Geometrie euclidiana - prezentarea cursului

Lector Dr. Oana Constantinescu

Recapitulare semestrul I

I In primul semestru ati studiat elemente de algebra liniara si de

geometrie a�na.

I Cadrul de lucru pentru cursul de geometrie a fost un spatiu

a�n arbitrar, A = (X ,−→X ,Φ), predominand aplicatiile pentru

cazul �nit dimensional.

I Ati putut discuta doar proprietati de intersectie, coliniaritate,

paralelism.

I Mai mult, ati studiat grupul automor�smelor a�ne ale unui

spatiu a�n dat, cu subgrupurile sale importante: subgrupul

automor�smelor centro-a�ne, subgrupul translatiilor, subgrupul

omotetiilor de acelasi centru, subgrupul dilatarilor.

I Amintindu-va ecuatiile unui mor�sm a�n in raport cu doua

repere a�ne �xate, cat si formulele schimbarii de coordonate la

schimbarea de repere a�ne, observati ca putem identi�ca o

schimbare de reper a�n cu un automor�sm a�n (si reciproc).

I Putem introduce astfel o relatie de echivalenta pe multimea

�gurilor geometrice: doua �guri geometrice sunt echivalente

daca exista un automor�sm a�n ce aplica prima �gura in

cealalta.

I Astfel, orice doua segmente sunt echivalente in geometria

a�na.

Geometria euclidiana

I Practic, a studia geometria a�na inseamna a studia acele

proprietati ale �gurilor geometrice care raman invariante prin

actiunea automor�smelor a�ne.

I In ce consta geometria euclidiana? Vom inzestra spatiul liniar

director−→X al spatiului a�n A = (X ,

−→X ,Φ) cu un produs

scalar, deci <,>:−→X ×

−→X → R o forma biliniara, simetrica, cu

forma patratica asociata pozitiv de�nita.

I Acest lucru ne va permite introducerea unei functii distante pe

X , d : X × X → R+. Astfel (X , d) devine un spatiu metric.

I Folosindu-ne de rezultatele invatate la spatiile liniare

euclidiene, putem studia proprietati legate de lungimi de

segmente, masuri de unghiuri, distante intre doua subspatii

a�ne, cu cazul particular al distantei de la un punct la un

hiperplan, volumul unui p-simplex si al unui p-paralelipiped.

I Vom de�ni notiunile de subspatii a�ne euclidiene

perpendiculare si normale, vom determina generalizari ale unor

rezultate cunoscute din gimnaziu, precum teorema lui Pitagora

ori teorema celor trei perpendiculare.

I Pentru cazul spatiilor a�ne euclidiene �nit dimensionale, vom

completa tipurile de ecuatii pentru subspatii a�ne cu situatia in

care se dau un punct si o directie normala.

I Rolul grupului automor�smelor a�ne va � luat de grupului

izometriilor: acele aplicatii f : X → X ce pastreaza distanta

dintre orice doua puncte ale lui X . Ne va interesa in special

clasi�carea izometriilor planului si spatiului a�n euclidian trei

dimensional.

I Astfel, geometria euclidiana va reprezenta studiul acelor

proprietati geometrice care sunt invariante la actiunea grupului

izometriilor.

I In a doua jumatate a cursului vom studia hipercuadricele unui

spatiu a�n euclidian si clasi�carea metrica a acestora:

I conicele unui plan a�n euclidian, mai intai pe ecuatii reduse,apoi pe ecuatii generale (caz particular cercul)

I cuadricele unui spatiu a�n euclidian 3-dimensional (cazparticular sfera).

Bibliogra�e recomandata:

1. I. Pop, Geometrie a�na, euclidiana si proiectiva, Editura

Universitatii �Al. I. Cuza�, Iasi, 1999.

2. L. Ornea, A. Turtoi, O introducere in geometrie, Editura

Theta, Bucuresti 2011.

3. M. Craioveanu, I. D. Albu, Geometrie a�na si euclidiana,

Editura Facla, Timisoara, 1982.

4. I. Pop , Ghe. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica, Ed.

Plumb, Bacau, 2000.

5. C. Ionescu-Bujor, O. Sacter, Exercitii si probleme de geometrie

analitica si diferentiala, vol. 1,2, Editura Didactica si

Pedagogica, Bucuresti, 1963.

6. O.N. Tuberbiller, Probleme si exercitii de geometrie analitica,

Editura Tehnica, Bucuresti, 1952.

7. E. Murgulescu N. Donciu V. Popescu, Geometrie Analitica In

Spatiu Si Geometrie Diferentiala Culegere de Probleme,

Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1974.

Conditii examen

1. Nota �nala la obiectul �Geometrie euclidiana� consta in media

aritmetica dintre nota pe activitatea din timpul semestrului si

nota la examenul �nal.

2. Nota pe activitatea din timpul semestrului consta din nota la

lucrarea scrisa ce va avea loc in saptamana a VII-a, (teorie si

aplicatii din toata materia predata), nota ce se poate mari cu

maxim 2 puncte pentru activitatea la seminar si predarea unor

teme.

3. Nota la examenul �nal este media aritmetica intre nota la

examenul scris (aplicatii si teorie din a doua jumatate a

cursului) si nota la examenul oral (doar teorie).

4. Pentru a putea da examenul studentii trebuie sa aiba 50%

prezenta la curs si seminar si minim nota 5 la activitatea din

timpul semestrului.

5. Necunoasterea unui subiect din urmatoarea lista de cunostinte

minimale duce automat la pierderea examenului.

Lista de cunostinte minimale

1. De�nitia spatiului a�n si a spatiului a�n euclidian, exemple.

2. De�nitia produsului scalar pe un spatiu liniar, a normei induse

de acesta, proprietatile normei.

3. Calculul produsului scalar, vectorial, mixt al unor vectori liberi.

4. De�nitia functiei distanta pe un spatiu a�n euclidian si

proprietatile ei.

5. Ecuatiile dreptei si a planului ca subspatii a�ne euclidiene

intr-un spatiu a�n euclidian trei dimensional. Ecuatiile dreptei

intr-un plan a�n euclidian.

6. De�nitia mor�smului a�n. De�nitia izometriei intre doua spatii

a�ne euclidiene. Exemple de izometrii.

7. Conice pe ecuatii reduse: de�nitia lor ca loc geometric,

reprezentarea gra�ca, recunoasterea tipului de conica dupa

ecuatii.