Quale errore si attribuisce ad una grandezza misurata indirettamente?

Nel metodo indiretto la grandezza fisica di cui ci interessa la misura e` funzione di altre delle quali conosciamo gia` una valutazione degli errori. Esempio: Se conosciamo a con un’incertezza tale che a±Δa e m± Δm Quale sara` l’errore da attribuire a F? Se gli scarti di a e m sono “sufficientemente piccoli”

€

F = ma

€

xF = F − F = dFda

#

$ %

&

' (

a= a

a − a ( ) +dFdm#

$ %

&

' (

m= m

m −m ( )

e quindi

ΔF = dFda

#

$ %

&

' (

a= a

Δa +dFdm#

$ %

&

' (

m= m

Δm

Espressione che deriva da uno sviluppo in serie di Taylor

•  Estendendo il risultato precedente ad una situazione piu` generale in cui F= F(G1,G2,G3,….,Gm) sia una funzione continua e derivabile

delle variabili Gi Per xF=F-F si ottiene:

€

xF = F − F = dFdGi

#

$ %

&

' (

G=G

Gi −G i( )i∑

oppure

xF = aixii∑ con

xi = Gi −G i

ai =dFdGi

#

$ %

&

' (

*

+ ,

- ,

G1 =G 1 ,G2 =G 2 ,G3 =G 3 ,...,Gm =G m

Il termine ai pesa la dipendenza di F dalla grandezza Gi nel senso che se ai e` forte (debole) l’errore di Gi contribuisce in parte rilevante (trascurabile) all’errore di F.

Quale valore di ?

•  Abbiamo due possibilita`: 1.  Calcolare il valore di F in corrispondenza dei valori medi delle

variabili Gi

2.  Calcolare i valori di Fi per i diversi valori delle Gi e quindi farne la media

€

F

€

F = F(G 1,G 2,...G m )

€

F1 = F(G11,G1

2,...G1m )

F 2 = F(G21,G2

2,...G2m )

.

.

.F n = F(Gn

1,Gn2,...Gn

m )e quindi

F = 1n

F k

k=1

n

∑

•  Si dimostra che a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo

Se gli scarti Sono sufficientemente piccoli

F(G1,G2,...Gm ) ≅1n

F (k )

k=1

n

∑

€

Gi(k ) −G i per i =1....m e k =1...n

•  Si puo` inoltre dimostrare che se un errore XF e` una combinazione lineare di altri errori xi (di eventi compatibili e indipendenti ) che seguono ciascuno una distribuzione gaussiana con modulo di precisione hi anche XF segue una distribuzione gaussiana con modulo di precisione H tale che:

€

1H 2 =

ai2

hi2

i∑ Da cio` segue

che:

€

σF2 = ai

2σ i2

i∑

Con ai

€

ai =∂F∂Gi

#

$ %

&

' (

G1=G 1 ,G2=G 2 ,G3=G 3 ,...,Gm =G m

•  Come abbiamo visto nell’esempio di F=ma, per gli errori massimi si sommano in valore assoluto i contributi degli errori massimi delle singole variabili

€

(xF )max = aixi,maxi∑

Esempio :

1.  Determiniamo il semiperimetro di un rettangolo di cui abbiamo misurato i singoli lati

a=(18.1±0.1)cm

b=(12.0±0.1)cm

NB: gli errori massimi si sommano linearmente, gli errori statistici quadraticamente; si usa l’errore massimo quando la misura non e` stata ripetuta un numero n>10

Errore relativo

•  In generale con il termine errori assoluti si indicano sia gli errori massimi che statistici (standard deviation)

ΔF •  L’errore relativo e` invece definito come ΔF/F e il suo valore e` spesso

dato in % Esempio :

1.  Determiniamo l’area del rettangolo di cui abbiamo misurato i singoli lati

a=(18.1±0.1)cm

b=(12.0±0.1)cm

NB: se F e` una somma o differenza di grandezze, gli errori assoluti si sommano linearmente se si tratta di errori massimi e quadraticamente se sono errori statistici

Se F e` un prodotto o un quoziente di grandezze si sommano gli errori relativi

( )∑=

−−

=N

kks ss

N 1

22

11

σ

Consideriamo una serie di misure delle grandezze x e y

Nxxxx ...321

Nyyyy ...321

di cui si prende la somma kkk yxs +=

Qual è la deviazione standard della somma s ?

Propagazione dell’errore casuale - 1. Somma

yxs +=chiaramente Nssss ...321

∑=

=N

kksN

s1

1

22yxs σσσ +=

Se x e y sono variabili indipendenti (in senso statistico) si trova:

( ) ( ) ( )[ ]2

11

22 11∑∑==

−+−=−=N

kkk

N

kks yyxx

Nss

Nσ

Propagazione dell’errore casuale - 1. Somma

( ) ( ) ( )( )∑∑∑===

−−+−+−=N

kkk

N

kk

N

kks yyxx

Nyy

Nxx

N 11

2

1

22 1211σ

2xσ

2yσ 2

xyσvarianza di x varianza di y covarianza di x e y

La covarianza di due variabili casuali può essere sia positiva che negativa

Dimostrazione

2222 2 xyyxs σσσσ ++=

Se x e y sono statisticamente indipendenti è ragionevole che gli scarti in x e y non siano correlati, ovvero che la covarianza sia piccola.

Definizione: due variabili casuali sono (statisticamente) indipendenti se la loro covarianza (su un numero molto grande di misure) è nulla

se x e y sono indipendenti 222yxs σσσ += 22

yxs σσσ +=

gli errori casuali si sommano quadraticamente

Propagazione dell’errore casuale - 1. Somma algebrica

2222

22

21

21

2 ... NNs aaa σσσσ +++=

generalizziamo alla somma algebrica di variabili indipendenti

Questo risultato ovviamente vale anche per la differenza yxd −= 222

yxd σσσ +=

NN xaxaxaxas ++++= …332211

∑=

=N

kkks a

1

222 σσovvero

se gli errori sono “piccoli” e le due variabili idipendenti:

∑∑ ==k

kkk

k yxN

pN

p 11

( )( ) ( ) ( )[ ]∑∑ +−+−+−−==k

kkkkk

kk yxyyxyxxyyxxN

yxN

p 11

nullo se x e y indipendenti yxp ⋅=

222222 2 xyxyp yxyx σσσσ ⋅++= + termini di grado superiore in Δx, Δy

2222xyp yx σσσ +=

Propagazione dell’errore casuale - 2. prodotto

Consideriamo una serie di misure delle grandezze x e y

Nxxxx ...321

Nyyyy ...321

di cui si prende il prodotto kkk yxp =

è utile riscrivere la formula come segue: 2

2

2

2

1

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

xxpp σσσ

l’errore relativo (o frazionario) di un prodotto è la somma quadratica degli errori relativi (frazionari) dei fattori.

...2

3

3

2

2

2

2

1

12

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛xxxP

P σσσσIn generale, posto ...321 xxxP =

Propagazione dell’errore casuale - 2. prodotto

Propagazione dell’errore casuale - 3. rapporto

yxR =

k

kk y

xR =ovvero

yxR =

2

2

2

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛xxRyxR σσσ

con le stesse approssimazioni si ottiene

Come si propaga l’errore sulla variabile indipendente x in una funzione generica?

(ma continua e derivabile)

( ) xy xf σσ ʹ′=

Propagazione dell’errore casuale - 4. funzione f(x)

Se gli scarti rispetto alla media sono piccoli si può espandere la funzione

( ) ( ) ( ) ( ) kkk xxfxfxxfxf Δʹ′+≅Δ+=

( )xfy =

( )xfy =

( ) ( ) ( ) 22

1

22

1

22

111

x

N

kk

N

kky xfx

Nxfyy

Nσσ ⋅ʹ′=Δ

−

ʹ′=−

−= ∑∑

==

Si consideri la funzione di più variabili ( ),...., yxfz =

Se l’unica variabile affetta da incertezza fosse x, si ricadrebbe nel caso precedente

( )xz x

yxfσσ

1

,...,∂

∂= l’unica differenza è che ora

si usa la derivata parziale

...,, yx yx σσ ±±se x, y, ... sono affette da errore casuale:

...22

22

2 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂= yxz y

fxf

σσσ

Questa è l’espressione generale: da qui si possono ricavare tutte le altre!

Propagazione dell’errore casuale - 5. funzione f(x,y,...)

dove x, y, ... sono variabili indipendenti, affette da errore casuale

( ),..., yxfz =è facile convincersi (v. pagina prec.) che

e sono indipendenti, allora

derivate calcolate in

( )...,, yx

Da quanto visto, l’errore casuale frazionario dell’espressione: λ

γβα

dcbaky =

22222

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dcbaydcbay σ

λσ

γσ

βσ

ασ

sarà:

Propagazione dell’errore casuale - 6. potenza

( ) nkxxy =

Dalla formula generale: nxky = xn

y xkn σσ1−

=

ma è più facile, e più utile, ricordare la formula dell’errore relativo

xn

yxy σσ

=

Propagazione dell’errore casuale - 7. prodotto o rapporto di potenze

( ) 1−=ʹ′ nxknxy

Caso pratico

• Data una serie di N misure possiamo determinarci il valor medio

• Se con νj indichiamo il numero di volte che dalla misura abbiamo ottenuto il valore mj allora fj= νj /N rappresenta la frequenza relativa di mj

• Lo scarto dalla media dell’I-esima misura e`: •  quindi lo scarto medio

• E lo scarto quadratico medio

m =mi

Ni∑

m =ν j

Nj∑ mj

€

xi = mi −m

€

θ =mi −m

ni∑ =

xi

ni∑

€

σ =

xi2

i∑n −1

Perche` si sceglie la media aritmetica come valore che meglio approssima il valore di aspettazione?

1.  Il valor medio e` tale per cui

2.  La media aritmetica dà un valore più vicino al vero di quanto mediamente non siano le singole misure

3. 

ε = m - m* O

Per il valor medio m è minima la somma dei moduli degli scarti m-mi

€

S m( ) = (mi∑ −m)2€

xii∑ = 0

significa che la somma degli scarti che corrispondonoa misure > di m ugualia la somma di quelli corrispondentia misure < m

Calcolo dell’errore della media

•  Consideriamo la media aritmetica come una funzione m=F(m1,m2,..mn)

E applichiamo la formula di propagazione degli errori quadratici

€

m = m1 + m2 + ....+ mn

n

€

σm =∂m ∂mi

$

% &

'

( )

2

Δmi2

i∑

∂m ∂mi

=1n

per poter fare la media aritmetica tutte le misure appartengono alla stessa gaussiana e quindiΔmi =σ

€

si deduce che

σm =nσ 2

n2 =σn

NB: se si ripete 10 volte una misura si riduce di circa 1/3 l’errore che si avrebbe sulla singola misura, per ridurlo di un’ordine di grandezza occorre fare almeno 100 misure e per ridurlo di due ordini di grandezza occorre misurare almeno 10000 la stessa grandezza

E` possibile quindi con la media avere un valore con un errore arbitrariamente piccolo?

•  In teoria questo e` possibile. Ai fini pratici pero` fare un elevato numero di misure significa mantenere le condizioni di misura invariate per un tempo molto lungo e questo non sempre e` possibile. Entrano in gioco errori sistematici che vanificano molto spesso il tentativo di aumentare la precisione di un risultato.

Media pesata

Se la grandezza m è stata misurata n-volte ma non con la stessa precisione, nel senso che i valori m1, m2, m3….. mn hanno errori quadratici medi diversi tra loro σ1, σ2, σ3,…σn non è lecito in questo caso fare semplicemente la media aritmetica perche` le singole misure mi obbediscono a gaussiane diverse e quindi e` diverso il loro scarto quadratico medio .

La migliore stima in questo caso si ottiene “pesando “ diversamente le singole misure

Si dimostra che i pesi sono: ai =

∑ 1/σ2

1/σ2 i

i i 1

N

€

m = aimii∑

€

σm =11σ i2

1∑

Con lo scarto quadratico medio della media