ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-CUITÉ)
PL A N O S PA R A L E L O S A O S E I X O S E A O S PL A N O S CO O R D E N A D O S
Casos Particulares
A equação dczbyax =++ na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano ππ ),,( , anormalvetorumcbavsendo = . Quando uma ou duas das componentes de v são nulas, ou quando d = 0 teremos os casos particulares.
Plano que Passa pela Origem
Se o plano dczbyax =++ passa pela origem: 0 ,0.0.0. ==++ déistodcba
Assim a equação: 0=++ czbyax representa a equação de um plano que passa pela origem.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
Se apenas uma das componentes do vetor ),,( cbav = é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano π é paralelo ao mesmo eixo:
I. Se xcbva 0//),,0(,0 π∴== e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: .dczby =+
A figura mostra o plano de equação: .0632 =−+ zy
Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A1 (0,3,0) e A2 (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor normal ao plano é ),3,2,0(=v pois a equação deπ pode ser escrita na forma:
.06320 =−++ zyx
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Com raciocínio análogo, vamos concluir que:
II. Os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: ;dczax =+III. Os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: .dbyax =+
Da análise feita sobre este caso particular, concluise que a variável ausente na equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável.
As figuras seguintes mostram os planos ,42: 3: 21 =+=+ yxezx ππ
♦ Observações: a) A equação 042 =−+ yx , como vimos, representa no espaço 3ℜ um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano
2ℜ , representa uma reta. b) Se na equação 0 ,0 =+==+ byaxequaçãoadfizemosdbyax representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.
Planos Paralelos aos Planos Coordenados
Se duas das componentes do vetor normal ),,( cbav = são nulas, v é colinear a
um dos vetores )1,0,0( )0,1,0( )0,0,1( ===→→→koujoui ,e, portanto, o plano π é
paralelo ao plano dos outros dois vetores:
I) Se yxkcccvba 0//)1,0,0(),0,0(,0 π∴=====→
e a equação geral dos planos
paralelos ao plano x0y é: . :,0 ,cd
zvemccomodcz =≠=
Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y.
A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.
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A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma 0400 =−++ zyx na qual
vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e )1,0,0(=→k é um
vetor normal ao plano.
Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) tem por equação: z = z1.
Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(1,2,3) e é paralelo ao plano x0y tem por equação: z = 3.
Com raciocínio análogo, vamos concluir que:
II) Os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k;III) Os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k.As figuras abaixo mostram os planos 2: ; 3: 21 == xy ππ respectivamente
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Exemplos: 1º) Determinar uma equação cartesiana do plano paralelo ao eixo y e queα contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1).
2º) Determinar a equação do plano paralelo ao plano yz e que contem o ponto A(3,4,1).
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
Seja r a reta que contém o ponto A(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor v = (a, b, c). Um ponto P(x,y,z) pertence a reta r se, e somente se,
Daí,
E assim,
Equações Paramétricas da Reta
Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta r que contem o ponto A(3,1,2) e é paralela ao vetor v=(3,2,1).
Reta Definida por Dois Pontos
A reta definida pelos pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) é a reta que passa por A(ou
B) e tem a direção do vetor .
Exemplo: Obtenha a equação da reta definida pelos pontos A(1,2,3) e B(3,1,4).
Interseção de Planos
A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta.
Sejam 1π e 2π planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de 1π e 2π resolveremos o sistema composto por suas equações.
Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos 0725:1 =++−π zyx e
0433:2 =++−π zyx .
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Solução: Montamos o seguinte sistema:
=++−=++−
04330725
zyx
zyx
O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z que atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos.
Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de variável livre.
Como fazer:
( )
=++−
=++−
ambos. de somaa efetuamos seguidaem e 1 por
equações das uma ndomultiplicaz variável a oseliminaremzyx
zyx
0433
0725
y) caso (no variáveis das uma isolamosyx
zyxzyx
→=−−−
=++−=−−+−
+
032
04330725
32 −−= xy
Agora substituímos 32 −−= xy na primeira ou na segunda equação do primeiro sistema.
Substituindo 32 −−= xy na equação 0725 =++− zyx , teremos:
( )07645
073225
=++++=++−−⋅−
zxx
zxx
Agora isolando z, teremos:
139 −−= xz
Logo os pontos de interseção são da forma
As equações paramétricas são
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Interseção de Reta com Plano
A intersecção entre uma reta r e um plano π é um ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas
equações da reta r e pela equação do plano π .
Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da reta
com o plano 09253: =−−+ zyxπ .
Solução:
Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e π , então suas coordenadas devem verificar as
equações do sistema formado pelas equações de r e de π :
Resolvese este sistema substituindo x, y e z na equação 09253 =−−+ zyx e assim encontramos t, t=2 . Logo x = 2, y = 1 e z = 10.
Portanto I (2, 1, 10)
Interseção de Retas
Duas retas no espaço podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. Se seus vetores diretores são paralelos, então as retas são paralelas, caso contrário são concorrentes ou reversas.
Exemplo: Verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas:
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Distância de um Ponto a um Plano
Sejam um ponto P(x0,y0, z0 ) e um plano 0: =+++ dczbyaxπ , definimos a distância entre P e π por
Exemplo: Calcule a distância do ponto P(4,2,5) ao plano .
Distância de um Ponto a uma Reta
Seja r uma reta definida por um ponto e pelo vetor diretor
e seja um ponto qualquer do espaço. Os vetores
determinam um paralelogramo cuja altura corresponde a distância que pretendemos calcular.
Sabemos que a área do paralelogramo é
Mas pela interpretação geométrica do produto vetorial, temos
Logo
E Portanto,
Exemplo: Encontre a distância do ponto a reta
Distância entre Retas Reversas
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