Estructura de la Materia Grupo 21, Semestre 2013-2 Prof. Isidoro García Cruz

EJERCICIOS

1. La luz amarilla que emite una lámpara de sodio tiene una longitud de onda de 589 nm. Calcular la frecuencia de esta radiación.

Respuesta:

Sabemos que:

νλ=c

Donde c es la constate de la velocidad de la luz, λ es la longitud de onda, ν es

la frecuencia.

s

mxc 103

8=

nm589=λ

?=ν

sc x

mx

nm

nm

smx 114

9

8

1009.51011

589103 / −

−=

==

λν

2. Un láser produce una radiación con una longitud de onda de 640 nm. Calcule la frecuencia de esta radiación.

Respuesta:

?=ν

sc x

mx

nm

nm

smx 114

9

8

1069.41011

640103 / −

−=

==

λν

3. Una estación de radio difunde una radiación electromagnética de 103.4 MHz. Considerar que 1 Mhz= 1 x 106 s-1. Calcule la longitud de onda de esta radiación.

Respuesta:

?=λ

mmc x

sx

MHz

MHz

smx10901.2901.2

1011

4.103103 9

6

8

1

/ −==

−

==

νλ

4. Calcule la energía de un fotón de luz amarilla cuya longitud de onda es 589 nm.

Respuesta:

?=E fotón

Sabemos que:

νλ=c

y que además:

νhE fotón=

h= Constante de Planck y ν es la frecuencia.

h= 6.63 x 10-34

J s

La frecuencia es:

sc x

mx

nm

nm

smx 114

9

8

1009.51011

589103 / −

−=

==

λν

entonces:

( )[ ] JxxJsx shE fotón 1037.31009.51063.61911434 −−−

=== ν

Es decir que un fotón de energía radiante proporciona o genera 3.37 x 10-19

J/fotón, entonces cuanta energía proporcionará un mol de fotones ?.

La energía se expresa en J/mol, luego entonces hay que convertir estos 3.37 x

10-19

J a J/mol. Para ello consideremos el Numero de Avogadro, NA= 6.023 x

1023

fotones/mol. Es decir en un mol hay 6.023 x 1023

fotones.

mol

Jx

mol

J

fotón

Jx

mol

fotonesx 1002975.22029751037.310023.6

51923==

−

mol

JxE fotón 1003.2

5=

5. Un láser emite luz con una frecuencia de 4.69 x 1014 s-1. a) Calcule la energía del fotón de la radiación de este láser. b) El láser emite una ráfaga de energía que contiene 5 x 1017 fotones de esta radiación. Calcule la energía total de esta ráfaga. c) Si el láser emite 1.3 x 10-2 J de energía durante la ráfaga. Cuantos fotones emite durante esa ráfaga.

Respuesta:

Sabemos que:

νλ=c

y que

νhE fotón=

h= Constante de Planck ν es la frecuencia. En este caso, ya conocemos ν.

h= 6.63 x 10-34

J s

Entonces:

( )[ ] JsJshE xxx 1011.31069.41063.61911434 −−−

=== ν

JE x1011.319−

=

3.11 x 10-19

J es la energía del fotón de la radiación del láser, es decir 3.11 x

10-19

J/fotón.

b) Dado que el láser emite una ráfaga de 5 x 1017

fotones de energía, entonces:

JJxfotonesxfotón

J16.01555.01011.3100.5

1917==

−

JE 16.0= Esta es la energía total de esa ráfaga.

c) Si el láser emite 1.3 x 10-2

J, es decir 1.3 x 10-2

J/fotón, entonces la

cantidad de fotones que emite es ráfaga es:

fotonesxfotonesxJ

fotónJx1018.410180006.4

1011.3103.1 1616

19

2

/==

−

−

6. La radiación de longitud de onda de 242.4 nm, es la longitud de onda más larga que produce la fotodisociación de la molécula de O2. a) Cuál es la energía de un fotón de esta radiación; b) Cuál es la energía de un mol de fotones de esta radiación?

Respuesta:

Sabemos que:

a)

ssxc x

mx

nm

nm

smx 115

9

8

1024.1102396.11011

4.242103 15 1/ −

− =−=

==

λν

?=E fotón

( ) fotónJxfotonJxxJsx shE fotón// 1022.8102212.81024.11063.6

191911534 −−−−==== ν

nm4.242=λ

b) Como ya tenemos la energía de un fotón podemos multiplicarla por el NA

para conocer la energía en J/mol.

( ) molJxmolJxmolfotonesxfotónJxE //// 1095.41095090.410023.61022.8552319

===−

7. Calcular la longitud de onda de un electrón que tiene una velocidad de 5.97 x 106 m/s. Considere que la masa del electrón es 9.11 x 1028 g.

Respuesta:

?=λ

me=9.11 x 10-28

g

1J= 1Kg m2/s

Con base al comportamiento dual de la materia de De Broglie:

vm

h=λ

( )smxgx

Jx

/1097.51011.91063.6

628

34

−

−

=λ

( )

( ) 1043867.51063.6

1101

1097.51011.9

1063.621

313

628

2

234

/−

−

−

−

=

=

x

mxgx

smxgx

x

Kg

ss

mKg

λ

mx102190.110−

=λ

nmmx 22.1102190.110

==−

λ

nm22.1=λ Esta el longitud de onda del electrón a una velocidad de 5.97 x

106 m/s. Esta longitud de onda se encuentra muy próxima a la longitud de

onda de los R-X.

8. Calcule la longitud de onda asociada a los electrones que se mueven a una velocidad que es la décima parte de la velocidad de la luz.

Respuesta:

?=λ

me=9.11 x 10-28

g

La décima parte de la velocidad de la luz es:

( ) smxsmxxv // 10310310.078

==

( )

( ) 10733.21063.6

1101

1031011.9

1063.620

313

728

2

234

/−

−

−

−

=

=

x

mxgx

smxgx

x

Kg

ss

mKg

λ

mx104259.211−

=λ

pmnmmx 3.240243.01043.211

===−

λ

pm3.24=λ Esta el longitud de onda del electrón a una décima de la

velocidad de la luz. Esta longitud de onda se encuentra muy próxima a la

longitud de onda de los R-Gamma.

9. La determinación de la posición de un electrón con una precisión de 0.01Å es más que adecuada o está bien determinada. En estas condiciones calcule la indeterminación de la medida simultánea de la velocidad del electrón.

Respuesta:

?=∆v

El principio de incertidumbre de Heisenberg dice que:

π4h

mvx≥∆∆

Entonces, el momentum o cantidad de movimiento del electrón es:

∆∆ ≥

x

mv

hπ4

( ) ( )

( )

mx

x

mxx

Jsxs

smKg

mv

10256.1

1063.6

1011416.341063.6

11

2

234.

12

34.

−

−

−

−

=≥∆

smx

smx KgKgmv 1028.5102786.5

2323 −−≥≥∆

Como la masa del electrón está bien determinada, entonces la velocidad será:

mmv

v

∆∆ ≥

smx

smx

Kg

Kgv

/6.579582871011.9

1028.531

23

≥≥−

−

∆

smx

smx

Kg

Kgv

/6.579582871011.9

1028.531

23

≥≥−

−

∆

smv

/57958288≥∆ Una velocidad enorme !!

hKmxh

sx

m

Kmsm

v/

1

3600

1000

1/ 10086.257958288

8≥

≥∆

hKmxv

/10086.28

≥∆

hKmxv

/10086.28

≥∆

La indeterminación de ±2.1 x 108 Km/h en la velocidad del electrón es del

mismo orden o mayor que las propias velocidades típicas de éstas partículas.

10. Calcule la longitud de onda asociada: a) a un electrón que se mueve a una velocidad de 1x106 m/s; b) a un coche de 1000 Kg de masa que se desplaza a la velocidad de 120 Km/h.

Respuesta:

a) Para el electrón

?=λ

me= 9.11 x 10-31

Kg

Sabemos que la dualidad de la partícula de acuerdo a de Broglie:

λh

vmp ==

s

mx

s

mxx KgKgvmp 1091.01011011.9

24631 −−=

==

Entonces:

mx

s

mx

x

s

mx

x

Kg

ss

mKg

Kg

sJ

p

h1027.7

1091.0

1063.6

1091.0

1063.6 10

24

2

2

34

24

34

−

−

−

−

−

====λ

a) Para el coche

?=λ

mcoche= 1000 Kg

s

m

s

h

Km

m

h

KmKgKgvmp 33.33333

36001

1100

1201000 =

==

Entonces:

mx

s

m

x

s

m

x

Kg

ss

mKg

Kg

sJ

p

h1099.1

33.33333

1063.6

33.33333

1063.6 38

2

2

34

34

−

−

−

====λ

La menor cantidad de movimiento (momentum) del electrón (mv) comparada

con la del coche a pesar de su mayor velocidad, pero cuya masa es muchísimo

más pequeña. Y al contrario la longitud de onda asociada al coche es mucho

más pequeña, que la del electrón.

11. Grafique las funciones de onda correspondientes a los dos primeros valores de n, así como sus cuadrados. Considere que la longitud de la caja es de 6Å=6x1010 m. Respuesta:

Clase (martes, 14/02/13)

12. Calcular la diferencia entre las velocidades permitidas, en dos niveles energéticos consecutivos de: a) un electrón confinado en una caja unidimensional de un radio de Bohr; b) una bola de billar de 0.2 Kg de masa moviéndose a lo largo de una mesa de billar de 2m de longitud perpendicularmente a las dos bandas opuestas más alejadas.

Respuesta:

a) Para el electrón:

Lm

hv

n

n

2

1=

+

∆

( )( ) ( )Kgmx

sKgx

mxKgx

Jsx s

m

vn

n

106566.9

1063.6

1053.01011.921063.6

41

2

2

34

1031

34

1

−

−

−−

−

+==∆

h

Kmx

h

s

m

km

s

mx

s

mxv

n

n 1048.21088.6108657.67661

1

3600

1000

1=

==

+

∆

b) Para la bola de billar:

( )( ) ( ) s

mx

Kgm

sKgx

mKg

Jsx s

m

vn

n 102875.88.0

1063.6

0.22.021063.6 34

2

2

34

34

1 −

−

−

+===∆

h

Kmx

h

s

m

km

s

mxv

n

n 1099.21030.833341

1

3600

1000

1 −−+=

=∆

Para el electrón, las velocidades permitidas entre dos niveles consecutivos es

muy considerable, mientras que para la bola de billar es casi despreciable.

13. a) Calcular la diferencia de energía entre los dos primeros niveles correspondiente a un electrón confinado en una caja unidimensional de un radio de Bohr de longitud; b) Cuál sería la frecuencia de la radiación capaz de excitar al electrón desde el primer nivel al segundo?

Respuesta:

n=1

a) ( )

=−= +∆ +

+

Lm

hnEEE nn

n

n 2

2

1

1

812

( )[ ]( )

( )

−−

−

+=−=+

+

∆mxKgx

ss

mKgx

EEEx

xnn

n

n

1053.01011.98

1063.6

1121031

34

2

2

4

422

1

1

( )Jx

x

s

mKgx

EEE nn

n

n 1044.6100472.2

103957.4

317

2

2

1

1

50

67

−

+

+=

−

−

=−=∆

b) La frecuencia:

Como la frecuencia se obtiene de:

νhE =∆

shE x

sJx

Jx 116

34.

17

1071.91063.61044.6 −

−

−

=== ∆ν

Con una radiación de esta frecuencia es suficiente para excitar un electrón del

nivel uno al nivel dos. Esta radiación corresponde al la región UV.

14. a) Calcular la diferencia de energía entre los primeros estados energéticos de un electrón confinado en una caja cúbica de un 1 A; b) Cuál sería la frecuencia de la radiación capaz de excitar al electrón desde el primer nivel al segundo?

Respuesta:

15. Determine la longitud de onda de la línea espectral de la serie de Balmer del hidrógeno correspondiente a la transición de n=5 a n=2.

Respuesta:

?=λ

Cuando un electrón pasa de una órbita mas alta a una órbita más baja hay una

emisión de energía, o se emite energía. Esta energía se obtiene a partir de la

diferencia de energía:

−=

−=−=

−

∆nn

Jnn

REEEfiifii

Hifx

22

18

22

111110179.2

( ) JJJE xxx

fii

105759.425.004.010179.225

10179.21918

22

18 11 −−−−=−=

−=∆

JE x1057.419−

−=∆

El signo (-) de esta diferencia de energía, nos indica que se emite energía. Esta

cantidad de energía se emite como un fotón de energía, debido a que la

diferencia de energía entre los niveles n=5 y n=2 es igual a la energía del

fotón emitido.

Pero lo que nos piden es la ?=λ , por lo que antes debemos calcula la

frecuencia. Es decir:

νhEE fotón==∆

ssJ

J

h

Ex

x

xfotón 114

134

19

149012.61063.6

10576.4 −

−−

−

===ν

sx114

14901.6−

=ν

Y finalmente para calcular λ , hacemos:

νλ=c

mxx

smx

s

C1034.4

10901.6

103 7

114

8

−

−===

νλ

mx1034.47−

=λ

nm434=λ

Estos 434 nm corresponden justamente a una de la líneas del espectro de

emisión del Hidrógeno, (color violeta).

16. Determine la energía cinética del electrón ionizado de un ión (catión) de Li2+ en su estado fundamental utilizando un fotón de frecuencia de 5 x 1016 s-1. Respuesta:

?=ECinética

El catión que se forma es el ión Li2+, es decir;

Li + νh → Li2+

+ 3e

Es decir, la carga nuclear (Z=3+) y n=1.

Sabemos que:

n

RZE

H

n 2

2

−=

Entonces:

( ) ( ) JxJxxJxx

n

RZE

H

109611.110179.291

10179.23 1718

2

182

2

2

1

−−

−

==−=−=

JxE 10961.117

1

−=

Pero esta es la Energía Total para E1

, es decir para el primer nivel n=1.

La energía para un fotón de 5 x 1016

s-1

es:

νhE fotón=

( )[ ] JxxJsx sE fotón 10315.31051063.61711634 −−−

==

JxE fotón 10315.317−

= Esta es la energía de E i.

O estrictamente:

fotónJxE /10315.317−

=

Sabemos que la Energía de Ionización es la energía para arrancar un electrón

del núcleo del átomo, en este caso, el del átomo de Litio. Es decir,

JxEE i 10961.117

1

−=−= . La energía adicional del fotón es transferida como

Energía Cinética al electrón, luego entonces:

EEE iCinética 1−=

( )JxxECinética 10961.110315.31717 −−

−=

JxECinética 354.1315.117−

=