Estructuras de Acero. Problemas. Vigas · PDF fileComprobación a efectos locales:...
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Estructuras de acero. Problemas. Vigas. 1 Estructuras de acero: Problemas Vigas Dimensionar con un perfil IPE una viga biapoyada de 5 m de luz que soporta una sobrecarga de 30 kN/m uniformemente repartida. El acero es S275. Solución: Se supone un peso propio 1 de la viga de 0,5 kN/m. El valor de la carga mayorada será: kN/m 675 , 45 30 50 , 1 5 , 0 35 , 1 Q G q Q G = ⋅ + ⋅ = ⋅ γ + ⋅ γ = Comprobación a flexión En una viga biapoyada cargada uniformemente, el momento máximo se produce en el centro del vano, y su valor es: m kN 73 , 142 5 675 , 45 8 1 q 8 1 M 2 2 Ed ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = l Si se observa la tabla 8.1 del documento «Estructuras de acero. Bases de cálculo», puede comprobarse como los perfiles IPE, sometidos a flexión, son siempre de clase 1. El momento flector que actúa sobre la sección M Ed no podrá superar la resistencia a flexión de la sección M c,Rd : Rd , c Ed M M ≤ Esta resistencia a flexión varía con el tipo de sección. En secciones de clase 1 y 2, esta resistencia viene definida por la expresión: yd pl Rd , pl f W M ⋅ = Por tanto, haciendo yd pl Ed f W 73 , 142 M ⋅ ≤ = se puede determinar el perfil a partir del cual se hace válida la condición anterior. 1 El peso propio de un perfil IPE 330 es de 49,1 kg/m.
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Estructuras de acero. Problemas. Vigas. 1
Estructuras de acero: Problemas Vigas
Dimensionar con un perfil IPE una viga biapoyada de 5 m de luz que soporta una sobrecarga de 30 kN/m uniformemente repartida. El acero es S275.
Solución: Se supone un peso propio1 de la viga de 0,5 kN/m. El valor de la carga mayorada será:
kN/m 675,453050,15,035,1QGq QG =⋅+⋅=⋅γ+⋅γ= Comprobación a flexión En una viga biapoyada cargada uniformemente, el momento máximo se
produce en el centro del vano, y su valor es:
mkN 73,1425675,4581q
81M 22
Ed ⋅=⋅⋅=⋅⋅= l
Si se observa la tabla 8.1 del documento «Estructuras de acero. Bases de
cálculo», puede comprobarse como los perfiles IPE, sometidos a flexión, son siempre de clase 1.
El momento flector que actúa sobre la sección MEd no podrá superar la
resistencia a flexión de la sección Mc,Rd :
Rd,cEd MM ≤ Esta resistencia a flexión varía con el tipo de sección. En secciones de clase
1 y 2, esta resistencia viene definida por la expresión:
ydplRd,pl fWM ⋅= Por tanto, haciendo
ydplEd fW73,142M ⋅≤=
se puede determinar el perfil a partir del cual se hace válida la condición anterior.
1 El peso propio de un perfil IPE 330 es de 49,1 kg/m.
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Así, yd
Edpl f
MW ≥ .
Numéricamente, 336
pl mm 10545
05,1275
1073,142W ⋅=⋅
≥
El primer perfil que cumple este requisito del módulo plástico es el IPE 300
(Anejo 1), cuyos datos son:
h=300 mm Ιz=604·104 mm4
b=150 mm r=15 mm
tw=7,1 mm A=5380 mm2
tf=10,7 mm Wpl,y=628·103 mm3
Ιy=8360·104 mm4 P=42,2 kg/m Se comprueba que el peso es menor del supuesto (0,422 < 0,50 kN/m) y que
el mayor espesor del perfil (tf=10,7 mm) es inferior a 16 mm, por lo que no se minora más la resistencia del acero (tabla 4.1 DB SE-A).
Comprobación a esfuerzo cortante El mayor valor del esfuerzo cortante se da en los apoyos, y su valor es el de
la reacción. Por tanto, no es coincidente con el máximo momento flector. El valor de cálculo del esfuerzo cortante vale:
kN 19,1142
5675,452
qVEd =⋅
=⋅
=l
La resistencia plástica de la sección a cortante viene definida por la
expresión:
3f
AV ydVRd,pl ⋅=
donde el término relativo al área a cortante AV, para perfiles en Ι cargados paralelamente al alma, vale:
( ) fwfV tr2ttb2AA ⋅⋅++⋅⋅−=
Estructuras de acero. Problemas. Vigas. 3
( ) 2V mm 25677,101521,77,1015025380A =⋅⋅++⋅⋅−=
kN 2,388305,1
27525673
fAV yd
VRd,pl ≅⋅
⋅=⋅= 2
Por tanto, VEd<Vpl,Rd. El perfil es admisible. Comprobación a pandeo lateral3
Rd,bEd MM ≤
1M
yyLTRd,b
fWM
γ⋅
⋅χ=
y,ply WW = por ser de clase 1.
112LT
2LTLT
LT ≤λ−φ+φ
=χ
( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ λ+−λ⋅α+⋅=φ
2LTLTLTLT 2,015,0
Para el perfil IPE 300, como 2150300
bh
== , le corresponde una curva de
pandeo a y un valor del coeficiente de imperfección αLT=0,21.
cr
yyLT
MfW ⋅
=λ .
El momento crítico elástico de pandeo lateral Mcr se calcula mediante:
2LTw
2LTvcr MMM +=
ZTC
1LTv EGL
CM Ι⋅⋅Ι⋅⋅π
⋅=
Teniendo en cuenta que π, G, ΙT, E, ΙZ son constantes para un perfil dado, y
para facilitar los cálculos, se ha definido bLTv4 como ZTLTv EGb Ι⋅⋅Ι⋅⋅π= , de modo que la expresión anterior se escribe: 2 Los datos de Av y Vpl,Rd se pueden obtener directamente en el Anejo 1. 3 Apartado 5.3.1 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».
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LTvC
1LTv b
LCM ⋅=
C1, para una viga biapoyada con una distribución de momentos flectores
parabólica, se puede adoptar 1,13. En principio no se va a arriostrar la viga en puntos intermedios, por lo que se
adopta como longitud de pandeo lateral (distancia entre apoyos laterales que impidan el pandeo lateral) la luz de la viga. Por tanto,
mm·N 10202973410·4514595000
13,1M 6LTv =⋅=
2
z,f12C
2
y,elLTw iCL
EWM ⋅⋅⋅π
⋅=
Del mismo modo que en la expresión anterior, Wel,y, π, E, if,z, son constantes
para un perfil dado. Para facilitar los cálculos, se ha definido bLTw4 como
2z,f
2y,elLTw iEWb ⋅⋅π⋅= , de modo que la expresión anterior se escribe:
LTw2C
1LTw b
LCM ⋅=
mm·N 6,6951818710·15380135000
13,1M 92LTw =⋅=
mm·N 3,1234619176,69518187102029734MMM 222
LTw2LTvcr =+=+=
18,13,123461917
27510·628M
fW 3
cr
yyLT =
⋅=
⋅=λ
( )[ ] 30,118,12,018,121,015,0 2
LT =+−⋅+⋅=φ
54,018,130,130,1
122LT =
−+=χ
Así,
4 Anejo 1.
Estructuras de acero. Problemas. Vigas. 5
kN·m 88,82N·mm 8881714305,1
27510·62854,0fW
M3
1M
yyLTRd,b ≅=
⋅⋅=
γ⋅
⋅χ=
por lo que 82,8873,142 > y la viga es inestable lateralmente. Es necesario arriostrar en un punto intermedio. Si se opta por arriostrar de forma que el vano se divida en tres tramos5, Lc = 1667 mm, y las expresiones anteriores quedan como sigue:
mm·N 30602799610·4514591667
13,1M 6LTv =⋅=
mm·N 62541349810·15380131667
13,1M 92LTw =⋅=
mm·N 696272345625413498306027996MMM 222
LTw2LTvcr =+=+=
50,0282713585
27510·628M
fW 3
cr
yyLT =
⋅=
⋅=λ
( )[ ] 66,050,02,050,021,015,0 2
LT =+−⋅+⋅=φ
92,050,066,066,0
122LT =
−+=χ
Así,
kN·m 32,511N·mm 15131809505,1
27510·62892,0fW
M3
1M
yyLTRd,b ≅=
⋅⋅=
γ⋅
⋅χ=
Al ser 32,15173,142 < se cumple la comprobación de pandeo lateral. Comprobación a abolladura6 En principio no se van a disponer rigidizadores. No es preciso comprobar la resistencia a la abolladura del alma en las barras
en las que se cumpla:
ε⋅< 70td [59]
5 Puede comprobarse que un arriostramiento en el punto medio del vano no es suficiente. 6 Apartado 5.3.2 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».
Estructuras de acero. Problemas. Vigas. 6
Como el canto del alma7 d de un IPE 300 es 249 mm y su espesor tw 7,1 mm, se tiene:
1,351,7
249td
==
Por otro lado, 275235
=ε , por lo que 7,6470 =ε⋅ .
Por tanto, al ser 35,1 < 64,7, no es necesario comprobar la resistencia de
abolladura del alma. Comprobación a efectos locales: Cargas concentradas8 En una viga biapoyada con carga uniformemente repartida, la concentración
de cargas se produce en los apoyos, con las reacciones.
kN 19,1142
5675,452
qR =⋅
=⋅
=l
Debe cumplirse Rd,bRR ≤ , siendo Rd,bRd,b NR = . Se estudia el pandeo del tramo del alma afectado por la carga puntual,
considerado como un soporte corto sometido a compresión simple.
1M
yRd,b
fAN
γ⋅⋅χ
=
Este elemento tiene una longitud igual al canto del alma y una anchura eficaz
igual a ε⋅⋅ wt10 a cada lado de la fuerza.
Por tanto, mm 2,1312752351,710t10b weff =⋅⋅=ε⋅⋅=
Las propiedades de la sección son:
2mm 5,9311,72,131A =⋅=
433weffmin mm 39131,72,131
121tb
121
=⋅⋅=⋅⋅=Ι
7 Anejo 1. 8 Apartado 5.3.3 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».
Estructuras de acero. Problemas. Vigas. 7
mm 05,2A
i minmin =
Ι=
d=249 mm
tw
d
beff
tw Obtención del coeficiente χmin
Rλλ
=λ
λR=86,6 para acero S275
mm 2,19924980,0d80,0LK =⋅=⋅=
2,9705,2
2,199iLmin
Kmax ===λ
06,16,867,97
R
==λλ
=λ
Con curva de pandeo c (siempre para esta comprobación), se tiene que
χ=0,53, por lo que:
kN 129,3N 12930305,1
27552,93153,0fAN
1M
yRd,b ≅=
⋅⋅=
γ⋅⋅χ
=
Como R=114,2 < Nb,Rd=129,3 es admisible.
Estructuras de acero. Problemas. Vigas. 8
Comprobación a flecha (ELS) Cuando no se puede discriminar entre las acciones variables, se recurre a
tres sencillos conceptos con las denominaciones que se dan en la referencia [9] del documento «Estructuras de acero. Bases de cálculo».
• Flecha activa
N/mm 30,5kN/m 5,30305,0QGq ==+=+=
mm 14,14108360210000384
50005,305E384
q54
4
y
4
=⋅⋅⋅
⋅⋅=
Ι⋅⋅⋅⋅
=δl
Esta flecha sólo cumple la condición de mm 67,16300
=l .
Por tanto, si esta viga tuviese que soportar tabiques no sería admisible.
• Flecha instantánea
N/mm 30kN/m 3030Qq ====
mm 91,13108360210000384
5000305E384
q54
4
y
4
=⋅⋅⋅
⋅⋅=
Ι⋅⋅⋅⋅
=δl
mm 29,14350
=<δl . Por tanto, admisible.
• Flecha total
N/mm ,581kN/m 5,18306,05,0QGq 2 ==⋅+=⋅ψ+=
Estructuras de acero. Problemas. Vigas. 9
Al no disponer de datos, se ha adoptado como coeficiente Ψ2 el valor más desfavorable 0,6.
mm 58,8108360210000384
50005,185E384
q54
4
y
4
=⋅⋅⋅
⋅⋅=
Ι⋅⋅⋅⋅
=δl
mm 67,16300
=<δl . Por tanto, admisible.
Estructuras de acero. Problemas. Vigas. 10
Tablas de perfiles IPE
SECC. PESO A P Iy Wy iy Wply Iz Wz iz Wplz
·102 (mm2) (N/m) ·104 (mm4) ·103 (mm3) (mm) ·103 (mm3) ·104 (mm4) ·103 (mm3) (mm) ·103 (mm3)80 80 46 3,8 5,2 5 60 7,6 58,9 80,1 20 32,4 23,2 8,49 4 10,5 5,8
100 100 55 4,1 5,7 7 75 10,3 79,5 171 34,2 40,7 39,4 15,9 6 12,4 9,2120 120 64 4,4 6,3 7 93 13,2 102 318 53 49,0 60,8 27,7 9 14,5 13,6140 140 73 4,7 6,9 7 112 16,4 127 541 77,3 57,4 88,4 44,9 12 16,5 19,2160 160 82 5,0 7,4 9 127 20,1 155 869 109 65,8 123,8 68,3 17 18,4 26,1180 180 91 5,3 8,0 9 146 23,9 184 1320 146 74,2 166,4 101 22 20,5 34,6200 200 100 5,6 8,5 12 159 28,5 220 1940 194 82,6 220 142 29 22,4 44,7220 220 110 5,9 9,2 12 178 33,4 257 2770 252 91,1 286 205 37 24,8 58240 240 120 6,2 9,8 15 190 39,1 301 3890 324 99,7 366 284 47 26,9 74270 270 135 6,6 10,2 15 220 45,9 354 5790 429 112,0 484 420 62 30,2 97300 300 150 7,1 10,7 15 249 53,8 414 8360 557 125,0 628 604 81 33,5 125330 330 160 7,5 11,5 18 271 62,6 482 11770 713 137,0 804 788 99 35,5 154360 360 170 8,0 12,7 18 299 72,7 560 16270 904 150,0 1020 1040 123 37,9 191400 400 180 8,6 13,5 21 331 84,5 650 23130 1160 165,0 1308 1320 146 39,5 229450 450 190 9,4 14,6 21 379 98,8 761 33740 1500 185,0 1702 1680 176 41,2 275500 500 200 10,2 16,0 21 426 116,0 890 48200 1930 204,0 2200 2140 214 43,1 336550 550 210 11,1 17,2 24 468 134,0 1040 67120 2440 223,0 2780 2670 254 44,5 401600 600 220 12,0 19,0 24 514 155,0 1197 92080 3070 243,0 3520 3390 308 46,6 486
h b tw tf r dIPEDIMENSIONES (mm) REFERIDO AL EJE y-y REFERIDO AL EJE z-z
Valores de agotamiento para fy=275 N/mm2
fy AV Vpl,Rdy AV Vpl,Rdz Nplw Npl,Rd Mpl,Rdy Mel,Rdy Mpl,Rdz Mel,Rdz IPE(N/mm2) (mm2) (N) (mm2) (N) (N) (N) (N.mm) (N.mm) (N.mm) (N.mm)
80 275 357,36 54036,7 536 81049,0 59316,2 200095,2 6076190,5 5238095,2 1519047,6 966428,6 80100 275 506,17 76538,4 722,5 109249,8 80106,2 269761,9 10319047,6 8957142,9 2409523,8 1516428,6 100120 275 629,52 95190,2 910,8 137722,8 107632,4 345714,3 15923809,5 13880952,4 3561904,8 2265476,2 120140 275 761,63 115166,7 1113,6 168388,3 138112,9 429523,8 23152381,0 20245238,1 5028571,4 3221428,6 140160 275 966,6 146160,3 1375 207914,8 166571,4 526428,6 32423809,5 28547619,0 6835714,3 4373809,5 160180 275 1120,4 169416,6 1616,2 244386,9 202661,9 625952,4 43580952,4 38238095,2 9061904,8 5814285,7 180200 275 1401,6 211937,0 1959,6 296312,7 233200,0 746428,6 57619047,6 50809523,8 11707142,9 7464285,7 200220 275 1591,08 240588,5 2289,8 346242,5 274434,3 874761,9 74904761,9 66000000,0 15190476,2 9769047,6 220240 275 1912,76 289229,9 2732 413107,9 309173,3 1024047,6 95857142,9 84857142,9 19380952,4 12388095,2 240270 275 2209,32 334073,0 3138 474499,4 379594,3 1202142,9 126761904,8 112357142,9 25404761,9 16290476,2 270300 275 2566,97 388153,5 3612,1 546188,5 462277,6 1409047,6 164476190,5 145880952,4 32738095,2 21083333,3 300330 275 3080,25 465767,0 4227,5 639243,6 532321,4 1639523,8 210571428,6 186738095,2 40333333,3 25797619,0 330360 275 3510,8 530870,8 4878 737606,2 625638,1 1904047,6 267142857,1 236761904,8 50023809,5 32214285,7 360400 275 4273,1 646138,8 5603,4 847294,5 745538,1 2213095,2 342571428,6 303809523,8 59976190,5 38238095,2 400450 275 5082,44 768519,7 6317,4 955259,0 932569,5 2587619,0 445761904,8 392857142,9 72023809,5 46095238,1 450500 275 6035,2 912587,3 7254,8 1097004,0 1138028,6 3038095,2 576190476,2 505476190,5 88000000,0 56047619,0 500550 265 7192,52 1048038,0 8205,2 1195597,8 1309948,0 3381904,8 701619047,6 615809523,8 101204761,9 64104761,9 550600 265 8280 1206497,1 9332 1359786,4 1556685,7 3911904,8 888380952,4 774809523,8 122657142,9 77733333,3 600
IPE
Pandeo lateral
if,z IT Ia bLT,v bLT,w
(mm) ·104 (mm4) ·106 (mm6) ·106 (N·mm2) ·109 (N·mm2)80 11,4 0,72 118 10130 5387 80100 13,5 1,14 351 17444 12919 100120 15,7 1,77 890 28690 27077 120140 17,9 2,63 1981 44525 51334 140160 20,0 3,64 3959 64605 90366 160180 22,2 5,06 7431 92627 149134 180200 24,4 6,67 12990 126098 239387 200220 26,9 9,15 22670 177456 377941 220240 29,4 12 37390 239195 580442 240270 33,0 15,4 70580 329524 968287 270300 36,5 20,1 125900 451459 1538013 300330 38,8 26,5 199100 592090 2224703 330360 41,3 37,3 313600 806999 3195859 360400 43,3 48,3 490000 1034576 4507677 400450 45,2 65,9 791000 1363325 6351659 450500 47,2 91,8 1249000 1816060 8911696 500550 49,1 122 1884000 2338501 12191913 550600 51,3 172 2846000 3128716 16745270 600
IPE IPE
