12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h...

38
x y Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U U U U (x) (x) 1 2 (x) 2 > U (x) 1

Transcript of 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h...

Page 1: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

��������

������� ����

x

y

Inlet region Filled region

Entry length

Fully developedflow

h

δ

U U U U(x) (x)1 2

(x)2

> U(x)1

������ �� ��� ����������� �� � �������� ����� �������

��� ����������

��� �� ����������� �� � �������� ����� ������� ��� ���� ��� � �� ������ ��� ������

��� �������� ������� ����� �� ��������� � ����� ���� ��� ������ ����� ������� ��� ��� ��

�� ���� �� �� ����� ����������

��� !����

�!

����������

!�����"���#

�� � ����

!���"����#

�� � ����

!$������ �����

%������ �����

&

Page 2: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

� �� ��� ���� �������� �� ��� ����� ��� �������� '������� ������ �� ������� ����������

�� ����� ! &�((

��� �� ��������� ��� ��� )((( "���������# ��� ������� ��� ��� � &�((

$� ��� ��� �� ��� ���������� *���� ��� ���������� �� ��� �������� ������"��� # ��� ��

���� �� ��� ����� ��� �� ������

���

� (�(+���

( �������

���� ,(

-� ����� ������ ��������� ����� ��������� �� ��� "������# (�

���� ������� ������� �������� ������ ���� ��� ����� �������� �� �� ��������� �� ��.

��� � ���� �������� ���

/� ! ����� ! �������)� ��� !

) /�

���"��#

�� !

� ���"�#���

���!

&��� ����"�#���

�����!

&

���

� ��

�"�#��� "��&#

�� �������� ������ �� � ���� ������� ���� ���

Rr

z

v (r)z

vzmax

z

vzvφ φ

vr

������ ��& 0����12��������� �� ������� � ����

��� ����� ��������� ���� �� �� ����� ������ 0����12��������� �� "������ ��&#� ���

������� ��������� �3������� ���

Page 3: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

�����

�����

4���4

�����

4�����

! ( "���#

� �������

�����

4 �������

4���

�����

�����

4 �������

! �

��

��4 �

��������

4

�����

4

���������

4�������

������

&

�������

�"��)#

� �������

�����

4 �������

4���

�����

4�����

4 �������

! �

��

��4 �

��������

4

�����

4

���������

4�������

�����

4&

�������

�"��+#

� �������

�����

4 �������

4���

�����

4 �������

! �

��

��4 �

��������

4

�����

4

���������

4�������

�"��,#

��� ����� ��������� �� � �� �� ���� ��� ������� ���������� �� ! �� ! (� ���� �����������

"������# ! ( ���������� �� ! ��"�� �� �#

5���� ������ ������ � "��������#��� ! (6 �� �� � ����������� "� 7��� ��������8���# ! (

����������

�� ! ��"�#

���� � ��� � �������� �3������� � ��� � �! �"�� �#6 � ! �"�# ����

���� � �������� �3������� � ���

�������

4

�����

!

��

��

)

Page 4: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

���

��

�������

�!

��

��"��9#

���

������

!

��

��

��

&4 ��

���

�����

!

��

��

&4��

���

�� !

)�

��

���� 4 �� �� � 4 �� "��:#

��� �������� ���������� ���

�� � ! (� �� �� ;���� � �� ! (

�� � ! ��� �� ! ( � ( ! ���

������� 4 ��

�� ! �

)�

��

�����

�� ! �

)�

���

��

����

��

��

��

5����� �� � � ��� � � ��

�"�# ! �

)�

���

��

����

��

��

��

"��<#

� ! ��� �� � ! (

���� ! �

)�

���

��

���� "��(#

�� !&

���

� ��

����)�

���

��

��

��

��

�����

+

Page 5: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

���

�� !&

���

����)�

��

��

� ���

&���

)���

����

! �

:�

���

��

���� !

���

&"��#

���

�� !

&��� ���

�"�#

��! &

��

��

��

"��&#

=���� �������� ������

� !>�

��!�����&��

"���#

���

� !">���#�

�����&!

"������#�

"�����&#"��)#

�������?� �������� ������

�� !��

"�����&#"��+#

�� !"������# "��)#

"�����&#"��,#

@� �����

�� ! ����

������

�� ! ��

�4

)�

��

��

�&���

�����

! �

&

��

���� !

&

����

��

��

&

���������� �� ! ��) ��� ����� ��������� ������� ��

� !"������# "�#

"�����&#

,

Page 6: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

A���������

�� ! �

:�

��

������ ��� !

����

���

� !:������

��

�����&!

,)����

!,)

���"��9#

����� ��������� ������� �� � ! ����

��� ����� ��������� ��������� �� � ��� �������� �� 3���� ��������� @� ���� ������ � ���

������ ��� �������� ������� ��� �����

���� �� ��� � ���������� �������� B���� ������� "���������#� �������� ������ �� � ��������

�� '������� ������ ��� ������� ���������� C����������� ���� ���������� ����� �����

��� ������ �������

� ! (��, ����������������� � &� (� "��:#

9

Page 7: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

� ! (�:) ����������������� &� (� "��<#

D��� ���� � � ����� "�����# �� �������� �� ����� ��������� ������

� !�"�����#�

�����&

>� ! �

� ��

��

�� !

� �

�����&�

�� !�����&�

"�� � ��# !� ����&�

� ! ����

�� ������� �� � � ! (��, ������� ��� ��� � & � (� "��������� �� # ���

� ! (�:) ������� ��� ��� &� (� "��� ��������� �� #

0� ����� ���� ��� ����� �������� � ��� ���. >���� ! ��������

! �

��� ������� ������������� ���� �������� �����

T

wT TwT T

TT

Fully developedThermal entrance region

w

(r,0) T(r,0)T(r,0)

r

(r,0)

w> T(r,0) qw

δ

δΤ

Τ 0y=r −r

r 0

������ ��) ��������� ���������� ���� ��

���� ������� ��������� ������ � ������� ��� ����������� "5-�# ��������� �� � �������

��� ���� �� ��������� "5-0#�

@ ����� ��������� ����������� ���;�� ������ ��������� �� ��� ������� ����������� ���

:

Page 8: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

���� ������� ����������� �� ����� ��� ������ �� ���� ��� ���� ����������� � �����

��� �������� ����������� ��������� ��� ���������� � "��������)#� $� ����� �� ����� ���

����������� �� ������� �������� ������� ���������������� ����� ��������� �� ��� ��

���������� "��������+#�

� ��� ������� �� � ��� ������� �������� ������ ��� �� � ������� ��

� �����

���

(�(����� �� ��� 5-0(�()���� �� ��� 5-�

"��&(#

� ��� ���� "�����# ! (�(+ ��� ��

C�������� ���� ��� ������������� �������� ������ �� ��� �� ���� ���� �� �� �

������������ �������� ����� ��� � ���� ��������

�� � ���� ��� � Æ Æ� �� ��� �������6 ���� ����� ��� �� "Æ�Æ� #����

���������� ��� �� � Æ ��� �� �� Æ� �

����������������������

����������������������

Unheated wall Heated wall

Temperature profile Velocityprofile (unchanged)

Temperatureprofile

Velocity profile(fully developed)

������ ��+ =��������� �������� ��� ����������� ;����

&� $������ �� ���� ��� �� ��� "�� #��� ��� �����3������ � �� ������� ���� �

0� �������� � ������� 0��� 2������ ������ ����� "���� �� ���#� �� ((� ����

���� ���������� ��� ������� �������� ������� ���������������� ����� ���������

�������� ���;�� ��� �� ������� "��������,#�

<

Page 9: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

x

δ T

δ

������ ��, 0����������� ��� ������� �������� ����� ����.���� �� ���

��� ��������� �� � ���������� ��� ������ ����������� �� 2������ ������� $� �� ����

������ �� �����������

���

! (� ���. ���� ����������� �� ��� ������� "�# �� �����

��

!� !&

�����

� ��

�"�# ! "�# ��� "��&#

����� ������ � � �� ������

"��

� ! "!� � !�# "��&&#

��� ���. ���� ����������� !� �� � ���������� ��������� ����������� ��� �������� �� ��

!� ������� ��.� !� ��� � ������ �� �� E�������� ��������� �� !� ������ �� ��� ��

���������� !� �� ��������� �� ��� �� ��������� �� ���� �������� �� ���� ������� �� �����

����� ����� ��� ����� ��������� ��������

A���� ��� � ������� �� ���������� ���� �������� ��� ��� ��� ������� ��� ��� ���� ��������

���� ��� ���� ����������� ���� �������� �� ������ ��� �� ��� ����� 3������� ������

����� ��������� ������� ���������� ���� ��� �� �������� ��� ��������� �� ��������� �����1

��� ���� ��� ������������ ����� ��� ���� "�����# ! ( �� ��� ����� ��������� ������� $�

��������� �� ����� �� ���� ��������� "�!����# �� ��� �� "�!���# �� ��� ������ �� ��� *����

(

Page 10: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

$���������� � ������������� ����������� "!� � ! #�"!� � !�#� ��������� ��� ���� ����

����� ������� ����������� �� � ��� .�� � �� � ���� @������� ��� ����������� ���;��

! "�# ��������� �� ������ ��� �� ��� �������� ����� �� ��� ���;�� ���� ��� ������ ���

��� �� �� ���� �� �� ����� ���������� $������ �� "�!����# ! ( �� "�!���# ! (� ���

��������� ��

��

�!�"�#� ! "�� �#

!�"�#� !�"�#

�! ( "��&�#

����� "!� � ! # ������� �� ��� ���� �� �� "!� � !�#

D� � � ��� ����

"!� � !�#������� ��

��

�� "!� � ! #

������� ���

��

�"!� � !�#�

! (

���

"!� � !�#

�!���

��!

��

"!� � !�#�

!� � !

"!� � !�#��!���

4"!� � ! #

"!� � !�#��!���

! (

���

�!���

��!

���!� � !

!� � !�

�!���

4"!� � ! #

"!� � !�#

�!���

! (

���

�!

��!�!���

�!� � !

!� � !�

�!���

4"!� � ! #

"!� � !�#

�!���

"��&)#

� � ������� ���������� ��� ���������� 5������ ���� �� � ""��

� ! ��������# ��� �������

������� ������������ "�!���� ! (#

��� "��

� ! �������� $� ��� ���� ��� ��� ������ ������������ ��� �� ��� ����� ������� ���

��������� �����������

��� "�!����# ! ( $� � ����� ������ ��� ��������� �� ��� ����� ��������

0� ����� ��� �������� ���� �� � � ���

�!���

!�!���

"��&+#

Page 11: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

A����������� ���� ��������� �� ��� ����� �3������ ��� �!���� � ���

�!

��

��������� ���������

!�!���

��������� ���������

"��&,#

��� �������� ������� ������������ �����

! (

�!

��

�������

!"!� � ! #

"!� � !�#

�!���

�������

"��&9#

A������ ��������� �������� �� ��������� ��������� �� ��� �� �������� ���� �3������

"��&)#� A���� �������������� ����������� ���;�� �� ����������� �� �� ���������� �� ���

���;�� ��� ������� �� � "��������# ���� ���� �� ����������� �� �� E��������� ����

���������� �� ��� ���� �������� � ������

��

�!� � !

!� � !�

����

!��!�������

"!� � !�#�! �"�# "��&:#

@���� � .�� �

"��

� ! #�!

������ ! "!� � !�#

���

���������

"!� � !�#!

#"��&<#

���� "��&:# ��� "��&<#� � ���� ���! �"�# ��� ����� ��������� �� "������ ��9#� 0��� . ��

������� �� �� ��������� ����� �� ����������� �� ��

����� ����� � � �� � ������ �����

������� ��� �� �� � ���� �� ���������� ��������� �� ������ ������� ��� �� ������� ��

��������� �� ��� ���� ����������� "!�# ������ ��� �������� ����� ��� ���� ��� ��

��� ����� ���������� ���� �������� �� ������� �� ��� ��������� �� ������������ �� ��� ����

����� ������� C������� ������ ��:�

�"��� 4 /�"$ !� 4 ��#�

�/�"$ !� 4 ��# 4 /�

�"$ !� 4 ��#

����

�! (

&

Page 12: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

h

xxf, d,t

f,dh

������ ��9 0��� �������� �������� ��� ��������� ����� ��������� ��

dx

mpv

Tm mT +dTm

pv +d(pv)

q Pdxconv w=q

x

Inlet Outlet

������ ��: E����� ������� �� � ���� ��

���

�"��� ! /� �"$ !� 4 ��# "���(#

��� ������������ ��

�"��� ! /� �"$ !� 4 ��#

���

�"��� ! /� �"$ !� 4�!�#

Page 13: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

���

�"��� ! /� �7$ !� 4 "$� � $ #!�8

���

�"��� ! /� $��!� "���#

��� �������������� ��

�"��� ! /�$��!� 7����� �"��# ! ( ��� $� ! $ 8

���������� ������ ��� �� �� ������������ �� ��������������� � ��� ����

"��� ! /�$�"!��� � !��!# "���&#

-� ��� ���� ����

�"��� ! /�$��!�

���

"��

���� ! /�$��!� 72 �� ��� ������� ��������� ! ��8

���

�!���

!"��

��

/�$�!� "!� � !�#

/�$�"����#

A� ����� !� !�� ���� �� ����������� �� ���� ��� !� ��������� ��� �� ��� ������ ��

���� �3������ "����# ������ ������ �� ������

����� ������� ����������

� ��� ���� ��� �� ��� �� �� �������� ��� ����� �� ��$� �� ��������� ��� ����� ���������

�� � �� ��������� �������� �� ������ ��� � �� ��� �������� ������� ������� !� �� ���1

������ A�� !� ��� ���� ��� � � ���� ��� ��� ������� ���� "!� ! !�# �� �� ���� ��������

"������ ��<#�

)

Page 14: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

T

x

T

T

T i

w

w− TmT (x)mΔ

������ ��< %�������� �� ���.1���� ����������� �� � ���� "C������� -��� �����������#

����� ��� ����

"��

� �� ����������� �� �� ����� ���� �������� ���� "����� ! "��

���6 ������ ���� �3������

Τ

x

Entrance region

Fully developed region

T (x)

w

m

T (x)

Tw− Tm

������ ��( %�������� �� ���.1���� ����������� �� � ���� "C������� ��� 0��� ��� #

"���(1���&#� "��

��� ! /�$�"!��� � !��!#� A�� �� "��

�� /�� $� ��� ��� �������� ��� .�� �� ��

�� �������� �� ��������� ��� ���� ����������� ���� "!��� � !��!#�

����� ���

�!���

!"��

��

/�$��� !� !

"��

��

/�$�� 4 $�

+

Page 15: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

�� � ! (� !� ! !��! ��������� $� ! !��!

!�"�# ! !��! 4"��

��

/�$�� "���)#

-� ��� ��� ��� ��������� !�"�# ��� � ��� �������� ��� ���� �� "������ ��(#� F�� ��

�� ;�� ��� ��� ������������ �������� ��� ��������� �� !�"�# ��� � ��� �������� ���

����������� �����

���� ! ���� ��� � ��� ��� ��� � �� ��� �� ����� ��� ���� �� �� ������ ����

� ��� ���� ��� �� ��� �� �� �������� ��� ����� �� /�$� �� ��������� ��� ����� ���������

�� � �� ��������� �������� �� ������ ��� � �� ��� �������� ������� ������� !� �� ���������

A�� !� ��� ���� ��� � � ���� ��� ��� ������� ���� "!� ! !�# �� �� ���� ���������

���� �3������ "����#� �����

! "��

�#����

! #� ����������

� ��;���� >! ! !� � !� ! ���������

��� ��� ������� ����������� ��� ���� ������������

�!���

! ��">! #

��!� ">! #

/�$�"���+#

��� � ���

��

�">! #

">! #!��

/�$�

� �

��

���

��">!�#

">!!#! �

��

/�$��

� �

��

���

��>!�>!!

! ���

/�$� �

>!�>!!

!!� � !���

!� � !��!! ���

����

/�$�G �

�"���,#

,

Page 16: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

0�� � ���������� ���� ��� ���� ����� �� ���� � ��� �������� � ����� ��� ����� � ����

���� �������� ��� �������� ��� ���� ������� � ���������

!� � !�"�#

!� � !��!!!� � !�"�#

!� � !��!! ���

����

/�$�G

�"���9#

���� G �� �� ��� ������� ����� �� ���� ��� ����� �� ��� �������� �� ���� ������

�������� ���� ��� ����������� ��������� "!��!�# ������ � ����������� "���� ����� ����

��� ;���� ��� � �������#� -� ��� ���� ����

"��� ! /� $�"!��� � !��!#

���

"��� ! /� $� 7"!� � !��!#� "!� � !���#8

���

"��� ! /� $�">!! �>!�� "���:#

H� ��� ����� ���� � ���� ���� ����

��>!�>!!

! ���

/�$�G � "���<#

A����������� ��� /�$� �� "���:# ���� "���<# � ���

"��� !G ���">!� �>!!#

��">!��>!!#! G ��>!��� "��)(#

���� �� � ���� �� D� ���?� �� �� ������� ��� ��� ������ ����� >!��� �� ��� �����������

������� �� ����������� ��������� ��� ��� ������ ����� ��� ��� ������ �� ���� �������

����������� ��������� 7�� �������� �� �� ���������� ���� ����������� ��������� �� ���

���� >!� ! �������

8 �� ��� �� � ��������� ������ �� ��� ������

9

Page 17: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

�� !������ ���� �� � ������� �"�

��� ������� �� ������� �� �� � �������� ���� ��� ���� ������� ������������� ��� ���

������� ��� ���� ������� �� � ����� ���������� ���������� -� ��� �� ��������� ����

�������� ����� ���������������� ��� ��������� ����� ��������� ���������� @� ��� �����

�� ��� ���� ��� �������� ����� ����� �������� ��� �� ��������

�� �� "� � �� ���� ������� ������ � ��#� ��� ������� ��$� ��� ��������� � ����� ��� ��������� %�� ���� &�$���� ' �� "� � ���( )&"�* �������

��� ��������� �3������ ��

��!

��4 �

�!

��!%

��

���!

��

�"��)#

0��������������� ����� ��������� ���������� � ! (� ����

! ( ��� �"�# ! &��7� "����#�8

&��

��

��

���!���

!%

��

���!

��

�"��)&#

@� ��� �� ����

! �����

6 � ��� ������� ��� ! "�� ��� �# ��� ������� �� �� @� � ����� �

" ���� �!���� �� .�� �#� ! ������� � �������� �� � ����� -� ��� ����

��

���!

��

�!

&��%

�!���

��

��

��

���

��!

��!

&��%

�!���

���

&���

)���

�4 ��

���

�!

��!

&��%

�!���

��

&���

)���

�4��

���

! "�# !&��%

�!���

���

)�

��

,���

�4 �� �� � 4 �� "��)�#

:

Page 18: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

I � ! (� ! �� ;����6 �� ! ( I � ! ��� ! ! !�

�� ! !� �&��%

��!���

�����,

! "�# ! !� �&�� �

��

%

��!���

��

,4

,

��

��

��

)

��

��

��

"��))#

D� � !� ! �����

� ����"�# ! "�# ���

!� !

� ��

�"�# ! "�# ����

� ��

�"�# ���

!� !

� ���

&��

�� ��

���

��

�!� 4 "

��

����

����

��� �

����

��� �

����

� ���

&��

��

����

������

!� !&��

�!�

����

��

���

����

�4 "

��

����

� ���

�� � ��

���

����

���

� ����

���

� ��

����

&��

����

��

���

����

!� � !� !"��

���#

��

&)

�"��)+#

"��

"!� � !�#

&��#�

! &�� !&� &)

! )��, "��),#

-����� "��

� ! "!� � !�# ! #���������

���� 5������ -��� 0��� ��� "50�# �������� ���������� ������� ����� ��������� ��

�� � ����� &�� ! )��, 7����������� �� �� ��� ��8� �������� �� ��� �� ��� � ����

! "�# ! !� 4 "��

����

�����

��� �

����

��� �

��

��� ��� ����� ��������� ����������� ���;�� �� �

�����

�� �� "� � �� ���� ������� ������ � ��#� ��� ������� ��$� ��� ��������� � ����� ��� ��������� %�� ���� &�$���� ' �� ������ ���� )&'�* �������

������� ���� ���

��!

��!%

��

���!

��

�"��)9#

<

Page 19: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

A��� �� ����� � �� ����������� �� �� � ! ! ��������

�!

��! %

���!

���4

�!

��

�"��):#

���

��!

���4

�!

��!

%

�!

��"��)<#

! �� � �������� �� � ��� �

A����������� ���������

! ' ��� ���

! ( ��� � !$��

%)� � ���

��'

�( �4

(

�'

�(!�'

�)"��+(#

@����� ' ! * ")#+",# ���� * ! * ")# ��� + ! +"( #

*��+

�( �4*

(

�+

�(! +

�*

�)

���

+

���+

�( �4

(

�+

�(

�!

*

�*

�)! �-��

��� ����������� �� ��� ���� ���� �������� ���� �� ��� ��� ��� ���������� ) �� �� ��

��������� �� ������ * �� � �������� ��������

*

�*

�)! �-��

���

�*

*! �-���)

���

��� * ! �-��) 4 ��� � "��+#

* ! ���&�' ���� � �� � ���������

C���������� ��� ���� ���� ���� �� ��� �3������� � ���

+

���+

�( �4

(

�+

�(

�! �-��

&(

Page 20: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

��+

�( �4

(

�+

�(4+-�� ! (

( � ��+

�( �4 (

�+

�(4 ( �+-�� ! (

A����������� ( �-�� ! ��� � ���

��

-��

��+

��

&

�� 4 �

-�

�+

��

&

� 4+�� ! (

���

����+

���4 �

�+

��4+"�� � (# ! ( "��+&#

���� �� �������� ������ �3������ ��� ��� ������� �������� �� ����� �� ��� �3������

+ ! �.�"�# 4/(�"�# "��+�#

���� .�"�# ��� (�"�# ��� *��� ����� ������ ��������� �� ��� ;��� .��� ��� ������ .����

D� � ��� ����

' ! � � ��&�' ��.�"�# 4/(�"�#

' ! ��� .�"�# 4/� (�"�# ��&�' "��+)#

�������� ����������

I � ! ��� ! ! !� ��� � (

I ( ! � ' ! ( "��������� ��� � ! -�#

I � �� ��� � ! (� ! ! !�� ���� ����� �� I ) ! (� ' !

' ! ��� .� "( -�# 4 /� (� "( -�# ��&�'

I � ! (� ( ! (� '! ;����� A���� (�"(# ! ��� /� ! (

' ! �� .� "( -�# ��&�' "��++#

I � ! ��� ! ! !�6 ���� ����� �� I ( ! � ' ! (

.�"-�# ! ( "��+,#

&

Page 21: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

-� ! &�)():� +�+&(� :�,+�9� �9<+� )�<��(<���������������������

��� ���� ����� �� -�� ��� ������� �� �����;�� ���� ���� ��� ���� ���� �� ����������

' !����

�� .�"-�( # � � "�-��)# "��+9#

��� ��������� �������� ��������� I� ! (� ! ! !� �� I) ! (� ' ! �������

���.�"-� ( # ! "��+:#

-���� �� � ��3�������� �� � ����� �� � ������� ������ �� ������ ��������� ���� ��� �����

( � ( � � �

( .� "-�( # �( !

� �

�� ( .�� "-�( # �(

�� !

� �

�( .� "-�( # �(� �

�( .�� "-�( # �(

!

� &�

&.� "�#

� &

��.�� "-�#

"��+<#

��� ��� ����� � ��������� ��� �� ����� �� ��� ����� ��� ���������� ��������� �� ������

���������

!����� "

��7��.�"�#8 ! �

�.���"�#

��7�.�"�#8 ! �.�"�#�

��.�"�#�� ! �.�"�#

@����

0

�7.�"�#8� .

�"�# ! .���"�#

-���� ������� ��� 0 ! (� �� ��� ����� .�

�"�# ! �.�"�#

!����� "" �

�.��"1�# �� !2�

&

��.�

�"12#��

4

��

0�

1�2�

�.��"12#

&&

Page 22: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

��� �

�.�� "1�# �� !2�

&

�"�.�"12##

� 4 .�� "12#�

D� � � �

( .�� "-�( # �( , !

&

�"�.�"-�##

� 4 .�� "-�#�

$� ��� ���� .� "-�# ! (

���������

�� !

�&�

� &�

�.�"�# ����.�� "-�#

!

�&�

7�.� "�#8&�

��.�� "-�#

�� !&

-�.�"-�#

' ! &����

.� "-�( #

-� .� "-�#��&�' "��,(#

!� !&

�����

� ��

�"�#! "�#���

'� ! &

� �

'( �( ! )

� �

( .� "-�( # �(

-� .� "-�#��&�'

'� ! )����

��&�'

-��"��,#

@�����

�(�.�"-�( # ! �-�.�"-�( #

�'

�(

����(�

! �&����

� �&�'� "��,&#

"!� � !�# ! #�!

������ "��,�#

&�

Page 23: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

#!

&� &�

�� ��&�'

'�!

��

�� ��&�'�

��"��&�'#�-��

"��,)#

��� -�� �

#!��&�

�' -��

��&��'

! -��

��� &�� ! +�9:� "��,+#

������� #���$��� %����� #��&�� ��' (�������� )�������' ��� "��� 5������

-��� ����������� �������� C��������#

��� ��������� �3������ ��

�$���!

��!#

��

���!

��

�"��,,#

'"�# ! ���������

� ���� !� �� ��� ���������� ����������� ��� !� �� ��� ��� �����������6

����������� 3 ! ���� � ! �

��� "3# ! �

��

-� ����

�$���"3#

��

�!

��!#

���

3

�3

�3�!

�3

���$�#

� ������!

��!

3

�3

�3�!

�3

�����&

�!

��!

3

�3

�3�!

�3

D� � ! ! !� 4 "!� � !�#'"�#6 !� � ��"�#

�!

��! '"�#

�!���

�!

��! "!� � !�#

�'

��

�!

�3! "!� � !�#

�'

�3

&)

Page 24: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

H� �������������

��'

&

�!���

!

3

�3

�3�'

�3

�"!� � !�#

���

!�"�#� !�

���

�!���

!

�)

��)

�3 �*�)

�$ )��'"3#

! �1� "��������# "��,9#

�� �!����

!� � !�! �1�

!�"�# ! !� 4 ���+���#�

��� ������ �3������ �����

3

�3

�3�'

�3

�41�

&' ! (

-����� ���

! &

��

����

���! &7� 3�8

'��

4

3'�

4 1�"� 3�#' ! (� �� �E���� C����� E3������

"��,:#

�������� �����������

I � ! (� I 3 ! ( ' !

I � ! �� � I 3 ! ' ! (

��� �������� �� ����� �3������ �� �� ��;���� �������

F�� ��� ������� �������� ��

' !����

��3�

D� �

' ! �� 4 ��3 4 ��3� 4 ��3

� 4 ������� 4 ��3�

���� '�

! �� 4 & ��3 4 � ��3� 4 ������� 4 "04 # ����3

��� '�� ! &

&+

Page 25: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

2������� �� �� ��� �������� �3������� ��� �����

& �� 4 � � & ��3 4 ������� 4 "04 &#"04 # ����3�

4��

34 & �� 4 � ��3 4 ������� 4 "04 # ����3

��� 4 "0 4 &# ����3�

4 1��� 4 1���3 4 1

���3� 4 �������4 1���3

! 1���3� 4 1���3

� 4 1���3� 4 ������� 4 1���3

���

E3������ ��� �3��� �� ��� �� 3

�� ! (

&��� 4 &�� 4 1��� ! (

��&�� 4 ��� 4 1��� ! (

)���� 4 )�� 4 1��� ! 1

���

+�)�� 4 +�� 4 1��� ! 1

���

���

"04 &#"04 #���� 4 "04 &#���� 4 1��� ! 1�����

@� �� ! (� ��� ������� ��� ��� ��������� ��� *����

������� 0 ! &�

"&�4 &#"&�4 #����� 4 "&�4 &#����� 4 1���� ! 1������

"&�4 &#������ 4 1���� ! 1������

����� !1�

"&�4 &#�"����� � ���#

��� !1�

"&�#�"����� � �����#

���������� � ��� ����

' !����

���3�� "��,<#

���� ��� !1�

"&0#�7����� � �����8 ��� 0 &

&,

Page 26: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

-� ��� ���� ����

' !����

���3�� ! �� 4 ��3

� 4 ��3� 4 �3

4 �����

$���.��� ��� �������� ����������� I3 ! (� ' !

-� ���

�� ! '�� )� !

-� ���� .�� � I� ! ��� ����� I3 ! � ' ! (

�� 4 �� 4 �� 4 � 4 ����� ! (

�� �1�

)�� 4

1�

,

� 4

1�

)

��� �

1�

�,

�+1�

,41�

,)

��� 4 ����� ! (

��

��

1�

)41�

,41�

,)�

+1�

�,� ,�

1

�,� ,)

�4 ����� ! (

C���������� ���� )�� �� �� �� ��� ������

��

��

1�

)41�

,41�

,)�

+1�

+9,

�! (

A���� �� �! (�

�1�

)41�

,41�

))! (

1� � &91� 4 )) ! (

A������ ����������� �� D� ��� '������ �������

1 ! &�9()�,) "��9(#

*����� ���$�� ��� +,(

���� ��� ��������� �3������� � ���� ��

�$��'

��

�!������ ! #��

�!

������

&9

Page 27: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

��� � ��

#�

%

��&���

&���

��"! � !�#

�!����

"!� � !�#�� ! ��"

��

� ��

����������

"!� � !�##�

&���

��"! � !�#

&�

&��� ! ��"

��

��� � ��

�1�#

&

&���"! � !�#��

&������! ��"

��

���

�1�#

)

� ����!&����

�������!�

� ����&����

������

�! ��"

��

���

�1�#

)"!� � !�# ! ��"

��

���

"��

"!� � !�#

&��#

! �

#!1�

&

D������ ������ ��� ���������������� ��� ��������� ����� ��������� �� "���J��� ��

������� ��� �����������#

&�� !1�

&! ��,+, "��9#

��� �������� ����� ��������� ����� ��������� D������ ������

&� ! 9�+)(9 "�������� ��� �����������#

&� ! :�&�+& "�������� ��� ���� �� #

$� ��� ����� � � � ���������� ��� D������ ������ ��� ���� ���������� ����� �� ������1

��������� ������ &4� ���� 4 �� ��� ������� �������

&:

Page 28: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

��# $����% &��"���

0��������������� ���������� ��������� ���������� �� ���J��� �� ������� ��� ���� ��

�� ��� � �� ������ ��� ��� ������� �� ���� .�� � �� K����* 2�������

Heated zonex

r xr0

qw is the wall heat flux

(does not vary with )x

δ

������ �� K����* ������� ��� C������� -��� 0��� ��� �������� ���������

��� � ( ���� ��� ���� ��� ��� ��� ���� ������� ������������ ��� !�

��� � ( 5������ ��� ���� �� �� �������

2������� -� ����� ��� � ��������� ���� �������� �� � ���� ����� �

2����� ����� �� ���������������� ��� ��������� ����� ��������� �� ��� ������� ���

���� �� �

-� ���

! "�# ! !� �&���

��

%

��!���

� �

,4

,

��

��

��

)

��

��

��

@���� ������������ ��������

! "�# ! !� 4"��

���#

��

��

��

)

��

��

��

��

)

"��9&#

!� ! !� �

):

&"��

���#

"��9�#

&<

Page 29: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

���� "��9&# ��� "��9�#

! "�# ! !� 4"��

���#

��

��

��

)

��

��

��

�9

&)

"��9)#

@��� � ���� �����

���� ������ �������

!�"�# ! !��! 4"��

��

/�$��

� ! &���6 /� ! �������

!�"�# ! !��! 4&"

��

��

�$�����"��9+#

A��������� "��9+# �� "��9)# � ���

! ! !��! 4&"

��

��

�$�����4"��

���#

��

��

��

)

��

��

��

�9

&)

! � !��!

""������##!

)"����#

�� ��4

��

��

��

)

��

��

��

�9

&)

"��9,#

��� ��� ������� �������� ��� �3������ "��9,# ��� �� ������ ��

!�� � !�""������##

!)"����#

�� ��4

��

��

��

)

��

��

��

�9

&)

"��99#

$� ��� ���������� ������� ��� �� ��;�� !� �� ���� � ������

!� ! ! � !�� "��9:#

��� ����� ����� ���� �� ������ �3������ "�������� ����� ����� ������� ��� ���� ��1

��.��6 ���� � ��� ���������� �� �������;����#�

��!

��!%

��

���!

��

�"��9<#

��!���

!%

��

���!���

�"��:(#

��� �������� ���������� ���

!�"(� �# ! !� � !��"(� �#��� �� � ! (

�(

Page 30: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

�!���

������

! ( 6�!���

�������

! ( LLL -�� M

D� �

#�!

��

�������

! "��

���

#

��"!� 4 !��#

��

����

! "��

� � #�!���

�������

! "��

� � #�!����

�������

����

4#�!����

�������

! "��

A���� �� ��� ����� ��������� ����������� ���;�� �� ���� �� ��� ����������� ���;�� ��

��������� ���������� �� �

����������

�!���

�������

! ( !�!���

������

@���� �� �������� I ���� ! � !�� ��� !� � (

-� .�� �����

��! &

��

��

��

"��:#

���� "��:(# ��� "��:#� � ���

&��

��

��

���!���

!%

��

���!���

�"��:&#

D��1����������� ���������� N� ! ����� N� ! ������ #�

! �%�����

'� !!�

"������#!! � !��"������#

����������

�!���

!%

&������"��

���#

��'��N�

Page 31: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

�!���

!"��

���#��

�'��N�

!"��

#

�'��N�

��

���!���

�!"��

���#��

�N�

�N��'��N�

�!"��

#

�N�

�N��'��N�

A����������� ����� �� "��:&# ��� ������������ � ;����� ����

"� N��#�'��N�

!��'��N��

4

N�

�'��N�

"��:�#

�������� C��������� ���

'�"(� N�# !!� � !��"(� N�#

"������#

�'��N�

�������

!�'��N�

�������

! (

-� ����� ��� ��� ������ �� A��������� �� %��������

D� ��� '� "N�� N�# ! )"N�# � "N�#

A����������� �� �3������ "��:�# ��� ������������ � ���

)

�)

�N�!

�"� N��#

����

�N��4

N�

��

�N�

�"��:)#

D� ���� ��� �������� ��� ���������� ���� ��������� ����� ��� �� �3����� �� � ��������

! �-� "���#

)

�)

�N�! �-�

) ! ����&��� "��:+#

���

�N��4

N�

��

�N�4�-��"� N��# ! ( "��:,#

���

N����

�N��4��

�N�4�N�-��"� N��# ! ( "��:9#

��� �������� �� �3������ "��:, ��� ��:9# �� �� ��� ����

� !����

�� ��

�&

Page 32: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

��� ���������� ��� ���� �����;� ������ �� -� "E���� ������#

��� �������� �������� �� ����� ��

'�"N�� N�# !����

4� ����&��� "��::#

���� �� ! E���� ��������� ���

-� ! E���� ������ �� "��:, �� ��:9#

E3������ "��:, ��� ��:9# ��� ������ A���� F�������� �3�������

A����������� ������ ��

��7�"�# ,

8 4 7""�# 4 1�"�#8 , ! (

�������� ��������� ��� ,�

"2# ! � ,"2# ( 2 �

,�

"4# ! � , "4# ( 4 �

������ ����� ��� �� �� ����� � ��� � ��� ���� ���������

��� �������� �� ��� �������� ��;��� �� ��� ����� ������ �� ����� ��

�"�# !����

2�)�"�#

C������ ���� ��� ��� ���� �� �������� � �������� ��� �3������ "��:, ��� ��:9#� $�

����� ��� ��������� 2� ��� ����� ��

2� !

� ,

�"�# )�"�#��� ,

)�

�"�#��

D� ��� ���. �� �� ������� ��� �3������ "��:, ��� ��:9# ��� ��� ����� F�������� ���

�������� ��� ���������

@������� ��� �������� ��������� ��� �3������ "��:, ��� ��:9# � ���

'� ! "(� N�# !%�

��

4���

A����������� � ! ( �� �3������ "��99#

'� ! "(� N�# !!� � !��"������#

! �

�N�� �

)N�� �

9

&)

��

Page 33: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

C�������� ����� � � � ���

�"�# !%�

��

4��� ! �

�N�� �

)N�� �

9

&)

�"��:<#

D� � ���� ������

4� !�� �

�7"N� � N��#8��

�N�� � �

�N�� � �

��

��N�� �

�7"N� � N��#8��

��N�"��<(#

���� 1 ! -�� ��� ��� E���� ������

D� �� ����������� �3������ "��:, ��� ��:9# � ���

� �

�N�

�N����

�N�

��N� 4

� �

��"N� � N��# 1 �N� ! ( ��� � ! ��

A�� � �

��"N� � N��#1�N� ! ( "��<#

-� ��� ��� 1 ���� "��<# ��� 4� ��� �� �������� ��

4� ! �

� �

�"N� � N��#��"N�

� � ��N�� � �

��#�N�� �

�"N� � N��#��

��N�"��<&#

K���� ���. �� ��� �������� �� �3������ "��::#

'� !! � !��"������#

!%�

��

4���&�

� ��� ����"N�#

@���� � .�� !�� ���� �3������� "��99# ��

!�� � !�"������#

!)"����#

�� ��4

��

��

��

)

��

��

��

�9

&)

C�������� ����� � � � ���

! "�� �# ! !� 4"��

���#

)"����#

�� ��4

��

��

��

)

��

��

��

�9

&)

4%�

��

4� �� ���

��-������#

�� ��

�"��<�#

���� �� ��� �������� ��������� ��� ����� 4� ��� 1 ��� �� �� ���������� ���� �3�������

"��< ��� ��<&#�

�)

Page 34: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

(�$�� ���

-��� ������ ��' -��� ��������

0 -�� ��"# 4�

&+�,9<, 1(�)<&+<9 (�)(�):�

& :��:,: (��<++(: 1(�9+

� 9)�,9 1(��)+:9& (�(++<)

) &<,�+�, (��)()9 1(�9�&:()

+ )+(�<)9 1(�&<&+& (�(++(�+9

, ,�9��:9 (�&9�:(: 1(�()�):�

9 :++�:+( 1(�&+<:+& (�(�++<9

D� � ������� �� ;�� ��� D������ ������

'� !!�

"������#� '�� !

!��"������#

� '� !!�

"������#

���� �3������ "��::#

'�"N�� # ! '� � '�� !%�

��

4���"#��&��� "��<)#

���� �3������ "��99# � ��� ����

"'�� � '�# ! )N� 4 N�� �

)N�� �

9

&)"��<+#

@����� �3������� "��<)# ��� "��<+# �� N� !

'� � '� ! )N� 4

��

)�

9

&)

�4

%���

4���"#��&���

���

"'� � '�# ! )N� 4

&)4

%���

4���"#��&��� "��<,#

�+

Page 35: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

���� ������ �������

!� ! !�! 4&"

��

��

�$�����

��.��� !�! ! !�

"!� � !�# !)"

��

���#

������� ��

���

"'� � '�# ! )N� "��<9#

���� �3������� "��<,# ��� "��<9# � ���

"'� � '�# !

&)4

%���

4���"#��&���

�� ��;�������

&�� ! &��#

!"��

"!� � !�#

&��#

!&

'� � '�

F������� ����

&�� !&

����

4�

�� 4���"#��&���

I N���� &�� � &�����

0��� I ���

&����� !):

! )��, "��<:#

��� ������ ������� ��� ��� ���� �� ���������������� ��� ��������� ����� ���������

�� �

��' (����� �� ��� (������� ��� ������ ���� ��

)��� �������� (������� �� �������� �����

@ ��������� ����������� �� �������� ������� ��� �� ������� �������������� ��� ��������� ��

A��� ��� F����� "<9:# 7A���� '� O�� ��� F������ @� F�� @������� �� 0��� ���������

�,

Page 36: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

1 F������ ��� ������ C��������� �� ������ @������� 2����� D� P��.� <9:8� ������

��& �������� ��� ������� �� � ������������� �������

Simultaneouslydeveloping flow

Thermallydeveloping flow

Constant wall heat flux

Constant surface temperature

Pr = 0.7

NuD

4.36 f,d(t)3.66 f,d(t)

1

10

20

100

0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1

������ ��& %�������� �� D������ ������ �� � �������� ����

&�� �� ������� ������� ��� ������������� ��������� ����� #�

�� ���������� �� K����* ���1

���� "K����* ������ + � � �� #��

#� ����� ��������� ������ ��� ����������� �� 2������

������� ����� ��������� ���������� ��� ������� ��� ����� #�

� (�(+�

��� ��� �������� ������� ����������� ���������� �� �� ��������� �� .�� ��� ������� ���1

������� �������� "�� ��� ����� ������# ��� ��� ��� �3������ "��)(# "��� ! �� >!����

0����� �������� ��� ����� ��� ����������� ��� ���������������� ����� ��������� �� "���1

����# �� ����� �� �������� ��� �����������

&�� ! ��,, 4(�(,,:"���#��� ��

4 (�()7"���#��� ��8���

������� ��� ����� ������ �� ��� ��������� ���������� �� � �� �� ��� ��������� �����������

��� �������������� ���������� �� � � �������� ����������� ��� �� A����� ��� ���� "<�,#

�� �� ��� ����

&�� ! �:,

���� ��

���

���� ��

��

��-��

�9

Page 37: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

@�� ���������� ��� ��������� �� !� ! "!��� 4 !��!#�&� �� �� ��� ��������� �� ��� ���� ��

��� ������������

(�$�� ���� D������ ������� ��� ����� ��������� ������� �� ������� �� �������� ����� ��������

Cross sectionConstant q "

s Constant T w

NuD =(hDn)/ kba

4.36 3.66−

a

b

1.0

a

b

1.43 3.73 3.08

a

b

2.0 4.12 3.39

b

3.0 4.79 3.96

" 4.0 5.33

8.0 6.49

8.23 7.54α

3.00 2.35

a

"(parallel plate)

4.44

5.60

3.61 2.98

��* ���������� ������������ ��� ���+������� �"��,

�� � ;��� ����� �������� ���� �� ��� �������� ���� ������� ��� �� ������� �� �����

��������� �������� �� �������������� ������ ���� ��

�� !)�$

0���� �$ �� ����� ��������� ���� ��� � ����� ���������

0� ����� �� � ���1�������� ����� ��� ���������� ��������� ���� ������ ��� ����������

�:

Page 38: 12 2 1 U UUU(x) (x) (x) > U(x) h · Inlet region Filled region Entry length Fully developed flow h δ U UUU(x) (x) 12 (x) 2 > U(x)

���������� *��� �� ��� ��������

��� ��������� �� 7 ����� ��� ���� &�((8 ����� �� �� ���������� �� ��� ��� ����;�� "=

� ��# �������� ���� ������������� 0� ����� ��� ������� �� � ��� ��� �� �������� ����

������������ ��� ���� ��������� ��� ���� ����� D������ ������ ������������� �� �����

��������� ��������� ��� �� �������� ���� A��� ��� F�����?� ���.� A��� ������� ���

��� � �� ����� ���

-���������

� A������� Q� '�� ������� B�� ��� O����� Q� A�� <+,� 0��� �������� �� F������ ��� ��

� '���� ���� �� ��� C������1 ��� K����* 2������ E ������� ����� @ABE� %���

9:� ��� ))1)):�

&� A������ '�� A����� � E� B�� ��� 0������� �� B�� <+:� A����� F������ ��� 0���

�������� �� � C������� ���� ��� � 2��������� -��� 0��� ��� � @���� A������ '����

@9� ��� �:,1�<&�

�� A���� '� O�� <9+� F������ ��� �������� ��� ������ C��������� 0��� �������� ��

=���� �� @�������� K�������� $��� Q� 0��� B��� ��������� %��� :� ��� :)<1:,&�

)� ����� ��� ��� '��� =� D�� <:+� F������ 0��� �������� �� � ���� ��� %������

=����������� $��� Q� 0��� B��� ��������� %��� &:� ��� ,<<19(�

+� A���� '� O�� ��� F������ @� F�� <9:� @������� �� 0��� ��������� F������ ���

������ C��������� �� =����� @������� 2����� D� P��.�

,� A������ E� D�� ��� ����� K� E�� <�,� 0��� �������� ��� 2������� =��� �� F�3����

�� ������ $��� E��� C����� %��� &:� ��� )&<1)�,�

�<