Ecuaci on de Laplace - WordPress.comEsas condiciones de frontera pueden ser simuladas por una...

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Cap´ ıtulo 4 Ecuaci´ on de Laplace 4.1. Condiciones de frontera 4.2. etodo de la funci´ on de Green Si los problemas electros´ aticos solo envolviesen cargas (o densidades de carga) sin condiciones de frontera entonces φ = R ( ~ k) |~ x-~ x 0 | dv 0 ser´ ıa suficien- temente. Pero muchos problemas electrost´ aticos envuelven regiones finitas del es- pacio, con o sin carga adentro, y con condiciones de frontera. Esas condiciones de frontera pueden ser simuladas por una apropiada dis- tribuci´ on de cargas fuera de la regi´ on de inter´ es, pero s´ olo es ´ util en casos muy simples( Ej: m´ etodo de im´ agenes). Para lidiar con este problema. Suponga dos funciones escalares: ϕ ψ tal que ~ A = ϕψ. Donde ~ A es una funci´ on bien comportada, definida dentro de un volumen V y una superficie S. Adem´ as ~ A sin discontinuidades e integrable. Usando el teorema de divergencia: Z v ∇· ~ Adv = Z s ~ A·d~ s ∇· ~ A = (ϕψ)= ϕ2 ψ + ϕ ·∇ψ ~ A · ˆ n = ϕψ · ˆ n = ϕ ∂ψ ∂n Primera identidad de Green . George Green (1824): Z V (ϕ2 ψ + ϕ ·∇ψ)dV = I S ϕ ∂ψ ∂n dS (4.1) Intercambiando ϕ ψ Z V (ψ2 ϕ + ψ ·∇ϕ)dV = I S ψ ∂ϕ ∂n dS (4.2) 31

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Capıtulo 4

Ecuacion de Laplace

4.1. Condiciones de frontera

4.2. Metodo de la funcion de Green

Si los problemas electrosaticos solo envolviesen cargas (o densidades decarga) sin condiciones de frontera entonces φ =

∫ kρ(~k)|~x−~x′|dv

′ serıa suficien-temente.

Pero muchos problemas electrostaticos envuelven regiones finitas del es-pacio, con o sin carga adentro, y con condiciones de frontera.

Esas condiciones de frontera pueden ser simuladas por una apropiada dis-tribucion de cargas fuera de la region de interes, pero solo es util en casosmuy simples( Ej: metodo de imagenes).

Para lidiar con este problema. Suponga dos funciones escalares: ϕ ∧ ψ talque ~A = ϕ∇ψ. Donde ~A es una funcion bien comportada, definida dentrode un volumen V y una superficie S. Ademas ∇~A sin discontinuidades eintegrable.

Usando el teorema de divergencia:∫v

∇ · ~Adv =∫s

~A·d~s

∇ · ~A = ∇(ϕ∇ψ) = ϕ∇2ψ +∇ϕ · ∇ψ

~A · n = ϕ∇ψ · n = ϕ∂ψ

∂n

Primera identidad de Green . George Green (1824):∫V

(ϕ∇2ψ +∇ϕ · ∇ψ)dV =∮S

ϕ∂ψ

∂ndS (4.1)

Intercambiando ϕ↔ ψ∫V

(ψ∇2ϕ+∇ψ · ∇ϕ)dV =∮S

ψ∂ϕ

∂ndS (4.2)

31

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32 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE

Ahora restando (3.1)-(3.2), se obtiene la segunda identidad de Green:∫V

(ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ)dV =∮

(ϕ∂ψ

∂n− ψ∂ϕ

∂n)dS (4.3)

Usando la ecuacion de Poisson:

∇2φ = − ρ

ε0

Ademas se escoge ψ = 1|~r−~r′| = 1

R1 y del hecho que ∇2( 1

R ) = −4πδ(~r−~r′). En(3.1): ∫

V

(φ∇2 1R

)dV ′ =∫

(−φ4πδ(~r−~r′) +ρ(~r′)ε0R

)

= −4πφ(~r′) +∫

ρ(~r′dV ′)ε0|~r−~r′|∮

S

[φ∂

∂n′(

1R

)− 1R

∂φ

∂n′

]dS′

Si ~r esta dentro de V:

Φ(~r) =1

4πε0

∫V

ρ(~r′)dV ′

R+

14π

∮S

[1R

∂φ

∂n′− φ ∂

∂n(

1R

)]dS′︸ ︷︷ ︸

14π

HS

h∇φ(~r)|~r−~r′|−

φ(~r)(~r−~r′)|~r−~r′|3

i·ndS′

2

Comentarios:

Que son los otros terminos que aparecen?. Son terminos introducidos porla libertad que hay en la ecuacion de Poisson. Se deben fijar usando con-diciones de frontera. Aquı no asumimos que ρ sea ∀ la carga del universo.

de todas maneras esto tiene demasiada libertad. Notar qu estamos cons-truyendo φ a partir de ρ, de su valor (de φ) en la frontera, y de susderivadas en la frontera. No debemos fijar estas dos cantidades φ (fronte-ra) y ∆φ (frontera), arbitrariamente y esperar una solucion consistente. ∀que podemos hacer es fijar una de ellas y pedir ∇2φ = 0

Lo mejor que podems hacer es introducir una funcion G(~r,~r′)que tenga lapropiedad:

∇2G(~r,~r′) = −4πδ(~r−~r′)

Ej:

G(~r,~r′) =1

|~r− ~r′|+ F (~r−~r′)

1No es bien comportada pero podemos usar lımites o excluirvectr′deV

2Condiciones de frontera: Dirichlet → φ = 0sobresuperficieS; Newman → ∂φ∂n

= 0 sobresuperficie S

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4.2. METODO DE LA FUNCION DE GREEN 33

Tal que F 3 : ∇2F (~r,~r′) = 0 La funcion F se encarga de manejar las condicionesde frontera: usemos G(~r,~r′) por ϕ en: (φ↔ ψ)∫

V

(ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ)dV =∮S

(ϕ∂ψ

∂n− ψ∂ϕ

∂n)dS

entonces:∫V

(G(~r,~r′)∇2ψ − ψ∇2G(~r,~r′))dV =∮S

(G(~r,~r′)∇ψ − ψ∇G(~r,~r′)) · ndS

∫ [G(~r,~r′)∇2ψ + 4πψ(~r′)δ( ~r−~r′)

]dV ′ =

ψ(~r) =∫V

G(~r,~r′)ρ(~r′)4πε0

dV ′ +1

∮ [G(~r,~r′)

∂ψ(~r′)∂n′

− ψ(~r′)∂G(~r,~r′)∂n′

]dS′

Ahora podemos tratar de especificar las condiciones de frontera, apro-vechando que aun no hemos decidido que usar como funcion de Green.Podemos por ejemplo, pedir que:

GDirichlet(~r,~r′)|s = 0

En ese caso:

ψ(~r) =∫V

dV ′GD(~r,~r′)ρ(~r′)− 14π

∮S

dS′ψ(~r′)∂G(~r,~r′)∂n′

Ahora podemos intentar hacer lo contrario, es decir tomar ∂G(~r,~r′)∂n′ |S = 0

en la superficie. Pero ∇2G(~r,~r′) = −4πδ(~r−~r′). Entonces:∫∇2G(~r,~r′)dV =

∫∇ · ∇G(~r,~r′)dV = −4π

∮S

dS∇G(~r,~r′) · n =∮S

dS′∂G(~r,~r′)∂n′

= −4π 6= 0

Por lo tanto, no podemos tomar ∂G(~r,~r′)∂n′ |s = 0, lo mas que podemos hacer

es tomar:∂GV on Newman(~r,~r′)

∂n= −4π

S

Se tendrıa entonces:

ψ(~r) =∫dV ′GN (~r,~r′)

ρ(~r′)4πε0

+1

∮S

dS′GN (~r,~r′)∂ψ(~r′)∂n′

+1S

∮S

dS′ψ(~r′)

=∫dV ′GN (~r,~r′)

ρ(~r′)4πε0

+1

∮S

dS′GN (~r,~r′)∂ψ(~r′)∂n′

+ < ψ(~r) >S︸ ︷︷ ︸V alorpromediodeψsobrelasuperficieS

Nota: La solucion de ecuaciones homogeneas (o para condiciones de fronterahomogenea) pueden multiplicarse por un factor y aun ser solucion. Las solucio-nes de ecuaciones inhomogeneas (o para condiciones de frontera inhomogeneas)

3F = 1

|~r−~r′|es solo una clase de funcion que dependen de ~r y ~r′ y que satisfacen

∇2F (~r,~r′)αδ(~r− ~r′)

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34 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE

no pueden ser modificadas. La funcion de Green es una solucion para el casoque es homogenea en todas partes excepto en un punto . Cuando este puntoesta en la superficie (frontera), la funcionde Green puede usarse para satisfacerlas condiciones de frontera inhomogeneas. Cuando ese punto esta afuera en elespacio, puede ser usada para satisfacer ecuaciones inhomogeneas.

Ecuacion por un campo en presencia de fuentes es una ecuacion diferencialinhomogenea (ej: ec. de Poisson ∇2ψ = ρ

ε0).

Ecuacion sin fuentes presentes es una ecuacion difertencial homogenea (ej:ec LaPlace ∇2ψ = 0)

Analogamente:

Condiciones de frontera requiriendo campo zero en la superficie : Condi-ciones de frontera homogeneas(condicion de Dirichlet).

Condiciones de frontera requiriendo gradiente normal zero en la superficie:condiciones de frontera homogenea (condicion de Von Newman).

Condiciones de frontera requiriendo aψ + b∂ψ∂n = 0: condicion de fronteramixta.

Principio de Reciprocidad:El intercambio de fuente (~r′) y observado (~r), no cambia G(~r,~r′) = G(~r′,~r).Esta funcion va a satisfacer ciertas condiciones definidas en S y S’ y tendra unadiscontinuidad en ~r = ~r′ Para recapitularUna alternativa a la tecnica de autofunciones (ej: armonicos esfericos, problemade Legendre; polinomios de Bessel, que veremos mas adelante) para resolverproblemas con condiciones de frontera. Resolver la ecuacion inhomogenea paralas funciones homogeneas para una fuente puntual en algun punto de ~r′ dentrode la superficie. La funcion de Green resultante tiene una descontinuidad en~r = ~r′

4.3. Metodos de las imagenes

Pasemos a otro problema:

V (~r) =1k

[q

|~r− dk|− q

|~r + dk|

]

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4.3. METODOS DE LAS IMAGENES 35

= k

[q√

x2 + y2 + (z − d)2− q√

x2 + y2 + (z + d)2

]

σ = −ε0∂V

∂n= −ε0

∂V

∂z|z=0|

∂V

∂z= k

−q(z − d)

( )32

+q(z + d)

( )32

|z=0

σ(x, y) =−qd

2π(x2 + y2 + d2)32

Q =∫σda = −q

4.3.1. Teorema de la unicidad(uniqueness)

Dos soluciones de la ecuacion de LaPlace que satisfacen las misma condicio-nes de frontera difieren cuando mucho en una constante aditiva.

ϕ =kq

|~r− zk|+

kq′

|~r− z′k|

=kq

|rn− zk|+

kq′

|rn− z′k|

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36 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE

Si hacemos :r = R y ϕ = 0, entonces obtendremos una relacion entre q, q’, R,z’:

ϕ(r = R) =kq

R|n− zR k|

+kq′

z′|n− Rz′ k|

= 0

Entonces:

q

R=−q′

z′

z

R=R

z′

con lo que se obtendrıa:

q′ = −Rzq

z′ =R2

z

Regresando a la ecuacion preliminar

ϕ =kq

|rn− zk|−

kRz q

|rn− R2

z k|

= kq1r

[1

|n− zr k|−

Rz

|n− R2

zr k|

]entonces

σ = ε0∂ϕ

∂r|r=R = − q

4πR2

(R

z

)1− R2

z2

(1 + R2

z2 − 2Rz cos γ)32

Solucion a la ecuacion de LaPlace en dos dimensiones (coordenadascartesianas)

∇2 =∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2

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4.4. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 37

Por separacion de variables: ϕ = X(x)Y (y):

=∂2(XY )∂x2

+∂2(XY )∂y2

= 0

= Yd2X

dx2+X

d2Y

dy2= 0

=1X

d2X

dx2︸ ︷︷ ︸a2

+1Y

d2Y

dy2︸ ︷︷ ︸−a2

= 0

Con esto las soluciones tendran la forma de :X = A1e

ax +A2e−ax o X = A3 cosh ax+A4 senh ax

Y = B1eiay +B2e

−iay o Y = B3 cos ay +B4 sen ayEntonces la solucion para ϕ, sera:

ϕa(x, y) = (A1eax +A2e

−ax)(B1eiay +B2e

−iay)

o de otra forma:

ϕa(x, y) = (A3 cosh ax+A4 senh ax)(B3 cos ay +B4 sen ay)

Analogamente para 3 dimensiones: El exito de este metodo de separacion devariables esta en dos de sus propiedades: Completitud y ortogonalidad.

Un conjunto de funciones es completo si cualquier otra funcion f(x) puedeser expresada como f(x) =

∑∞n=1 cnfn(x)∫

fn(x)fm(x)dx = 0 con n 6= m

4.4. Metodo de Separacion de Variables

4.4.1. Coordenadas esfericas y polinomios de Legendre

simetrıa azimutal1r2

∂r

(r2 ∂ϕ

∂r

)+

1r2 sen θ

∂θ

(sen θ

∂ϕ

∂θ

)= 0

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38 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE

Tecnica de separacion de variables

ϕ = z(r) P (θ)

1r2P (θ)

d

dr

(r2 dz

dr

)+

z(r)r2 sin θ

d

(sen θ

dP

)= 0

1z

d

dr

(r2 dz

dr

)= − 1

P sin θd

(sen θ

dP

)= k (cte)

− 1sin θ

d

(sen θ

dP

)+ kP = 0

sabemos dx = d cos θ = − sin θdθd

dx

[(1− x2)

d

dx

]+ n(n+ 1)

P = 0

d

dr

(r2 dz

dr

)= n(n+ 1)z

entonces:

zn =

rn

r(n+1)

z(r) = Arn +B

rn+1

ϕn(r, θ) =(Anr

n +Bnrn+1

)Pn(cos θ)

ϕ =∑n

ϕn

Ejemplo:ϕ =?∇2ϕ = 0

ϕ(r, θ) =(A0r

0 +B0

r

)P0+

(A1r +

B1

r2

)cos θ+

(A2r

2 +B2

r3

)12

(3 cos2 θ−1)+· · ·

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4.4. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 39

~E(r, θ)∣∣∣r→∞

= ~E0 = E0k

ϕ(r, θ)|r→∞ = −E0z + cte = −E0r cos θ + cte

= −∫~E · d~l

ϕ(r, θ)|r→∞ = (A0) + (A1r) cos θ +(A2r

2) 1

2(3 cos2 θ − 1) + · · ·

Entonces:A1 = −E0

A0 = cte

An = 0, n > 2

⇒ ϕ(r, θ) =(A0 +

B0

r

)+(−E0r +

B1

r2

)cos θ +

(B2

r3

)12

(3 cos2 θ − 1) + · · ·

ϕ(a, θ) = ϕa ⇒ A0 = ϕa, B1 = E0a3yBn = 0n > 2

⇒ ϕ(r, θ) = ϕa − E0r cos θ +E0a

3 cos θr2

, r > a

ϕ(r, θ) = ϕa, r 6 a

Er = −∂ϕ∂r

= E0(1 + 2a3

r3) cos θ

Eθ = − ∂ϕr∂θ

= −E0(1− a3

r3) sin θ

σ(θ) = ε0Er|r=a = 3ε0E0 cos θ

4.4.2. Funciones Asociadas de Legendre y Armonicos Esferi-cos

∇2Φ(r, θ, ϕ) =1r

∂2

∂r2(rΦ) +

1r2 sen θ

∂θ

(sen θ

∂Φ∂θ

)+

1r2 sen2 θ

∂2Φ∂ϕ2

Φ = R(r)P (θ)Q(ϕ)

1rR

d2

dr2(rR) +

1Pr2 sen θ

d

(sen θ

)+

1Qr2 sen2 θ

d2Q

dϕ2= 0

r2 sen2 θ

[1r2R

d

dr

(r2 dR

dr

)+

1Pr2 sen θ

d

(sen θ

dP

)]+

1Q

d2Q

dϕ2︸ ︷︷ ︸Q=e±imϕ

= 0

1R

d

dr

(r2 dR

dr

)︸ ︷︷ ︸

+

+1

P sen θd

(sen θ

dP

)− m2

sen2 θ︸ ︷︷ ︸∗∗

= 0

De (*)d

dr

(r2 dR

dr

)= n(n+ 1)R

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40 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE

R =

rn

r−(n+1)

De (**)1

sen θd

(sen θ

dP

)− m2

sen2 θ= 0

Param2 = 0⇒ Pn(cos θ) Polinomios de Legendre. PolinomiosAsociadosdeLegendre

Pmn (x) = (−1)m(1− x2)m2dm

dxmPn(x)

Se sabe que:

⇒ Pn(x) =1

2nn!

(d

dx

)n(x2 − 1)n

⇒ Pmn (x) =(−1)m

2nn!(1− x2)

m2dn+m

dxn+m(x2 − 1)n

P−mn = (−1)m(n−m)!(n+m)!

Pn(x)∫ 1

−1

Pn(x)Pn(x)dx =2

2n+ 1δnn′∫ 1

−1

Pmn (xPmn′ )dx =2

2n+ 1(n+m)!(n−m)!

δnn′

Φ(r, θ, ϕ) = Rn(r)Ynm(θ, ϕ)

∇2 = −

(p2r +

L2

r2

)donde:

L =12~r×∇

⇒ Ynm(θ, ϕ) =

√2n+ 1

4π(n−m)!(n+m)!

Pmn (cos θ)eimϕ

⇒ Yn−m(θ, ϕ) = (−1)mY ∗nm(θ, ϕ)

Ortogonalidad:∫ 2π

0

∫ π

0

sen θdθ︸ ︷︷ ︸RdΩ

Y ∗n′m′(θ, ϕ)Ynm(θ, ϕ) = δnn′δmm′

Completitud:

∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗nm(θ′, ϕ′)Ynm(θ, ϕ) = δ(ϕ− ϕ′)δ(cos θ)− cos θ′

L2Ynm(θ, ϕ) = n(n+ 1)Ynm(θ, ϕ)

LYnm(θ, ϕ) = mYnm(θ, ϕ)

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4.4. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 41

Teorema de Adicion:

Pn(cos γ) =4π

2n+ 1

n∑m=−n

Y ∗nm(θ′, ϕ′)Ynm(θ, ϕ)

donde cos γ = cos θ cos θ′ + sen θ sen θ′ cos(ϕ− ϕ′)

⇒ 1|~r−~r′|

= 4π∞∑n=0

n∑m=−n

12n+ 1

rn

rn+1Y ∗nm(θ′, ϕ)Ynm(θ, ϕ)

∑n=0

∞ rn

rn+1Pn(cos θ)

Solucion General

1|~r−~r′|

=1r

∞∑n=0

(r′

r

)nPn(cos θ)(r r′)→

∞∑n=0

rn

rn+1Pn(cos θ)

Φ(r, θ, φ) =∞∑n=0

n∑m=−n

[Anmr

n +Bnmr−(n+1)

]Ynm(θ, φ)

si conocemos Φ en algun valor de r(r →∞)∫dΩΦ(a, θ, φ) = Y ∗nm(θ, φ) = Anma

n +Bnman+1

Ylm(θ, ϕ)

l = 0 Y00 =1√4π

=

√1

4πP0(cos θ)

l = 1

Y11 = −√

34π sen θeiϕ

Y10 =√

14π cos θ =

√3

4πP1(cos θ)

l = 2

Y22 = 1

4

√152π sen2 θe2iϕ

Y21 = −√

158π sen θ cos θeiϕ

Y20 =√

54π

(32 cos2 θ − 1

2

)=√

54πP2(cos θ)

l = 3

Y33 = − 14

√354π sen3 θe3iϕ

Y32 = 14

√1052π sen2 θ cos θe2iϕ

Y31 = − 14

√214π sen θ(5 cos2 θ − 1)eiϕ

Y30 =√

74π

(52 cos3 θ − 3

2 cos θ)

=√

74πP3(cos θ)

1|~r−~r′|

=1r

∞∑n=0

(r′

r

)nPn(cos θ)

Ejemplo:

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42 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE

Φ(R, θ) = Φ(θ) = V0(10 cos3 θ − 6 cos θ) = V04P3(cos θ)

Φ =∑n

(Anr

n +Bn

rn+1

)Pn

Φint =∑n=1

AnrnPn +A0

Φext =∑n+1

Bnrn+1

Pn +A0

Φint(R, θ) = Φext(R, θ)∑n+1

AnRnPn =

∑n+1

BnRn+1

Pn

Bn = AnR2n+1

Ademas:

Φref = Φ(∞) = 0⇒ A0 = 0

Φint(R, θ) =∑n+1

AnRnPn = V04P3(cos θ)

⇒ An = 0∀n 6= 3

A3R3P3 = V04

A3 =4V0

R3

B3 = A3R7 = 4V0R

4

Φint(r, θ) =4V0

R3r3P3(cos θ)

Φext(r, θ) =4V0R

4

r4P3(cos θ)

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4.4. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 43

Ejemplo: Un dipolo electrico ~pse encuentra en el interior de un cascaron esfericoconducor (radio R) conectado a tierra. Hallar el potencial en todo el espacio yla densidad de carga en la superficie.

Φint(r, θ) =∑n

(Anrn+1

+Bnrn

)Pn

cerca del origen:

Φint(r → 0, θ) = k~p ·~rr3

= kp cos θr2

=

⇒ A1 = pk, An = 0∀n 6= 1

En la superficie, hay conexion a tierra. Φext = 0

Φint(R, θ) =kp

R2P1(cos θ) +

∞∑n=0

BnRnPn = 0

Bn = 0 ∀n 6= 1

kp

R2P1 +B1RP1 = 0 ⇒ B1 = − kp

R3

⇒ Φint(r, θ) = kp

(1r2− 1R3

)cos θ

σ = −ε0∂Φ∂r|r = R = −kpε0

(2R3− 1R3

)= 3

kpε0R3

cos θ

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44 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE

4.5. Coordenadas cilındricas y funciones de Bes-sel

4.5.1. Solucion de la ecuacion de LaPlace en coordenadascilındricas (Armonicos Cilındricos)

En dos dimensiones

1r

∂r

(r∂ϕ

∂r

)+

1r2

∂2ϕ

∂θ2= 0

ϕ = R(r)P (θ)

r

R

d

dr

(rdR

dr

)= − 1

P

d2P

dθ2= k

Entonces con P:d2P

dθ2= −kP

⇒ P =

cos√kθ

sen√kθ

Con R:d

dr

(rdR

dr

)=kR

r

Si n 0:

⇒ R =rn

r−n

Si n=0:

⇒ R =

ln rcte

Armonicos Cilındricos

ln rrn cosnθr−n sennθrn sennθr−n cosnθ

En tres dimensiones

∇2ϕ =1r

∂r

(r∂ϕ

∂r

)+

1r2

∂2ϕ

∂θ2+∂2ϕ

∂z2= 0

ϕ = RφZ

φz

r

d

dr

(rdR

dr

)+RZ

r2

d2Φdφ2

+RΦd2Z

dz2= 0

1R

d2R

dr2+

1Rr

dR

dr+

1r2Φ

d2Φdφ2

= − 1Z

d2Z

dz2= −b2︸ ︷︷ ︸

z=A cosh bz+B senh bz

r2

R

d2R

dr2+r

R

dR

dr+ b2r2 = − 1

Φd2Φdφ2

= a2︸ ︷︷ ︸Φ=C cos aφ+D sen aφ

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4.5. COORDENADAS CILINDRICAS Y FUNCIONES DE BESSEL 45

Con lo que se obtiene la ecuacion diferencial de Bessel

d2R

dr2+

1r

dR

dr+ b2 − a2

r2R = 0

R = EJa(br) + FNa(br)

Donde:

Ja(br) =∞∑m=0

(−1)m( br2 )a+2m

m!Γ(a+m+ 1)

Na(br) =(cos aπ)Ja(br)− J−a(br)

sen aπSi a=n y br→∞

Jn(x) =

√2πx

cos(x− π

4− nπ

2)

Nn(x) =

√2πx

sen(x− π

4− nπ

2)

Ejemplo:

ϕ(r, θ) = k

∫σ

rda = k

∫a sen 5θ

rRdθdz =

kaRl

r

∫sen 5θdθ =

2kR︷︸︸︷alλ

r=

2kRλr

ϕ(r, θ) = A0 +A1 ln r + (Bnrn + Cnr−n) cosnθ + (Dnr

n + Enr−n) sennθ

Sir 6 R,A1 = Cn = En = 0

⇒ ϕint(r, θ) = A0 +Bnrn cosnθ +Dnr

n sennθ

⇒ ϕint(r, θ) = A0 +B1r cos θ+B2r2 cos 2θ+ · · ·+D1r sen θ+D2r

2 sen 2θ+ · · ·

Sir > R,A′1 = B′n = D′n = 0

⇒ ϕext(r, θ) = A′0 + C ′nr−n cosnθ + E′nr

−n sennθ

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46 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE

⇒ ϕext(r, θ) = A0 +C1

rcos θ +

C2

r2cos 2θ + · · ·+ E1

rsen θ +

E2

r2sen 2θ + · · ·(

∂ϕext∂r

− ∂ϕint∂r

)|r=R = −σ(θ)

ε0

∞∑n=1

(− nCnRn+1

cosnθ − nEnRn+1 sennθ

)−∞∑n=1

(nBnR

n−1 cosnθ + nDnRn−1 sennθ

)= − 1

ε0a sen 5θ

−5E′5R6

sen 5θ − 5D5R4 sen 5θ = − 1

ε0a sen 5θ

E′5 +D5R10 =

15ε0

aR6

ϕint = A0 +D5r5 sen 5θ

ϕext = A0 + E5r−5 sen 5θ = A0 +

(aR6

ε0−D5R

10

)r−5 sen 5θ

ϕint(r = R) = ϕext(r = R)

⇒ D5R5 =

aR

5ε0−D5R

5 ⇒ 2D5R5 =

aR

5ε0

D5 =a

10ε0r4

E5 =aR6

5ε0− aR6

10ε0=aR6

10ε0

4.6. Soluciones especiales en dos dimensiones