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Física y Mecánica de las Construcciones ETSAM TEMA 3.4 Tracción y Flexion

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

TEMA 3.4Tracción y Flexion

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

3.4.1. Introducción

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

γβα

στττστττσ

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

ttt

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

αβα

εγγ

γεγ

γγε

εεε

zyzxz

yzyxy

xzxyx

21

21

21

21

21

21

2

2

1

ESTADO TENSIONAL:ESTADO DE DEFORMACIÓN:

uTt rr⋅= [ ] uD

rr⋅=ε

3.4.1. Introducción

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

ECUACIONES DE HOOKE: ECUACIONES DE LAMÉ:

)( zyx

x EEσσυσε +−=

Gxy

xy

τγ =

)( xzy

y EEσσυσ

ε +−=

Gzx

zxτγ =

)( yxz

z EEσσυσε +−=

Gyz

yz

τγ =

xyxy Gγτ =

xx µελεσ 23 +=

yy µελεσ 23 +=

yzyz Gγτ =

xzxz Gγτ =

zz µελεσ 23 +=

3.4.1. Introducción

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

CASO GENERAL:

- se conocen las fuerzas exteriores

SOLUCIÓN:

- TEORÍA DE LA ELASTICIDAD: solución exacta en casos particulares

- RESISTENCIA DE MATERIALES: resolución utilizando métodos aproximados e hipótesis simplificadoras

TRACCIÓN Y FLEXIÓN

3.4.1. Introducción

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

PRISMA MECÁNICO EN EQUILIBRIO ESTÁTICO:

SECCIÓN mn: plana, contenida en plano normal a línea media del prisma

EQUILIBRIO: acción parte eliminada: MRrr

,

3.4.1. Introducción

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

COMPONENTES DE LA FUERZA RESULTANTE :Rr

Aplicada en el centro de gravedad G de la sección:

kTjTiNTNR zy

rrrrrr++=+=

:Tr

:Nr

separa ambas partes del prisma

desliza la sección respecto de una próxima

3.4.1. Introducción

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COMPONENTES DEL MOMENTO RESULTANTE :Mr

Aplicado en el centro de gravedad G de la sección:

kMjMiMM zyT

rrrr++=

:TM momento TORSOR, giro sobre sí mismo

:kMjMM zyF

rrr+= momento FLECTOR, giro

lateral en XZ y XY

3.4.1. Introducción

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Relación entre y y las componentes de la matriz de tensiones:Mr

Rr

∫∫Ω

Ω= dT xyy τ ∫∫Ω

Ω= dT xzz τ∫∫Ω

Ω= dN xσ

3.4.1. Introducción

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Relación entre y y las componentes de la matriz de tensiones:Mr

Rr

kMjMiM

dddzykji

M

zyT

xzxyxrrr

rrr

r

++=

=ΩΩΩ

= ∫∫Ω ττσ

0

∫∫Ω

Ω= zdM xy σ

∫∫Ω

Ω−= dzyM xyxzT )( ττ

∫∫Ω

Ω= ydM xz σ

3.4.1. Introducción

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3.4.2.Solicitaciones exteriores sobre un prisma mecánicoFUERZAS Y MOMENTOS: 1) CARGAS: aplicadas directamente

2) REACCIONES

CLASIFICACIÓN DE CARGAS:

- FUERZAS DE VOLUMEN: sobre todos los puntos, fuerza gravitatoria

- FUERZAS DE SUPERFICIE: superficie exterior, concentradas o distribuidas

- CARGAS PERMANENTES: existen siempre, peso, techos, pavimentos..

- CARGAS ACCIDENTALES O SOBRECARGAS: personas, muebles, máquinas, vehículos, variaciones térmicas, acciones sísmicas...

- CARGAS ESTÁTICAS: no varían módulo, punto de aplicación o dirección

- CARGAS DINÁMICAS: varían con el tiempo, vibraciones de las estructuras

3.4.2. Solicitaciones exteriores sobre un…..

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

TRACCIÓN Y COMPRESIÓN CORTANTE

Cables….

Columnas y pilares…..

Conexiones atornilladas y remachadas..

3.4.2. Solicitaciones exteriores sobre un…..

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FLEXIÓN TORSIÓN

Ejes de transmisión….Tuberías, vigas….

3.4.2. Solicitaciones exteriores sobre un…..

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3.4.3. Tracción y compresión

TRACCIÓN O COMPRESIÓN MONOAXIAL:en cada sección solo actúa el esfuerzo normal N

∫∫Ω

Ω= dT xyy τ ∫∫Ω

Ω= dT xzz τ∫∫Ω

Ω= dN xσ

∫∫Ω

Ω= zdM xy σ∫∫Ω

Ω−= dzyM xyxzT )( ττ

∫∫Ω

Ω= ydM xz σ

3.4.3. Tracción y compresión

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Ndydzx =∫∫Ω

σ 0)( =−∫∫Ω

dydzzy xyxz ττ

0=∫∫Ω

ydydzxσ0=∫∫Ω

dydzxyτ

0=∫∫Ω

zdydzxσ0=∫∫Ω

dydzxzτ

3.4.3. Tracción y compresión

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVA:Hipótesis de Bernoulli o de conservación de las secciones planas

- secciones transversales: planas y perpendiculares a la línea media después de la deformación

- hipótesis comprobada experimentalmente

Ω=⇒=⇒= ∫∫∫∫

ΩΩ

NNdydzNdydz xxx σσσ

0=== yzxzxy γγγ

0=== yzxzxy τττ

3.4.3. Tracción y compresión

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EJES PRINCIPALES:- ejes contenidos en el plano de la sección- eje del prisma

0=== yzxzxy τττ

0=== yzxzxy γγγ

TENSIONES PRINCIPALES:

Ω=

N1σ 032 ==σσ

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

000000001σ

T

DEFORMACIONES:

Ex

zyυσ

εε −==E

xx

σε = 0=== yzxzxy γγγ

3.4.3. Tracción y compresión

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

TEOREMA DE BERNOULLI: no es aplicable en secciones próximas a variaciones de Área. En ese caso, TEORÍA DE LA ELASTICIDAD.

3.4.3. Tracción y compresión

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3.4.4. Flexión pura

FLEXIÓN PURA:

en toda sección recta:- resultante nula de fuerzas- momento contenido en plano de la sección

FLEXIÓN PURA ASIMÉTRICA: MF componentes según dos ejes principales de inercia de la sección

FLEXIÓN PURA SIMÉTRICA: MF según un eje principal de inercia

3.4.4. Flexión pura

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FLEXIÓN PURA SIMÉTRICA:

TRAMOS AB DE LAS SIGUIENTES VIGAS:

3.4.4. Flexión pura

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FLEXIÓN PURA SIMÉTRICA:

∫∫Ω

Ω= dN xσ ∫∫Ω

Ω= dT xyy τ ∫∫Ω

Ω= dT xzz τ

∫∫Ω

Ω−= dzyM xyxzT )( ττ

∫∫Ω

Ω= zdM xy σ

∫∫Ω

Ω= ydM xz σ

0=∫∫Ω

dydzxyτ 0=∫∫Ω

dydzxzτ0=∫∫Ω

dydzxσ

0)( =−∫∫Ω

dydzzy xyxz ττ 0=∫∫Ω

zdydzxσ Fzx MMydydz ==∫∫Ω

σ

3.4.4. Flexión pura

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DESCRIPCIÓN DEL PRISMA:

FIBRA NEUTRA:- ninguna tensión- contiene G de las secciones

FIBRAS COMPRIMIDAS

FIBRAS ALARGADAS

3.4.4. Flexión pura

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HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS (comprobación experimental):

1. Límites de elasticidad proporcional

2. H. de Bernoulli: las secciones transversales se mantienen planas

DE LA SEGUNDA HIPÓTESIS:

Secciones planas: no se producen deformaciones angulares

),,( xxzxy σττ00 ==⇒== xzxyG ττγτ

:xσ LEY DE NAVIER

MÉTODO GEOMÉTRICO

3.4.4. Flexión pura

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

MÉTODO GEOMÉTRICO:

AB: fibra neutra

ρ: radio de curvatura

DE – CF: dos secciones rectas

MN: acortamiento fibra encimade fibra neutra

HF: alargamiento fibra debajode fibra neutra

Deformación para fibra situada a distancia “y” de la fibra neutra:

ABHF

ABMN

dxdxdx

=−

=−

=´ε

3.4.4. Flexión pura

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MÉTODO GEOMÉTRICO:

⇒=−

=−

=ABHF

ABMN

dxdxdx´ε

TRIÁNGULOS SEMEJANTES: MNB - ABO

ρy

AOMB

ABMN

==

ρε y

−=

LEY DE HOOKE:

yEyEE x

xx

ρσ

ρσσ

ε −=⇒−=⇒=

LEY DE NAVIER

3.4.4. Flexión pura

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

MÉTODO GEOMÉTRICO: LEY DE NAVIER

yEρ

σ −=

yEρ

σ =

3.4.4. Flexión pura

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

MÉTODO GEOMÉTRICO:

0=⇒Ω= FddF σFLEXIÓN PURA:

0=Ω=Ω= ∫ ∫ ydEdFρ

σ

yEρ

σ =

0=Ω∫ yd

La fibra neutra contiene G de todas las secciones

3.4.4. Flexión pura

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MÉTODO GEOMÉTRICO:

Ω= ddF σzF IEdyEdyydFM

ρρσ =Ω=Ω== ∫ ∫∫ 2

yEρ

σ = :zI momento de inercia respecto eje Z

yI

MI

ME

z

F

z

F =⇒= σρ LEY DE NAVIER

3.4.4. Flexión pura

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

3.4.5. Flexión simple

FLEXIÓN SIMPLE:

en toda sección recta:- resultante cortante de fuerzas- momento flector

yxy Tdydz =∫∫Ω

τ zxz Tdydz =∫∫Ω

τ0== ∫∫Ω

dydzN xσ

yx Mzdydz =∫∫Ω

σ zx Mydydz =∫∫Ω

σ0)( =−= ∫∫Ω

dydzzyM xyxzT ττ

3.4.5. Flexión simple

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Fuerza cortante: tensiones cortantes y deformaciones angulares

yxy Tdydz =∫∫Ω

τ zxz Tdydz =∫∫Ω

τ

Alabeo de las secciones transversales:

3.4.5. Flexión simple

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¿Es válida la LEY DE NAVIER en flexión simple?

1) se admite alabeo: tensiones cortantes

2) se desprecia alabeo relativo: AoBo ⇒ AB~A´B´

- Si tensión cortante constante en sección: resultado exacto

- Si tensión cortante varía: error despreciable si dimensiones transversales pequeñas comparadas con longitud

yI

M

z

F=σ

3.4.5. Flexión simple

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EJEMPLOS: Viga simplemente apoyada

0=−+ PRR BA

20

22PRRlRlR BABA ==⇒=−

xPxRM Ax 21 ==

:2

0 lx ≤≤

)(2

)2

(2 xlPlxPxRM Ax −=−−=

:2

lxl≤≤

21PRT Ax ==

BAx RPPRT −=−=−=22

3.4.5. Flexión simple

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TENSIONES CORTANTES:

En general, tensiones cortantes no constante:)()(

xSxT

≠τ

- Dos secciones: (x, x+dx)- Momentos flectores: (M, M+dM)- Equilibrio de la parte cortada a una distancia “y “de la fibra neutra

3.4.5. Flexión simple

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yI

M

z

F=σ

Tensiones normales parte izquierda:

∫∫ =Ω=Ω=zz I

MmdyIMdN 1σ Ω∫= dym 1

Tensiones normales parte derecha:

zIdMmdN =

zImdMMdNN )( +

=+

3.4.5. Flexión simple

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Teorema de Cauchy

τ⇒=zI

dMmdNzyyz ττ =

zz ITdxm

IdMmbdx ==τ

zbITm

TEOREMA DE COLIGNON

3.4.5. Flexión simple

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

zbITm

Puntos superior e inferior de la sección:

00 =⇒= τm Ω∫= dym 1

- Punto superior: área nula

- Punto inferior: coordenada Y del CM

3.4.5. Flexión simple

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Distribución de tensiones tangenciales:

a) Sección rectangular

zbITm

)4

(22

22

2/2/ 2

1 yhbbyybdydym

h

y

h

y

−=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡==Ω= ∫∫

12322

32/

0

2/

0

322

1bhbybdyydyI

hh

z =⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡==Ω= ∫∫

3.4.5. Flexión simple

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Distribución de tensiones tangenciales:

a) Sección rectangular

2

22

3

22

3

22)4(

23)4(

23

12

)4(8

hyhT

bhyhT

bhb

yhbT

bITm

z

−Ω

=−

=−

==τ

3.4.5. Flexión simple

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Distribución de tensiones tangenciales:

b) Sección circular

zbITm

[ ] 2/3222/322221 )(

32)(

32)2( yRyRdyyRyybdydym

R

y

R

y

R

y

−=−−=−==Ω= ∫ ∫∫

∫∫ ==Ω=2/

0

422

1 42

h

zRbdyydyI π

3.4.5. Flexión simple

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Distribución de tensiones tangenciales:

b) Sección circular

2

22

422

2/322

34

42

)(32

RyRT

RyR

yRT

bITm

z

−Ω

=

−==

πτ

3.4.5. Flexión simple

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Tensiones principales:

yI

M

z

zx =σ

0== zy σσ

zyz bI

Tm=τ

0== xzxy ττ

3.4.5. Flexión simple

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

3.4.6. Flexión: deformaciones

Dos magnitudes definen la deformación:

:Aθ ángulo girado por sección transversal

:Ay desplazamiento perpendicular al eje de la viga del centro de gravedad

(desplazamiento despreciable en eje X)

3.4.6. Flexión: deformaciones

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

ELÁSTICA DE LA VIGA

Extremo de la viga Línea media de la viga

Pequeñas deformaciones:

z

z

EIM

xdyd=2

2

ECUACIÓN DIFERENCIAL

APROXIMADA DE LA ELÁSTICA

3.4.6. Flexión: deformaciones

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

VALIDEZ:

- flexión pura

- flexión simple: - T(x) constante

- T(x) no constante: dimensiones transversal << longitud

ECUACIÓN DIFERENCIAL APROXIMADA DE LA ELÁSTICA

DOBLE INTEGRACIÓN: dos constantes de condiciones de contorno

z

z

EIM

xdyd=2

2

Flecha: Ymax, deformación máxima

Y(x)

3.4.6. Flexión: deformaciones

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Ejemplo: Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida

2plRR BA ==

222

2pxxplxpxxRM A −=−=

pxplpxRT A −=−=2

3.4.6. Flexión: deformaciones

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Ecuación diferencial:

z

z

EIM

xdyd=2

2

222

2pxxplxpxxRM A −=−=

22

2

22x

px

plxdyd

EIM zz −==

KCxxpxplyEI z ++−= 43

2412

Integrando dos veces:

Condiciones de contorno:

0)0( =y

0)( =ly

3.4.6. Flexión: deformaciones

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Condiciones de contorno:

0)0( =y

0)( =ly

00)0( =⇒= Ky

KCxxpxplyEI z ++−= 43

2412

240

24120)(

344 plCClplplly −=⇒=+−⇒=

ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA:

)242412

(1 343 x

plx

px

plEI

yz

−−=

3.4.6. Flexión: deformaciones

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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

Representación gráfica:

)242412

(1 343 x

plx

px

plEI

yz

−−=

3.4.6. Flexión: deformaciones