Geometria odwzorowan´ inz˙ynierskich rzut cechowany...

Scriptiones GeometricaVolumen I (2014), No. 7, 1–18.

Geometria odwzorowan inzynierskichrzut cechowany 07

Edwin Kozniewski

Zak lad Informacji Przestrzennej

1. Definicja rzutu cechowanego

Rys. 07-01: Definicja rzutu cechowanego: a) aparat rzutujacy rzutu cechowanego:p laszczyzna π - rzutnia, jednostka miary (1j); a1) a) aparat rzutujacy rzutu cechowanegopo wyborze kierunku i punktu zerowego ( oczywiscie na rzutni) czyli osi liczbowej; rzut pros-tokatny fπ(X) = X ′, punktu X na p laszczyzne π; a2 ÷ a4) rzut prostokatny ω(X) = x

punktu X na os liczbowa R (na rysunku: x = 3, zatem rzutem punktu X jest punkt wraz zcecha X ′(3))

Rzut cechowany znajduje zastosowanie w odwzorowaniu powierzchni topograficznych.Metoda ta jest po laczeniem geometrycznego rzutu prostokatnego i analitycznego odwzorowa-nia prostej na zbior liczb rzeczywistych R. Jest to bowiem odwzorowanie f : E

3 7→ π × R,

Edwin Kozniewski c© 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 7, rzut cechowany

Rys. 07-02: Ilustracja pogladowa aparatu rzutujacego rzutu cechowanego: a) Ilustracjapogladowa rzutu cechowanego prostej; a’) rzut cechowany prostej; b) Ilustracja pogladowaodwzorowania p laszczyzny w rzucie cechowanym; b’) odwzorowanie p laszczyzny w rzucie ce-chowanym. Cyfry oznaczajace punkty maja dwojaki sens - oznaczaja identyfikator punktu iceche

gdzie f = (fπ, ω), przy czym fπ jest rzutem prostokatnym przestrzeni euklidesowej E3 na

paszczyzne π , zas (ω) jest odwzorowaniem przestrzeni euklidesowej E3 na dowolnie wybrana

prosta R (dok ladniej os liczbowa) prostopad la do rzutni π. Mamy f(X) = (fπ(X), ω(X)). Oz-naczajac fπ(X) = X ′, ω(X) = x otrzymujemy zapis f(X) = (X ′, x), ktory jeszcze skracamydo X ′(x). Punkt X ′ jest rzutem prostokatnym punktu X na p laszczyzne π, liczbe x nazywamycecha punktu X. Symbol X ′(x) oznaczac bedzie rzut cechowany punktu X na p laszczyzne π

(Rys. 07-01). Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne. Rzeczywiscie wystarczy popa-trzec na zapis wzajemnie jednoznacznych odwzorowan: g : E

3 ←→ R3, h : R

3 ←→ R2 × R,

h1 : R2 ←→ π. Rzut cechowany, jako ze jego sk ladowa jest rzut prostokatny, ma wszystkie

niezmienniki rzutu prostokatnego.

2. Rzut cechowany prostej

Rysunek 07-02 przedstawia ilustracje pogladowa aparatu rzutujacego rzutu cechowanego orazilustracje pogladowa rzutu cechowanego prostej i odwzorowania p laszczyzny w rzucie ce-chowanym. Na odwzorowanej, w rzucie cechowanym, prostej (Rys. 07-02) zaznaczono rzutykilku punktow. Prosta jednak jest jednoznacznie odwozorowana, gdy dane sa rzuty jej dwochroznych punktow (Rys. 07-03). W odniesieniu do prostej wprowadza sie niezwykle pozytecznepojecie modu lu. Modu lem ml prostej l nazywamy d lugosc (zmierzona dana jednostka) od-cinka bedacego rzutem takiego odcinka prostej l, ktorego konce maja cechy rozniace sie o 1.Stopniowanie prostej polega na wyznaczaniu rzutow punktow tej prostej o kolejnych cechach

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 7, rzut cechowany 3

Rys. 07-03: Zestopniowanie prostej i rownoczesne wyznaczenie modu lu prostej: b) ilustracjastopniowania prostej poprzez k lad boczny prostej (obrot prostej l doko la jej rzutu l′ o kat 90o,warto porownac z k ladem trapezowym odcinka w rzutach Monge’a), w k ladzie widoczny katnachylenia prostej do rzutni i nachylenie: nl = tgϕ = 1

ml

; a1 ÷ a2) podzia l odcinka AB natrzy rowne czesci poprzez wybranie dowolnej po lprostej o poczatku B i odmierzenia na niejtrzech rownych odcinkow (ilustruja to okregi o rownych promieniach); a3) ÷ a5) realizacjapodzia lu za pomoca twierdzenia Talesa; a6) zestopniowana prosta, modu l prostej - to d lugoscjednego z odcinkow {[AC], [CD], [DB]} (AC = CD = DB) zmierzona jednostka

ca lkowitych (Rys. 07-03). Wykonujemy je w celu znalezienia modu lu prostej lub realizacjiinnych konstrukcji, na przyk lad konstrukcji poprowadzenia p laszczyzny przez prosta.Nachyleniem nl prostej l nazywamy tangens kata jaki tworzy prosta l z rzutnia π. Modu lprostej jest odwrotnoscia nachylenia, t.zn. ml = 1

nl

. Rzeczywiscie nl = tgϕ = 1j

mlj= 1

ml

(Rys.

07-03b).

3. Odwzorowanie p laszczyzny

Podobnie jak w przypadku innych rzutow, p laszczyzne odwzorujemy za pomoca elementowja wyznaczajacych. Proste poziome (rownoleg le do rzutni) odwzorowywanej p laszczyznynazywac bedziemy poziomymi lub warstwowymi (na Rys. 07-02 proste 1α, 2α, . . . ), ich rzutypoziomicami lub warstwicami (na Rys. 07-02 proste 1′

α, 2′

α, . . . ). Proste te sa przekrojamip laszczyzn rownoleg lych do rzutni π (Rys. 07-02b). Kazda prosta przecinajaca prostopa-dle warstwowe p laszczyzny α nazywac bedziemy prosta spadu p laszczyzny α. Niech sα oz-nacza prosta spadu p laszczyzny α (Rys. 07-02b’,07-04c). Dla dowolnej prostej l p laszczyznyα mamy: msα

≤ ml ⇒ nsα≥ nl. Zatem prosta spadu sposrod wszystkich prostych na

p laszczyznie ma najmniejszy modu l, czyli najwieksze nachylenie. Modu l msαprostej spadu

nazywac bedziemy modu lem p laszczyzny, ktory bedziemy oznaczac krocej przez mα(= msα).

Jako nachylenie nα p laszczyzny α przyjmujemy (okreslamy) nachylenie jej prostej spadu, czyli


Rys. 07-04: Wyznaczanie warstwic p laszczyzny i rownoczesne wyznaczanie modu lup laszczyzny: a1) zestopniowanie prostej (AB); a2) wyznaczenie warstwicy 3′

α - laczymy prostapunkty o tych samych cechach; a3 ÷ a5) przez punkty o cechach ca lkowitych prowadzimy kole-jne warstwice - proste rownoleg le; b ÷ b1) wyznaczanie prostej l o danym module ml, lezacejna p laszczyznie α; c) wyznaczanie modu lu mα i rownoczesnie prostej spadu sα p laszczyzny α;strza lka oznacza kierunek ”spadu” p laszczyzny, czyli kierunek zmniejszania sie cech punktowp laszczyzny, przy odzworowaniu p laszczyzny za pomoca warstwic czesto umieszcza sie prostaspadu (ze strza lka).

nα = 1

mα. Aby jednoznacznie wyznaczyc p laszczyzne za pomoca poziomic, wystarczy wyz-

naczyc jej dwie jakiekolwiek poziomice. P laszczyzna jest zestopniowana, jesli wyznaczone sajej poziomice o kolejnych ca lkowitych cechach. Wyznaczanie warstwic p laszczyzny okreslonejza pomoca trojkata opisuje rysunek 07-04. Na rysunkach 07-04b,b1 mamy konstrukcje prostejo danym module (nachyleniu) lezacej na danej p laszczyznie i przechodzacej przez punktP . Czy na danej p laszczyznie mozna zawsze znalezc prosta o dwolnym, z gory zadanym,nachyleniu? Rysunek 07-04c przedstawia wyznaczenie modu lu i jednoczesnie prostej spadup laszczyzny przechodzacej przez punkt P i moze byc pomocny przy odpowiedzi na powyzszepytanie.

4. Elementy wspolne: p laszczyzna-p laszczyzna, p laszczyzna-prosta

Dowolnie odwzorowana p laszczyzne mozemy przedstawic za pomoca warstwic. Stad ele-menty wspolne dwu p laszczyzn, czyli krawedzie, konstruujemy laczac dwa punkty wspolnejednoimiennych warstwic (majacych te sama ceche) (Rys. 07-05). Punkt wspolny prostej zp laszczyzna znajdujemy wykorzystujac poprzednia konstrukcje. Mianowicie, wczesniej przezprosta prowadzimy p laszczyzna (przez zestopniowane punkty prostej prowadzimy warstwice)i znajdujemy krawedz (Rys. 07-06). Punkt wspolny tej krawedzi z wyjsciowa prosta jestszukanym punktem. Przy znajdowaniu punktu wspolnego prostej z p laszczyzna ta trzyetapowakonstrukcja jest stosowana zreszta we wszystkich rodzajach rzutow.


Rys. 07-05: Wyznaczenie krawedzi wspolnej p laszczyzn trojkatow α(ABC), β(PQR) (a÷ a7)i przenikania trojkatow (a8): a1) konstrukcja warstwic p laszczyzny β(PQR); a2) konstrukcjawarstwic p laszczyzny α(ABC); a3) znalezienie dwoch punktow wspolnych obu p laszczyzn(strza lki); a4) konstrukcja krawedzi kαβ ; a5) znalezienie punktow przebicia p laszczyzn α, β

odpowiednio krawedziami (AB), (PR); a6 ÷ a7) okreslenie widocznosci elementow i zaznacze-nie linia gruba przenikajacych sie elementow; a8) przenikajace sie trojkaty z pominieciem liniiniewidocznych

5. Wzajemne po lozenie prostych

Jak wiadomo, dwie proste moga miec wzajemne po lozenia. Moga byc rownoleg le. Wowczas zuwagi na to, ze rzut cechowany jest rzutem prostoktnym, rzuty prostych musza byc rownoleg leoraz musza miec ten sam modu l oraz cechy punktow na tych prostych musza zmieniac siew tej samej orientacji (rys. 07-07a). Symbolicznie zapisujemy (ml = mk, l′↓↓k′) ⇐⇒ l||k.Na rysunku 07-07b mamy obrazy dwu prostych skosnych, mimo, ze rzuty l′, k′ sa prostymirownoleg lymi i odwzorowane proste maja taki sam modu l. Mamy bowiem l′↓↑k′). Moga bycprzecinajace sie. Wtedy wyznaczaja te sama p laszczyzne, czyli proste laczace ich punkty otych samych cechach musza byc rownoleg le (rys. 07-07d ). Gdy ten warunek nie jest spe lnionymamy rzuty prostych skosnych (rys. 07-07c).

6. Prosta prostopad la do p laszczyzny

Rzut prostej prostopad lej do p laszczyzny jest w oczywisty sposob prostopad ly do warstwic tejp laszczyzny. Jest konsekwencja obowiazywania w rzucie prostokatnym niezmiennika charak-

terystycznego rzutowania prostokatnego. Warto porownac konstrukcje prostej prostopad lej dop laszczyzny w rzutach prostokatnych na dwie rzutnie. Konstrukcje te omowimy rozwiazujacnastepujace

Zadanie 1 Przez dany punkt P (1) poprowadzic prosta p prostopad la do p laszczyzny α okreslonej

za pomoca warstwic (rys. 07-07e).


Rys. 07-06: Punkt wspolny p laszczyzny α(3′

α, 4′

α) z prosta l(AB) znajdujemy w sposobnastepujacy: a1 ÷ a3) stopniujemy prosta (odcinek [AB]) (AB); a4) prowadzimy warstwice3′

β dowolnej p l p laszczyzny; a5 ÷ a6) druga rownoleg la warstwice 4′

β; a7) znajdujemy krawedzk′ jako prosta laczaca punkty przeciecia jednoimiennych warstwic p laszczyzny α; a8) punktprzeciecia L′ prostych l′ i k′ jest szukanym punktem, na koniec zaznaczamy widocznosc ele-mentow kierujac sie wysokoscia - cechami punktow

Rozwiazanie: Szukana prosta p lezy w p laszczyznie prostopad lej do rzutni. Rzutem takiejp laszczyzny jest prosta p′. Przez punkt P poprowadzmy wiec p laszczyzne β (prostopad la dop laszczyzny α i do rzutni), ktorej rzutem jest prosta p′ (rys. 07-07e1). Jest to tzw. p laszczyznaprofilowa p laszczyzny α. Znajdzmy profil α p laszczyzny α (rys. 07-07e1) oraz profil P punktuP . Powyzsza konstrukcje nalezy interpretowac jako k lad p laszczyzny β na rzutnie. Nastepniepoprowadzmy przez punkt P prosta p prostopad la do prostej α. Poprowadzona prosta jest(w profilu) szukana prosta. Na rysunku 07-07e2 konstruujemy takze modu l mp tej prostej.Jego dok ladny opis zosta zilustrowany na rysunkach 07-07f÷f2.

7. Odwzorowanie krzywych i powierzchni

Zak ladany, ze odwzorowywane krzywe i powierzchnie sa prawie regularne, t.zn. maja proste ip laszczyzny styczne wszedzie z wyjatkiem skonczonej (w praktyce niewielkiej) liczby punktow.Nachyleniem krzywej w danym punkcie nazywac bedziemy nachylenie stycznej do tej krzy-wej w tym punkcie. W praktyce nachylenie krzywej wyznaczamy jako nachylenie siecznej tejkrzywej, ”bliskiej” danej stycznej.Istotnym problemem przy odwzorowaniu krzywych jest ich aproksymacja okregami 1.

1jak juz by lo powiedziane okrag i prosta sa podstawowymi krzywymi w logice konstrukcji edytorowgraficznych, w tym AutoCAD’a, obok tzw. krzywych sklejanych. Na nich to wykonywane sa podstawoweoperacje geometryczne. Krzywe, w szczegolnosci warstwice powierzchni, aproksymowac bedziemy okregami ito najczesciej tak, uzyskac krzywe regularne - majace wszedzie styczna


Rys. 07-07: Po lozenie prostych: a)proste rownoleg le (rzut cechowany jest rzutem pros-tokatnym), rzuty tych prostych musza byc rownoleg le oraz musza miec ten sam modu loraz cechy punktow na tych prostych musza zmieniac sie w tej samej orientacji; b) prosteskosne lezace w p laszczyznach rownoleg lych (prostopad lych do rzutni); c) proste skosne; d)proste przecinajace sie. Konstrukcja prostej prostopad lej do p laszczyzny: e1) przez punkt P

poprowadzimy wiec p laszczyzne β (prostopad la do p laszczyzny α i do rzutni), ktorej rzutemjest prosta p′, znajdujemy profil α p laszczyzny α oraz profil P punktu P (konstrukcje in-terpretujemy jako k lad p laszczyzny β na rzutnie), nastepnie poprowadzimy przez punkt P

prosta p prostopad la do prostej α, poprowadzona prosta p jest (w profilu) szukana prosta; e2)konstruujemy modu l mp tej prostej wybierajac na niej punkt Q(2) o cesze rozniacej sie (odcechy punktu P (1)) o jeden; f÷f2) dok ladny opis konstrukcji modu lu

Krzywa, ktorej nachylenie w kazdym jej punkcie jest jednakowe nazywamy krzywa stokowa

(Rys. 07-08a2b). Powierzchnie terenu (zwana tez powierzchnia topograficzna) przecinamyp laszczynami poziomymi lezacymi na okreslonych wysokosciach nad poziomem morza (rowniezpod poziomem morza w przypadku depresji). W przekrojach otrzymujemy linie poziome tejpowierzchni. Rzuty tych linii (warstwice) narysowane w skali tworza plan poziomicowy tejpowierzchni. Jezeli krzywa c lezy na powierzchni i przecina linie poziome tej powierzchni, tozestopniuja one rzut krzywej. W szczegolnosci krzywe przecinajace prostopadle linie poziomepowierzchni sa liniami spadu powierzchni. Z uwagi na niezmiennik charakterystyczny rzutuprostokatnego rzut linii spadu przecina prostopadle poziomice. Rysunek 07-06 pokazujejak wyznaczamy rzuty linii spadu powierzchni. Punkt linii spadu jest punktem stycznosciokregu o srodku w punkcie poprzednim. Poniewaz punkt taki trudno znalezc, przyjmujemygo jako w srodku ”krzywoliniowej cieciwy” okregu. Im okrag ma mniejszy promien, tymdok ladniejsza jest konstrukcja (07-06). Linie spadu nie sa jednoznacznie okreslone w t.zw.punktach stacjonarnych powierzchni (Rys. 07-10b). Sa to• punkt wierzcho lkowy (szczyt lub kopa), w ktorym powierzchnia przyjmuje maksimum lokalne;w rzucie cechowanym szczyt jest to czesc terenu z uk ladem warstwic o rosnacych cechach, aleo coraz mniejszych obwodach redukujacych sie w koncu do punktu wierzcho lkowego,


Rys. 07-08: Konstrukcja linii spadu i linii stokowej: a ÷a2) wyznaczanie kolejnych punktowlinii spadu powierzchni topograficznej; a2b) konstrukcja linii stokowej o danym (module mc)

Rys. 07-09: Przekroje powierzchni topograficznej p laszczyzna: a ÷ a1) przekroj p laszczyznapionowa α powierzchni topograficznej - profil; b ÷ b1) linia przenikania powierzchni to-pograficznej i p laszczyzny α

• punkt kotlinowy, w ktorym powierzchnia przyjmuje minimum lokalne; w rzucie cechowanymkotlina jest to czesc terenu z uk ladem warstwic o malejacych cechach, ale o coraz mniejszych


Rys. 07-10: Konstrukcja powierzchni stokowej Φ, czyli powierzchni o sta lym nachyleniurownym nΦ = 4

3: a1) wyznaczenie modu lu mΦ = 3

4j za pomoca twierdzenia Talesa; a2)

konstrukcja obwiedni rodziny stozkow (w rzucie na p laszczyznie jest to obwiednia rodzinyokregow o promieniach bedacych wielokrotnosciami modu lu mΦ(= 3

4j))

obwodach redukujacych sie w koncu do punktu kotlinowego,• punkt siod lowy, w ktorym czesc powierzchni jest pod p laszczyzna styczna, czesc nad p laszczyznastyczna.Na mapach warstwicowych zwykle podaje sie po lozenie i wysokosc W punkcie tym przecinajasie linie grzbietowa i sciekowa. Linia grzbietowa, to taka linia spadu od ktorej oddalaja sieinne linie spadu (w kierunku zmniejszajacych sie cech lini poziomych). Linia sciekowa, totaka linia spadu do ktorej zblizaja sie inne linie spadu (w kierunku zmniejszajacych sie cechlini poziomych). Nachylenie powierzchni w danym punkcie jest to nachylenie p laszczyznystycznej do tej powierzchni w tym punkcie. Powierzchnie, ktora w kazdym swym punkcie majednakowe nachylenie, nazywamy powierzchni stokowa. Rysunek 07-09 pokazuje konstrukcjepowierzchni stokowej. Powierzchnia stokowa powstaje jako obwiednia 2 rodziny stozkow owierzcho lkach na danej krzywej o tworzacych majacych jednakowe nachylenie (Rys. 07-11). Wrzucie otrzymujemy obwiednie rodziny okregow 3 o promieniach bedacych wielokrotnosciami3

4j. Profilem terenu nazywac bedziemy przekroj powierzchni terenu p laszczyzna prostopad la

do rzutni (Rys. 07-10a1). Profil terenu jest niewidoczny w rzucie i dlatego przedstawiamy gow rzucie bocznyn na p laszczyzne rownoleg la do tnacej p lszczyzny profilowej lub, jak kto woli,

2Obwiednia rodziny powierzchni F(x,y,z,C)=0 nazywamy powierzchnia, ktora do kazdej powierzchni ob-wodzonej rodziny jest styczna wzd luz pewnej krzywej oraz sk lada sie wy lacznie z krzywych stycznosci.

3Obwiednia jednoparametrowej rodziny krzywych F(x,y,C)=0 nazywamy krzywa o nastepujacychw lasnosciach:(1) w kazdym swoim punkcie jest ona styczna do krzywej nalezacej do obwodzonej rodziny,(2) jest styczna do kazdej krzywej tej rodziny,(3) zaden jej luk nie pokrywa sie z zadna z krzywych rodziny.


Rys. 07-11: Punkty charakterystyczne w terenie: b) S - szczytowy i wychodzaca z niegolinia grzbietowa (linie spadu ”oddalaja sie”), K - kotlinowy i dochodzaca do niego liniasciekowa (linie spadu ”zblizaja sie”), P - siod lowy (przeciecia sie linii grzbietowej i sciekowej;a) tworzenie nowych warstwic za pomoca interpolacji

w k ladzie p laszczyzny profilowej (Rys. 07-10a1).

8. Projekt robot ziemnych przy budowie drogi

Zadanie 2 Na planie poziomicowym terenu wykonanym w skali 1 : 200 zaznaczony jest rzut

s osi s drogi przechodzacy przez punkt niwelacyjny N(75) lezacy na poziomicy 75 terenu.

Szerokosc drogi jest rowna 6m, a jej nachylenie nd = 12, 5%. Droga biegnie na nasypie

(gdy jej wysokosci sa wieksze od wysokosci terenu) i w wykopie (gdy jej wysokosci s mniejsze

od wysokosci terenu). Nasyp i wykop sa ograniczone p laskimi skarpami, ktore przechodza

przez krawedzie korony drogi i maja nachylenia odpowiednio nn = 2

3, nw = 3

4, (Rys.07-12).

Wyznaczyc plan drogi, skarpy nasypu i wykopu oraz dwa przekroje pionowe poprzeczne - profile

na nasypie i w wykopie.

Przyjmujemy, ze poziomice sa wyznaczone przez przekroje terenu p laszczyznami poziomymi wodleg losci 1m. W skali 1:200 mamy 1cm→ 2m, zatem 0, 5cm→ 1m, sz = 6m→ 3cm. Dalejnn = 2

3,→ mn = 2

3(mn = 3

2× 0, 5cm = 7, 5mm), nw = 3

4→ mw = 4

3(mw = 4

3× 0, 5cm =

6, 66mm). Nachylenie drogi nd = 12, 5% → nd = 1

8. Zatem md = 8 × 0, 5cm = 4cm.

Na Rys. 07-12a przyjeto za lozenia do projektu rzutu drogi. Najpierw wykonuje sie stop-niowanie drogi (osi drogi). Modu l drogi w przyjetej skali wynosi 4cm, rysujemy warstwicedrogi poprzez odmierzenie (za pomoca cyrkla) odcinkow na osi drogi. Nastepnie wyznaczamypunkty przejscia nasypu w wykop poprzez przeciecie wbranych warstwic drogi z odpowied-nimi warstwicami powierzchni topograficznej (w terenie) (punkty P i Q na Rys. 07-12a1).Linia lacza punkty P ′ i Q′ (przerywana na rysunku 08-12a1) rozdziela roboty ziemne nadwie czesci. W celu wyznaczenia warstwic nasypu i wykopu rysujemy okregi: w czesci nasy-


Rys. 07-12: Za lozenia do projektu rzutu drogi. Stopniowanie drogi. Wyznaczenie punktowprzejscia nasypu w wykop

powej - okrag o promieniu mn = 3

2, w czeci, gdzie jest wykop - okrag o promieniu mw = 4

3.

Okregi o promieniach mw, mn pozwola nastepnie konstruowac warstwice nasypow i wykopow.Pamietamy, ze okrag narysowany w miejscu, gdzie jest nasyp ma ceche o jeden nizsza nizpunkt, w ktorym znajduje sie rzut jego srodka, natomiast okrag narysowany w miejscu, gdziejest wykop ma ceche o jeden wyzsza niz punkt, w ktorym znajduje sie rzut jego srodka. Wszczegolnosci na rysunku 07-12a1: okrag narysowany w punkcie o cesze 74 ma ceche 73, zasokrag narysowany w punkcie o cesze 77 ma ceche 78. Pamietajac o tym rysujemy pierwszestyczne do okregow laczac punkt o danej wysokosci (cesze) z punktem znajdujacym sie naokregu (stycznosci) (Rys. 07-13a2). Kolejne warstwice rysujemy rownoleg le do pierwszejnarysowanej z zachowaniem odstepu rownego promieniowi okregu. Mozna tez konstruowacokregi o promieniach bedacych wielokrotnosciami promienia pierwszego podstawowego okregu(modu lu p laszczyzny) (na Rys. 07-13a2 tego nie uczyniono). Punkty przeciecia sie poziomicnasypu i wykopu z odpowiednimi poziomicami powierzchni topograficznej wyznaczaja punktylinii przenikania (zetkniecia sie) powierzchni terenu z p laszczyzna nasypu (Rys. 07-13a3).Konstrukcja lini przejscia powierzchni topograficznej terenu w nasyp lub wykop przedstaw-iona juz na Rys. 07-12a1 geometrycznie oznacza linie przekroju powierzchni topograficznejp laszczyzna drogi (por. konstrukcje na Rys. 07-09b÷b1). Nastepnie wykonujemy profiledrogi jako przekroje wybranymi p laszczyznami pionowymi. Na Rys. 07-14 wykonano dwaprofile drogi w miejscach na nasypie (poziomica drogi 72, 5m n.p.m.) i w wykopie (poziomicadrogi 78m n.p.m). Ogolnie konstrukcja profilu zosta la wczesniej omowiona na Rys. 07-09a,a1.Czytelnik samodzielnie wykona przekroj pod luzny terenu i drogi (wzd luz drogi osi) wzorujacsie na konstrukcji przekroju wykopu pod basen (Rys. 07-17).


Rys. 07-13: Konstrukcja warstwic nasypu i wykopu, pierwsze styczne do okregu, nastepnerownoleg le do nich. Punkty przeciecia sie poziomic nasypu i wykopu z odpowiednimipoziomicami powierzchni topograficznej wyznaczaja punkty linii przenikania tej powierzchniz p laszczyznami nasypu i wykopu.

9. Projekt wykopow pod basen p lywacki

Zadanie 3 Wykonac w skali 1 : 300 projekt wykopow pod basen p lywacki. Doko la basenu

splantowac pas terenu o szerokosci 9m. Wymiary basenu i jego usytuowanie oraz profil

pod luzny w p laszczyznie symetrii okreslony jest na rysunkach (Rys. 07-15 ÷ 07-18). Nachyle-

nie wykopow nw = 1, nachylenie nasypow nn = 2

3.

Na rysunkach 07-15 ÷ 07-18 pokazano sposob wyznaczenia za lozonego profilu. Przyjeto, zebasen ska ladac sie bedzie z dwu czesci g lebszej na poziomie 24m n.p.m., i p lytszej z nachyle-niem 4% poczynajac od poziomu 27m n.p.m. ze spadkiem w strone czesci g lebszej. Poprzyjmujeciu osi symetrii projektowanych wykopow, poziomu dna czesci g lebszej, znajdu-jemy przekroj pod luzny basenu w sposob nastepujacy: rysujemy stopniowe linie profilowepoziomych p laszczyzn (Rys. 07-16)w odleg losci jednej jednostki, czyli 1

3cm, nastepnie znaj-

dujemy punkty przeciecia p laszczyzny przekroju (rzut tej p laszczyzny pokrywa sie z pod luznaosia symetrii basenu) z warstwicami terenu i ich odnoszace do odpowiednich prostych warst-

wowych stopniowych: odnoszaca punktu przeciecia warstwicy 24 ”dochodzi” do prostej warst-wowej stopniwej 24, odnoszaca punktu przeciecia warstwicy 25 ”dochodzi” do prostej warst-wowej stopniwej 25 itd. Otrzymane punkty laczymy krzywymi (aproksymujacymi), ktoreto krzywe lacznie tworza krzywa profilowa pod luzna (Rys. 07-16). Nastepnie przyjmu-jemy rzut (obrys) gornego poziomu basenu (granice splantowanego pasa)(Rys. 07-18). Pouwzglednieniu mn = 1

nn= 1

2cm, mw = 1

nw= 1

3cm, otrzymujemy profil pod luzny basenu (Rys.

07-19). Zaznaczamy linie gruntu rodzimego (wykop) i czesc nawieziona (nasyp). Jesli nasypjest przed luzeniem wykopu w kierunku pionowym (dok ladniej ukosnym), to przyjmujemy, ze


Rys. 07-14: Profile drogi (przekroje p laszczyznami pionowymi, prostopad lymi do rzutu osidrogi) wykonano: przekroj nasypu na wysokosci 72, 5m n.p.m nawierzchni drogi, przekrojwykopu na wysokosci 78m n.p.m

Rys. 07-15: Warstwice terenu w skali 1:300 oraz wyznaczona jednostka

nachylenie nasypu jest rowne nachyleniu wykopu (Rys. 07-19). Nastepnie Rysujemy warst-wice wykopu wzgledniajac wartosc modu lu wykopu. Odleg losc warstwic jest rowna mw = 1

3cm

(Rys. 07-20). W przypadku, gdy warstwice przecinaja sie problem znalezienia lini roz-


Rys. 07-16: Przyjmujemy osie symetrii projektowanych wykopow, poziom dna czesci g lebszej,p laszczyzny warstwicowe oraz odnoszace punktow przeciecia p laszczyzny przekroju z warst-wicami terenu do odpowiednich prostych warstwowych stopniowych, cdn.

Rys. 07-17: Otrzymane punkty laczymy krzywymi (aproksymujacymi), ktore to krzywe lacznie tworza krzywa profilowa


Rys. 07-18: Przyjmujemy rzut (obrys) gornego poziomu basenu (granice splantowanego pasa)

Rys. 07-19: Po uwzglednieniu mn = 1

nn= 1

2cm, mw = 1

nw= 1

3cm, otrzymujemy profil

pod luzny basenu

graniczajacej jest prosty. Oczywiscie dok ladnie znalezionymi sa tylko punkty przeciecia siewarstwic. Pozosta le czesci krzywej - linie laczace te punkty - znajdujemy metoda interpolacji


Rys. 07-20: Zaznaczamy linie gruntu rodzimego (wykop) i czesc nawieziona (nasyp). Jeslinasyp jest przed luzeniem wykopu w kierunku pionowym (dok ladniej ukosnym), to przyjmu-jemy, ze nachylenie nasypu jest rowne nachyleniu wykopu

Rys. 07-21: Rysujemy warstwice wykopu wzgledniajac wartosc modu lu wykopu. Odleg loscwarstwic jest rowna mw = 1

3cm


Rys. 07-22: Znajdujemy punkty zerowe robot, to znaczy punkty rozgraniczajace wykopyod nasypow. Tu sa to punkty przeciecia sie warstwic o cesze 28. Po narysowaniu warstwicnasypu i wykopu znajdujemy linie rozgraniczajaca nasyp z powierzchnia terenu ( warstwiceterenu (wyjsciowe) i odpowiadajace im (majace te sama ceche) warstwice nasypu i wykopu

4. W przypadku, gdy linia rozgraniczajaca biegnie rownolegle do warstwic terenu ca la krzywawyznaczana jest interpolacyjnie. Linia zetkniecia sie nasypu z powierzchnia topograficznaterenu (lewa strona rysunku 07-20) jest taka w lasnie linia. Nastepnie rysujemy warstwicewykopu zdejmujac urobek w celu splantowania pasa okalajacego zbiornik. Odleg losc warst-wic jest rowna mw = 1

3cm.

Znajdujemy punkty zerowe robot, to znaczy punkty rozgraniczajace wykopy od nasypow. Tusa to punkty przeciecia sie warstwic o cesze 28. Rysujemy warstwice nasypu wzgledniajacwartosc modu lu nasypu. Odleg losc warstwic jest rowna mn = 1

2cm (prawa strona rysunku).

Warstwice terenu (wyjsciowe) i odpowiadajace im (majace te sama ceche) warstwice nasypuprzecinaja sie w punktach wyznaczajacych linie rozgraniczajaca nasyp od powierzchni terenu.Nastepnie rysujemy warstwice wykopu zdejmujac urobek w celu splantowania pasa okalajacegozbiornik. Odleg losc warstwic jest rowna mw = 1

3cm. Warstwice terenu (wyjsciowe) i odpowiadajace

im (majace te sama ceche) warstwice wykopu przecinaja sie w punktach wyznaczajacych linierozgraniczajaca wykop od powierzchni terenu (Rys. 07-22). Zwrocmy uwage na fakt, ze czescnasypu bedaca przed luzeniem wykopu przyjeta na rysunku 07-19 ma takie samo nachyleniejak wykop.

4W celu zwiekszenia dok ladnosci konstrukcji znajdujemy warstwice posrednie. Otrzymujemy je prowadzacodcinki tworzace z sasiednimi warstwicami katy bliskie katom prostym. Nastepnie odcinki te dzielimy napewna liczbe rownych czesci (n), jednakowa na wszystkich odcinkach. Odpowiadajace sobie punkty laczymyodcinkami lub liniami przy krzywiku. W praktyce konstrukcji w rzucie cechowanym interpolowanie czestooznacza intuicyjne rysowanie krzywych laczacych punkty znalezione metoda dok ladna (Rys. 07-11a). Narysunku 07-11a wyznaczono warstwice posredna metoda interpolacji (n = 2), warstwica posrednia jest tulinia laczaca srodki odcinkow ”prawie prostopad lych” laczacych sasiednie warstwice


Literatura

[Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreslna z perspektywa stosowana. WydawnictwoNaukowe PWN. Warszawa 1995.[Lew95] Z. Lewandowski: Geometria wykreslna. PWN. Warszawa 1987.[Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrecznik geometrii wykreslnej. Wydawnictwo Naukowe PWN.Warszawa 1994.

Geometria odwzorowan´ inz˙ynierskich rzut cechowany...

Documents

Transcript of Geometria odwzorowan´ inz˙ynierskich rzut cechowany...