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Imersão Matemática - Trigonometria

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1. (Fuvest) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:

2V(t) log (5 2 sen( t)), 0 t 2,π

em que t é medido em horas e V(t) é medido em

3m . A pressão máxima do gás no intervalo de tempo

[0, 2] ocorre no instante

a) t 0,4 b) t 0,5 c) t 1 d) t 1,5 e) t 2 2. (Unicamp) Seja x um número real, 0 x 2,π tal

que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão

aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a a) 1. b) 5 4.

c) 4 3.

d) 1 3.

3. (Mackenzie) O número de soluções que a equação

24 cos x cos2x cosx 2 admite no intervalo

[0, 2 ]π é

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4. (Unicamp) Considere o triângulo exibido na figura

abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e

ângulos ,α β e .γ

a) Suponha que a sequência ( , , )α β γ é uma

progressão aritmética (PA). Determine a medida do

ângulo .β

b) Suponha que a sequência (a, b, c) é uma

progressão geométrica (PG) de razão q 2.

Determine o valor de tan .β

5. (Mackenzie) Os gráficos das funções f(x) sen 4x

e g(x) cos 3x, para 0 x ,π se interceptam em

a) cinco pontos. b) quatro pontos. c) três pontos. d) dois pontos. e) apenas um ponto. 6. (Mackenzie) A soma das raízes da equação

cos2x cos4x 0, no intervalo [0, ],π é

a) 0

b) 2

π

c) π

d) 3

2

π

e) 2

3

π

7. (Mackenzie) Seja Se

e então x vale

a) somente 1 b) somente –1 c) –1 ou 0 d) –1 ou 1 e) 1 ou 0 8. (Fuvest) O triângulo AOB é isósceles, com

OA OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a

medida do ângulo ˆAOB, pode-se garantir que a área

do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados: tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679

tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317

a) 14 28θ b) 15 60θ c) 20 90θ d) 25 120θ e) 30 150θ 9. (Unesp) Determine o período da função f( )θ dada

pela lei de formação 1 2

f sen 1.5 3 3

πθ θ

10. (Mackenzie) Em , o domínio da função f,

definida por sen 2x

f(x) ,sen x

é

a) x | x k , kπ

b) x | 2k x 2k , kπ π π

c) 3

x | 2k x 2k , k2 2

π ππ π

2g x x xcos sen .β β

g x 03

,2

πβ



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d)

3x | 2k x 2k 2k x 2 2k , k

2 2

π ππ π π π π

e)

3x | 2k x 2k 2k x 2 2k , k

2 2

π ππ π π π π

11. (Unifesp) A sequência (12,a,b), denominada S1, e

a sequência (c,d,e), denominada S2, são progressões aritméticas formadas por números reais. a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo

de S1, a nova sequência de três números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa PG.

b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S2, a nova sequência que se forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine a razão r de S2, para o

caso em que r .2

ππ

12. (Fuvest) Sejam α e β números reais com

2 2π α π e 0 .β π Se o sistema de

equações, dado em notação matricial,

03 6 tg,

6 8 cos 2 3

α

β

for satisfeito, então α β é igual a

a) 3

π

b) 6

π

c) 0

d) 6

π

e) 3

π

13. (Mackenzie) O maior valor que o número real

10

sen x2

3

pode assumir é

a) 20

3

b) 7

3

c) 10 d) 6

e) 20

7

14. (Fuvest) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação

(cos2α) x2 - (4 cosα senβ) x +3

2

senβ = 0,

sendo á e â os ângulos agudos indicados no triângulo

retângulo da figura a seguir.

Pode-se então afirmar que as medidas de α e β são,

respectivamente,

a) 8

π e

3

8

π

b) 6

π e

3

π

c) 4

π e

4

π

d) 3

π e

6

π

e) 3

8

π e

8

π

15. (Fuvest) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos

ˆABC e ˆADC são retos, AB AD 1, BC CD 2 e

BD é uma diagonal.

O cosseno do ângulo ˆBCD vale

a) 3

5

b) 2

5

c) 3

5

d) 2 3

5

e) 4

5

16. (Fuvest) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na

figura, a hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC

mede 6cm.



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Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do

ângulo MAC é igual a

a) 2

7

b) 3

7

c) 2

7

d) 2 2

7

e) 2 3

7

17. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de

raio R e ângulo central .θ

a) Para 60 ,θ determine a razão entre as áreas do

círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r. 18. (Unesp) A figura representa a vista superior do

tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar

retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O

ponto P, localizado em AB, representa a posição de

uma bola de bilhar, sendo PB 1,5 m e PA 1,2 m.

Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta

colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do

ângulo PTB igual 60 . Após essa colisão, a bola

segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D.

Nas condições descritas e adotando 3 1,73, a

largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de a) 2,42. b) 2,08. c) 2,28. d) 2,00. e) 2,56.

19. (Unicamp) Considere um hexágono, como o

exibido na figura abaixo, com cinco lados com

comprimento de 1cm e um lado com comprimento de

xcm.

a) Encontre o valor de x.

b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.

20. (Fuvest) Uma bola branca está posicionada no

ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo.

A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do

segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L

mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser



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refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q,

forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o

mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois

da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de

.θ

21. (Unesp) O conjunto solução (S) para a inequação

22 cos x cos(2x) 2, em que 0 x ,π é dado por:

a) S x (0, ) | 0 x6

ππ

ou 5

x6

ππ

b) 2

S x (0, ) | x3 3

π ππ

c) S x (0, ) | 0 x3

ππ

ou 2

x3

ππ

d) 5

S x (0, ) | x6 6

π ππ

e) S x (0, )π

22. (Unicamp) Seja x real tal que cos x tg x. O

valor de sen x é

a) 3 1

.2

b) 1 3

.2

c) 5 1

.2

d) 1 5

.2

23. (Unicamp) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km. 24. (Unesp) Sabendo-se que

2 2cos 2x cos x – sen x, para quais valores de x a

função 1

f x cosx cos 2x2

assume seu valor

mínimo no intervalo 0 x 2 ?π

25. (Fuvest)

Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do

guindaste. O braço 1OP tem comprimento 6 e o braço

1 2P P tem comprimento 2. Num dado momento, a

altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor do que P1

e a distância de O a P2 é 2 10. Sendo Q o pé da

perpendicular de P2 ao plano do chão, determine

a) o seno e o cosseno do ângulo 2ˆP OQ entre a reta

2OP e o plano do chão;

b) a medida do ângulo 1 2ˆOP P entre os braços do

guindaste;

c) o seno do ângulo 1ˆP OQ entre o braço 1OP e o

plano do chão. 26. (Fuvest) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente,

Dados: 3 1,73; 2 1 cossen .

2 2

θ θ

a) 7 m b) 26 m c) 40 m d) 52 m e) 67 m 27. (Unicamp) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém

água até a altura 3

.4

a Inclina-se lentamente o cubo,

girando-o em um ângulo θ em torno de uma das

arestas da base, como está representado na figura abaixo.



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a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a

tangente do ângulo θ .

b) Considerando, agora, a inclinação tal que

tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π calcule o valor

numérico da expressão cos(2 ) sen(2 ).θ θ

28. (Fuvest)

No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o

comprimento do lado BC mede 15 /5 , o ângulo

interno de vértice C mede α , e o ângulo interno de

vértice B mede 2α . Sabe-se, também, que

2 cos(2 ) 3cos 1 0α α

Nessas condições, calcule

a) o valor de sen α ;

b) o comprimento do lado AC .

29. (Fuvest) O número real x, com 0 x , satisfaz

a equação 3 3log (1 cosx) log (1 cosx) 2 .

Então, cos2x sen x vale

a) 1

3

b) 2

3

c) 7

9

d) 8

9

e) 10

9

30. (Fuvest) Sejam x e y números reais positivos tais

que x y2

. Sabendo-se que 1sen y x3

, o

valor de 2 2tg y tg x é igual a

a) 3

2

b) 5

4

c) 1

2

d) 1

4

e) 1

8

31. (Unesp) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo.

Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura é:

a) 2 3

V t sen t .5 5

b) 3 5

V t sen t .5 2

c) 2

V t 0,6cos t .5

d) 2

V t 0,6sen t .5

e) 5

V t cos 0,6t .2

32. (Fuvest) Sejam x e y dois números reais, com

0 x2

π e y ,

2

ππ satisfazendo

4seny

5 e

11senx 5cos(y x) 3.

Nessas condições, determine

a) cos y.

b) sen2x.

33. (Fuvest) A figura representa um quadrado ABCD

de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede 5

,4

o

ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo

BAE. Nessas condições, o segmento DE mede



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a) 3 5

40

b) 7 5

40

c) 9 5

40

d) 11 5

40

e) 13 5

40

34. (Unifesp) Seja f a função (determinante) dada

por

cos(x) sen(x)

f(x) ,sen(x) cos(x)

com x real.

a) Num sistema cartesiano ortogonal, construa o

gráfico de y f(x).

b) Determine os valores de x para os quais

1f(x) .

f(x)

35. (Fuvest) Seja x no intervalo 0, 2

π

satisfazendo

a equação

tg x + 2

5

sec x= 3

2

.

Assim calcule o valor de:

a) sec x.

b) sen x . 4

π

36. (Fuvest) Para se calcular a altura de uma torre,

utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura:

um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no

solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio

em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo

determinado entre o raio e o solo foi de á =3

π

radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros

em direção à torre e o ângulo então obtido foi de â

radianos, com tg â = 3 3 .

É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é

a) 4 3

b) 5 3

c) 6 3

d) 7 3

e) 8 3

37. (Unesp) Dois edíficios, X e Y, estão um em frente

ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do

edifício X (ponto P), mede um ângulo á em relação ao

topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do

edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem

um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse

observador mede um ângulo â em relação ao ponto Q

no edifício Y.

Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tg α

= 4 tg β, a altura h do edifício Y, em metros, é:

a) 40

3.

b) 50

4.

c) 30. d) 40. e) 50.



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Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Pela equação de Clapeyron (da Química):

PV nRT

P pressão

V volume

n quantidade de matéria (nº mols)

R constante universal dos gases

T temperatura

Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamente proporcionais: a pressão do gás é máxima quando o volume é mínimo. Como a função logarítmica dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando o logaritmando for mínimo. Ou seja:

mín

logaritmando (5 2 sen( t))

f (t) 5 2 sen( t) sen( t) deve ser mínimo

3 3 3t 2k t 2k t 1,5

2 2 2

π

π π

ππ π

Resposta da questão 2: [D] Calculando:

1 2 3 2 1 3

2

2 2 2 2

PA a , a , a 2a a a

1 senx2sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cosx 2 sen x 2 2cosx

cos x cosx

sen x 1 cos x

1 cos x 2 2cosx 1 cos x 4 8cosx 4cos x 5cos x 8cosx 3 0

3cosx ou cos x 1 (não convém)

5

5 4sec x ; tgx

3 3

5 4 1PA r r

3 3 3

Resposta da questão 3: [D]

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

sen x

2

2

4cos x cos2x cos x 2

4cos x cos x sen x cosx 2

4cos x cos x sen x cosx 2

3cos x 1 cos x cosx 2

2cos x cosx 1 0

1 1 4 2 1cosx

2 2

1cosx

2 ou cosx 1

De 1

cosx , x 0,2 ,2

π

x3

π ou

5x .

3

π

De cos x 1, x 0,2 ,π

x .π

Assim, a equação

24cos x cos2x cosx 2, x 0,2 ,π admite três

soluções. Resposta da questão 4:

a) Se ( , , )α β γ é uma PA, então a soma de seus

termos será 180, pois a soma dos ângulos internos

de um triângulo é sempre 180 . Assim, pode-se

escrever:

PA ( , , ) ( r, , r)

r r 3S 180 180 3 60

2

α β γ β β β

β ββ β

b) Se (a, b, c) é uma PG de raiz q 2, então pode-

se escrever:

PG (a, b, c) (a, a 2, 2a)

Pela lei dos cossenos, tem-se:

2 22 2 2 2 3

a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos4

β β β

Pela relação fundamental:

2 2 2 29 7 7sen cos 1 sen 1 sen sen

16 16 4β β β β β

Por fim, calculando a tangente:

7sen 7 4 74tg tg

3cos 4 3 3

4

ββ β

β

Resposta da questão 5:

[A] As abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de

f e g são tais que

f(x) g(x) sen4x cos3x

sen4x sen 3x2

2kx , k

14 7

ou .

x 2k , k2

π

π π

ππ

Portanto, tomando 0 k 3, obtemos

5 9 13x , , , , ,

2 14 14 14 14

π π π π π correspondendo, assim, a

cinco pontos de interseção. Resposta da questão 6: [D]



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Lembrando que 2cos4k 2cos 2k 1, vem

2cos2x cos4x 0 2cos 2x cos2x 1 0

1cos2x ou cos2x 1

2

e

x [0, ]

5x ou x ou x .

6 2 6

π

π π π

Por conseguinte, a resposta é 5 3

.6 2 6 2

π π π π


[D]

Sabendo que e vem


[E]

Considere a figura, em que M é o ponto médio do

lado AB.

Do triângulo retângulo OMB, obtemos

BM ABtgMOB MO .

MO 2tg2

θ

Sem perda de generalidade, suponhamos que

AB 1. Assim,

AB MO 1(AOB) .

24 tg

2

θ

A área do quadrado ABCD é maior do que a área do

triângulo AOB se

2 1(ABCD) (AOB) 1

4 tg2

1tg 0,25.

2 4

θ

θ

Logo, como tg15 0,2679 0,25 e 0 180 ,θ

vem que 30 180 .θ Note que

]30 ,150 [ ]30 ,180 [.


2 2

P 32m

3

π ππ


[D]

O maior subconjunto dos números reais para o qual f está definida é tal que

sen2x 2senxcosx0 0.

senx senx

Como senx 0 para x k ,π k , vem

2senxcosx0 cosx 0.

senx

Portanto, o resultado pedido é

3D(f) x | 2k x 2k 2k x 2 2k , k

2 2

π ππ π π π π


a) Como (12, a,b) é uma progressão aritmética,

segue que

b 12

a b 2a 12.2

Além disso, sabendo que (12, a 1,b 5) é uma

progressão geométrica crescente, vem

2 2

2

(a 1) 12 (b 5) a 2a 1 12 (2a 7)

a 22a 85 0

a 17.

Portanto, a razão pedida é dada por

a 1 17 1

12 12

3.

2

b) Como (c, d, e) é uma progressão aritmética, segue

que e 2d c e r d c. Daí, sabendo que

senc send sene 0 e send 0, vem

sen(2d c) senc send 0

2d c c 2d c c2 sen cos send 0

2 2

2 send cos(d c) send 0 send (2 cosr 1) 0

1cosr

2

2r ,

3

π

3cos 0

2

π

3sen 1,

2

π

2 23 3x x cos sen 0 x 1 0

2 2

x 1.

π π



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pois r .2

ππ


[B] Efetuando o produto matricial, vem

0 3 tg 6cos 03 6 tg

6 8 cos 2 3 6 tg 8cos 2 3

3 tg 6cos 0

3 tg 4cos 3

2cos 3

3cos

2

rad.6

Desse modo,

3tg 6cos 0 tg 36

rad3

e, portanto,

rad.3 6 6


[D]

O número 10

sen x2

3

assume o seu maior valor

quando sen x for máximo, ou seja, quando senx 1.

Por conseguinte, o resultado pedido é

10 10 106.

sen x 1 52 2

3 3 3


[D] Resposta da questão 15:

[C] Considere a figura.

Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras,

encontramos

2 2 2 2 2AC AD CD AC 1 2

AC 5.

Desse modo, vem

CD 2cos ACD cos ACD .

AC 5

Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por

LAL, segue que BCD 2 ACD e, portanto,

2

2

cosBCD 2 cos ACD 1

22 1

5

3.

5

Resposta da questão 16: [B]

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC,

vem

2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6

AB 108

AB 6 3 cm.

Do triângulo ABM encontramos

BM 3 3tgBAM tgBAM .

6AB 6 3

É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM. Logo, obtemos

2

2

tgMAC tg(BAC BAM)

2 tgBAM tgBAM

1 2 tgBAM tgBAM

tgBAM

1 2 tg BAM

3

6

31 2

6

3 6

6 7

3.

7



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Resposta da questão 17: a) Considere a figura.

Como o círculo e o setor são tangentes

internamente, temos AC R, OB OC r e

BAO 30 . Logo, segue que

AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO,

vem

OB rsenBAO sen30

R rAO

r 1

R 3

Em consequência, a razão pedida é igual a

22

2

r r 26 .

60 R 3R

360

π

π

b) Se R 4r, então, do triângulo ABO, obtemos

r 1sen sen .

2 R r 2 3

θ θ

Por conseguinte, vem

2

2

cos 1 2sen2

11 2

3

7.

9

θθ


[A]

Vamos supor que PTB DTC. Assim, do triângulo

BPT, vem

BP 1,5tgPTB BT m.

1,73BT

Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos

CD 2,7tgCTD CT .

1,73CT

Em consequência, segue que o resultado pedido é

4,2BT CT 2,43 m.

1,73


a) Considere a figura.

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos

ABC, ACD, ADE e AEF, vem

2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,

2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,

2 2 2 2AE AD DE 3 1 4

e

2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1

x 5 cm.

b) É imediato que BAC 45 .

Do triângulo ACD, temos

CD 1tgCAD CAD arctg 45 .

2AC

Do triângulo ADE, vem

DE 1tgDAE DAE arctg 30 .

3AD

Do triângulo AEF, segue

EF 1tgE AF E AF arctg 30 .

4AE



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Portanto, tem-se

BAC CAD DAE EAF

45 45 30 30

150 .

α


Considere a figura, em que P' e Q' são,

respectivamente, os simétricos de P e Q em relação

a RT, com T pertencente a L.

Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R,

segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'.

Logo, RS 2 ST e, portanto, RT 3 ST.

Do triângulo PRT, vem

PTtg60 PT 3 3 ST

RT

e

PT 3 3 STsen60 PR

3PR

2

PR 6 ST.

Do triângulo PST, obtemos

PT 3 3 STtg tg

ST ST

tg 3 3.

α α

α

Sabendo que 2 2cossec 1 cotgα α e que α é

agudo, encontramos

22 1 27

cossec 1 sen283 3

3 21sen .

14

α α

α

Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo

QRS, vem

PRQR RS 2 ST2

sen sen sen3 21

14

21sen .

7

α θ θ

θ

Resposta da questão 21: [A]

2

2 2 2

2 2 2

2

2cos x cos 2x 2

2cos x cos x – sen x 2

2cos x cos x – 1– cos x 2

4cos x – 3

3 3cosx ou cosx

2

0

2

Logo, o conjunto solução será:

5S x (0, ) | 0 x ou x

6 6

π ππ π

Resposta da questão 22: [C]

Sabendo que senx

tgx ,cosx

com x k2

ππ e

2 2cos x 1 sen x, vem



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2

2

2

senxcosx tgx cosx

cosx

cos x senx

sen x senx 1

111senx

42

1 5senx

2 2

5 1senx .

2

Resposta da questão 23: [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro.

htan 15 h 3,8 tg 15

3,8


2 2

2 2

2

1f x cosx cos 2x

2

1f(x) cosx cos x sen x

2

1f(x) cosx (cos x 1 cos x)

2

1f(x) cos x cosx

2

Temos uma função do segundo grau na variável cosx. O valor do cosx para que f(x) seja mínimo será dado por:

1 1cosx cosx

2 1 2

Portanto, para

2 40 x 2 ,a função f(x) assume valor mínimo para x ou x = .

3 3

π ππ


a) 22 1 10

sen P ÔQ .102 10 10

10

103

100

90

100

101

10

101QOPcos

2

2

b) 2 2 2

1 2 2 1 2 1ÔPP 90 , pois OP PP OP

c) 1 2 2 1 2 2ˆ ÔPP OP Q, logo P OP P OQΔ Δ α

12 6 6 3Êntão, sen P OQ sen 2 2sen cos 2 .

10 52 10 2 10α α α

Resposta da questão 26: [B] Considere a figura, em que h é a diferença pedida.

Sabendo que 3

cos30 ,2

vem

2 2

31

30 1 cos30 2sen sen 152 2 2

2 1,73sen15

2

1 27sen15

2 100

1 3 1,73sen15

2 10

sen15 0,26.

Portanto,

h 100 sen15 100 0,26 26 m.


a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado:

a a14 4tg

a 2θ

b) Se tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π temos:



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2 2

2 2

1 4sen e cos

17 17

Logo, cos2 sen2 cos sen 2.sen .cos

4 1 1 4 16 1 8 72. .

17 17 17 1717 17 17 17

θ θ

θ θ θ θ θ θ

Resposta da questão 28: a) Observe o cálculo a seguir:

2 2

2

2

2

2.cos(2 ) 3.cos 1 0

2.(cos sen ) 3.cos 1 0

2.(2.cos 1) 3.cos 1 0

4cos 3.cos 1 0

25

1cos3 5

cos 48

cos 1(não coném)

1 15logo, sen = 1

4 4

α α

α α α

α α

α α

Δ

αα

α

α

b) traçando uma reta r representada na figura, temos:

15 5x

10cosx

15 5x1 10

4 x

10x 4 15 20x

30x 4 15

2 15x

15

α

Resposta da questão 29: [E]

3 3

23

2 2

2

2

log (1 cosx) log (1 cosx) 2

log (1 cos x) 2

1 cos x 3

11 cos x

9

8cos x

9

Portanto,

2 2

2 2

8 1 1sen x 1 sen x senx (0 x )

9 9 3

Calculando o valor pedido, temos:

8 1 1 10cos2x senx cos x sen x senx

9 9 3 9

π


[A] Como x e y são arcos complementares senx = cos y , seny = cosx e tgx = 1/tgy

sen (y – x ) = 1

3

seny.cosx – senx.cosy = 1

3

cosx.cosx – senx.cosx = 1

3

cos2x – sen2x = 1

3

cos2x – ( 1- cos2x) = 1

3

2.cos2x = 1

3+ 1

cos2x = 2

3

e sen2x = 1 – cos2x

logo sen2x = 1

3

e tg2x =

113

2 2

3

logo, tg2y = 2 Portanto: tg2y – tg2 x = 2 – ½ = 3/2 Resposta da questão 31:

[D]

O período da função é 2 2

5 5

π π.

Como as taxas de inalação e exalação são 6, temos a função :



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2y 0,6 sen .x

5

π. A função não poderia ser

2y 0,6 cos .x

5

π, pois, se x for zero, o y deveria

ser 0,6. Resposta da questão 32:

a) 2

2 24 9 3 3cos y 1 cos y cosy cosy

5 25 5 5

(segundo quadrante)

b) Desenvolvendo a expressão

11senx 5cos(y x) 3, temos:

2

11 senx 5(cos y cos x senx seny) 3

3 411senx 5 cos x senx 5 3

5 5

11senx 3cos x 4senx 3

15senx 3cos x 3 (dividindo por 3)

5senx cos x 1

5senx 1 cos x (elevando os dois membros ao quadrado)

25sen x 1 2 co

2

2 2

sx cos x

25(1 cos x) 1 2 cos x cos x

Desenvolvendo temos:

213cos x cos x 12 0, resolvendo temos

12cosx

13 ou cosx 1 (não convém)

22 12 5

sen x 1 senx13 13

ou

5senx

13

(não convém)

Sabendo que sen2x 2 senx cosx, temos:

5 12 120sen2x 2

13 13 169

Resposta da questão 33: [D]

2 2

554tg

1 4

5 2 52

2 tg 8 54 4tg(2 )11 111 tg 5

1 164

1 1 11tg(90 2 )

tg(2 ) 8 5 8 5

11

α

αα

α

αα

No triângulo ADE, temos:

11 DE 11 5DE

1 408 5


a)

b) k

x , k2

π


a) 5

2

b) 3 10

10


[C] Resposta da questão 37:

[D]


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