ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-CUITÉ)

PL A N O S  PA R A L E L O S  A O S  E I X O S  E  A O S  PL A N O S  CO O R D E N A D O S  

Casos Particulares     

           A equação  dczbyax =++  na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano   ππ      ),,( , anormalvetorumcbavsendo = .   Quando   uma   ou   duas   das componentes de  v  são nulas, ou quando d = 0 teremos os casos particulares. 

Plano que Passa pela Origem

     Se o plano  dczbyax =++  passa pela origem:  0  ,0.0.0. ==++ déistodcba

Assim a equação:   0=++ czbyax representa a equação de um plano que passa pela origem.

Planos Paralelos aos Eixos Coordenados

Se apenas uma das componentes do vetor  ),,( cbav = é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano π é paralelo ao mesmo eixo:

I. Se  xcbva 0//),,0(,0 π∴==  e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: .dczby =+

A figura mostra o plano de equação:  .0632 =−+ zy   

Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A1  (0,3,0) e A2  (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor normal ao plano é  ),3,2,0(=v pois a equação deπ  pode ser escrita na forma:

                                     .06320 =−++ zyx

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      Com raciocínio análogo, vamos concluir que:

II. Os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma:  ;dczax =+III. Os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma:  .dbyax =+

         Da análise feita sobre este caso particular,  conclui­se que a variável ausente na equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável.

    As figuras seguintes mostram os planos  ,42:  3: 21 =+=+ yxezx ππ

♦ Observações:     a) A equação  042 =−+ yx , como vimos, representa no espaço  3ℜ  um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano 

2ℜ , representa uma reta.                              b) Se na equação  0  ,0   =+==+ byaxequaçãoadfizemosdbyax  representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.

Planos Paralelos aos Planos Coordenados

      Se duas das componentes do vetor normal  ),,( cbav =  são nulas,  v  é colinear a 

um   dos   vetores   )1,0,0(  )0,1,0(  )0,0,1( ===→→→koujoui ,e,   portanto,   o   plano  π   é 

paralelo ao plano dos outros dois vetores:

I) Se  yxkcccvba 0//)1,0,0(),0,0(,0 π∴=====→

 e a equação geral dos planos 

paralelos ao plano x0y é:  .  :,0 ,cd

zvemccomodcz =≠=

Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y.

A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.

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A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma  0400 =−++ zyx  na qual 

vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e  )1,0,0(=→k  é um 

vetor normal ao plano.

      Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) tem por equação: z = z1.

     Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(­1,2,­3) e é paralelo ao plano x0y tem por equação: z = ­3.

     Com raciocínio análogo, vamos concluir que:

II) Os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k;III) Os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k.As figuras abaixo mostram os planos  2:     ;     3: 21 == xy ππ  respectivamente

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Exemplos:  1º) Determinar uma equação cartesiana do plano   paralelo ao eixo y e queα  contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1).

                       2º) Determinar a equação do plano paralelo ao plano yz e que contem o ponto A(3,4,­1).

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

Seja r a reta que contém o ponto A(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor v = (a, b, c). Um ponto P(x,y,z) pertence a reta r se, e somente se, 

Daí,

E assim,

      Equações Paramétricas da Reta

Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta r que contem o ponto A(3,­1,2) e é paralela ao vetor v=(­3,­2,­1).

Reta Definida por Dois Pontos

A reta definida pelos pontos A(x1,y1,z1)  e B(x2,y2,z2) é a reta que passa por A(ou 

B) e tem a direção do vetor  .

Exemplo: Obtenha a equação da reta definida pelos pontos A(1,­2,­3) e B(3,1,­4).

Interseção de Planos

A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta.

Sejam  1π  e  2π  planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de  1π  e  2π  resolveremos o sistema composto por suas equações.

Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos  0725:1 =++−π zyx  e 

0433:2 =++−π zyx .

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Solução: Montamos o seguinte sistema:

=++−=++−

04330725

zyx

zyx

O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z que atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos.

Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de variável livre.

Como fazer:

( )

=++−

=++−

ambos. de  somaa efetuamos  seguidaem e 1­ por

  equações das uma ndomultiplicaz  variável a oseliminaremzyx

zyx

0433

0725

y) caso (no variáveis das uma isolamosyx

zyxzyx

→=−−−

=++−=−−+−

+

032

04330725

32 −−= xy

Agora   substituímos   32 −−= xy   na   primeira   ou   na   segunda   equação   do   primeiro sistema.

Substituindo  32 −−= xy  na equação  0725 =++− zyx , teremos:

( )07645

073225

=++++=++−−⋅−

zxx

zxx

Agora isolando z, teremos:

139 −−= xz

Logo os pontos de interseção são da forma

As equações paramétricas são

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Interseção de Reta com Plano

A intersecção entre uma reta r e um plano π  é um ponto, que chamaremos de I. Para   determinar   as   coordenadas   do   ponto   I   resolvemos   o   sistema   composto   pelas 

equações da reta r e pela equação do plano π .

Exemplo: Determinar   o   ponto   de   intersecção   da   reta  

 com o plano      09253: =−−+ zyxπ .

Solução:

Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e π , então suas coordenadas devem verificar as 

equações do sistema formado pelas equações de r e de π :

Resolve­se este sistema substituindo x, y e z na equação   09253 =−−+ zyx   e assim encontramos t, t=­2 . Logo x = ­2, y = ­1 e z = ­10.

Portanto I (­2, ­1, ­10)

Interseção de Retas

Duas retas no espaço podem ser paralelas,  concorrentes  ou reversas.  Se seus vetores   diretores   são   paralelos,   então   as   retas   são   paralelas,   caso   contrário   são concorrentes ou reversas.

Exemplo: Verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas:

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Distância de um Ponto a um Plano

Sejam um ponto P(x0,y0, z0  ) e um plano  0: =+++ dczbyaxπ , definimos a distância entre P e π  por

Exemplo: Calcule a distância do ponto P(­4,2,5) ao plano  .

Distância de um Ponto a uma Reta

  Seja r uma reta definida por um ponto   e pelo vetor diretor 

 e seja    um ponto qualquer do espaço. Os vetores   

determinam um paralelogramo cuja altura corresponde a distância   que pretendemos calcular.

Sabemos que a área do paralelogramo é 

Mas pela interpretação geométrica do produto vetorial, temos

Logo  

E Portanto, 

Exemplo: Encontre a distância do ponto   a reta 

Distância entre Retas Reversas

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Consideremos duas retas r e s reversas: a reta r definida por um ponto  e pelo vetor diretor   e a reta s definida por   e 

pelo vetor diretor  . A distância entre elas é dada por

Exemplo: Calcular a distância entre as retas