MATRICE INVERSABILE ÎN MN(ℂ)

CUPRINS:

DEFINIŢIEDefinitie: O matrice A ϵ Mn(ℂ) se numeste inversabila in in Mn(ℂ) pe

scurut inversabila) daca exista o matrice B ϵ Mn(ℂ) astfel incat AB=BA=In

Observatii:• Pentru o matrice de A ϵ Mn(ℂ) exista cel mult o matrice B ϵ Mn(ℂ) cu proprietatea din enunt.Intr-adevar,daca Ab=BA=In si AC=CA=In cu B,C ϵ Mn(ℂ) atunci B=B In=B(AC)=(BA)C=InC=C.De aceea ,daca A este inversabila,matricea B din definitie este unica.Ea se noteraza cu A-1 si se noteaza inversa lui A.• Daca inlocuim,in definitie ,multimea ℂ cu una din multimile ℝ , ℚ, sau ℤ obtinem notiunea de inversabilitate pentru matricele patratice peste ℝ , ℚ, si respectiv ℤ.

Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din Mn(ℂ),iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare pentru matricele patratice peste ℝ, ℚ, si respectiv ℤ.

Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din Mn(ℂ) ,iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare a inversei unei matrice inversabile.

Avem nevoie,mai intai , de urmatoarea propozitie. Cuprins

Daca A=(aij) ϵ Mn(ℂ) atunci, pentru orice i ≠ j avem:

Ai1 Г+ai2 Г+...+ain Гjm=0 si a1i+ Г1j+a2i Г2j +...+ani Гnj =0,

(deci suma produselor elementelor unei linii si complementii

algebrici ai elementelor altei linii este zero, proprietate

adevarata si pentru coloane).

Demonstratie.Consideram matricea B obtinuta din A

prin inlocuirea liniei j cu linia j cu linia i a matricei A,linia i

ramanand aceeasi .Deoarece matricele A si B difera,cel mult

,prin linia j atunci complementii algebrici ai elementelor

corespunzatoare e pe linia j din cele doua matrice sunt aceeasi

.Dezvoltand determinantul matricei B dupa linia j obtinem : det

B=aij Гj1 +ai2 Гj2 ...+ain Гjn .Pe de alta parte,matricea B are liniile i

si j egale.Atunci det B=0 si demonstratia este incheiata .Pentru

coloane demonstratia se face analog.

PROPOZIŢIE

Cuprins

TEOREMĂ

O matrice A ϵ Mn (ℂ) este inversabila in Mn daca si numai daca det A≠0.

Demonstratie.( ⇒).Deoarece A∙A-1=In rezulta ca det(A∙A-1)=detIn=1.Din

proprietatea 6 a determinantilor obtinem detA∙detA-1=1,deci, in particular ,

detA≠0.

( ⇒)Fie A=(aij).

Γ11 Γ21 … Γn1

Γ12 Γ22 … Γn2

Notam cu A* matricea Γ13 Γ23 … Γn3 ,obtinuta din A prin

inlocuirea

… … ... …

Γ1n Γ2n … Γnn

elementului aij cu Γji (deci cu complementul algebric al elementului aij).

Daca A∙A*=(bik) atunci bik=ijΓkj , ∀ i,k

∊{1,2,….,n}. Din proprietatea 5 a determinantilor

(dezvoltarea dupa linie) si propozitia anterioara

rezulta bii=detA , ∀ i ∊{1,2,….,n} si bik=0, ∀ i,k

∊{1,2,….,n} cu i≠k . Obtinem A∙A*=(detA)∙In si

analog A*∙A=(detA)∙In . Deoarece det A≠0

rezulta ca A∙ ∙A* = ∙A* ∙A=In . In consecinta,

matricea A este

inversabila si A-1 = A*.

Cuprins

OBSERVAŢII

Matricea se numeşte matricea adjunct(reciprocă)

asociată matricei A.Ea este,de fapt,matricea transpusă a

complemenţilor algebrici ai elementelor lui A şi se mai

poate obţine astfel:se consideră matricea şi se

înlocuieşte fiecare element al ei cu complementul

algebric.

Matricea Aϵ(ℝ) atunci det Aϵ ℝ si ϵ (ℝ).În ipoteza că

det A≠0 atunci = este o matrice pătratică peste ℝ,deci A

este inversabilă în (ℝ).Proprietatea se păstrează dacă

înlocuim multimea ℝ cu multimea ℚ.În

consecinţă,teorema anterioară caracterizează şi

matricele inversabile din (ℝ) si (ℚ).

În cazul matricilor pătratice peste ℤeste adevărat următorul rezultat:

Aϵ (ℤ) este inversabilă în (ℤ) daca şi

numai dacă det A≠±1.

Într-adevar,dacă A este inversabilă

în (ℤ) atunci,cum matricile A şi au

elemente întregi,rezultă că det A ϵ ℤ şi

det ϵ ℤ.Deoarece det A ∙ det

=1,deducem că det A =±1.

Reciproc,dacă det A =±1 rezultă că A

este inversabilă în (ℚ) şi

==±Complemenţii algebrici ai

elementelor lui A sunt numere întregi şi

în consecinţă elementele lui ,deci şi ale

lui sunt numere întregi.

Cuprins

MECANISM DE DETERMINARE

Cuprins

EXEMPLE

=

A= . Vom arăta că A este inversabilă şi vom determina .

Avem det A=.

Calculăm complemenţii algebrici ai elementelor lui A si obţinem

matricea adjunctă =

Inversa matricei A este ∙ (ℂ).

=* =9 0

Se da:

Să observăm că dacă matricea A este gîndită în M3(ℝ)

sau M3(ℚ) concluzia este aceeaşi. Cum A-1 ϵM3 (ℚ)

rezultă că A este inversabilă inM3(ℝ) sau M3 (ℚ).

Nu acelaşi lucru se întîmplă dacă privim matricea A in

M3(ℤ). Determinantul ei nu este -1 sau 1,

Deci A nu este inversabilă în M3(ℤ). De altfel, se

observă cu usurinţă că A-1∉M3(ℤ)

Cuprins

Cuprins

Exercitii Propuse

Cuprins