Errores Péndulo de Torsión

I Teoría. Como observamos en las ecuaciones, para calcular el valor de φ debemos conocer el

momento de inercia del péndulo, el cual es irregular y deberíamos calcularlo por la

ecuación: 2I x dm= ∫ o en forma aproximada 2I x m= ∆∑ , por lo tanto, debemos

utilizar un método experimental para hallarlo.

Para poder obtener el valor del momento de inercia del péndulo sin los cilindros se

procederá entonces de la siguiente forma:

El método consiste en calcular el periodo del péndulo de torsión, agregando en ambos

extremos cilindros de masa m y radio R.

El momento de inercia de cada uno de los cilindros respecto a su eje de simetría

resulta 2CM

1I mR

2=

Consideramos un cilindro uniforme respecto al eje que pasa por su centro y es per-

pendicular al piano.

Ahora bien, para obtener el momento de inercia de cada cilindro respecto al eje del

alambre aplicamos la regla de Steiner lo que dará: 2 2c

1I mR md

2= + .Si consideramos

los dos cilindros respecto al eje del alambre, resulta: ( )2 2cI m R 2 d= + . Haciendo os-

cilar el péndulo de torsión con los dos cilindros agregados, el periodo T, aumentará

teniendo un nuevo valor: c1

I IT 2

D+

= π

Cabe notar que el valor de "D" cupla directriz, no ha variado. Comparando este último

valor hallado del periodo con los dos cilindros, con el valor hallado T del periodo de

torsión sin los cilindros, ecuación (2) resulta: c1 I ITT I

+= .

Luego podemos despejar el momento de inercia I, y poder calcular el valor de φ .

( )2

c 2 21

TI I 5

T T=

−

II Estudio de los Errores Casuales y Sistemáticos

Como se expone en la teoría de errores, el conocimiento de este calculo nos permite

fijar el error máximo con que deseamos obtener el valor que nos propusimos determi-

nar, en este caso "el Modulo de Torsión del Acero", y a partir de el, establecer las con-

diciones y precisión de los instrumentos de medida que nos permita lograr dicho obje-

tivo.

Imponemos entonces, la condición que el error de nuestra determinación, no sea su-

perior a un 2%., por consiguiente el error relativo será: 0 02,∆φ=

φ

Aplicando entonces, la teoría de cálculos de errores, a la expresión (4), tendremos:

( )r D4 1

r D∆φ ∆π ∆ ∆ ∆

= + + +φ π

ll

El primer término, trata de una constante irracional, a la que será necesario acotar el

número de cifras significativas procurando que el error cometido al no tomar todos los

decimales, no sea influyente. Haciendo π = 3, 142

0 00013 0 02, ,∆π= <<

π

Adoptamos entonces π = 3, 142.

El segundo l, longitud del alambre, cuyo módulo de torsión determinaremos, será

aproximadamente de 1 m = 100 cm, si la medimos con una regla graduada en mm, el

error máximo que podemos cometer, como ya sabemos, es de 1 mm. Luego, como ∆l

= 1 mm y l = 1 000 mm

10 001 0 02

1000, ,∆

= = <ll

Respecto al radio del alambre (r), tratándose de una dimensión menor de 1 mm, se

debe extremar los cuidados en su determinación. Si usáramos los micrómetros que se

poseen, con una aproximación de 0,01 mm, frente a un diámetro del alambre del or-

den de 0,7 mm vemos que:

r4 0 11 0 02

r, ,∆

= >

Debemos entonces recurrir a un instrumento de mayor precisión.

Se utilizo un micrómetro digital del DEPARTAMENTO MECÁNICA, con apreciación de

0,001 mm, obteniéndose un diámetro promedio de 0,704, el error relativo será ahora:

r4 0 0114 0 02

r, ,∆

= <

Si de la ecuación (1) despejamos D

D∆

nos queda:

( )D0 02 0 00013 0 001 0 0114 0 00747

D, , , , ,∆

= − + + =

Por la expresión (4) y (5), 2 c2

1

ID 4

T T= π

−

Aplicando errores tenemos:

( ) ( )1 1c

c 1 1

T T T TID2

D I T T T T∆ − ∆ +∆∆ ∆π

= + + +π − +

Para 2∆ππ

de acuerdo a lo ya determinado será igual a 0, 00026. La obtención de

c

c

II

∆, se logra aplicando errores, a expresión hallada del momento da inercia de los

cuerpos adicionados respecto del eje del alambre o sea: 2 2cI mR 2md= + , por lo que:

c

c

I m R m d2 2

I m R m d∆ ∆ ∆ ∆ ∆

= + + +

De acuerdo a la última ecuación, tendremos que: c

c

I0 00386

I,∆

=

Nótese que para medir R de los pesos se ha usado micrómetro con apreciación de

0,01 mm y para medir distancia entre el centre de la pesa al eje del alambre calibre

con apreciación de 0, 1 mm, con los valores obtenidos podemos poner:

( ) ( )1 1

1 1

T T T T0 00335

T T T T,

∆ − ∆ ++ =

− +

Analizando estos términos vemos que: ∆(T1 – T) = ∆T1 + ∆ T pudiendo hacerse igual a

2 ∆ T si tomamos el mismo número de oscilaciones al determinar los periodos. Igual-

mente para ∆(T1 + T) = 2 ∆ T. podemos poner entonces:

1 1

2 T 2 T0 00335

T T T T,∆ ∆

+ =− +

En razón de que T1 – T< T1 + T, resulta:

1 1

2 T 2 TT T T T

∆ ∆>

− +

Por consiguiente, el mayor será el termino que mas afecta esta medición, para asegu-

rar que este no sea influye hacemos:

1

2 T0 002 0 00335

T T, ,∆

= <−

Para que esto se cumpla se debe determinar el número de oscilaciones para que el

error que cometamos sea mínimo, el cronómetro tiene un ∆T = 0, 1 muy superior al

0,002. Para solucionar éste problema, de la ecuación anterior podemos encontrar el

número de oscilaciones mínimas a realizar haciendo:

( )1

Tn

0 001 T T,∆

=−

Ing. Fabián Dello Russo Ing. Ruben E. Del Zotto