de elementos de A tal que lim =nx a .

1.2. Identificar, dada uma função real de variável real f e um ponto ∈�a , ∈�b como “limite de

( )f x quando x tende para a” quando a for aderente ao domínio fD de f e para toda a

sucessão ( )nx de elementos de fD convergente para a , ( )lim =nf x b , justificar que um tal

limite, se existir, é único, representá-lo por “ ( )lim→−x a

f x “, referir, nesta situação, que “ ( )f x

tende para b quando x tende para a” e estender esta definição e propriedade ao caso de limites

infinitos.

1.3. Identificar, dada uma função real de variável real f e ∈�a , ∈�b como o “limite de ( )f x

quando x tende para a por valores inferiores a a” quando ] [ ( ) , lim | −∞→= ax a

b f x , representar b

por ( )lim−→x a

f x , designá-lo também por “limite de ( )f x à esquerda de a”, referir, nesta

situação, que “ ( )f x tende para b quando x tende para a por valores inferiores a a” e estender

esta definição ao caso de limites infinitos.

1.4. Identificar, dada uma função real de variável real f e ∈�a , ∈�b como o “limite de ( )f x

quando x tende para a por valores superiores a a” quando ] [ ( ) , lim | +∞→= ax a

b f x , representar b

18

Pá

gin

a2

0

variável real por ( )lim

+→x af x , designá-lo também por “limite de ( )f x à direita de a”, referir, nesta situação,

que “ ( )f x tende para b quando x tende para a por valores superiores a a” e estender esta

definição ao caso de limites infinitos.

1.5. Saber, dada uma função real de variável real f e um ponto a aderente ao respetivo domínio fD ,

que se ∉ fa D e se os limites ( )lim−→x a

f x e ( )lim+→x a

f x existirem e forem iguais, então existe o

limite ( )lim→x a

f x e que, nesse caso, ( ) ( ) ( )lim lim lim− +→ → →

= =x a x a x a

f x f x f x .

1.6. Saber, dada uma função real de variável real f e um ponto ∈ fa D , que se os limites ( )lim−→x a

f x e

( )lim+→x a

f x existirem e forem ambos iguais a ( )f a , então existe o limite ( )lim→x a

f x e que, nesse

caso, ( ) ( ) ( )lim lim lim− +→ → →

= =x a x a x a

f x f x f x .

1.7. Identificar, dada uma função real de variável real f cujo domínio não é majorado como “limite de

( )f x quando x tende para mais infinito” quando para toda a sucessão ( )nx de elementos de

fD com limite + ∞ , ( )lim =nf x b , justificar que um tal limite, se existir, é único, representá-lo

por ( )lim→+∞x

f x , referir, nesta situação, que “ ( )f x tende para b quando x tende para mais

infinito” e estender esta definição e propriedade ao caso de limites infinitos.

1.8. Identificar, dada uma função real de variável real f cujo domínio não é minorado como “limite de

( )f x quando x tende para menos infinito” quando para toda a sucessão ( )nx de elementos de

fD com limite − ∞ , ( )lim nf x b= , justificar que um tal limite se existir, é único, representá-

lo por ( )lim→−∞x

f x , referir, nesta situação, que “ ( )f x tende para b quando x tende para menos

Pá

gin

a2

1

infinito” e estender esta definição e propriedade ao caso de limites infinitos.

1.9. Justificar que os limites da soma, do produto e do quociente de funções : →�ff D e

: →�gg D e do produto por um escalar α e da potência de expoente racional r de uma

função : →�ff D , se calculam, em pontos aderentes aos domínios respetivamente de

, , , e α+ rff g f g f f

g a partir dos limites de f e g nesses pontos de forma análoga ao caso das

sucessões, reconhecendo que se mantêm as situações indeterminadas.

1.10. Justificar, dado ⊂ �D , funções : → �f D e : → �g D e um ponto a aderente a D, que se

( )lim 0→

=x a

f x e se g é limitada, então ( ) ( )lim 0→ = x a

f x g x e estender este resultado ao caso

de limites por valores superiores ou inferiores a a bem como ao caso de limites em ±∞ .

1.11. Justificar, dadas funções reais de variável real f e g e um ponto a aderente a og fD , que se

( )lim→

= ∈�x a

f x b e ( )lim→

= ∈�x b

g x c , então ( )( )lim→

=ox a

g f x c .

2.1. Justificar, dada uma função real de variável real f e um ponto a do respetivo domínio, que se o

limite ( )lim→x a

f x existe, então é igual a ( )f a .

2.2. Designar, dada uma função real de variável real f e um ponto a do respetivo domínio, a função f

por “contínua em a” quando o limite ( )lim→x a

f x existe.

2.3. Designar, dada uma função real de variável real f de domínio fD , a função f por “contínua no

conjunto ⊂ fA D ” quando é contínua em todos os pontos de A e simplesmente por “contínua”

quando é contínua em todos os pontos de fD .

2.4. Saber que se uma função real de variável real f de domínio fD for contínua em ∈ fa D e

Pá

gin

a2

2

( ) 0≠f a (respetivamente ( ) 0>f a ou ( ) 0<f a ), então existe uma vizinhança V de a tal que

f não se anula (respetivamente f é positiva ou f é negativa) em ∩ fV D .

2.5. Justificar que se as funções reais de variável real : →�ff D e : →�gg D são contínuas

num ponto a , então as funções +f g , −f g e ×f g são contínuas em a e, se ( ) 0≠g a , a

função f

g é contínua em a .

2.6. Designar por “função racional” uma função real de variável real dada por uma expressão da forma

( )( )

P x

Q x , em que P e Q são polinómios.

2.7. Justificar que as funções polinomiais e racionais são contínuas.

2.8. Justificar que as potências de expoente racional são contínuas.

2.9. Saber que as funções seno e cosseno são contínuas e justificar que a função tangente é contínua.

2.10. Justificar, dadas funções reais de variável real f e g e ∈og fa D , que se f é contínua em a e g é

contínua em ( )f a , então a função composta og f é contínua em a.

2.11. Justificar a continuidade de funções obtidas por aplicação sucessiva de operações de adição

algébrica, multiplicação, divisão e composição de funções “de referência para a continuidade”:

funções polinomiais, potências de expoente racional e as funções cosseno, seno e tangente.

4.2. +Calcular, por meios algébricos, limites de funções reais de variável real em situação de

indeterminação e referir um desses cálculos como um “levantamento da indeterminação”.

4.3. +Resolver problemas envolvendo a noção de limite e de continuidade de uma função real de

variável real.

Pá

gin

a2

3

4.2. Assíntotas. Funções racionais

4.2.1. Assíntotas verticais e assíntotas oblíquas ao

gráfico de uma função;

4.2.2. Resolução de problemas envolvendo a

determinação de assíntotas ao gráfico de funções

racionais e de funções definidas pelo radical de uma

função racional;

4.2.3. Resolução de problemas envolvendo a

determinação das assíntotas e da representação gráfica

de funções racionais definidas analiticamente por

( ) ( ), ,b

f x a a b cx c

= + ∈−

�

;

4.2.4. Resolução de problemas envolvendo o estudo

dos zeros e do sinal de funções racionais

3.1. Identificar, dado um referencial cartesiano, uma função real de variável real f e ∈�a , a reta de

equação x = a como “assíntota vertical ao gráfico de f ” quando pelo menos um dos limites laterais de f no ponto a for infinito.

3.2. Designar, dada uma função real de variável real f e um referencial cartesiano, a reta de equação ( , )= + ∈ �y mx b m b por “assíntota ao gráfico de f em + ∞ ” (respetivamente por “assíntota

ao gráfico de f em − ∞ ”) se ( ) ( )( )lim 0→+∞

− + =x

f x mx b (respetivamente se

( ) ( )( )lim 0→−∞

− + =x

f x mx b ) e designá-la, quando m = 0 , por “assíntota horizontal”.

3.3. Provar, dada uma função real de variável real f , que a condição ( )

lim→+∞

=x

f xm

x (respetivamente

( )lim→−∞

=x

f xm

x ) é necessária (mas não suficiente) para que exista uma reta de declive m que

seja assíntota ao gráfico de f em + ∞ (respetivamente − ∞ ).

4.5. +Resolver problemas envolvendo a determinação de assíntotas ao gráfico de funções racionais e de funções definidas pelo radical de uma função racional.

4.1. +Resolver problemas envolvendo o estudo de funções racionais.

4.4. +Resolver problemas envolvendo a determinação das assíntotas e da representação gráfica de

funções racionais definidas em { }\� c por ( ) = +−b

f x ax c

.

10

4.3. Derivadas de funções reais de vari ável real

4.3.1. Taxa média de variação de uma função;

interpretação geométrica

4.3.2. Derivada de uma função num ponto;

interpretação geométrica

4.3.3. Aplicação da noção de derivada à cinemática do

5.1. Identificar, dada uma função real de variável real f e dois pontos a e b do respetivo domínio, a

“taxa média de variação de f entre a e b” como ( ) ( )−

−f b f a

b a.

5.2. Justificar, dada uma função real de variável real f e dois pontos a e b do respetivo domínio, que o

declive da reta secante ao gráfico de f nos pontos ( )( ) , A a f a e ( )( ) , B b f b é igual à taxa

média de variação de f entre a e b. 5.3. Identificar, dada uma função real de variável real f e um ponto 0x do respetivo domínio, a “taxa

18

Pá

gin

a2

4

ponto: função -posição, velocidade média e velocidade

instantânea de um ponto que se desloca numa reta;

unidades de medida de velocidade

4.3.4.Função derivada. Função diferenciável num

conjunto

4.3.5. Sinal da derivada de funções monótonas

4.3.6. Continuidade de uma função diferenciável

4.3.7. Cálculo e memorização da derivada de uma função constante bem como das funções dadas pelas

expressões x , 2x ,

3x , 1

x e x 4.3.8. Derivada da soma e da diferença de funções

diferenciáveis e do produto de uma constante por uma

função diferenciável

4.3.9. Derivada do produto e do quociente de funções

diferenciáveis

4.3.10. Derivada da função composta

4.3.11. Derivada da função definida por ( ) nf x x= , n

inteiro

4.3.12. Cálculo da derivada de funções dadas por

( ) nf x x= (x não nulo se 1n > ímpar, 0x > se n par)

4.3.13. Cálculo e memorização das derivadas de

funções dadas por ( )f x x α= (α racional, 0x > )

4.3.14. Cálculo de derivadas de funções utilizando as

regras de derivação e as derivadas de funções de

referência

4.3.15. Resolução de problemas envolvendo a

determinação de equações de retas tangentes ao

gráfico de funções reais de variável real

instantânea de variação de f no ponto 0x ” como o limite ( ) ( )

0

0

0

lim→

−−x x

f x f x

x x , quando este existe

e é finito, designá-lo por “derivada de f no ponto 0x ”, representá-lo por “ ( )0′f x ” e, nesse caso,

identificar a função f como “diferenciável em 0x ” ou “derivável em 0x ”.

5.4. Justificar, dada uma função real de variável real f e um ponto 0x do respetivo domínio, que o

limite ( ) ( )

0

0

0

lim→

−−x x

f x f x

x x existe se e somente se o limite

( ) ( )0 0

0lim

→

+ −h

f x h f x

h existir e que,

nesse caso, ambos os limites são iguais.

5.5. Identificar, dada uma função real de variável real f diferenciável em 0∈ fx D e um referencial

ortonormado, a “reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( )0 0 0 , P x f x ” como a reta de declive

( )0′f x que passa por 0P e justificar, representando por ( )M x , ∈ fx D , o declive da reta

secante ao gráfico de f que passa pelo ponto 0P e pelo ponto ( )( ) , P x f x , que

( ) ( )0

0lim→

′=x x

M x f x .

6.1. Identificar, fixados um instante 0τ para origem das medidas de tempo, uma unidade de tempo T,

uma reta numérica r com unidade de comprimento L e um intervalo I, uma função : → �p I ,

como “função posição de um ponto P que se desloca na reta r durante o intervalo de tempo I” se,

para cada ( ), ∈t I p t for a abcissa do ponto de r que representa a posição que P ocupa, t

unidades de tempo T depois de 0τ se t > 0, ou t unidades de tempo T antes de 0τ se t < 0,

designando também por “instante”, neste contexto, cada ∈t I .

6.2. Identificar, fixados um instante 0τ para origem das medidas de tempo, uma unidade de tempo T ,

uma reta numérica r com unidade de comprimento L , um intervalo I , a função posição p de um ponto P que se desloca na reta r durante o intervalo de tempo I , e dados dois instantes 1 2<t t de

I , a “velocidade média de P no intervalo de tempo [ ]1 2 , t t na unidade L/T” como a taxa média

de variação p entre 1t e 2t , ( ) ( )2 1

2 1

−−

p t p t

t t , e , para ∈t I , a “velocidade instantânea de P no

instante t na unidade L/T” como a derivada de p em t , ( )′p t , caso exista.

7.1. Designar, dada uma função real de variável real f , a “função derivada de f ” como a função de

domínio { }: é diferenciável em ′ = ∈f fD x D f x que a cada ′∈ fx D faz corresponder ( )′f x .

Pá

gin

a2

5

4.3.16. Resolução de problemas envolvendo funções

posição, velocidades médias e velocidades

instantâneas e mudanças de unidades de velocidade

7.2. Identificar uma função real de variável real como “diferenciável num conjunto A” quando é

diferenciável em todos os pontos de A.

7.3. Justificar que se uma função real de variável real f é diferenciável num conjunto A e é crescente

(respetivamente decrescente), no sentido lado, nesse conjunto, então para todo ( ), 0′∈ ≥x A f x

(respetivamente ( ) 0′ ≤f x ).

7.4. Provar, dada uma função real de variável real f e um ponto a do respetivo domínio, que se f é

diferenciável em a, f é contínua em a e justificar que a recíproca não é verdadeira.

7.5. Provar, dado um conjunto ⊂�D e as funções reais de variável real : → �f D , : → �g D

diferenciáveis num ponto a de D e um número real k , que as funções f + g e k f são

diferenciáveis em a e que se tem ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′+ = +f g a f a g a e ( ) ( ) ( )′ ′=kf a kf a .

7.6. #Provar, dado um conjunto ⊂�D e as funções reais de variável real : → �f D , : → �g D

diferenciáveis num ponto a de D , que a função f g é diferenciável em a e que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′= +f g a f a g a f a g a .

7.7. #Provar, dado um conjunto ⊂�D e as funções reais de variável real : → �f D , : → �g D

diferenciáveis num ponto a de D , com ( ) 0≠g a , que a função f

g é diferenciável em a e que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2

′ ′ ′− =

f a g a f a g afa

g g a .

7.8. +Provar, dada uma função : → �ff D diferenciável num ponto ∈ fa D e uma função real de

variável real : → �gg D tal que ′ ⊂f gD D , diferenciável em ( )f a , que a função composta og f

é diferenciável em a e que ( ) ( ) ( ) ( )( )′ ′ ′= ×og f a f a g f a .

7.9. Calcular, utilizando a definição, uma expressão analítica para os valores das funções derivadas das

“funções de referência (para o cálculo de derivadas)” definidas por 2 3 1, , , x x x

x e x , ou

constantes, e saber de memória estes resultados.

7.10. Provar, dado um número natural n (respetivamente dado um número inteiro n negativo), que uma

função real de variável real f de domínio � (respetivamente de domínio { }\ 0� definida por

( ) = nf x x é diferenciável e que, para todo o ∈ fx D , ( ) 1−′ = nf x nx , considerando também estas

Pá

gin

a2

6

funções como “funções de referência (para o cálculo de derivadas)” e saber de memória este

resultado.

7.11. +Provar, dado um número natural par n (respetivamente dado um número natural ímpar n > 1),

que uma função real de variável real f de domínio +

� (respetivamente de domínio { }\ 0� )

definida por ( ) = nf x x é diferenciável e que, para todo o ∈ fx D , ( )1

1−

′ =n n

f xn x

.

7.12. Provar, para todo o número racional α , que uma função real de variável real f de domínio +

�

definida por ( ) α=f x x é diferenciável e que, para todo o ∈ fx D , ( ) 1αα −′ =f x x , considerando

também estas funções como “funções de referência (para o cálculo de derivadas)” e saber de

memória este resultado.

7.13. +Determinar, utilizando as regras de derivação e as derivadas das funções de referência, uma

expressão analítica para as derivadas de funções obtidas por aplicação sucessiva de operações de

adição algébrica, multiplicação, divisão e composição a funções de referência.

9.1. +Resolver problemas envolvendo a determinação de equações de retas tangentes ao gráfico de

funções reais de variável real.

9.2. +Resolver problemas envolvendo funções-posição, velocidades médias e velocidades instantâneas

e mudanças de unidades de velocidade.

4.4. Aplicações das derivadas ao estudo de

funções

4.4.1. Nulidade da derivada num extremo local de uma

função

4.4.2. Teorema de Lagrange; interpretação geométrica

4.4.3. Monotonia das funções com derivada de sinal

determinado num intervalo

4.4.4. Resolução de problemas envolvendo a aplicação

do cálculo diferencial ao estudo de funções reais de

variável real, a determinação dos respetivos intervalos

8.1. Provar, dada uma função real de variável real f com domínio contendo um intervalo ] [ , =I a b ,

(a < b), e diferenciável em 0 ∈x I , que se f atinge um extremo local em 0x então ( )0 0′ =f x e

dar um contraexemplo para a implicação recíproca.

8.2. Saber, dada uma função real de variável real f contínua em [a , b], (a < b), e diferenciável em ]a , b[

que existe ] [ , ∈c a b tal que ( ) ( ) ( )−′ =−

f b f af c

b a , interpretar geometricamente este

resultado e designá-lo por “Teorema de Lagrange”.

8.3. Justificar, utilizando o Teorema de Lagrange, que se uma função real de variável real f é contínua

num dado intervalo I de extremo esquerdo a e extremo direito b, diferenciável em ]a , b[ e,

] [ ( ) , , 0′∀ ∈ >x a b f x (respetivamente, ] [ ( ) , , 0′∀ ∈ <x a b f x ), então f é estritamente

crescente (respetivamente estritamente decrescente) no intervalo I .

12

Pá

gin

a2

7

de monotonia, extremos relativos e absolutos 8.4. Justificar, utilizando o Teorema de Lagrange, que se uma função real de variável real f é contínua

num dado intervalo I de extremo esquerdo a e extremo direito b, diferenciável em ]a , b[ e

] [ ( ) , , 0′∀ ∈ ≥x a b f x (respetivamente, ] [ ( ) , , 0′∀ ∈ ≤x a b f x ), então f é crescente em

sentido lato (respetivamente decrescente em sentido lato) no intervalo I .

8.5. Justificar que se uma função real de variável real f é contínua num dado intervalo I de extremo

esquerdo a e extremo direito b, diferenciável em ]a , b[ e, ] [ ( ) , , 0′∀ ∈ =x a b f x , então f é

constante em I .

9.3. +Resolver problemas envolvendo o estudo de funções reais de variável real, a determinação dos

respetivos intervalos de monotonia, extremos relativos e absolutos.

Estratégias: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Combinar métodos analíticos e gráficos no estudo de funções. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes.

Pá

gin

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8

Domínio: EST10

5 Estatística: características amostrais

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

5.1 Somatórios 5.1.1. Sinal de somatório. Representações na forma de

somatório

5.1.2. Propriedades dos somatórios

1.1. Designar, dado# ∈ ℕ e uma sequência de números reais %�&, ��, … , �(), a soma �& + �� + ⋯ +�(por «somatório de1 a #dos �,» (ou por «soma dos #termos da sequência», quando esta

designação não for ambígua), representá-la por «∑ �,(,.& », designar o símbolo « » por «sinal de

somatório» e, para 1 < 0 ≤ #, representar também por «∑ �,(,.2 » a soma

�2 , �23&, … , �((«somatório de0a# dos �,»). 1.2. Reconhecer, dados# ∈ ℕ, 4 ∈ ℝ , e uma sequência de números reais %�&, ��, … , �(), que a

igualdade ∑ 4�,�(,.& = 4 ∑ �,(

,.& , representa, no formalismo dos somatórios, a propriedade

distributiva da multiplicação relativamente à adição aplicada ao produto 4de pela soma das #parcelas �&, ��, … , �(.

1.3. Reconhecer, dados # ∈ ℕ, uma sequência de números reais %�&, ��, … , �()e um número natural

�tal que � < #, que a igualdade∑ �,(,.& = ∑ �,�,.& + ∑ �,(

,.�3& representa, no formalismo dos

somatórios, uma aplicação da propriedade associativa da adição à soma das #parcelas �&, ��, … , �(.

1.4. Reconhecer, dado# ∈ ℕ e sequências de números reais �,�&5,5(e6,�&5,5(, que a igualdade

representa, no formalismo dos somatórios, uma aplicação das propriedades associativa e comutativa da adição à soma das #parcelas�& + 6&, �� + 6� , … , �( + 6(.

7

5.2. Características amostrais

5.2.1. Propriedades da média de uma amostra

5.2.2. Desvios em relação à média

5.2.3. Soma dos quadrados dos desvios em relação

à média

5.2.4. Variância e desvio-padrão

5.2.5. Percentil de ordem 7, 7 ∈ ℕe7 ≤ 899

2.1. Interpretar uma dada variável estatística quantitativa em determinada população como uma função numérica definida na população, cujovalor em cada unidade estatística é o valor que mede a característica em estudo nesse elemento da população.

2.2. Representar, dada uma variável estatística quantitativa� em determinada população e uma amostra :de dimensão� ∈ ℕ dessa população cujos elementos estão numerados de 1a �, por «�,»o valor da variável �no elemento de :com o número ;, por «�~» a sequência �&, ��, … , ���, designá-la

por «amostra da variável estatística �» ou simplesmente por «amostra» e por «valores da amostra» os valores �,, 1 ≤ ; ≤ �, sempre que estes abusos de linguagem não forem ambíguos.

2.3. Representar, dado � ∈ ℕe uma amostra �~ = �&, ��, … , ���deuma variável estatística, por «�̅» a

média > ?@A

@BC� , designando-a igualmente por «média da amostra �~» sempre que este abuso de

linguagem não for ambíguo.

2.4. Representar, dado� ∈ ℕ e uma amostra �~ = �&, ��, … , ���com0valores1 ≤ 0 ≤ �, por «�D» o

conjunto dos valores da amostra, por �D&, �D�, … , �D2os elementos de�D, por

«�E» 1 ≤ F ≤ 0�o cardinal do conjunto G; ∈ H1, … , �I: �, = �DEJ, designar por �E«frequência absoluta

do valor �DE», e justificar que > �E = �2E.& e que �̅ = K ?DL�L

MLBC

� , designando esta última igualdade por

«fórmula da média para dados agrupados».

2.5. Representar, dado � ∈ ℕ, uma amostra �~ = �&, ��, … , ���e números reais ℎe �, por �� + ℎ~ a

amostra 6~

= ��& + ℎ, ��� + ℎ, … , ��� + ℎ�e justificar que 6O = ��̅ + ℎ.

11

Pré-requisitos

Sequências

Pá

gin

a2

9

2.6. Interpretar, dado � ∈ ℕ e uma amostra �~ = �&, ��, … , ���, a média de �~como a abcissa do

centro de gravidade de um segmento de reta no qual se colocou, para cada valor �DEda amostra, um

ponto material no ponto de abcissa�DEde massa igual à respetiva frequência absoluta �E.

2.7. Reconhecer que o valor da média de uma amostra�~ = �&, ��, … , ���nunca se mantém quando,

para um dado ; ∈ H1, … , �I, se altera o valor �,, e referir, por essa razão, que a média é uma característica amostral «com pouca resistência». 3.1. Designar, dado � ∈ ℕ, uma amostra �~ = �&, ��, … , ���e; ∈ H1, … , �I, por «desvio de �,em

relação à média» a quantidade �, − �̅, representá-la por «P,» e provar que ∑ P,�,.& = 0..

3.2. +Representar dado � ∈ ℕe uma amostra �~ = �&, ��, … , ���, por «RR?» a soma > �, −�,.&

�̅��dos quadrados dos desvios dos �,em relação à média e reconhecer que RR? = > �,�� − ��̅��,.& .

3.3. +Reconhecer, dado � ∈ ℕe uma amostra �~ = �&, ��, … , ���, que é possível calcular P�em

função de P&, P�, … , P�S&mas queP�só fica determinado se for conhecida a totalidade desses� − 1 desvios, e referir, por esta razão, que «RR?tem� − 1 graus de liberdade».

3.4. Justificar, dado � ∈ ℕe uma amostra �~ = �&, ��, … , ���, que seRR? = 0e somente se �& = �� =⋯ = ��.

3.5. Justificar, dado � ∈ ℕ, uma amostra �~ = �&, ��, … , ���e números reais ℎe T, que se 6~

= �~ +ℎ(respetivamente 6

~= T�~) entãoRRU = RR?(respetivamente RRU = T�RR?).

3.6. Justificar, dado� ∈ ℕ e uma amostra �~ = �&, ��, … , ���, queRR? = K %�DE − �̅)��E2E.&

,

onde�D&, �D�, … , �D2representam os 0valores da amostra�~e�Ea frequência absoluta de �DE.

3.7. Designar, dado� ∈ ℕ� > 1�e uma amostra �~ = �&, ��, … , ���,W?� = XXY�S&por «variância da

amostra �~» eW? = Z XXY�S&por «desvio-padrão da amostra �~».

3.8. Justificar, dado� ∈ ℕ� > 1�e uma amostra �~ = �&, ��, … , ���, que se W? = 0e somente se

�& = �� = ⋯ = ��.

3.9. Justificar, dados� ∈ ℕ� > 1�, uma amostra �~ = �&, ��, … , ���e números reais ℎe T, que se6~

=�~ + ℎ(respetivamente 6

~= T�~)entãoWU = W? (respetivamente WU = |T|W?).

3.10. Reconhecer, dada uma variável estatística quantitativa �em determinada população, uma amostra :de dimensão� > 1 dessa população e sendo �~ = �&, ��, … , ���uma amostra

correspondente da variável estatística �, que para todo o� > 0 a percentagem dos elementos da amostra :nos quais os valores da variável estatística têm desvios em relação à média superiores a

�desvios-padrão é inferior a &

\]e interpretar este resultado como tradução quantitativa da afirmação

segundo a qual o par �̅, W?�reflete a distribuição dos valores da amostra �~em termos de “localização”

Pré-requisitos

Medidas de localização

Diagrama de extremos e quartis

Organizar e representar dados em

histogramas

Pá

gin

a3

0

e de “dispersão”. 3.11. Reconhecer que para comparar a “dispersão” dos valores dos elementos de duas ou mais amostras em torno da média, faz sentido comparar as respetivas variâncias (ou os respetivos desvios-padrão), sempre que a característica quantitativa em análise seja a mesma nas diversas amostras e que a respetiva medida esteja calculada na mesma unidade.

3.12. Saber, dada uma população, que existem critérios que conduzem à recolha de amostras cujas médias e desvios-padrão são consideradas boas estimativas da média e do desvio-padrão da população. 4.1. Designar, dado� ∈ ℕ e uma amostra �~ = �&, ��, … , ���, por «amostra �~ordenada» a sequência

%�&�, ���, … , ���)tal que �&� ≤ ��� ≤ ⋯ ≤ ���, com os mesmos valores que a amostra �~, cada um

deles figurando na sequência um número de vezes igual à respetiva frequência absoluta enquanto valor da amostra �~.

4.2. Designar, dado � ∈ ℕ, uma amostra �~ = �&, ��, … , ���e um número natural �do intervalo

^0,100^, por «percentil de ordem �» o valor máximo da amostra se � = 100, a média dos elementos

de ordem \�

&__e\�

&__ + 1na amostra ordenada se � ≠ 100e \�

&__for inteiro, e nos restantes casos, o

elemento de ordem \�&__! + 1na amostra ordenada, (onde, para � ∈ ℝ, «a�^» designa a «parte inteira

de �», ou seja, o maior número natural inferior ou igual a �) e representá-lo por «b\». 4.3. Reconhecer, dado� ∈ ℕ e uma amostra �~ = �&, ��, … , ���, quebc_é igual à mediana de �~e saber

que também é usual definir o primeiro e o terceiro quartil de modo a coincidirem, respetivamente, com b�cebdc. 4.4. Designar, dados números naturais� e �, � ≤ 100, uma sequência crescente de números reais �&, ��, … , �2�e um conjunto de dados quantitativos organizados nos intervalos de classe a�, , �,3&a, que se supõem de igual amplitude ℎ > 0, por «percentil de ordem �», o número �tal que

∑ �,3& − �,�eS&,.& �, + � − �e��e = f&__ ∑ �,3& − �,�2,.& �,, ou seja, tal queℎ ∑ �,eS&,.& + � − �e��e =

\g�&__onde�,é a frequência absoluta do intervalo de classe a�, , �,3&aehé o maior número natural tal que

∑ �E ≤ \�&__

eS&,.& .

5.1. +Resolver problemas envolvendo a média e o desvio-padrão de uma amostra. 5.2. +Resolver problemas envolvendo os percentis de uma amostra.

ESTRATÉGIAS: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente.

Pá

gin

a3

1

Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas. Integrar a avaliação como processo de regulação, recorrendo à diversidade de instrumentos de avaliação.

Domínio: EST11

6 Estatística

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

6.1. Relações bidimensionais

6.1.1. Amostras bivariadas; variável resposta e variável

explicativa;

6.1.2. Nuvem de pontos de uma amostra de dados

bivariados quantitativos;

6.1.3.Reta de mínimos quadrados de uma sequência de

pontos do plano e de uma amostra de dados

bivariados quantitativos;

6.1.4. Coeficiente de correlação;

6.1.5. Resolução de problemas envolvendo a

determinação de retas de mínimos quadrados;

6.1.6. Resolução de problemas envolvendo amostras de

dados bivariados quantitativos e o cálculo e interpretação

dos coeficientes da reta de mínimos quadrados e do

coeficiente de correlação

1.1. Designar, fixado um referencial ortogonal num plano e dados um número natural n, uma

sequência ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 2 2 , , , , ..., , n n nP x y P x y P x y de pontos desse plano e uma reta t

de equação ( ) , = + ∈�y ax b a b por “desvio vertical do ponto ( ) , i i iP x y em relação à

reta t” { }( )1, ..., ∈i n a quantidade − −i iy ax b , interpretá-lo geometricamente e

representá-lo por “ ie ”.

1.2. Provar, fixado um referencial ortogonal num plano e dados um número natural n, uma

sequência ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 2 2 , , , , ..., , n n nP x y P x y P x y de pontos desse plano e uma reta t

de equação ( , )= + ∈ �y ax b a b , que as condições 1

0=

=∑N

ii

e e = −b y ax são

equivalentes, em que 1==∑

n

ii

xx

n e 1==

∑n

ii

yy

n.

1.3. +Reconhecer, fixado um referencial ortogonal num plano e dados um número natural n, uma

sequência ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 2 2 , , , , ..., , n n nP x y P x y P x y de pontos desse plano, não

pertencentes a uma mesma reta vertical, e uma reta t de equação = +y ax b , onde ∈�a

e = −b y ax , ou seja, tal que é nula a soma 1=∑

N

ii

e dos desvios verticais da sequência de

pontos em relação à reta t , que a função definida em � pela expressão

( ) ( )22

1 1= == = − −∑ ∑

n n

i i ii i

f a e y ax b atinge um mínimo absoluto no ponto

6

Pá

gin

a3

2

1=

−=∑

n

i ii

x

x y n x ya

SS e designar a reta t com esse declive (e ordenada na origem igual a

=y ax ) por “reta de mínimos quadrados” da sequência de pontos.

1.4. Identificar, dadas duas variáveis estatísticas quantitativas x e y em determinada população e

uma amostra A de dimensão ∈�n dessa população cujos elementos estão numerados de 1 a

n, a “amostra bivariada das variáveis estatísticas x e y” (ou simplesmente “amostra de dados

bivariados (quantitativos)”) como a sequência ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 , , , , ..., , n nx y x y x y ,

representá-la por “ ( ) , %

x y ” e designar por “dimensão da amostra bivariada” o número

natural n .

1.5. Determinar, em casos concretos de amostras de dados bivariados, qual das variáveis

estatísticas deverá ser tomada como independente e qual deve ser tomada como dependente,

utilizando argumentos que envolvam o conhecimento empírico das condicionantes físicas (ou

outras) que poderão ter determinado a estrutura de relação entre as duas variáveis

estatísticas.

1.6. Designar, dada uma amostra de dados bivariados, a variável considerada dependente por

“variável resposta” e a variável considerada independente por “variável explicativa”.

1.7. Designar, fixado um referencial ortonormado num plano, ∈�n e uma amostra de dados

bivariados quantitativos ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 , , , , , ..., , =%

n nx y x y x y x y , por “nuvem de

pontos” o conjunto ( ) ( ) ( )( ){ }1 1 1 2 2 2, , , , ..., , n n nP x y P x y P x y e saber que uma análise

visual e intuitiva da nuvem de pontos poderá permitir argumentar se será ou não adequada a

interpretação da relação entre as duas variáveis estatísticas através do ajustamento da reta de

mínimos quadrados.

1.8. Determinar, dada uma amostra de dados bivariados quantitativos e após a escolha da variável

resposta e da variável explicativa e, ainda, da avaliação empírica da possível existência de

relação linear entre as duas variáveis estatísticas mediante a observação da representação

gráfica da nuvem de pontos, o declive e a ordenada na origem da reta de mínimos quadrados.

1.9. Designar, dado um número natural n e uma amostra de dados bivariados quantitativos

Pá

gin

a3

3

( ) , %

x y por “coeficiente de correlação linear” o quociente

( )( )1=

− −∑n

i ii

x y

x x y y

SS SS , representá-

lo por “r”, reconhecer que = x

y

SSr a

SS em que a é o declive da reta de mínimos quadrados,

justificar que r e a têm o mesmo sinal e saber que r é sempre menor ou igual a 1, tomando

o valor 1 unicamente nos casos em que todos os pontos ( ), i i iP x y , 1≤ ≤i n , estão

alinhados e referir que a “associação linear entre as variáveis estatísticas” é positiva

(respetivamente negativa) se r > 0 (respetivamente de r < 0) e que é tão mais “forte” quanto

mais perto de 1 estiver r .

2.1. +Resolver problemas envolvendo a determinação da reta de mínimos quadrados.

2.2. +Resolver problemas cujo contexto seja o da análise de dados bivariados, envolvendo a

identificação da variável resposta e da variável explicativa e a análise empírica do ajustamento

da reta de mínimos quadrados.

2.3. +Resolver problemas envolvendo o cálculo e interpretação do coeficiente de correlação.

ESTRATÉGIAS: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas. Integrar a avaliação como processo de regulação, recorrendo à diversidade de instrumentos de avaliação.