EL2-4_5ETT DERIVATEAutore: __________________________________________ Data: _________Classe: ____

ATTENZIONE

Il significato dei simboli usati in questa e nelle prossime esercitazioni è spiegato dettagliatamente nella guida http://www.classiperlo.altervista.org/Materiale/Generale/Simboli.doc (scaricala e consultala in caso di dubbi).

Il simbolo della manina in colore blu indica una domanda alla quale bisogna OBBLIGATORIAMENTE rispondere scrivendo in colore blu.

Il simbolo della manina in colore blu con la scritta Cou New indica un codice che va incollato usando Courier New in colore blu.

Il simbolo della manina in nero indica una o più immagini o schermate da incollare (protette col tuo watermark, le tue iniziali di Nome e Cognome)

Il simbolo della manina col simbolo degli Ohm indica una formula da scrivere o completare:

Il simbolo della manina con colori attenuati indica un'operazione che bisogna svolgere, senza rispondere a nessuna domanda (non vuol dire che non devi fare nulla – significa solo che non devi scrivere niente!).

Il simbolo della manina col ciak video indica un video da registrare con Gif Recorder (http://gifrecorder.com/)e da salvare in formato gif nella cartella dell'esercitazione.recupero.

Questo simbolo indica un video di esempio o di spiegazioni da guardare su YouTube

A) OPERAZIONI PRELIMINARI

A1) Compila l'intestazione del documento scrivendo Nome, Cognome e Classe

A2) Crea una sottocartella di ES2 con nome uguale a quello di questa esercitazione (EL2-4_5ETT Derivate)

A3) All'interno della sottocartella EL2-4_5ETT Derivate salva questo file Word

B) IL PROBLEMA DEL Δt

Ripartiamo dalla formula del generico rapporto incrementale:

G I=∆ GP

∆ t

B1) Riscrivi la formula precedente nel caso in cui le due grandezze siano lo spazio S e la velocità V:

B2) Spiegami con parole tue il significato nel rapporto incrementale nella formula precedente che definisce la velocità V di un corpo:

Volendo essere precisi, il rapporto incrementale dovrebbe essere scritto usando il simbolo di circa uguale ≃:

G I≅∆ GP

∆ t

B3) Spiegami perché bisognerebbe usare il simbolo di circa uguale:

B4) Cosa sarebbe necessario fare per poter sostituire il circa uguale ≃ con la vera uguaglianza =?

Scegliendo un intervallo di tempo Δt piccolissimo, la misura della grandezza incrementale diventa sempre più precisa e si avvicina sempre di più a una misura istantanea della grandezza stessa.

B5) Spiegami in quale modo sarebbe possibile ottenere (in teoria) una misura quasi istantanea della velocità di un corpo in caduta:

Tuttavia la misura istantanea sembra impossibile da raggiungere, dal momento che bisognerebbe mettere Δt=0 nella formula del rapporto incrementale:

G I≅∆ GP

∆ t

B6) Perché non posso semplicemente sostituire Δt=0 nella formula del rapporto incrementale?

C) FUNZIONI IN EXCELConsidera la seguente funzione matematica:

y=( x+1)2−1x

Una funzione matematica è una formula che permette di calcolare un valore di y partendo da un valore di x.

C1) Scrivi qui sotto il calcolo, tutti i passaggi matematici e il risultato finale per ricavare

il valore di y in corrispondenza di x = 2:

y=( x+1)2−1x

=¿

C2) Scrivi qui sotto il calcolo, tutti i passaggi matematici e il risultato finale per ricavare il valore di y in corrispondenza di x = -0,5:

y=( x+1)2−1x

=¿

Come vedi una funzione assomiglia a una macchinetta che distribuisce numeri. La funzione fornisce un numero y in cambio di un altro numero x che viene inserito.

C3) Spiegami con parole tue perché la figura qui sopra rappresenta una funzione (usa l'analogia!):

Il grafico di una funzione rappresenta tutti i valori di y che la funzione può generare (in corrispondenza dei valori di x inseriti).

C4) Avvia Excel e crea un documento Excel vuoto cliccando su Cartella di lavoro vuota. Rinomina il Foglio di lavoro chiamandolo Funzione:

C5) Salva il file Excel con nome Derivate.xls nella cartella di questa esercitazione.

Guarda il video attivando i sottotitoli di YouTube: https://youtu.be/6HMc_5dWgS4

SPIEGAZIONI

Excel consente di calcolare le formule in modo rapido, senza dover scrivere a mano tutti i valori. Per esempio, nel nostro caso, vogliamo creare una colonna con i valori di x da 0,1 fino a 2, con step (incremento) di 0,1 fra un valore e l'altro.

Fare questa operazione scrivendo a mano tutti i valori è piuttosto lungo e noioso. Per fortuna basta scrivere la formula

= A2 + 0,1e copiarla su tutte le celle sottostanti. Excel fa tutti i calcoli in automatico!

C6) Crea una colonna A con tutti i valori di x come mostrato nel video e salva il tuo file Excel.

Accanto alla colonna x vogliamo ora costruire una seconda colonna con i valori della y calcolati con la funzione

y=( x+1)2−1x

Guarda il video attivando i sottotitoli di YouTube: https://youtu.be/Ai0O7r1izuU

SPIEGAZIONI

Anche per la colonna y abbiamo sfruttato il calcolo automatico di Excel. La formula corrispondente alla nostra funzione è (ATTENZIONE alle parentesi!):

=((A2+1)^2-1)/A2

dove A2 è la cella che contiene il valore di y e il simbolo ^2 indica l'elevamento al quadrato.

C7) Crea una colonna B con tutti i valori di y come mostrato nel video e salva il tuo file Excel.

C8) Seleziona le due colonne x e y e fai un grafico della funzione. Incolla una schermata:

C9) Salva il file Excel con il grafico precedente. Poi sostituisci il valore 0,1 nella cella A2 (primo valore della colonna delle x) con il valore 0 come mostrato in figura (premi INVIO per confermare):

C10) Incolla una schermata dove si veda quello che è successo (compare un messaggio di errore):

C11) Spiegami cosa è successo e perché abbiamo ottenuto il messaggio di errore:

La funzione(x+1)2−1

xnon è definita in x = 0, perché questo valore di x rende nullo il denominatore e rende impossibile fare la divisione.

C12) Premi insieme i tasti CTRL e Z sulla tastiera in modo da annullare l'ultima modifica fatta in Excel e ripristinare il valore della cella A2.

D) LIMITI

Osserva che se metto x = 0 nella funzione(x+1)2−1

xsi annullano sia il numeratore che il denominatore della frazione.

In notazione matematica

(x+1)2−1 x→ 0→

0

L'espressione precedente dice che il limite per x tendente a zero di (x+1)2−1, vale zero.In sostanza quando x si avvicina (tende) a zero, la nostra frazione tende a:

(x+1)2−1x

x→ 0→ 0

0

Ma quanto fa 0 diviso 0? Sulla calcolatrice non si può calcolare. Si tratta di una forma indeterminata.

D1) Considera la velocità V in funzione dello spazio percorso ΔS in un intervallo di

tempo Δt. Se faccio tendere Δt→0, che cosa succede a ΔS? Spiegami perché anche in questo caso viene fuori una forma indeterminata:

D2) Considera un oggetto che si muove con velocità costante e percorre 5 metri in 2 secondi. Quanto vale la sua velocità media nell'intervallo di tempo Δt=2 s? Scrivi qui sotto il calcolo e il risultato:

D3) Quanto spazio percorre lo stesso oggetto dell'esempio qui sopra in Δt=1 s?

D4) Calcola di nuovo la velocità media dell'oggetto nel nuovo intervallo di tempo Δt=1 s. Scrivi calcoli e risultato:

D5) Immagina adesso di ridurre ancora l'intervallo di calcolo a Δt =0,5s. Calcola di nuovo la velocità media dell'oggetto nel nuovo intervallo di tempo. Scrivi calcoli e risultato:

Ovviamente il valore V rimane sempre lo stesso, anche riducendo Δt. La ragione è che l'oggetto del nostro esempio si muove a velocità costante e il rapporto incrementale

V ≅ ∆ S∆ t

rimane sempre uguale, perché riducendo Δt si riduce anche ΔS.

Questo ci consente di far tendere a zero Δt, cioè di farlo diventare infinitamente piccolo. La frazione rimane comunque calcolabile, perché è il rapporto fra due grandezze entrambe sempre più piccole, ma non uguali a zero.

Non possiamo sostituire il valore zero, ma possiamo avvicinarci a zero moltissimo, cioè calcolare il limite.

Proviamo dunque a scoprire quanto fa il limite per x→0 nella funzione

y=( x+1)2−1x

prendendo valori di x sempre più piccoli e vicini a zero.

D6) Completa la tabella qui sotto con i calcoli e i risultati (la prima riga l'ho già calcolata io per mostrarti come si fa):Valore di x Calcolo e risultato

0,1 y=( x+1)2−1x

=(0,1+1)2−1

0,1=1,12−1

0,1=1,21−1

0,1=0,21

0,1=2,1

0,05 y=( x+1)2−1x

=(+1)2−1❑ =❑2−1

❑ =−1❑ =❑

❑=¿

0,01 y=( x+1)2−1x

=(+1)2−1

❑ =❑2−1❑ =−1

❑ =❑❑=¿

D7) In base ai calcoli precedenti quanto vale il limite per x→0 della funzione

y=( x+1)2−1x

?

E) DERIVATA

Usando i limiti possiamo scoprire quanto vale una forma indeterminata 0/0. Il trucco è avvicinarsi moltissimo al valore zero, senza sostituire 0 dentro la formula.

Calcolando il limite del rapporto incrementale di una funzione si ottiene la sua derivata. La derivata è una misura della pendenza di una curva in ogni suo punto.

Guarda il video: https://youtu.be/jTRhjCfb-Dk

E1) Seguendo le istruzioni del video, traccia con Excel il grafico di una semplice parabola y=x2. Traccia il grafico in un nuovo foglio di lavoro del file Derivate.xls di nome Parabola:

E2) Incolla qui sotto una schermata del grafico della parabola:

Vogliamo adesso calcolare la pendenza della parabola in x = 0. Per fare questo prendiamo due punti vicini (per esempio x1=0 e x2=0,5) e calcoliamo la pendenza facendo:

pendenza=f (x2)−f (x1)

x2−x1= ∆ y

∆ xdove f(x) è la funzione parabola

y = f(x) = x2

Guarda il video: https://youtu.be/cpanaoE-XdM

E3) Seguendo le istruzioni del video, calcola la pendenza della parabola nel punto 0.

E4) In base ai calcoli fatti con Excel, quanto vale la pendenza della parabola in x=0?

E5) Trascina la cella C2 (quella col valore della pendenza calcolato prima) su tutte le celle sottostanti, in modo da ripetere il calcolo per tutti i punti della parabola. Sostituisci la mia figura qui sotto con la tua:

I valori di pendenza così ottenuti però sono imprecisi, dal momento che l'intervallo di calcolo è ancora troppo grande. Infatti la distanza fra due punti del nostro calcolo è 0,5.

Guarda il video che mostra come ridurre la distanza fra i punti: https://youtu.be/n9rh8hn3ons

E6) Esegui l'operazione mostrata nel video in modo da ridurre la distanza fra due punti successivi da 0,5 a 0,1. Incolla qui sotto una schermata dove si veda la tua tabella con i valori aggiornati:

E7) In base ai nuovi calcoli fatti con Excel, quanto vale la pendenza della parabola in x=0?

E8) Il nuovo valore di pendenza è esatto? Approssimato? Spiegami:

I valori nella tabella rappresentano la pendenza della parabola nei diversi punti:

E9) In base ai calcoli fatti con Excel, quanto vale la pendenza della parabola in x=1?

E10) Adesso traccia con Excel il grafico della pendenza. ATTENZIONE: devi selezionare la colonna x e la colonna P, tenendo premuto il tasto CTRL sulla tastiera. Incolla qui sotto una schermata col grafico risultante (se hai fatto bene il tuo lavoro, dovrebbe essere una retta):

ATTENZIONE

L'ultima coppia di punti è sbagliata, dal momento che non si può calcolare la pendenza sull'ultimo punto, perché manca il secondo punto con il quale fare il calcolo. Elimina l'ultima riga dalla tabella prima di fare il grafico.

E11) Salva il file Excel col grafico così ottenuto.

Il grafico delle pendenze della parabola è una retta passante per l'origine con pendenza (coefficiente angolare) 2.

E12) Che cosa rappresenta dal punto di vista matematico il grafico delle pendenze della

parabola? SUGGERIMENTO: c'entra con la derivata.

F) PROVIAMO CON UN'ALTRA FUNZIONE

F1) Crea un nuovo foglio Excel di nome Radice

F2) Dentro al foglio Radice copia e incolla i dati della tabella nel foglio Parabola (ATTENZIONE: devi selezionare un numero di righe e di colonne in Radice esattamente uguale a quello dei dati copiati da Parabola, altrimenti Excel ti dice che le dimensioni delle due aree non corrispondono).

F3) Modifica la formula scrivendo la formula della radice quadrata RADQ(A2) al posto di quella della parabola nella cella B2

F4) Copia e incolla B2 su tutte le celle sottostanti trascinandola.

F5) Traccia un grafico della radice e incolla qui il risultato:

F6) Aggiungi alla tabella nel foglio Radice una colonna per le pendenze P della funzione radice. Inserisci la formula per il calcolo della pendenza esattamente come visto prima nel caso della parabola:

F7) Incolla qui una schermata dove si veda la tabella con tutti i dati in Excel:

F8) Traccia un grafico delle pendenze della radice selezionando la colonna x e la colonna P (ricordati di tenere premuto CTRL). Incolla il risultato:

F9) Cosa ci dice il grafico delle pendenze a proposito della pendenza della funzione radice quadrata? Descrivimi il grafico a parole:

F10) Il grafico così ottenuto rappresenta l'andamento esatto della derivata della funzione radice? Oppure è un'approssimazione? Spiegami:

F11) Salva il file Excel con tutte le tabelle e i grafici.

G) CONCLUSIONI

La derivata di una curva ne rappresenta la pendenza in ogni punto. La derivata si ottiene facendo il limite del rapporto incrementale quando il denominatore Δx o Δt tende a zero:

∆ f∆ x

∆ x→ 0→

f '

G1) Perché bisogna ricorrere ai limiti e dire "tende a zero"? Non si potrebbe semplicemente sostituire 0 al posto di Δx o Δt? Spiegami:

Consideriamo quindi una tipica grandezza incrementale, la velocità V legata allo spazio S dalla formula:

V ≅ ∆ S∆ t

Si tratta di una formula approssimata, perché calcola la velocità media e non la velocità istantanea.

La formula esatta si ottiene facendo tendere Δt a zero, cioè trasformando il rapporto incrementale in una derivata.

G2) Completa il calcolo qui sotto trasformando il rapporto incrementale nella formula esatta con la derivata:

V= ∆ S∆ t

∆ t → 0→

G3) Ripeti il calcolo precedente con la definizione di corrente I in funzione della carica Q:

G4) Sapendo che l'accelerazione A è la grandezza incrementale della velocità V, ripeti il calcolo del limite e scrivi la definizione esatta di A:

H) OPERAZIONI FINALI

H1) Controlla di aver risposto a tutte le domande e incollato tutte le schermate. Tutte le

caselline dovrebbero avere un segno X, per indicare che hai risposto

H2) Comprimi le immagini contenute in questo file Word (seleziona un'immagine, scheda Formato e poi Comprimi immagini e infine Applica a tutte le immagini del documento) in modo da ridurne le dimensioni.

H3) Controlla che la cartella di questa esercitazione contenga i seguenti file con i nomi qui indicati:

Nome del file Tipo DescrizioneEL2-4_5ETT Derivate Word Il file di questa esercitazioneDerivate.xls Excel

H4) Chiudi tutti i file, zippa la cartella di questa esercitazione e inviala all'insegnante su Classiperlo.