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Ottica elettronica

SEM - Scanning Electron MicroscopyTEM - Transmission Electron Microscopy (low resolution)

λ ≈ 10-12 mRisoluzione ≈ 0.01 µm

I fasci di elettroni possono essere usati per visualizzare oggetti molto piccoli perché hanno lunghezza d’onda minore di quella della luce visibile.


SEM

TEM

09.c Ottica elettronica

Ottica geometrica: la microscopia elettronica

EBL - Electron Beam Lithography


Le tecniche litografiche sono basate sull’esposizione e sviluppo dei polimeri fotosensibili (resist), per ottenere maschere di protezione di alcune aree del campione. Le parti che restano esposte possono essere rimosse con varie tecniche di attacco (etching). In alternativa, si può depositare sul campione un film sottile (vedi figura) che dopo il processo di rimozione definitiva del resist (lift off) coprirà solo la regione precedentemente esposta.L’uso di un fascio elettronico in sostituzione della luce permette di migliorare la risoluzione grazie alla minore lunghezza d’onda.


Ottica geometrica: la litografia a fascio elettronico

Le tecniche EBL sono essenziali per la realizzazione dei circuiti elettronici ad alta integrazione (VLSI)

Esperimento di Davisson e Germer (Gruppo di Thompson): la prima verifica sperimentale delle relazioni di De Broglie

Un fascio di elettroni di energia E ≈ 50 eV incide sulla superficie di un cristallo

m10Em2

102

−≈=λ h

La lunghezza d’onda è dell’ordine digrandezza del parametro reticolare

Ottica ondulatoria: gli esperimenti storici


Il filmato dell’esperimento è disponibile come materiale didattico a supporto del corso.

SEM - Scanning Electron MicroscopyTEM - Transmission Electron Microscopy

E ≈ 100 eVFacendo passare gli elettroni intorno a un filo carico positivamente si può simulare una “doppia fenditura”

Esperimento di Merli-Missiroli-Pozzi

Ottica ondulatoria: gli esperimenti storici


Geometria di BraggNella diffrazione degli elettroni si deve tenere conto dell’energia del fascio

50 - 100 eVgli elettroni di bassa energia (LEED) non riescono a penetrare il campione, ma sono invece riflessi dagli atomi alla superficie

10 - 50 keVgli elettroni di alta energia (RHEED) riescono a penetrare per alcuni nm il campione

100 - 200 keVNella microscopia elettronica (SAED) gli elettroni possono penetrare per parecchi nm

In pratica con gli elettroni la configurazione di Bragg non è conveniente e si usano altre geometrie.

Ottica ondulatoria: la diffrazione elettronica da parte dei cristalli


campione

cannoncino

Diffusione

ombra

La presenza di spot di diffrazione indica il comportamento ondulatorio

LEED - Low Energy Electron Diffraction

E ≈ 50 eV



La presenza di spot di diffrazione indica il comportamento ondulatorio

RHEED - Reflected High Energy Electron Diffraction

E ≈ 20 keV



HRTEM - High Resolution Transmission Electron MicroscopySAED - Selected Area Electron Diffraction

Nei microscopi elettronici a trasmissione, a seconda delle ottiche elettroniche implementate, si può ottenere un’immagine reale di Microscopia in Trasmissione (TEM, HRTEM) del campione, oppure l’immagine degli spot di diffrazione (SAED). Con questa tecnica si possono effettuare misure di diffrazione su porzioni piccolissime di un campione.L’energia del fascio è abbastanza alta perché gli elettroni diffratti possano attraversare tutto lo spessore del campione (10 - 100 nm) e raggiungere il rivelatore.

Risoluzione≈ 0.1 nm

immagine reale



HRTEM - High Resolution Transmission Electron MicroscopySAED - Selected Area Electron Diffraction

Nei microscopi elettronici a trasmissione, a seconda delle ottiche elettroniche implementate, si può ottenere un’immagine reale di Microscopia in Trasmissione (TEM, HRTEM) del campione, oppure l’immagine degli spot di diffrazione (SAED). Con questa tecnica si possono effettuare misure di diffrazione su porzioni piccolissime di un campione.L’energia del fascio è abbastanza alta perché gli elettroni diffratti possano attraversare tutto lo spessore del campione (10 - 100 nm) e raggiungere il rivelatore.

E ≈ 200 keV

spot di diffrazione

immagini reali



Max centrale

Max secondario

Max secondario

intensità

x

Lθ

λ≈∆

L

Dθx ∆≈∆

D

EsercizioUn fascio di elettroni ( i = 10 mA, V = 5 Volt) è collimato su una fenditura di larghezza L = 2 µm e altezza h = 2 mm. Determinare:

a) l’angolo di apertura dopo la fenditura ∆θ dovuto al fenomeno di diffrazioneb) L’intensità media su uno schermo posto a distanza D = 10 cm dalla fenditura

Ottica ondulatoria: la diffrazione

09.c Ottica elettronicaEsercizi e complementi

1

26 mWatt105.0ViW

I −×=Σ

=Σ

=

a) Per la lunghezza d’onda:

m105Vem2

hVem2pVe

m2

p 102

−×==λ⇒=⇒=

L’altezza è h >> λ , quindi in verticale la diffrazione è trascurabile. In orizzontale invece:

3105.0L

−×=λ=θ∆

b) L’area di impatto sullo schermo vale 27 m10Dh −=θ∆=Σ

L’intensità media sullo schermo vale allora (trascurando le deboli frange laterali):

L’area illuminata dello schermo è circa 25 volte più grande dell’area della fenditura.

EsercizioUn fascio di elettroni ( i = 10 mA, V = 5 Volt) è collimato su una fenditura di larghezza L = 2 µm e altezza h = 2 mm. Determinare:

a) l’angolo di apertura dopo la fenditura ∆θ dovuto al fenomeno di diffrazioneb) L’intensità media su uno schermo posto a distanza D = 10 cm dalla fenditura


Ottica ondulatoria: la diffrazione

2

Nel LEED gli elettroni incidono in direzione normale sulla superficie di un cristallo. In queste condizioni, la superficie del campione è un fronte d’onda.

I raggi 1 e 2 giungono in fase dalla sorgente.Perché si abbia interferenza costruttiva nel rivelatore, il ritardo di fase del fascio 1 dopo la riflessione deve essere un multiplo di 2π.

Il cammino in più fatto dal raggio 1 dopo la riflessione è

θsend1 =l

λ=⇒π=λπ==φ∆ nθsendn2θsend

2θsendko1

Deve essere quindi: .

Con i dati del problema, λ = 1.2 × 10-10 m. Quindi: .

°=⇒λ=°=⇒

λ= 9.36θd

2θsen;5.17θ

dθsen 2211

EsercizioUn fascio di elettroni di 50 eV incide normalmente alla superficie di un cristallo con parametro reticolare in pianod = 0.4 nm. Determinare gli angoli delle prime due riflessioni nel pattern LEED



Nel RHEED gli elettroni incidono in direzione radente alla superficie di un cristallo. In queste condizioni, la superficie del campione è perpendicolare al fronte d’onda.

I raggi 1 e 2 giungono in fase agli atomi che giacciono sul piano tratteggiato. Perché si abbia interferenza costruttiva nel rivelatore, il ritardo di fase del fascio 2 dopo la riflessione deve essere un multiplo di 2π.


θsend1 =l


2θsendko1Deve essere quindi

Con i dati del problema, λ = 1.1 × 10-11 m. Quindi:

°=⇒λ=°=⇒

λ= 0.3θd

2θsen;5.1θ

dθsen 2211

Si noti che l’angolo θ è molto esagerato nel disegno per motivi grafici. La diffrazione RHEED è un processo molto complicato, e possono aver luogo fenomeni anche abbastanza diversi dal caso esemplificato.

EsercizioUn fascio di elettroni di 10 keV incide quasi parallelamente alla superficie di un cristallo con parametro reticolare verticale d = 0.4 nm.Determinare gli angoli delle prime due riflessioni nel pattern RHEED.



EsercizioUn fascio di elettroni di 200 keV incide normalmente alla superficie di un cristallo con parametro reticolare lateraled = 0.4 nm.Determinare gli angoli delle prime due riflessioni nel pattern SAED

Nel SAED gli elettroni incidono in direzione radente alla superficie di un cristallo. In queste condizioni, la superficie del campione è parallela al fronte d’onda.

I raggi 1 e 2 giungono in fase agli atomi che giacciono sul piano tratteggiato. Perché si abbia interferenza costruttiva nel rivelatore, il ritardo di fase del fascio 2 dopo la riflessione deve essere un multiplo di 2π.


θsend1 =l


2θsendko1Deve essere quindi

Con i dati del problema, λ = 2.4 × 10-12 m. Quindi:

°=⇒λ=°=⇒

λ= 68.0θd

2θsen;34.0θ

dθsen 2211

Si noti che l’angolo θ è molto esagerato nel disegno per motivi grafici. Nel processo SAED gli elettroni hanno abbastanza energia da poter attraversare il campione per raggiungere il rivelatore posto alle spalle.



William Rowan HamiltonIrlanda 1805 - 1865

L’analogia tra Ottica e Meccanica Classica


Um2

pU-K

2−==L

La differenza tra energia cinetica K ed energia potenziale U è detta Lagrangiana L

Definizione di Lagrangiana e di Azione Meccanica per un punto materiale

Un punto materiale parte in O all’istante t = 0 e passa per P all’istante t.Si definisce Azione Meccanica S l’integrale:

∫=−t

0

o dtSS L


L’azione meccanica è definita a meno di una costante arbitraria So.

( ) ( ) ( ) EtpdtEdspdtE-vpdtE-m

pdtE-K2dtU-KSS

t

0

t

0

t

0

t

0

2t

0

t

0

o −=−=⋅=

===− ∫∫∫∫∫∫ l

rr

EsercizioCalcolare l’azione meccanica di una particella libera

Tenendo conto del fatto chedt

dspvpvp

m

p2

==⋅= rre che p = cost, si trova che

con lunghezza della traiettoria.l


( ) ( ) ( ) EtdspdtEdspdtE-vpdtE-m

pdtE-K2dtU-KSS

t

0

t

0

t

0

2t

0

t

0o −=−==

===− ∫∫∫∫∫∫∫

ΓΓ

EsercizioCalcolare l’azione meccanica di una particella in termini dell’ascissa curvilinea s

L’integrale va calcolato sulla traiettoria seguita dal punto materiale.

Lagrangiana di una particella libera

EK2U-K −==L

oo

t

0

StEpSdtS +−=+= ∫ lL

Azione Meccanica di una particella libera

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]h=⇒== SsJtES

L’unità di misura dell’Azione Meccanica è uguale all’unità di misura della costante di Planck.

Per questo motivo si dice che è il “quanto d’azione ”. h

Unità di misura di S


Sulla base delle equazioni di D Broglie si può stabilire una relazione tra fase dell’onda φφφφe Azione Meccanica S

Einstein: il “Quanto di luce” De Broglie: le particelle massicce

Fase:otk φ+ω−=φ l

Azione:oStkS +ω−= hlh Azione:

oStEpS +−= l

Fase:hh

lh

oSt

Ep +−=φ

h

S=φ

Perché è importante l’azione meccanica?

particella

onda


La propagazione delle onde EM è determinata essenzialmente dalle fasi dei raggi

otk φ+ω−=φ l

La legge oraria dei punti materiali è determinata essenzialmente dall’azione meccanica

oStEpS +−= l

Per le equazioni di De Broglie, φ e S sono proporzionali

h

S=φ


Funzione d’onda per il fotone:

( ) ( )[ ]oo txkiexpEt,xE φ+ω−=rr

( )

+−ψ=

ψ=ψhh

ooo

StExpiexp

Siexpt,x

Funzione d’onda (scalare) per la particella libera

( ) ( )[ ]oo txkiexpt,x φ+ω−ψ=ψ

L’analogia tra onde EM e particelle spinge a ipotizzare che esista l’equivalente dell’onda EM:la “funzione d’onda”


o

t

0

SdtS += ∫ L

Si può dimostrare che Il Principio di Hamilton è completamente equivalente alle leggi di Newton.

Principio di HamiltonTra tutte le possibili leggi orarie che partono per O all’istante t = 0 e per P all’istante t, il punto materiale segue quella che rende minima l’azione

O P

Ricorrendo al Principio di Hamilton è possibile ricavare tutti i dettagli della legge oraria. Si tratta, in linea generale, di un problema complesso che viene affrontato nei corsi di Fisica Matematica o di Meccanica Analitica.Qui ci limitiamo a un’osservazione qualitativa.

Consideriamo il caso di una particella libera e supponiamo di sapere già che p = cost. E’ facile allora convincersi che la traiettoria che rende minima S è rettilinea, perché t è fissato e quindi

minminSEtpS o =⇒=+−= ll

Il percorso che rende S minima si dice geodetica.

Ricordando che , il Principio di Hamilton appare molto simile al Principio di Fermat.φ= hS


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