Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Σήµατα & φάσµατα

• Σειρά Fourier• Μετασχηµατισµός Fourier

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Παράσταση στο πεδίο συχνότητας

)cos()( φωυ += tAt o

0

ooo f

Tωπ21

==

A

t phasor

Aof

}Re{)( 2 tfjj oeAet πφυ =⇔

2A

of

2A

of

συζυγείς phasors

tfjjtfjj oo eeAeeA πφπφ 22

22−−+=

of f

A

of f

φ

πλάτος

φάση

µονόπλευρο φάσµα

of f

2/A

of f

φ

πλάτος

φάση

φ−

of−

of−

δίπλευρο φάσµα

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Σήµατα γραµµικού φάσµατος

πλάτος

-0.3 0.3 0.9 1.5-0.9-1.5

0.5

0.25

f

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

tφάση

-0.3

0.3 0.9 1.5

-0.9-1.5

2π

π

)4.2cos(2.0)2

32cos(4.0)2

6.0cos()( ππππππ +++++= tttts

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Περιοδικά σήµατα

tTtt o ∀+= ),()( υυ

)2cos(2)(1

non

no tnfcct φπυ ++= ∑∞

=

Τριγωνοµετρική Σειρά Fourier

⇒== −−

njnnn eccc φ*

υ(t) πραγµατικό (Εκθετική) Σειρά Fourier

dtetT

c

nect

o

o

o

T

tnfj

on

n

tnfjn

∫

∑−

∞

−∞=

=

==

π

π

υ

υ

2

2

)(1

,...2,1,0,)(⇔

oo T

f 1=

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Περιοδικά σήµατα (συν.)

f

nc

of

τ/1

)sinc( τπτ fAfo

Toτ

t

)(tυ

……

o

o

o

tfj

on nf

nfTAdtAe

Tc o

πτπτ

τ

π sin1 2/

2/

2 == ∫−−

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Περιοδικά σήµατα (συν.)

Αυξάνοντας την περίοδο:

f

nc

2/of

τ/1

nc

fτ/1

2To

t

)(tυ

……

t

)(tυ ∞→oT

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Μετασχηµατισµός Fourier

{ } )()(2 fHdttheh(t) ftj∫∞

∞−

− ==ℑ πΟρισµός:

Inversion formula: { } )()(21 thdsfHeH(f) ftj- ∫+∞

∞−

==ℑ π

Integral theorem: ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

= dffVfUdttvtu )(*)()(*)(

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Ιδιότητες µετασχηµατισµού Fourier

)( τ−th )(2 fHe fj τπ−καθυστέρηση

)2cos()( φπ +tfth c ])()([21 φφ j

cj

c effHeffH −++−διαµόρφωση

n

n

dtthd )( )()2( fHfj nπδιαφόριση

)()0(21)(

21 fHfH

fjδ

π+∫ ∞−

tduuh )(ολοκλήρωση

)(tht nn

nn

dffHdj )()2( −− ππολλαπλασιασµός επι tn

∫∞

∞−− duutguh )()( )()( fGfHσυνέλιξη

)(th )( fH

)()( 21 tbhtah + )()( 21 fbHfaH +υπέρθεση

)(ath )(||

1afH

aαλλαγή κλίµακας

)(2 the tfj cπ )( cffH −ολίσθηση συχνότητας

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Παραδείγµατα

αλλαγή κλίµακας

t f0ορθογωνικός παλµός

σταθερή συνάρτηση

κρουστική συνάρτηση

cfcf− cf

διαµόρφωση

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Παραδείγµατα (συν.)

......tΤ 2Τ0

σειράκρουστικών

......f1/Τ 2/Τ0

δειγµατοληψία

......

Σειρά & Μετασχηµατισµός Fourier (Ν. Μήτρου) 2003-04

Θεώρηµα Parseval

∑∫∞

−∞=

==n

nTo

cdttT

Po

22)(1 υ(Περιοδικά) σήµατα ισχύος:

∫∫∞

∞−

∞

∞−

== dtfHdtthE 22 )()(Σήµατα ενέργειας: