FLEXION EN VIGAS

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE

Se había dicho que el comportamiento del acero es elastoplástico, como se muestra:

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE

Mn = ρrd2fy (d - ρd fy ) (5.5a) 1.7 f´c

Teníamos que :

o bienMn = [wrf´c(1 – 0.59w)]d3 (5.5b)

Donde w = ρfy / f´c.

La ecuación 5.5b se expresa algunas veces comoMn = Rbd2 (5.6a)

Donde R = wf´c(1 – 0.59w) (5.6b)

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTELas ecuaciones 5.5 y 5.6 son útiles para el desarrollo de gráficas.

se gráfica el valor de R para vigas simplemente reforzadas.

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE

Si se conocen f´c, fy , b, d, y As para una sección rectangular y la viga esta dimensionada y reforzada de tal forma que la falla ocurre por fluencia del acero de tensión y aplastamiento del concreto al mismo tiempo en la cara de compresión, el momento resistente puede obtenerse utilizando la ecuación 5.4 o 5.5

Pero sustituyendo el área de acero balanceada Asb y la profundidad del bloque rectangular balanceado ab en lugar de As y a.

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTESin embargo, las vigas deberán diseñarse para fallar en tensión por fluencia inicial del refuerzo, por las razones explicadas en las secciones siguientes.

Pueden identificarse tres tipos de vigas según el tipo de falla, esto es, fluencia del acero o aplastamiento del concreto:

1. Sección balanceada: el acero comienza a fluir cuando en concreto alcanza su capacidad

última de deformación y comienza a aplastarse.

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE

Al inicio de la falla, la deformación permisible a compresión de la fibra extrema es 0.003 in/in, mientras que la deformación a tensión en el acero es igual a la deformación de fluencia Єy = fy / Es.

La distribución de la deformación balanceada, sigue la línea Ac 1 en la fig. 5.3b a través del peralte de la viga.

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE2. Sección sobrereforzada:

La falla ocurre por aplastamiento inicial del concreto. En la iniciación del la falla, la deformación del acero Єs será menor que la deformación de fluencia Єy, como se indica en la línea Ab 2, en la fig., de aquí que el esfuerzo en al acero fs será menor que su resistencia de fluencia fy.

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE2. Dicha condición se logra utilizando mas refuerzo

en la cara de tensión que el requerido para la condición balanceada.

3. Sección subreforzada: La falla ocurre por fluencia

inicial del acero, como se muestra en la línea Aa 3, en la fig.

El acero continúa estirándose conforme la deformación en el acero aumenta más allá de Єy.

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE

Esta condición se obtiene cuando el área del refuerzo de tensión utilizada en la viga es menor que la requerida para la condición de deformación balanceada.De la posiciones c, b y a del eje neutro debe señalarse que el eje se desplaza hacia las fibras de compresión en la viga subreforzada conforme se alcanza el estado límite de falla.

Este comportamiento se observa muy fácilmente en las pruebas conforme las grietas de flexión se propagas hacia las fibras de compresión hasta que el concreto se aplasta.

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTEPor otra parte, debe de reconocerse que las distancias verticales entre los puntos c, b y a del eje neutro a partir de las fibras extremas de compresión para los tres tipos de falla dependen en gran parte de la relación del porcentaje ρ = As / bd, pero no difieren en mucho ya que se consideran valores muy bajos de deformación.

La falla del concreto es repentina debido a que es un material frágil.

Por eso, casi todas las normas de práctica recomiendan diseñar vigas subreforzadas a fin de proporcionar advertencia suficiente, tal como una deformación excesiva antes de la falla.

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTEEn el caso de estructuras estáticamente indeterminadas, la falla dúctil es esencial para una apropiada redistribución de momentos. De aquí que para vigas, el ACI limita la cantidad máxima de acero a 75% de la requerida para una sección balanceada.

En los casos prácticos, la relación del refuerzo As / bd no deberá de exceder del 50%, para evitar congestionamiento del refuerzo y facilitar la colocación adecuada del concreto.

Si los porcentajes real y balanceado de refuerzo se indican como ρ y ρb. respectivamente,

BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE

entonces ρ ≤ y 0.75 ρb (5.7a)

Por otra parte, la norma establece el acero mínimo requerido como

ρ > 200 (5.7b) fy

donde fy se expresa en psi, lo anterior es para tomar en cuenta los esfuerzos por temperatura y para asegurar la falla dúctil en tensión.

PORCENTAJE DE REFUERZO BALANCEADO ρb

Para analizar una viga, se tiene que determinar primero el porcentaje máximo permisible del refuerzo 0.75ρb. Para secciones rectangulares con refuerzo en la cara de tensión únicamente, ρb es una función de la resistencia del concreto y de las propiedades del acero, esto es, modulo de elasticidad Es y resistencia de fluencia fy, prescindiendo de la geometría de la sección.

Utilizando el diagrama de distribución de deformación en la fig.

PORCENTAJE DE REFUERZO BALANCEADO ρb

para la condición de deformación balanceada y por triángulos semejantes

la relación entre la profundidad c (cb para la condición balanceada) del eje neutro y el peralte efectivo d puede escribirse como:

c b = 0.003 d 0.003 + fy / Es

PORCENTAJE DE REFUERZO BALANCEADO ρb

Si Es se toma como 29 x 106 psi,cb = 87,000 (5.8a)d 87,000 + fy

La relación entre la profundidad a del bloque rectangular equivalente de esfuerzo y la profundidad c del eje neutro es

A = ß1c (5.8b)

El valor del factor de profundidad del bloque de esfuerzo ß1 es igual a:

PORCENTAJE DE REFUERZO BALANCEADO ρb

0.85 para f´c ≤ 4000 psi

ß1 = 0.85 – 0.05[(f´c – 4000)/1000] para 4000 < f´c f´c ≤ 8000 psi

0.65 para f´c > 8000 psiPor lo tanto, para la condición de deformación balanceada, la profundidad del bloque rectangular de esfuerzos es

ab = ß1cb

Por equilibrio de las fuerzas horizontales,

Asbfy = 0.85 f´c bab

PORCENTAJE DE REFUERZO BALANCEADO ρb

o bienρb = Asb = (0.85 f´c) ab

bd fy dDe la ecuación 5.8, el porcentaje del acero balanceado viene a ser

ρb = ß1 (0.85 f´c) 87,000 (5.9) fy (87,000 + fy)

Donde f´c y fy se expresan en psi. De este modo si f´c y fy se conocen, ρb y por consiguiente 0.75 ρb pueden obtenerse fácilmente sin tomar en cuenta la geometría de la sección de concreto.

PORCENTAJE DE REFUERZO BALANCEADO ρb

En la tabla 5.1 se indican valores representativos del porcentaje máximo permisible del refuerzo ρ para vigas simplemente reforzadas, en libras y en unidades SI.

TABLA 5.1 PORCENTAJE MAXIMO PERMISIBLE DE REFUERZO (0.75 ρb x 104) PARA VIGAS CON REFUERZO DE TENSION UNICAMENTE (VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS)a f´c=3000 f´c=4000 f´c=5000 f´c=6000fy (psi) ßl = 0.85 ßl = 0.85 ßl = 0.80 ßl = 0.7540,000 278 371 437 49150,000 206 275 324 36460,000 160 214 252 283a Los valores del porcentaje de refuerzo ρ tanto para las unidades SI como para las unidades métricas son idénticos, ya que ρ es una cantidad adimensional. El ACI 318 M-83, por ejemplo, redondea los valores en la conversión de manera que para fy = 60,000 psi ≈ 400 MPa y para f´c = 3,000 psi ≈ 21 MPa, ρ = 160, como se muestra arriba.

PORCENTAJE DE REFUERZO BALANCEADO ρb

Estos valores son del 75% del porcentaje de refuerzo balanceado ρb y ayudará a eliminar los cálculos tediosos de estos valores comúnmente utilizados.

ANALISIS POR FLEXION DE VIGAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS

La secuencia de cálculo que se presenta en el diagrama de flujo

Inicio

ρb = ßl (0.85f´c)/fy 87,000/(87,000+fy)fy en psi

= 0.85 para f´c < 4000 psiß1 = 0.85 – 0.05[(f´c-4000)/1000] para 4000 psi ≤ f´c ≤ 8000 psi = 0.65 para f´c > 8000 psi

a = (As fy)/(0.85f´cb)

ρ ≤ 0.75 ρb

La sección no es adecuada:Aumente la sección

Mn = (Asfy)/(d – a/2)

No Si

Datos: b, d, As, f´c, fy

Tome Es=29 x 106 psi

Obtenga ρ = As/(bd)

ρ min/= 200/fy

ρ > ρ min

La sección no es satisfactoria: aumente ρ

Fin

ANALISIS POR FLEXION DE VIGAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS

Puede utilizarse para el análisis de una viga tanto para el cálculo manual como por computadora.

El diagrama de flujo se desarrolló utilizando el método de análisis presentado

Los siguientes ejemplo muestran los cálculos típicos de análisis siguiendo la lógica del diagrama de flujo

ANALISIS POR FLEXION DE VIGAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS

Una viga de concreto simplemente armada (fy = 4,000 psi o 27.58 MPa) tiene la sección transversal que se muestra en la fig. Determine si la viga es sobrereforzada o subreforzada y si satisface los requisitos de la norma ACI para los porcentajes máximos y mínimos del refuerzo para (a) fy = 60,000 psi (413.4 MPa) y (b) fy = 40,000 psi (275.6 MPa).