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FNT

AULA 6FUNÇÃO SENO E COSSENO

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CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Chama-se circunferência

trigonométrica a circunferência de

raio unitário (R=1), com centro na origem de um

sistema cartesiano.R = 1

360º = 2π rad

180° = π rad

1º = π/ 180 rad

1 rad = 180º/π

-1 +1

+1

-1

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SENO E COSSENO

Tomando uma reta qualquer que vai da origem até um ponto qualquer da circunferência trigonométrica temos que cos(a) =x’ / R e sen(a) = y’ / R

R = 1

-1 +1

+1

-1

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SENO E COSSENO

Como na circunferência trigonométrica R =1, temos apenas que o valor de cos(a) como sendo a componente do ponto P em x e o valor de sen(a) como sendo a componente do ponto P em y.

O x’

y’

a

R = 1

P

Tem-se que: cos(a) = x’ / R cos(a) = cateto adjacente

hipotenusa

sen(a) = y’ / Rsen (a) = cateto oposto hipotenusa

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FUNÇÃO SENO

Na figura abaixo, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

+1

-1

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FUNÇÃO SENO

Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função seno é periódica de período fundamental T=2π.

-1 < sen(x) < 1

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PERÍODO E FREQUÊNCIA DE UM SINAL SENOIDAL

PERÍODO E FREQUÊNCIA

O TEMPO QUE A FUNÇÃO NECESSITA PARA COMPLETAR UM CICLO CHAMA-SE PERÍODO, DADO EM SEGUNDOS (s)

O NÚMERO DE VEZES QUE UM CICLO SE REPETE CHAMA-SE FREQUÊNCIA (f), É DADO EM Hertz (Hz) OU, AINDA, ABREVIADO POR cps

V ou i

1 Hertz

¼ ½ 1

¾ (s)

V ou i

¼ ½ ¾ 1

2 Hertz

(s)

f = 1 / T e T = 1 / f

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FUNÇÃO COSSENO

O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.

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FUNÇÃO COSSENO

Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função cosseno é periódica de período fundamental T=2π.

-1 < cos(x) < 1

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RESUMINDO SENO E COSSENO

-1 +1

+1

-1

GRAUS SENO COSSENO

0 = 360 0 1

90 1 0

180 0 -1

270 -1 0

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RESUMINDO SENO E COSSENO

180° 0°

90°

270°

GRAUS SENO COSSENO

30 0,5 0,866

60 0,866 0,5

120 0,866 -0,5

150 -0,5 -0,866

210 -0,5 -0,866

240 -0,86 -0,5

300 (-60°) -0,866 0,5

330 (-30°) -0,5 0,866

1º. Q2º. Q

3º. Q 4º. Q

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RESUMINDO SENO E COSSENO

SENO

2 1/2

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RESUMINDO SENO E COSSENO

COSSENO

1/2

1/2

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EXERCÍCIOS

1. EXPRESSE EM GRAUS:

A) 10π rad B) π rad C) π rad D) 4π rad 9 9 20 3

Resp.: A) 200° B) 20° C) 9° D) 240°

2. DETERMINE, EM RADIANOS, A MEDIDA DE MENOR ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO ÀS 4 HORAS.

360° / 12 = 30°

90° (12 a 3) + 30° (3 a 4) = 120°

Em radianos:

π - 180° tem-se : x = 2π radx - 120° 3

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EXERCÍCIOS

3. DETERMINE OS VALORES DE:A) y = 3cos540° - 2sen90°

cos540° = cos180° = -1

sen90° = 1

y = 3 . (-1) – 2. (1) = (-3) – 2 = -5

B) y = 4sen900° - 2cos630° + cos720°

sen900° = sen180° = 0

cos630° = cos270° = 0

cos720° = cos0° = 1

y = 4 . (0) – 2. (0) + 1 = 1

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EXERCÍCIOS

4. DETERMINE OS VALORES MÁXIMO E MÍNIMO DAS EXPRESSÕES:

A) y = 4cosx +1 B) y = 2 – 5senx C) y = -3sen²x + 2 3 5

IMPORTANTE

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EXERCÍCIOS

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EXERCÍCIOS

5. SENDO x UM ARCO DO 2º. QUADRANTE E senx = 3/5, DETERMINE cosx

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APLICAÇÃO - REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA

MATEMÁTICAMENTE, OS GRÁFICOS DA TENSÃO SENOIDAL NOS DOMÍNIOS TEMPORAL E ANGULAR PODEM SER REPRESENTADOS POR:

v(t) = Vp . sen ῳt e v(ϴ) = Vp . sen ϴ

ONDE:v (t) = v (ϴ), valor da tensão no instante t ou para o ângulo ϴ (em v)Vp = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em v)ῳ = frequência angular (em rd/s)ϴ =ângulo (em rd)

FREQUÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR: ῳ corresponde à variação do ângulo ϴ do sinal em função do tempo.

ϴ = ῳt , portanto quando ϴ = 2π, tem –se que t = T , então 2π = ῳT

ῳ = 2π ou ainda ῳ = 2π.f T

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EXEMPLO APLICATIVO

0,25 0,5 0,75 1,0

(s)

5v

-5v

Vp = 5v ; Vpp = 10v

T = 0,25s

f = 4Hz ou 4cps

ῳ = 2π. f = 2π. 4 = 8π rd/s

v (t) = Vp . sen ῳt portanto v (t) = 5 . sen 8πt

PARA SE SABER O VALOR DA TENSÃO, POR EXEMPLO, EM t = 0,6s:

v (t) = 5. sen (8π.0,6) = 2,94v

2,94

0,6

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IMPORTANTE

NEM SEMPRE UM SINAL SENOIDAL INICIA O SEU CICLO NO INSTANTE t =0, NESTE CASO A EXPRESSÃO COMPLETA DEVE

INCLUIR ESSA FASE INICIAL:

v (t) = Vp . sen (ῳt + ϴ0)

SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ADIANTADO, ϴ0 É POSITIVO; SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ATRASADO, ϴ0 É NEGATIVO

SINAL ADIANTADO SINAL ATRASADO

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EXERCÍCIOS

1. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v1(t) = 10.sen (20000πt + π/3)

a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 20000π / 2πf = 10000 Hz = 10kHz

b) T = 1 / f = 1 / 10k = 0,1 ms T = 100μs

c) para t =0, v1(0) = 10. sen π/3 v1 = 8,66v

d) O sinal inicia o seu ciclo adiantado de π/3 rd

t (μs)

100

10v

8,66v

x

x = π/3 rd-10v

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EXERCÍCIOS

2. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v2(t) = 15.sen (8000πt - 30°)

a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 8000π / 2πf = 4000 Hz = 4kHz

b) T = 1 / f = 1 / 4k = 0,25 ms T = 250μs

c) para t =0, v2(0) = 15. sen (-30°) v2 = -7,5v

d) O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° ou π/6 rd

t(μs)250

y

15v

-15vy = -30°

-7,5v

v

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DEFASAGEM

É MUITO COMUM CONHECER A DIFERENÇA DE FASE (DEFASAGEM) ENTRE DOIS SINAIS DE MESMA FREQUÊNCIA,

TOMANDO-SE UM DOS SINAIS COMO REFERÊNCIA

a) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + π/2) volts v2 (t) = 5000.sen ῳt volts

A DEFASAGEM DE v1 EM RELAÇÃO A v2 É DE ∆ϴ = π/2 rd OU A DEFASAGEM DE v2 EM RELAÇÃO A v1 É DE ∆ϴ = -π/2 rd

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b) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + 90°) volts v2 (t) = 5000.sen (ῳt + 90°) volts

DEFASAGEM

A DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS É ZERO, OU SEJA, OS SINAIS ESTÃO EM FASE

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DEFASAGEM

c) v1 (t) = 10 sen(ῳt) volts v2 (t) = 5 sen (ῳt + 180°) v

A DEFASAGEM É DE 180°

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EXERCÍCIO t

1. Dado o gráfico das tensões senoidais, pedem-se para ambos os sinais:A) O valor de pico e o valor de pico a picoB) Período, frequência e frequência angular;C) Defasagem entre as senóides;D) Expressão matemática

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO t

1) DETERMINAR OS VALORES DE :

A) seno 4290° e desenhar no círculo trigonométrico onde está localizado este ângulo.

B) cos 3555° e sen 3555° e desenhar no círculo trigonométrio onde está localizado este ãngulo.

C) sen -17π / 6

D) cos 9π / 4

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO t

3) Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade cos(x)=2m-1 e sen(x)=2m-5?

4) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 º, a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício. 

5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, qual altura o avião se encontra ?

2) Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, qual é o valor de sen(x)?

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO t

6) Para  as seguintes tensões senoidais, v1(t) e v2(t) pedem-se: a)  freqüência angular (w),  freqüência (f),   período (T)  b) angulo de fase inicial c) obter a soma das duas tensões.        v1(t) =  15.sen(2π103.t ) volts    v2(t) =  20.sen(2π103.t  + π/2 ) volts ).

a) Da expressão de v1 obtemos que  w1=2π103 rd/s  e como w=2πf,  obtemos f1=1000Hz=1KHz e  T1=1ms=0,001s.

O  valor de pico desta tensão é Vp=15V, angulo de fase inicial   ϴ=0º

b) Para v2 temos que  w=2π103 rd/s  e portanto f2=1000Hz=1KHz, e  T2=1ms=0,001s

o  valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial  ϴ=90º=π/2.

A defasagem entre os dois sinais é de 90º

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO t

7) Representar as seguintes tensões senoidais: v1( t ) = 155 sen (120πt – π/4) volts v2 ( t ) = 155 sen (120πt) volts

Tensão v1:  Vp=155V  , w1=120π rd/s ,    f1= 60Hz  logo T1=1/f1 =1/60=16,66ms,   angulo de fase inicial         ϴ= -45º= -π/4 t = 0   v1(0) = 155. sen (-π/4) = - 108,5 volts

Tensão v2:    Vp =155V , w2=120π rd/s ,    f2=60Hz  logo T2=1/f2 =1/60=16,66ms ,    angulo de fase inicial   ϴ=0º. 

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO t