1

Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις

Η εξίςωςθ που περιγράφει το πρόβλθμα:

2

2

F Dx b

m Dx b

dm Dx b

dt

d dx dxm Dx b

dt dt dt

d x dxm Dx b

dt dt

m Dx b

όπου: 20D m θ ςτακερά επαναφοράσ, ω0 θ γωνιακι ιδιοςυχνότθτα του ταλαντωτι

και b θ ςτακερά απόςβεςθσ.

Η λφςθ τθσ εξίςωςθσ που περιγράφει το πρόβλθμα:

bt

2m0x A e t

όπου: 2

20

b

2m.

Η φκίνουςα μθχανικι ταλάντωςθ ζχει γωνιακι ςυχνότθτα ω, που εξαρτάται από τθ

γωνιακι ιδιοςυχνότθτα ω0 και τθ μάηα m του ταλαντωτι, κακώσ και από τθ ςτακερά

απόςβεςθσ b (ςτισ αςκιςεισ κα κεωροφμε ότι 0 ). Το πλάτοσ τθσ ταλάντωςθσ

ελαττώνεται εκκετικά με το χρόνο. Η ςτακερά b

2mονομάηεται ςτακερά τθσ

εκκετικισ ελαττώςεωσ του πλάτουσ και μετριζται ςτο S.I. ςε s-1. Η αρχικι φάςθ τθσ

ταλάντωςθσ ςχετίηεται με τον τρόπο διζγερςθσ. Όταν, τθ χρονικι ςτιγμι t=0, ο

ταλαντωτισ ελευκερώνεται από τθ κζςθ απομάκρυνςθσ x=+A0, τότε φ=0 και ς’ αυτιν

τθν περίπτωςθ κα επικεντρωκοφμε ςτθ ςυνζχεια.

2

Χρθςιμοποιώντασ το πρόγραμμα τθσ εικόνασ, και κζτοντασ

Α0=5m, m=2kg, b=4kg

s, ω0= 401 Hz και ω=20Hz,

διαπιςτώνουμε τα ακόλουκα:

1. Η ςτακερά τθσ εκκετικισ ελαττώςεωσ του πλάτουσ Λ ςχετίηεται με το ρυκμό ελάττωςθσ

του πλάτουσ.

3

Η χρονοςυνάρτθςθ τθσ αλγεβρικισ τιμισ τθσ ταχφτθτασ του ταλαντωτι ζχει τφπο:

bt

2m0

bA e t t

2m

και το Graph δίνει ωσ γραφικι παράςταςθ υ-t τθν ακόλουκθ:

4

Η δυναμικι ενζργεια του ταλαντωτι είναι, κάκε ςτιγμι, ίςθ με:

bt

2 2 2 2m0 0

1 1U Dx m A e t

2 2.

και το Graph δίνει ωσ γραφικι παράςταςθ υ-t τθν ακόλουκθ:

5

Η κινθτικι ενζργεια του ταλαντωτι είναι, κάκε ςτιγμι, ίςθ με:

2bt

2 2 m0

1 1 bK m mA e t t

2 2 2m.

και το Graph δίνει ωσ γραφικι παράςταςθ υ-t τθν ακόλουκθ:

6

Η μθχανικι ενζργεια του ταλαντωτι είναι, κάκε ςτιγμι, ίςθ με:

2b bt t

2 2 2 2 2 2m m0 0 0

1 1 1 b 1E K U m Dx mA e t t m A e t

2 2 2 2m 2

και το Graph δίνει ωσ γραφικι παράςταςθ υ-t τθν ακόλουκθ:

Από το γράφθμα αυτό ςυμπεραίνουμε ότι θ μθχανικι ενζργεια του ταλαντωτι ελαττώνεται με

το χρόνο, αλλά όχι εκκετικά (όπωσ υπαινίςςεται το ςχολικό εγχειρίδιο ςτθν ερώτθςθ 1.18).

Κατά τθ διάρκεια κακενόσ από τα παρατθροφμενα «οροπζδια», θ ενζργεια του ταλαντωτι

παραμζνει ςτακερι. Αυτό οφείλεται ςτο γεγονόσ ότι ςτα ςυγκεκριμζνα ςτοιχειώδθ χρονικά

διαςτιματα θ ταχφτθτα του ταλαντωτι είναι μθδενικι 0

και ςυνεπώσ και ο ρυκμόσ

μεταβολισ τθσ ενζργειασ του ταλαντωτι είναι μθδενικόσ 2b

dEP b

dt .

«Οροπζδιο»

7

Τισ «γνωςτζσ» χρονικζσ ςτιγμζσ t=kT, k=0,1,2,…, και για τισ ίδιεσ με πριν τιμζσ, θ ενζργεια του

ταλαντωτι είναι:

Δυναμικι: k

5U 10025 e S.I. ,

Κινθτικι: k

5K 50e S.I. και

Μθχανικι: k k

5 5E 10025 e 50e S.I. .

Για τισ τιμζσ αυτζσ, το Microsoft Office Excel 2007 δίνει το ακόλουκο γράφθμα Χ Υ (Διαςπορά):

8

Η προςκικθ γραμμισ τάςθσ ςτο γράφθμα δίνει:

Ιςχφει:

Συνεπώσ:

Η μθχανικι ενζργεια του ταλαντωτι ελαττώνεται με το χρόνο, αλλά όχι εκκετικά. Μόνο οι

τιμζσ τθσ, τισ χρονικζσ ςτιγμζσ t=kT, k=0,1,2,…, ανικουν ςε εκκετικι καμπφλθ τθσ μορφισ ak

0E E e , όπου a κετικι ςτακερά. Στθν περίπτωςι μασ, a=-0,628, μια τιμι που αντιςτοιχεί

ςτο πθλίκο b

Tm

. Ζτςι: b b

kT tm m

0 0E E e E e . Ενώ θ ςτακερά τθσ εκκετικισ ελαττώςεωσ του

πλάτουσ είναι: b

2m, θ ςτακερά τθσ «εκκετικισ» ελαττώςεωσ τθσ ενζργειασ είναι:

b2

m.

Υπόμνημα:

Μπορεί να χρηςιμοποιηθεί ςτισ εξετάςεισ.

Δεν μπορεί να χρηςιμοποιηθεί ςτισ εξετάςεισ.