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Física y Mecánica de las Construcciones ETSAM TEMA 4 (Parte II) Ley de Darcy. Flujos hidráulicos a través de terrenos.

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TEMA 4 (Parte II)Ley de Darcy. Flujos hidráulicos a

través de terrenos.

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4.3. Ley de Darcy generalizada

),,,( tzyxΦ=Φ

CAMPO ESCALAR:

- superficies equipotenciales hidráulicas: Φ constante

- Gradiente del potencial hidráulico:

CAMPO HIDRÁULICO

kz

jy

ix

rrr

∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

=Φ∇

LEY DE DARCY GENERALIZADA PARA UN MEDIO ISÓTROPO:

Φ⋅−=Φ∇⋅−= dgrakkvrr

⇒Φ

⋅−=dxdkv

K: constante, si medio isótropo

4.3. Ley de Darcy generalizada

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MEDIO ANISÓTROPO:

SISTEMA DE REFERENCIA DE EJES PRINCIPALES:

Φ∇⋅−=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛= K

z

y

x

kkkkkkkkk

vvv

v

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

z

y

xr

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

∂Φ∂

∂Φ∂∂Φ∂

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

000000

x

x

x

kk

k

vvv

vr

4.3. Ley de Darcy generalizada

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MEDIO ISÓTROPO:

Φ⋅−=Φ∇⋅−= dgrakkvrr

Velocidad perpendicular a superficies equipotenciales hidráulicas

MEDIO ISÓTROPO:

- LÍNEAS DE FLUJO: líneas de campo de la velocidad- LÍNEAS EQUIPOTENCIALES HIDRÁULICAS

RED DE FLUJO: red ortogonal de la que se puede extraer interesante información

4.3. Ley de Darcy generalizada

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LÍNEAS DE FLUJO: flujo permanente ⇒ trayectoria del fluido

SOLUCIÓN PROBLEMA: ecuación que satisface Φ

Φ⋅−=Φ∇⋅−= dgrakkvrr

DURANTE EL PROCESO DE FILTRACIÓN :

- LEY DE DARCY

- ECUACIÓN DE CONTINUIDAD O DE CONSERVACIÓN DE LA MASA

4.3. Ley de Darcy generalizada

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PROBLEMAS DE FILTRACIÓN:

02

2

2

2

2

2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

zyx

02 =Φ∇ECUACIÓN DE LAPLACE:

- electromagnetismo, conducción de calor

- ecuación diferencial dependiente de

1) geometría del recinto espacial: medio permeable

2) condiciones de contorno: superficies de separación

- independiente de la conductividad hidráulica, aunque si el flujo:

Φ∇⋅−= kvr

4.3. Ley de Darcy generalizada

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CONDICIONES DE CONTORNO EN EL CASO BIDIMENSIONAL:

1) Condiciones de contorno de Dirichlet: condiciones sobre Φ

2) Condiciones de contorno de Von Neumann: condiciones sobre el

gradiente de Φ (velocidad)

3) Condiciones de contorno mixtas: Dirichlet + Neumann

4.3. Ley de Darcy generalizada

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A) SUPERFICIES IMPERMEABLES:

- terreno impermeables respecto al terreno permeable

- componente normal de la velocidad nula:

- condición de tipo Von Neumann

- superficies equipotenciales perpendiculares a la superficie impermeable

0=∂Φ∂n

4.3. Ley de Darcy generalizada

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A) SUPERFICIES IMPERMEABLES:

Ejemplo: filtración bajo muro de hormigón

- líneas de corriente adheridas a las superficies impermeables

- superficies equipotenciales: contactos perpendiculares

4.3. Ley de Darcy generalizada

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B) SUPERFICIES FILTRANTES:

z

- superficie en contacto con el fluido libre

- potencial hidráulico constante:

- condición de tipo Dirichlet

- superficies filtrantes: superficie equipotencial y perpendicular

hzhzg

ghz

gP

=+=+=+=Φ ´´

ρρ

ρ

vr

4.3. Ley de Darcy generalizada

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B) SUPERFICIES FILTRANTES:

Ejemplo 1: fondo de estanque

limitado por muro

Ejemplo 2: presa de tierra

4.3. Ley de Darcy generalizada

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C) SUPERFICIE DE ESCORRENTÍA O DE CAÍDA:

- superficie por la que el fluido sale libremente a la atmósfera - potencial hidráulico a la salida:

- condición de tipo Dirichlet

- no restricciones sobre velocidad, siempre componente normal a la superficie

z=Φ

4.3. Ley de Darcy generalizada

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C) SUPERFICIE DE ESCORRENTÍA O DE CAÍDA:

Ejemplo 1: sección de un dique o muro permeable asentado sobre un

medio impermeable que separa dos masas de agua de diferentes niveles

4.3. Ley de Darcy generalizada

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D) SUPERFICIE LIBRE O DE SATURACIÓN:

0=∂Φ∂n

z=Φ

- superficie que limita el flujo en su parte superior

- capa freática: presión atmosférica

- condición de tipo Von Neumann y de tipo Dirichlet

4.3. Ley de Darcy generalizada

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Principal inconveniente de la hidráulica teórica:

- determinar el recinto inundado- no sucede en conducción del calor

MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DE LA RED DE FLUJO:

- condiciones de contorno y tanteo- modelo a escala y filtración: gran tiempo y trabajo- cálculo numérico: aproximaciones

4.3. Ley de Darcy generalizada

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OTROS EJEMPLOS:

EJEMPLO 1:

- superficie de escorrentía: peligro de perforación

- erosión interna: canal interior ⇒ tubificación

- de manifiesto años después de su construcción

Una posible solución.....

4.3. Ley de Darcy generalizada

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OTROS EJEMPLOS:

- para evitar perforación: drenaje- superficie libre: por debajo de la superficie externa de la presa- rejillas o filtros adecuados: control de paso de tierra

4.3. Ley de Darcy generalizada

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OTROS EJEMPLOS:

EJEMPLO 2:

- presa o muro sencillo a nivel del terreno- medio homogéneo e isótropo: flujo simétrico (línea continua)- superficies equipotenciales: línea discontinua

4.3. Ley de Darcy generalizada

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OTROS EJEMPLOS:

Para mejorar el comportamiento:- se entierra por debajo del nivel del terreno- se coloca pantalla impermeable- disminución de perforación y filtraciones:

1) se alarga el recorrido: se reduce velocidad aguas abajo2) aumenta separación presa – líneas de flujo

4.3. Ley de Darcy generalizada

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4.4. Subpresiones y capilaridad

a) Subpresiones

- presencia de filtraciones: distribución de presiones en la base - presión ejercida por el fluido: SUBPRESIÓN:

Consecuencias:- fuerzas de empuje y levantamiento- no homogeneidad: momento de vuelco

zg

Pzg

P−Φ=⇒+=Φ

ρρ

4.4. Subpresiones y capilaridad

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MURO IMPERMEABLE SOBRE MEDIO PERMEABLE:

zg

P−Φ=

ρ

Para reducir el efecto:- se colocan drenajes dentro de la presa- losas grandes: taladro vertical

4.4. Subpresiones y capilaridad

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EFECTO DE LAS SUBPRESIONES:

Depósito de combustible que salió por si mismo del terreno por efecto de las subpresiones

4.4. Subpresiones y capilaridad

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b) Capilaridad

TENSIÓN SUPERFICIAL: fuerzas de atracción molecular no

compensadas en moléculas de la superficie del fluido

FUERZAS DE COHESIÓN: mismo fluido

FUERZAS DE ADHESIÓN: otra sustancia

CAPILARIDAD:

- tubos muy finos o tubo capilar

- fuerzas de cohesión y adhesión ⇒ ascensión del agua

4.4. Subpresiones y capilaridad

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Tubos de vidrio delgados:

ALTURA: fuerza ascendente (tensión superficial) igualada por

el peso de la columna (gravedad)

4.4. Subpresiones y capilaridad

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Ascenso del agua por capilaridad en un suelo:

DeNh⋅

=

:N constante empírica dependiente de la forma de los granos

:D

relación de vacíos, cociente entre volumen de huecos o poros

y partículas sólidas

diámetro efectivo

:s

v

VVe =

- humedecimiento por capilaridad: estabilidad de terraplenes y favorece fallas

- Suelos finos: altura capilar mayor, drenajes en suelos finos

4.4. Subpresiones y capilaridad

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Gama de alturas capilares

en distintos suelos:

4.4. Subpresiones y capilaridad