Calori  specifici  

Capacità  termica  e  calore  specifico  

- Il calore si trasferisce da un corpo ad un altro fintanto che i corpi sono a temperature differenti. Potremo scrivere quindi: Q = C ΔT = C (Tf – Ti) -  Naturalmente questo trasferimento di calore dipenderà da quanta massa è coinvolta. -  La costante C che compare nella relazione è detta capacità termica ed è l’inerzia termica di un corpo al variare della temperatura. -  Più grande è la massa di un corpo più grande è la sua inezia termica - Pertanto risulta conveniente definire un calore specifico come la capacità termica per unità di massa, che tiene conto solo della diversa natura del materiale e non dalla massa coinvolta nel processo

Q = cs m (Tf –Ti)

Sostanza   stato   J/(kg  K)  

Acqua  Ghiaccio   liquida  solido  

4186  2090  

Alluminio  Acciaio  

Solido  solido  

880  502  

Diamante  Grafite  

502      720  

Rame  Oro  

385  129  

Aria  (secca)  Ossigeno  

1005  920  

Silice    (fusa)  Silice  

Solido  gassoso  

703    2020  

Etanolo  PolisKrene  

Liquido  solido  

2460  1450  

Calore specifico: gas monoatomici

Supponiamo  di  avere  n  moli  di  gas  confinato  in  un  cilindro  e  il  suo  stato  sia  descriNo  dal  punto  p.  Dando  calore  al  sistema,  bloccato  a  volume  costante,  aumenterà  la  pressione  e  la  temperatura.  Per  il  I°Principio  deve  essere:    ΔEint  =  Q  –  w      dove    

Q  =  n  cv  ΔT                    e                    w  =  0  (cv  è  il  calore  specifico  a  volume  costante)    Quindi  per  un  processo  isocoro  ΔEint  =  n  cv  ΔT    ed  il  calore  specifico  a  volume  costante  è:                                                              cv  =  ΔEint/nΔT.  

Per  un  gas  perfe9o,  c’è  solo  energia  cine?ca,  quindi  ΔEint  =  (3/2)nR  ΔT      e  quindi  avremo      

 La    Eint  si  potrà  anche  esprimere  come    Eint  =  n  cv  T  

[ ]115,122323 −−⋅==

Δ

Δ= KmolJR

TnTnRcv

Transformazioni  e  calori  specifici    

Per  un  gas  ideale  la  variazione  di  Eint    non  dipende  dalla  trasformazione  termodinamica  subita,  ma  solo  dall’en?tà  della  variazione  di  temperatura  subita  

T T + ΔT

isobara isocora adiabatica

TnCE VΔ=Δ int

P

V

Valida per qualunque trasformazione di un gas perfetto

Calore specifico a pressione costante

Supponiamo ora di fornire calore al solito sistema, mantenendo costante la pressione e lasciando variare il volume:

Q = n cp ΔT. cp sarà > di cv poiché il calore Q dovrà inalzare la temperatura e compiere lavoro esterno. Ricordiamo che ΔEint = Q – w potremo riscriverla come: n cv ΔT = n cp ΔT – p ΔV n cv ΔT = n cp ΔT – (n R ΔT)* Dividendo tutto per nΔT

cv = cp – R cp = cv + R * Differenziale dell’equazione di stato dei gas perfetti pΔV = nRΔT

Calore  specifico  molare  molecola esempio cv [J/(mol K)]

monoatomica Ideale He Ar

3/2 R = 12,5 12,5 12,6

biatomica Ideale N2 O2

5/2 R = 20,8 20,7 20,8

poliatomica Ideale NH4 CO2

3R = 24,9 29,0 29,7

•  Per tutti i gas che possono essere assimilati a gar perfetti il calore specifico dovrebbero valere 3/2R, ma per i gas biatomici o poliatomici i cv sono diversi.

•  Teorema dell’equipartizione dell’energia: Sono i gradi di libertà posseduti dalle molecole a definire in quanti modi si possa immagazzinare energia. Per ogni grado di libertà posseduto, una molecola può assorbire ½ kT di energia cv = (f/2) R = 4,16 f [J/(mol K)]

Gradi  di  libertà,  cv  e  cp  

Si deve a J.C. Maxwell la soluzione del problema relativo alla deviazione dei cv in relazione dei valori previsti.

Lavoro  di  un  gas  perfeNo  •  Una  curva  isoterma,  nel  piano  V-­‐p,  è  rappresentata  da  una  

iperbole.  InfaN  essa  è  il  risultato  di  pV  =  nRT    (p  =  nRT/V).          Se  T    è  costante    

     pV  =  cost  •  Il  lavoro  svolto  dal  gas  durante  una  espansione  isoterma  è:  

i

fVV

V

V

V

V

V

V

VV

nRTVnRTVdVnRTw

dVVnRTpdVw

f

i

f

i

f

i

f

i

ln][ln

mole unaper

===

==

∫

∫∫

Ricordiamo  che  il  Lavoro,  w,  per  una  trasformazione  isocora  è  nullo,  per  una  trasformazione  isobara  è  w  =  p  (Vf  –  Vi)  e  per  una  isoterma  è    

     w  =  nRT  ln(Vf/Vi).  

Processi  adiabaKci  

tVVnRT cos=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ γ

§  Se  durante  un  processo    Q  =  0  il  processo  è  adiaba?co  ed  il  lavoro  è  w  =  pdV  =  -­‐dEint  §   Tale  situazione  si  verifica,  sia  se  il  processo  è  rapidissimo,  sia  se  avviene  lentamente  in  un  sistema  ben  isolato.    §   La  conclusione  sarà                pVγ  =  cost        dove  γ  è  il  rapporto  cp/cv  §   Scorrendo  l’adiaba?ca  si  a9raversano  molte  isoterme.  §   Il  processo  è  completamente  descri9o  da  piVi

γ  =  pfVfγ

U?lizzando  l’equazione  di  stato  dei  gas  ideali  pV  =  nRT  e  risolvendo  rispe9o  alla  pressione  p  avremo:    

Se  nR  viene  incluso  nella  costante  avremo:    TVγ -­‐1  =  cost              TiVi

γ -­‐1  =  TfVfγ -­‐1  

Dimostrazione  di  Vγ

( )( )pdVpdV

ccc

VdppdVV

Vp 1−−=−

−=+ γ 0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

VdV

cc

pdp

V

p

l  Supponiamo  di  eseguire  una  lenta  espansione,  quindi  Q  =  0.      

l   Quindi  il  primo  principio  diventa  dEint  =  -­‐  pdV  e  ricordando  (dEint=  ncvdT)  avremo:      ncvdT  =  -­‐  pdV                      ndT  =  -­‐  (pdV)/cv  l   differenziando  l’equazione  di  stato  dei  gas  perfe\  (pV  =  nRT):    

     pdV  +  Vdp  =  nRdT    

l   sosKtuendo  R  con  cp  –  cv    (vedi  poi)  e  ndT  con    -­‐  (pdV)/cV    :  

Ma  il  rapporto  dei  calori  specifici  è  γ  e  integrando  o9eniamo:    

 ln  p  +  γln  V  =  cost          ovvero                  ln  pVγ  =  cost  

Relazione  fra  CV  e  Cp  In una trasformazione a volume costante il primo principio porta a dire che dQ = dU + pdV e dovendo essere dV = 0 ne segue che dQ = nCv dT o anche

nCv dT = dU

Per una trasformazione a pressione costante dovrà essere nCpdT = dU + pdV. Essendo dU|v = dU|p risulterà nCv dT = nCp dT – p dV o meglio

n (Cp – Cv) dT = pdV Per l’equazione di stato dei Gas Perfetti pV = nRT e pdV = nRdT quindi

n (Cp – Cv) dT = nRdT ovvero

Cp – CV = R

Espansione  libera  L’espansione libera è un processo adiabatico in cui il Lavoro è nullo. C’è equilibrio solo allo stato iniziale e allo stato finale dell’espansione. Le temperature iniziale e finale sono eguali Ti = Tf e per un gas ideale anche pVi = pVf

Riassumendo: per un gas ideale le trasformazioni più interessanti sono riportate nel grafico: