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Calori specifici

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Calori specifici

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Capacità termica e calore specifico •  Il calore si trasferisce da un corpo ad un altro fintanto che i corpi sono a temperature differenti. Potremo scrivere quindi: Q = C ΔT = C (Tf – Ti) •  Naturalmente questo trasferimento di calore dipenderà da quanta massa è coinvolta. •  La costante C che compare nella relazione è detta capacità termica ed è l’inerzia termica di un corpo al variare della temperatura. •  Più grande è l’inezia termica più difficile è far cambiare temperatura ad un corpo •  Risulta conveniente definire una capacità termica indipendente dalla quantità di massa utilizzata che chiameremo calore specifico •  Il calore specifico cs tiene conto solo della diversa natura del materiale

Q = cs m (Tf –Ti)

Sostanza   stato   J/(kg  K)  

Acqua  Ghiaccio   liquida  solido  

4186  2090  

Alluminio  Acciaio  

Solido  solido  

880  502  

Diamante  Grafite  

502      720  

Rame  Oro  

385  129  

Aria  (secca)  Ossigeno  

1005  920  

Silice    (fusa)  Silice  

Solido  gassoso  

703    2020  

Etanolo  PolisHrene  

Liquido  solido  

2460  1450  

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Calore specifico: gas monoatomici

n moli di gas sono confinati in un cilindro e il suo stato è descritto dal punto p sulla curva verde. Dando calore al sistema, bloccato a volume costante, si avrà un aumento della pressione e della temperatura. Per il primo principio deve essere: ΔEint = Q – w dove Q = n cv ΔT e w = 0 (cv è il calore specifico a volume costante) Quindi per un processo isocoro ΔEint = n cv ΔT ed il calore specifico a volume costante è: cv = ΔEint/nΔT Per un gas perfetto ΔEint = (3/2)nR ΔT e quindi avremo

La Eint si potrà anche esprimere come Eint = n cv T

[ ]115,122323 −−⋅==

Δ

Δ= KmolJR

TnTnRcv

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Calore specifico a pressione costante

Supponiamo ora di fornire calore al solito sistema, mantenendo costante la pressione e lasciando variare il volume:

Q = n cp ΔT.

cp > cv poiché il calore dovrà contemporaneamente far aumentare la temperatura e compiere lavoro esterno.

cv = cp – R R = cp - cv cp = cv + R

Ricordiamo che ΔEint = Q – w potremo riscriverla come: n cv ΔT = n cp ΔT – p ΔV n cv ΔT = n cp ΔT – (n R ΔT) Dividendo tutto per nΔT

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Tabella  dei  calori  specifici  molari  a  volume  costante  

molecola esempio cv [J/(mol K)]

monoatomica Ideale He Ar

3/2 R = 12,5 12,5 12,6

biatomica Ideale N2 O2

5/2 R = 20,8 20,7 20,8

poliatomica Ideale NH4 CO2

3R = 24,9 29,0 29,7

Per un gas ideale la variazione di Eint non dipende dalla trasformazione termodinamica subita, ma solo dall’entità della variazione di temperatura

T T + ΔT

isobara isocora adiabatica

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Gradi  di  libertà    Sempre J.C. Maxwell contribuì a risolvere il problema relativi alla deviazione dei valori previsti nei cv.

Teorema dell’equipartizione dell’energia: Sono i gradi di libertà a definire in quanti modi una molecola possa immagazzinare energia. Per ogni molecola un grado di libertà ha una energia ½ kT

cv = (f/2) R = 4,16 f [J/(mol K)]

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Lavoro  di  un  gas  perfeOo  •  Una curva isoterma, nel piano V-p, è

rappresentata da una iperbole. Infatti essa è il risultato di pV = nRT (p = nRT/V).

Se T e’ costante pV = cost

•  Il lavoro svolto dal gas durante una espansione isoterma è:

i

fVV

V

V

V

V

V

V

VV

nRTVnRTVdVnRTw

dVVnRTpdVw

f

i

f

i

f

i

f

i

ln][ln

mole unaper

===

==

∫∫

Ricordiamo che il Lavoro, w, per una trasformazione isocora è nullo, per una trasformazione isobara è w = p (Vf – Vi) e per una isoterma è w = nRT ln(Vf/Vi).

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Processi  adiabaHci  

tVVnRT cos=⎟

⎞⎜⎝

⎛ γ

§  Se durante un processo Q = 0 il processo è adiabatico ed il lavoro è w=pdV=-dEint §  Tale situazione si può realizzare, sia se il processo avviene rapidamente in modo da non lasciare il tempo al calore di propagarsi, sia se avviene lentamente in un sistema ben isolato. §  La conclusione sarà pVγ = cost dove γ è il rapporto cp/cv §  Scorrendo l’adiabatica si attraversano molte isoterme. §  Il processo è completamente descritto da piVi

γ = pfVfγ

Utilizzando l’equazione di stato dei gas ideali pV = nRT e risolvendo rispetto alla pressione p avremo:

Dove nR può essere inglobato nella costante: TVγ-1 = cost

TiViγ-1 = TfVf

γ-1

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Dimostrazione  di  Vγ

( )( )pdVpdV

ccc

VdppdVV

Vp 1−−=−

−=+ γ 0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

VdV

cc

pdp

V

p

l  Supponiamo di eseguire una lenta espansione di modo che si possa parlare di processo adiabatico Q = 0.

l  Quindi il primo principio diventa dEint = - pdV e ricordando che dEint= ncvdT avremo: ncvdT = - pdV à ndT = - (pdV)/cv

l  differenziando l’equazione di stato dei gas perfetti (pV = nRT): pdV + Vdp = R ndT

l  sostituendo R con cp – cv (vedi poi) e ndT con - (pdV)/cV :

Ma il rapporto dei calori specifici è γ e integrando otteniamo:

lnp + γlnV = cost Ricordando un po’ di algebra dei logaritmi otteniamo: lnpVγ = cost

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Relazione  fra  CV  e  Cp  In una trasformazione a volume costante il primo principio porta a dire che dQ = dU + pdV e dovendo essere dV = 0 ne segue che dQ = nCv dT o anche

nCv dT = dU

Per una trasformazione a pressione costante dovrà essere nCpdT = dU + pdV. Essendo dU|v = dU|p risulterà nCv dT = nCp dT – p dV o meglio

n (Cp – Cv) dT = pdV Per l’equazione di stato dei Gas Perfetti pV = nRT e pdV = nRdT quindi

n (Cp – Cv) dT = nRdT ovvero

Cp – CV = R

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Espansione  libera  L’espansione libera è un processo adiabatico in cui il Lavoro è nullo. C’è equilibrio solo allo stato iniziale e allo stato finale dell’espansione. Le temperature iniziale e finale sono eguali Ti = Tf e per un gas ideale anche pVi = pVf

Riassumendo: per un gas ideale le trasformazioni più interessanti sono riportate nel grafico: