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Étude générale des engrenages.

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Définition du problèmeOn souhaite réaliser un entraînement homocinétique entre

deux cylindres S1 et S2 roulant sans glissement au point de contact I.

IS1S2

r1r2

Rapport de réduction

r= ω2/ω1=r1/r2

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Solution 1 : Transmission par roues de friction

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Transmission par roues de friction

Description:Les solides S1 et S2, sont en liaison pivot par rapport à un

solide fixe. La transmission est garantie par un risque de glissement faible au point I.

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Solution 1 : Transmission par roues de friction

Paramètres garantissant le non glissement en I.

Condition de non glissement en I:

θ<ϕ ou tan θ < tan ϕ=f

avec ϕ angle de frottement.

D’où T(1-2)<N(1-2)*f

Garantir le non glissement:

•Augmenter N(1-2): Pression de hertz

•Augmenter f: matériaux; état de surface.

•On montre que ω2/ω1=r1/r2 = r.

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Solution 2: Transmission par engrenage

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Transmission par engrenage

r1 et r2: rayons primitifs.

rb1 et rb2: rayons de base.

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Transmission par engrenageDéfinitions

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Transmission par engrenage

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Transmission par engrenage

Principe:

Les cylindres S1 et S2 sont entraînés en rotation par l’intermédiaire d ’une « courroie »roulant sans glissement sur les cercles de base de diamètre rb1 et rb2.

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Transmission par engrenage

Réalisation pratique:

Pour réaliser ce mouvement, on réalise dans les deux roues des dentures ayant un profil en développante de cercle.

Ce profile est le plus utilisé car:

•Facile à réaliser

•Insensible aux variations d’entraxe

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Transmission par engrenageProfile en développante de cercle:

Principe:

On fait rouler sans glisser la tangente en A sur le cercle de base.

Arc A-1=1-1’’

Arc A-8=8-8’’

Développante= lieu des points i’’

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Transmission par engrenageProfile en développante de cercle:

Propriétés:

•Le pas:

•Comme AMi=MiAi

•On montre que AB=AiBi

•La normale en Ai est tangente en Mi.

•Le rayon de courbure ρi=MiAi.

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Transmission par engrenageProfils conjugués

Pour obtenir un profil conjugués en développantes de cercles sur chacun des cylindres:

Déplacer la crémaillère S3 suivant (I,x) par roulement sans glissement en avec les deux cylindres S1 et S2.

« L’usinage » des profils P1 et P2 se fait par le profil P3 perpendiculaire à u.

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Transmission par engrenagePourquoi obtient on un profil en développante de cercle?

Le profil est le résultat du mouvement relatif de S3/S1. Vu de S1, c’est comme si la droite (I,u) roulait sans glisser sur le cercle de de base Cb1.

Pour démontrer cela, il faut montrer que

σ∈ =

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Transmission par engrenageConséquences sur une roue : pas de base

Chacune des dents est distante du pas de base sur le cercle de base.

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Transmission par engrenageConséquences sur une roue : pas de base

Distance MN = A2B2=A1B1 = pb

Pb est imposé par l’outil

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Transmission par engrenageTaillage des profils par crémaillère

Le roulement sans glissement (RSG) au point I de la crémaillère sur le pignon est équivalent au RSG de la ligne primitive de taille sur le cercle primitif de taille.

Conséquence: Pb=P0 cos(α0) et le pas au primitif P=P0

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Transmission par engrenageConséquences sur une roue : épaisseur de la dent

Préliminaires:

On cherche à exprimer l’angle θ en fonction de l’angle αa

On a: M0N= rb.θ

On montre que

M0N= rb.(tan(αa)-αa)

Donc: θθθθ= inv(ααααa)

Avec inv(αa) = .(tan(αa)-αa) (rad)

De plus:

Cos(ααααa) = r/ra. Cos(αααα)

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Transmission par engrenage

α α = + −

Conséquences sur une roue : épaisseur de la dent

On cherche à exprimer l’épaisseur eA de la dent à un rayon Ra donné, en fonction de l’épaisseur au primitif.

On a : eA= 2.(BC-AC)

On en déduit que :

Dans la pratique:

pour un engrenage donné de rayon primitif r de module M et d’angle α. On peut en déduire l’épaisseur de la dents pour chaque rayon.

Exemple

α α = + −

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Transmission par engrenage

= + ∧ Ω

Conséquences sur l’engrenage

A chaque instant, le point de contact M est situé sur la ligne de pression (I,u) inclinée d’un angle α.

λ ω ω= −

λ=

Avec

λ=

λ ω ω= −

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Transmission par engrenageConséquences sur l’engrenage

A chaque instant, L’effort de contact F(1-2) entre S1 et S2 est situé sur la ligne de pression (I,u) inclinée d’un angle α.

λ=

λ ω ω= −

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Transmission par engrenageLe déport de denture

On considère un taillage de denture avec une crémaillère décalée de d=m0.x (avec x, cœfficient de déport ) par rapport au cercle primitif de taillage.

Épaisseur au primitif de taille:

αΠ = +

x+

x -

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Transmission par engrenageLe déport de denture

Avantages:

En modifiant la géométrie de la dent, le déport de denture permet:

D’améliorer le glissement.

D’améliorer la résistance de la dent.

De modifier l’entraxe de fonctionnement.

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Transmission par engrenageInterférence de taillage

Description du phénomène: On dit qu’il y’a interférence de taillage lorsque le sommet de la dent d’une roue, rencontre le fond d’une dent de l’autre roue. Les profils ne sont alors plus conjugués et il y’a risque de vibrations et de blocage du système.

Cause: Problème de taillage de la denture. Pour se dégager,

L’outil crémaillère taille au-delà de la

zone développante de cercle sur le cercle de base.

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Transmission par engrenageInterférence de taillage

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Transmission par engrenageInterférence de taillage

Conditions de non interférence:

Lors du taillage, on veut éviter que le point A de la crémaillère vienne usiner au-delà du point de rebroussement P.

D’où: Ih>Ia, avec Ia= (1-x).m0 et Ih=( r-rb.cos(α)) . ce qui conduit à :

α > −simulation

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Transmission par engrenageRapport de conduite

Définition:

Pour qu’une transmission par engrenage soit continue, il faut qu’un couple de profils conjugués soient en prise quelque soit la position angulaire des roues.

Condition:

soit A et B : sur les cercles de tête des deux pignons.

Il faut AB>P

En général:

AB/P>1,3.