1. Unidades de volumen PIENSA Y CALCULA · PDF fileción de πy, sabiendo que el cono...

1. Unidades de volumen

332 SOLUCIONARIO

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rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Transforma mentalmente en m3:

a) 25 dam3 b) 0,02 hm3

c) 2 560 dm3 d) 32 000 cm3

e) 45 km3 f) 575 000 mm3

Expresa en litros las siguientes cantidades:

a) 5 m3 b) 0,008 hm3

c) 250 dm3 d) 12 000 cm3

e) 10 km3 f) 250 000 mm3

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de untetraedro de 6 cm de arista. Redondea el resulta-do a dos decimales.

Solución:

A = a2 √—3

A = 62 √—3 = 62,35 cm2

a3√—2V = —

12

63√—2V = — = 25,46 cm3

12

3

c) 250 dm3 = 250 litros

d) 12 000 cm3 = 12 litros

e) 10 km3 = 10 000 000 000 000 litros

f) 250 000 mm3 = 0,25 litros

Solución:

a) 5 m3 = 5 000 litros

b) 0,008 hm3 = 8 000 000 litros

2

Solución:

a) 25 dam3 = 25 Ò 1 000 m3 = 25 000 m3

b) 0,02 hm3 = 0,02 Ò 1 000 000 m3 = 20 000 m3

c) 2 560 dm3 = 2 560 : 1 000 m3 = 2,56 m3

d) 32000 cm3 = 32000 : 1000000 m3 = 0,032 m3

e) 45 km3 = 45 000 000 000 m3

f) 570 000 mm3 = 0,00057 m3

1

A P L I C A L A T E O R Í A

13 Áreas y volúmenes

Calcula mentalmente el volumen de las siguientes figuras teniendo en cuenta que cada cubo es una unidad.

Solución:a) 7 u3 b) 4 u3 c) 8 u3 d) 6 u3 e) 8 u3

P I E N S A Y C A L C U L A

a)b)

c) d)e)

a

658,9 : 7,6 | C = 86,69; R = 0,056Carné calculista

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TEMA 13. ÁREAS Y VOLÚMENES 333

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Haz el dibujo y calcula mentalmente el área y elvolumen de un cubo de 5 m de arista.

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de unoctaedro de 7 dm de arista. Redondea el resultadoa dos decimales.

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de undodecaedro de 5 m de arista. Redondea el resulta-do a dos decimales.

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de unicosaedro de 9 cm de arista. Redondea el resulta-do a dos decimales.

Solución:

A = 5a2√—3

A = 5 · 92 √—3 = 701,48 cm2

5a3V = — (3 + √

—5 )

12

5· 93V = — (3 + √

—5 )= 1 590,46 cm3

12

7

Solución:

A = 3a2 √——25 + 10√

—5

A = 3 · 52 · √——25 + 10√

—5 = 516,14 m2

a3V = — (15 + 7√

—5 )

4

53V = — · (15 + 7√

—5 ) = 957,89 m3

4

6

Solución:

A = 2a2 √—3

A = 2 · 72 √—3 = 169,74 dm2

a3√—2V = —

3

73√—2V = — = 161,69 dm3

3

5

Solución:

A = 6a2

A = 6 · 52 = 150 m2

V = a3

V = 53 = 125 m3

4

a

a

a

a


334 SOLUCIONARIO

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Haz el dibujo y halla el área y el volumen de unortoedro cuyas dimensiones son 10 m, 5 m y 3 m

Haz el dibujo y halla el área y el volumen de unprisma cuadrangular en el que la arista de la basemide 3 cm y la altura del prisma mide 8 cm

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de uncilindro recto de 4 cm de radio de la base y 7 cmde altura.Aproxima el resultado a dos decimales.

Calcula el área y el volumen de un prisma hexago-nal en el que la arista de la base mide 2 m y la altu-ra del prisma mide 6 m.Aproxima el resultado ados decimales.

6 m

2 m

11

Solución:

AB = πR2 ò AB = π · 42 = 50,27 cm2

AL = 2πRH ò AL = 2 · π · 4 · 7 = 175,93 cm2

AT = 2AB + AL òAT = 2 · 50,27 + 175,93 = 276,47 cm2

V = AB · H ò V = 50,27 · 7 = 351,89 cm3

10

Solución:

AB = l 2 òAB = 32 = 9 cm2

AL = 4l H òAL = 4 · 3 · 8 = 96 cm2

AT = 2AB + AL òAT = 2 · 9 + 96 = 114 cm2

V = AB · H òV = 9 · 8 = 72 cm3

9

Solución:

A = 2(ab + ac + bc)

A = 2(10 · 5 + 10 · 3 + 5 · 3) = 190 m2

V = a · b · c

V = 10 · 5 · 3 = 150 m3

8


2. Área y volumen del ortoedro, el prisma y el cilindro

Calcula el área y el volumen de la figura mayor:

Solución:A = 2(4 · 3 + 4 · 5 + 3 · 5) = 2(12 + 20 + 15) = 2 · 47 = 94 cm2

V = 4 · 3 · 5 = 60 cm3


1cm3

a = 10 m

c = 3 m

b = 5 m

l = 3 cm

H = 8 cm

H = 7 cm

R = 4 cm

· – : = – 13

65

34

13

78

Carné calculista



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3. Área y volumen de la pirámide, el cono y la esfera

Se ha construido un recipiente con forma de or-toedro, para envasar leche, cuyas dimensiones son8 cm, 5 cm y 25 cm. Dibuja el recipiente, calcula suvolumen y exprésalo en litros.

Solución:

V = a · b · c

V = 8 · 5 · 25 = 1 000 cm3 = 1 litro

12Solución:

P · aAB = —2

Se calcula la apotema:

a = √—22 – 1 = √—

3 = 1,73 m

6 · 2 · 1,73AB = —— = 10,38 m22

AL = 6l H ò AL = 6 · 2 · 6 = 72 m2

AT = 2AB + AL ò AT = 2 · 10,38 + 72 = 92,76 m2

V = AB · H òV = 10,38 · 6 = 62,28 m3

a) Calcula mentalmente el volumen del prisma de la figura A y, sabien-do que la pirámide tiene un volumen de 18 cm3, halla cuántas veceses más pequeño el volumen de la pirámide que el del prisma.

b) Calcula mentalmente el volumen del cilindro de la figura B en fun-ción de π y, sabiendo que el cono tiene un volumen de 8π cm3, hallacuántas veces es más pequeño el volumen del cono que el del ci-lindro.

Solución:a) Volumen del prisma:

V = 3 · 3 · 6 = 54 cm3

54 : 18 = 3

El volumen de la pirámide es una tercera parte del volumen del prisma.

b) Volumen del cilindro:

V = π · 22 · 6 = 24π cm3

24π : 8π = 3

El volumen del cono es una tercera parte del volumen del cilindro.

P I E N S A Y C A L C U L AA B

3 cm3 cm

6 cm

6 cm

2 cm

H = 6 m

l = 2 m 1 m

2 ma

c = 25 cm

b = 5 cma = 8 cm

305,7 : 0,69 | C = 443,04; R = 0,0024Carné calculista


336 SOLUCIONARIO

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Haz el dibujo y halla el área y el volumen de unapirámide cuadrangular cuya base tiene 3 m de aris-ta y cuya altura mide 6 m.Aproxima el resultado ados decimales.

Haz el dibujo y halla el área y el volumen de uncono recto en el que el radio de la base mide 2 my la altura mide 8 m.Aproxima el resultado a dosdecimales.

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de unaesfera cuyo radio mide 6 cm.Aproxima el resulta-do a dos decimales.

Se ha construido un adorno de metacrilato con for-ma de pirámide hexagonal cuya base tiene 4 cm dearista y cuya altura mide 12 cm. El metacrilato cues-ta 28,5 € el m2. Dibuja el adorno y calcula el preciodel material.Aproxima el resultado a dos decimales.

Solución:

P · aAB = —2

Se calcula la apotema de la base, a:

a = √—42 – 22 = √—

12 = 3,46 cm

6 · 4 · 3,46AB = —— = 41,52 cm22

AL = 6 · l · h : 2

16

Solución:

A = 4πR2 ò A = 4π · 62 = 452,39 cm2

4 4V = —πR3 òV = —π · 63 = 904,78 cm33 3

15

AL = π · 2 · 8,25 = 51,84 m2

AT = AB + AL ò AT = 12,57 + 51,84 = 64,41 m2

1 1V = —AB · H òV = — · 12,57 · 8 = 33,52 m33 3

Solución:

AB = πR2 ò AB = π · 22 = 12,57 m2

AL = πRG

Se calcula la generatriz G:

G = √—22 + 82 = 8,25 m

14

Solución:

AB = l 2 ò AB = 32 = 9 m2

AL = 4l · h : 2

Se calcula la apotema de la pirámide:

h = √—1,52 + 62 = 6,18 m

AL = 4 · 3 · 6,18 : 2 = 37,08 m2

AT = AB + AL ò AT = 9 + 37,08 = 46,08 m2

1 1V = —AB · H òV = — · 9 · 6 = 18 m33 3

13


hH h

l = 3 m1,5 m

H =

6 m

R = 6 cm

aa

l = 4 cm 2 cm

H =

12

cm

4 cm

R = 2 m

H = 8 m G

R = 2 m

8 m G


h = √——3,462 + 122 = 12,49 cm

AL = 6 · 4 · 12,49 : 2 = 149,88 cm2

AT = AB + AL

AT = 41,52 + 149,88 = 191,4 cm2

El coste del metacrilato es:

191,4 : 10 000 · 28,5 = 0,55 €

Se calcula la apotema de la pirámide, h:


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4. Área y volumen del tronco de pirámide y tronco de cono

Haz el dibujo y halla el área y el volumen de untronco de pirámide cuadrada en el que la arista dela base mayor mide 14 m; la arista de la basemenor, 4 m; y la altura, 12 m. Aproxima el resulta-do a dos decimales.

Solución:17


a) Calcula mentalmente el volumen del tronco de pirámide azul restando, del volumendel total de la pirámide, el volumen de la pirámide amarilla.

b)Comprueba que el resultado es el mismo que aplicando la fórmula:

V = (AB1+ AB2

+ ) · H

donde H es la altura del tronco de pirámide.

Solución:1a) Volumen de la pirámide: V = — · 4 · 6 = 8 cm33

1Volumen de la pirámide amarilla: V = — · 1 · 3 = 1 cm33

Volumen del tronco: V = 8 – 1 = 7 cm3

1b) V = —(4 + 1 + √—4 · 1) · 3 = 7 cm3

3

El resultado es el mismo.

√AB1· AB2

13


a

h

H =

12

cm

5 m

hh

H =

12

m

H =

12

m

5 m2 m7 m

l1 = 14 m

l2 = 4 m

1 cm

2 cm

H

3 cm

3 cm

2 cm

· ( – ) = 227

23

56

49

Carné calculista


338 SOLUCIONARIO

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Haz el dibujo y halla el área y el volumen de untronco de cono en el que el radio de la base mayormide 10 m; el radio de la base menor, 4 m, y la altu-ra, 15 m.Aproxima el resultado a dos decimales.

Calcula la cantidad de agua que cabe en el cubo dela figura:

Solución:

AB1= πr2 ò AB1

= π · 62 = 113,10 cm2

AB2= πR2 ò AB2

= π · 102 = 314,16 cm2

1V = —(AB1+ AB2

+ √—AB1· AB2

) · H3

1V = —(113,10 + 314,16 + √——113,10 · 314,16) · 20 =

3

= 4105,05 cm3

El agua que cabe en el cubo será:

4 105,05 : 1 000 = 4,10 505 = 4,11 dm3 = 4,11 litros

20 cm

20 c

m

12 cm

19

AT = AB1+ AB2

+ AL

AT = 314,16 + 50,27 + 710,75 = 1 075,18 m2

1V = —(AB1+ AB2

+ √—AB1· AB2) · H

3

1V = —(314,16 + 50,27 + √——314,16 · 50,27) · 15 =

3

= 2 450,50 m3

Solución:

AB1= πR2 ò AB1

= π · 102 = 314,16 m2

AB2= πr2 ò AB2

= π · 42 = 50,27 m2

AL = π(R + r)G

Se calcula la generatriz, G:

G = √—62 + 152 = 16,16 m

AL = π · (10 + 4) · 16,16 = 710,75 m2

18

AB1= l 2

1 ò AB1= 142 = 196 m2

AB2= l 2

2 ò AB2= 42 = 16 m2

l 1 + l 2AL = 4 · —· h2

Se calcula la apotema del tronco de pirámide, h:

h = √—52 + 122 = 13 m

14 + 4AL = 4 · — · 13 = 468 m22

AT = AB1+ AB2

+ AL òAT = 196 + 16 + 468 = 680 m2

1V = —(AB1+ AB2

+ √—AB1· AB2) · H

3

1V = —(196 +16 + √—196 · 16 ) · 12 = 1 072 m33

6 mR = 10 m

r = 4 m

GG

H =

15

m

H =

15

m

R = 10 cm

r = 6 cm

H =

20

cm



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Ejercicios y problemas

1. Unidades de volumen

Completa:

a) 15 dm3 = … cm3

b) 0,05 dam3 = … m3

c) 250 dm3 = … m3

d) 32 500 000 cm3 = … dam3

Expresa en metros cúbicos las siguientes canti-dades:

a) 1300 dm3 b) 6 hm3

c) 0,005 km3 d) 400 000 cm3

Expresa en litros las siguientes cantidades:

a) 1,5 m3 b) 0,04 dam3

c) 25 dm3 d) 750 cm3

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de untetraedro de 5 cm de arista. Redondea el resulta-do a dos decimales.

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de uncubo de 4 m de arista.

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de unoctaedro de 6 dm de arista. Redondea el resultadoa dos decimales.

2. Área y volumen del ortoedro, el prismay el cilindro

Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un or-toedro cuyas dimensiones son 5 m, 3,5 m y 4 m

Solución:

A = 2(ab + ac + bc)

A = 2(5 · 3,5 + 5 · 4 + 3,5 · 4) = 103 m2

V = a · b · c

V = 5 · 3,5 · 4 = 70 m3

26

Solución:

A = 2a2√—3 ò A = 2 · 62 √—

3 = 124,71 dm2

a3√—2 63√—

2V = — ò V = — = 101,82 dm33 3

25

Solución:

A = 6a2 ò A = 6 · 42 = 96 m2

V = a3 òV = 43 = 64 m3

24

A = a2√—3

A = 52 √—3 = 43,30 cm2

a3√—2V = —

12

53√—2V = — = 14,73 cm3

12

Solución:

23

Solución:

a) 1,5 m3 = 1 500 litros

b) 0,04 dam3 = 40 000 litros

c) 25 dm3 = 25 litros

d) 750 cm3 = 0,75 litros

22

Solución:

a) 1 300 dm3 = 1,3 m3

b) 6 hm3 = 6 000 000 m3

c) 0,005 km3 = 5 000 000 m3

d) 400 000 cm3 = 0,4 m3

21

Solución:

a) 15 dm3 = 15 000 cm3

b) 0,05 dam3 = 50 m3

c) 250 dm3 = 0,25 m3

d) 32 500 000 cm3 = 0,0325 dam3

20

a

a

a

c = 4 m

a = 5 m

b = 3,5 m


340 SOLUCIONARIO

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Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de unprisma hexagonal en el que la arista de la basemide 5 cm, y la altura del prisma, 8 cm. Redondeael resultado a dos decimales.

Calcula el área y el volumen de un prisma penta-gonal en el que la arista de la base mide 8 cm, laapotema de la base mide 5,51 cm y la altura delprisma mide 14 cm. Redondea el resultado a dosdecimales.

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de uncilindro recto cuya base tiene 3 cm de radio y cuyaaltura mide 6 cm. Redondea el resultado a dosdecimales.

3. Área y volumen de la pirámide, el conoy la esfera

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de unapirámide cuadrangular en la que la arista de la basemide 10 cm y la altura de la pirámide mide 12 cm

Solución:

30

Solución:

AB = πR2

AB = π · 32 = 28,27 cm2

AL = 2πR · H

AL = 2 · π · 3 · 6 = 113,10 cm2

AT = 2 · AB + AL

AT = 2 · 28,27 + 113,10 = 169,64 cm2

V = AB · H ò V = 28,27 · 6 = 169,62 cm3

29

AL = 5 · l · H

AL = 5 · 8 · 14 = 560 cm2

AT = 2AB + AL ò AT = 2 · 110,2 + 560 = 780,4 cm2

V = AB · H

V = 110,2 · 14 = 1 542,8 cm3

Solución:

P · aAB = —2

5 · 8 · 5,51AB = —— = 110,2 cm22

a = 5,51 cm

H =

14

cm

l = 8 cm

28

Solución:

P · aAB = —2

Se calcula la apotema, a:

a = √—52 – 2,52 = 4,33 cm

6 · 5 · 4,33AB = —— = 64,95 cm22

AL = 6 · l · H ò AL = 6 · 5 · 8 = 240 cm2

AT = 2AB + AL ò AT = 2 · 64,95 + 240 = 369,9 cm2

V = AB · H ò V = 64,95 · 8 = 519,6 cm3

27

a 5 cm

l = 5 cm

H =

8 c

m

2,5 cm

H =

14

cm

l = 8 cm

l = 8 cm

a = 5,51 cm

R = 3 cm

H = 6 cm

h

l = 10 ma = 5 cm

H =

12

cm

H =

12

cm

h



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Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de unapirámide hexagonal en la que la arista de la basemide 6 m y la altura de la pirámide mide 10 m

Haz el dibujo y halla el área y el volumen de uncono recto de 6 m de radio de la base y 8 m dealtura.

Calcula el área y el volumen de un cono cuyo de-sarrollo plano es el siguiente:

Solución:

Los datos del desarrollo plano se pueden expresaren el siguiente dibujo:

G = 13 cm

R = 5 cm

33

Solución:

AB = πR2

AB = π · 62 = 113,10 m2

AL = πRG


G = √—62 + 82 = 10 m

AL = π · 6 · 10 = 188,50 m2

AT = AB + AL

AT = 113,10 + 188,50 = 301,6 m2

1V = —AB · H3

1V = — · 113,10 · 8 = 301,6 m33

32

Solución:

P · aAB = —2

Se calcula la apotema de la base, a:

a = √—62 – 32 = 5,20 m

6 · 6 · 5,20AB = —— = 93,6 m22

AL = 6 · l · h : 2


h = √——5,202 + 102 = 11,27 m

AL = 6 · 6 · 11,27 : 2 = 202,86 m2

AT = AB + AL

AT = 93,6 + 202,86 = 296,46 m2

1V = —AB · H3

1V = — · 93,6 · 10 = 312 m33

31

AB = l 2

AB = 102 = 100 m2

AL = 4 · l · h : 2


h = √—52 + 122 = 13 cm

AL = 4 · 10 · 13 : 2 = 260 cm2

AT = AB + AL ò AT = 100 + 260 = 360 cm2

1V = —AB · H3

1V = — · 100 · 12 = 400 cm33

aa

h

l = 6 m 3 m

H =

10

m

6 m

GG

R = 6 mR = 6 m

H =

8 m

H = 8 m

G = 13 cmG = 13 cm HG

R = 5 cmR = 5 cm

h

a = 5,20 m

H =

10

m


342 SOLUCIONARIO

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Calcula cuánto cuesta el helado de la figura, que esmedia esfera, si el litro de helado cuesta 5 €

4. Área y volumen del tronco de pirámide ytronco de cono

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de untronco de pirámide cuadrangular, en el que la aris-ta de la base mayor mide 18 m, la arista de la basemenor mide 8 m y la altura del tronco mide 12 m

Haz el dibujo y halla el área y el volumen de untronco de cono de 12 m de altura y en el que losradios de las bases miden 10 m y 4 m

Solución:

AB1= πR2 ò AB1

= π · 102 = 314,16 m2

AB2= πr2 ò AB2

= π · 42 = 50,27 m2

AL = π(R + r)G


G = √—62 + 122 = 13,42 m

AL = π · (10 + 4) · 13,42 = 590,24 m2

AT = AB1+ AB2

+ AL

AT = 314,16 + 50,27 + 590,24 = 954,67 m2

1V = —(AB1+ AB2

+ √—AB1· AB2) · H

3

1V = —(314,16 + 50,27 + √——314,16 · 50,27) · 12 =

3

= 1 960,40 m3

36

AB1= l 2

1 ò AB1= 182 = 324 m2

AB2= l 2

2 ò AB2= 82 = 64 m2

l 1 + l 2AL = 4 · — · h2

Se calcula la apotema del tronco, h:

h = √—52 + 122 = 13 m

18 + 8AL = 4 · — · 13 = 676 m22

AT = AB1+ AB2

+ AL

AT = 324 + 64 + 676 = 1 064 m2

1V = —(AB1+ AB2

+ √—AB1· AB2) · H

3

1V = —(324 +64 + √—324 · 64 ) · 12 = 2 128 m33

Solución:

35

Solución:

4V = —πR3 : 23

4V = —π · 4,53 : 2 = 190,85 cm3 › 0,19 litros3

Precio: 0,19 · 5 = 0,95 €

4,5 cm

34

AB = πR2 ò AB = π · 52 = 78,54 cm2

AL = πRG ò AL = π · 5 · 13 = 204,20 cm2

AT = AB + AL ò AT = 78,54 + 204,20 = 282,74 cm2

1V = —AB · H3

Se calcula la altura del cono, H:

H = √—132 – 52 = 12 cm

1V = — · 78,54 · 12 = 314,16 cm33

R = 4,5 cm

l1 = 18 m

l2 = 8 m

9 m4 m

H =

12

m

H =

12

m

5 m5 m

h h

H =

12

m

H =

12

m

6 m

GG

6 m

R = 10 m

r = 4 m

4 m



© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Calcula el área y el volumen del tronco de pirámi-de cuyo desarrollo plano es el siguiente:

Calcula el área y el volumen del tronco de conocuyo desarrollo plano es el siguiente:

Solución:

AB1= πR2 ò AB1

= π · 52 = 78,54 cm2

AB2= πr2 ò AB2

= π · 32 = 28,27 cm2

AL = π(R + r)G

AL = π · (5 + 3) 4 = 100,53 cm2

AT = AB1+ AB2

+ AL

AT = 78,54 + 28,27 + 100,53 = 207,34 cm2

1V = —(AB1+ AB2

+ √—AB1· AB2) · H

3

Se calcula la altura, H:

H = √—42 – 22 = 3,46 cm

1V = —(78,54 + 28,27 + √——78,54 · 28,27) · 3,46 =

3

= 177,53 cm3

G = 4 cmr = 3 cm

R = 5 cm

38

Solución:

AB1= l 2

1 ò AB1= 102 = 100 m2

AB2= l 2

2 ò AB2= 42 = 16 m2

l 1 + l 2AL = 4 · — · h2

10 + 4AL = 4 · — · 5 = 140 m22

AT = AB1+ AB2

+ AL òAT = 100 + 16 + 140 = 256 m2

1V = —(AB1+ AB2

+ √—AB1· AB2) · H

3


H = √—52 – 32 = 4 m

1V = —(100 +16 + √—100 · 16 ) · 4 = 208 m33

l1 = 10 m

l2 = 4 m

h = 5 m

37

3 m

5 m

l1 = 10 m

l2 = 4 m

h = 5 m

h = 5 m

H

H

3 m2 m

2 cm

G = 4 cm

G = 4 cm

H

H

2 cm3 cmR = 5 cm

r = 3 cm


344 SOLUCIONARIO

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Edi

toria

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.L.


Halla la arista de un octaedro cuya área es 18 m2

Halla el área de un tetraedro regular en el que lasuma de sus aristas es 24 cm.Aproxima el resulta-do a dos decimales.

Halla la arista de un tetraedro regular cuya áreamide 6,93 m2.Aproxima el resultado a dos deci-males.

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de unprisma hexagonal en el que la arista de la basemide 8 cm y la altura del prisma mide 24 cm.Apro-xima el resultado a dos decimales.

Haz el dibujo y calcula el volumen de un prismarecto de m de altura, que tiene por base untriángulo equilátero de 2 m de arista.

Calcula la capacidad en litros de un depósito cuyodesarrollo plano es el que se indica en la figurasiguiente:

H =

6 m

R = 3 m

44

Solución:

V = AB · H

Hay que calcular el área de la base:

2 · aAB = — = a2

La altura del triángulo de la base es:

a = √—22 – 1 = √—

3 m

Luego:

AB = a = √—3 m

El volumen es:

V = AB · H òV = √—3 · √—

3 = 3 m3

√343

6 · 8 · 6,93AB = —— = 166,32 cm22

AL = 6 · l · H

AL = 6 · 8 · 24 = 1 152 cm2

AT = 2AB + AL

AT = 2 · 166,32 + 1 152 = 1 484,64 cm2

V = AB · H

V = 166,32 · 24 = 3 991,68 cm3

Solución:

P · aAB = —2

Se calcula la apotema, a:

a = √—82 – 42 = 6,93 cm

42

Solución:

A = a2√—3

6,93a2√—3 = 6,93 ò a2 = — = 4 ò a = 2 m

√—3

41

Solución:

A = a2√—3

Hay que calcular el valor de la arista.

24 : 6 = 4 cm

Luego:

A = a2√—3 ò A = 42√—

3 = 27,71 cm2

40

Solución:

A = 2a2√—3

2a2√—3 = 18√—

3 ò a2 = 9 ò a = 3 m

√339

Para ampliar

H =

24

cm

l = 8 cm 4 cm

8 cma

2 m

2 m

a

1 m

H = 3 m



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Calcula el área y el volumen del cono de la figurasiguiente:

Calcula el volumen de la pieza de la figura siguiente:

Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de unaesfera de 3,5 cm de diámetro.

Calcula el volumen de la figura siguiente:

H = 12 cm

10 cm

10 cm10 cm

48

Solución:

A = 4πR2 ò A = 4π · 1,752 = 38,48 cm2

4 4V = —πR3 òV = — · π · 1,753 = 22,45 cm33 3

47

Solución:

El volumen de la pieza es la diferencia entre el volu-men del cilindro exterior y el volumen del interior:

Área de la base del cilindro exterior:

A = πR2 ò A = π · 102 = 314,16 cm2

Área de la base del cilindro interior:

A' = πr2 ò A’ = π · 7,52 = 176,71 cm2

Área de la base de la pieza:

AB = A – A’ = 314,16 – 176,71 = 137,45 cm2

V = AB · H òV = 137,45 · 15 = 2 061,75 cm3

r = 7,5 cm

15 c

m

R = 10 cm

46

Solución:

AB = πR2 ò AB = π · 82 = 201,06 cm2

AL = πRG ò AL = π · 8 · 17 = 427,26 cm2

AT = AB + AL ò

AT = 201,06 + 427,26 = 628,32 cm2

1V = —AB · H3


H = √—172 – 82 = 15 cm

1V = — · 201,06 · 15 = 1 005,3 cm33

G = 17 cmH

R = 8 cm

45

Solución:

Es un cilindro en el que el radio de la base mide 3 my la altura del cilindro mide 6 m

Volumen:

V = π · 32 · 6 = 169,65 m3 = 169 650 litros

8 cmR = 8 cm

17 cmG = 17 cmHH

R = 10 cm

15 cm

r = 7,5 cm

R = 1,75 cm


346 SOLUCIONARIO

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Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de untronco de pirámide cuadrangular, en el que la aris-ta de la base mayor mide 6 m, la arista de la basemenor mide 4 m y la altura del tronco mide 4 m

Haz el dibujo y halla el área de un tronco de conode 15 cm de altura en el que los radios de lasbases miden 15 cm y 7 cm

Solución:

AB1= πR2 ò AB1

= π · 152 = 706,86 cm2

AB2= πr2 ò AB2

= π · 72 = 153,94 cm2

AL = π(R + r)G


G = √—82 + 152 = 17 cm

AL = π · (15 + 7) · 17 = 1 174,96 cm2

AT = AB1+ AB2

+ AL

AT = 706,86 + 153,94 + 1 174,96 = 2 035,76 cm2

50

6 + 4AL = 4 · — · 4,12 = 82,4 m22

AT = AB1+ AB2

+ AL òAT = 36 + 16 + 82,4 = 134,4 m2

1V = —(AB1+ AB2

+ √—AB1· AB2) · H

3

1V = —(36 +16 + √—36 · 16 ) · 4 = 101,33 m33

Solución:

AB1= l 2

1 ò AB1= 62 = 36 m2

AB2= l 2

2 ò AB2= 42 = 16 m2

l 1 + l 2AL = 4 · — · h2

Se calcula la apotema, h:

h = √—42 + 12 = 4,12 m

49

Solución:

Volumen = volumen del cubo + volumen de la pirá-mide

Volumen del cubo:

VC = 103 = 1 000 cm3

1VP = — · 102 · 12 = 400 cm33

V = 1 000 + 400 = 1 400 cm3

2 m

h

H =

4 m

l2 = 4 m

l1 = 6 m

1 m

h

H =

4 m

1 m

GG

H =

15

cm

H =

15

cm8 cm

8 cm7 cm

r = 7 cm

R = 15 cm



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.L.

Haz el dibujo y calcula el área lateral de un conode 4 m de altura cuya base tiene una superficieque mide 9π m2

Haz el dibujo y calcula elárea lateral del cono que segenera al hacer girar eltriángulo rectángulo de lafigura alrededor del catetomayor.

Las dimensiones de un depósito de agua son 9 m Ò 6 m Ò 4 m. Dibuja el depósito y calculacuántos litros de agua contendrá cuando estécompletamente lleno.

Se quiere alicatar un cuarto de baño cuyas dimen-siones son 3 m,2 m y 2,50 m. Si se cobra a 24 €/m2,¿cuánto costará alicatar el cuarto de baño?

Solución:

A = 2(3 · 2,5 + 2 · 2,5) = 25 m2

Precio = 25 · 12 = 300 €

54

Solución:

V = a · b · c

V = 9 · 6 · 4 = 216 m3 = 216 000 litros

53

Solución:

AL = πRG


G = √—52 + 122 = √—169 = 13 cm

AL = π · 5 · 13 = 204,20 cm2

52

Solución:

AL = πRG

Hay que calcular el radio de la base, R, y la genera-triz, G

El radio R:

AB = πR2

π · R2 = 9π ò R = 3 m

La generatriz G:

G = √—42 + 32 = 5 m

AL = π · 3 · 5 = 47,12 m2

51

12 cmG

R = 5 cm

a = 9 m

b = 6 m

c = 4 m

a = 3 mb = 2 m

c = 2,5 m

12 c

m

5 cm

R

3 m

R

A = 9π m2

G

G

4 m

4 m

Problemas


348 SOLUCIONARIO

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Se ha construido una caja de madera sin tapa, conforma de ortoedro, cuyas dimensiones exterioresson 10 cm Ò 5 cm Ò 8 cm. Si la madera tiene ungrosor de 1 cm, ¿cuál será la capacidad de la caja?

Un depósito de agua, con forma de ortoedro, tieneunas dimensiones de 6 m, 5 m y 3,5 m. Si está al 45%de su capacidad, ¿cuántos litros tiene?

La tulipa de una lámpara tiene forma de tronco decono. El radio de la base mayor mide 15 cm; elradio de la base menor, 10 cm, y su altura, 12 cm. Siel material con el que está construida cuesta a12,5 €/m2, ¿cuál será el precio del material utilizado?

Un bote de refresco, con forma de cilindro, contie-ne 33 cl. Calcula el radio de la base sabiendo quesu altura es de 11 cm

El envase de un yogur es un cilindro en el que eldiámetro de la base mide 5 cm, y la altura, 6 cm.Calcula la superficie de la etiqueta que rodea com-pletamente la superficie lateral del envase.

Se quiere hacer una pieza de plástico con formade cono recto, que debe llenarse de agua. Si lapieza debe tener 12 cm de diámetro de la base y20 cm de altura, ¿cuál será su volumen?

Solución:

1V = —AB · H3

1V = — π · 62 · 20 = 753,98 cm33

60

Solución:

AL = 2πRH

AL = 2 · π · 2,5 · 6 = 94,25 cm2

59

Solución:

V = AB · H

πR2 · 11 = 330 cm3

330R2 = — = 9,5511π

R = 3,09 cm

58

AL = π(R + r)G


G = √—52 + 122 = √—169 = 13 cm

AL = π(15 + 10) · 13 = 1 021,02 cm2 = 0,1 021 m2

Precio del material: 0,1021 · 12,5 = 1,28 €

Solución:

57

Solución:

V = 6 · 5 · 3,5 = 105 m3 = 105 000 litros

105 000 · 0,45 = 47 250 litros

56

Solución:

V = (10 – 2)(5 – 2)(8 – 2) = 144 cm3

55

10 cm

5 cm

8 cm

1 cm1 cm

H =

11

cm

R

H =

6 c

m

R = 2,5 cm

R = 6 cm

H = 20 cm

3,5 m

5 m

6 m

r = 10 cm

10 cm

G G

R = 15 cm

H =

12

cm

H =

12

cm

5 cm5 cm



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Para profundizar

La diagonal de un cubo mide 4 m. Calcula el áreatotal del cubo.

Calcula el área lateral y el volumen del cuerpo quese genera al hacer girar el triángulo equilátero dela figura sobre su altura.

Se introduce una esfera en un recipiente comple-tamente lleno de agua y se derraman 36π dm3 deagua. Calcula el radio de la esfera.

Calcula el peso de la esfera de la figura sabiendoque es maciza y su densidad es de 7,5 kg/dm3

Compara los volúmenes de los tres cuerpos.

¿Qué relación encuentras entre ellos?

Solución:

VCilindro = AB · H ò VCilindro = πR2R = πR3

1 1 1VCono = — AB · H ò VCono = —πR2R = —πR33 3 3

4 2VSemiesfera = —πR3 : 2 ò VSemiesfera = —πR33 3

Se da la relación:

2 1—πR3 + —πR3 = πR33 3

VSemiesfera + VCono = VCilindro

RR

RR

R

R

65

Solución:

4V = —πR33

4V = —π · 23 = 33,51 dm33

Peso = 33,51 · 7,5 = 251,33 kg

2 dm

64

Solución:

4—πR3 = 36π3

3 · 36πR3 = —= 274π

R = 3 dm

63

Solución:

Se genera un cono de altura H, de generatrizG = 2 cm y radio de la base R = 1 cm

AL = πRG òAL = π · 1 · 2 = 6,28 cm2

1V = —AB · H3


H = √—22 – 12 = 1,73 cm

1V = — · π · 1 · 1,73 = 1,81 cm33

2 cm

62

Solución:

Aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio:

D2 = a2 + a2 + a2

D2 = 3a2

3a2 = 42

3a2 = 16

a2 = 16/3

A = 6 · 16/3 = 32 m2

61

a

a

a

D

HG = 2 cm

R = 1 cm


350 SOLUCIONARIO

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Aplica tus competencias

Se quieren poner tejas en un tejado como el de lafigura adjunta. Si cada teja cubre aproximada-mente 5 dm2, ¿cuántas tejas harán falta paracubrir el tejado?

A Pedro le ha recetado el médico que se tome 10 cm3 de jarabe para la tos tres veces al día. Si elfrasco contiene 240 ml, ¿cuántos días puedetomar jarabe?

Una viga de hormigón tiene forma de ortoedrode dimensiones 200 cm Ò 30 cm Ò 20 cm. Si ladensidad del hormigón es 2,4 kg/dm3, ¿cuántopesará la viga?

Solución:V = 2 · 0,3 · 0,2 = 0,12 m3

0,12 m3 = 120 dm3

Peso: 120 · 2,4 = 288 kg

30 cm

200 cm

20 c

m

68

Solución:Toma cada día: 3 · 10 = 30 cm3 = 30 ml

Nº de días: 240 : 30 = 8 días.

67

Solución:Área del tejado: 2 · 5,6 · 14 = 156,8 m2

156,8 m2 = 15 680 dm2

15 680 : 5 = 3 136 tejas.

10 m14 m5,6 m

66



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Comprueba lo que sabes

Escribe los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico. Pon un ejemplo de cómo se pasa de hectómetrocúbico a metro cúbico.

Solución:

Ejemplo12 hm3 = 12 000 000 m3

1

Completa:

a) 17 hm3 = … litros b) 250 cl = … dm3

c) 2 000 cm3 = … litros d) 5 ml = … cm3

Calcula el área y el volumen de un prisma hexa-gonal en el que la arista de la base mide 2 m y laaltura del prisma mide 6 m. Aproxima el resulta-do a dos decimales.

Haz el dibujo y halla el área y el volumen de unapirámide cuadrangular cuya base tiene 3 m dearista y cuya altura mide 6 m. Aproxima el resul-tado a dos decimales.

Solución:

4

P · aAB = —2

Se calcula la apotema:

a = √—22 – 1 = √

—3 = 1,73 m

6 · 2 · 1,73AB = —— = 10,38 m22

AL = 6l H ò AL = 6 · 2 · 6 = 72 m2

AT = 2AB + AL ò AT = 2 · 10,38 + 72 = 92,76 m2

V = AB · H ò V = 10,38 · 6 = 62,28 m3

Solución:

6 m

2 m

3

Solución:a) 17 hm3 = 17 000 000 000 litros

b) 250 cl = 2,5 dm3

c) 2 000 cm3 = 2 litros

d) 5 ml = 5 cm3

2

Múltiplos

Submúltiplos

Nombre Abreviatura

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Cantidad en metros

1 000 000 000 m3 = 109 m3

1 000 000 m3 = 106 m3

1 000 m3 = 103 m3

1 m3

0,001 m3 = 10– 3 m3

0,000001 m3 = 10– 6 m3

0,000000001 m3 = 10– 9 m3

kilómetro cúbico

hectómetro cúbico

decámetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

H = 6 m

l = 2 m 1 m

2 ma

hH h

l = 3 m1,5 m

H =

6 m


352 SOLUCIONARIO

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Comprueba lo que sabes

Halla el área y el volumen de un tronco de conoen el cual el radio de la base mayor mide 5 m; elradio de la base menor, 2 m, y la altura, 4 m.Aproxima el resultado a dos decimales.

¿Cuántas garrafas de 5 litros se llenarán con elagua del depósito de la figura?

Se introduce una esfera en un recipiente comple-tamente lleno de agua y se derraman 36π dm3

de agua. Calcula el radio de la esfera.

Se quiere construir un farolillo con forma de tron-co de pirámide y con las caras laterales de cristal.Si la arista de la base mayor mide 24 cm, la aristade la base menor mide 8 cm, y la altura mide15 cm, ¿cuánto costará el cristal de las caras late-rales si se cobra a 24 € el metro cuadrado?

Solución:

l 1 + l 2AL = 4 · — · h2

Hay que calcular la apotema del tronco de pirámi-de, h:

h = √—82 + 152 = 17 cm

24 + 8AL = 4 · — · 17 = 1 088 cm2 = 0,1088 m22

Dinero = 0,1088 · 24 = 2,61 €

l2 = 8 cm

H =

15

cm

l1 = 24 cm

8

Solución:4 3 · 36π—πR3 = 36 ò R3 = —= 27 ò R = 3 dm3 4π

7

Solución:V = VCilindro : 2 = π · 12 · 3 : 2 = 4,71 m3 =

= 4 710 litros

4 710 : 5 = 942 garrafas.

3 m

2 m

6

Solución:

AB1= πR2 ò AB1

= π · 52 = 78,54 m2

AB2= πr2 ò AB2

= π · 22 = 12,57 m

AL = π(R + r)G

Hay que calcular la generatriz, G:

G = √—32 + 42 = 5 m

AL = π · (5 + 2) · 5 = 109,96 m2

AT = AB1+ AB2

+ AL

AT = 78,54 + 12,57 + 109,96 = 201,07 m2

1V = —(AB1+ AB2

+ √—AB1

· AB2)3

V = (78,54 + 12,57 + √——78,54 · 12,57 ) · 4 =

= 163,37 m3

5

AB = l 2 ò AB = 32 = 9 m2

AL = 4l · h : 2


h = √—1,52 + 62 = 6,18 m

AL = 4 · 3 · 6,18 : 2 = 37,08 m2

AT = AB + AL ò AT = 9 + 37,08 = 46,08 m2

1 1V = — AB · H ò V = — · 9 · 6 = 18 m33 3

3 m

GG

4 m

H =

4 m

3 m2 mR = 5 m

r = 2 m

4 cm

l1 = 24 cm

l2 = 8 cm

hh

H =

15

cm

H =

15

cm

8 cm 8 cm



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Calcula el área y el volumen de un tetraedro de5 cm de arista.

Calcula el área y el volumen de un ortoedro de5 cm, 3 cm, y 2 cm de aristas.

Calcula el área y el volumen de un prisma penta-gonal de 4 m de arista de la base; 2,75 m de apo-tema de la base y 8 m de altura.

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemáticas, curso y tema.

72

l = 4 m

l = 4 m

a = 2,75 m

H =

8 m

H =

8 m

71

Solución:Resuelto en el libro del alumnado.

a b

ca

b

c

70

Solución:Resuelto en el libro del alumnado.

a = 5 cm

69

Linux/Windows GeoGebra Windows Cabri

Paso a paso


354 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Windows Cabri

Halla el área y el volumen de un cilindro rectode 3 m de radio de la base y 7 m de altura.

Halla el área y el volumen de una pirámide cua-drangular de 6 m de arista de la base y 8 m dealtura.

Halla el área y el volumen de un cono recto de5 m de radio de la base y 12 m de altura.

Halla el área y el volumen de una esfera de 3 mde radio.

Solución:

5 m

76

Solución:

G

R = 5 m

AL

G G

H =

12

m

R = 5 m R = 5 m

75

Solución:

B

l = 6 m

h h

a = 3 m

H = 8 m

H =

8 m

74

Solución:

H =

7 m

H =

7 m

R = 3 mR = 3 m

73

Practica


SOLUCIONES DE LA EVALUACIÓN DE DIAGNÓSTICO 355

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Soluciones de la Evaluación de Diagnóstico

Bloque 4: Geometría

b

c

d

b

b

a

d

b

c

a

Ejercicios

CarpinteroA: Sí.

B: No.

C: Sí.

D: Sí.

DadosI: No.

II: Sí.

III: Sí.

IV: No.

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


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