Πολλαπλασιάζω με - Patakis › files › 1192161.pdf · 2020-05-12 · Με...

287

4141 Πολλαπλασιάζω με τριψήφιο πολλαπλασιαστή

Επεκτείνουμε τις γνώσεις μας

στους νοερούς πολλαπλασιασμούς

και πολλαπλασιάζουμε κάθετα με

τριψήφιο πολλαπλασιαστή.

Με ποιους αριθμούς έχουν γίνει οι επόμενοι πολλαπλασιασμοί;

Κάνε τους επόμενους πολλαπλασιασμούς με τον νου. Τι παρα-τηρείς;

1

2

68 x ..…… = 6.800

152 x ……… = 1.520

79 x ……… = 79.000

14 x ……… = 140.000

4.293 x ……… = 42.930

234 x 10 = ………

4.862 x 10 = ………

16.090 x 10 = ………

54 x 100 = ………

183 x 100 = ………

1.962 x 100 = ………

85 x 1.000 = ………

91 x 1.000 = ………

168 x 1.000 = ………

234 x 5 = ………

4.862 x 5 = ………

16.090 x 5 = ………

54 x 50 = ………

183 x 50 = ………

1.962 x 50 = ………

85 x 500 = ………

91 x 500 = ………

168 x 500 = ………

270 x ……… = 2.700

810 x ……… = 81.000

500 x ……… = 50.000

20 x ……… = 200.000

9.000 x ……… = 90.000

Μπορώ να πολλαπλα-σιάζω εύκολα αριθ-μούς με το 5, το 50 και το 500. Τα αποτε-λέσματα θα είναι τα μισά από τους

αντίστοιχους πολλα-πλασιασμούς με το

10, το 100 και το 1.000. 1.000.

Math_D.indb 287Math_D.indb 287 21/1/2020 10:04:3321/1/2020 10:04:33

288

41. Πολλαπλασιάζω με τριψήφιο πολλαπλασιαστή

Υπολόγισε με τον νου τα γινόμενα:

Ποιο μπορεί να είναι το σωστό αποτέλεσμα σε κάθε πολλαπλα-σιασμό; Μπορείς να το βρεις και να το κυκλώσεις ΧΩΡΙΣ να κάνεις καμία πράξη;

Ο Προκόπης υπολόγισε τους επόμενους πολλαπλασιασμούς με τον νου, αλλά σε κάθε στήλη έκανε από ένα λάθος! Μπορείς να το βρεις και να το κυκλώσεις ΧΩΡΙΣ να κάνεις καμία πράξη;

3

4

5

56 x 5 = ………

442 x 5 = ………

6.491 x 5 = ………

15.834 x 5 = ………

436 x 2 = 872

549 x 2 = 1.099

17.698 x 2 = 35.396

385 x 5 = 1.927

694 x 5 = 3.470

24.137 x 5 = 120.685

297 x 10 = 2.970

831 x 10 = 8.311

5.460 x 10 = 54.600

83 x 50 = ………

720 x 50 = ………

818 x 50 = ………

1.524 x 50 = ………

72 x 500 = ………

59 x 500 = ………

131 x 500 = ………

197 x 500 = ………

Στο κεφάλαιο 9 μάθαμε ότι: Τα πολλαπλάσια του 2 τελειώνουν σε … ή σε … ή σε … ή σε … ή σε …

Τα πολλαπλάσια του 5 τελειώνουν σε … ή σε … Τα πολλαπλάσια του 10 τελειώνουν όλα σε …

87 x 2 =174

177

326 x 2 =651

652

48 x 5 =246

240

115 x 5 =575

574

63 x 10 =630

635

920 x 10 =920

9.200


289

Μαθηματικά Δ΄ Δημοτικού

Χρησιμοποίησε όποια μέθοδο νομίζεις ότι ταιριάζει καλύτερα, για να υπολογίσεις με τον νου τα γινόμενα:

6

12 x 41 = …………………………

= …………………………

= …………………………

= …………………………

25 x 44 = …………………………

= …………………………

= …………………………

= …………………………

34 x 250 = ………………………

= ………………………

= ………………………

= ………………………

36 x 250 = ………………………

= ………………………

= ………………………

= ………………………

Ώστε, λοιπόν, χρησιμοποιούμε διαφορετικές τεχνικές, ανάλογα με την περίπτωση, για να κάνουμε νοερούς πολλαπλασιασμούς: Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του 10, του 100, του 1.000, κτλ. Αναλύουμε έναν αριθμό ώστε να μας δίνει ένα πρώτο γινόμενο σε

100 ή 1.000. Αναλύουμε τους αριθμούς με τρόπο που να μας δίνουν εύκολα γινόμενα (το είδαμε στο κεφάλαιο 9).

Επιλέγουμε να πολλαπλασιάσουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς με όποια σειρά μάς εξυπηρετεί (το είδαμε στο κεφά-λαιο 10).

Στους νοερούς πολλαπλασιασμούς, εάν γίνεται, αναλύουμε τον έναν από τους δύο αριθμούς με τρόπο που να μας δίνει έπειτα εύκολα

γινόμενα με 10, 100 ή 1.000. ∆ες δύο περιπτώσεις:

24 x 25 = (10 + 10 + 4) x 25

= (10 x 25) + (10 x 25) + (4 x 25)

= 250 + 250 + 100

= 600

25 x 28 = 25 x 4 x 7

= (25 x 4) x 7

= 100 x 7

= 700


290


Υπολόγισε με τον ελληνικό πολλαπλασιασμό το γινόμενο που ακολουθεί:

7

Ξέρεις πώς πολλαπλασιάζουμε κάθετα με διψήφιο αριθμό. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο γίνεται η διαδικασία, αν έχουμε τριψήφιο αριθμό! Μόνο που συμπληρώνουμε ακόμα μία γραμμή στα αθροίσματα.

548 x 173Αν δε θυμάσαι

τον ελληνικό πολλα-πλασιασμό, γύρνα στο κεφάλαιο 9.

…. x ….=……

…. x ….=……

…. x ….=……

…. x ….=……

…. x ….=……

…. x ….=……

…. x ….=……

…. x ….=……

…. x ….=……

100

500

40

8

70 3

…… + …… + …… + …… + …… + …… + …… + …… + …… = …………

Επομένως, 548 x 173 = …………

Ξεκινώντας από δεξιά, πολλαπλασιάζουμε κάθε ψηφίο του δεύτερου αριθμού (πολλαπλασιαστής) με κάθε ψηφίο του πρώτου αριθμού (πολλαπλασιαστέος): Αρχικά, το 3 με το 8, με το 4 και με το 5. Έπειτα, το 7 με το 8, με το 4 και με το 5. Τέλος, το 1 με το 8, με το 4 και με το 5.Γράφουμε τα αποτελέσματα σε ξεχωριστές σειρές, προσέχοντας κάθε φορά να αφήνουμε κενές θέσεις στα δεξιά:Μία θέση κενή κάτω από το 4, αφού για τη σειρά αυτή έχουμε πολλαπλασιάσει με δεκάδες (δηλαδή, με το 7). Ακόμα μία θέση κενή κάτω από το 6, αφού στη σειρά αυτή έχουμε πολλαπλασιάσει με εκατοντάδες (δηλαδή, με το 2). Στο τέλος, κάνουμε την πρόσθεση.

5 4 8x 1 7 3

1 6 4 4 3 8 3 6 + 5 4 8

9 4.8 0 4


291


Υπολόγισε με τον κάθετο τρόπο τα επόμενα γινόμενα:

Τοποθέτησε κάθετα τους αριθμούς και υπολόγισε τα γινόμενα:

Τρία παιδιά έκαναν τον ίδιο πολλαπλασιασμό, αλλά μόνο ένα ακολούθησε κανονικά τη διαδικασία και βρήκε το σωστό αποτέ-λεσμα. Μπορείς να το βρεις;

8

10

9

7 3 9x 1 2 4

4 8 1x 2 3 5

3 1 5x 2 5 8

5 2 7x 3 6 2

4 2 5x 1 3 2

8 5 0 1 2 7 5

+ 4 2 5

2.5 5 0

4 2 5x 1 3 2

8 5 0 1 2 7 5 + 4 2 5

5 6.1 0 0

4 2 5x 1 3 2

8 5 0 1 2 7 5 + 4 2 5

1 4.0 2 5

Προσοχή! Μην ξεχνάς τα κρατούμενα!

527 x 145

860 x 213

619 x 320

x x x


292


Η μαμά του Νεκτάριου είναι ταμίας σε σουπερμάρκετ. Υπολογί-ζει ότι καθημερινά εξυπηρετεί, κατά μέσο όρο, 175 πελάτες. Τη χρονιά που πέρασε εργάστηκε συνολικά 229 ημέρες. Πόσους πελάτες εξυπηρέτησε;

Μια εταιρεία καταστημάτων με αθλητικά είδη προμηθεύτηκε 245 ζευγάρια αθλητικά παπούτσια. Θα πουλήσει το κάθε ζευγά-ρι 138 €. Πόσα χρήματα υπολογίζει να εισπράξει, αν πουλη-θούν όλα τα παπούτσια;

Σε ένα εκπαιδευτικό πρόγραμμα ρομποτικής, συμμετείχαν ομάδες μαθητών από 156 σχολεία. Κάθε σχολείο είχε προμηθευτεί ένα κιτ ρομποτικής το οποίο κοστίζει 238 €. Πόσα χρήματα δόθηκαν συνολικά από τα σχολεία που συμμετείχαν στο πρόγραμμα;

11

12

13

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: ...............................................................................................


293

4242 Διαιρώ με διψήφιο διαιρέτη

Επεκτείνουμε τις γνώσεις μας

στον αλγόριθμο της διαίρεσης

και μαθαίνουμε να διαιρούμε

αριθμούς με διψήφιο διαιρέτη.

Προσπάθησε να υπολογίσεις τις επόμενες διαιρέσεις με τον νου, βρίσκοντας τα πολλαπλάσια των διαιρετών. Χρησιμοποίη-σε τους πίνακες των πολλαπλασίων μέχρι εκεί που χρειάζεται:

1

Ας δούμε έναν τρόπο να διαιρούμε με τον νου αριθμούς!

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x

22 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x

25

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x

41

Έχουμε τη διαίρεση 254 : 22 = ;

Παίρνουμε με τη σειρά τα πολλαπλάσια του 22 μέχρι να φτάσουμε στο 254 ΧΩΡΙΣ να το ξεπεράσουμε. Αν θέλουμε, οργανώνουμε τα δεδομένα μας σε πίνακα. Παρατηρούμε ότι στο 254 πλησιάζει το γινόμενο 11 x 22 (το 12 x 22 ξεπερνάει το 254). Επομένως είναι:

254 : 22 = 11 και υπόλοιπο 12

228 : 25 = ………………………………………

185 : 41 = ………………………………………


294

42. Διαιρώ με διψήφιο διαιρέτη

Στο κεφάλαιο 12 μάθαμε να κάνουμε διαίρεση με κάθετο τρόπο («Ευκλείδια διαίρεση»). Εκεί είχαμε μονοψήφιο διαιρέτη.

Με την ίδια τεχνική διαιρούμε και με διψήφιο διαιρέτη! Μόνο που τώρα παίρνουμε στην αρχή δύο ψηφία από τον διαιρετέο!

5.250– 4 2 1 05 – 8 4

210– 210

000

42

125

5.250– 4 2 1 05 – 8 4

210

42

12

5.250– 4 2 1 05 – 8 4 21

42

12

5.250– 4 2 1 05

42

1

5.250– 4 2 1 0

42

1

5.250 42

Βρίσκουμε πόσο κάνει 210 : 42 ή, αλλιώς, πόσες φορές το 42 «χωράει» (πλησιάζει ή φτάνει) στο 210.

Είναι 5 φορές (5 x 42 = 210). Γράφουμε το 5 στο πηλίκο, πολλαπλασιάζουμε με το 42, γράφουμε το αποτέλεσμα

κάτω από το 210 και κάνουμε αφαίρεση.Η διαίρεσή μας τελείωσε, αφού στον διαιρετέο δεν υπάρ-

χει άλλο ψηφίο να κατεβάσουμε. Είναι, λοιπόν:5.250 : 42 = 125

Επιλέγουμε (με γραμμή) το επόμενο ψηφίο στον διαιρε-τέο (το 0) και το κατεβάζουμε στο υπόλοιπο, όπου, μαζί

με το 21, γίνεται 210

Βρίσκουμε πόσο κάνει 105 : 42 ή, αλλιώς, πόσες φορές το 42 «χωράει» (πλησιάζει ή φτάνει) στο 105. Είναι 2 φορές (2 x 42 = 84). Γράφουμε το 2 στο πηλίκο, πολλαπλασιάζου-με με το 42, γράφουμε το αποτέλεσμα κάτω από το 105

και κάνουμε αφαίρεση

Επιλέγουμε (με γραμμή) το επόμενο ψηφίο στον διαιρε-τέο (το 5) και το κατεβάζουμε στο υπόλοιπο, όπου, μαζί

με το 10, γίνεται 105

Βρίσκουμε πόσο κάνει 52 : 42 ή, αλλιώς, πόσες φορές το 42 «χωράει» (πλησιάζει ή φτάνει) στο 52. Είναι 1 φορά (1 x 42 = 42). Γράφουμε το 1 στο πηλίκο, πολλαπλασιάζουμε με το 42, γράφουμε το αποτέλεσμα κάτω από το 52

και κάνουμε αφαίρεση(όπως ακριβώς μάθαμε στο κεφ.12)

Στον διαιρέτη ο αριθμός έχει δύο ψηφία (το 42). Παίρνου-με από την αρχή του διαιρετέου επίσης δύο ψηφία (το 52)

(σημειώνουμε με γραμμές τα ψηφία που επιλέγουμε)


295


Υπολόγισε τις επόμενες διαιρέσεις:2

Μερικά σημεία που πρέπει να θυμάσαι: Στην αρχή, παίρνουμε στον διαιρετέο τόσα ψηφία, όσα έχει ο διαιρέτης (δύο ψηφία ο διαιρέτης, δύο παίρνουμε και από την αρχή του διαιρετέου).

Αν με την αρχική επιλογή των ψηφίων δεν μπορεί να γίνει η διαίρεση, επιλέγουμε απευθείας και το επόμενο στη σειρά ψηφίο στον διαιρε-τέο.

Ακολουθούμε τα βήματα, όπως ακριβώς κάναμε στο κεφάλαιο 12. Αν σε κάποιο σημείο, κατεβάζοντας ψηφίο στον διαιρετέο, δεν μπορεί να γίνει η διαίρεση, βάζουμε 0 στο πηλίκο και συνεχίζουμε.

Η διαίρεση τελειώνει όταν έχουμε κάνει και την τελευταία αφαίρε-ση και δεν υπάρχει στον διαιρετέο άλλο ψηφίο να κατεβάσουμε.

432 18

336 12

1.442 14

465 31

1.125 25

7.828 38

5.712 51

1.175 47

6.262 62

6.552 28

1.066 13

12.894 21


296


Υπολόγισε τις διαιρέσεις:

Τρία παιδιά προσπάθησαν να κάνουν την ίδια διαίρεση, αλλά μόνο ένα τα κατάφερε. Μπορείς να βρεις και να κυκλώσεις τη διαίρεση που είναι σωστή;

3

4

Όπως ήδη ξέρεις, μια διαίρεση μπορεί να αφήνει υπόλοιπο. Το υπόλοιπο ∆ΕΝ μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τον διαιρέτη ή ίσο με αυτόν (γιατί αυτό θα σήμαινε ότι ο διαιρέτης χωρούσε κι άλλη φορά).

450 28

824 13

3.020 15 5.735 51

534 31

1.741 24

2.002 19 20.895 52

6.495– 6 2

295 – 248

47

31

208

6.495– 6 2

295 – 279

16

31

29

6.495– 6 2

295 – 279

16

31

209

Ποια λάθη έκαναν τα άλλα δύο παιδιά; …………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………


297


Υπολόγισε τις διαιρέσεις και κάνε δίπλα τις επαληθεύσεις τους:

Μία βιομηχανία παραγωγής φρέσκων χυμών συσκεύασε 13.920 κουτάκια χυμών σε πακέτα που χωράνε 24 κουτάκια. Πόσα πακέτα χρειάστηκε η βιομηχανία;

Κατά λάθος, ο υπολογιστής έσβησε τους διαιρετέους (∆) στις επόμενες διαιρέσεις. Μπορείς να τους βρεις;

5

7

6

Αν δε θυμάσαι πώς γίνεται η επαλήθευση της διαίρεσης, γύρνα στο κεφάλαιο 13.

864 24

6.124 58

2.378 41

2.035 27

Λύνω:

Απαντώ: ..................................................................................

.

.

.4

18

16 ...

24

43

12 ...

16

24

85


298


Η κ. Ευτέρπη πήγε στην τράπεζα 185 χαρτονομίσματα των 20 € και 260 χαρτονομίσματα των 5 €. Ζήτησε να τα ανταλλάξει με χαρτονομίσματα των 50 €. Πόσα τέτοια χαρτονομίσματα θα πρέπει να της δώσει ο ταμίας;

Στον συνεταιρισμό επεξεργασίας φρούτων πέρασαν για συ-σκευασία 12.150 μήλα. Από αυτά, τα 876 είχαν αλλοιώσεις και οι εργάτες τα έβγαλαν στην άκρη. Τα υπόλοιπα συσκευάστηκαν σε κιβώτια που χωράνε 18 μήλα το καθένα. Πόσα κιβώτια χρειάστηκαν για τη συσκευασία;

Ο Γιώργος με την οικογένειά του φροντίζουν 24 αδέσποτα σκυλιά της περιοχής τους. Έχουν προμηθευτεί 300 κιλά ζωοτροφής και δίνουν από μισό κιλό την ημέρα σε καθένα από τα σκυλιά. Για πόσες μέρες θα φτάσει η τροφή;

8

9

10

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: ...................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: ...............................................................................................

............... ..............


299

4343 Αντίστροφα προβλήματα

Διαχειριζόμαστε προβλήματα και

μαθαίνουμε να δημιουργούμε

αντίστροφα προβλήματα.

Το Στάδιο Ειρήνης και Φιλίας (ΣΕΦ) έχει χωρητικότητα 14.500 θεατών. Σε έναν αγώνα μπάσκετ υπήρχαν 10.800 θεατές. Πόσες θέσεις έμειναν κενές;

Στο Στάδιο Ειρήνης και Φιλίας (ΣΕΦ), έναν αγώνα μπάσκετ παρακολούθησαν 10.800 θεατές, ενώ δεν καλύφθηκαν 3.700 θέσεις. Πόση είναι η χωρητικότητα του σταδίου;

1

1a

Αυτό που μου ζητάει το πρόβλημα να βρω, το λέμε ζητούμενο.Εδώ, το ζητούμενο είναι ………………………...... …………………………..

Τα στοιχεία που μου δίνει το πρό-βλημα, και που θα με βοηθήσουν να το λύσω, τα λέμε δεδομένα.Εδώ, τα δεδομένα είναι:α) ……………………………………........... ………………………………………………β) ……………………………………........... ………………………………………………

Λύνω:

Απαντώ: .................................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Χμ! Εδώ το ένα από τα δεδομένα του προηγούμενου προβλήμα-τος έγινε ζητούμενο, ενώ το ζητούμενο έγινε δεδομένο!

..........................


300

43. Αντίστροφα προβλήματα

Το Στάδιο Ειρήνης και Φιλίας (ΣΕΦ) έχει χωρητικότητα 14.500 θεατών. Σε έναν αγώνα μπάσκετ έμειναν κενές 3.700 θέσεις. Πόσοι θεατές παρακολούθησαν τον αγώνα;

Ο κ. Γεράσιμος φύτεψε 450 ροδακινιές και 250 βερικοκιές. Πόσα δέντρα φύτεψε συνολικά;

Ο κ. Γεράσιμος ……………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

Ο κ. Γεράσιμος ……………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

1b

2

2a 2b

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Απαντώ: ..........................................................................................

Απαντώ: ....................................... Απαντώ: .......................................

Σε σχέση με το αρχικό πρόβλη-μα (1), τι έχει αλλάξει εδώ; …………………………………………………………...………………………………..…

.................. ..............................

Όταν σε δύο ή περισσότερα προβλήματα αλλάζουν θέσεις μεταξύ τους τα δεδομένα με τα ζητούμενα, τότε τα προβλήματα αυτά τα λέμε

αντίστροφα!

Με βάση τα επόμενα αρχικά προβλήματα, προσπάθησε να δημιουργή-σεις από δύο αντίστροφα για το καθένα!


301


Σε ένα μεγάλο κατάστημα της πόλης οι εισπράξεις τον προη-γούμενο μήνα ήταν 165.837 €. Από αυτά τα χρήματα, 132.914 € ήταν έξοδα. Πόσα ήταν τα κέρδη του καταστήματος;

Ο Σύλλογος Γονέων και Κηδεμόνων προσφέρθηκε να καλύψει το κόστος της εκδρομής στη Βεργίνα για τα 21 παιδιά της ∆΄ τάξης. Τα έξοδα για κάθε παιδί είναι 36 €. Πόσα χρήματα θα κοστίσει στον σύλλογο η προσφορά αυτή;

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

3

4

3a 3 b

Λύνω:

Απαντώ: ..........................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: .................................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: ....................................

Λύνω:

Απαντώ: ....................................

................................................


302


Ένα κατάστημα ποδηλάτων πούλησε 25 παιδικά ποδήλατα και εισέπραξε 2.450 €. Ποια ήταν η τιμή κάθε ποδηλάτου;

5

Λύνω:

Απαντώ: .................................................................................................

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

4a

5a

4b

5b

Λύνω:

Απαντώ: ....................................

Λύνω:

Απαντώ: ....................................

Λύνω:

Απαντώ: ....................................

Λύνω:

Απαντώ: ....................................


303


Το οικόπεδο του κ. Βασίλη έχει σχήμα τετραγώνου και κάθε πλευρά έχει μήκος 35 μ. Πόση είναι η επιφάνεια (εμβαδόν) του οικοπέδου;

Η περιφερειακή ενότητα Πρέβεζας αποτελείται από 3 δήμους: τον δήμο Πρέβεζας με πληθυσμό 31.733 άτομα, τον δήμο Πάργας με πληθυσμό 11.866 άτομα και τον δήμο Ζηρού με πληθυσμό 13.892 άτομα. Πόσος είναι ο πληθυσμός της περιφερειακής ενότητας;

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7

6

6a

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Με βάση τα επόμενα αρχικά προβλήματα, προσπάθησε να δημιουργήσεις από ένα αντίστροφο για το καθένα!

Η περιφερε

Λύνω:

Απαντώ: ................................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: ................................................................................................

Οικόπεδοκ. Βασίλη


304


.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

Ο κ. Βασίλης έχει ακόμα ένα οικόπεδο, σχήματος ορθογωνίου με περίμετρο 250 μ. Το μήκος του οικοπέδου είναι 79 μ. Πόσο είναι το πλάτος του;

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

7α

8

8α

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: ...............................................................................................

Οικόπεδοκ. Βασίλη

2ο οικόπεδοκ. Βασίλη

2ο οικόπεδοκ. Βασίλη


305

4444 Μαθαίνω για την αναγωγή στη μονάδα

Διαχειριζόμαστε προβλήματα στα

οποία βρίσκουμε πρώτα την τιμή

του ενός και έπειτα των

περισσότερων.

Προσπάθησε να συμπληρώσεις τον πίνακα, βρίσκοντας πόσα θα πληρώσουμε, αν αγοράσουμε τις συγκεκριμένες ποσότητες μήλων:

1

Μήλα (σε κιλά)

1 2 3 4 5 6 7

Αξία (σε €)

4,50 €

Χμ! Θα πρέπει να ξέρω πόσο κάνει το 1 κιλό μήλα. Νομίζω ότι μπορώ να το βρω, επειδή ξέρω πόσο κάνουν τα 3 κιλά μήλα!

Εγώ έχω έναν άλλο τρόπο! Αν ξέρω πόσο κάνουν τα 2 κιλά, μπορώ να βρω τα 4 (διπλάσιο του 2) ή τα 8 (διπλάσιο του 4). Με τον ίδιο τρόπο, μπορώ από τα 3 να βρω τα 6 ή τα 9 κιλά (τριπλάσιο του 3). Επίσης, μπορώ να βρω τα 7 κιλά με άθροισμα 5 + 2 ή με άθροισμα 6 + 1 ή με

όποιο άθροισμα με βολεύει.

Με βάση τον πίνακα που συμπλήρωσες, μπορείς να υπολογίσεις πόσο κάνουν: Τα 8 κιλά μήλα; ……… Τα 9 κιλά μήλα; ……… Τα 10 κιλά μήλα; ………

Όταν ξέρουμε την τιμή κάποιας ποσότητας και ψάχνουμε να βρούμε την τιμή μιας μεγαλύτερης ή μικρότερης ποσότητας, χρειάζεται πρώτα να υπολογίσουμε την τιμή της 1 ποσότητας. Λέμε τότε ότι κάνουμε

«αναγωγή στη μονάδα», δηλαδή βρίσκουμε πρώτα το 1 και έπειτα τα πολλά!

, μπορώ να


306

44. Μαθαίνω για την αναγωγή στη μονάδα

Ο μπαμπάς του Γρηγόρη πήγε στο μανάβικο για να αγοράσει ντομάτες. Πήρε 5 κιλά και πλήρωσε 7 €. Μπορείς να τον βοη-θήσεις να υπολογίσει πόσο κάνουν το κιλό οι ντομάτες;

Η Μαρκέλλα αγόρασε 4 κουτιά από τον αγαπημένο της χυμό και πλήρωσε 3,60 €. Η φίλη της η ∆ήμητρα αγόρασε 5 κουτιά από τον ίδιο χυμό. Πόσα χρήματα πλήρωσε;

Στο επόμενο εφτάγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Οι τρεις χρωματισμένες πλευρές έχουν συνολικό μήκος 42 εκ. Πόση είναι η περίμετρος του εφταγώνου;

2

3

4

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: .............................................................................................

Χμ! Μπορείς να βρεις τη λύση σχεδιάζοντας πίνακα. Μπορείς όμως να βρεις πρώτα τα 10 κιλά

και έπειτα το 1 κιλό!

.................. ..............................


307


Η μαμά της Έλλης θα φτιάξει κέικ για το πάρτι γενεθλίων της κόρης της. ∆ιαβάζει στα υλικά της συνταγής ότι για 8 άτομα χρειάζονται 4 αυγά. Όμως στο πάρτι θα είναι 14 παιδιά και γι’ αυτό πρέπει να φτιάξει περισσότερο κέικ. Πόσα αυγά θα πρέ-πει να χρησιμοποιήσει συνολικά;

Την προηγούμενη εβδομάδα ο κ. Μάριος αγόρασε 10 κιλά πορτοκάλια και πλήρωσε 12 €. Σήμερα θέλει να αγοράσει 7 κιλά πορτοκάλια. Πόσα χρήματα θα πληρώσει;

Ο κ. Ζήσης έχει φυτώριο λουλουδιών. Σε μία πλευρά έχει 84 γλαστράκια με τριανταφυλλιές τοποθετημένα σε 6 σειρές. Πόσα γλαστράκια θα υπάρχουν συνολικά στις 15 σειρές που θα φτιάξει στο φυτώριο;

5

6

7

Λύνω:

Απαντώ: ...........................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: .....................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: .................................................................................................

Να θυμάσαι! Για τις λύσεις μπορείς να χρησιμοποιείς πίνακα ή να κάνεις νοερούς υπολογισμούς ή και κάθετες πράξεις!

Την προηγ

................ .........................................

............................................................................... ...................................................................


308

44. Μαθαίνω για την αναγωγή στη μονάδα

Ο Μάρκος αγόρασε 1,5 κιλά τυρί φέτα και είναι να πληρώσει 15,60 €. Θέλει, όμως, να αγοράσει ακόμα μισό κιλό για να το δώσει στη γιαγιά του. Πόσα χρήματα θα πληρώσει συνολικά;

Πέντε φίλοι έφαγαν δύο πίτσες και ο λογαριασμός γράφει ότι πρέπει να πληρώσουν 24 €. Οι πίτσες ήταν ίδιες και χωρισμένες σε 8 κομμάτια η καθεμιά. Αποφάσισαν να πληρώσει ο καθένας ανάλογα με τα κομμάτια που έφαγαν. Ο Ηλίας και ο Παντελής έφαγαν από 3 κομμάτια ο καθένας, ο Θάνος και ο Λευτέρης από 4 και ο Χάρης 2. Πόσα χρήματα αντιστοιχούν σε κάθε παιδί;

Ο κ. Στέλιος αγόρασε 3 μπουκάλια νερό και πλήρωσε 0,75 €. Ο κ. Κωνσταντίνος αγόρασε 3 εξάδες από το ίδιο νερό, στις οποίες το 1 μπουκάλι είναι δώρο. Πόσα χρήματα πλήρωσε;

8

9

10

Λύνω:

Απαντώ: ...............................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: ...........................................................................................

Λύνω:

Απαντώ: .................................................................................................

............................................................................ .......... ............................


448

Λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου

10. Στόχος 70.000: 7.000 x 10 700 x 100 70 x 1.000 Στόχος 170.000: 1.700 x 100 170 x 1.000 17 x 10.00011. Ήλιος 40.000, από 10.000 σε κάθε κουτάκι. Ήλιος 90.000, από 15.000 σε

κάθε κουτάκι. Ήλιος 56.000, από 7.000 σε κάθε κουτάκι.12. Τ.Α. 550 €, Τ.Π. 685 €, Κ. 135 €. Τ.Α. 1.100 €, Τ.Π. 1.350 €, Κ. 250 €. Τ.Α. 8.900 €, Τ.Π. 10.000 €, Κ. 1.100 €. Τ.Α. 14.900 €, Τ.Π. 17.450 €, Κ. 2.550 €.13. Στις 8 εβδομάδες το πλοίο θα κάνει 40 δρομολόγια. 40 x 2.300 = 92.000

άτομα θα μεταφέρει συνολικά στο Ηράκλειο.

14. Το 14

των θέσεων είναι 70.000 : 4 = 17.500.

Επομένως, 17.500 + 4.300 + 1.500 = 23.300 θεατές παρακολούθησαν τον αγώνα.

Κεφάλαιο 41: Πολλαπλασιάζω με τριψήφιο πολλαπλασιαστή

1. Αριστερή στήλη: 68 x 100 152 x 10 79 x 1.000 14 x 10.000 4.293 x 10 ∆εξιά στήλη: 270 x 10 810 x 100 500 x 100 20 x 10.000 9.000 x 102. x10 2.340 48.620 160.900 x5 (τα μισά) 1.170 24.310 80.450 x100 5.400 18.300 196.200 x50 (τα μισά) 2.700 9.150 98.100 x1.000 85.000 91.000 168.000 x500 (τα μισά) 42.500 45.500

84.0003. Αριστερή στήλη: 280, 2.210, 32.455, 79.170 Μεσαία στήλη: 4.150, 36.000, 40.900, 76.200 ∆εξιά στήλη: 36.000, 29.500, 65.500, 98.500 Τα πολλαπλάσια του 2 τελειώνουν σε 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8. Τα πολλαπλάσια

του 5 τελειώνουν σε 0 ή 5. Τα πολλαπλάσια του 10 τελειώνουν σε 0.4. 87 x 2 = 174 (τελειώνει σε 4), 326 x 2 = 652 (τελειώνει σε 2),

48 x 5 = 240 (τελειώνει σε 0), 115 x 5 = 575 (τελειώνει σε 5), 63 x 10 = 630 (τελειώνει σε 0), 920 x 10 = 9.200 (τελειώνει σε 0)

5. 549 x 2 = 1.099 (δεν μπορεί πολλαπλασιασμός με το 2 να έχει αποτέλεσμα που να τελειώνει σε 9)

385 x 5 = 1.927 (δεν μπορεί πολλαπλασιασμός με το 5 να έχει αποτέλεσμα που να τελειώνει σε 7)


449


831 x 10 = 8.311 (δεν μπορεί πολλαπλασιασμός με το 10 να έχει αποτέλε-σμα που να τελειώνει σε 1)

6. 12 x 41 = (10 + 2) x 41 = (10 x 41) + (2 x 41) = 410 + 82 = 492 25 x 44 = 25 x (4 x 11) = (25 x 4) x 11 = 100 x 11 = 1.100 34 x 250 = (10 + 10 + 10 + 4) x 250 = (10 x 250) + (10 x 250) + + (10 x 250) + (4 x 250) = 2.500 + 2.500 + 2.500 + 1.000 = 8.500 36 x 250 = (9 x 4) x 250 = 9 x (4 x 250) = 9 x 1.000 = 9.0007. 1η σειρά: 500 x 100 = 50.000, 500 x 70 = 35.000, 500 x 3 = 1.500 2η σειρά: 40 x 100 = 4.000, 40 x 70 = 2.800, 40 x 3 = 120 3η σειρά: 8 x 100 = 800, 8 x 70 = 560, 8 x 3 = 24 Σύνολο: 50.000 + 35.000 + 1.500 + 4.000 + 2.800 + 120 + 800 + 560 + 24 =

= 94.804 Επομένως, 548 x 173 = 94.8048. 739 x 124 = 91.636 481 x 235 = 113.035 315 x 258 = 81.270

527 x 362 = 190.7749. Το δεύτερο παιδί ακολούθησε κανονικά τη διαδικασία και βρήκε σωστό

αποτέλεσμα (56.100). Τα άλλα δύο παιδιά δεν τοποθέτησαν σωστά τα επιμέρους αθροίσματα.10. 527 x 145 = 76.415 860 x 213 = 183.180 619 x 320 = 198.08011. 229 x 175 = 40.075 πελάτες εξυπηρέτησε σε έναν χρόνο.12. 245 x 138 = 33.810 € θα εισπράξει η εταιρεία από την πώληση των παπουτσιών.13. 156 x 238 = 37.128 € δόθηκαν από τα σχολεία για την αγορά των κιτ ρομπο-

τικής.

Κεφάλαιο 42: Διαιρώ με διψήφιο διαιρέτη

1. Πολλαπλάσια του 25: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250. 228 : 25 = 9 και υπ. 3. Πολλαπλάσια του 41: 41, 82, 123, 164, 205. Επομένως, 185 : 45 = 4 και υπ. 21.2. 432 : 18 = 24 465 : 31 = 15 5.712 : 51 = 112 6.552 : 28 = 234

336 : 12 = 28 1.125 : 25 = 45 1.175 : 47 = 25 1.066 : 13 = 82 1.442 : 14 = 103 7.828 : 38 = 206 6.262 : 62 = 101 12.894 : 21 = 614

3. 450 : 28 = 16 και υπ. 2. 534 : 31 = 17 και υπ. 7. 824 : 13 = 63 και υπ. 5. 1.741 : 24 = 72 και υπ. 13. 3.020 : 15 = 201 και υπ. 5. 2.002 : 19 = 105 και υπ. 7. 5.735 : 51 = 112 και υπ. 23. 20.895 : 52 = 401 και υπ. 43.4. Σωστή είναι η 3η διαίρεση. 6.495 : 31 = 209 και υπ. 16. Στην 1η διαίρεση το

τελικό υπόλοιπο είναι μεγαλύτερο από τον διαιρέτη, άρα χωρούσε κι άλλη φορά το 31 στο 295. Στη 2η διαίρεση, έπειτα από την 1η αφαίρεση έχουν κατέ-βει μαζί δύο ψηφία (το 8 και το 5) χωρίς να μπει 0 στο πηλίκο.


450


5. 864 : 24 = 36 36 x 24 = 864. 2.378 : 41 = 58 58 x 41 = 2.378. 6.124 : 58 = 105 και υπ. 34 (105 x 58) + 34 = 6.124.

2.035 : 27 = 75 και υπ. 10 (75 x 27) + 10 = 2.0356. 1η διαίρεση: (16 x 18) + 4 = 292 2η διαίρεση: (12 x 43) + 24 = 540 3η διαίρεση: (85 x 24) + 16 = 2.0567. 13.920 : 24 = 580 πακέτα χρειάστηκε η βιομηχανία.8. 185 x 20 = 3.700 € τα χαρτονομίσματα των 20 €.

260 x 5 = 1.300 € τα χαρτονομίσματα των 5 €. Σύνολο: 3.700 + 1.300 = 5.000 €.

5.000 : 50 = 100 χαρτονομίσματα των 50 € θα δώσει ο ταμίας.9. 12.150 – 876 = 11.274 μήλα για συσκευασία. 11.274 : 18 = 626 κιβώτια

χρειάστηκαν για τη συσκευασία και περίσσεψαν 6 μήλα.10. Μισό κιλό τροφής για 24 σκύλους σημαίνει ότι καθημερινά απαιτούνται 12

κιλά τροφής. Άρα, 300 : 12 = 25 ημέρες θα διαρκέσει η τροφή.

Κεφάλαιο 43: Αντίστροφα προβλήματα1. Τα δεδομένα στο πρόβλημα είναι: α) Το ΣΕΦ χωράει 14.500 θεατές, β) Σε έναν

αγώνα υπήρχαν 10.800 θεατές. Το ζητούμενο στο πρόβλημα είναι να βρούμε πόσες θέσεις έμειναν κενές.

Είναι: 14.500 – 10.800 = 3.700 κενές θέσεις.1α. 10.800 + 3.700 = 14.500 θεατές χωράει το ΣΕΦ.1β. 14.500 – 3.700 = 10.800 θεατές παρακολούθησαν τον αγώνα. Σε αυτό το πρόβλημα το αρχικό ζητούμενο του προβλήματος 1 (κενές θέ-

σεις) έγινε δεδομένο, ενώ ένα από τα αρχικά δεδομένα (οι θεατές που πα-ρακολούθησαν τον αγώνα) έγινε ζητούμενο.

2. 450 + 250 = 700 δέντρα φύτεψε ο κ. Γεράσιμος.2α. «Ο κ. Γεράσιμος φύτεψε 700 δέντρα από τα οποία τα 450 ήταν ροδακινιές και

τα υπόλοιπα βερικοκιές. Πόσες ήταν οι βερικοκιές που φύτεψε;» Λύση: 700 – 450 = 250 βερικοκιές φύτεψε ο κ. Γεράσιμος.2β. «Ο κ. Γεράσιμος φύτεψε 700 δέντρα από τα οποία τα 250 ήταν βερικοκιές και

τα υπόλοιπα ροδακινιές. Πόσες ήταν οι ροδακινιές που φύτεψε;» Λύση: 700 – 250 = 450 ροδακινιές φύτεψε ο κ. Γεράσιμος.3. 165.837 – 132.914 = 32.923 € ήταν τα κέρδη του καταστήματος.3α. «Σε ένα μεγάλο κατάστημα της πόλης οι εισπράξεις τον προηγούμενο μήνα

ήταν 165.837 €, ενώ τα καθαρά κέρδη ήταν 32.923 €. Πόσα ήταν τα έξοδα του καταστήματος;»

Λύση: 165.837 – 32.923 = 132.914 € ήταν τα έξοδα.3β. «Σε ένα μεγάλο κατάστημα της πόλης από τις εισπράξεις του προηγούμενου


451


μήνα 132.914 € δόθηκαν για διάφορα έξοδα ενώ 32.923 € ήταν τα κέρδη. Πόσα ήταν τα έσοδα του καταστήματος;»

Λύση: 132.914 + 32.923 = 165.837 € ήταν τα έσοδα.4. 21 x 36 = 756 € θα κοστίσει στον σύλλογο η προσφορά.4α. «Ο Σύλλογος Γονέων και Κηδεμόνων προσφέρθηκε να καλύψει το κόστος της

εκδρομής στη Βεργίνα για τα 21 παιδιά της ∆΄ τάξης. Τα χρήματα που διέθεσε ο Σύλλογος ήταν συνολικά 756 €. Πόσα χρήματα διατέθηκαν για κάθε παιδί;»

Λύση: 756 : 21 = 36 € για κάθε παιδί.4β. «Ο Σύλλογος Γονέων και Κηδεμόνων διέθεσε 756 € για να καλύψει το συνολι-

κό κόστος της εκδρομής στη Βεργίνα για τα παιδιά της ∆΄ τάξης. Αν τα έξοδα για κάθε παιδί είναι 36 €, πόσα παιδιά πήραν μέρος στην εκδρομή;»

Λύση: 756 : 36 = 21 παιδιά συμμετείχαν στην εκδρομή.5. 2.450 : 25 = 98 € έκανε κάθε ποδήλατο. 5α. «Ένα κατάστημα ποδηλάτων πούλησε 25 παιδικά ποδήλατα με 98 € το καθέ-

να. Πόσα χρήματα εισέπραξε;» Λύση: 25 x 98 = 2.450 € εισέπραξε το κατάστημα από την πώληση των

ποδηλάτων.5β. «Ένα κατάστημα ποδηλάτων πούλησε παιδικά ποδήλατα με 98 € το καθένα

και εισέπραξε από την πώληση 2.450 €. Πόσα ποδήλατα πούλησε;» Λύση: 2.450 : 98 = 25 ποδήλατα πούλησε.6. 31.733 + 11.866 + 13.892 = 57.491 άτομα είναι ο πληθυσμός του νομού

Πρέβεζας.6α. Για οποιοδήποτε αντίστροφο πρόβλημα θα πρέπει να δίνεται ο συνολικός

πληθυσμός του νομού και ο πληθυσμός δύο δήμων, ενώ θα είναι άγνωστος ο πληθυσμός του 3ου δήμου.

Ενδεικτικά: «Ο πληθυσμός του νομού Πρέβεζας είναι 57.491 άτομα. Ο νομός αποτελείται από 3 δήμους: τον δήμο Πρέβεζας με πληθυσμό 31.733 άτομα, τον δήμο Πάργας με πληθυσμό 11.866 άτομα και τον δήμο Ζηρού. Πόσος είναι ο πληθυσμός του δήμου Ζηρού;

7. 35 x 35 = 1.225 τ.μ. είναι το εμβαδόν του οικοπέδου του κ. Βασίλη.7α. «Το οικόπεδο του κ. Βασίλη έχει εμβαδόν 1.225 τ.μ. Έχει 4 κάθετες μεταξύ

τους πλευρές και η μία πλευρά έχει μήκος 35 μ. Πόσο είναι το μήκος της άλλης πλευράς; Τι σχήμα έχει το οικόπεδο;»

Λύση: 1.225 : 35 = 35 μ. είναι το μήκος της άλλης πλευράς. Το οικόπεδο έχει τετράγωνο σχήμα.

8. 79 + 79 = 158 μ. είναι το μήκος δύο ίσων πλευρών. Απομένουν για τις άλλες δύο πλευρές 250 – 158 = 92 μ., άρα 46 μ. έχει μήκος καθεμιά από αυτές, οπό-τε τόσο είναι και το πλάτος.


452


8α. Ενδεικτικά: «Ο κ. Βασίλης έχει ακόμα ένα οικόπεδο, σχήματος ορθογωνίου με περίμετρο 250 μ. Το πλάτος του οικοπέδου είναι 46 μ. Πόσο είναι το μήκος του;»

Λύση: 46 + 46 = 92 μ. 250 – 92 = 158 μ. 158 : 2 = 79 μ. το μήκος.

Κεφάλαιο 44: Μαθαίνω για την αναγωγή στη μονάδα

1. Με τη σειρά: 1,50 €, 3 €, (4,50 €), 6 €, 7,50 €, 9 €, 10,50 €. Τα 8 κ. μήλα 12 €, τα 9 κ. 13,50 €, τα 10 κ. 15 €.2. Αφού τα 5 κ. κοστίζουν 7 €, τα 10 κ. θα κοστίζουν 14 €. Άρα, το 1 κ. κοστίζει

14 : 10 = 1,40 €.3. Τα 4 κουτιά 3,60 €. Τα 2 κουτιά 1,80 €. Το 1 κουτί 0,90 €. Άρα τα 5 κουτιά 4,50 €.4. Καθεμιά από τις χρωματισμένες πλευρές έχει μήκος 42 : 3 = 14 εκ. Επομέ-

νως, η περίμετρος είναι 7 x 14 = 98 εκ.5. Για 8 άτομα 4 αυγά, δηλαδή τον μισό αριθμό σε αυγά από ό,τι τα άτομα.

Άρα για 14 παιδιά θα χρειαστεί 7 αυγά.6. 10 κ. 12 €. Άρα, 1 κ. 12 : 10 = 1,20 €, 2 κ. 2,40 €, 3 κ. 3,60 €,

4 κ. 4,80 €, 5 κ. 6 €, 6 κ. 7,20 €, 7 κ. 8,40 €.7. 84 : 6 = 14 γλαστράκια σε κάθε σειρά. Άρα, 15 x 14 = 210 γλαστράκια σε

όλες τις σειρές.8. Το μισό κιλό κοστίζει 5,20 € (το 15,60 στα 3). Επομένως, 15,60 + 5,20 =

= 20,80 €. 9. Κάθε πίτσα (8 κομμάτια) κοστίζει 12 €. Τα 4 κομμάτια 6 €, τα 2 κομμά-

τια 3 €, άρα το 1 κομμάτι 1,50 €. Επομένως, ο Ηλίας και ο Παντελής θα πληρώσουν από 4,50 €, ο Θάνος και ο Λευτέρης από 6 € και ο Χάρης 3 €.

10. Κάθε μπουκάλι κοστίζει 0,25 €. Συνεπώς, κάθε εξάδα κοστίζει 1,25 € (όσο 5 μπουκάλια, αφού το 1 είναι δώρο). Οι 3 εξάδες κοστίζουν 3,75 €.

Κεφάλαιο 45: Διαχειρίζομαι σύνθετα προβλήματα

1. Ζητούμενο: Πόσα χρήματα είχαν απομείνει στο πορτοφόλι. ∆εδομένα χρήσιμα για τη λύση: Αρχικά χρήματα στο πορτοφόλι (300 €),

δόση πιστωτικής κάρτας (85 €), λογαριασμός νερού (61 €), καφές (2 €), λογαριασμός ρεύματος (142 €), σοκολάτες για τα παιδιά (3 x 2 = 6 €).

∆εδομένα που δε μας είναι χρήσιμα για τη λύση: ημερομηνία, ηλικία, ώρα αφύπνισης, λογαριασμός τηλεφώνου.


Πολλαπλασιάζω με - Patakis › files › 1192161.pdf · 2020-05-12 · Με...

Documents

Transcript of Πολλαπλασιάζω με - Patakis › files › 1192161.pdf · 2020-05-12 · Με...