FNT AULA 6 FUNÇÃO SENO E COSSENO. CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Chama-se circunferência...
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FNT
AULA 6FUNÇÃO SENO E COSSENO
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Chama-se circunferência
trigonométrica a circunferência de
raio unitário (R=1), com centro na origem de um
sistema cartesiano.R = 1
360º = 2π rad
180° = π rad
1º = π/ 180 rad
1 rad = 180º/π
-1 +1
+1
-1
SENO E COSSENO
Tomando uma reta qualquer que vai da origem até um ponto qualquer da circunferência trigonométrica temos que cos(a) =x’ / R e sen(a) = y’ / R
R = 1
-1 +1
+1
-1
SENO E COSSENO
Como na circunferência trigonométrica R =1, temos apenas que o valor de cos(a) como sendo a componente do ponto P em x e o valor de sen(a) como sendo a componente do ponto P em y.
O x’
y’
a
R = 1
P
Tem-se que: cos(a) = x’ / R cos(a) = cateto adjacente
hipotenusa
sen(a) = y’ / Rsen (a) = cateto oposto hipotenusa
FUNÇÃO SENO
Na figura abaixo, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.
+1
-1
FUNÇÃO SENO
Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função seno é periódica de período fundamental T=2π.
-1 < sen(x) < 1
PERÍODO E FREQUÊNCIA DE UM SINAL SENOIDAL
PERÍODO E FREQUÊNCIA
O TEMPO QUE A FUNÇÃO NECESSITA PARA COMPLETAR UM CICLO CHAMA-SE PERÍODO, DADO EM SEGUNDOS (s)
O NÚMERO DE VEZES QUE UM CICLO SE REPETE CHAMA-SE FREQUÊNCIA (f), É DADO EM Hertz (Hz) OU, AINDA, ABREVIADO POR cps
V ou i
1 Hertz
¼ ½ 1
¾ (s)
V ou i
¼ ½ ¾ 1
2 Hertz
(s)
f = 1 / T e T = 1 / f
FUNÇÃO COSSENO
O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
FUNÇÃO COSSENO
Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função cosseno é periódica de período fundamental T=2π.
-1 < cos(x) < 1
RESUMINDO SENO E COSSENO
-1 +1
+1
-1
GRAUS SENO COSSENO
0 = 360 0 1
90 1 0
180 0 -1
270 -1 0
RESUMINDO SENO E COSSENO
180° 0°
90°
270°
GRAUS SENO COSSENO
30 0,5 0,866
60 0,866 0,5
120 0,866 -0,5
150 -0,5 -0,866
210 -0,5 -0,866
240 -0,86 -0,5
300 (-60°) -0,866 0,5
330 (-30°) -0,5 0,866
1º. Q2º. Q
3º. Q 4º. Q
RESUMINDO SENO E COSSENO
SENO
2 1/2
RESUMINDO SENO E COSSENO
COSSENO
1/2
1/2
EXERCÍCIOS
1. EXPRESSE EM GRAUS:
A) 10π rad B) π rad C) π rad D) 4π rad 9 9 20 3
Resp.: A) 200° B) 20° C) 9° D) 240°
2. DETERMINE, EM RADIANOS, A MEDIDA DE MENOR ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO ÀS 4 HORAS.
360° / 12 = 30°
90° (12 a 3) + 30° (3 a 4) = 120°
Em radianos:
π - 180° tem-se : x = 2π radx - 120° 3
EXERCÍCIOS
3. DETERMINE OS VALORES DE:A) y = 3cos540° - 2sen90°
cos540° = cos180° = -1
sen90° = 1
y = 3 . (-1) – 2. (1) = (-3) – 2 = -5
B) y = 4sen900° - 2cos630° + cos720°
sen900° = sen180° = 0
cos630° = cos270° = 0
cos720° = cos0° = 1
y = 4 . (0) – 2. (0) + 1 = 1
EXERCÍCIOS
4. DETERMINE OS VALORES MÁXIMO E MÍNIMO DAS EXPRESSÕES:
A) y = 4cosx +1 B) y = 2 – 5senx C) y = -3sen²x + 2 3 5
IMPORTANTE
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
5. SENDO x UM ARCO DO 2º. QUADRANTE E senx = 3/5, DETERMINE cosx
APLICAÇÃO - REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
MATEMÁTICAMENTE, OS GRÁFICOS DA TENSÃO SENOIDAL NOS DOMÍNIOS TEMPORAL E ANGULAR PODEM SER REPRESENTADOS POR:
v(t) = Vp . sen ῳt e v(ϴ) = Vp . sen ϴ
ONDE:v (t) = v (ϴ), valor da tensão no instante t ou para o ângulo ϴ (em v)Vp = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em v)ῳ = frequência angular (em rd/s)ϴ =ângulo (em rd)
FREQUÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR: ῳ corresponde à variação do ângulo ϴ do sinal em função do tempo.
ϴ = ῳt , portanto quando ϴ = 2π, tem –se que t = T , então 2π = ῳT
ῳ = 2π ou ainda ῳ = 2π.f T
EXEMPLO APLICATIVO
0,25 0,5 0,75 1,0
(s)
5v
-5v
Vp = 5v ; Vpp = 10v
T = 0,25s
f = 4Hz ou 4cps
ῳ = 2π. f = 2π. 4 = 8π rd/s
v (t) = Vp . sen ῳt portanto v (t) = 5 . sen 8πt
PARA SE SABER O VALOR DA TENSÃO, POR EXEMPLO, EM t = 0,6s:
v (t) = 5. sen (8π.0,6) = 2,94v
2,94
0,6
IMPORTANTE
NEM SEMPRE UM SINAL SENOIDAL INICIA O SEU CICLO NO INSTANTE t =0, NESTE CASO A EXPRESSÃO COMPLETA DEVE
INCLUIR ESSA FASE INICIAL:
v (t) = Vp . sen (ῳt + ϴ0)
SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ADIANTADO, ϴ0 É POSITIVO; SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ATRASADO, ϴ0 É NEGATIVO
SINAL ADIANTADO SINAL ATRASADO
EXERCÍCIOS
1. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v1(t) = 10.sen (20000πt + π/3)
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 20000π / 2πf = 10000 Hz = 10kHz
b) T = 1 / f = 1 / 10k = 0,1 ms T = 100μs
c) para t =0, v1(0) = 10. sen π/3 v1 = 8,66v
d) O sinal inicia o seu ciclo adiantado de π/3 rd
t (μs)
100
10v
8,66v
x
x = π/3 rd-10v
EXERCÍCIOS
2. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v2(t) = 15.sen (8000πt - 30°)
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 8000π / 2πf = 4000 Hz = 4kHz
b) T = 1 / f = 1 / 4k = 0,25 ms T = 250μs
c) para t =0, v2(0) = 15. sen (-30°) v2 = -7,5v
d) O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° ou π/6 rd
t(μs)250
y
15v
-15vy = -30°
-7,5v
v
DEFASAGEM
É MUITO COMUM CONHECER A DIFERENÇA DE FASE (DEFASAGEM) ENTRE DOIS SINAIS DE MESMA FREQUÊNCIA,
TOMANDO-SE UM DOS SINAIS COMO REFERÊNCIA
a) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + π/2) volts v2 (t) = 5000.sen ῳt volts
A DEFASAGEM DE v1 EM RELAÇÃO A v2 É DE ∆ϴ = π/2 rd OU A DEFASAGEM DE v2 EM RELAÇÃO A v1 É DE ∆ϴ = -π/2 rd
b) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + 90°) volts v2 (t) = 5000.sen (ῳt + 90°) volts
DEFASAGEM
A DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS É ZERO, OU SEJA, OS SINAIS ESTÃO EM FASE
DEFASAGEM
c) v1 (t) = 10 sen(ῳt) volts v2 (t) = 5 sen (ῳt + 180°) v
A DEFASAGEM É DE 180°
EXERCÍCIO t
1. Dado o gráfico das tensões senoidais, pedem-se para ambos os sinais:A) O valor de pico e o valor de pico a picoB) Período, frequência e frequência angular;C) Defasagem entre as senóides;D) Expressão matemática
EXERCÍCIOS DE REVISÃO t
1) DETERMINAR OS VALORES DE :
A) seno 4290° e desenhar no círculo trigonométrico onde está localizado este ângulo.
B) cos 3555° e sen 3555° e desenhar no círculo trigonométrio onde está localizado este ãngulo.
C) sen -17π / 6
D) cos 9π / 4
EXERCÍCIOS DE REVISÃO t
3) Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade cos(x)=2m-1 e sen(x)=2m-5?
4) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 º, a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício.
5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, qual altura o avião se encontra ?
2) Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, qual é o valor de sen(x)?
EXERCÍCIOS DE REVISÃO t
6) Para as seguintes tensões senoidais, v1(t) e v2(t) pedem-se: a) freqüência angular (w), freqüência (f), período (T) b) angulo de fase inicial c) obter a soma das duas tensões. v1(t) = 15.sen(2π103.t ) volts v2(t) = 20.sen(2π103.t + π/2 ) volts ).
a) Da expressão de v1 obtemos que w1=2π103 rd/s e como w=2πf, obtemos f1=1000Hz=1KHz e T1=1ms=0,001s.
O valor de pico desta tensão é Vp=15V, angulo de fase inicial ϴ=0º
b) Para v2 temos que w=2π103 rd/s e portanto f2=1000Hz=1KHz, e T2=1ms=0,001s
o valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial ϴ=90º=π/2.
A defasagem entre os dois sinais é de 90º
EXERCÍCIOS DE REVISÃO t
7) Representar as seguintes tensões senoidais: v1( t ) = 155 sen (120πt – π/4) volts v2 ( t ) = 155 sen (120πt) volts
Tensão v1: Vp=155V , w1=120π rd/s , f1= 60Hz logo T1=1/f1 =1/60=16,66ms, angulo de fase inicial ϴ= -45º= -π/4 t = 0 v1(0) = 155. sen (-π/4) = - 108,5 volts
Tensão v2: Vp =155V , w2=120π rd/s , f2=60Hz logo T2=1/f2 =1/60=16,66ms , angulo de fase inicial ϴ=0º.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO t