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Stand 02.06.2006 Marius Sterk, Matrikel 15145028 1/2 FH Lippe und Höxter Formelsammlung Technische Mechanik Schubspannungen infolge Querkraft • Allgemein gültig : () Z Y Y V S z I d τ =− ∗ Zur Berechnung des Statischen Moment S Y : A z S y ∗ = , Fläche mal Hebelarm (TS auf GS) • Nur im Stahlbau : ( ) Steg Steg V mit A h t s A τ= = − ∗ • Dünnwandig : Z Y (S) V z d ds I d τ=− ∗ ∗ ∗ ∫ • Vorgehensweise bei dünnwandiger Berechnung : o wenn V Z , dann Schwerpunkt und FTM I Y berechnen d z ∗ - Linie S y – Linie (durch Integration der d z ∗ - Linie) hierbei Integrationsbeginn am freien Rand bzw. in der Symmetrieachse) t – Linie „Schubfluss“ Z Y Y V kN t S I m ⎡ ⎤ =− ∗ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ τ – Linie „Schubspannung“ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 m kN d t τ o wenn V Y , dann Schwerpunkt und FTM I Z berechnen d y ∗ - Linie S z – Linie (durch Integration der d y ∗ - Linie) hierbei Integrationsbeginn am freien Rand bzw. in der Symmetrieachse) t – Linie „Schubfluss“ Y z z V kN t S I m ⎡ ⎤ =− ∗ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ τ – Linie „Schubspannung“ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 m kN d t τ o Teilschubkräfte berechnen (durch Integration der „neuen“ t-Linie) (Kontrolle bei Bildung der Teilschubkräfte: Σ Teilschubkräfte = Belastung durch V Y oder V Z o Wählen des Schubmittelpunktes M o V Y in M, den Schubmittelpunkt, legen o Drehpunkt P wählen (wo möglichst viele Kräfte durchgehen) m i Ti V e T e ∗ =Σ ∗ o Momententenbedingung aufstellen und e m ausrechnen Blatt 4.5 Blatt 4.6 Schubmittelpunkt Bei V Y => TSK nur Horizontalkomponente Bei V Z => TSK nur Vertikalkomponente
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Stand 02.06.2006
Marius Sterk, Matrikel 15145028 1/2 FH Lippe und Höxter
Formelsammlung Technische Mechanik Schubspannungen infolge Querkraft
• Allgemein gültig: ( ) Z Y
Y
V Sz
I dτ = − ∗
Zur Berechnung des Statischen Moment SY: AzS y ∗= , Fläche mal Hebelarm (TS auf GS)
• Nur im Stahlbau: ( )StegSteg
V mit A h t sA
τ = = − ∗
• Dünnwandig: Z
Y (S)
Vz d ds
I dτ = − ∗ ∗
∗ ∫
• Vorgehensweise bei dünnwandiger Berechnung:
o wenn VZ, dann
Schwerpunkt und FTM IY berechnen
dz ∗ - Linie
Sy – Linie (durch Integration der dz ∗ - Linie) hierbei Integrationsbeginn am freien Rand bzw. in der Symmetrieachse)
t – Linie „Schubfluss“ ZY
Y
V kNt SI m
⎡ ⎤= − ∗ ⎢ ⎥⎣ ⎦
τ – Linie „Schubspannung“ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 2mkN
dtτ
o wenn VY, dann
Schwerpunkt und FTM IZ berechnen
dy ∗ - Linie
Sz – Linie (durch Integration der dy ∗ - Linie) hierbei Integrationsbeginn am freien Rand bzw. in der Symmetrieachse)
t – Linie „Schubfluss“ Yz
z
V kNt SI m
⎡ ⎤= − ∗ ⎢ ⎥⎣ ⎦
τ – Linie „Schubspannung“ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 2mkN
dtτ
o Teilschubkräfte berechnen (durch Integration der „neuen“ t-Linie) (Kontrolle bei Bildung der Teilschubkräfte: Σ Teilschubkräfte = Belastung durch VY oder VZ
o Wählen des Schubmittelpunktes M
o VY in M, den Schubmittelpunkt, legen
o Drehpunkt P wählen (wo möglichst viele Kräfte durchgehen) m i TiV e T e∗ = Σ ∗
o Momententenbedingung aufstellen und em ausrechnen
Blatt 4.5
Blatt 4.6Schubmittelpunkt
Bei VY => TSK nur Horizontalkomponente Bei VZ => TSK nur Vertikalkomponente
Stand 02.06.2006
Marius Sterk, Matrikel 15145028 2/2 FH Lippe und Höxter
Schubspannungen infolge Torsion Torsionsmomente treten z.B. auf, wenn der Schubmittelpunkt des Querschnitts nicht in der Lastebene liegt. Schubmittelpunkt: Der Punkt des Querschnitts, für den das Moment aus den Schubspannungen infolge Querkraft gleich Null ist. Man unterscheidet reine Torsion, bei der nur Schubspannungen auftreten, und Wölbkrafttorsion (z.B. bei offenen, dünnwandigen Querschnitten), bei der neben den Schubspannungen auch Querschnittsverwölbungen und Wölbnormalspannungen auftreten.
• Torsion bei dünnwandig geschlossenen Profilen – Vorgehensweise:
o Schubmittelpunkt M bestimmen (s. Seite zuvor!)
o Torsionsmoment MT ermitteln T ZM V x= ∗ x = Querkraft bei Symmetrieachse
o AT ermitteln (eingeschlossene Fläche)
o Schubfluss T
T
AMt∗
=2
(1. Bredt’sche Formel)
o Schubspannung (für jedes einzelne Bauteil!) dA
Mdt
T
T
∗∗==
2τ
maximale Schubspannung bei min d
o Torsionsträgheitsmoment [ ]42)2( m
dl
AI
i
i
TT
∑∗
=
(2. Bredt’sche Formel)
• Torsion bei dünnwandig offenen Profilen – Vorgehensweise:
o Schubmittelpunkt M bestimmen
o Torsionsmoment MT ermitteln T ZM V x= ∗ x = Querkraft bis Schubmittelpunkt
o Torsionsträgheitsmoment [ ]43
31 mdaI iiT ∑ ∗=
o Schubspannung (für jedes einzelne Bauteil!) iT
T dI
M∗=τ
maximale Schubspannung bei max d
o Max. Tτ dI
M
T
TT max∗=τ
Blatt 5.4
Blatt 5.6
Wobei li: Länge, di: Dicke der Bauteile
Wobei ai: Länge, di: Dicke der Bauteile
