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Capıtulo 4
Ecuacion de Laplace
4.1. Condiciones de frontera
4.2. Metodo de la funcion de Green
Si los problemas electrosaticos solo envolviesen cargas (o densidades decarga) sin condiciones de frontera entonces φ =
∫ kρ(~k)|~x−~x′|dv
′ serıa suficien-temente.
Pero muchos problemas electrostaticos envuelven regiones finitas del es-pacio, con o sin carga adentro, y con condiciones de frontera.
Esas condiciones de frontera pueden ser simuladas por una apropiada dis-tribucion de cargas fuera de la region de interes, pero solo es util en casosmuy simples( Ej: metodo de imagenes).
Para lidiar con este problema. Suponga dos funciones escalares: ϕ ∧ ψ talque ~A = ϕ∇ψ. Donde ~A es una funcion bien comportada, definida dentrode un volumen V y una superficie S. Ademas ∇~A sin discontinuidades eintegrable.
Usando el teorema de divergencia:∫v
∇ · ~Adv =∫s
~A·d~s
∇ · ~A = ∇(ϕ∇ψ) = ϕ∇2ψ +∇ϕ · ∇ψ
~A · n = ϕ∇ψ · n = ϕ∂ψ
∂n
Primera identidad de Green . George Green (1824):∫V
(ϕ∇2ψ +∇ϕ · ∇ψ)dV =∮S
ϕ∂ψ
∂ndS (4.1)
Intercambiando ϕ↔ ψ∫V
(ψ∇2ϕ+∇ψ · ∇ϕ)dV =∮S
ψ∂ϕ
∂ndS (4.2)
31
32 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE
Ahora restando (3.1)-(3.2), se obtiene la segunda identidad de Green:∫V
(ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ)dV =∮
(ϕ∂ψ
∂n− ψ∂ϕ
∂n)dS (4.3)
Usando la ecuacion de Poisson:
∇2φ = − ρ
ε0
Ademas se escoge ψ = 1|~r−~r′| = 1
R1 y del hecho que ∇2( 1
R ) = −4πδ(~r−~r′). En(3.1): ∫
V
(φ∇2 1R
)dV ′ =∫
(−φ4πδ(~r−~r′) +ρ(~r′)ε0R
)
= −4πφ(~r′) +∫
ρ(~r′dV ′)ε0|~r−~r′|∮
S
[φ∂
∂n′(
1R
)− 1R
∂φ
∂n′
]dS′
Si ~r esta dentro de V:
Φ(~r) =1
4πε0
∫V
ρ(~r′)dV ′
R+
14π
∮S
[1R
∂φ
∂n′− φ ∂
∂n(
1R
)]dS′︸ ︷︷ ︸
14π
HS
h∇φ(~r)|~r−~r′|−
φ(~r)(~r−~r′)|~r−~r′|3
i·ndS′
2
Comentarios:
Que son los otros terminos que aparecen?. Son terminos introducidos porla libertad que hay en la ecuacion de Poisson. Se deben fijar usando con-diciones de frontera. Aquı no asumimos que ρ sea ∀ la carga del universo.
de todas maneras esto tiene demasiada libertad. Notar qu estamos cons-truyendo φ a partir de ρ, de su valor (de φ) en la frontera, y de susderivadas en la frontera. No debemos fijar estas dos cantidades φ (fronte-ra) y ∆φ (frontera), arbitrariamente y esperar una solucion consistente. ∀que podemos hacer es fijar una de ellas y pedir ∇2φ = 0
Lo mejor que podems hacer es introducir una funcion G(~r,~r′)que tenga lapropiedad:
∇2G(~r,~r′) = −4πδ(~r−~r′)
Ej:
G(~r,~r′) =1
|~r− ~r′|+ F (~r−~r′)
1No es bien comportada pero podemos usar lımites o excluirvectr′deV
2Condiciones de frontera: Dirichlet → φ = 0sobresuperficieS; Newman → ∂φ∂n
= 0 sobresuperficie S
4.2. METODO DE LA FUNCION DE GREEN 33
Tal que F 3 : ∇2F (~r,~r′) = 0 La funcion F se encarga de manejar las condicionesde frontera: usemos G(~r,~r′) por ϕ en: (φ↔ ψ)∫
V
(ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ)dV =∮S
(ϕ∂ψ
∂n− ψ∂ϕ
∂n)dS
entonces:∫V
(G(~r,~r′)∇2ψ − ψ∇2G(~r,~r′))dV =∮S
(G(~r,~r′)∇ψ − ψ∇G(~r,~r′)) · ndS
∫ [G(~r,~r′)∇2ψ + 4πψ(~r′)δ( ~r−~r′)
]dV ′ =
ψ(~r) =∫V
G(~r,~r′)ρ(~r′)4πε0
dV ′ +1
4π
∮ [G(~r,~r′)
∂ψ(~r′)∂n′
− ψ(~r′)∂G(~r,~r′)∂n′
]dS′
Ahora podemos tratar de especificar las condiciones de frontera, apro-vechando que aun no hemos decidido que usar como funcion de Green.Podemos por ejemplo, pedir que:
GDirichlet(~r,~r′)|s = 0
En ese caso:
ψ(~r) =∫V
dV ′GD(~r,~r′)ρ(~r′)− 14π
∮S
dS′ψ(~r′)∂G(~r,~r′)∂n′
Ahora podemos intentar hacer lo contrario, es decir tomar ∂G(~r,~r′)∂n′ |S = 0
en la superficie. Pero ∇2G(~r,~r′) = −4πδ(~r−~r′). Entonces:∫∇2G(~r,~r′)dV =
∫∇ · ∇G(~r,~r′)dV = −4π
∮S
dS∇G(~r,~r′) · n =∮S
dS′∂G(~r,~r′)∂n′
= −4π 6= 0
Por lo tanto, no podemos tomar ∂G(~r,~r′)∂n′ |s = 0, lo mas que podemos hacer
es tomar:∂GV on Newman(~r,~r′)
∂n= −4π
S
Se tendrıa entonces:
ψ(~r) =∫dV ′GN (~r,~r′)
ρ(~r′)4πε0
+1
4π
∮S
dS′GN (~r,~r′)∂ψ(~r′)∂n′
+1S
∮S
dS′ψ(~r′)
=∫dV ′GN (~r,~r′)
ρ(~r′)4πε0
+1
4π
∮S
dS′GN (~r,~r′)∂ψ(~r′)∂n′
+ < ψ(~r) >S︸ ︷︷ ︸V alorpromediodeψsobrelasuperficieS
Nota: La solucion de ecuaciones homogeneas (o para condiciones de fronterahomogenea) pueden multiplicarse por un factor y aun ser solucion. Las solucio-nes de ecuaciones inhomogeneas (o para condiciones de frontera inhomogeneas)
3F = 1
|~r−~r′|es solo una clase de funcion que dependen de ~r y ~r′ y que satisfacen
∇2F (~r,~r′)αδ(~r− ~r′)
34 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE
no pueden ser modificadas. La funcion de Green es una solucion para el casoque es homogenea en todas partes excepto en un punto . Cuando este puntoesta en la superficie (frontera), la funcionde Green puede usarse para satisfacerlas condiciones de frontera inhomogeneas. Cuando ese punto esta afuera en elespacio, puede ser usada para satisfacer ecuaciones inhomogeneas.
Ecuacion por un campo en presencia de fuentes es una ecuacion diferencialinhomogenea (ej: ec. de Poisson ∇2ψ = ρ
ε0).
Ecuacion sin fuentes presentes es una ecuacion difertencial homogenea (ej:ec LaPlace ∇2ψ = 0)
Analogamente:
Condiciones de frontera requiriendo campo zero en la superficie : Condi-ciones de frontera homogeneas(condicion de Dirichlet).
Condiciones de frontera requiriendo gradiente normal zero en la superficie:condiciones de frontera homogenea (condicion de Von Newman).
Condiciones de frontera requiriendo aψ + b∂ψ∂n = 0: condicion de fronteramixta.
Principio de Reciprocidad:El intercambio de fuente (~r′) y observado (~r), no cambia G(~r,~r′) = G(~r′,~r).Esta funcion va a satisfacer ciertas condiciones definidas en S y S’ y tendra unadiscontinuidad en ~r = ~r′ Para recapitularUna alternativa a la tecnica de autofunciones (ej: armonicos esfericos, problemade Legendre; polinomios de Bessel, que veremos mas adelante) para resolverproblemas con condiciones de frontera. Resolver la ecuacion inhomogenea paralas funciones homogeneas para una fuente puntual en algun punto de ~r′ dentrode la superficie. La funcion de Green resultante tiene una descontinuidad en~r = ~r′
4.3. Metodos de las imagenes
Pasemos a otro problema:
V (~r) =1k
[q
|~r− dk|− q
|~r + dk|
]
4.3. METODOS DE LAS IMAGENES 35
= k
[q√
x2 + y2 + (z − d)2− q√
x2 + y2 + (z + d)2
]
σ = −ε0∂V
∂n= −ε0
∂V
∂z|z=0|
∂V
∂z= k
−q(z − d)
( )32
+q(z + d)
( )32
|z=0
σ(x, y) =−qd
2π(x2 + y2 + d2)32
Q =∫σda = −q
4.3.1. Teorema de la unicidad(uniqueness)
Dos soluciones de la ecuacion de LaPlace que satisfacen las misma condicio-nes de frontera difieren cuando mucho en una constante aditiva.
ϕ =kq
|~r− zk|+
kq′
|~r− z′k|
=kq
|rn− zk|+
kq′
|rn− z′k|
36 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE
Si hacemos :r = R y ϕ = 0, entonces obtendremos una relacion entre q, q’, R,z’:
ϕ(r = R) =kq
R|n− zR k|
+kq′
z′|n− Rz′ k|
= 0
Entonces:
q
R=−q′
z′
z
R=R
z′
con lo que se obtendrıa:
q′ = −Rzq
z′ =R2
z
Regresando a la ecuacion preliminar
ϕ =kq
|rn− zk|−
kRz q
|rn− R2
z k|
= kq1r
[1
|n− zr k|−
Rz
|n− R2
zr k|
]entonces
σ = ε0∂ϕ
∂r|r=R = − q
4πR2
(R
z
)1− R2
z2
(1 + R2
z2 − 2Rz cos γ)32
Solucion a la ecuacion de LaPlace en dos dimensiones (coordenadascartesianas)
∇2 =∂2ϕ
∂x2+∂2ϕ
∂y2
4.4. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 37
Por separacion de variables: ϕ = X(x)Y (y):
=∂2(XY )∂x2
+∂2(XY )∂y2
= 0
= Yd2X
dx2+X
d2Y
dy2= 0
=1X
d2X
dx2︸ ︷︷ ︸a2
+1Y
d2Y
dy2︸ ︷︷ ︸−a2
= 0
Con esto las soluciones tendran la forma de :X = A1e
ax +A2e−ax o X = A3 cosh ax+A4 senh ax
Y = B1eiay +B2e
−iay o Y = B3 cos ay +B4 sen ayEntonces la solucion para ϕ, sera:
ϕa(x, y) = (A1eax +A2e
−ax)(B1eiay +B2e
−iay)
o de otra forma:
ϕa(x, y) = (A3 cosh ax+A4 senh ax)(B3 cos ay +B4 sen ay)
Analogamente para 3 dimensiones: El exito de este metodo de separacion devariables esta en dos de sus propiedades: Completitud y ortogonalidad.
Un conjunto de funciones es completo si cualquier otra funcion f(x) puedeser expresada como f(x) =
∑∞n=1 cnfn(x)∫
fn(x)fm(x)dx = 0 con n 6= m
4.4. Metodo de Separacion de Variables
4.4.1. Coordenadas esfericas y polinomios de Legendre
simetrıa azimutal1r2
∂
∂r
(r2 ∂ϕ
∂r
)+
1r2 sen θ
∂
∂θ
(sen θ
∂ϕ
∂θ
)= 0
38 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE
Tecnica de separacion de variables
ϕ = z(r) P (θ)
1r2P (θ)
d
dr
(r2 dz
dr
)+
z(r)r2 sin θ
d
dθ
(sen θ
dP
dθ
)= 0
1z
d
dr
(r2 dz
dr
)= − 1
P sin θd
dθ
(sen θ
dP
dθ
)= k (cte)
− 1sin θ
d
dθ
(sen θ
dP
dθ
)+ kP = 0
sabemos dx = d cos θ = − sin θdθd
dx
[(1− x2)
d
dx
]+ n(n+ 1)
P = 0
d
dr
(r2 dz
dr
)= n(n+ 1)z
entonces:
zn =
rn
r(n+1)
z(r) = Arn +B
rn+1
ϕn(r, θ) =(Anr
n +Bnrn+1
)Pn(cos θ)
ϕ =∑n
ϕn
Ejemplo:ϕ =?∇2ϕ = 0
ϕ(r, θ) =(A0r
0 +B0
r
)P0+
(A1r +
B1
r2
)cos θ+
(A2r
2 +B2
r3
)12
(3 cos2 θ−1)+· · ·
4.4. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 39
~E(r, θ)∣∣∣r→∞
= ~E0 = E0k
ϕ(r, θ)|r→∞ = −E0z + cte = −E0r cos θ + cte
= −∫~E · d~l
ϕ(r, θ)|r→∞ = (A0) + (A1r) cos θ +(A2r
2) 1
2(3 cos2 θ − 1) + · · ·
Entonces:A1 = −E0
A0 = cte
An = 0, n > 2
⇒ ϕ(r, θ) =(A0 +
B0
r
)+(−E0r +
B1
r2
)cos θ +
(B2
r3
)12
(3 cos2 θ − 1) + · · ·
ϕ(a, θ) = ϕa ⇒ A0 = ϕa, B1 = E0a3yBn = 0n > 2
⇒ ϕ(r, θ) = ϕa − E0r cos θ +E0a
3 cos θr2
, r > a
ϕ(r, θ) = ϕa, r 6 a
Er = −∂ϕ∂r
= E0(1 + 2a3
r3) cos θ
Eθ = − ∂ϕr∂θ
= −E0(1− a3
r3) sin θ
σ(θ) = ε0Er|r=a = 3ε0E0 cos θ
4.4.2. Funciones Asociadas de Legendre y Armonicos Esferi-cos
∇2Φ(r, θ, ϕ) =1r
∂2
∂r2(rΦ) +
1r2 sen θ
∂
∂θ
(sen θ
∂Φ∂θ
)+
1r2 sen2 θ
∂2Φ∂ϕ2
Φ = R(r)P (θ)Q(ϕ)
1rR
d2
dr2(rR) +
1Pr2 sen θ
d
dθ
(sen θ
dϕ
dθ
)+
1Qr2 sen2 θ
d2Q
dϕ2= 0
r2 sen2 θ
[1r2R
d
dr
(r2 dR
dr
)+
1Pr2 sen θ
d
dθ
(sen θ
dP
dθ
)]+
1Q
d2Q
dϕ2︸ ︷︷ ︸Q=e±imϕ
= 0
1R
d
dr
(r2 dR
dr
)︸ ︷︷ ︸
+
+1
P sen θd
dθ
(sen θ
dP
dθ
)− m2
sen2 θ︸ ︷︷ ︸∗∗
= 0
De (*)d
dr
(r2 dR
dr
)= n(n+ 1)R
40 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE
R =
rn
r−(n+1)
De (**)1
sen θd
dθ
(sen θ
dP
dθ
)− m2
sen2 θ= 0
Param2 = 0⇒ Pn(cos θ) Polinomios de Legendre. PolinomiosAsociadosdeLegendre
Pmn (x) = (−1)m(1− x2)m2dm
dxmPn(x)
Se sabe que:
⇒ Pn(x) =1
2nn!
(d
dx
)n(x2 − 1)n
⇒ Pmn (x) =(−1)m
2nn!(1− x2)
m2dn+m
dxn+m(x2 − 1)n
P−mn = (−1)m(n−m)!(n+m)!
Pn(x)∫ 1
−1
Pn(x)Pn(x)dx =2
2n+ 1δnn′∫ 1
−1
Pmn (xPmn′ )dx =2
2n+ 1(n+m)!(n−m)!
δnn′
Φ(r, θ, ϕ) = Rn(r)Ynm(θ, ϕ)
∇2 = −
(p2r +
L2
r2
)donde:
L =12~r×∇
⇒ Ynm(θ, ϕ) =
√2n+ 1
4π(n−m)!(n+m)!
Pmn (cos θ)eimϕ
⇒ Yn−m(θ, ϕ) = (−1)mY ∗nm(θ, ϕ)
Ortogonalidad:∫ 2π
0
dϕ
∫ π
0
sen θdθ︸ ︷︷ ︸RdΩ
Y ∗n′m′(θ, ϕ)Ynm(θ, ϕ) = δnn′δmm′
Completitud:
∞∑l=0
l∑m=−l
Y ∗nm(θ′, ϕ′)Ynm(θ, ϕ) = δ(ϕ− ϕ′)δ(cos θ)− cos θ′
L2Ynm(θ, ϕ) = n(n+ 1)Ynm(θ, ϕ)
LYnm(θ, ϕ) = mYnm(θ, ϕ)
4.4. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 41
Teorema de Adicion:
Pn(cos γ) =4π
2n+ 1
n∑m=−n
Y ∗nm(θ′, ϕ′)Ynm(θ, ϕ)
donde cos γ = cos θ cos θ′ + sen θ sen θ′ cos(ϕ− ϕ′)
⇒ 1|~r−~r′|
= 4π∞∑n=0
n∑m=−n
12n+ 1
rn
rn+1Y ∗nm(θ′, ϕ)Ynm(θ, ϕ)
∑n=0
∞ rn
rn+1Pn(cos θ)
Solucion General
1|~r−~r′|
=1r
∞∑n=0
(r′
r
)nPn(cos θ)(r r′)→
∞∑n=0
rn
rn+1Pn(cos θ)
Φ(r, θ, φ) =∞∑n=0
n∑m=−n
[Anmr
n +Bnmr−(n+1)
]Ynm(θ, φ)
si conocemos Φ en algun valor de r(r →∞)∫dΩΦ(a, θ, φ) = Y ∗nm(θ, φ) = Anma
n +Bnman+1
Ylm(θ, ϕ)
l = 0 Y00 =1√4π
=
√1
4πP0(cos θ)
l = 1
Y11 = −√
34π sen θeiϕ
Y10 =√
14π cos θ =
√3
4πP1(cos θ)
l = 2
Y22 = 1
4
√152π sen2 θe2iϕ
Y21 = −√
158π sen θ cos θeiϕ
Y20 =√
54π
(32 cos2 θ − 1
2
)=√
54πP2(cos θ)
l = 3
Y33 = − 14
√354π sen3 θe3iϕ
Y32 = 14
√1052π sen2 θ cos θe2iϕ
Y31 = − 14
√214π sen θ(5 cos2 θ − 1)eiϕ
Y30 =√
74π
(52 cos3 θ − 3
2 cos θ)
=√
74πP3(cos θ)
1|~r−~r′|
=1r
∞∑n=0
(r′
r
)nPn(cos θ)
Ejemplo:
42 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE
Φ(R, θ) = Φ(θ) = V0(10 cos3 θ − 6 cos θ) = V04P3(cos θ)
Φ =∑n
(Anr
n +Bn
rn+1
)Pn
Φint =∑n=1
AnrnPn +A0
Φext =∑n+1
Bnrn+1
Pn +A0
Φint(R, θ) = Φext(R, θ)∑n+1
AnRnPn =
∑n+1
BnRn+1
Pn
Bn = AnR2n+1
Ademas:
Φref = Φ(∞) = 0⇒ A0 = 0
Φint(R, θ) =∑n+1
AnRnPn = V04P3(cos θ)
⇒ An = 0∀n 6= 3
A3R3P3 = V04
A3 =4V0
R3
B3 = A3R7 = 4V0R
4
Φint(r, θ) =4V0
R3r3P3(cos θ)
Φext(r, θ) =4V0R
4
r4P3(cos θ)
4.4. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 43
Ejemplo: Un dipolo electrico ~pse encuentra en el interior de un cascaron esfericoconducor (radio R) conectado a tierra. Hallar el potencial en todo el espacio yla densidad de carga en la superficie.
Φint(r, θ) =∑n
(Anrn+1
+Bnrn
)Pn
cerca del origen:
Φint(r → 0, θ) = k~p ·~rr3
= kp cos θr2
=
⇒ A1 = pk, An = 0∀n 6= 1
En la superficie, hay conexion a tierra. Φext = 0
Φint(R, θ) =kp
R2P1(cos θ) +
∞∑n=0
BnRnPn = 0
Bn = 0 ∀n 6= 1
kp
R2P1 +B1RP1 = 0 ⇒ B1 = − kp
R3
⇒ Φint(r, θ) = kp
(1r2− 1R3
)cos θ
σ = −ε0∂Φ∂r|r = R = −kpε0
(2R3− 1R3
)= 3
kpε0R3
cos θ
44 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE
4.5. Coordenadas cilındricas y funciones de Bes-sel
4.5.1. Solucion de la ecuacion de LaPlace en coordenadascilındricas (Armonicos Cilındricos)
En dos dimensiones
1r
∂
∂r
(r∂ϕ
∂r
)+
1r2
∂2ϕ
∂θ2= 0
ϕ = R(r)P (θ)
r
R
d
dr
(rdR
dr
)= − 1
P
d2P
dθ2= k
Entonces con P:d2P
dθ2= −kP
⇒ P =
cos√kθ
sen√kθ
Con R:d
dr
(rdR
dr
)=kR
r
Si n 0:
⇒ R =rn
r−n
Si n=0:
⇒ R =
ln rcte
Armonicos Cilındricos
ln rrn cosnθr−n sennθrn sennθr−n cosnθ
En tres dimensiones
∇2ϕ =1r
∂
∂r
(r∂ϕ
∂r
)+
1r2
∂2ϕ
∂θ2+∂2ϕ
∂z2= 0
ϕ = RφZ
φz
r
d
dr
(rdR
dr
)+RZ
r2
d2Φdφ2
+RΦd2Z
dz2= 0
1R
d2R
dr2+
1Rr
dR
dr+
1r2Φ
d2Φdφ2
= − 1Z
d2Z
dz2= −b2︸ ︷︷ ︸
z=A cosh bz+B senh bz
r2
R
d2R
dr2+r
R
dR
dr+ b2r2 = − 1
Φd2Φdφ2
= a2︸ ︷︷ ︸Φ=C cos aφ+D sen aφ
4.5. COORDENADAS CILINDRICAS Y FUNCIONES DE BESSEL 45
Con lo que se obtiene la ecuacion diferencial de Bessel
d2R
dr2+
1r
dR
dr+ b2 − a2
r2R = 0
R = EJa(br) + FNa(br)
Donde:
Ja(br) =∞∑m=0
(−1)m( br2 )a+2m
m!Γ(a+m+ 1)
Na(br) =(cos aπ)Ja(br)− J−a(br)
sen aπSi a=n y br→∞
Jn(x) =
√2πx
cos(x− π
4− nπ
2)
Nn(x) =
√2πx
sen(x− π
4− nπ
2)
Ejemplo:
ϕ(r, θ) = k
∫σ
rda = k
∫a sen 5θ
rRdθdz =
kaRl
r
∫sen 5θdθ =
2kR︷︸︸︷alλ
r=
2kRλr
ϕ(r, θ) = A0 +A1 ln r + (Bnrn + Cnr−n) cosnθ + (Dnr
n + Enr−n) sennθ
Sir 6 R,A1 = Cn = En = 0
⇒ ϕint(r, θ) = A0 +Bnrn cosnθ +Dnr
n sennθ
⇒ ϕint(r, θ) = A0 +B1r cos θ+B2r2 cos 2θ+ · · ·+D1r sen θ+D2r
2 sen 2θ+ · · ·
Sir > R,A′1 = B′n = D′n = 0
⇒ ϕext(r, θ) = A′0 + C ′nr−n cosnθ + E′nr
−n sennθ
46 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE
⇒ ϕext(r, θ) = A0 +C1
rcos θ +
C2
r2cos 2θ + · · ·+ E1
rsen θ +
E2
r2sen 2θ + · · ·(
∂ϕext∂r
− ∂ϕint∂r
)|r=R = −σ(θ)
ε0
∞∑n=1
(− nCnRn+1
cosnθ − nEnRn+1 sennθ
)−∞∑n=1
(nBnR
n−1 cosnθ + nDnRn−1 sennθ
)= − 1
ε0a sen 5θ
−5E′5R6
sen 5θ − 5D5R4 sen 5θ = − 1
ε0a sen 5θ
E′5 +D5R10 =
15ε0
aR6
ϕint = A0 +D5r5 sen 5θ
ϕext = A0 + E5r−5 sen 5θ = A0 +
(aR6
ε0−D5R
10
)r−5 sen 5θ
ϕint(r = R) = ϕext(r = R)
⇒ D5R5 =
aR
5ε0−D5R
5 ⇒ 2D5R5 =
aR
5ε0
D5 =a
10ε0r4
E5 =aR6
5ε0− aR6
10ε0=aR6
10ε0
4.6. Soluciones especiales en dos dimensiones